Matemagisk
ELEVHÅNDBOK
Asbjørn Lerø Kongsnes
Anne Karin Wallace
Matemagisk 8 – 10
ELEVHÅNDBOK
BOKMÅL
Asbjørn Lerø Kongsnes Anne Karin Wallace
Matemagisk 8–10. Elevhånbok er en del av læreverket Matemagisk 1–10 Læreverket følger læreplanen i matematikk for 1.–10. årstrinn.
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2020 1. utgave / 2. opplag 2021
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Kari Kleivdal
Grafisk formgiving: Type-it AS Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad Omslag: Marit Jakobsen
Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen
Tekniske tegninger: Arnvid Moholt
Illustrasjoner: Erik Ødegård, Kari Sortland og Martin Hvattum
Grunnskrift: Frutiger LT Std, 10 pkt. Papir: 100 g G-print 1,0 Trykk: Merkur Grafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40653-9 Aunivers.no
Foto og tegninger s. 10 Xuangu Han/Getty Images, s. 19 linuvomatic/istock, s. 33 lubilub/iStock, s. 42 luchshen/iStock, s. 47 Al Simonov/istock, s. 54 adisa/iStock, s. 62 Serghei Starus/iStock, s. 65 ewastudio/iStock, s. 70 trit2lumiere/iStock, s. 76 Yalkapopkova/iStock, s. 80 Bartosz Hadyniak/iStock , s. 87 johnnorth/iStock, s. 96 Yusufozluk/iStock, s. 105 NTB Scanpix / Sipa Asia, s. 111 Caroline Brundle Bugge/iStock, s. 118 Shuoshu/iStock, s. 134 funky-data/iStock, s. 136 istock/bestdesigns, s. 143 Coldsnowstorm/iStock, s. 148 Fotostorm Studio/iStock, s. 155 mphillips007/iStock, s. 167 SPmemory/iStock, s. 174 mikkelwilliam/iStock, s. 178 Eugene Sergeev/istock, s. 184 mediaphotos/iStock, s. 196 monkeybusinessimages/iStock, s. 200 mediaphotos/iStock
www.aschehoug.no
Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond.
SVANEMERKET
Forord
I denne boka finner du teori og forklaringer på alle matematiske emner for ungdomstrinnet. Vi legger vekt på gode forklaringer som utvikler forståelse for faget og viser sammenhenger.
Boka følger kapittelstrukturen i Matemagisk 8, 9 og 10. I tillegg har vi med et introduksjonskapittel om problemløsingsstrategier og tips til hvordan føre gode besvarelser i matematikk. Disse kapitlene kan det være lurt å lese flere ganger gjennom ungdomsskolen. Bakerst i boka finner du grunnleggende opplæring i programmering med Python, bruk av regneark og GeoGebra.
Dette er din egen bok! Vi håper du gjør den til din egen ved å skrive inn notater, streke under viktige begreper, osv. Boka vil du ha med deg gjennom hele ungdomsskolen, og du kan få god nytte av den også på videregående.
Tuva, Hiyanna, Yonas og Henrik vil følge deg gjennom boka, og gir deg gode tips og eksempler underveis.
HVA BETYR ORDET?
Her forklarer vi viktige matematiske begreper. Til hver forklaring har vi med et eksempel.
KORT FORTALT
Her oppsummerer vi viktige matematiske resultater.
