Exercícios Propostos - Funções Trigonométricas LIVRO 1 CAP 3

Fabiano Nader & Kenji Chung SOLUÇÃO – TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

NÍVEL 1

E1. SOLUÇÃO:

Da figura I, temos: MQ = sen b; NP = sen a; OP = cos a; OQ = cos b.

Da figura II, temos:

x² = (cos a + cos b)² + (sen a – sen b)² cos² a + 2 cos a · cos b + cos² b + sen² a – 2 sen a · sen b + sen²b x² = 2 + 2(cos a · cos b – sen a · sen b) = 2 + 2·cos(a + b) = 2 + 2· cos(π/2) x² = 2.

4 Assim, y = 15x = 15(x²)² = 15 · 2² = 15 · 4 = 60.

RESPOSTA: 60.

E2. SOLUÇÃO: Tg x + cotg x = 2 tg x + 1/(tg x) – 2 = 0 tg²x + 1 - 2·tgx = 0 y² - 2y + 1 = 0. Solução: y = 1. Então y = tg x = 1. Logo, x = 45º.

tg²x - 2·tgx + 1 = 0. Sendo tgx = y, temos:

RESPOSTA: LETRA E. E3. SOLUÇÃO: cotg x = 1/(tg x); tg (x+π) = tg x. Substituindo em tg (x + π) = cotg x, vem: tg x = 1/(tg x) tg² x = 1 => tg x = ±1.

Para tgx = 1, x = π/4 (1º quadante) ou x = (π + π/4) = 5π/4 (3º quadrante).

Para tgx = -1, x = (π – π/4) = 3π/4 (2º quadrante) ou x = (2π - π/4) = 7π/4 (4º quadrante).

Assim, π/4 + 5π/4 + 3π/4 +7π/4 = 16π/4 = 4π.

RESPOSTA: LETRA E.

E4. SOLUÇÃO: Sen x e cos x possuem o mesmo sinal no 1º e no 3º quadrante. Assim, sen x = cos x para: x = 45º e x = 45 + 180 = 225º.

RESPOSTA: LETRA B. E5. SOLUÇÃO: Se x = 1 é raiz da equação (cos α)x - (4 cos α sen β) x + (3/2).sen β = 0, então: 2 cos α - 4 cos α sen β + (3/2).sen β = 0. Como α e β são complementares, então sen α = cos β e vice-versa. Assim, cos²α α - 4 cosα α cosα α + (3/2) cosα α=0 -3cos² α + 3/2 cosα α=0 6cos²α α - 3 cosα α=0 2 cos² α - cos α = 0.

Então cos α = 0 ou cos α = ½ α = 0º (não convém, pois α está representado no triângulo) ou α = 60º = π/3.

Logo, β = π – π/3 = π/6.

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RESPOSTA: LETRA D. E6. SOLUÇÃO: x - 2cosθ θ x + sen θ = 0. Se possui 2 raízes reais iguais, então ∆ = 0: ∆ = (-2cos θ)² - 4 · 1 · sen²θ θ=0 4cos²θ θ – 4sen²θ θ=0 cos²θ θ – sen²θ θ = 0. Mas cos²θ θ = 1 – sen²θ θ. Então: 1 – sen²θ θ – sen²θ θ=0 2sen²θ θ=1 sen²θ θ=½ sen θ = ± 1/√2 = ±√2/2.

Assim, θ = π/4 (1º quadrante); θ = 3π/4 (2º quadrante); θ = 5π/4 (3º quadrante); θ = 7π/4 (4º quadrante).

Logo, π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4 = 16π/4 = 4π.

2

2

RESPOSTA: 4π.

E7. SOLUÇÃO: cos(3x – π/4) = 0. Sabemos que cos θ = 0º quando θ = π/2 ou θ = 3π/2.

Assim, 3x – π/4 = π/2 3x = 3π/4 x = π/4 ou 3x – π/4 = 3π/2 3x = 7π/4 x = 7π/12. Mas 0 ≤ x ≤ π/2, então x = π/2. (pois 7π/4 > π/2).

RESPOSTA: LETRA A.

E8. SOLUÇÃO: sen 2x = sen x. Os senos de dois ângulos podem ser côngruos (iguais) ou suplementares. No primeiro caso, temos: 2x = x + 2kπ x = 2kπ. No intervalo [0, 2π], temos: k = 0 x=0ek=1 x = 2π.

