Matematikk for yrkesfag T by Aschehoug Utdanning

John Engeseth

Odd Heir

Håvard Moe

Tea Toft Norderhaug

Sigrid Melander Vie

for yrkesfag T

John Engeseth

Odd Heir

Håvard Moe

Tea Toft Norderhaug

Sigrid Melander Vie

Bokmål

yrkesfag

Læreboka Matematikk 1T-Y følger læreplanen i matematikk 1T-Y for Vg1 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20).

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.

Redaktører: Cathrine Frydenlund og Line Holst

Graﬁsk formgiving: Marit Jakobsen

Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad

Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam

Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund

Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark

Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14

Papir: 100 g Arctic matt 1,0

Trykk: 07 Media – 07.no

Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien

ISBN 978-82-03-40768-0 www.aschehoug.no

Om Matematikk for yrkesfag T

Matematikk for yrkesfag T følger fagfornyelsens læreplan i matematikk 1T-Y som gjelder fra august 2020, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no

Læreboka

Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver.

I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og regneark der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk.

Programmeringseksempler i Python er tatt med der det er hensiktsmessig. Kommandoene som blir brukt følges opp av grundige forklaringer slik at ikke forkunnskaper er nødvendig. Forklaringer til kommandoene finner du også i et kommandokart bakerst i boka. Du finner mer lærestoff i programmering på Aunivers.no

Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver: Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.

Blå oppgaver gir større utfordringer.

Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring. Alle oppgavene som vi mener bør løses uten hjelpemidler, er merket med U Siste kapittel i boka er et eksamenstreningskapittel, der oppgavene er delt inn i Uten hjelpemidler og Med hjelpemidler

Digitale ressurser på Aunivers.no

Her finner du teori og praktiske oppgaver som er tilpasset ditt utdanningsprogram

– bygg- og anleggsteknikk

– elektrofag

– frisør, blomster, interiør og eksponeringsdesign

– håndverk, design og produktutvikling

– helse- og oppvekstfag

– informasjonsteknologi og medieproduksjon

– naturbruk

– restaurant- og matfag

– salg, service og reiseliv

– teknikk og industriell produksjon

I tillegg finner du:

og Python

Som lærer får du også tilgang til:

opplegg og tips til hvordan du kan variere undervisningen

Vi håper at Matematikk for yrkesfag T møter dine forventninger til et komplett læreverk.

Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til: matematikkforyrkesfag@aschehoug.no.

Vi ønsker deg lykke til med faget!

Hilsen forfatterne John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug, Sigrid Melander Vie, og redaktørene Cathrine Frydenlund og Line Holst.

Innhold

1 Tall

1A Tallmengder 8

1B Tallmønstre 14

1C Algoritmer 22

1D Potenser 28

1E Store og små tall 36

1F Overslagsregning 42

1G Grafisk framstilling 45

Sammendrag 56

Kapitteltest 57

2 Algebra

2A Bokstavuttrykk 60

2B Kvadratsetningene 64

2C Faktorisering 69

2D Faktorisering med kvadratsetningene 73

2E Brøkregning 79

2F Formler 89

Sammendrag 105

Kapitteltest 106

3 Likninger

3A Lineære likninger 110

3B Formelregning 117

3C Andregradslikninger 121

3D abc-formelen 126

3E Ekvivalens ved løsning av likninger 135

3F Nullpunktfaktorisering 140

3G Grafisk løsning av likninger 145

Sammendrag 156

Kapitteltest 157

4 Økonomi

4A Budsjett og regnskap 160

4B Merverdiavgift 164

4C Anbud 168

Sammendrag 172

Kapitteltest 173

5 Likningssystemer og ulikheter

5A Lineære likningssystemer 176

5B Likningssystemer med flere enn to ukjente 186

5C Ikke-lineære likningssystemer 189

5D Lineære ulikheter 193

5E Polynomulikheter 196

Sammendrag 206

Kapitteltest 207

6 Eksamenstrening

Uten hjelpemidler 209

Med hjelpemidler 213

Fasit 216 Register 236

Bildeliste 238

GeoGebra i 1T-Y 239

Viktige Python-kommandoer 245

Tall

KAPITTELINNHOLD

1A Tallmengder 8

1B Tallmønstre 14

1C Algoritmer 22

1D Potenser 28

1E Store og små tall 36

1F Overslagsregning 42

1G Grafisk framstilling 45

Menneskene startet med å telle dyr.

