ÁNGULOS Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen denominado vértice. Las dos semirrectas que forman el ángulo reciben el nombre de lados del ángulo.
Así, tal como puede observarse en la figura siguiente, OM y ON son los lados y O es el vértice del ángulo que se muestra.
M O N
El tamaño de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. El tamaño de un ángulo depende de la extensión del plano que debe barrer uno de sus lados del ángulo, cuando se le hace girar alrededor del vértice hasta alcanzar la posición del otro lado. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. Sistemas para medir ángulos: a) Sistema sexagesimal: en este sistema se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales y se considera que un ángulo de un grado es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas, tal como puede observarse en la figura siguiente.
Cada grado se considera divido en 60 partes iguales llamados minutos y cada minuto, a su vez, se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos de cada una de estas unidades son: 1º grado 1' minuto 1" segundo
Así, si un ángulo mide 58 grados 23 minutos y 47 segundos, escribiremos: 58º 23' 47"
b) Sistema centesimal: en este sistema se considera la circunferencia dividida en 400 partes iguales, denominadas grados centesimales y se considera que un ángulo de un grado centesimal es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. En este sistema cada grado se considera dividido en 100 partes iguales llamadas minutos centesimales y cada minuto centesimal, a su vez, se divide en 100 partes iguales llamadas segundos centesimales. Los símbolos de cada una de estas unidades son:
1g grado 1m minuto 1s segundo
Así, si un ángulo mide 26 grados centesimales 12 minutos centesimales y 30 segundos centesimales, escribiremos 26g 12m 30s.
c) Sistema circular: en este sistema, como la longitud de la circunferencia equivale a 2π veces la de su radio, se toma como unidad de medida de ángulos el radian, que es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud coincide con la del radio de la circunferencia. Claramente se tiene que, 360º = 400 g = 2π.
Los ángulos se clasifican del siguiente modo:
a) Ángulos agudos: son aquellos que miden menos de 90º. Así, por ejemplo, el ángulo representado en la siguiente figura es un ángulo agudo.
b) Ángulos rectos: son aquellos que miden 90º. Así, por ejemplo, el ángulo representado en la siguiente figura es un ángulo recto.
c) Ángulos obtusos: son aquellos que miden más de 90º, pero menos de 180º. Así, por ejemplo, el ángulo representado en la siguiente figura es un ángulo obtuso.
d) Ángulos llanos: son aquellos que miden 180º. Así, por ejemplo, el ángulo representado en la siguiente figura es un ángulo llano. Consiguientemente los dos lados forman una recta.
e) Ángulos cóncavos: son aquellos que miden más de 180º, pero menos de 360º. Así, por ejemplo, el ángulo representado en la siguiente figura es un ángulo cóncavo.
f) Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. Así, por ejemplo, los ángulos POM y MON de la siguiente figura son ángulos adyacentes. M
N P
O
g) Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando sumados valen 90º. Así, por ejemplo, los ángulos MON y NOP de la figura siguiente son ángulos complementarios.
M N
O
P
Se llama complemento de un ángulo a lo que le falta a dicho ángulo para medir 90º.
h) Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando sumados valen 180º. Así, por ejemplo, los ángulos AOC y AOB de la figura siguiente son ángulos suplementarios.
C
A
O
A
Se llama suplemento de un ángulo a lo que le falta a dicho ángulo para medir 180º.
i) Ángulos opuestos por el vértice: dos ángulos están opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro. Así, por ejemplo, los ángulos MON y POQ y NOQ y MOP de la figura siguiente son ángulos opuestos por el vértice.
M
N
O
Q
P
j) Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos si tienen un lado común que separe a los otros dos. Se dice que varios ángulos son consecutivos si el primero es consecutivo del segundo, este lo es del tercero y así sucesivamente. Así, por ejemplo, los ángulos MON y NOP de la figura 1 siguiente son consecutivos. Análogamente, en la figura 2, son consecutivos de los ángulos MON, NOP y POQ.