No segundo caso (sendo suplementares), temos: 2x + x = 180 + 2kπ 3x = π + 2kπ x = π/3 + 2kπ/3. No intervalo [0, 2π], temos: k = 0 x = π/3, k = 1 x = π/3 + 2π/3 = 3π/3 = π e k = 2 x = π/3 + 4π/3 = 5π/3.

Assim, a soma das raízes possíveis nesse intervalo é: 0 + π/3 + π + 5π/3 + 2π = 5π.

RESPOSTA: LETRA E.

E9. SOLUÇÃO: Elas de interceptarão quando sen x = sen 2x. Dentre as soluções vistas na questão anterior, a única que se encontra no intervalo ]0, π[ é x = π/3. E π/4 < π/3 < π/2, ou seja, π/4 < x < π/2.

RESPOSTA: LETRA B.

E10. SOLUÇÃO: sen 2x = 2 sen² x 2·sen² x – sen 2x = 0. Sabemos que sen 2x = 2·senx·cosx. Assim: 2·sen² x – 2·senx·cosx = 0 sen²x - senx·cosx = 0 senx·(senx – cosx) = 0. Então sen x = 0 (não pode, como foi ditto no enunciado) ou sen x – cos x = 0 sen x = cos x x = π/4 + kπ. Então, as possíveis soluções são: π/4, 5π/4, 9π/4 ..., que formam uma progressão aritmética de razão π.

RESPOSTA: LETRA C.

E11. SOLUÇÃO: Sabemos que tg (2a) = 2·tg a/(1 – tg²a). Então se tg 3x = 4, então tg 6x = 2·tg 3x/(1 – tg²3x) = 2·4/(1 – 4²) = 8/(1 – 16) = -8/15.

RESPOSTA: LETRA B.

E12. SOLUÇÃO:

Como podemos ver, 2x é ângulo externo, então o primeiro triângulo é isósceles. Da mesma forma, o ângulo de medida 4x também é externo ao triângulo do meio, que também é isósceles. Aplicando a lei dos cossenos no segundo triângulo, temos: 100² = 100² + 160² - 2 · 100 · 160 · cos 2x 32000 · cos 2x = 25600 cos 2x = 4/5. Assim, sen 2x = 3/5.

Como cos 4x = cos² 2x - sen² 2x, temos: cos 4x = cos² 2x - sen² 2x = (4/5)² - (3/5)² = 16/25 - 9/25 = 7/25.

Olhando para o 3º triângulo, temos: cos 4x = y/100 = 7/25 y = 28. Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse mesmo triângulo, temos: y² + h² = 100² 28² + h² = 100² h² = 10000 – 784 = 9216 h = 96 m.

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Fabiano Nader & Kenji Chung RESPOSTA: LETRA A.

E13. SOLUÇÃO: Olhando para o triângulo de baixo, da figura a seguir, temos:

Tg 30º = x/√3 = √3/3 3x = 3 x = 1.

Assim, tg (α α + 30) = (2 + 1)/√3 = 3/√3 = 3√3/3 = √3. Se tg(α α + 30) = √3 = tg 60º, então α + 30 = 60 Então tgα α = tg 30º = √3/3 = 1/√3.

α = 30º.

RESPOSTA: LETRA C. E14. SOLUÇÃO: Usando a média geométrica: (- cos x)² = sen2x · tgx/6 cos²x = 2 · senx · cosx · senx/6·cosx sen²x/cos²x = 3 tg²x = 3 tg x = ±√3. No intervalo π ≤ x ≤ 3π/2, temos x = π/3 + π = 4π/3.

RESPOSTA: LETRA C.

E15. SOLUÇÃO: Usando a média geométrica, temos: (1 – cos x)² = (1 – sen x)² · (1 + sen x)² 1 –2cosx + cos²x = (1 – sen²x) 1 - 2·cosx + cos²x = cos²x 2·cosx = 1 cos x = ½. No intervalo 0 ≤ x ≤ π/2, temos x = π/3. Daí, cos 2x = cos 2π/3 = - ½.

RESPOSTA: LETRA C.

E16. SOLUÇÃO: f(x) = 1 + sen 2x e g(x) = 1 + cos x se encontram quando f(x) = g(x), ou seja, 1 + sen 2x = 1 + cos x sen 2x = cos x 2·senx·cosx – cosx = 0 cosx(2senx - 1) = 0. Então cosx = 0 x = π/2 ou 2senx – 1 = 0 senx = ½ x = π/6 ou x = π – π/6 = 5π/6. Assim, no intervalo [0, π], x1 + x2 + x3 = π/2 + π/6 + 5π/6 = 3π/2.

