Ørnulf Borgan
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Påbygging
Ørnulf Borgan
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Bokmål
Påbygging
Læreboka Matematikk Påbygging følger læreplanen i matematikk påbygging for Vg3 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20).
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2022
2. utgave / 3. opplag 2024
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40880-9
www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6–7 Jonathan Kitchen/Getty Images, s. 15 RelaxFoto.de/iStock, s. 22 Anders Rødaas Aspelund, s. 24 kropic/iStock, s. 27 wildpixel/iStock, s. 32 AlSimonov/iStock, s. 35 ElFlacodelNorte/iStock, s. 42–43 Farknot_Architect/iStock, s. 46 FatCamera/iStock, s. 49 vladans/iStock, s. 76–77 DragonImages/iStock, s. 76 petrroudny/iStock, s. 79 SuriyaKK/iStock, s. 80 franconiaphoto/iStock, s. 84 ra-photos/iStock, s. 110 bukharova/iStock, s. 120–121 monkeybusinessimages/iStock, s. 130 vm/iStock, s. 132 sykono/iStock, s. 141 Erlend Haarberg/Samfoto/NTB, s. 149 Sorbyphoto/iStock, s. 154–155 Ingo Jezierski/EyeEm/Getty Images, s. 162 RichVintage/iStock, s. 167 SasaJo/iStock, s. 172 kieferpix/iStock, s. 174 Corbis Historical/Getty Images, s. 200–201 Tashi-Delek/iStock, s. 204 Bjørn S. Delebekk/VG/NTB, s. 206 DWalker44/iStock, s. 214 PeopleImages/iStock, s. 225 Tomwang112/iStock, s. 229 ZU-09/iStock, s. 241 JJFarquitectos/iStock, s. 242 ArtBoyMB/iStock, s. 248–249 Grant Faint/Getty Images, s. 251 Nico De Pasquale Photography/Getty Images, s. 257 Mlenny/iStock, s. 262 Grant Faint/Getty Images, s. 265 NASA/JPL, s. 267 apomares/iStock, s. 276 MarsBars/iStock SVANEMERKET
Om Matematikk Påbygging
Matematikk Påbygging følger fagfornyelsens læreplan i matematikk påbygging som gjelder fra august 2022, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering i Python der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver: Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Alle oppgaver som vi mener bør løses uten hjelpemidler, er merket med Oppgaver som krever programmering, er merket med
Det første kapitlet i boka fungerer både som en repetisjon fra Matematikk 1P-Y og en verktøykasse for resten av boka. Det siste kapitlet i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen og avsluttende heldagsprøver.
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet:
Som lærer får du også tilgang til:
Vi håper at Matematikk Påbygging møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkpabygging@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne Ørnulf Borgan, John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef
Innhold
1 Verktøykassa
1A Tallregning 9
1B Praktisk regning 15
1C Potenser og kvadratrøtter 23
1D Algoritmer 29
Blandede oppgaver 38
Sammendrag 40
Kapitteltest 41
2 Prosent
2A Prosent og prosentpoeng 44
2B Prosentendring 54
2C Prosentendring i flere perioder 61
Blandede oppgaver 70
Sammendrag 74
Kapitteltest 75
3 Funksjoner
3A Koordinatsystemet 78
3B Funksjonsbegrepet 80
3C Egenskaper ved funksjoner 88
3D Vekstfart 104
Blandede oppgaver 112
Sammendrag 116
Kapitteltest 118
4 Modellering
4A Matematiske modeller 122
4B Fra målinger til modell 132
4C Modellering i praksis 143
Blandede oppgaver 150
Sammendrag 152
Kapitteltest 153
5 Generalisering
5A Formler 156
5B Proporsjonalitet 164
5C Omvendt proporsjonalitet 169
5D Tallmønstre 174
5E Figurtall 185
Blandede oppgaver 190
Sammendrag 197
Kapitteltest 198
6 Statistikk
6A Frekvenstabell og histogram 202
6B Stolpediagram og sektordiagram 209
6C Sentralmål 220
6D Spredningsmål 233
Blandede oppgaver 242
Sammendrag 246
Kapitteltest 247
7 Potenser og røtter
7A Regning med røtter 250
7B Regning med potenser 253
7C Nye potenser 259
7D Store og små tall – standardform 262
7E n-terøtter og rotregning 267
Blandede oppgaver 272
Sammendrag 274
Kapitteltest 275
8 Oppgavesamling
276
Fasit 297
GeoGebra i 2P-Y 319
Python i 2P-Y 327
Register 333
Verktøykassa
KAPITTELINNHOLD
1A Tallregning 9
1B Praktisk regning 15
1C Potenser og kvadratrøtter 23
1D Algoritmer 29
Velkommen tilbake til matematikken!
