Integración por fracciones parciales MATEMÁTICA II
Universidad San Ignacio de Loyola
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Analice y responda El transporte rápido a dos ciudades es, sin lugar a dudas, el transporte aéreo siempre que exista el respectivo aeropuerto. Suponga que desde el aeropuerto de Lima hay dos rutas de vuelo: una con destino a la capital de Arequipa y otra a Caylloma.Ahora, es evidente que desde el aeropuerto de Caylloma pueden salir vuelos parciales a Arequipa y viceversa.
¿Qué ventajas encuentra usted en la construcción de aeropuertos sepaados a distancias pequeñas? Universidad San Ignacio de Loyola
Discusión y debate
Tomando en cuenta los costos de construcción de aeropuertos, ¿considera beneficioso iniciar la construcción de aeropuertos, de manera parcial, separados a grandes distancias, en lugar de aeropuertos ubicados a distancias pequeñas?
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Logros
Aplica la integración por fracciones parciales en la solución de problemas de contextos intra y extra matemáticos, lo cual se evidencia en lo siguiente: • El tema aborda una estrategia de solución de integrales de funciones polinómicas expresadas como cocientes. • El contenido permite gestionar procesos de cálculo del análisis marginal y razón de cambio.
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Material complementario
Aula Virtual Los alumnos deben revisar y estudiar el material complementario, los ejercicios, problemas contenidos en los foros de reforzamiento virtual de MatemaĚ tica II a modo de entrenamiento y cumplir responsablemente las horas de aprendizaje autoĚ nomo.
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Fracciones parciales e integrales racionales
El meĚ todo de las fracciones parciales se utiliza cuando se presenta una integral de la forma: Z P (x) dx Q(x) En donde P (x) y Q(x) son polinomios, siendo el grado de P (x) menor que el grado de Q(x), con el objetivo de reducir la integral dada a una suma de integrales maĚ s simples.
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Fracciones parciales e integrales racionales Observación Cuando el grado de P (x) es mayor que o igual al grado de Q(x), entonces, por el algoritmo de la división, existen polinomios M (x) entre R(x) tal que: P (x) = Q(x)M (x) + R(x) En donde el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). De esta manera tenemos que: Z
P (x)
dx = Q(x)
Z
Z M (x)dx +
R(x) Q(x)
dx
Aplicando el método de integración por fracciones parciales a la integral del lado derecho reduciendo ası́ este caso al método descrito. Universidad San Ignacio de Loyola
Actividad de aula
Ejemplo 1 Identifique en cuál de las siguientes integrales se usa el método de las fracciones parciales Z x − 12 • dx 2 x +x−6 √ Z x−1 • √ dx x+ x−4 Z x−1 + 5 • dx x−2 − 4ex Z dx • dx x2 − 4
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Solución Z
x − 12 dx se usa el método de las fracciones x2 + x − 6 parciales, porque P (x) = x − 12 y Q(x) = x2 + x − 6 son polinomios con grado de Q(x) mayor al grado de P (x) √ Z x−1 • En la integral √ dx no se usa el método de las fracciones x+ x− √4 parciales, porque P (x) = x + 5 no es polinomio. Z x−1 + 5 • En la integral dx no se usa el método de las fracciones x−2 − 4ex −1 parciales, porque P (x) = x + 5 no es polinomio. Z dx • En la integral dx se usa el método de las fracciones parciales, x2 − 4 porque P (x) = 1 y Q(x) = x2 − 4 son polinomios con grado de Q(x) mayor al grado de P (x) • En la integral
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Fracciones parciales e integrales racionales
¿Como se utiliza el método? En el presente sesión, solo consideraremos dos casos: • Cuando Q(x) se descompone en factores lineales simples • Cuando Q(x) se descompone en factores lineales repetidos
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Caso I: Cuando Q(x) se descompone en factores lineales simples
Es decir: Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )...(an x + bn ) Bajo esta condición, el método de las fracciones parciales muestra que existen constantes reales A1 , A2 , . . . , An , tales que: P (x) Q(x)
=
A1 a1 x + b1
+
A2 a2 x + b2
+ ··· +
An an x + bn
Luego, usando linealidad de la antiderivada, tenemos: Z
P (x) Q(x)
Z dx = A1
dx a1 x + b1
Z + A2
dx a2 x + b2
Z + · · · + An
dx an x + bn
En donde las antiderivadas del lado derecho ya son fáciles de ser calculadas. Veamos algunos ejemplos que ilustren la aplicación del método.