Teoremas
Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Partimos de la siguiente hipótesis: los ángulos MOP y PON son adyacentes, tal como puede observarse en la figura. Se trata de demostrar la siguiente tesis:
MOP + PON = 180º
En efecto, tendremos que MOP + PON = MON. Pero MON = 180º, puesto que se trata de un ángulo llano. Por lo tanto, MOP + PON = 180º, tal como queríamos demostrar.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Partimos de la siguiente hipótesis: los ángulos MOP y QON son opuestos por el vértice, tal como puede observarse en la figura. Se trata de demostrar la siguiente tesis:
MOP = QON
En efecto, tendremos que MOP + MOQ = 180º, por ser adyacentes.
Por lo tanto, MOQ = 180º - MOP (1) Por otra parte, MOQ + QON = 180º por ser adyacentes. Por lo tanto, MOQ = 180º - QON (2) Comparando (1) y (2) tendremos que:
180º - MOP = 180º - QON
O sea, MOP = QON, tal como queríamos demostrar.
Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180º.
Partimos de la siguiente hipótesis: los ángulos MOP, POQ y QON son ángulos consecutivos formados a un lado de la recta MN, tal como puede observarse en la figura. Se trata de demostrar la siguiente tesis:
MOP + POQ + QON = 180º
En efecto, tendremos que MOP + PON = 180º (1), pero como PON = POQ + QON (2), sustituyendo (2) en (1) tendremos que:
MOP + POQ + QON = 180º
Tal como queríamos demostrar.
La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto vale 360º.
Partimos de la siguiente hipótesis: los ángulos MOP, PON y NOM son ángulos consecutivos alrededor del punto O, tal como puede observarse en la figura. Se trata de demostrar la siguiente tesis:
MOP + PON + NOM = 360º
En efecto, prolonguemos un lado cualquiera, por ejemplo el lado MO, de modo que el ángulo PON quede dividido en POA y NOA, tales que PON = POA + NOA, tales que PON = POA + NOA. Por una parte tendremos que MOP + POA = 180º (1). Por otra parte, NOA + NOM = 180º (2). Sumando miembro a miembro (1) y (2) tendremos:
MOP + POA + NOA + NOM = 360º
Tal como queríamos demostrar
PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro ángulos iguales. Obviamente, todos los ángulos iguales que forman son rectos. Para representar que dos rectas son perpendiculares se utiliza el símbolo . Se dice que dos rectas son oblicuas cuando se cortan y no son perpendiculares. Así, en la figura las rectas MN y PQ son oblicuas. La perpendicularidad de rectas cumple también la propiedad reflexiva. Es decir, si una recta es perpendicular a otra, esta también es perpendicular a la primera. Así, por ejemplo, tal como observarse en la figura, si MN MN.
PQ, entonces PQ
Se admite el siguiente postulado: Por un punto exterior a una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha recta y solo una. En efecto, tal como puede observarse en la figura, si consideramos la recta MN y el punto P exterior a MN, entre todas las rectas que pasan por P y cortan a la recta MN, únicamente la recta OP es perpendicular a MN. El punto de intersección recibe el nombre de pie de la perpendicular.
P
M
.
S
O
Z
N
T Cualquier otra recta, tal como ST, q corta a MN en el punto Z es oblicua a MN. El punto intersección Z de la oblicua ST con MN recibe el nombre de pie de la oblicua.
Se demostrara el siguiente teorema: Si por un punto exterior a una recta se traza una perpendicular y varias oblicuas, se cumple:
a) El segmento de perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menos que cualquier segmento de oblicua. b) Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son iguales. c) De dos segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es mayor el que dista m谩s.
En efecto, aceptaremos como hip贸tesis que PO oblicuas a MN y que OQ = OR y OS > OR.
MN, que PQ, PR y PS son
Se trata de demostrar las siguientes tesis: a)
PQ < PR
b)
PQ = PR
c)
PS > PR
Para ello, doblemos la figura por la recta MN. El punto P pasara a ocupar la posici贸n P' y, por tanto, tendremos que: PO = P'O PQ = P'Q PR = P'R PS = P'S Demostremos en primer lugar la tesis a), es decir PO < PR. Tendremos que: PO + P'O < PR + P'R (1) puesto que la distancia m谩s corta entre dos puntos es la recta.