Nå kan vi telle hvor mange atomer det er i universet, og vi har forestillinger om enda større tall.

Én googol er for eksempel 10100 , og har hundre nuller.

Én googolplex er 1010100 , og har én googol nuller!

Og matematikken forteller oss at det aldri tar slutt. Uansett hvor stort tall du foreslår som det største, får vi et tall som er større ved for eksempel å legge til 1.

SNAKK

Tallmengder

Tallinja

Alle tall du skal regne med i dette faget, har sin bestemte plass på tallinja.

Jo større et tall er, desto lenger til høyre står det på tallinja.

For eksempel er 2 et større tall enn 3, det vil si at −>−23

–3 –4–2–101234

Tallene som er markert på tallinja ovenfor, er hele tall

Symbolet for mengden av hele tall er

De positive heltallene kaller vi naturlige tall

Vi regner ikke 0 som et naturlig tall.

Symbolet for mengden av naturlige tall er

Vi bruker symbolene ∈ og ∉ for å uttrykke om et tall er med i en mengde eller ikke.

La oss bruke 4 som eksempel. Det er et helt tall, men ikke et naturlig tall.

−∈ 4 betyr at 4 er med i mengden av hele tall.

−∉ 4 betyr at 4 ikke er med i mengden av naturlige tall.

–3 –4 –5–2–10123 4 5

På tallinja står 4 og 4 like langt fra null, men på hver sin side.

Vi sier at de to tallene har samme tallverdi eller absoluttverdi, nemlig 4.

Med absoluttverditegn, , kan vi uttrykke det slik: = 44 og −=44

Stemmer det?

Alltid − noen ganger − aldri Forklar!

1.1 U

Bestem absoluttverdien av tallene.

a 8 b 1 c 3 d 0

1.2 U

Sett inn riktig tegn i de tomme rutene. Velg mellom >=<∈ ,,, og ∉

a 35 b 35 c 33

d 3 e 0 f 3

Det fins uendelig mange tall på tallinja som ikke er hele tall. Mellom 1 og 2 er det for eksempel uendelig mange desimaltall der det bare står tretall etter komma:

Disse tallene kan vi skrive som brøker:

Tar vi med uendelig mange tretall etter komma, skriver vi 1,333... .

Også dette tallet kan vi skrive som brøk:

Tall vi kan skrive som en brøk med hele tall i teller og nevner, kaller vi rasjonale tall. Symbolet for mengden av rasjonale tall er Legg merke til at de hele tallene også er rasjonale tall. Det er fordi vi kan skrive dem som brøker der nevneren er 1.

Det fins også uendelig mange tall som vi ikke kan skrive som brøker med hele tall i teller og nevner. Disse tallene kaller vi irrasjonale tall

2,3og 2 er eksempler på irrasjonale tall mellom 1 og 2.

Taster du 2 på et digitalt verktøy, får du kanskje 1,414 213 562.

Men dette er bare en tilnærmet verdi for 2 Irrasjonale tall er likevel like «virkelige» som de rasjonale tallene:

I et kvadrat der sidene er 1 cm, er diagonalene ifølge pytagorassetningen 2 cm. Det kan vi bruke til å plassere 2 på tallinja. Se figuren.

EKSEMPEL 1

Til sammen utgjør de rasjonale og de irrasjonale tallene de reelle tallene

irrasjonalt. Tallinja består av de reelle tallene. Symbolet for mengden av reelle tall er

Figuren viser at de naturlige tallene er en delmengde av de hele tallene, som er en delmengde av de rasjonale tallene, som igjen er en delmengde av de reelle tallene.

1.3 U

Sett inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a 8,5 b π 3 c 3,14

Listeform

Mengder som inneholder enkeltelementer, skriver vi på listeform. For eksempel har mengden {5, 6, 9} tre elementer: tallene 5, 6 og 9. Hvis vi skriver ∈ x {5,6,9} , sier vi at x kan være et av de tre tallene. Hvis vi skriver x \{5,6,9} ∈ , sier vi at x kan være et hvilket som helst reelt tall bortsett fra tallene 5, 6 og 9.

