EL ESPACIO AFÍN. La recta y el plano. Introducción histórica Gaspard Monge (1746-1818), matemático francés, reintrodujo la geometría proyectiva, preocupándose por sus aplicaciones a la técnica y dando una fundamentación rigurosa a los métodos de la geometría descriptiva. Estableció, desde el análisis y el algebra, las relaciones existentes entre las propiedades de las ecuaciones diferenciales y sus entidades geométricas correspondientes. Vectores en el espacio Un vector
esta determinado por dos puntos del espacio, el origen
A y el extremo B.
La distancia entre ambos puntos A y B se llama modulo del vector y se designa por . Dirección de un vector es la de la recta en que se encuentra N. la de todas sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos:
es opuesto a
Diremos que dos vectores son iguales cuando tienen el mismo mรณdulo, la misma direcci6n y el mismo sentido. En tal caso, escribiremos:
=
Cada una de las flechas un mismo vector. 0 sea:
,
,
se llama representante de
Vector es todo un conjunto de flechas con los mismos mรณdulos, direcciรณn y sentido. Cual queramos usarlo, tomaremos alguno de sus representantes. Las operaciones entre vectores del espacio se definen de forma totalmente anรกloga a la expuesta para vectores del plano (Ver tema 8).
Al vector de m6dulo 0 cuyo origen y extremo coinciden -es un punto- se le llama vector centro
.
El conjunto de todos los vectores del espacio V, con la operaciรณn
interna definida en dicho conjunto (la suma de vectores) y con la ley de composición externa sobre el cuerpo de los números reales (el producto de un número por un vector), presenta las mismas propiedades ya vistas para los vectores del plano. Por tener estas propiedades, se dice que la terna (V3 + R) es un espacio vectorial. Combinación lineal
Dados tres vectores , y y tres números a, b y c el vector se dice que es una combinación lineal de los vectores , y . Ejemplo El vector de la figura
es combinacion lineal de
,
y
, por ser
Si a = 0 y h = 0, entonces , de donde deducimos que el vector cero es combinación lineal de cualquier trío de vectores. Dados tres vectores , y , no coplanarios -esto es, que no lo sean sus representantes con origen común-, pretendemos expresar otro vector como combinacion lineal de , y . Es decir, pretendemos encontrar tres números m, n y p tales que:
Seguimos el proceso descrito en el grafico anterior:
I Colocamos ,
,
,
con el origen común.
2. Trazamos unas rectas que contengan a los vectores ,
y
3. Por el extremo de trazamos paralelas a las rectas anteriores. Los puntos de corte determinan tres vectores ,, , y ,. 4. Como
,
tiene la misma dirección de . De la misma forma se tiene que tanto, podemos expresar de la forma
Además, sólo existe una única combinación lineal de , , .
forma
Efectivamente es así, pues si ocurriese que:
entonces:
, podemos escribir que y . Por lo
de
expresar
como
y el vector estaría en el plano determinado por la hipótesis.
y , en contra de
Por tanto, dados tres vectores no coplanarios , y , al vector corresponde una única terna de números (a, b, c) tal que
le
Coordenadas de un vector. Operaciones En el conjunto de vectores del espacio, se llama base a tres de ellos con distinta dirección. Si los tres vectores de la base son perpendiculares y tienen el mismo modulo, la base se llama ortonormal.
Dada una base B{ ,
, }, cualquier vector combinación lineal de los vectores de B:
puede ponerse como
A los números (a, b, c) se les llama coordenadas de expresa habitualmente =(a, b, c)
o bien
respecto de B. Se
(a, b, c)
Estudiamos ahora cual es el comportamiento de las coordenadas cuando multiplicamos un vector por un número o sumamos dos vectores.
Dada una base cualquiera, si las coordenadas de coordenadas de son (y1, y2, y3), se tiene que: las coordenadas de
+
son (x1, x2, x3) y las
son (x1+ y1 ,x2+y2 ,x3+y3)
las coordenadas de k son (kx1,k x2,k x3) las coordenadas de cualquier combinación lineal a +b son (ax1+ by1 ,ax2+by2 ,ax3+by3) Estos resultados nos permiten trabajar de forma cómoda y natural con las coordenadas de los vectores en lugar de hacerlo gráficamente.
Sistema de referencia Fijamos un punto 0 del espacio, que lo tomamos como centro de referencia y, así, cada punto P del espacio determina un vector = . Si, además de un punto fijo, O, tomamos una base B{ de vectores del espacio, a cada vector, , le corresponden unas coordenadas. Por tanto ocurre que: Un punto cualquiera del espacio. P con el origen, O. determina un vector,
, que a su vez en In base B{
coordenadas, Se llama R={
determina unas
, o bien, sistema de referencia formado por:
del
. espacio
al
conjunto
• Un punto fijo, 0, llamado origen. • Una base de los vectores del espacio Con ellos cada punto P del espacio determina un vector cuyas coordenadas respecto a la base se llaman las coordenadas del punto P respecto a R.
Ejemplo Tomamos un sistema de referencia del piano R={ Es decir, situamos un punto 0 y, con origen en él, tres vectores no coplanarios
Para facilitarnos la labor, trazamos tres ejes X, Y, Z que contengan a los vectores de la base. El punto señalado A(1,4,3) tiene esas coordenadas respecto al sistema de referencia porque el vector respecto de la base .
tiene esas mismas coordenadas
Un sistema de referencia se llama ortonormal cuando los tres vectores de la base tienen el mismo modulo y son perpendiculares entre sí. Es el sistema de referencia habitual por ser el más cómodo de utilizar y habitualmente lo notaremos por R = {O,{
}
En adelante siempre usaremos algún sistema de referencia formado por
un origen O y una base. Cuando no expresemos lo contrario, supondremos que la base es ortonormal.
Ejemplo Dibuja en un sistema de referencia correspondiente al punto P(3,3,4).
ortonormal
el
vector
Solución:
Problemas geométricos que se resuelven mediante vectores VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS: Dados los puntos
(a1, a2, a3) y
(b1, b2, b3), podemos escribir
; de ahí que las coordenadas del vector (b1- a1 , b2 - a2, b3- a3)
sean
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: El punto medio de un segmento AB es M si ocurre que:
Por tanto,
AB, es decir:
Luego el punto medio M de segmento AB es
SIMETRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO: El simétrico de A respecto a B es S si B es el punto medio del segmento AS. Por tanto:
Como a1 y b1 son conocidas, se despeja s1 de la igualdad . El procedimiento es análogo para s 2 y s3.
Ecuaciones de la recta Sea una recta r, de la que se conocen un punto A(a 1,a2,a3) y un vector de dirección (v1,v2, v3).
Para un punto cualquiera X (x, y,z) de la recta r se tiene que: o bien que, escrita en coordenadas es:
y recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r. Igualando componente a componente en la expresión anterior obtenemos:
que son las ecuaciones paramétricas de la recta r. Despejando el parámetro en las tres igualdades anteriores se tiene:
de donde
que es la ecuaci贸n continua de la recta r.
Ecuaciones del Plano
Sea un plano π del que se conocen un plano A(a1,a2,a3) y dos vectores no paralelos (u1,u2, u3) y (v1,v2, v3). Para un punto genérico X(x,y,z) del plano de la figura se tiene que:
es un vector del plano π luego
y por tanto
Que escrito en coordenadas:
(a1,a2,a3) + λ (u1,u2, u3) + μ(v1,v2, v3)
Que es la ecuación vectorial del plano. Igualando componente a componente se tiene:
Que son las ecuaciones paramétricas del plano.