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Actividad de aula
Ejemplo 2 Sea f una función defnida por f (x) =
3x − 3 x2 − 4x − 5
a) Exprese la función f como suma de fracciones parciales Z b) Evalúe f (x)dx
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Solución: f (x) =
3x − 3 x2 − 4x − 5
= = =
3x − 3 (x − 5)(x + 1) α(x − 5) + β(x + 1) (x − 5)(x + 1) α x+1
+
β x−5
En la identidad: 3x − 3 = α(x − 5) + β(x + 1) • Evaluando en x = 5, se tiene que β = 2 • Evaluando en x = −1, se tiene que α = 1 Integrando: Z
3x − 3 x2 − 4x − 5
1
Z dx =
x+1
Z dx +
2 x−5
dx
= ln |x + 1| + 2 ln |x − 5| + C; C ∈ R Universidad San Ignacio de Loyola
Actividad de aula
Ejercicios Determine Z 5x + 10 dx a) 2 x +x−6 Z 48 b) dx 3 x − 2x2 − 24x Z 6x2 + 4 c) dx x3 + x
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Caso II: Cuando Q(x) se descompone en factores lineales repetidos
Supongamos que Q(x) tiene como uno de sus factores a (ax − b)n , (con n > 2). En este caso, el método de las fracciones parciales afirma que existen constantes A1 , A2 , . . . , An , tales que: 1 (ax +
b)n
=
A1 ax + b
+
A2 (ax +
b)2
+ ··· +
An (ax + b)n
Si los demás factores son todos lineales y no repetidos, entonces le aplicamos el procedimiento anterior.
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Actividad de aula Ejemplo 3 Integrar: x
Z
(x + 1)2
dx
Solución: Se observa por fracciones parciales que: x (x +
1)2
=
A x+1
+
B (x + 1)2
De donde: x = A(x + 1) + B • Evaluando en x = −1, se tiene que B = −1 • Evaluando en x = 0, se tiene que A = 1 Universidad San Ignacio de Loyola
Actividad de aula Ejemplo 3 Integrar: x
Z
(x + 1)2
dx
Solución: Se observa por fracciones parciales que: x (x +
1)2
=
A x+1
+
B (x + 1)2
De donde: x = A(x + 1) + B • Evaluando en x = −1, se tiene que B = −1 • Evaluando en x = 0, se tiene que A = 1 Universidad San Ignacio de Loyola
Actividad de aula Ejemplo 4 Integrar: Z
x3 + 1 x(x − 1)3
dx
Solución: Se observa por fracciones parciales que: x3 + 1 A B C D = + + + 3 2 x(x − 1) x x − 1 (x − 1) (x − 1)3 De donde: x3 + 1 = A(x − 1)3 + Bx(x − 1)2 + Cx(x − 1) + Dx • Evaluando en x = 0, se tiene que A = −1 • Evaluando en x = 1, se tiene que D = 2 Universidad San Ignacio de Loyola
Actividad de aula Ejemplo 4 Integrar: Z
x3 + 1 x(x − 1)3
dx
Solución: Se observa por fracciones parciales que: x3 + 1 A B C D = + + + 3 2 x(x − 1) x x − 1 (x − 1) (x − 1)3 De donde: x3 + 1 = A(x − 1)3 + Bx(x − 1)2 + Cx(x − 1) + Dx • Evaluando en x = 0, se tiene que A = −1 • Evaluando en x = 1, se tiene que D = 2 Universidad San Ignacio de Loyola