RESPOSTA: LETRA C. E17. SOLUÇÃO: Pra qualquer x pertencente aos reais, a equação sen x = cos (x – π/2), pois sabemos que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar, e vice-versa.

RESPOSTA: LETRA E. 2

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E18. SOLUÇÃO: cos 2x = ½ - sen x (cos²x – sen²x)² = ½ - sen²x. Substituindo cos²x por 1- sen²x, temos: 4 4 4 (1 - 2 sen²x)² = ½ - sen²x 1 - 4 sen²x + 4 sen x = ½ - sen²x 4 sen x - 3 sen²x + ½ = 0 8 sen x - 6 sen²x + 1 = 0. Sendo sen²x = y, temos: 8y² - 6y + 1 = 0 ∆ = (-6)² - 4·8·1 = 36 – 32 = 4. y = - (-6) ± √4/2·8 y = (6 ± 2)/16 y’ = 8/16 = ½ ou y’’ = 4/16 = ¼. Então sen²x = ½ senx = ± √2/2 ou sen²x = ¼ senx = ± 1/2. Assim, as soluções possíveis são: Para senx = ± √2/2: x = {π/4 , 3π/4, 5π/4, 7π/4} e para senx = ± ½: x = {π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6}. A soma das possíveis soluções é: π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4 + π/6 + 5π/6 + 7π/6 + 11π/6 = 16π/4 + 24π/6 = 4π + 4π = 8π.

RESPOSTA: 8π.

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E19. SOLUÇÃO: sen x = 1 + cos²x cos²x = (sen²x – 1)(sen²x + 1) cos²x = - cos²x·(sen²x + 1). Então ou cos²x = 0 cos x =0 x = π/2 ou x = 3π/2; ou sen²x + 1 = -1 sen²x = -2 (não possui raiz real). Assim, x = π/2 ou x = 3π/2. Portanto, x pode pertencer ao intervalo [π/4 ; 3π/4], pois π/4 < π/2 < 3π/4.

RESPOSTA: LETRA A.

E20. SOLUÇÃO: 2 2 sen(2x) = 2 (sen x – cos x) + 1 → sen(2x) − 1 = 2 (sen x – cos x) → [sen(2x) − 1] = [ 2 (sen x – cos x)] 2 2 2 2 sen (2x) − 2sen(2x) + 1 = 2.(sen x – 2sen x.cos x + cos x) → sen (2x) − 2sen(2x) + 1 = 2.(1 − sen(2x))

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Fabiano Nader & Kenji Chung sen (2x) − 2sen(2x) + 1 = 2 −2 sen(2x)) → sen (2x) = 1 → sen(2x) = ±1 → 2x = 2

2

Fazendo as verificações descobrimos que x =

π π kπ + kπ → x = + 2 4 2

π + kπ , o que nos dá duas soluções a cada 2π π, então no intervalo [0,60π π) a 4

equação possui 60 soluções.

RESPOSTA: LETRA D.

QUESTÕES DE PERNAMBUCO

P1. SOLUÇÃO: tg(x – y) = (tgx – tgy)/(1 + tgx·tgy) = tg(π/3) 7·tgy = √3 tgy = √3/7.

(2√3 – tgy)/(1 + 2√3·tgy) = √3

2√3 – tgy = √3 + 6·tgy

RESPOSTA: LETRA C.

P2. SOLUÇÃO: sen² x + 3 cos x = 3 (1 – cos²x) + 3 cos x – 3 = 0 - cos²x + 3 cos x -2 = 0. Sendo cos x = y, temos: -y² + 3y – 2 = 0 y = 1 ou y = 2. Então cos x = 1 ou cos x = 2. Como o cosseno de um ângulo é no máximo igual a 1, a única solução possível é cos x = 1. No intervalo [0, 4π] temos as possíveis soluções: x = 0, x = 2π e x = 4π. Ou seja, 3 soluções.

RESPOSTA: LETRA D. P3. SOLUÇÃO: 0-0) FALSO. ½ · cos(π/6) - √3/2 · sen(π/6) = ½ · √3/2 - √3/2 · ½ = 0 ≠ 1.

1-1) VERDADEIRO. ½ · cos(5π/3) - √3/2 · sen(5π/3) = ½ · ½ - √3/2 · (-√3/2) = ¼ + ¾ = 4/4 = 1.