Skriv mengden av naturlige tall på listeform.

Det er ikke mulig å skrive opp alle tallene i . Uansett hvor mange tall vi tar med, så fins det flere. Det fins uendelig mange naturlige tall. Vi bruker tre prikker som symbol for dette.

Vi skriver det slik på listeform: = {1,2,3,...}

1.4 U

Skriv tallmengdene på listeform.

a Tallene 4 og 8.

b De naturlige tallene mellom 4 og 8.

c De naturlige tallene som er større enn 5.

Forklar hva skrivemåtene betyr.

∈ x {2,3} ∈ y \{0} z \{2,2}∈−

Intervaller

intervall

Alle intervaller inneholder uendelig mange reelle tall.

–3–2–1012345

På figuren er tallene fra og med 2 til og med 4 markert.

Dette er et lukket intervall, og vi skriver det slik: [2,4]

Hvis endepunktene 2 og 4 ikke er med i intervallet, skriver vi 2,4

Dette er et åpent intervall, og består av tallene fra 2 til 4, det vil si tallene som ligger mellom 2 og 4. Figuren nedenfor viser hvordan vi kan markere dette intervallet på tallinja.

–3–2–1012345

Hvis bare ett av endepunktene hører med til intervallet, sier vi at det er halvåpent:

2 til 4 skriver vi slik: [ 2,4

2 til og med 4 skriver vi slik: ] 2,4

For eksempel kan vi skrive [ −∈−22,4 og ] −∉−22,4

Dette markerer vi ved å sette en pil: 2 skriver vi slik: −→ 2, 2 skriver vi slik: ←−,2 , – 2 – 2 , –6–4–3–2–10123 –5

Til sammen utgjør de to intervallene ovenfor alle reelle tall unntatt 2. Dette kan vi skrive som \{2} eller ,22, ←−∪−→ Symbolet ∪ kaller vi union

1.5 U

Sett inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a []90,9 b ← 3,3 c 3\3, −−→

d []90,9 e 10,2 f { }10,2

SNAKK

1.6 U

Forklar med ord hvilke tall mengdene inneholder.

a [ → 5, b []0,9\{5} c \5,9 d 3,722,29 ∪

1.7 U

Skriv som intervaller.

a Tallene fra 2 til 8.

b Tallene fra og med 2 til og med 8.

c Tallene fra 2 til 8 bortsett fra 5. d Tallene som er større enn 2.

e Tallene som er mindre enn 2 eller større enn 8.

Ta for deg mengdene [] 1,2 , 1,2 og {1,2}

Beskriv sammenhengen mellom dem.

EKSEMPEL 2

Skriv med ulikhetstegn.

a ∈→ x 5, b [ ∈− y 2,4

a Tallet x er større enn 5. Vi kan derfor skrive x > 5.

b Tallet y er et tall fra og med 2 til 4. Da er y større enn eller lik 2 og samtidig mindre enn 4. Vi kan derfor skrive y ≥ 2 og y < 4. Men det blir mer oversiktlig når vi skriver det som en dobbeltulikhet: 2 ≤ y < 4

1.8 U

Skriv med ulikhetstegn.

a ∈← x ,2 b [ ∈→ y 2, c ∈−[] z 1,2

1.9 U

Skriv som intervaller.

a ≤ x 3 b −<< y 55 c <≤ z 03

1.10 U

Hvilke utsagn uttrykker det samme?

a [] ∈ xab , 1 ≥ xa

b ∈ xab , 2 <≤ axb

c [ ∈ xab , 3 < xb

d ] ∈ xab , 4 << axb

e [ ∈→xa , 5 ≤ xb

f ∈→xa , 6 ≤< axb

g ] ∈← xb , 7 > xa

h ∈← xb , 8 ≤≤ axb

RØDE OPPGAVER

1.11 U

Hvilke av tallene er rasjonale tall?

a 2 3 b 4 c 2 d 7 e 0,5 f 4

1.12 U

Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a { }2,52,5 b 2,5 c π d 1

1.13 U

Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a []33,5 b 44,9 c −−→ 53,

1.14 U

Om et tall får du vite at absoluttverdien er fem og at det ikke er et naturlig tall.

