April 21, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
TỔ HỢP
Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
1
April 21, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
A. TỔ HỢP I.
Hai quy tắc đếm cơ bản
1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo một trong k phương án A1, A2,…, Ak. - Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách; - Phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách; - … - Phương án Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc trên có thể thực hiện bởi n1 + n2 + … + nk cách. Chú ý: Quy tắc cộng mở rộng: Cho hai tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B. Khi đó số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A ∩ B, tức là: A ∪ B = A + B - |A ∩ B| 2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2,…, Ak. - Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách; - Công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách; - … - Công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2…nk. II. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
2
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
April 21, 2014
Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Các hoán vị của A là các bộ ba thứ tự (a, b, c); (a, c, b); (b, c, a); (c, a, b); (c, b, a). Số các hoán vị: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…1.
(1)
2. Chỉnh hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A). Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Các chỉnh hợp chập 2 của A: (a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b). Số các chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: Akn = n n - 1 n - 2 …(n – k + 1)
(2)
Chú ý: Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (2) dưới dạng: Akn =
n! n-k !
(3)
Với qui ước 0! = 1 và A0n = 1. Khi đó công thức (3) đúng cho cả k = 0 và k = n, vậy công thức (2) đúng với mọi số nguyên k: 0 ≤ k ≤ n. 3. Tổ hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k, với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A). Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
3
April 21, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
Như vậy, mỗi tổ hợp chập k của A là một cách chọn k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự). Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c}. Các tổ hợp chập 2 của A là: {a, b}; {a, c}; {b, c}. Số các tổ hợp: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤n) là: Cnk
Akn n n - 1 n - 2 … n – k + 1 = = k! k!
(4)
Chú ý: Với 1 ≤ k ≤ n, ta có thể viết công thức (4) dưới dạng: Cnk =
n! k! n - k !
(5)
với qui ước Cn0 = 1 (tức coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử). Khi đó công thức (5) đúng cho cả k = 0 và k = n, vậy công thức (5) đúng với mọi số nguyên k: 0 ≤ k ≤ n. Hai công thức cơ bản về tổ hợp: Công thức 1: Cnk = Cnn-k
với mọi số nguyên n, k: 0 ≤ k ≤ n.
Công thức 2: k Cn+1 = Cnk + Cnk-1 với mọi số nguyên n, k: 1 ≤ k ≤ n.
III. Nhị thức Niu-tơn (Newton) 1. Công thức nhị thức Niu-tơn Công thức nhị thức Niu-tơn (gọi tắt là nhị thức Niu-tơn) Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
4
April 21, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị n
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an-1 b + … + Cnk an-k bk + … + Cnn bn =
Cnk an-k bk k=0
trong đó Cnk =
n! là tổ hợp chập k của n. n! n - k !
Đặc biệt: (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + … + Cnk x k + … + Cnn x n Cho x = 1 ta được tổng các hệ số các số hạng trong nhị thức Niu-tơn, hay số các tập con của một tập hợp có n phần tử: Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnn = 2n 2. Tam giác Pa-xcan (Pascal) Ta thấy muốn khai triển (a + b)n thành đa thức, ta cần biết các hệ số Cn0 , Cn1 , Cn2 , …, Cnn có mặt trong nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được nhờ công thức (5). Ngoài ra còn có thể tìm được bằng cách sử dụng bảng số sau: (a + b)0
1
(a + b)1
1
(a + b)2
1
(a + b)3 (a + b)4
1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
…………………………………………………………………………………….. Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập năm 1653 và ta gọi là tam giác Paxcan. Tam giác Pa-xcan được lập theo quy luật sau: - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
5
April 21, 2014
Tổ hợp – Xác suất và những ứng dụng thú vị
- Nếu biết hàng thứ n (n ≥ 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữ hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Nhận xét: - Xét hàng thứ nhất, ta có: 1 = C10 ,
1 = C11 .
- Ở hàng thứ 2:
1 = C20 ,
2 = C21 ,
- Ở hàng thứ 3:
1 = C30 ,
3 = C31 ,
1 = C22 3 = C32 ,
1 = C33 .
k-1
k Một cách tổng quát, từ công thức 2 về tổ hợp: Cn+1 = Cnk + Cn và cách thiết lập tam giác
Pa-xcan, ta có: Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pa-xcan là dãy gồm n + 1 số: Cn0 , Cn1 , Cn2 , …, Cnn-1 , Cnn .
Phạm Thúy – Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội
6