2-2) FALSO. ½ · cos(π/3) - √3/2 · sen(π/3) = ½ · ½ - √3/2 · √3/2 = ¼ - ¾ = -2/4 = - ½ ≠ 1.

3-3) FALSO. ½ · cos(7π/6) - √3/2 · sen(7π/6) = ½ · (-√3/2) - √3/2 · (-1/2) = - √3/4 + √3/4 = 0 ≠ 1.

4-4) FALSO. ½ · cos(11π/6) - √3/2 · sen(11π/6) = ½ · √3/2 - √3/2 · (-1/2) = √3/4 + √3/4 = √3/2 ≠ 1.

RESPOSTA: FVFFF. P4. SOLUÇÃO: tg(75º) = tg(30 + 45) = (tg30 + tg45)/(1 – tg30·tg45) = (√3/3 + 1)/(1 - √3/3 · 1) = (3 + √3)/3· 1/(3 - √3)/3 = (3 + √3)/3· 3/(3 - √3) = (3 + √3)/(3 - √3) = (3 + √3)²/(3² - 3) = (9 + 6√3 + 3)/6 = (12 + 6√3)/6 = 2 + √3.

RESPOSTA: LETRA D.

P5. SOLUÇÃO: tgx + cotgx = 2 tgx + 1/tgx = 2 tg²x + 1 = 2tgx tg²x – 2 tgx + 1 = 0. Resolvendo a equação, encontramos que tgx = 1. Então x = π/4 + kπ. ( com k pertencente aos naturais). Também pode ser escrito na forma de sen2x = 1 = 2·senx·cosx = 2· √2/2 · √2/2 = 1 (no primeiro quadrante) ou 2· (-√2/2) · (-√2/2) = 1 (no terceiro quadrante).

RESPOSTA: LETRA B. P6. SOLUÇÃO: A sequência dada é uma P.G. de razão q = - ½ sen²α α. A soma da sequência será positiva quando o seno de x for positivo, pois do contrário todos os termos da sequência seriam negativos, e consequentemente sua soma também seria negativa. O seno é positivo quando x está no primeiro ou no segundo quadrantes, ou seja, quando 2kπ π< x< (2k +1)π π.

RESPOSTA: LETRA C.

P7. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. (1)(1) VERDADEIRO.

Como podemos checar no triângulo acima, a tangente do ângulo cujo seno é 12/13, é 12/5.

(2)(2) VERDADEIRO. Para k = 0, 2, 4, 6, 8, ... sen(kπ/2) = 0; para k = 1, 5, 9, ... sen(kπ/2) = 1; e para k = 3, 7, 11, ... sen(kπ/2) = -1. Então a soma desses valores dará sempre 0: 0 + 1 + (-1)... = 0.

(3)(3) FALSO. sec²x - 1 = 1/cos²x – 1 = (1 – cos²x)/cos²x = sen²x/cos²x = tg²x. E tgx = tg²x apenas quando x = π/4 + kπ.

Fabiano Nader & Kenji Chung

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Fabiano Nader & Kenji Chung (4)(4) VERDADEIRO. cosx = cos²(x/2) – sen²(x/2) cos²x = ½ (1 + cosx) 1 – sen²x = ½ (1 + cosx)

sen²(x/2) = cos²(x/2) – cosx = 1 – cos²(x/2) 2cos²(x/2) = 1 + cosx sen²x =1 – ½ - (cosx)/2 = ½ - (cosx)/2 = ½ (1 – cosx).

RESPOSTA: FVVFV.

P8. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. Falsa para x = 0.

4 4 4 (1)(1) VERDADEIRO. 1 + sen x = 1 + (1 – cos²x)² = 2 – 2cos²x + cos x = 2sen²x + cos x.

(2)(2) FALSO. Falsa para x = 0.

(3)(3) FALSO. Falsa para x = 0.

(4)(4) VERDADEIRO. (1 – sen²x)(1 + cotg²x) = 1 + cotg²x – sen²x – cos²x = cotg²x.

RESPOSTA: FVFFV. 1/2

P9. SOLUÇÃO: tg(x1) = tg 60º = √3 = 3 ; 1/4 X2 = acrtg(√tg 60º) = arctg(√√3) tg(x2) = √√3 = 3 ; 1/8 X3 = arctg(√tgx2) tg(x3) = √√√3 = 3 ; 1/2 1/4 1/8 Assim, S = log3(tgx1) + log3(tgx2) + log3(tgx3) + log3(tgx4) +...+ log3(tgxn) = log3(tgx1 · tgx2 + ...) = log3(3 · 3 · 3 · ...) = (1/2 + ¼ + 1/8 + ..) log3(3 ) = log33¹ = 1.

