Capitulo III Homotecia y similitud Definición.- Habiendo elegido un punto S que se denomina centro de homotecia y un número K que se denomina la razón de homotecia o de similitud, el punto M’ es el homotético del punto arbitrio M si M’ obedece a la definición SM' = K ⋅ SM , M’ se halla sobre la recta SM. La homotecia se dice directa si SM’ va en el sentido SM, si va en el sentido MS se dice inversa. La figura homotética de una figura F es la figura constituida por los puntos homotéticos de los puntos de F. Nota.- El centro de homotecia es su homotético, siendo el único punto que se distingue por esta propiedad (salvo, por supuesto si la homotecia es directa de razón igual a 1, es decir, cuando cada punto es su propio homotético). La simetría con respecto a un punto es un ejemplo de homotecia inversa. Teorema.- En dos sistemas homotéticos la recta que liga dos puntos cualesquiera de uno de los sistemas y aquélla que liga los puntos homólogos del otro son siempre paralelas y del mismo sentido o del sentido opuesto según la homotecia sea directa o inversa. Sean pues Ay B dos puntos de la primera figura, A’ y B’ sus homotéticos, sean S el centro SA SB' y k la razón. La proporción = = k muestra que ambas rectas AB, A' B' son SA SB paralelas. Mientras la semejanza de los ∆SAB y ∆SA' B' muestra que están en la razón SA =k SA'
(Si una recta divide dos lados en partes proporcionales, es paralela a l tercer lado).
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Corolario I. La figura homotética de una recta es una recta Pues si B se desplaza sobre la recta fija AB, B’ recorre la paralela por el punto A’ a la recta AB. II. La figura homotética de una circunferencia es una circunferencia y los centro son dos puntos homotéticos. Pues si B se desplaza de suerte que su distancia al punto fijo A sea constante, B’ recorre una circunferencia de centro A’ y radio A' B' = k ⋅ AB III. La figura homotética de un triángulo es un triángulo semejante al primero. Teorema.- Recíprocamente, si existe en el plano de ambos sistema dos puntos O, O’ tales que la recta que une el punto O a un punto M del primer sistema y aquélla que liga O’ al punto M’, homotético del segundo, permanecen constantemente paralelas y guarden entre sí una razón K (siempre en el mismo sentido o en el sentido contrario), ambos sistemas son homotéticos. Demostración.- Sean M y M’ homólogos. Unamos MM’. Si esta recta es paralela a OO’, el cuadrilátero OMM' O' es un paralelogramo y OM = O' M' . En este caso ambos sistemas derivan el uno del otro por medio de una traslación. En caso contrario, la recta MM’ corta OO’ en un punto S que está fijo, es decir, que no depende de la elección de los puntos M, M’, ese punto divide la recta OO’ (exteriormente si los segmentos OM, O’M’, van en el mismo sentido, interiormente si van en el sentido contrario según la razón dada K, a causa de la semejanza de los triángulos SOM, SO’M’. Por lo demás y a causa de esta misma SM' O' M' semejanza se tiene = =k. SM OM
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Corolario.- Puede penarse un par de circunferencias como homotéticas de dos maneras distintas. En efecto, si O y O’ son los respectivos centros, los extremos M y M’ de dos rayos homólogos paralelos y del mismo sentido satisfacen las condiciones del teorema y recorren sendas figuras homotéticas directas; análogamente las extremidades M, M’ de dos radios paralelos y de sentido contrario son los puntos homólogos de dos figuras homotéticas inversas; en ambos casos la razón de semejanza es igual al cuociente de los radios. Dos circunferencias poseen dos centros de homotecia (o de similitud) S y S1 , uno directo y el otro inverso; ambos puntos dividen armónicamente la línea de los centros, la razón de la división es el cuociente de los radios.
Los puntos de contacto de una tangente común exterior son homotéticos directos ya que los radios de delimitan son paralelos y de igual sentido; análogamente los puntos de contactos de una tangente común interior son homotéticos de sentido inverso.
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Ejemplo.- Sean O1 , O 2 , O 3 , tres circunferencias no conc茅ntricas de dos en dos ni del mismo radio, Una aplicaci贸n del teorema de Menelao da de inmediato el siguiente resultado:
Los centros de homotecia O12 , O13 , O 23 yacen en l铆nea recta. Por otro lado, si llamamos O'12 , O'13 , O'23 a los centro de homotecia internos, una aplicaci贸n del Teorema de Ceva muestra que, por ejemplo, O'13 , O'23 , O'12 son colineales (lo mismo que O'13 , O'12 , O'23 y O'23 , O'12 , O'13 )
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