FORKLAR SELV
Her får du mulighet til å forklare selv, og oppsummere noe av det viktigste fagstoffet. Du finner en «Forklar selv» på slutten av hvert delkapittel. Det kan være lurt å gjøre disse ordentlig. Skriv på en måte som du forstår! Du kan få nytte av forklaringene dine på senere trinn. erveis
TuvaHiyannaYonasHenrik
Innhold
Forord 3
Velkommen til Matemagisk 6
A Problemløsing i matematikk 6
B Føring av oppgaver 8
8. TRINN
1 Hele tall 10
1A Regnestrategier 10
1B Variabler og egenskaper ved multiplikasjon 12
1C Primtall og faktorisering 14
1D Negative tall 16
2 Brøk og desimaltall 19
2A Brøk 19
2B Desimaltall 27
2C Målenheter 30
2D Programmering i Python 32
3 Algebraiske uttrykk og formler 33
3A Verdien av algebraiske uttrykk 33
3B Praktiske situasjoner 35
3C Programmering med løkker 37
3D Figurtall 39
4 Potenser, kvadratrøtter og regnerekkefølge 42
4A Potenser og kvadratrøtter 42
4B Regnerekkefølge 45
5 Algebra og likninger 47
5A Forenkling av algebraiske uttrykk 47
5B Algebraisk løsningsmetode for likninger 49
5C Likninger i praktiske situasjoner 52
6 Parenteser og likninger 54
6A Parenteser i algebraiske uttrykk 54
6B Likninger med brøker og parenteser 58
6C Å løse likninger med programmering 60
7 Hva er en funksjon? 62
7A Funksjonsmaskiner 62
8 Grafen til en funksjon 65
8A Koordinatsystem 65
8B Å tegne grafen til en funksjon 67
9 Lineære funksjoner 70
9A Lineære funksjoner i praktiske situasjoner 70
9B Å utforske grafen til lineære funksjoner 74
10 Sammensatte målenheter 76
10A Forholdstrekanten 76
10B Gjennomsnittsfart 78
11
Figurtall og tallmønster 80
11A Å multiplisere to parenteser 80
11B Figurtall 82
11C Tallmønstre 86
12 Statistikk 87
12A Tabeller og diagrammer 87
12B Sentralmål og spredningsmål 93
13 Sannsynlighet 96
13A Grunnleggende sannsynlighet 96
13B Store talls lov 99
13C Sammensatte forsøk 102
14 Linjer, figurer og vinkler 105
14A Definisjoner og egenskaper 105
14B Vinkler i mangekanter 108
15 Areal og omkrets 111
15A Arealenheter 111
15B Areal og omkrets av mangekanter 113
15C Areal og omkrets av sirkler og sirkelsektorer 114
16 Pytagoras’ setning og formlikhet 118
16A Pytagoras’ setning 118
16B Spesielle trekanter 121
16C Formlikhet og kongruens 124
17 Volum og overflate 128
17A Volum 128
17B Volum og overflate av noen tredimensjonale figurer 130
18 Utforske matematiske sammenhenger 134
18A Utforske matematiske sammenhenger 134
19 Algebrastigen 136
20 Likningssett 143
20A Å løse likningssett 143
20B Å sette opp likningssett 147
21 Prosentregning 148
21A Strategier for prosentregning 148
21B Vekstfaktor 152
22 Personlig økonomi 155
22A Kjøp og salg 155
22B Sparing og lån 157
22C Utforskende arbeid 162
23 Funksjoner 167
23A Lineære funksjoner 167
23B Eksponentialfunksjoner 170
23C Å utforske funksjoner 173 24 Modellering 174
24A Å lage matematiske modeller 174
Velkommen til Matemagisk
MATEMAGISK 8–10
AProblemløsing i matematikk
I faget matematikk vil du bli utfordret på å løse mange ulike problemer. Det fins ulike måter å angripe disse oppgavene på.
Her får du en oversikt over 10 problemløsingsstrategier. Disse strategiene vil være nyttige i oppgaver der du ikke allerede kjenner en framgangsmåte for å løse oppgaven. Det viktigste er å ikke gi opp. Ofte må du starte på nytt flere ganger og angripe oppgaven på ulike måter før du kommer fram til en løsning.
Å FORSTÅ OPPGAVETEKSTEN
Start med å stille deg to sentrale spørsmål.
1 Hva skal jeg finne ut?
2 Hva vet jeg?
For å kunne svare på disse spørsmålene kan følgende strategier være nyttige: i oppgaveteksten. Det hjelper deg med å få oversikt og fokusere på det viktigste. Hvis du er usikker på hva noen av begrepene betyr, forsøk å finne ut av dette. Skriv gjerne en forklaring på begrepene. med de viktigste opplysningene. Da blir det lettere for hjernen å se sammenhenger. Etter hvert som du finner nye opplysninger, kan du skrive dem på punktlista.
Å LØSE OPPGAVEN
Når du har funnet ut hva oppgaven spør om og hvilke opplysninger du har, starter jobben med å løse oppgaven. Algoritmisk tenkning handler om å bryte en oppgave ned i deloppgaver som kan løses systematisk. Det er lurt å sette opp en algoritme (framgangsmåte) for hvordan oppgaven kan løses. Følgende strategier er ofte nyttige:
3 . Tegningen trenger ikke å være nøyaktig, men skal fungere som en hjelp for deg til å systematisere opplysninger og se sammenhenger. Ved å tegne kan du hjelpe hjernen til å se problemet på en ny måte. Bruk gjerne farger. Etter hvert som du finner nye opplysninger, kan du skrive dem på tegningen.