I dette kurset skal du jobbe med temaer som du kjenner fra 1P-Y, og temaer som kanskje er helt nye. Prosentregning kjenner du fra 1P-Y, og det skal du jobbe mye med. Funksjoner jobbet du med på ungdomstrinnet, men det var ikke så mye funksjoner i 1P-Y. Funksjoner er et stort tema i 2P-Y.
Vi har valgt å starte med en test «Kan du dette?». Oppgavene er innenfor de temaene vi skal jobbe med i dette kapitlet. Bruk resultatet av testen som grunnlag for arbeidet med de ulike temaene i kapitlet.
Lykke til!
Kan du dette?
Du bør prøve å løse alle oppgavene uten hjelpemidler.
Oppgave 1
Regn ut.
a 2 + 3 5
b 5 + ( 4) ( 2)
c 5 + 2 (3 + 5) d 316 2
Oppgave 2
Tegnet > betyr større enn. Tegnet < betyr mindre enn
Riktig eller galt? Begrunn svaret.
a 3 5 0,6 b 2,1 > 2
c 0,02 ⋅ 100 = 2 d 168
Oppgave 3
Hvilken brøk er størst av 6 7 og 7 8 ?
Oppgave 4
I A-klassen er forholdet mellom gutter og jenter 3 : 2.
Det er 12 gutter i klassen.
Hvor mange elever er det i klassen?
Oppgave 5
I B-klassen er det 20 jenter og 10 gutter.
a Hva er forholdet mellom jenter og gutter?
b Hva er forholdet mellom gutter og jenter?
c Hvor stor brøkdel av elevene i klassen er jenter?
Oppgave 6
I 2021 bodde det 4200 personer på Utvær. Dette var 180 flere enn i 2020. Økningen i innbyggertallet fra 2020 til 2021 var dobbelt så stor som økningen fra 2019 til 2020.
Hvor mange bodde det på Utvær i 2019?
Oppgave 7
Løs likningen.
a 2x + 4 = 6 2x b x 3 7
c x + 3 3x = 2x + 10 d x 2 5 8
SNAKK
Tallregning
Tore grubler:
«Når vi ganger, blir svaret alltid større, og når vi deler, blir svaret alltid mindre.»
Diskuter påstanden til Tore.
Positive og negative tall
–4–3–2–101234
Pila til høyre på tallinja viser at tallene blir større jo lenger mot høyre vi kommer.
Tallet 1 står til høyre for tallet 2. Altså er 1 et større tall enn 2.
Det skriver vi slik: 1 > 2.
Tegnet > betyr større enn
Tallet 2 står til venstre for tallet 4 på tallinja. Altså er 2 et mindre tall enn 4.
Det skriver vi slik: 2 < 4.
Tegnet < betyr mindre enn
SNAKK
Tove har regnet oppgavene nedenfor.
a 3 5 = 2
b 3 5 = 8
c 4 + ( 5) = 4 5 = 1
d 5 ( 2) = 5 + 2 = 7
Isak ber Tove forklare hvordan hun har tenkt.
Hvis du var Tove, hvordan ville du ha forklart utregningene for Isak?
Når vi ganger (multipliserer), er fortegnet på svaret avhengig av hvor mange negative tall det er.
4 ( 2) = 8
( 2) ( 4) = 8
( 1) ⋅ ( 2) ⋅ ( 3) = 6
Å gange med negative tall
Når det er 1, 3, 5, ... negative tall, blir svaret negativt.
Når det er 2, 4, 6, ... negative tall, blir svaret positivt.
Tilsvarende regel gjelder når vi deler (dividerer) med negative tall.
