2.5
GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES
En la sección 2.1 estudiamos las gráficas de las funciones con valores reales. Ahora retomaremos ese estudio usando los métodos del cálculo. Específicamente, usaremos gradientes para obtener una fórmula para el plano tangente a una superficie de nivel. Comencemos recordando cómo se define el gradiente. DEFINICIÓN Si 0 À Y § V $ Ä V es diferenciable, el gradiente de 0 en aBß Cß D b es el vector en el espacio V $ dado por `0 `0 grad 0 œ Š `0 `B ß `C ß `D ‹Þ
Este vector también se denota por f0 9 f0 aBß Cß D b. Así, f0 es simplemente la matriz de las derivadas H0 , escrita como vector.
EJEMPLO 1 Entonces
Sea 0 aBß Cß D b œ ÈB# C# D # œ <, la distancia de ! a aBß Cß D b. `0 `0 f0 aBß Cß D b œ Š `0 `B ß `C ß `D ‹
C B D œ Š ÈB# C # D # ß È B# C # D # ß È B# C # D # ‹ œ
r <
donde r es el punto aBß Cß D b. Así, f0 es el vector unitario en la dirección de aBß Cß D bÞ EJEMPLO 2
Si 0 aBß Cß D b œ BC D , entonces `0 `0 f0 aBß Cß D b œ Š `0 `B ß `C ß `D ‹ œ aCß Bß "bÞ
DEFINICIÓN Si 0 À V $ Ä V , la derivada direccional de 0 en x en la dirección de un vector v está dada por . .> 0 ax
>vb¹
>œ!
si es que existe. De la definición, podemos ver que la derivada direccional también se puede definir por la fórmula
0 ax>vb0 axb Þ 2 2Ä!
limite
TEOREMA 12 Si 0 À V $ Ä V es diferenciable, entonces existen todas las derivadas direccionales. La derivada direccional en x en la dirección v está dada por H0 axb œ grad 0 axb † v œ f0 axb † v `0 `0 œ ” `0 `B axb•@" ” `C axb•@# ” `D axb•@$ ß
donde v œ a@" ß @# ß @$ b. En la definición de derivada direccional, con frecuencia se escoge a v como un vector unitario. Hay dos razones para ello. La primera es que si a es cualquier número real positivo, !v es un vector que apunta en la misma dirección que
Figura 2.5.1
Al multiplicar un vector v por un escalar !, se altera la longitud de v.
v, pero puede ser más largo asi ! "b o más corto que v asi ! "b (ver la figura 2.5.1). Por el teorema 12, la derivada direccional de 0 en la dirección v es `0 `0 f0 axb † v œ ” `0 `B axb•@" ” `C axb•@# ” `D axb•@$ Þ
La derivada de 0 "en la dirección" !v es [f0 axb] † [!v] œ ![f0 axb] † v, que es ! por la derivada direccional en la dirección v, y por lo tanto no es igual a ella. Por lo tanto la derivada direccional, si está definida para todo !v, no depende solo de un punto x y una dirección. Para resolver este problema podemos requerir que el vector v sea de longitud 1. Entonces el vector v determina una dirección, la misma dirección
determinada por !v si ! !, pero ahora la derivada direccional está definida de manera única por f0 axb † v. La segunda razón es que podemos interpretar f0 axb † v como la tasa de cambio de 0 en la dirección v, pues cuando mvm œ ", el punto x >v se mueve una distancia = cuando > se incrementa en =; así, realmente hemos escogido una escala en P de la figura 2.5.1. Nótese que no es necesario usar líneas rectas para calcular la tasa de cambio de 0 a lo largo de una trayectoria 5a>b. En efecto, por la regla de la cadena, . .> 0 a5 a>bb
œ f0 a5 a>bb † 5w a>b.
EJEMPLO 3 Sea 0 aBß Cß D b œ B# /CD . Calcular la tasa de cambio de 0 en la dirección del vector unitario v œ Š È"$ ß È"$ ß È"$ ‹ SOLUCIÓN
en
a"ß !ß !b.
La tasa de cambio requerida es, usando el teorema 12, grad 0 † v œ a#B/CD ß B# D/CD ß B# C/CD b † Š È"$ ß È"$ ß È"$ ‹ß
que en a"ß !ß !b se convierte en
a#ß !ß !b † Š È"$ ß È"$ ß È"$ ‹ œ
# È$ Þ
Del teorema 12 también podemos obtener el significado geométrico del gradiente: TEOREMA 13 Suponer que grad 0 axb Á !. Entonces grad 0 axb apunta en la dirección a lo largo de la cual 0 crece más rápido. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual 0 va a crecer más rápidamente, debemos proceder en la dirección f0 axb. Análogamente, si deseamos movernos en una dirección en la cual 0 decrece más rápido, deberemos proceder en la dirección f0 axb. EJEMPLO 4
¿En qué dirección desde a!ß "b, crece más rápido 0 aBß Cb œ B# C# ?
SOLUCIÓN
El gradiente es f0 œ #Bi #Cj,
de modo que en a!ß "b esto es
f0 ¸a!ß"b œ #jÞ
Por el teorema 13, 0 crece más rápido en la dirección j. Ahora veremos la relación entre el gradiente de una función 0 y sus superficies de nivel. El gradiente apunta en la dirección en la que los valores de 0 cambian más rápidamente, mientras que una superficie de nivel esta en las direcciones en las que esos valores no cambian. Si 0 es suficientemente bien portada, el gradiente y la superficie de nivel serán perpendiculares.
