Trabajo colaborativo II - M1-CA1 Portafolio virtual
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: Una empresa dedicada a la exportación de perfumes, va a lanzar al mercado una nueva lı́nea de colonias para niños. Para el diseño de la caja ha enviado los siguientes requerimientos al departamento de envases y embalajes: • Capacidad: 256 cm3 • Base rectangular cuyos lados están en la relación de 2 a 1. • El costo del material para la base y tapa es de S/ 3 por cm2 y para las caras laterales es de S/ 2 por cm2 . Suponiendo que Ud. es el responsable de determinar las dimensiones de las cajas que minimicen el costo, indique su propuesta.
Problema 2: Para poder vender q unidades de su producto diariamente, una empresa de embutidos debe gastar C dólares semanales en publicidad, en donde 400 C (q) = 200 ln 500 − q Los embutidos se venden a US$ 5 la unidad. Con estos datos, determine: a. La función utilidad. b. El nivel de artı́culos vendidos que maximiza la utilidad. Verifique la maximización, indicando el criterio que usó. c. La utilidad máxima.
Problema 3: Calcule las derivadas parciales de cada una de las siguientes funciones y luego evalúelas en los puntos indicados: ∂f ∂f 1. f (x, y ) = (3x 2 − 2xy + 5y 2 ), ∂x (1, −1) y ∂y (−1, 2) . p 3 ∂f ∂f 2. f (x, y ) = x 3 + y 3 , ∂x (1, 0) y ∂y (0, −1). p ∂f ∂f 3. f (x, y ) = ln x + x 2 + y 2 , ∂x (3, 4) y ∂y (4, 3). p ∂f ∂f 4. f (x, y , z) = ln x 2 + y 2 + z 2 , ∂x (1, 0, 0), ∂y (0, −1, 0) y ∂f ∂z (0, 0, 2).
Problema 4: Si las variables x e y representan las cantidades, mientras que p y q representan los precios correspondientes, respectivamente, de los siguientes pares de funciones demanda. a. x = qp , b. x =
4 p2 q ,
p2 q . 16 = pq 2.
y= y
Para cada uno de los pares dados, determine 1. las cuatro demandas marginales. 2. si cada una corresponde a bienes complementarios o bienes sustitutos.
Problema 5: Con x trabajadores calificados e y trabajadores no calificados, un fabricante puede producir Q(x; y ) = 10x 2 y unidades por dı́a. En la actualidad hay en la empresa 20 trabajadores calificados y 40 no calificados. • Determine cuántas unidades se producen cada dı́a. • Determine en cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador calificado a la fuerza laboral actual. • Determine en cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual. • Determine en cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel diario de producción si se adiciona un trabajador calificado y uno no calificado a la fuerza laboral actual.
Problema 6: En cierta fábrica la producción diaria (en unidades) está dada por P(K ; L) = 60K 1/2 L1/3 , La variable K representa la inversión de capital medida en miles de soles y L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas – hombre/dı́a. Actualmente la inversión de capital es de S/900 000 y se emplea 1000 horas – hombre/dı́a. Calcule la variación aproximada de la producción cuando el capital sea de S/ 90 5000 y la mano de obra sea de 1003 horas – hombre/dı́a.
Problema 7: Si w (x, y , z) = ln(x 2 + y 2 + z 2 ), x = ut v , y = vt u y z = uvt ∂w ∂w , y . ∂u ∂v ∂t b. Evalúe las tres derivadas parciales del item anterior en u = v = t = 1. a. Determine las derivadas parciales
∂w
Problema 8: Un distribuidor de bicicletas ha descubierto que si las bicicletas de 10 velocidades se venden a x dólares cada una y el precio de la gasolina es y centavos por galón, cada mes de venderán aproximadamente √ f (x, y ) = 200 − 24 x + 4(0, 1y + 5)3/2 bicicletas. Se estima que dentro de t meses las bicicletas se venderán a x = 129 + 5t dólares cada una y el precio de la gasolina será √ y = 80 + 10 3t centavos por galón. Calcule a qué razón cambiará aproximadamente la demanda mensual de bicicletas con respecto al tiempo dentro de 3 meses
Problema 9: Un distribuidor vende dos marcas de pintura. Se sabe que si la primera marca se vende a x1 soles por galón y la segunda a x2 soles por galón, la demanda de la primera marca será q1 (x1 , x2 ) = 200 − 10x1 + 20x2 galones por mes y la demanda de la segunda marca será q2 (x1 , x2 ) = 100 + 5x1 − 10x2 galones por mes. a. Determine el ingreso total mensual del distribuidor debido a la venta de las dos pinturas como una función de los precios x1 y x2 . b. Calcule cuál será la variación real del ingreso cuando el precio de la primera pintura pase de 5 a 5.20 soles por galón y el de la segunda de 6 a 5,80 soles por galón. c. Con los datos expuestos en el ı́tem anterior, determine la variación aproximada del ingreso.
Problema 10: La producción de una compañı́a, en miles de unidades, es modelada por la función p P(x, y ) = 2x 3 + 3y 2 + 15, Considere que las variables x e y representan los gastos mensuales (en miles de soles) en publicidad y mano de obra, respectivamente. Actualmente se invierten S/ 3000 mensuales en publicidad y S/ 5000 en mano de obra. a. Calcule la producción actual. ∂P
(3, 5) y
∂P
(3, 5). ∂x ∂y c. Interprete, en el contexto del problema, el valor de las derivadas parciales halladas en el ı́tem anterior.
b. Calcule las derivadas parciales
d. Utilizando diferenciales, estime la variación aproximada en la producción, si la compañı́a aumenta la inversión en publicidad a S/3500 y aumenta la inversión en mano de obra a S/6000.