8 : ( 4) = 4
( 6) : ( 2) = 3
1.1
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
a 2 5 2 3 1
b
1.2
Tallet 3,25 har tre sifre. Det har to desimaler.
a Skriv et positivt tall som har fire sifre og tre desimaler.
b Skriv et tall som har tre sifre og to desimaler, og som er mindre enn 2,8.
c Skriv et tall med tre sifre og to desimaler som ligger mellom 1,8 og 1,9.
1.3
Regn ut.
a 4 ( 2) + 3 b ( 2) 3 ( 2)
Gange og dele med 10, 100, 1000
Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet
én plass mot høyre.
Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre.
Å gange med 1000 er det samme som å flytte kommaet tre plasser mot høyre.
Osv.
Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet
én plass mot venstre.
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre.
Å dele med 1000 er det samme som å flytte kommaet tre plasser mot venstre.
Osv.
EKSEMPEL 1
Regn ut.
a 1,5 ⋅ 100
b 3,6 : 100
c 42 : 1000
a 1,5 100 = 150
Du skal flytte kommaet to plasser mot høyre. Når du har flyttet kommaet én plass, står kommaet bak 5-tallet. Du skal flytte kommaet én plass til, da må du legge til én 0 bakerst.
b 3,6 : 100 = 0,036
003,6 : 100
Du skal flytte kommaet to plasser mot venstre. Vi skriver noen nuller foran 3-tallet. Da blir det lettere å se hvor vi skal flytte kommaet.
3,6 : 100 = 0,036
c Når det ikke står noe komma i et tall, kan du alltid «late som om» det står et komma bak det bakerste sifferet.
42 : 1000 = 42,0 : 1000
Så kan du bruke knepet fra oppgave b med å skrive noen nuller foran 4-tallet. Til slutt flytter du kommaet tre plasser mot venstre.
42 : 1000 = 0,042
1.4
Regn ut.
a 12,5 : 10 b 6,54 100
d 0,45 1000 e 75 : 100
1.5
Regn ut.
a 1,005 10 b 0,075 : 100
d 7,55 10 e 45 : 10
c 85 : 1000
f 0,54 : 10
c 8,5 : 100
f 0,0045 100
EKSEMPEL 2
Brøk
I brøken 4 5 er 4 telleren og 5 nevneren.
En brøkstrek betyr det samme som et deletegn.
4 5 4:50,8
Fra brøk til desimaltall
Vi gjør om en brøk til desimaltall ved å dele telleren med nevneren.
a Skriv 3 8 som desimaltall.
b Skriv 0,12 som brøk.
a 3 8 3:80,375
SNAKK
Nedenfor ser du tre regnestykker med brøker. Forklar framgangsmåten i hvert enkelt regnestykke.
4 5 Teller Nevner
1.6
Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
1.7
Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
1.8
Skriv brøkene i stigende rekkefølge.
UTFORSK
a Vis at å dele med 0,25 er det samme som å gange med 4.
b Hvordan kan du raskt regne ut 13,5 : 0,2?
c Hvordan kan du raskt regne ut 6,4 : 0,5?
RØDE OPPGAVER
1.9
Regn ut.
a 4 + 3 ( 5) ( 29) b ( 3) ( 2) ( 1)
1.10
En vinterdag ble disse temperaturene målt på noen vintersportssteder.
a Hvor var det lavest temperatur kl. 08?
b Hvilket sted økte temperaturen mest fra kl. 08 til kl. 15? Hvilket sted økte temperaturen minst?
1.11
Riktig eller galt? Begrunn.
a 3 8 1 4 b 0,1 1
BLÅ OPPGAVER
1.12
Skriv av og sett inn tall i rutene slik at utregningen blir riktig. Klarer du å finne tre forskjellige løsninger? a 12 ⋅= b :2 =− c 9⋅=−
1.13
Figuren til høyre viser hvordan temperaturen varierte fra midnatt til kl. 12 en dag i mars.
a Hvor mange grader steg temperaturen fra kl. 05 til kl. 12?
b Fra kl. 12 til kl. 14 steg temperaturen med tre grader. Kl. 22 var temperaturen 1 °C. Hvor mange grader endret temperaturen seg fra kl. 14 til kl. 22?