RESPOSTA: LETRA D.

P10. SOLUÇÃO: A soma de uma P.G. infinita é dada por a1/(1 – q). Nesse caso, sen²x/(1 - sen²x/2) = 2 sen²x = 2 - sen²x 2 sen²x = 2 sen²x = 1 senx = ±1. No intervalo [0, 2π], possui duas soluções: x = π/2 e x = 3π/2.

Enyão no intervalo [0, 20π] possui 2·10 = 20 soluções.

RESPOSTA: 20.

P11. SOLUÇÃO: (0)(0) VERDADEIRO. f(θ θ) = tg(θ θ) f(2θ θ) = tg(2θ θ) = 2tg(θ θ)/(1 – tg²(θ θ)) = 2·f(θ θ)/(1 – f¹(θ θ)).

(1)(1) VERDADEIRO. f(1/2) = arc cos (log2 ½ ) = arc cos (-1) = π.

(2)(2) FALSO. f(x) = ½(senx – senx) = ½ · 0 = 0. É uma função constante.

(3)(3) VERDADEIRO. (senθ θ + cosθ θ)(sen²θ θ - senθ θ·cosθ θ + cos²θ θ)/(senθ θ + cosθ θ) = 1- senθ θ·cosθ θ.

(4)(4) VERDADEIRO. arc sen 1 + arc cos 1 = π/2 + 0 = π/2.

RESPOSTA: VVFVV. P12. SOLUÇÃO: senx = √(1 – cosx) sen²x = 1 – cosx 1 – cos²x = 1 – cosx cos²x – cosx = 0 cosx(cosx – 1) = 0 cosx = 0 (e senx = 1) x = π/2 + 2kπ ou cosx = 1 (e senx = 0) x = 2kπ. No intervalo (0 , 2π], estão 2 soluções: x = {π/2, 2π}. Assim, no intervalo (0, 80π] possui 2 · 40 = 80 soluções. (obs.: A solução x = 80π não está incluída, pois o intervalo é aberto, mas a solução x = 0º está, que não havia sido contada).

RESPOSTA: 80.

P13. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. f(x) = cos²x – sen²x = cos2x. Período: 2π/2 = π.

(1)(1) FALSO. Um contra exemplo é a = π/3: y = √3/2 ·√3/√3·√3/2 = 1 ≠ 2.

(2)(2) FALSO. sen170 é positivo, e próximo a zero, pois 170º está próximo a 180º. O cos 170 é negativo (pois cosseno é negativo no segundo quadrante) e próximo a -1, pois cos180 = -1. Assim, sen170 + cos170 < 0.

(3)(3) FALSO. Senx + cosx = ½ (senx + cosx)² = (½)² sen²x + cos²x + 2senx·cosx = ¼ 2senx·cosx = ¼ - 1 = -3/4 senx·cosx = -3/8. E sen(2x) = 2 senx·cosx = 2 · (-3/8) = - ¾.

(4)(4) VERDADEIRO. O valor do seno é crescente de 0 a π/2 e decrescente de π/2 a π.

Sabemos que sen(π/6) = sen(5π/6) = 1/2. Então se π/6 < x < 5π/6, senx > ½.

RESPOSTA: FFFFV.

P14. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. 0 < cosx < 1 e 5/4 > 1.

(1)(1) FALSO. Se senx > 0, 0 < x < π.

(2)(2) VERDADEIRO. (senx + cosx)² = sen²x + cos²x +2senx·cosx = 1 + sen2x. O periodo de sen2x = 2π/2 = π.

(3)(3) VERDADEIRO. tgx = senx/cosx = senx·secx = -√5·secx = 2 secx = -2/√5 = -2√5/5.

(4)(4) VERDADEIRO. senx·cosx = sen(2x) /2 1- ≤ senx ≤ 1 - ½ ≤ sen(2x) /2 = senx·cosx ≤ ½.

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RESPOSTA: FFVVV. P15. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. f(x) = cos²x – sen²x = cos2x. Período: 2π/2 = π.

(1)(1) FALSO. Um contra exemplo é a = π/3: y = √3/2 ·√3/√3·√3/2 = 1 ≠ 2.

