GEOMETRÍA ANALÍTICA Fernando Miranda / Elías Irazoqui.
La Hipérbola . DEF. La Hirérbola es el conjunto ‡ de puntos del plano que cumplen con: P(x, y) − ‡ constante..
Í la diferencia de las distancias a dos puntos fijos es
Los puntos fijos se llaman focos. Sean estos F" Ð -ß !Ñ C F# Ð-ß 9Ñß y 2+ la diferencia constante, con - +Þ
Las ecuaciones de las directrices son: B œ + y B œ +/ ß / es la /
excentricidad, cuyo valor es: / œ +- "à los vértices son, como se aprecia del dibujo anterior: V" Ð+ß !Ñ y V# Ð+ß !Ñ. El eje focal es la recta que pasa por los focos. El segmento V" V# es el eje transverso. El punto medio de este corresponde al centro de la hipérbola. El lado recto se define de igual manera que en la parábola y la elipse.
El segm/nto B" B# -98 B" Ð!Þ ,Ñ y B# Ð!ß ,Ñ se llama eje conjugado. Teor. 1. La ecuación de la Hipérbola de focos: F" Ð -ß !Ñ C F# Ð-ß !Ñ y 2a el valor absoluto de la diferencia constante es: B# +#
donde
C# ,#
œ"
Ð"Ñ
, # œ +# - #
Demostración. P(x, y) − ‡ Í .ÐP(x, y)ß F# Ð -ß !ÑÑ .ÐP(x, y)ß F" Ð-ß !ÑÑ œ #+ È ÐB+-Ñ# C# È ÐB -Ñ# C# œ #+ È ÐB -Ñ# C# œ #+ È ÐB -Ñ# C# -B +# œ +È ÐB -Ñ# C#
Î
Î ÐÑ#
ÐÑ#
ÐB -Ñ# C# œ %+# %+È ÐB -Ñ# C# ÐB -Ñ# C# - # B# #+# -B +% œ +# Ð ÐB -Ñ# C# Ñ B# Ð- # +# Ñ +# C# œ +# Ð- # +# Ñ , # B# + # C # œ + # , # B# +#
C# ,#
œ"Þ
Teor. 2 La ecuación de la Hipérbola de focos F" (0.-c) y F# (0,c) y diferencia constante 2a es: C# +#
B# ,#
œ " (2)
Demostración. Ejercicio. Obs. En el caso anterior las directrices corresponden a ecuaciones de la forma C œ /+ C œ + /Þ # La longitud del lado recto es: #,+ Þ
Teor. $ La ecuación de la hipérbola de centro C(h,k) y eje transverso paralelo al eje X,mayor paralelo al eje X, de longitud 2a y focos F" (h-c, k) y F# (h+c,k) es: (B - h)# +#
(C - k)# ,#
œ " (3)
donde ,# œ - # +# Þ
Demostración. Ejercicio. Teor. 4 La ecuación de la Hipérbola de centro C(h,k), eje trnsverso paraalelo al eje Y, de longitud 2a, con focos F" (h, k-c) y F# Ðh, k+c) es: (C 5 )# +#
(B 2)# ,#
œ"
Ð%Ñ
Demostración. Ejercicio.
Teor. 5 Toda hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados, tiene una representación algebraica de la forma: Ex# FC# HB IC J œ !
(5)
Y, toda ecuación como la anterior, representa una hipérbola, siempre que A y B tengan el mismo signo.
Demostración. Ê Basrta desarrollar las ecuaciones (3) y (4). É Completar cuadrados en x e y.