Hvilket tall er dette?

1.15 U

Forklar med ord hvilke tall mengdene inneholder.

a [] 3,3 b { }3,3 c → 2, d 4,55,6 ∪

1.16 U

Skriv mengdene som intervaller eller på listeform.

a De reelle tallene mellom 5 og 9. b De naturlige tallene mellom 5 og 9.

c Tallene som har absoluttverdien åtte. d Alle reelle tall som er minst lik åtte.

BLÅ OPPGAVER

1.17 U

Skriv med matematiske symboler på to ulike måter.

a De reelle tallene som er større enn 5 men mindre enn eller lik 1.

b De reelle tallene som er negative.

c De reelle tallene.

d De positive hele tallene.

1.18 U

Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a { }664,8,12,... b (3)2 c π [] 3,14 1,2

1.19 U

Skriv med ulikhetstegn.

a x 2,55,9[] ∈∪ b [ ∈ x 5,6\{5} c x \3, ∈→

Tallmønstre

Partall og oddetall

Vi skal her ta for oss de positive partallene, det vil si {2, 4, 6, ... }.

Vi kan skrive dem som et positivt multiplum av 2:

Det n-te positive partallet er altså n2 , der ∈ n

De positive oddetallene er {1, 3, 5, ... }.

Vi ser at det n-te oddetallet er én mindre enn det n-te partallet.

Det n-te oddetallet er derfor n 21

La ∈ n

Da er 2n et partall og 2n 1 et oddetall. Et naturlig tall er enten et partall eller et oddetall.

Hvis ∈ n , vil n2 gi alle mulige partall og n 21 gi alle mulige oddetall.

Det er også vanlig å skrive + n 21 for oddetallene.

EKSEMPEL 3

Forklar hva programmene nedenfor gjør.

n = 1

while n < 51:

partall = 2*n

print(partall)

n = n + 1

partall = 0

while partall < 100: partall = partall + 2

print(partall)

a Programmet skriver ut alle partall i intervallet [2, 100] . Vi gir variabelen n verdien 1, og går så inn i while-løkka. Løkka gjentar det som står med innrykk på linjene 4, 5 og 6. Variabelen partall får verdien 2n og verdien skrives ut. Deretter øker verdien til variabelen n med 1. Løkka gjentas så lenge n < 51.

b Programmet gjør det samme som i oppgave a. Vi gir variabelen partall verdien 0, og går så inn i while-løkka. Her øker verdien til partall med 2, og nytt partall skrives ut. Løkka gjentas så lenge partall < 100.

EKSEMPEL 4

Forklar hva programmene nedenfor gjør.

for n in range(50): oddetall = 2*n + 1

print(oddetall)

for oddetall in range(1, 100, 2): print(oddetall)

UTFORSK

a Programmet skriver ut alle oddetallene i intervallet [1,99]

Til dette har vi brukt en for-løkke. Denne løkka starter på 0 og går til 50 (50 er ikke med), med steglengde lik 1. Løkka gjentar det som står med innrykk på linje 2 og 3. Variabelen oddetall beregnes med en av formlene for oddetall, deretter skrives verdien ut.

b Programmet gjør det samme som i oppgave a. Her har vi også brukt en for-løkke. Denne løkka starter på 1 og går til 100 (100 er ikke med), med steglengde 2. I en for-løkke har vi generelt: for i in range (fra og med, til, steglengde). Hvis vi ikke tar med «fra og med» og «steglengde» slik som i oppgave a, starter løkka på 0 og har steglengde lik 1.

1.20

Lag et program som skriver ut oddetallene mellom 1000 og 1200 med a while-løkke b for-løkke

1.21

Lag et program som skriver ut partallene mellom 500 og 750 med a while-løkke b for-løkke

Figuren nedenfor illustrerer de fire første kvadrattallene

a Lag tilsvarende figur av de to neste kvadrattallene.

b Hvilken sammenheng er det mellom oddetall og kvadrattall?

c Hva er summen av de 10 første oddetallene?