(2)(2) FALSO. sen170 é positivo, e próximo a zero, pois 170º está próximo a 180º. O cos 170 é negativo (pois cosseno é negativo no segundo quadrante) e próximo a -1, pois cos180 = -1. Assim, sen170 + cos170 < 0.

(3)(3) FALSO. Senx + cosx = ½ (senx + cosx)² = (½)² sen²x + cos²x + 2senx·cosx = ¼ 2senx·cosx = ¼ - 1 = -3/4 senx·cosx = -3/8. E sen(2x) = 2 senx·cosx = 2 · (-3/8) = - ¾.

(4)(4) VERDADEIRO. O valor do seno é crescente de 0 a π/2 e decrescente de π/2 a π.

Sabemos que sen(π/6) = sen(5π/6) = 1/2. Então se π/6 < x < 5π/6, senx > ½.

RESPOSTA: FFFFV.

P16. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. f(x)g(x) = senx·cosx = sen(2x)/2 = f(2x)/2.

(1)(1) VERDADEIRO. sen(-x)·cos(-x) = -senx·cosx. Assim, f(x)g(x) = -(f-x)g(-x).

(2)(2) VERDADEIRO. f(x+y) = sem(x + y) = senx·cosy + cosx·seny = f(x)·g(y) + g(x)·f(y).

(3)(3) VERDADEIRO. g(2x) = cos(2x), cujo período é 2π/2 = π.

(4)(4) FALSO. f(x) + f(y) = senx + seny ≠ sen(x +y) = senx·cosy + cosx·seny.

RESPOSTA: FVVVF.

P17. SOLUÇÃO:

(0)(0) VERDADEIRO. tgx = 4/3.

(1)(1) VERDADEIRO. senx = 4/5 = 0,8. Então log0,8 0,8 = 1.

(2)(2) VERDADEIRO. sen(2x) = 2senx·cosx = 2 · 4/5 · 3/5 = 24/25.

(3)(3) FALSO. cossec x = 1/senx = 5/4.

(5/4)² = 25/16 ≠ 1 + tg²x = 1 + (4/3)² = 1 + 16/9 = 25/9.

(4)(4) FALSO. 1/cossec x = senx = 4/5 ≠ secx = 1/cosx = 5/3.

RESPOSTA: VVVFF.

P18. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. A + B + C = 180º → B + C = 180º – A → cos (B + C) = cos(180º – A) = – cos A (1)(1) VERDADEIRO. O período de f(x) = 2 + 3 sen (4x – π) é P = 2π/4 = π/2.

(2)(2) FALSO. x tem que pertencer ao intervalo [-1,1].

(3)(3) VERDADEIRO. Uma no 1º e uma no terceiro quadrantes.

(4)(4) VERDADEIRO. A função tangente é crescente em todos os quadrantes.

RESPOSTA: FVFVV.

P19. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. f(x)g(x) = senx·cosx = sen(2x)/2 = f(2x)/2.

(1)(1) VERDADEIRO. sen(-x)·cos(-x) = -senx·cosx. Assim, f(x)g(x) = -(f-x)g(-x).

(2)(2) VERDADEIRO. f(x+y) = sem(x + y) = senx·cosy + cosx·seny = f(x)·g(y) + g(x)·f(y).

(3)(3) VERDADEIRO. g(2x) = cos(2x), cujo período é 2π/2 = π.

(4)(4) FALSO. f(x) + f(y) = senx + seny ≠ sen(x +y) = senx·cosy + cosx·seny.

RESPOSTA: FVVVF.

P20. SOLUÇÃO: Observe que g.f é uma função par que não é periódica nem limitada. f g e g f são ímpares periódicas e limitadas. O período de f g é o dobro do período de g f . A melhor correspondência é, portanto: f g ↔ 1 g f ↔ 2 e g.f ↔ 3. O número pedido é 21 + 32 + 43 = 75.

RESPOSTA: 75.

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P21. SOLUÇÃO: Substituindo sen²x = 1 – cos²x na equação, obtemos: cos²x – cos x + 1/4 = 0 que tem a raiz dupla cos x = ½. A igualdade anterior tem as soluções x = ± π/3 + 2kπ. Em cada ciclo completo, a equação admite duas soluções; logo, no intervalo [0, 60π], admite 30·2 = 60 soluções.

RESPOSTA: 60.