• Evaluando en x = 2, se tiene que 9 = A + 2B + 2C + 2D, reemplazando lo valores de A y D se tiene que 2B + 2C = 6 • Evaluando en x = −1, se tiene que 0 = −8A − 4B + 2C − D, reemplazando lo valores de A y D se tiene que 4B − 2C = 6 Resolviendo el sistena de ecuaciones: 2B + 2C = 6 4B − 2C = 6 Se obtiene que B = 2 y C = 1. Reemplazando los valores de A = −1, B = 2, C = 1 y D = 2 se tiene: 1 2 1 2 x3 + 1 =− + + + x(x − 1)3 x x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3
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Integrando: Z
x3 + 1 dx = x(x − 1)3
Z
Z Z Z 1 2 2 1 − dx + dx + dx dx + x x−1 (x − 1)2 (x − 1)3 Z Z Z Z 1 1 1 1 =− dx + 2 dx dx + 2 dx + x x−1 (x − 1)2 (x − 1)3 Z Z = − ln |x| + 2 ln |x − 1| + (x − 1)−2 dx + 2 (x − 1)−3 dx = − ln |x| + 2 ln |x − 1| − (x − 1)−1 + 2 = − ln |x| + 2 ln |x − 1| −
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(x − 1)−2 −2
1 1 + +C x−1 (x − 1)2
Reemplazando: x (x + 1)2
=
1 x+1
−
1 (x + 1)2
Integrando: Z
x (x + 1)
1
Z dx = 2
x+1
= ln |x| +
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1
Z dx − 1 x+1
(x + 1)2 +C
dx
Ejercicios de repaso Ejemplo 1 Determine: Z
dx x2
−4
Solución: Se observa por fracciones parciales que: 1 x2
−4
=
1 (x − 2)(x + 2)
=
A x−2
+
De donde: 1 = A(x + 2) + B(x − 2) • Evaluando en x = 2, se tiene que A = 1/4 • Evaluando en x = −2, se tiene que B = −1/4 Universidad San Ignacio de Loyola
B x+2
Ejercicios de repaso Ejemplo 1 Determine: Z
dx x2
−4
Solución: Se observa por fracciones parciales que: 1 x2
−4
=
1 (x − 2)(x + 2)
=
A x−2
+
De donde: 1 = A(x + 2) + B(x − 2) • Evaluando en x = 2, se tiene que A = 1/4 • Evaluando en x = −2, se tiene que B = −1/4 Universidad San Ignacio de Loyola
B x+2
Reemplazando: 1 x2
−4
=
1
1 1 1 − 4x − 2 4x + 2
Integrando: Z
1
Z 1 1 1 dx − dx 4x − 2 4x + 2 Z Z 1 1 1 1 = dx − dx 4 x−2 4 x+2 Z
dx = x2 − 4
=
1 4
1
ln |x − 2| −
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1 4
ln |x + 2| + C
Ejercicios de repaso Ejemplo 2 Determine: x
Z 2x2
+ 3x − 9
dx
Solución: Se observa por fracciones parciales que: x x2
+ 3x − 9
=
x (2x − 3)(x + 3)
=
A 2x − 3
De donde: x = A(x + 3) + B(2x − 3) 3 1 • Evaluando en x = , se tiene que A = 2 3 1 • Evaluando en x = −3, se tiene que B = 3 Universidad San Ignacio de Loyola
+
B x+3
Ejercicios de repaso Ejemplo 2 Determine: x
Z 2x2
+ 3x − 9
dx
Solución: Se observa por fracciones parciales que: x x2
+ 3x − 9
=
x (2x − 3)(x + 3)
=
A 2x − 3
De donde: x = A(x + 3) + B(2x − 3) 3 1 • Evaluando en x = , se tiene que A = 2 3 1 • Evaluando en x = −3, se tiene que B = 3 Universidad San Ignacio de Loyola
+
B x+3
Reemplazando: x x2
+ 3x − 9
=
1 1 1 1 · + · 3 2x − 3 3 x + 3
Integrando: Z
x x2 + 3x − 9
Z 1 1 1 1 · dx + · dx 3 2x − 3 3 x+3 Z Z 1 1 1 1 = dx + dx 3 2x − 3 3 x+3 1 11 ln |2x − 3| + ln |x + 3| + C = 32 3 1 1 = ln |2x − 3| + ln |x + 3| + C 6 3 Z
dx =