4 . Tabeller er nyttige for å hjelpe hjernen med å se sammenhenger. Skriv ryddig og oversiktlig. Bruk farger.
5 . Mange problemer kan løses ved å sette opp likninger. Når du setter opp en likning eller et likningssett, må du selv velge hva variablene i likningen står for. Du kan lese mer om å sette opp likninger i kapittel 5C og 20B.
6 Å tenke som en robot. Ved å programmere kan vi gjenta noen beregninger veldig mange ganger. Dette kan brukes til å løse problemer ved systematisk prøving og feiling, eller ved simulering.
7 Har du løst liknende problemer tidligere? Hvilke strategier brukte du da? Kan de samme strategiene brukes på dette problemet?
8 Forenkle problemet
Noen ganger virker et problem mye vanskeligere enn det egentlig er, fordi tallene som brukes, er vanskelige å regne med. Hvis du bytter ut tallene med enklere tall, kan du kanskje finne en strategi som kan brukes for å løse det opprinnelige problemet også. i oppgaveteksten. Hvis du står helt fast, kan det å se bort fra noen krav til løsningen av oppgaven hjelpe deg i gang. Hvis du for eksempel blir bedt om å tegne en rettvinklet og likebeint trekant kan du starte med å se bort fra at trekanten skal være likebeint. Dette kan gjøre at du etter hvert får til å løse oppgaven slik den er formulert.
Dette vil egentlig si å gjette på noe og bruke gjetningen din i den videre regningen. Hvis det for eksempel ser ut som om to trekanter er formlike, kan du i første omgang anta at de er det. Dette kan du bruke til å regne ut sidelengder. Etterpå må du gå tilbake og forsøke å vise hvorfor trekantene faktisk er formlike.
SPESIELLE STRATEGIER FOR GEOMETRI
9
Undersøk om du kan bruke Pytagoras’ setning eller formlikhet til å regne ut lengden av ukjente sider i trekanter. Det kan være lurt å finne ut så mye som mulig om vinklene. Noen ganger må du tegne inn nye linjestykker på figuren for å lage trekanter som er rettvinklede eller formlike. Du kan lese mer om dette i kapittel 16.
10 . Ved å dele opp figuren i mindre enheter kan du forenkle regningen. Da kan du få bruk for formler for areal, omkrets, volum og overflate som fins i kapittel 15B, 15C og 17B.
VURDER OM SVARET ER RIMELIG
Etter at du har løst en oppgave, bør du alltid prøve å vurdere om svaret du har kommet fram til, er rimelig!
BFøring av oppgaver
Gir svaret mening?
Kan du gjøre overslag for å sjekke om svaret er rimelig?
Å vise hvordan du kommer fram til svaret på en oppgave, er minst like viktig som selve svaret. Når du skriver utregning på oppgaver, er det viktig å skrive ryddig og oversiktlig. Det skal komme klart fram hvordan du har tenkt. Tekstoppgaver skal besvares med en svarsetning til slutt.
HVA KJENNETEGNER EN GOD BESVARELSE?
1 En god besvarelse . Sett tall under hverandre, og bruk avsnitt.
2 En god besvarelse Dette kan gjøres med ord eller tegninger og trenger ikke ta mye plass.
3 En god besvarelse . Dette kan for eksempel være hvorfor du kan bruke Pytagoras’ setning, hvorfor trekantene er formlike, hva variablene står for i likninger du setter opp, eller hvorfor funksjonsuttrykket blir slik du har skrevet.
4 En god besvarelse . Likhetstegnet betyr at verdien av uttrykket på venstre side er lik verdien av uttrykket på høyre side av likhetstegnet.
5 En god besvarelse . Målenheter skal alltid være med i svaret. Målenheter skal enten tas med i all utregning eller bare i svaret.
6 En god besvarelse . Dette kan for eksempel gjøres med to streker under svaret, ring rundt svaret, bruk av markeringspenn eller rett og slett skrive «Svar: ».
EKSEMPEL
Her vises to besvarelser der den ene er god og den andre er dårlig. Vi understreker at gode besvarelser kan føres og settes opp på ulike måter så lenge de seks kjennetegnene ivaretas.
Oppgavetekst
Tre ungdommer drar på kino. Kinobillettene koster 140 kr per stykk. I tillegg kjøper de varer i kiosken for 100 kr til sammen. Hvor mye koster kinoturen totalt for de tre personene til sammen?