P22. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. (1)(1) VERDADEIRO. (2)(2) FALSO. (3)(3) FALSO. (4)(4) VERDADEIRO. RESPOSTA: FVFFV.

P23. SOLUÇÃO:  x + 3x   x − 3x  sen x + sen 2x + sen 3x = 0 → sen x + sen 3x = – sen 2x → 2.sen   cos   = – sen 2x  2   2  2.sen2x.cosx + sen2x = 0 → sen2x.(2cosx + 1) = 0 → sen2x = 0(I) ou 2.cosx + 1 = 0(II) (I) sen2x = 0 → 2x = 180ºk → x = 90ºk, k ∈ Z x = 90º x = 180º x = 270º

(II) 2.cosx + 1 = 0 → cosx = –1/2 → x = ± 120º + 360ºk, k ∈ Z x = 120º x = 240º

...

5 soluções em 0 < x < 2π π e 2 soluções em 0 < x < π.

RESPOSTA: LETRA C.

P24. SOLUÇÃO: 3π 3π 3π 2 2 2 . cos x − senx. cos . cos x + senx. .(cos x + senx ) − x ) sen 2 2 2 4 4 4 = = = 3π 3π 3π 2 2 2 sen( . cos x + senx. cos + x ) sen . cos x − senx. .(cos x − senx ) 4 4 4 2 2 2 cos x + senx sen(90º − x ) + senx 2.sen45 º. cos(45 º − x ) π θ y= = = = cot g(45 º − x ) = cot g( − x ) = cot g( − x ) cos x − senx sen(90 º − x ) − senx 2.sen((45 º − x ). cos 45 º 4 3 Sabendo que cot g α = tg(90 º − α), teremos : sen(θ − x ) y= = sen(θ + x )

sen(

θ cot g(45 º − x ) = tg[90º − (45 º − x )] = tg(45 º + x ) = tg( + x ) 3 RESPOSTA: LETRA C ou D.

P25. SOLUÇÃO: 1 1 7π sen x 2.sen x 1 4 = →2 = 2− → 2sen x = −1 → sen x = − → x = 210º = 2 2 6 RESPOSTA: LETRA D.

APROFUNDAMENTO A1. SOLUÇÃO: a) f(x+2π) = f(x), portanto f(x) é periódica de período 2π. b) Temos f(x) = 2(cosx ·cos(π/3) + sen(π/3)·senx) = 2(cosx·1/2 + √3/2 ·senx) = cos x + √3 senx para todo x real. c) O valor máximo de f(x) é atingido para x - π/3 = 2kπ ou x = π/3 + 2kπ ≠ 1, logo C) é incorreto. d) O valor mínimo de f(x) é -2, atingido quando x - π/3 = π + 2kπ ou x = 4π/3 + 2kπ.

RESPOSTA: LETRA C.

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A2. SOLUÇÃO: P.A.: (sen15º, x, y, z, sen75º). Sendo r a razão da P.A., temos: Sen75 = sen15 + 4r 4r = sen75 – sen15 = sen30·cos45 + sen45·cos30 – (sen45·cos30 – sen30·cos45) = 2·sen30·cos45 = 2·√1/2 · √2/2 = √2/2 r = √2/8.

-5 Então y² - xz = (x + r)² - x(x + 2r) = x² + 2xr + r² - x² - 2xr = r² = (√2/8)² = 2/64 = 1/32 = 2 .

RESPOSTA: LETRA D. A3. SOLUÇÃO: 1 + sen x = 2|cos 2x|, 0 ≤ x < 2π.

O número de soluções é o número de pontos de intersecção dos gráficos de f(x) = 1 + sen x e g(x) = 2|cos 2x| no intervalo 0 ≤ x < 2π:

Logo, tem-se 7 soluções.

RESPOSTA: LETRA B.

A4. SOLUÇÃO: (tg²x – 1)(1 – cotg²x) = 4 (tg²x – 1)(1 – 1/tg²x) = 4 (tg²x – 1)(tg²x - 1)/tg²x = 4 (tg²x – 1)² = 4tg²x (2tgx/(1 – tg²x)² = 1 Então tg²2x = 1 tg2x = ±1. Assim, 2x = π/4 + kπ/2, com k pertencente aos inteiros.

Então x = {π/8 + kπ/4, k pertencente a Z}, que é o conjunto solução.

RESPOSTA: LETRA D.

A5. SOLUÇÃO: B é o conjunto das raízes de f.