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Ejercicios de repaso Ejemplo 3 La función de utilidad marginal (en soles por unidad) para el producto de 1 un fabricante está dada por Umg (q) = 2 soles por unidad. q + 3q + 2 Modele la función utilidad si se sabe que, cuando se vende 10 unidades, la utilidad es 50 soles. Solución: Se sabe que: Z U (q) =
Z Umg (q)dq =
q2
1 dq + 3q + 2
Por fracciones parciales se tiene: q2
1 1 A B = = + + 3q + 2 (q + 1)(q + 2) q+1 q+2 Universidad San Ignacio de Loyola
Ejercicios de repaso Ejemplo 3 La función de utilidad marginal (en soles por unidad) para el producto de 1 un fabricante está dada por Umg (q) = 2 soles por unidad. q + 3q + 2 Modele la función utilidad si se sabe que, cuando se vende 10 unidades, la utilidad es 50 soles. Solución: Se sabe que: Z U (q) =
Z Umg (q)dq =
q2
1 dq + 3q + 2
Por fracciones parciales se tiene: q2
1 1 A B = = + + 3q + 2 (q + 1)(q + 2) q+1 q+2 Universidad San Ignacio de Loyola
De donde: 1 = A(q + 2) + B(q + 1) • Evaluando en q = −1, se tiene que A = 1 • Evaluando en q = −2, se tiene que B = −1 Reemplazando: 1 1 1 = − q 2 + 3q + 2 q+1 q+2 Integrando: Z
Z 1 1 1 dq = − dq q 2 + 3q + 2 q+1 q+2 Z Z 1 1 U (q) = dq − dq q+1 q+2
U (q) =
U (q) = ln |q + 1| − ln |q + 2| + C
q + 1
+C U (q) = ln
q + 2
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Para determinar la constante utilizamos la condición U (10) = 50. Reemplazando en la utilidad se tiene:
11
50 = U (10) = ln
+ C ⇒ C = 50 − ln(11/12) 12 Por lo tanto:
q + 1
+ 50 − ln(11/12)
U (q) = ln
q + 2
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Actividad colaborativa 1. Calcule las constantes A y B tales que: 2x − 5 x2
− 5x + 4
=
A x−1
+
B x−4
2. Usando el resultado anterior, determine: 2x − 5
Z x2
− 5x + 4
dx
3. Determine, a partir de la integral obtenida y una sustitución adecuada, la integral: 2x3 − 5x
Z
x4 − 5x2 + 4 Universidad San Ignacio de Loyola
dx
Actividad Autónoma 1. Resuelva la siguiente integral indefinida (mostrando los Z
dx 25 − 4x2
2. Resuelva la siguiente integral indefinida (mostrando los pasos de la resolución): Z 1 dx (x + 2)(x − 3) 2. Resuelva la siguiente integral indefinida (mostrando los pasos de la resolución): Z x+5 dx (x − 1)(x + 2)(x − 3)
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Main bibliography Haeussler, Ernest F (2008). Matemáticas para administración y economı́a México,D.F.:: Pearson Arya, Jagdish C NMatemáticas aplicadas a la administración y a la economı́a . México D.F.:Pearson Educación. Larson, Ron Cálculo. Ron Larson The Pennsylvania State University. The Behrend College, Bruce Edwards. University of Florida; Figueroa G., R Geometrı́a analı́tica R. Figueroa G (3ra). Lima: s.e.. Recuperado de Biblioteca
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