Ahora bien, PO = P'O (2) Y
PR = P'R (3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1) tendremos:
PO + PO < PR + PR Es decir, 2PO < 2 PR
O sea, PO < PR, tal como queríamos demostrar.
Para demostrar la tesis b), doblemos la figura por PP'. El punto Q coincidirá con R, puesto que QO = OR. Por consiguiente, PQ = PR, ya que coinciden sus extremos y por dos puntos pasa una recta y solamente una.
Demostraremos finalmente la tesis c), es decir, que PS > PR. Tendremos que: PS + P'S' > PR + P'R (4) Ahora bien, y
PS = P'S
(5)
PR = P'R (6)
Sustituyendo (5) y (6) en (4) tendremos: PS + PS > PR + PR 2PS > 2PR PS > PR, tal como queríamos demostrar.
Se verifica también el teorema reciproco del anterior. "Si por un punto exterior a una recta se trazan varias rectas que cortan a la primera, se cumple que:
a) El menor de los segmentos comprendidos entre el punto y la recta es perpendicular a esta. b) Si dos segmentos oblicuos son iguales, sus pies equidistan del pie de la perpendicular. c) Si dos segmentos oblicuos son desiguales, el pie del segmento mayor dista mas del pie de la perpendicular que el pie del segmento menor."
Se define la distancia de un punto a una recta como la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.
Se dice que dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no se cortan por mucho que se les prolongue.
Así, por ejemplo las rectas MN y PQ de la figura siguiente son paralelas. N
Q
M
P
Las paralelas se representan mediante el símbolo //. Así, en la figura anterior diremos que MN // PQ. La relación "ser paralela a" es una relación de equivalencia, puesto que se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. En efecto,
a) Propiedad reflexiva: cualquier recta es paralela así misma. b) Propiedad simétrica: si una recta es paralela a otra, esta es paralela a la primera. c) Propiedad transitiva: si dos rectas son paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
Uno de los métodos de demostración más utilizados es el de reducción al absurdo. Este método consiste en suponer lo contrario de lo que se quiere demostrar para obtener, mediante un razonamiento, una conclusión que este en contradicción con postulados admitidos o con teoremas demostrados. De este modo, se demuestra que se verifica la tesis que se requiere demostrar.
Vamos aplicar el método de reducción del absurdo para demostrar el siguiente teorema: "si dos rectas de un plano son perpendiculares a una tercer, entonces son paralelas entre sí". En efecto, tal como puede observarse en la figura siguiente, aceptaremos como hipótesis que QR _|_ MN y que ST _|_ MN.
Se trata de demostrar que QR // ST. Para ello, supongamos que QR no es paralela a ST. En este supuesto, QR y ST cortarían en algún punto, por ejemplo, en el punto P. Ahora bien, en este caso, tendríamos que por el punto P pasarían dos perpendiculares a la recta MN, lo cual es imposible puesto que por el punto exterior a una recta, en un plano, solo puede trazarse una perpendicular. Por consiguiente, QR y ST no pueden tener ningún punto en común y, en consecuencia, deben ser paralelas, tal como queríamos demostrar. Del teorema anterior se deducen fácilmente los siguientes corolarios:
1_ por un punto exterior a una recta pasa una paralela a dicha recta.
En efecto, tal como puede observarse en la figura siguiente, sea MN la recta considerada y R el punto exterior a dicha recta. Si por el punto R trazamos la recta RS _|_ MN de acuerdo con el teorema anterior.
2_ si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces son paralelas entre sí.
En efecto, tal como puede observarse en la figura de a continuación, supongamos por hipótesis que QR // MN y que ST // QR.
Se trata de demostrar que ST // QR. En efecto, si ST y QR no fueran paralelas se cortarían en un punto P y, por lo tanto, por el punto P pasarían dos paralelas a MN, lo cual es imposible, puesto que por un punto exterior a una recta tan solo pasa una paralela a dicha recta. Así pues, ST // QR, tal como queríamos demostrar.
3_ si una recta corta a otra, también corta a todas las paralelas a esta.