F(x) = √77 ·sen(5x + 5π/6) = 0 5x + 5π/6 = kπ, k pertencente aos inteiros x = -π/6 + kπ/5.

Logo: B = {x pertencente aos reais: x = - π/6 + kπ/5, para algum k pertencente a Z}.

Sejam M = B∩(-∞,0) e N = B∩(0,+∞). Isto significa que M é o conjunto dos elementos positivos de B. Além disso: - π/6 + kπ/5 < 0 k/5 < 1/6 k < 5/6, para que x pertença a M. -π/6 + kπ/5 > 0 k > 5/6, para que x pertença a N. Como x é função crescente de k, tem-se que: (maior elemento de M) = m = - π/6 + 0·π/5 = - π/6 (pois k < 5/6 e k é inteiro, ou seja, o maior k possível é k = 0). (menor elemento de N) = n = - π/6 + 1·π/5 = π/30 (já que k > 5/6 e k é inteiro, o menor k possível é k = 1).

Portanto, m + n = - π/6 + π/30 = (-5π + π)/30 = - 4π/30 = - 2π/15.

RESPOSTA: LETRA E.

A6. SOLUÇÃO: Fazendo x² = y, temos: y² y + tgα α = 0.

Nessa equação do 2º grau, as raízes devem ser maiores ou iguais a zero. Assim: tgα α ≥0e ² - 4 tgα 4 tgα tgα α≥0 α ≤ √48 α ≤ 4√3/4 No intervalo dado no enunciado, temos, então: α pertence ao intervalo [0 , π/3]

tgα α ≤ √3.

RESPOSTA: LETRA D.

A7. SOLUÇÃO: A = {xk = sen²(k²π/24) : k = 1, 2} = {x1 = sen²(π/24); x2 = sen²(4π/24)} e B = {yk = sen²((3k + 5)π/24): k = 1, 2} = {y1 = sen²(8π/24); y2 = sen²(11π/24)}. Temos: A U B = {x1, x2, y1, y2}, portanto x1 + x2 + y1 + y2 = sen²(π/24) + sen²(4π/24) + sen²(8π/24) + sen²(11π/24) = sen²(π/24) + sen²(π/6) + sen²(π/3) + sen²(π/3) + cos²(π/24) = 1 + (1/2)² + (√3/2)² = 1 + ¼ + ¾ = 1 + 4/4 = 1 + 1 = 2. (obs.: sen(11π/24) = cos(π/24) porque são ângulos complementares).

RESPOSTA: LETRA C. Fabiano Nader & Kenji Chung

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A8. SOLUÇÃO: π 0<x< 2 2 x 1 3 1 3 1 3 π  cos x sec x ≥ 0 → cot g x − ≥ 0 → cot g x ≥ 3 ⇒ 0 < x ≤ cot g x − − 1 sec x ≥ 0 → cot g x −  2 cos 6 2 2  2  2 2 2 2

sen

3 cot g

π/6

cos

O comprimento do intervalo é

π .

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RESPOSTA: LETRA D.

A9. SOLUÇÃO: Usando a fórmula de soma de senos, tem-se o seguinte sistema: 2· senx· cosy = ½; senx + cosy = 1.

Desse sistema, percebe-se que senx e cosy são raízes da equação: z² - z + ¼ = 0, que resolvida, dá: senx = cosy = ½, ou seja, x = π/6 ou 5π/6 e y = π/3 ou 5π/3. Desta forma, os pares de respostas são: (π/6 , π/3) , (π/6 , 5π/3) , (5π/6 , π/3) e (5π/6 , 5π/3).

RESPOSTA: LETRA E.

A10. SOLUÇÃO: Elevando ambos os membros da expressão dada ao quadrado, vem: 2 2 2 2 2 2 2 (sen α + cos α ) = m sen α + 2 . sen α . cos α + cos α = m 1 + 2 · sen α · cos α = m 1 + sen 2α α=m 2 sen 2α α = m – 1. Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo: 3 3 3 Lembrete: (a + b) = a + b + 3(a +b)·ab 3 3 3 3 3 Logo (sen α + cos α ) = m sen α + cos α + 3 (sen α + cos α ) (sen α . cos α ) = m Lembrando que sen α + cos α = m e sen α · cos α = sen 2α α / 2, e substituindo, fica: 3 3 3 2 sen α + cos α = m - 3 (m) . (m - 1) / 2 Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então:

RESPOSTA: LETRA C.

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