CAPITULO II Transversales Teorema.- Si una transversal corta a los lados BC, CA, AB del ∆ABC en los puntos a, b, c la relación siguiente liga los segmentos que delimita la transversal en los lados: aB ⋅ bC ⋅ cA =1 aC ⋅ bA ⋅ cB
Prueba.- Sean A' , B' , C' las proyecciones de los vértices sobre la transversal, aB BB' bC CC' cA AA' AA' , BB' , CC' orientados positivamente. Así se tiene = , = , = aC CC' bA AA' cB BB'
Recíproco: (Atribuido a Menélao, Alejandría, 100 AD). Si los puntos a, b, c de los lados BC, CA, AB de un ∆ABC satisfacen la condición aB ⋅ bC ⋅ cA = 1, aC ⋅ bA ⋅ cB
los puntos a, b, c yacen en una recta. En efecto, si la recta ab corta al lado AB en c’, en virtud del teorema.
aB ⋅ bC ⋅ cA = 1 , se aC ⋅ bA ⋅ cB
cA c' A = , por ende c = c’. El teorema es muy útil para demostrar que tres cB c' B puntos yacen en una línea recta.
infiere que
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Ejemplo I.- Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo están alineados. Sea ABCD un cuadrilátero completo, sean L, M, N los puntos medios de AB, CD, EF y sean a, c, e los puntos medios de CE, EA, AC Luego tenemos:
ce es paralelo a CE
y pasa por L
ea es paralelo a Ea
y pasa por M
ce es paralelo a AC
y pasa por N
Demostrar que L, M, N son colineales significa demostrar que: Lc ⋅ Me ⋅ Na =1 Le ⋅ Ma ⋅ Nc Lc BE Me DA Na FC = , análogamente = , = , como Le BC Ma DE Nc FA los puntos B, D, F sobre los lados del ∆ACE están en línea recta, se tiene la identidad deseada.
Pero las paralelas Lec, BCE dan
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Ejemplo II.- Si los vértices de un ∆ABC y un ∆A’B’C’ se corresponden de suerte que AA’, BB’, CC’ se cortan en un punto, los lados AB, A’B’, BC, B’C’, CA, C’A’ se cortan en tres puntos colineales.
En efecto, si k = BC ∩ B' C' , l = CA ∩ C' A ' , m = AB ∩ A' B' , se trata de mostrara que k, l, m son colineales, es decir, que: kB ⋅ lC ⋅ mA =1 KC ⋅ lA ⋅ mB Ahora bien, si O = AA'∩BB'∩CC' , el ∆OBC cortado por la transversal kB' C' da kB ⋅ C' C ⋅ B' O = 1 . Análogamente, los ∆OCA , ∆OAB cortados por lC' A' , mA' B' KC ⋅ C' O ⋅ B' B respectivamente dan: lC ⋅ A' A ⋅ C' O mA ⋅ B' B ⋅ A' O =1 , =1 lA ⋅ A' O ⋅ C' C mB ⋅ B' O ⋅ A' A Al multiplicar miembro a miembro se simplifican A' A, B' B, C' C, A' O, B' O, C' O llegando a kB ⋅ lC ⋅ mA que = 1 , lo que muestra que los puntos k, l, m son colineales. KC ⋅ lA ⋅ mB
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Ejemplo III.- (Teorema de Pascal) En un triángulo inscrito en el círculo de los puntos en concurso de los lados opuestos yacen en línea recta.
Sea el hexágono ABCDEF. Los Lados opuestos AB, DE se cortan en L, BC, EF en M y CD, AF en N. Consideramos el ∆IJK formado por AB, CD y EF, es decir, por los lados tomados de dos en dos.
L, M, N se sitúan pues sobre los lados del ∆IJK y estarán en línea recta sí y sólo sí LJ ⋅ MK ⋅ NI =1. LK ⋅ MI ⋅ NJ
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Ahora bien, cortando el ∆IJK sucesivamente por los lados DE, BC, AF del hexágono tenemos las relaciones: LJ ⋅ EK ⋅ DI MK ⋅ CI ⋅ BJ NI ⋅ AJ ⋅ FK = = =1 LK ⋅ EI ⋅ DJ MI ⋅ CJ ⋅ BK NJ ⋅ AK ⋅ FI Multiplicando miembro a miembro numeradores y denominadores tenemos: LJ ⋅ EK ⋅ DI ⋅ MK ⋅ CI ⋅ BJ ⋅ NI ⋅ AJ ⋅ FK = 1, LK ⋅ EI ⋅ DJ ⋅ MI ⋅ CJ ⋅ BK ⋅ NJ ⋅ AK ⋅ FI
atendiendo a que JA ⋅ JB = JC ⋅ JD , KE ⋅ KF = KA ⋅ KB , IE ⋅ IF = IC ⋅ ID , tenemos al simplificar la relación deseada. Nota.- La demostración anterior subsiste cabalmente si A = B, C = D, E = F, cuando los lados del ∆IJK son tangentes al círculo, en cuyo caso: las tangentes en los vértices al círculo circunscrito cortan los lados opuestos según puntos en línea recta Teorema.- Si por los vértices del ∆ABC pasan las rectas Aa, Bb, CC que concurren en O, con a en BC, b en CA, c en AB, entonces los puntos a, b, c satisfacen la relación (1)
aB ⋅ bC ⋅ cA = −1 aC ⋅ bA ⋅ cB
En efecto, el ∆AaC cortado por BOb da la relación aB ⋅ bC ⋅ cA = − BC ⋅ bA ⋅ Oa , el ∆AaB cortado por ∆COc da Ca ⋅ cB ⋅ OA = CB ⋅ cA ⋅ Oa . Dividiendo miembro a miembro se tiene: aB ⋅ bC ⋅ cA ⋅ CB = aC ⋅ bA ⋅ cB ⋅ BC , que es equivalente a (1) puesto que CB = − BC .
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Recíproco (Teorema de Ceva): Si sobre los lados de un ∆ABC , se toman los puntos a, b, c de suerte que aB ⋅ bC ⋅ cA = −aC ⋅ bA ⋅ cB las rectas Aa, bB, cC concurren a un punto.
En efecto, si Aa, Bb concurren en O y CO corta al lado AB en el punto c’ tal que aB ⋅ bC ⋅ c' A = −aC ⋅ bA ⋅ c' B. Al comparar esta identidad con la identidad de la hipótesis se cA c' A tiene = . Si las rectas Aa, Bb fuesen paralelas, Cc les sería paralela y las rectas cB c' B concurrían en el punto del infinito. Ejemplo.- Las medianas de un triángulo concurren a un punto, En efecto, si a, b, c son los aB bC cA , son iguales a -1. puntos medios de los lados, las razones , aC bA cB De manera análoga se muestra que concurren las bisectrices de un triángulo.
Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.
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