Administración
Duración
: 100 minutos
MATEMÁTICA I ASESORÍA ACADÉMICA EVALUACIÓN CONTINUA 1 MATEMÁTICA2020-0 I - COLLEGE ALGEBRA I
Instrucciones: Se permite el uso de calculadora, se prohíbe el uso de todo tipo de material de consulta. Todos los procedimientos se realizan en el cuadernillo cuadriculado. Únicamente está permitido el uso de lapicero azul o negro. Al finalizar la evaluación los estudiantes deberán entregar tanto la hoja de preguntas como el cuadernillo. 1. El profesor de Matemática I propone la siguiente situación: “JR SAC es una empresa dedicada a la venta de artículos de cocina y estima que si se vende cada docena a p soles, luego la cantidad (q) semanal demandada de docenas de artículos se define de la siguiente manera p = 30 − 0, 1q " Dos estudiantes realizan las siguientes afirmaciones: Pablo asevera “Si se venden por lo menos 270 docenas de artículos de cocina, luego los ingresos superan los 810 soles” Junior afirma: “Si los ingresos superan los 2000 soles semanales luego la máxima cantidad de artículos demandados alcanzan los 200 docenas” [3p] ¿Las afirmaciones realizadas por los estudiantes son verdaderas o falsas? Justifique.
[CM]
Pablo (Falso)
q
Si la q superan los
p
I
270 271
3 2,9
810 785,9
272 273
2,8 2,7
761,6, 737,1
270 los ingresos no superan los 810 soles.
Junior (verdad) Si los ingresos superan los
2000 soles semanales
Luego
I ≥ 2000 30q − 0, 1q 2 ≥ 2000 0, 1q 2 − 30q + 2000 ≤ 0 100 ≤ q ≤ 200 La máxima cantidad demandada alcanza las
200 docenas.
2. Un fabricante de una prestigiosa marca de lentes de sol con protección UV pueden vender cada unidad de su producción a 52 dólares. Al producir x unidades, el costo (C) se estima por
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C = 30000 + 20x + 0, 002x2. Actualmente se producen y venden semanalmente 2000 lentes de sol con protección UV. a. [2p] Determine la utilidad por la venta de x lentes de sol con protección UV. [MR] b. [1p] Calcule la cantidad lentes de sol con protección UV que se debe vender a la semana para obtener alguna utilidad. [EC] c. [2p] " Si la producción y venta diaria de lentes de sol con protección UV aumentan en 1000 lentes diarios adicionales, luego la utilidad aumenta de manera considerable" ¿Está usted de acuerdo con la afirmación? Justifique. [CM] Prob. 2 2a)
C = 3000 + 20x + 0, 002x2 I = 52x U =I−C U = 52x − (30000 + 20x + 0, 002x2 ) = 32x − 0, 002x2 − 30000 2b) U
> 0 ⇒ 32x − 0, 002x2 − 30000 > 0 ⇒ 1000 < x < 15000
2c) Actualmente x Cambio x
= 2000 ⇒ I = 104000; C = 78000; U = 26000
= 3000 ⇒ I = 156000; C = 108000; U = 48000
Notamos que el cambio de la utilidad resulta en
22000 casi 85% es decir es considerable.
3. [2p] Determine una inecuación polinómica cuyo conjunto solución sea:
]−∞; −2] ∪ [0; 5]∪ {-1} Una inecuación:
[MR]
(x + 2)(x + 1)2 (x − 5) ≤ 0
4. Una prestigiosa heladería atiende todos los meses del año. Se sabe que actualmente se venden 300 helados diarios al precio de S/8 cada uno; sin embargo los gastos por cada helado llegan a S/2. Por temporada de verano el administrador decide variar el precio de los helados gradualmente y observa que por cada 50 céntimos que se agrega al precio, la cantidad diaria de venta se reduce en 5 helados. a) [1p] Determine la inecuación en función del precio que permita obtener una utilidad que supere los S /2990. [MR] b) [2p] Calcule el máximo precio que permita obtener una utilidad que supere los S /2990. q 300
p 8
295
8,5
q−300 p−8 = −0,5 5
[EC]
⇒ q = −10p + 80 + 300
U =I−C
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U = p q − 2q = (p − 2)(380 − 10p ) a) Inecuación
U ≥ 2990 (p − 2)(380 − 10p ) ≥ 2990 b)15 ≤ p
≤ 25
5. Resuelva los siguientes ítems a. [2p] Una editorial encomienda a una imprenta particular que empaste cada libro producido, a un costo de S /2, 75. El departamento de logística sugiere que la misma editorial sea la que empaste sus libros. Para ello, se deberá instalar una máquina encuadernadora automática que incrementará los costos fijos de la empresa en S /2000 al mes, mientras que el costo por empastado alcanzaría S /1, 5 por cada libro.Si la editorial desea tomar una decisión por alguna de las opciones de empastado, calcule la cantidad mínima de libros, con tal que sea más conveniente optar por la máquina encuadernadora automática. [EC] (3 − 5 x ) (2 x − 8 ) x [EC] b. [1p] < ≤3− 2 4 (x 4 −16) c. [2p] 4 ≥ (x −34x 2 +225 )
2
[EC]
0
d. [2p] Si x es un número real, calcule el menor número m tal que 10x a) 2000 + 1, 5x
− x2 ≤ m − 1 [EC]
< 2, 75x
1600 < x La cantidad mínima de libros es
b) 3−5x
c)
<
( 2x−8) 4
≤3−
x 2
( x2 +4) ( x+2) ( x−2) ≥ ( x−3) ( x+3) ( x+5) ( x−5)
0
2
⇒
1601 7 6
< x≤5
x ∈] − ∞; −5[ ∪] − 3; −2] ∪[2; 3[ ∪]5; +∞[
d) m ≥ −x2
+ 10x + 1
m ≥ 26 − (x − 5)2 mínimo valor de m es
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