1.14
(°C)
kl. 08Temperatur kl. 15
a Skriv en brøk som ligger mellom 4 7 og 5 7 . Både telleren og nevneren i brøken skal være hele tall.
b Finn hvilket tall som er størst av 0,16 og 1 6
Klokkeslett
Praktisk regning
Veien om 1
57,50 5 11,50
Smågodt koster 11,50 kr for 1 hg.
11,50 ⋅ 3 = 34,50
Line betaler 34,50 kr for 3 hg smågodt.
Line og Per kjøper smågodt. Per kjøper 5 hg (500 g) og betaler 57,50 kr. Line kjøper 3 hg (300 g) med smågodt. Hvor mye må Line betale?
Det kan vi finne ut ved å gå veien om 1 Vi regner først ut prisen på 1 hg smågodt.
EKSEMPEL 3
SNAKK
Hvilken sjampoflaske lønner det seg å kjøpe?
Vi regner ut hva sjampoen koster for 1 liter for hver av de to flaskene.
79,501000
200 397,50 ⋅ =
Literprisen for sjampoen i flaska med 200 mL er 397,50 kr.
153,501000
375 409,33 =
Literprisen for sjampoen i flaska på 375 mL er 409,33 kr.
Det lønner seg altså å kjøpe sjampoflaska på 200 mL.
For å finne literprisen for sjampoen i flaska på 200 mL setter vi opp regnestykket
79,501000
200 397,50 ⋅ =
Hva finner vi når vi deler på 200?
Hvorfor ganger vi med 1000?
1.15
Grønnsaksbutikken selger poteter i poser på 1,5 kg, 2,5 kg og 5,0 kg.
Potetene koster det samme per kg, og en pose med 2,5 kg poteter koster 45 kr.
Finn prisen for de to andre posene.
1.16
En type grovbrød inneholder ca. 2,3 mg jern per 100 g. I et ukeblad står det at dagsbehovet for unge kvinner er ca. 18 mg jern.
Hvor mange gram av dette grovbrødet må Kari spise hvis hele dagsbehovet for jern skal dekkes av brødet?
1.17
Nina får 1,2 liter eplejuice av 3,0 kg epler.
Hvor mange kg epler må hun ha for å lage 3,5 liter eplejuice?
1.18
Et stearinlys er 15 cm høyt. Vi tenner lyset og lar det brenne i 20 minutter. Da er det 9,0 cm igjen av lyset.
Hvor lang tid vil det gå før lyset er brent helt ned?
Hvilke forutsetninger ligger bak svaret ditt?
Forhold
På en saftflaske står det: «1 del konsentrert saft blandes med 4 deler vann».
Vi sier da at forholdet mellom konsentrert saft og vann er 1 : 4.
Konsentrert saft og vann skal blandes i forholdet 1 : 4.
Det betyr for eksempel at vi til 1 liter konsentrert saft trenger 4 liter vann å blande ut med, til 2 liter konsentrert saft trenger vi 8 liter vann, og så videre.
10
Vann
Konsentrert saft
Forholdet mellom x og y er x y , som vi også kan skrive x : y.
1.19
I en klasse er det 18 gutter og 9 jenter.
a Hva er forholdet mellom antall gutter og antall jenter?
b Hva er forholdet mellom antall jenter og antall gutter?
1.20
I juniorgruppa i idrettslaget var det på våren 75 jenter og 125 gutter. I løpet av sommeren får juniorgruppa 75 nye medlemmer. Én tredel av dem er gutter.
Hva er forholdet mellom jenter og gutter nå?
SNAKK
I revystyret er forholdet mellom antall jenter og antall gutter 2 : 3.
Det er 4 jenter i styret.
Hvor mange gutter er det i styret?
Lise lager denne figuren:
2 2
Forklar tankegangen bak figuren til Lise.
Bruk figuren til å finne ut hvor mange gutter det er i styret.
1.21
Gustav skal blande konsentrert saft og vann i forholdet 1 : 5.
a Hvor mye vann trengs det til 2 dL konsentrert saft?
b Hvor mye vann trengs det til 4,5 dL konsentrert saft?
c Hvor mye konsentrert saft trengs det for å få 1 L ferdig drikke?
1.22
Amir og Lisa skal dele inntekten av en helgejobb i forholdet 4 : 3.
Lisa får 1320 kr.
Hvor mye får Amir?