En efecto, tal como puede observarse en la figura siguiente, supongamos por hipótesis que MN // PQ y que RS corta a MN en el punto O. Se trata de demostrar que RS corta a PQ. En efecto, supongamos que RS no corta a PQ. En este caso, RS seria paralela a PQ, pero esto no es posible que puesto por el mismo punto O pasarían dos rectas paralelas a PQ, a saber MN y RS. Por consiguiente, RS debe cortar a PQ, tal como queríamos demostrar.
4_ si una recta es perpendicular a otra, entonces también es perpendicular a todas las rectas paralelas a esta.
En efecto, tal como puede observarse en la figura de a continuación, supongamos por hipótesis que MN // PQ y que RS _|_ MN.
Se trata de demostrar que RS _|_ PQ. En efecto, si RS corta a MN también cortara PQ. Supongamos que el punto de intersección de RS y PQ es O y que RS no es perpendicular a PQ. En este caso, por el punto O se podría trazar TU _|_ RS, en cuyo caso TU // MN, es decir, que por O pasarían dos paralelas a MN, a saber PQ y TU, lo cual es imposible. Por consiguiente, RS _|_ PQ, tal como queríamos demostrar.
Rectas cortadas por una secante.
Se llama secante de dos o más rectas a otra recta que las corta.
Así, por ejemplo, tal como puede observarse en la figura siguiente, la recta RS es una secante de MN y PQ.
Se llaman ángulos internos a los que forman dos rectas cortadas por una secante y que quedan entre las dos rectas.
Así, por ejemplo, en la figura anterior los ángulos internos son 3, 4, 5 y 6.
En cambio, reciben el nombre de ángulos externos los que forman dos rectas cortadas por una secante y que quedan fuera de dichas rectas.
Así, por ejemplo, en la figura anterior ya mencionada los ángulos externos son 1, 2, 7 y 8.
Cuando dos rectas son cortadas por una secante, se llaman correspondientes a dos ángulos situados al mismo lado de la secante y al mismo lado de las rectas, siendo uno de ellos interno y el otro externo.
Así, por ejemplo, en la figura anterior son correspondientes los siguientes pares de ángulos: 1 y 5; 3 y 7; 2 y 6; y 4 y 8.
Cuando dos rectas son cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos internos a dos ángulos internos que no son contiguos ni adyacentes, que están situados entre las dos rectas a uno y otro lado de la secante.
Así, por ejemplo, en la figura anterior son alternos internos los pares de ángulos 3 y 6, 4 y 5.
Cuando dos rectas son cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos externos a dos ángulos externos que no sean contiguos ni adyacentes, que están situados fuera de las dos rectas a uno y otro lado de la secante.
Así, por ejemplo, en la figura anterior son alternos externos los pares de ángulos 1 y 8, y 2 y 7.
Cuando dos rectas son cortadas por una secante, se llaman ángulos, se llaman ángulos conjugados internos a dos ángulos internos situados en un mismo semiplano respecto a la secante. Así, por ejemplo, en la figura anterior son ángulos conjugados internos 3 y 5, y 4 y 6.
Cuando dos rectas son cortadas por una secante, se llaman ángulos conjugados externos a dos ángulos externos situados en un mismo semiplano respecto de la secante.
Así, por ejemplo, en la figura anterior son ángulos conjugados externos 1 y 7, y 2 y 8. En el caso de que dos rectas paralelas sean cortadas por una secante se admite el siguiente postulado:
Toda secante forma con dos paralelas ángulos correspondientes iguales.
Así, tal como puede observarse en la figura siguiente, si las rectas MN y PQ son paralelas, se verifica q son iguales los siguientes pares de ángulos: 1 y 5; 2 y 6; 4 y 8; 3 y 7.
Seguidamente, vamos a demostrar el siguiente lema: si una secante forma ángulos correspondientes iguales con dos rectas de un plano, estas rectas son paralelas.
Tal como puede observarse en la figura siguiente, supongamos por hipótesis que los ángulos MOR y PO'S son iguales.
