Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị Phạm Thúy
Trường Đại học Giáo dục Đại học Quốc gia Hà Nội
12/5/2014
December 5, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT VỚI ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY Trong thực tiễn, chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên. Đó là những hiện tượng (biến cố) mà chúng ta không thể dự báo một cách chắc chắn là nó xảy ra hay không xảy ra. Lí thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và hiện đang là ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,… Qua những bài tập là những bài toán từ thực tế mà các bạn đã làm trong các chủ đề trước (Tổ hợp, Xác suất), hẳn các bạn đã thấy rõ được Tổ hợp và Xác suất nói riêng và lí thuyết xác suất nói chung có ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống. Ảnh hưởng của lí thuyết xác suất trong cuộc sống hàng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối. Một ứng dụng khác là trong xác đinh độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lí thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm. Lí thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Có thể bạn chưa biết, xuất phát từ việc giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi đánh bạc, nhà toán học Paxcan đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc này, nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn và trao đổi vấn đề này với nhà toán học Phéc-ma. Và chính những cuộc trao đổi đó đã khai sinh ra Lí thuyết xác suất – Lí thuyết toán học về các hiện tượng ngẫu nhiên. Sau đây tôi xin trích một bài viết giải thích về xác suất thắng khi chơi một “trò chơi” mà hiện nay rất nhiều người chơi, đó là lô, đề. Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
2
December 5, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị LÔ HAY ĐỀ
(Hoàng Ngọc Thế - Đông Anh - Hà Nội) Ngày nay, lô đề đã trở thành một trong những tệ nạn phổ biến nhất ở nước ta. Tác hại của nó ("đánh đề ra đê mà ở") thì ai cũng biết. Song số người đánh đề thì không giảm mà lại ngày càng tăng. Đặc biệt là giới trẻ. Các diễn đàn lô đề mọc lên như nấm. Thấp thoáng trên diễn đàn toán cũng có những câu hỏi làm sao để đánh lô đề được lãi. Trong bài viết này, tôi sẽ phân tích sơ lược về cái được, mất khi đánh lô đề. Hi vọng bạn đọc rút ra được kết luận cho mình.
BÀI TOÁN ĐÁNH ĐỀ Luật chơi đề đại loại như sau: Sáng, bạn đặt một số tiền, nói đơn giản là A (đồng) cho chủ đề, vào một số từ 00 đến 99. Mục đích của người chơi đề là làm sao số này trùng vào 2 chữ số cuối cùng của giải xổ số do Nhà nước phát hành trong ngày đó. Khi xổ số quay, hai chữ số này được xác định (gọi là “đề về”), chủ đề so số và thanh toán tiền nong. Nếu số của bạn trùng, bạn sẽ được 70A (đồng) (tức 70 lần số tiền đầu tư). Nếu không trúng, bạn sẽ mất A (đồng) đặt cược lúc đầu. “Ai ơi yêu lấy số đề Khi đi một chỉ, khi về bảy cây!” (Theo Blog của GS Vũ Hà Văn) Câu thơ này đã lừa được nhiều người. Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
3
December 5, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
Giả sử có ai trót dại đánh đề. Anh ta đánh 23000 (đồng) cho 1 con đề. Xác suất anh ta trúng là
1 0,01 . Nếu trúng, anh ta được: 100
23000.70 = 1610000 (đồng). Vậy là lãi: 1610000 – 23000 = 1587000 (đồng). Tuy nhiên, xác suất anh ta trượt là: 1 – 0,01 = 0,99. Nếu trượt, anh ta lãi: - 23000 (đồng). Vậy trung bình anh ta được: 1587000.0,01 – 23000.0,99 = - 6900 (đồng). Như vậy mỗi lần chơi đề, anh ta lỗ 6900 (đồng). Có người khuyên anh ta: “Hãy đánh lô, đánh lô dễ được lãi hơn”. Anh ta nghe theo. BÀI TOÁN ĐÁNH LÔ Luật chơi lô đại loại như sau: Sáng, bạn đặt cược 1 con số trong phạm vi từ 00 đến 99 và một số điểm lô, a điểm chẳng hạn. Mỗi điểm lô phải chi phí 23000 (đồng). Dàn lô gồm 27 con lô (là 2 chữ số cuối của các số tại các giải xổ số của Nhà nước phát hành). Nếu k con lô trùng với số bạn đã cược thì người ta gọi là bạn đã trúng “k nháy”. Mỗi “nháy”, chủ lô trả cho bạn 80000.a (đồng).
Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
4
December 5, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
Giả sử anh bạn của chúng ta đánh 1 điểm lô. Anh ta chi hết 23000 (đồng). Dễ thấy đánh lô là một phép thử Bernoulli. Xác suất để anh ta trúng đúng k nháy (k = 0, 1, …, 27) là Ck27 (0,01)k (0,99)27k Nếu trúng, anh ta được 80000.k (đồng). Như vậy lãi: 80000.k – 23000 (đồng). Vậy trung bình anh ta lãi: 27
E [Ck27 .(0,01) k .(0,99) 27k .(80k 23)] k 0
27
80 [kCk27 .(0,01) k .(0,99) 27k ] 23 k 1
80.
27 26 k [C26 .(0,01) k .(0,99) 26k ] 23 100 k 0
8.2,7 23 1,4 (nghìn đồng). Vậy trung bình anh ta lỗ 1400 (đồng). Rõ ràng là đánh lô lỗ ít hơn đánh đề. Có người lại khuyên anh ta nên đánh một lúc nhiều con để được lãi. Anh ta làm theo lời khuyên vàng ngọc đó thì sẽ ra sao? Anh chàng của chúng ta lần này đánh nhiều con đề để nâng khả năng trúng lên. Anh ta đánh n con đề khác nhau. Mỗi con đánh 1 (nghìn đồng). Vị chi là chi phí hết n (nghìn đồng). Xác suất anh ta trúng là 0,01n. Nếu trúng, anh ta được 70 (nghìn đồng). Tức là lãi: 70 – n (nghìn đồng). Xác suất anh ta trượt là (1 – 0,01n). Nếu trúng, anh ta được lãi: -n (nghìn đồng). Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
5
December 5, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
Vậy trung bình anh ta lãi: E d (n) 0,01n.(70 n) n(1 0,01n) 0,3n max E d (n) E d (0) 0
n[0;100]
Vậy lãi nhất khi đánh đề là đánh 0 con. Hừm! Thế thì nói làm gì?! Anh ta lầm bầm và đi đánh lô. Anh ta đánh n con lô, mỗi con 1 điểm. Thế là chi hết 23n (nghìn đồng). n k 100 n 27k Xác suất anh ta trúng đúng k nháy (k = 0, 1, 2, … , 27) là: Ck27 ( . ) ( ) 100 100
Nếu trúng, anh ta được 80k (nghìn đồng). Tức là lãi 80k – 23n (nghìn đồng). 27 n k 100 n 27k 7n k Từ đó, trung bình anh ta lãi: El (n) [C27 ( ) ( ) .(80k 23n)] 100 100 5 k 0
max El (n) El (0) 0
n[0;100]
Do đó lãi nhất khi đánh lô là đánh 0 con. Vậy khôn ngoan nhất là nói không với đánh lô đề. Người đánh đề đáng trách, người học toán, làm toán mà đánh đề còn đáng trách hơn.
Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
6
December 5, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
7