1.23
En håndballspiller skåret åtte mål i en kamp.
Spilleren skåret på to av fem skudd mot mål.
a Hvor mange skudd mot mål hadde spilleren i kampen?
I en annen kamp hadde spilleren tolv skudd mot mål, og skåret fire mål.
b Hva var forholdet mellom antall skudd mot mål og antall mål i denne kampen?
EKSEMPEL 4
Fra tekst til matematikk
I lokalavisa leser vi:
Idrettslaget SuperSprek har 300 medlemmer. Tre av fem medlemmer er under 18 år. Av dem som er under 18 år, er halvparten gutter. Av dem som er over 18 år, er tre firedeler gutter.
a Hvor mange av medlemmene er under 18 år?
b Hvor mange av medlemmene er gutter?
a Tre av fem medlemmer er under 18 år.
«Tre av fem» betyr 3 5
Altså er 3 5 av medlemmene under 18 år.
Det vil si at 3 5 av 300 er under 18 år.
3300
Det er 180 medlemmer under 18 år.
Alternativt: 3 5 3000,6300180 ⋅⋅==⋅⋅= =
b Vi må først finne antall gutter under 18 år, deretter antall gutter over 18 år, og så til slutt legge sammen.
Av dem som er under 18 år, er halvparten gutter.
Alternativt: 1 2 1800,518090 ⋅⋅==⋅⋅= =
Det er 90 gutter under 18 år.
I oppgave a fant vi at 180 medlemmer er under 18 år.
Da er det 300 180 = 120 medlemmer over 18 år.
Tre firedeler av dem er gutter, det vil si at 3 4 av 120 er gutter. 3 4 120 3120 4 90 ⋅= ⋅ =
Det er 90 gutter over 18 år.
Det er til sammen 90 + 90 = 180 gutter i idrettslaget.
1.24
I B-klassen er det 27 elever. To tredeler av elevene er gutter, og 1 6 av guttene spiller på det lokale fotballaget.
a Hvor mange gutter spiller på det lokale fotballaget?
b Hvor stor brøkdel av elevene i klassen utgjør disse guttene?
1.25
På Skog videregående skole er det 560 elever. Én tidel av elevene jobber med kulturdagen. Av dem er 11 14 jenter.
Hvor mange jenter og hvor mange gutter jobber med kulturdagen?
1.26
Olav, Trine og Kirsti skal dele 6000 kr. Olav får én firedel av pengene. Av den delen som er igjen, får Trine to tredeler.
a Hvor stor brøkdel får Trine og Kirsti til sammen?
b Hvor mange kroner får Olav? Hvor mange kroner får Trine?
c Hvor stor brøkdel av hele beløpet får Kirsti?
EKSEMPEL 5
Roy har en deltidsjobb i MatBua. Timelønna er avhengig av hvor mange timer han jobber per uke. Jobber han inntil 14 timer per uke, får han «lav timelønn». Den er 160 kr per time. Jobber han mer enn 14 timer per uke, får han «høy timelønn». Den er 180 kr per time. En uke jobber Roy fire timer mandag, to timer onsdag, tre timer fredag og seks timer lørdag. Lag et regneark som regner ut brutto ukelønn.
Uten formelvisning: Med formelvisning:
Brutto ukelønn er 2700 kr.
Merk!
Se på formelen i celle B15. Den inneholder en kommando som gjør utregningen avhengig av verdien i andre celler: Hvis verdien i celle B13 er større enn 14, så regnes B13 ⋅ B4 ut. Hvis ikke, regnes B13 ⋅ B3 ut.
1.27
Lag et regneark som det i eksempel 5.
Bruk regnearket til å regne ut lønna til
a Liz, som jobbet fire timer mandag og sju timer fredag
b Mary, som jobbet tre timer mandag, fem timer onsdag, to timer fredag og seks timer lørdag
1.28
Sykkelbutikken selger sko til 1500 kr per par, hansker til 250 kr per par og
T-skjorter til 200 kr per stykk. Medlemmer av kundeklubben får 200 kr i rabatt
på skoprisen.
Butikken lager dette regnearket:
a Forklar formelen i cellene D4, D8, D9 og D10.
b Petter er medlem og kjøper ett par sko, ett par hansker og tre T-skjorter. Bruk regnearket som butikken har laget, til å regne ut hvor mye Petter skal betale.