1 Rotete. Utregningen står skrevet skrått og svaret står over utregningen.
2 Ingen tall er forklart.
3 Dette punktet er ikke relevant i denne oppgaven.
4 Det første likhetstegnet er brukt feil. Verdien av uttrykket på venstre side, 3 140, er ikke lik verdien av uttrykket på høyre side, 420 + 100
1 Svært ryddig. Enkelt å lese.
2 Hva som er billettpriser og hva som er kioskpriser, er forklart.
3 Dette punktet er ikke relevant i denne oppgaven.
4 Likhetstegnet er brukt riktig.
5 Målenheter er brukt gjennom hele utregningen.
5 Målenhetene dukker plutselig opp midt i utregningen.
6 Det er skrevet svarsetning med to streker under svaret.
6 Svaret er ikke tydelig markert.
Hele tall
MATEMAGISK 8
BEGREPER : Likhetstegn, addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, ledd, faktor, produkt, variabel, naturlig tall, rest, delelig, partall, oddetall, faktorisere, primtall, primtallsfaktorisere, negativt tall, fortegn, regnetegn
1ARegnestrategier
Vi kan regne på ulike måter. Omgruppering, å tegne figurer, å hoppe på tallinja og skriftlig regning er eksempler på regnestrategier
BRUK AV LIKHETSTEGNET
Når vi skriver likhetstegnet (=), mener vi at verdien av regneuttrykket på venstre side er lik verdien av regneuttrykket på høyre side av likhetstegnet.
Regneuttrykk=Regneuttrykk
Samme verdi
HVABETYR ORDENE?
Addisjon: Ledd + ledd = sum
Subtraksjon: Ledd ledd = differanse
Multiplikasjon: Faktor ⋅ faktor = produkt
Divisjon: Dividend : divisor = kvotient
Et eksempel på en likhet er 4 + 5 = 6 + 3
Her har begge sider av likhetstegnet verdien 9.
Å addere er det samme som å legge sammen Å subtrahere er det samme som å trekke fra Å multiplisere er det samme som å gange
Å dividere er det samme som å dele.
UTVIDET FORM
Å skrive et tall på utvidet form vil si å skrive tallet ved hjelp av enere, tiere, hundrere osv.
TusenplassHundrerplassTierplassEnerplass
5 2 0 7
5207 5000 200 0 7
51000 2100 010 71 =+++ = + + +
Å GANGE OG DELE MED NULL
Når vi ganger et tall med null, blir svaret alltid null.
Multiplikasjon og divisjon er motsatte regneoperasjoner.
Det betyr blant annet at 30 : 5 = 6 fordi 6 5 = 30.
Hva blir 30 : 0? Det går ikke an, fordi det ikke fins noe tall du kan gange med 0, for å få 30.
FORKLAR SELV
Å dele opp tall ved å bruke utvidet form er ofte en del av en regnestrategi.
Å dele på null blir tull! ke el
Hvilke to regnestrategier liker du best? Lag regnestykker, og vis eksempler på utregning der favorittstrategiene dine er spesielt nyttige.
Velg gjerne en strategi for addisjon/subtraksjon og en strategi for multiplikasjon/divisjon.
1B Variabler og egenskaper ved multiplikasjon
En viktig del av matematikken handler om å finne og beskrive mønstre og sammenhenger. Da må vi noen ganger beskrive tallstørrelser som vi ikke kjenner verdien til.
VARIABLER
Tonje jobber i butikk, men vet ikke hvor mange timer hun skal jobbe denne uka.
Vi kan beskrive hvor mange timer Tonje jobber med symbolet ?
Her er skyen et symbol som står for et tall (antall timer) vi ikke vet hva er.
Vi kaller ? en variabel
Å tegne skyer er tungvint. Derfor har matematikere blitt enige om at vi kan bruke bokstaver i stedet. Vi bytter ut skyen med bokstaven t. Da står t for antall timer Tonje jobber denne uka. Her er bokstaven t en variabel.
Når vi bruker samme variabel flere steder i et regneuttrykk, står variabelen for det samme tallet alle stedene.
I regneuttrykket
4 a + b a står variabelen a for det samme tallet begge stedene.
HVABETYR ORDET?
En variabel er et symbol som står for et tall. Verdien til variabelen kan variere.
Vi bruker ofte små bokstaver som variabler, for eksempel a, b, n, t eller x
HVORFOR BLIR 3 · 5 DET SAMME SOM 5 · 3?
3 ⋅ 5 betyr 5 + 5 + 5.