Figuren nedenfor illustrerer de fire første rektangeltallene

d Kan du finne sammenhenger mellom rektangeltall og naturlige tall, partall og kvadrattall?

UTFORSK

Mengden {1, 3, 6, 10, ...} inneholder trekanttallene

a Lag en figur som illustrerer de fire første trekanttallene og som samtidig viser hvorfor de har fått dette navnet.

b Hva er det femte og det sjette trekanttallet?

c Hvilken sammenheng er det mellom trekanttall og rektangeltall?

d Kan du finne en sammenheng mellom trekanttallene og de naturlige tallene?

e Hva gjør dette programmet?

tall = 0

for n in range(1, 11): tall = tall + n

Primtall og faktorisering

Et naturlig tall n er sammensatt hvis det kan skrives som et produkt av to (like eller ulike) tall mellom 1 og n. For eksempel er 6 og 9 sammensatte tall, fordi =⋅ 623 og =⋅ 933. Et sammensatt tall er derfor delelig med minst ett tall i tillegg til tallet selv og 1.

Primtall er naturlige tall større enn 1 som ikke er sammensatte. Primtallene er derfor delelig bare med seg selv og 1. Legg merke til at tallet 1 ikke er et primtall.

Primtallene under tjue er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19. Det fins uendelig mange primtall.

Den norske matematikeren Atle Selberg (1917−2007) beviste store resultater blant annet innenfor teorien om primtall. Han er den eneste nordmannen som er tildelt Fieldsmedaljen, en utmerkelse som deles ut hvert fjerde år til fremragende matematikere under 40 år.

Et naturlig tall er ett av disse tre alternativene:

EKSEMPEL 5

Å faktorisere et tall eller et uttrykk vil si å skrive det som et produkt av to eller flere faktorer.

Hvordan faktoriserer vi for eksempel tallet 12? Svaret er at det avhenger av sammenhengen. 12 kan skrives som 3 ⋅ 4, 2 ⋅ 6 eller 2 ⋅ 2 ⋅ 3, alt etter hva vi har bruk for.

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 er et eksempel på det vi kaller primtallsfaktorisering, og blir regnet som den fullstendige faktoriseringen av 12. Hvis vi ikke straks ser primtallsfaktoriseringen av et tall, kan vi starte med å skrive det som et produkt av to faktorer. Hvis disse faktorene ikke er primtall, skriver vi hver av dem igjen som et produkt av to nye faktorer. Slik fortsetter vi til vi står igjen med bare primtall.

Skriv 630 som et produkt av primtall.

Med Python:

Bruker verktøyknappen

print("Dette programmet primtallsfaktoriserer 630.")

tall = 630 for faktor in range(2, 630): while (tall % faktor == 0): print("630 har faktoren:", faktor) tall = tall / faktor

Mange trenger nok en forklaring på programmet i eksemplet ovenfor. Du finner den på Aunivers.no. Der viser vi også et program som kan primtallsfaktorisere et hvilket som helst sammensatt tall.

EKSEMPEL 6

1.22

Skriv tallene som et produkt av primtall uten å bruke hjelpemidler. Kontroller med digitalt verktøy.

a 210 b 72 c 750 d 50

1.23 U

Skriv tallene som et produkt der én av faktorene er et kvadrattall større enn 1. a 50 b 20 c 8 d 27

Kvadratrøtter

Vi minner om kvadrattallene:

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , ...

Kvadratroten av kvadrattallene er de naturlige tallene: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...

Kvadratroten av et positivt tall a er det positive tallet som ganget med seg selv er lik a: = aa()2

Selv om både 52 og ( 5)2 er lik 25, er kvadratroten av 25 bare lik 5.

Vi har altså at = 55 2 og at −= (5)5 2

Generelt kan vi skrive = aa 2

Her kan altså a også være et negativt tall.

Vis at 12 kan omformes til 23

Vi må faktorisere 12 slik at den ene faktoren er et kvadrattall. = 4 ⋅ 3.

