Asesorı́a académica VI M2-CA2 2020
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: El docente de Matemática II, propuso la siguiente pregunta: ”La utilidad de la empresa está representada por U(x; y ; z) y siempre resultó positiva. Las variables x, y y z representan las cantidades de fabricación y venta de sus artı́culos A, B yC , respectivamente. Además, Ux = 100 − 6x + 4y , Uy = 380 + 4x − 10y , Uz = 242 − 2z 2 . Respecto del punto crı́tico, tres estudiantes afirmaron lo siguiente: • Iván: ”No se puede afirmar nada acerca de la naturaleza del punto crı́tico, puesto que no se conoce la regla de correspondencia de U ”. • Ana: ”En el punto crı́tico, la utilidad alcanza un mı́nimo relativo, ya que Uxx es negativo”. • Juan: ”El punto crı́tico de la utilidad es un punto silla, puesto que el determinante de la matriz hessiana es negativa”. Analice las respuestas y determine si alguno de ellos contestó correctamente.
Problema 2: JH SRL es una compañı́a que elabora y exporta galletas de vainilla, chocolate y miel. Los precios por caja de cada tipo de galleta son x, y yz soles, respectivamente. El departamento de producción ha determinado que la utilidad total U, expresada en dólares, se define por: U(x; y ; z) = 1200 + 16y + 27x + xy − y 2 − 2x 2 + 48z − z 3
a) Determine los precios de cada caja de galletas a fin de que la utilidad sea máxima. Justifique su respuesta. b) Calcule la utilidad máxima.
Problema 3: JR S.R.L. es una dulcerı́a dedicada a la producción y venta de mermeladas de manzana e higo. La gerencia estima que los costos de producción de cada frasco de mermelada de manzana es de 4 soles y el de higo es de 6 soles; además las demandas mensuales (en miles de unidades) de la mermelada de manzana y higo vienen dadas por:qA = 78 − 6pA − 3pB y qB = 66 − 3pA − pB , respectivamente. Donde pA y pB representan los precios unitarios de venta (en soles) de las mermeladas de manzana y higo, respectivamente. a) Modele la matriz hessiana de la utilidad, en función de los precios unitarios de venta. b) Calcule las demandas mensuales que maximizan dicha utilidad. Justifique su respuesta.
Problema 4: Una fábrica de laptops tiene dos plantas de producción A y B. La gerencia ha determinado que el costo total de fabricación (en soles) está definido por: C (q1 ; q2 ) = 4q12 + q1 q2 + 2q22 + 800 Donde q1 y q2 son cantidades producidas en las plantas A y B, respectivamente. a) Si la fábrica tuviera un pedido de 400 laptops, modele la función de Lagrange que permita obtener el costo mı́nimo. b) A partir del ı́tem anterior (a), calcule las cantidades de laptops que se deben fabricar en cada planta de modo que el costo total sea mı́nimo. Justifique. c) Con respecto a las segundas derivadas Suponga que para el próóximo mes la empresa cuenta con 303400 soles para afrontar los costos, ¿cuál será la máxima cantidad de laptops que la fábrica podrı́a producir?