5 3 betyr 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
Hvis vi regner ut, ser vi at 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3. Vi får samme svar uansett hvilken rekkefølge faktorene står i. Dette gjelder uansett hvilke to tall vi ganger sammen. Hvorfor blir det slik?
De 15 svarte sirklene kan vi telle på to måter:
1 Telle antall rader og gange med antall sirkler i hver rad (3 5).
2 Telle antall kolonner og gange med antall sirkler i hver kolonne (5 3).
3 · 5eller5 · 33 · 55 · 3
Begge måter å telle på må gi samme svar. Vi teller tross alt de samme sirklene.
Hvis vi bytter ut tallene 3 og 5 med 4 og 7, kan vi oppdage at 4 7 = 7 4.
Vi får alltid samme svar uansett hvilken rekkefølge faktorene står i.
Dette er en egenskap ved multiplikasjon som gjelder for alle tall.
HVORDAN REGNE UT 3 · 6 · 50?
Vi skal bruke en regnefortelling til å svare på dette.
Spillerne i en innebandyklubb er delt i 3 lag. På hvert lag er det 6 spillere.
Alle spillerne i klubben har blitt bedt om å ta med seg 50 kr.
Vi lurer på hvor mye penger spillerne har tatt med seg til sammen.
1 Henriks regnemåte
(3 6) 50 = 18 50 = 900
3 lag med 6 spillere på hvert lag gir totalt 3 ⋅ 6 = 18 spillere i klubben.
Deretter ganger jeg med 50 siden alle spillerne har med seg 50 kr hver.
Dermed har spillerne til sammen med seg 900 kr.
2 Hiyannas regnemåte
3 (6 50) = 3 300 = 900
Siden det er 6 spillere på hvert lag og de har tatt med 50 kr hver, har hvert lag med seg 300 kr.
Til slutt ganger jeg med 3 siden det er 3 lag.
Dermed har spillerne til sammen med seg 900 kr.
Jeg regner først ut hvor mange spillere det er i klubben.
Jeg regner først ut hvor mye penger spillerne på hvert lag har tatt med seg.
Vi har sett to måter å regne ut regnestykket 3 6 50. Begge måtene gir samme svar.
KORT FORTALT
For alle tall a, b og c er a b = b a (a b) c = a (b c)
Vi kan gange flere tall i akkurat den rekkefølgen vi vil. Svaret blir det samme uansett hvilken rekkefølge vi velger.
FORKLAR SELV
Her har vi sett på to egenskaper ved multiplikasjon. Beskriv disse egenskapene med egne ord, og gi eksempler på hvordan du kan bruke dem.
1CPrimtall og faktorisering
HVABETYR ORDET?
Hele positive tall kalles naturlige tall.
De første naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
HVABETYR ORDENE?
Vi skal dele 13 sjokoladebiter på 4 personer. Hver person får 3 biter. Det blir 1 bit til overs. Vi sier at divisjonen har en rest, den går ikke opp Tallet 13 er ikke delelig med 4.
Et naturlig tall a er delelig med et naturlig tall b hvis divisjonen a : b ikke gir noen rest.
HVABETYR ORDENE?
Partall er naturlige tall som er delelige med to. De første partallene er 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
REGLER FOR DELELIGHET
12 er delelig med 4, fordi 12 : 4 = 3
15 er ikke delelig med 4, fordi 15 : 4 blir et desimaltall. 4, fordi
Oddetall er naturlige tall som ikke er delelige med to. De første oddetallene er 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
Du skal dele påDivisjonen går opp hvisEksempel
2 Siste siffer er et partall eller 0 (0, 2, 4, 6, 8).
3 Summen av alle sifrene i tallet (tverrsummen) er delelig med 3.
4 Tallet som utgjøres av de to siste sifrene, er delelig med 4.
324 er delelig med 2 fordi 4 er et partall.
324 er delelig med 3 fordi 3 + 2 + 4 = 9, og 9 er delelig med 3.
324 er delelig med 4 fordi 24 : 4 = 6.
5Siste siffer er 5 eller 0.324 er ikke delelig med 5, fordi siste siffer er 4.
10Siste siffer er 0.324 er ikke delelig med 10, fordi siste siffer er 4.
HVABETYR ORDET?
Å faktorisere et tall vil si å skrive tallet som et produkt av to eller flere faktorer uten å bruke tallet 1 som faktor.
12 = 2 6
12 = 3 4
12 = 2 2 3
HVABETYR ORDENE?
Primtall er naturlige tall som er større enn eller lik 2, og som bare er delelig med seg selv og 1. De ti første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29.