1243432323

1.24 U

Regn ut. a + 644 b 644 c 6464 d (64)2

1.25 U

a Vis at 50 kan omformes til 52 b Vis at 27 kan omformes til 33

1.26 U

a Vis at = 2025 og at = 18065

b Bruk resultatet fra oppgave a til å regne ut 1 + 20180 2 18020 3 20180 4 20180

1.27 U

Bruk pytagorassetningen til å vise at lengden av hypotenusen er 32

UTFORSK

I eksempel 6 brukte vi en regneregel for kvadratroten av et produkt:

Fins det tilsvarende regler for kvadratroten av en sum, kvadratroten av en differanse eller kvadratroten av en kvotient?

Pascals trekant

Blaise Pascal er en berømt fransk matematiker som levde på 1600-tallet. Denne oppstillingen er kjent som Pascals trekant:

Rad 0

Rad 1

Rad 2

Rad 3

Rad 4

Rad 5 . . . .

UTFORSK

a Beskriv mønstret i Pascals trekant.

b Skriv av og føy til de tre neste radene.

c Hvilket tall står som nummer to fra høyre i rad nummer 100?

d Finn summen av tallene på hver rad.

Hva tror du summen av tallene på rad 10 blir?

e Hvor finner vi trekanttallene i Pascals trekant?

Begrunn hvorfor de står der de står.

Hvor står summen av de sju første trekanttallene?

RØDE OPPGAVER

1.28 U

Hva er det neste tallet, og hva kaller vi tallene?

a 2, 4, 6, 8, ... b 1, 4, 9, 16, ... c 1, 2, 3, 4, ... d 1, 3, 6, 10, ...

1.29 U

Primtallsfaktoriser tallene.

a 22 b 27 c 75 d 196 e 1000

1.30

Til høyre ser du figurer av de fire første hustallene

a Følg samme mønster, og tegn det femte hustallet.

b Skriv opp de sju første hustallene.

c Hvor mange kuler trenger vi for å lage det tiende hustallet?

BLÅ OPPGAVER

1.31

Ahmad skal stable en pyramide av hermetikkbokser. Figuren viser et tverrsnitt av hvert av de fem

øverste lagene. Lag 1 er øverst.

a Skriv av og fyll ut tabellen.

Lag 1 Lag 2 Lag 3

Lag nummer 12345678

Antall grønne bokser139

Antall røde bokser001

b Beskriv hvordan antall bokser av hver farge utvikler seg.

c Hvor mange lag blir det i pyramiden hvis Ahmad bruker 78 grønne bokser i det nederste laget?

1.32 U

Skriv så enkelt som mulig.

a 20 2 b 3 3 c 205 d −+ 18508 e 350 6

1.33

Se oppgave 1.30.

a Hvilken sammenheng er det mellom hustall, kvadrattall og trekanttall?

b Agnete har 500 kuler av hver av de to fargene, og skal lage et størst mulig hustall.

Hvor mange kuler av hver farge er til overs etterpå?

c Lag et program som skriver ut de ti første hustallene.

Algoritmer

problem. Du har opp gjennom årene lært å utføre mange algoritmer som løser matematiske oppgaver.

Regnerekkefølge

Hva får du som svar på regnestykket 2 + 3 ⋅ 4?

Hvis du får 14, har du brukt riktig algoritme. Hvis du får 20, har du feiltolket uttrykket.

Det kan ikke være mer enn ett riktig svar på et regnestykke. Vi har en algoritme som gir rekkefølgen på utregningene.

Regnerekkefølgen

❶ Parenteser

❷ Potenser og kvadratrøtter

❸ Multiplikasjon og divisjon

❹ Addisjon og subtraksjon før addisjon, får vi: 2 + 3 ⋅ 4 = 2 + 12 = 14

Hvis vi vil addere først, må vi sette parenteser:

(2 + 3) ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 20

EKSEMPEL 7

Regn ut −⋅+− 823(75):64 24

−⋅+−=−⋅+ 823(75):648232:64 2424 =−⋅+ =−+ =− 82916:8 8182 8

Med Python:

from pylab import *

Parenteser

Potenser og kvadratrøtter

Gange og dele

Legge sammen og trekke fra

svar = 8 - 2*3**2 + (7 - 5)**4/sqrt(64) print(svar) 1 2 3 4

Vi skriver from pylab import * fordi kvadratrot, sqrt(), ikke er blant de innebygde funksjonene i Python. På den måten får vi tilgang til sqrt() fra biblioteket pylab

Digitale verktøy skal være programmert til å følge regnerekkefølgen.

