Tổ hợp

April 21, 2014

Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị

TỔ HỢP

Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

1

April 21, 2014

Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị

A. TỔ HỢP I.

Hai quy tắc đếm cơ bản

1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo một trong k phương án A1, A2,…, Ak. - Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách; - Phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách; - …

- Phương án Ak có thể thực hiện theo nk cách.

Khi đó công việc trên có thể thực hiện bởi n1 + n2 + … + nk cách.  Chú ý: Quy tắc cộng mở rộng: Cho hai tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B. Khi đó số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A ∩ B, tức là: A ∪ B = A + B - |A ∩ B| 2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2,…, Ak. - Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách; - Công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách; - …

- Công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách.

Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2…nk.

II. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị:  Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

2

Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị

April 21, 2014

 Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Các hoán vị của A là các bộ ba thứ tự (a, b, c); (a, c, b); (b, c, a); (c, a, b); (c, b, a).  Số các hoán vị: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…1.

(1)

2. Chỉnh hợp:  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A).  Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Các chỉnh hợp chập 2 của A: (a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b).  Số các chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: Akn = n n - 1 n - 2 …(n – k + 1)

(2)

 Chú ý: Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (2) dưới dạng: Akn =

n! n-k !

(3)

Với qui ước 0! = 1 và A0n = 1.

Khi đó công thức (3) đúng cho cả k = 0 và k = n, vậy công thức (2) đúng với mọi số nguyên k: 0 ≤ k ≤ n.

3. Tổ hợp:  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k, với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A).

Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

3

April 21, 2014

Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị

Như vậy, mỗi tổ hợp chập k của A là một cách chọn k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự).  Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Các tổ hợp chập 2 của A là: {a, b}; {a, c}; {b, c}.  Số các tổ hợp: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤n) là: Cnk

Akn n n - 1 n - 2 … n – k + 1 = = k! k!

(4)

 Chú ý: Với 1 ≤ k ≤ n, ta có thể viết công thức (4) dưới dạng: Cnk =

n! k! n - k !

(5)

với qui ước Cn0 = 1 (tức coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử).

Khi đó công thức (5) đúng cho cả k = 0 và k = n, vậy công thức (5) đúng với mọi số nguyên k: 0 ≤ k ≤ n.  Hai công thức cơ bản về tổ hợp: Công thức 1: Cnk = Cnn-k

với mọi số nguyên n, k: 0 ≤ k ≤ n.

Công thức 2: k Cn+1 = Cnk + Cnk-1 với mọi số nguyên n, k: 1 ≤ k ≤ n.

III. Nhị thức Niu-tơn (Newton) 1. Công thức nhị thức Niu-tơn Công thức nhị thức Niu-tơn (gọi tắt là nhị thức Niu-tơn) Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

4

April 21, 2014

Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị n

(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an-1 b + … + Cnk an-k bk + … + Cnn bn =

Cnk an-k bk k=0

trong đó Cnk =

n! là tổ hợp chập k của n. n! n - k !

Đặc biệt: (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + … + Cnk x k + … + Cnn x n Cho x = 1 ta được tổng các hệ số các số hạng trong nhị thức Niu-tơn, hay số các tập con của một tập hợp có n phần tử: Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnn = 2n 2. Tam giác Pa-xcan (Pascal) Ta thấy muốn khai triển (a + b)n thành đa thức, ta cần biết các hệ số Cn0 , Cn1 , Cn2 , …, Cnn có mặt trong nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được nhờ công thức (5). Ngoài ra còn có thể tìm được bằng cách sử dụng bảng số sau: (a + b)0

1

(a + b)1

1

(a + b)2

1

(a + b)3 (a + b)4

1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

……………………………………………………………………………………..

Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập năm 1653 và ta gọi là tam giác Paxcan.

Tam giác Pa-xcan được lập theo quy luật sau: - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.

Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

5

April 21, 2014

Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị

- Nếu biết hàng thứ n (n ≥ 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữ hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

Nhận xét: - Xét hàng thứ nhất, ta có: 1 = C10 ,

1 = C11 .

- Ở hàng thứ 2:

1 = C20 ,

2 = C21 ,

- Ở hàng thứ 3:

1 = C30 ,

3 = C31 ,

1 = C22 3 = C32 ,

1 = C33 .

k-1

k Một cách tổng quát, từ công thức 2 về tổ hợp: Cn+1 = Cnk + Cn và cách thiết lập tam giác

Pa-xcan, ta có: Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pa-xcan là dãy gồm n + 1 số: Cn0 , Cn1 , Cn2 , …, Cnn-1 , Cnn .

Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

6