1.29
Elvebredden Camping leier ut hytter. Det koster 800 kr per døgn å leie én hytte.
Leier du hytta mer enn fem døgn, er døgnprisen 600 kr.
Lag et regneark som regner ut total leie når antall døgn blir skrevet inn.
1.30
På Badehotellet er døgnprisen for et vanlig dobbeltrom med frokost 1790 kr.
Det er et tillegg på 200 kr per døgn for havutsikt. Hotellet reklamerer med pakken Badeferie. Hvis du bor der i minst fem døgn, får du ett døgn gratis.
Lag et regneark som hotellet kan bruke til å regne ut hva gjestene må betale.
RØDE OPPGAVER
1.31
I en hylle som er 30 cm bred, får du plass til 21 like brede pocketbøker.
Hvor mange pocketbøker får du plass til i en hylle som er 40 cm bred?
1.32
På Giganten betaler Sverre 22,25 kr for 2,5 hg med smågodt. På Sentralen betaler Peder 26,10 kr for 3 hg med smågodt. Hvor er det billigst?
1.33
Otto betaler 425 kr for 2,5 meter med voksduk.
Hvor mye må Alfred betale for 4,2 meter av den samme typen voksduk?
1.34
Sandra og Ole skal dele et beløp i forholdet 3 : 2. Sandra får 5100 kr. Hvor mye får Ole?
BLÅ OPPGAVER
1.35
Penny og Amy skal dele 6000 kr i forholdet 3 : 8.
Penny regner ut hvor mye hun skal ha:
6000 kr · 0,375 = 2250 kr
Er det riktig at Penny skal ha 2250 kr? Forklar framgangsmåten til Penny.
1.36
Per, Pål og Espen går sammen om å spille Lotto. Per satser 50 kr, Pål 60 kr og Espen 40 kr. De er enige om å dele en eventuell gevinst i samme forhold som innsatsen. De vinner 15 000 kr. Hvor mye får hver av dem?
1.37
I butikk A koster en 500 g pose med druer 49,90 kr. I butikk B koster den samme typen druer 69,90 kr per kg. En dag reklamerer butikk A med «Ta 3, betal for 2».
Du skal kjøpe 1,5 kg druer. Hvor lønner det seg å handle denne dagen?
1.38
I en trekant er forholdet mellom lengden av sidene 3 : 4 : 5.
Den lengste siden er 7,0 cm. Hvor lange er de andre sidene?
1C
Potenser og kvadratrøtter
Potenser
23
Eksponent
Grunntall
23 er et eksempel på en potens.
2 er grunntallet i potensen, og 3 er eksponenten
23 er det samme som 2 ⋅ 2 ⋅ 2.
Grunntallet i en potens kan være både positivt og negativt. Grunntallet kan være et tall, en bokstav eller en kombinasjon av tall og bokstav.
23 er en potens med 2 som grunntall og 3 som eksponent.
23 = 2 2 2 = 8
a4 er en potens med a som grunntall og 4 som eksponent.
a4 = a a a a
(2b)3 er en potens med 2b som grunntall og 3 som eksponent.
(2b)3 = 2b ⋅ 2b ⋅ 2b
Legg merke til forskjellen mellom ( 2)4 og 24
( 2)4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 16 24 = 2 2 2 2 = 16
Når vi skriver ( 2)4, er grunntallet 2. Når vi skriver 24, er grunntallet 2. Minustegnet er fortegnet til potensen 24
Det kunne vi ha skrevet slik: 24 ()
1.39
Regn ut. a 33 b ( 3)2 c 32 d (2a)4
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved
Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Matematikk Påbygging følger fagfornyelsens læreplan i matematikk påbygging som gjelder fra august 2022, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSKoppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKKoppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
Aunivers.no inneholder blant annet:
•Fullstendige løsninger av alle oppgavene
•Interaktive oppgaver
•Eksamensløsninger
•Opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python
•Læringsløp med programmering
Som lærer får du også tilgang til:
•Kapittelomtaler
•Kapittelprøver
•Terminprøver
•Aktivt klasserom
På Aunivers.no finner du Aschehoug Undervisnings digitale ressurser.