Du må være nøye med hva du skriver inn, for verktøyet gjør bare det du gir det beskjed om!

1.34 U

Regn ut. a 8 3 ⋅ 2 b 8 3 ⋅ 22 c 8 + (3 2)3

1.35

Regn ut. Kontroller med digitalt verktøy. a 62 : 4 2 b −⋅⋅ 9520,1 3 c 1 2 ⋅ (3 4)5

1.36 U

Oversett til regnestykker og regn ut.

a Summen av åtte og tre.

b Differansen mellom åtte og tre.

c Ti multiplisert med summen av fem og seks.

d Produktet av ti og summen av fem og seks.

e Summen av ti og produktet av fem og seks.

f Kvadratroten av produktet av to, fire og åtte.

g Kvadratet av ni.

UTFORSK

Ta for deg denne algoritmen:

Tenk på et tall og legg til fem. Multipliser det du får med tre. Trekk så fra femten. Til slutt trekker du fra det dobbelte av tallet du tenkte på.

a Gjennomfør algoritmen for noen hele tall (både positive og negative). Hva observerer du?

b Identifiser de fem trinnene i algoritmen.

c Lag et program som utfører algoritmen for et hvilket som helst reelt tall. Kjør programmet for ulike typer tall. Kommenter.

Tilnærmingsverdier for kvadratrøtter

Heron fra Alexandria er en kjent matematiker fra antikken. Han laget blant annet en algoritme for å finne tilnærmingsverdier for kvadratroten av et naturlig tall n:

❶ Velg et tall a i nærheten av det du tror svaret blir.

❷ Regn ut tallet ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =+ba n a 1 2

❸ Gjenta punkt 2 til du får et tall som er så nøyaktig som du ønsker.

Liknende metoder brukes av digitale verktøy til å finne kvadratrøtter.

EKSEMPEL 8

Bruk Herons algoritme til å bestemme en tilnærmingsverdi for 2 der de fire første desimalene er riktige.

❶ Det riktige svaret må være mellom 1 og 2. Velger = a 1

Nå er differansen mellom tilnærmingsverdiene så liten at den ikke gir utslag på de fire første desimalene. Vi har altså funnet at ≈ 21,4142

Med Python:

# Bruker Herons algoritme til å beregne kvadratrot.

forrige = 0

a = 1 n = 2

while (abs(a-forrige) > 0.0001): forrige = a a = 1/2*(a + n/a) print(a)

Vi starter med å gi variablen forrige verdien 0, startverdien til a velger vi lik 1 (som ovenfor) og n, som er tallet vi skal finne kvadratroten av, settes lik 2. Løkka gjentas så lenge absoluttverdien til > 0.0001. Inne i løkka får forrige verdien til a, ny a-verdi regnes ut og skrives ut.

a Gjør oppgaven i eksempel 8 på nytt, men velg nå = a 2

b Bruk Herons algoritme til å bestemme en tilnærmingsverdi for 7 der de fire første desimalene er riktige.

c Utvid programmet i eksempel 8 til å kunne finne en tilnærmingsverdi for kvadratroten av et hvilket som helst naturlig tall.

Største felles faktor

Han utviklet en algoritme for å finne største felles faktor for to tall. Han brukte siden, fantes ikke tommestokk eller metermål. Han prøvde derfor å finne et linjestykke som han kunne måle med, et felles mål. Det måtte gå opp i begge de to linjestykkene han skulle måle.

Algoritmen var slik:

Først trakk han det korte linjestykket fra det lange så mange ganger det gikk an. Hvis det gikk opp, og resten ble null, kunne det korte linjestykket brukes som mål. Hvis resten ikke ble null, gjentok han prosessen med resten og det korte linjestykket. Slik holdt han på inntil resten ble null. Den siste resten før null ville da passe som mål.