Se trata de demostrar que las rectas MN y PQ son paralelas. Vamos a efectuar la demostración por el método de reducción al absurdo.
Para ello, supondremos que MN no es paralela a PQ. En este caso, se podrá trazar una recta paralela a PQ por el punto O, que llamaremos TU. De este modo, los ángulos ROT y PO'O serian iguales. Ahora bien, en este caso tendríamos que ROT = PO'O y que MOR = PO'O. Por consiguiente, el ángulo ROT debería ser igual a MOR. Pero esta conclusión es imposible, a menos que la recta TU coincida con la recta MN. Por lo tanto, debe cumplirse que MN y PQ sean paralelas, tal como queríamos demostrar.
Demostraremos, a continuación, el siguiente teorema: toda secante forma al cortar con dos líneas paralelas ángulos alternos internos iguales. Tal como puede observarse en la figura de a continuación, supongamos por hipótesis que las rectas MN y PQ son paralelas, que la recta RS es una secante y que los ángulos 2 y 8 y 3 y 5 son alternos internos.
Se trata de demostrar que los ángulos 2 y 8, 3 y 5 son iguales. Ahora bien, los ángulos 2 y 4 son iguales puesto que son opuestos por el vértice. Análogamente, los ángulos 4 y 8 son iguales por ser correspondientes. Por consiguiente, si 2=4 y 4=8, entonces 2 =8. De modo similar, se obtiene que 3=5, tal como queríamos demostrar. En este caso también se verifica el teorema reciproco: si una secante forma ángulos alternos internos iguales con dos rectas de un plano, entonces estas rectas son paralelas. Demostraremos ahora el siguiente teorema: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.
En efecto, tal como observarse en la siguiente figura, supongamos por hipótesis que las rectas MN y PQ son paralelas, que la rectas RS es una secante y que 1 y 7 y 4 y 6son ángulos alternos externos.
Se trata de demostrar que los ángulos 1 y 7, 4 y 6 son iguales. Ahora bien, los ángulos 1 y 3 son iguales puesto que están opuestos por el vértice.
Análogamente, 3 y 7 son iguales por ser correspondientes. Por consiguiente, si 1=3 y 3=7, entonces 1=7. De modo similar se obtiene que 4=6, tal como queríamos demostrar. También se verifica en este caso el teorema reciproco: si una secante forma ángulos alternos externos iguales con dos rectas de un plano, entonces estas rectas son paralelas.
Demostraremos, a continuación, el siguiente teorema: si dos ángulos son conjugados interno entre paralelas, entonces son suplementarios. En efecto, tal como puede observarse en la figura siguiente, supongamos por hipótesis que las rectas MN y PQ son paralelas, que la recta RS es una secante y que 3 y 8 y 2 y 5 son ángulos conjugados internos.
Se trata de demostrar que 3+8=2+5= 180º. Ahora bien, 5+8=180º (1) por ser ángulos adyacentes y 5=3 (2) por ser alternos internos. Por consiguiente, sustituyendo (2) en (1) tendremos que 3+8=180º. De modo similar se obtiene que 2+5=180ª, tal como queríamos demostrar. En este caso también se verifica el teorema reciproco: si una secante forma ángulos conjugados internos suplementarios con dos rectas de un plano, entonces estas rectas son paralelas. Por último demostraremos el siguiente teorema: si dos ángulos son conjugados externos entre paralelas, entonces son suplementarios. En efecto, tal como puede observarse en la figuro de a continuación, supongamos por hipótesis que las rectas MN y PQ son paralelas, que la recta RS es una secante y que 1 y 6, 4 y 7 son ángulos conjugados externos.
Se trata de demostrar que 1+6=4+7=180º. Ahora bien, 6+7=180º (1) por ser ángulos adyacentes y 7=1 (2) por ser ángulos alternos externos. Sustituyendo (2) en (1) tendremos que 1+6=180º. De modo similar, se obtiene que 4+7=180º, tal como queríamos demostrar.
Se cumple tambiĂŠn, en este caso, el teorema reciproco: si una secante forma ĂĄngulos conjugados externos suplementarios con dos rectas de un plano, entonces estas rectas son paralelas.