Taller de Reforzamiento M2-CA2 2020-2
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1 El costo (en soles) de producir q millares de un cierto producto es: C (q) = 600 + 60q + 1, 2q 2 + 0, 02q 3 El precio p, en soles, al que se venden q millares del producto está dado por la relación: p = 1500 − 3q a) Calcule el número de millares que deben venderse para que el ingreso sea máximo. b) Calcule la elasticidad cuando las ventas alcancen un ingreso máximo. c) Calcule el nivel de producción que maximiza la utilidad. d) Calcule el precio que maximiza la utilidad.
Solución del problema 1: a) I = (1500 − 3q)q = 1500q − 3q 2 Nos piden analizar la producción para I máx. Punto cr´ı́tico:I 0 = 1500 − 6q = 0 → q = 250 millares del producto. Comprobación: I 00 = −6 en q = 250, I 00 < 0 ( máximo relativo). p dq 750 −1 b) En q = 250 → p = 750, n = . →n= . = −1 q dp 250 3 c) U = I − C U = (1500q − 3q 2 ) − (600 + 60q + 1, 2q 2 + 0, 02q 3 ) U = 1440q − 4, 2q 2 − 0, 02q 3 − 600 U 0 = 1440 − 8, 4q − 0, 06q 2 Punto crı́tico U 0 = 0 → q = 100 Comprobación: q = 100, → U 00 < 0 El nivel de producción es 100 millares del producto. d) Demanda:p = 1500 − 3q, en q = 100 → p = 1200 soles.
Problema 2 “A los precios de venta unitarios p1 y p2 se demandan dos artı́culos q1 y q2 , según: q1 = −2p1 − 7p2 + 8 y q2 = 3p1 − p2 + 7” Respecto a los efectos de los cambios de los precios sobre la demanda para dichos artı́culos. Los estudiantes Juan, Rosa y Pilar afirman: ∂q1 • Juan: ”Como = −7, luego los artı́culos son bienes sustitutos”. ∂p2 ∂q2 • Rosa: ”Al calcular resulta el valor 3, luego la demanda del ∂p1 segundo artı́culo aumenta a medida que el precio del segundo artı́culo también aumenta”. ∂q2 • Pilar: ”Se observa que = −1, y esto implica que la demanda del ∂p2 segundo artı́culo disminuye a medida que el precio del mismo artı́culo aumenta, siempre que el precio del primer artı́culo sea constante”. A su juicio, ¿las afirmaciones de los estudiantes son verdaderas o falsas? Justifique.
Resolución del problema 2: Juan (Proposicion falsa) ∂q1 ∂q2 >0y >0 ∂p2 ∂p1 De acuerdo a los datos no se cumple la condición. Rosa (Proposicion falsa) ∂q2 =3 ∂q1 La demanda del segundo artı́culo aumenta a medida que aumenta el precio del primer artı́culo; siempre que el precio del segundo artı́culo sea CONSTANTE. Pilar (Proposicion Verdadera) ∂q2 = −1 ∂p2 Si los bienes son sustitutos, entonces
Problema 3 La función de costos C para producir qA unidades de A, qB unidades de B y qE unidades de E, está definida por por la siguiente relación: q 3C 2 − 5C + qE = 8 + qA (3 + qB2 ) Calcule los costos marginales con respecto a qA y qB cuando qA = 2, qB = 1 y qE = 0
Resolución del problema 3: Definimos: F = 3C 2 − 5C + qE − 8 − qA (3 + qB2 )1/2 , tal que F (C ; qA ; qB ; qE ) = 0 ∂F (3 + qB2 )1/2 ∂C ∂qA =− y = ∂F ∂qA 6C − 5 ∂C ∂F ∂C qA × qB × (3 + qB2 )−1/2 ∂q =− B = ∂F ∂qB 6C − 5 ∂C Reemplazando los valores qA = 2, qB = 1 y qE = 0, en la ecuación, tenemos 3C 2 − 5C − 12 = 0 → C = 3 (no hay costos negativos). Reemplazando en la derivada parcial respectiva, tenemos ∂C 2 ∂C 1 = y = . ∂qA 13 ∂qB 13
Problema 4 JR SAC es una empresa agrı́cola que se dedica al cultivo de maı́z que vende y distribuye en avı́colas de cierta región del paı́s. La producción se modela por: Q(L; K ) = 252L1/3 K 2/3 toneladas mensuales de maı́z Considere que la variable L representa el número de trabajadores y K el número de equipos de maquinaria pesada para su cultivo y producción. Actualmente la empresa cuenta con 343 trabajadores y 64 equipos de maquinaria pesada. ∂Q (L; K ) y (L; K ) ∂L ∂K b Si el próximo mes, 7 trabajadores dejarán de trabajar, por lo que la empresa alquilará 3 equipos más de maquinaria pesada; calcule la variación real de la producción. a Determine
∂Q
Resolución del problema 4: a Las derivadas parciales son: !2/3 ∂Q K ∂Q (L; K ) = 84 y (L; K ) = 168 ∂L L ∂K
K
!1/3
L
b Con los cambios, se tiene lo siguiente: L K Q 343 64 28224 336 67 28899,93294 La producción mensual aumentará aproximadamente en 675, 93 toneladas mensuales de maı́z.
Problema 5 Una dulcerı́a está dedicada a la producción y venta de mermeladas de manzana e higo. La administración establece los costos de producción de cada frasco de mermelada de manzana en 4 soles y el de higo es de 6 soles; además las demandas mensuales (en miles de frascos) de la mermelada de manzana e higo son: qA = 78 − 6pA − 3pB y qB = 66 − 3pA − 6pB , respectivamente. Donde pA y pB representan los precios unitarios de venta (en soles) de los frascos de mermelada de manzana e higo, respectivamente. a) Modele la utilidad U, en función de los precios unitarios de venta. ∂U (5; 6) b) De acuerdo al ı́tem anterior, interpréte el valor de ∂pB c) Calcule la máxima utilidad.
Solución del problema 5: a) Tenemos: I (pA ; pB ) = (78 − 6pA − 3pB )pA + (66 − 3pA − 6pB )pB C (pA ; pB ) = 4(78 − 6pA − 3pB ) + 6(66 − 3pA − 6pB ) La utilidad está definida por: U(pA ; pB ) = 120pA − 6pA pB − 6pA2 + 114pB − 6pB2 − 708, de donde ∂U b) = 114 − 12pB − 6pA Reemplazando en pA = 5, pB = 6 ∂pB ∂U (5; 6) = 12 ∂pB Manteniendo el precio delos frascos de mermelada de de manzana en 5 soles, luego al aumentar el precio del frasco de mermelada de higo en 1 sol, entonces las utilidades aumentan en 12 miles de soles.
Problema 6 Dadas las matrices A, B y C 2 3 −1 1 4 −12 3 −5 2 4 A= 4 0 0 −7 B = 3 −1 2 6 −8 7 0 4 2 6 " # 0 1 −1 C= 4 −2 −3 Indique la verdad de las siguientes proposiciones: a) No existe el producto CA. b) El producto BA existe y es una matriz 4 × 4 c) Existe el producto CB t d) Existe el determinante de AB e) No existe el determinante de B t At