(rød på figuren) og 12 cm (blå på figuren).

Da ville han ha trukket den korte pinnen to ganger fra den lange. Reststykket (grønn på figuren) har lengde 3 cm. Så ville han ha trukket reststykket fire ganger fra den korte pinnen, og fått null. Målet (største felles faktor) i dette

9 lengdeenheter, og at det korte var 4 lengdeenheter.

Vi kan føre utregningen slik:

272123

124 3 0

Altså er sff(27,12) = 3.

Vi kan kontrollere at dette stemmer ved å primtallsfaktorisere:

2733 3

1222 3

Tallene har 3 som eneste (og dermed også største) felles faktor.

EKSEMPEL 9

126 2 0

Altså er sff(188,138) = 2.

138 kan trekkes én gang fra 188.

Da gjenstår 50, som kan trekkes to ganger fra 138.

Da gjenstår 38, som kan trekkes én gang fra 50.

Da gjenstår 12, som kan trekkes tre ganger fra 38.

Da gjenstår 2, som kan trekkes seks ganger fra 12.

RØDE OPPGAVER

1.37 U

Bruk Euklids algoritme til å finne største felles faktor for 56 og 12.

1.38 U

Regn ut. a 2 + 3 ⋅ 42 b 2 (8 6)2

1.39 U

I denne oppgaven skal du lære en algoritme som vi i mange tilfeller kan bruke til å finne det neste tallet.

Vi bruker tallene 1, 2, 9, 22, 41, 66, ... som eksempel.

❶ Skriv opp tallene på ei linje med godt mellomrom.

❷ På linja nedenfor skriver du opp differansen mellom to nabotall.

❸ Gjenta punkt ❷ inntil differansen er konstant.

❹ Bruk den konstante differansen til å finne neste tall på linja ovenfor.

❺ Gjenta punkt ❹ inntil du har funnet det neste tallet.

Undersøk om vi kan bruke algoritmen til å finne det neste tallet i disse tilfellene:

a 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... b 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

BLÅ OPPGAVER

1.40 U

Regn ut.

a 2 3 4 + (3 5)2

1.41 U

Oversett til regnestykker og regn ut.

a Trekk kvadratet av 10 fra produktet av 5 og 6.

b Divider differansen mellom femten og tre med kvadratroten av seksten.

c Multipliser summen av 5 og 2 med produktet av de samme tallene.

d Finn kvadratet av summen av 7 og 2.

e Finn kvadratet av differansen mellom 7 og 2.

f Finn produktet av summen av 7 og 2 og differansen mellom 7 og 2.

1.42

Ta for deg denne algoritmen:

Tenk på et tall. Trekk så fra tre multiplisert med tallet som er én mindre enn tallet du tenkte på.

Legg til det dobbelte av tallet du tenkte på. Trekk til slutt fra kvadratroten av ni.

a Utfør algoritmen for noen tilfeldige tall. Hva ender du opp med?

b Frank tenker på tallet 5.

Sett opp algoritmen for Franks tall i ett regnestykke, som du så regner ut.

c Lag et program som utfører algoritmen.

Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.

Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.

Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.

Matematikk for yrkesfag T følger fagfornyelsens læreplan i Matematikk 1T-Y og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no

Læreboka

Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å se sammenhenger i faget, og SNAKKoppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk. Programmering i Python er tatt med der det er hensiktsmessig. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver.

John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.

Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.

Aunivers.no inneholder blant annet:

• Lærestoff tilpasset de ti utdanningsprogrammene

– bygg- og anleggsteknikk

– elektrofag

– frisør, blomster, interiør og eksponeringsdesign

– håndverk, design og produktutvikling

– helse- og oppvekstfag

– informasjonteknologi og medieproduksjon

– naturbruk

– restaurant- og matfag

– salg, service og reiseliv

– teknikk og industriell produksjon

• Fullstendige løsninger av alle oppgavene

• Opplæringsressurser til GeoGebra, regneark og Python

• Interaktive oppgaver

• Eksamensløsninger

Som lærer får du også tilgang til:

• Lærerveiledning

• Kapittelprøver

• Terminprøver

• Aktivt klasserom