Figure 2.5.2 Significado geométrico del gradiente: f0 es ortogonal a la superficie W en la cual 0 es constante. TEOREMA 14 Sean 0 À V $ Ä V una función G " y aB! ß C! ß D! b un punto en la superficie de nivel W definida por 0 aBß Cß D b œ 5, para 5 constante. Entonces grad 0 aB! ß C! ß D! b es normal a la superficie de nivel en el sentido siguiente: Si v es el vector tangente en > œ ! de una trayectoria - a>b en W con - a!b œ aB! ß C! ß D! b, entonces agrad 0 b † v œ ! (ver la figura 2.5.2). Si estudiamos la conclusión del teorema 14 vemos que es razonable definir el plano tangente a W como sigue: DEFINICIÓN Sea W la superficie formada por los puntos aBß Cß D b tales que 0 aBß Cß D b œ 5 , para 5 constante. El plano tangente de W en un punto aB! ß C! ß D! b de W está definido por la ecuación f0 aB! ß C! ß D! b † aB B! ß C C! ß D D! b œ !
Ð"Ñ
si f0 aB! ß C! ß D! b Á !. Esto es, el plano tangente es el conjunto de puntos aBß Cß D b que satisfacen la ecuación Ð"Ñ.
EJEMPLO 5 Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie definida por # $BC D œ % en a"ß "ß "b. SOLUCIÓN Aquí 0 aBß Cß D b œ $BC D # y f0 a$Cß $Bß #D b, que en a"ß "ß "b es el vector a$ß $ß #b. Así, el plano tangente es a$ß $ß #b † aB "ß C "ß D "b œ ! $B $C #D œ )Þ En el teorema 14 y en la definición anterior pudimos haber trabajado tanto en dos dimensiones como en tres. Así, si tenemos 0 À V 2 Ä V y consideramos una curva de nivel C={a-ß Cbl0 aBß Cb œ 5}ß entonces f0 aB! ß C! b es perpendicular a G para cualquier puntoaB! ß C! b en C. Asimismo, la recta tangente a G en aB! ß C! b tiene la ecuación f0 aB! ß C! b † aB B! ß C C! b œ !
Ð#Ñ
si f0 aB! ß C! b Á !; esto es, la recta tangente es el conjunto de puntos aBß Cb que satisfacen la ecuación (2) (ver la figura 2.5.3).
Figura 2.5.3
En el plano, el gradiente f0 es ortogonal a la curva 0 œ constante.
Con frecuencia nos referimos a f0 como campo vectorial gradiente. Nótese que f0 asigna un vector a cada punto en el dominio de 0 . En la figura 2.5.4 no describimos la función f0 trazando su gráfica, que sería un subconjunto de V ' , esto es, el conjunto de elementos ax,f0 axbb, sino representando a f0 aT b, para cada punto T , como un vector que sale del punto T en lugar del origen. Como en una gráfica, este método pictórico de describir f0 contiene al punto T y al valor f0 aT b en la misma ilustración.
El campo vectorial gradiente tiene un importante significado geométrico. Muestra la dirección en la cual 0 crece más rápido y la dirección que es ortogonal a las
Figure 2.5.4 El gradiente f0 de una función 0 À V $ Ä V es un campo vectorial en V $ ; en cada punto T3 , f0 aT3 b es un vector que sale de T3 ,
Figura 2.5.5 Ilustración física de dos hechos (a) f0 es la dirección de mas rápido crecimiento de 0 y (b) f0 es ortogonal a las curvas de nivel. superficies (o curvas en el plano) de nivel de 0 . Es plausible que haga ambas cosas. Para verlo, imaginen una colina como la que se muestra en la figura 2.5.5(a). Sea 2 la función
de altura, una función de dos variables. Si trazamos curvas de nivel de 2, serán simplemente los contornos de nivel de la colina. Las podemos imaginar como trayectorias de nivel sobre la colina (ver la figura 2.5.5(b)). Una cosa será obvia para cualquiera que haya emprendido la caminata: para llegar más rápido a la cima de la colina se deberá caminar perpendicular a los contornos de nivel. Esto es consistente con los teoremas 13 y 14, que aseguran que la dirección de crecimiento más rápido (el gradiente) es ortogonal a las curvas de nivel. EJEMPLO 6 La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria 7 en aBß Cß D b producida por una masa Q en el origen en V $ , de acuerdo con la ley de gravitación de Newton, esta dada por J œ K7Q <# nß donde K es una constante; < œ mrm œ ÈB# C# D # es la distancia de aBß Cß D b al origen; y n œ <Îr el vector unitario en la dirección de r œ Bi Cj D k, que es el vector de posición del origen a aBß Cß D b. Notar que J œ faK7Q Î<b œ fZ , esto es, J es el negativo del gradiente del potencial gravitacional Z œ K7Q Î<. Esto puede verificarse como en el ejemplo ". Nótese que J está dirigido hacia adentro, hacia el origen. Además, las superficies de nivel de Z son esferas. J es normal a estas esferas, lo cual confirma el resultado del teorema 14.
EJEMPLO 7 Hallar un vector unitario normal a la superficie W dada por D œ B# C# C " en el punto a!ß !ß "b. SOLUCIÓN Sea 0 aBß Cß D b œ B# C# C " D , y considerar la superficie definida por 0 aBß Cß D b œ !. Como éste es el conjunto de puntos aBß Cß D b con D œ B# C# C ", vemos que es la superficie W . El gradiente está dado por f0 aBß Cß D b œ
`0 `B i
`0 `C j
`0 `D k
œ #BC# i a#B# C "bj kß y así,
f0 a!ß !ß "b œ j kÞ
Este vector es perpendicular a W en a!ß !ß "b y, para hallar una normal unitaria n, dividimos este vector entre su longitud para obtener nœ
f0 a!ß!ß"b mf0 a!ß!ß"bm
œ
" È# aj
kb.