Å primtallsfaktorisere et tall vil si å skrive et tall som et produkt av to eller flere faktorer der alle faktorene er primtall.
EKSEMPEL
Primtallsfaktoriser 42.
1 Henriks strategi 42 = 6 7 = 2 3 7
Primtallsfaktoriseringen av 12 er 2 2 3.
2 Yonas’ strategi
FORKLAR SELV
Jeg vet at 6 7 = 42, så jeg begynner med det.
Jeg sjekker primtallene systematisk og begynner med det minste primtallet. 2 3 7 42 21 7 1 42 2 3 71 21 7
Svar: 42 = 2 3 7
Forklar hvordan du kan gå fram når du primtallsfaktoriserer tall. Lag et eksempel.
Kan du bruke ulike strategier?
1D Negative tall
De negative tallene ligger til venstre for 0 på tallinja.
NegativetallNullPositivetall
–5–4–3–2–1012345
HVABETYR ORDENE?
Vi bruker minustegnet både som fortegn og som regnetegn
Når vi skal skrive et negativt tall, bruker vi fortegnet
Tallet «minus 4» skriver vi som 4.
4 7 er regnetegn.
4 er fortegn.
Vi bruker også minustegnet til regneoperasjonen subtraksjon.
I regneuttrykket 6 ( 4) er første regnetegn, og andre fortegn.
For å markere tydelig skillet mellom subtraksjon og negativt tall setter vi en parentes rundt det negative tallet «minus 4», ( 4).
Å LEGGE TIL ET NEGATIVT TALL
( 4) + 4 = 0
Vi kan bytte rekkefølge på leddene og få samme svar i addisjonsstykker. Derfor er 4 + ( 4) også lik 0. Da må det å legge til ( 4) være det samme som å trekke fra 4.
7 + ( 12) = 7 12 =−5
+(–12)
–7–6–5–4–3–2–1102345678
Å TREKKE FRA ET NEGATIVT TALL
Når vi legger til et negativt tall, hopper vi mot venstre på tallinja.
Siden subtraksjon er det motsatte av addisjon, må vi hoppe mot høyre på tallinja når vi trekker fra et negativt tall.
7 ( 12) = 7 + 12 = 19
–(–12)
567891011121314151617181920
Å GANGE ET POSITIVT TALL MED ET NEGATIVT TALL
3 2 = 2 + 2 + 2 og kan vises på tallinja slik: –7–6–5–4–3–2–1102345678
3 ⋅ ( 2) = ( 2) + ( 2) + ( 2) og kan vises på tallinja slik:
Å GANGE ET NEGATIVT TALL MED ET POSITIVT TALL
Se på regnestykkene. Alle regnestykkene over streken vet vi allerede svaret på. De oransje tallene synker med én for hver rad. De blå tallene synker med fem for hver rad.
3·5=15
2·5=10
1·5=5
0·5=0
(–1) ·5=–5
(–2) ·5=–10
(–3) ·5=–15
Når vi multipliserer et positivt og et negativt tall, blir svaret negativt.
Se så på regnestykkene under streken. De oransje tallene fortsetter å synke med én for hver rad. Da bør også de blå tallene fortsette å synke med fem for hver rad.
Tallet 5 kunne vært byttet ut med et hvilket som helst tall, og vi ville fått tilsvarende mønster.
Å GANGE ET NEGATIVT TALL MED ET NEGATIVT TALL
Begrunnelse 1
Se på regnestykkene. Alle regnestykkene over streken vet vi allerede svaret på. De oransje tallene synker med én for hver rad. De blå tallene øker med fem for hver rad.
3· (–5) =–15
2· (–5) =–10
1· (–5) =–5
0· (–5) =–0
(–1) · (–5) =5
(–2) · (–5) =10
(–3) · (–5) =15
Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret positivt.
Se så på regnestykkene under streken. De oransje tallene fortsetter å synke med én for hver rad. Da bør også de blå tallene fortsette å øke med fem for hver rad.
Tallet ( 5) kunne vært byttet ut med et hvilket som helst tall, og vi ville fått tilsvarende mønster.
Begrunnelse 2
3 + ( 3) = 0. Da er også 3 a + ( 3) a = 0 der a står for et hvilket som helst tall.
For eksempel er
3 ( 5) + ( 3) ( 5) = 0
15 + ( 3) ⋅ ( 5) = 0
For at likheten skal være riktig, må ( 3) ( 5) = 15.
3 ( 5) =−15.
Vi bytter derfor ut 3 ( 5) med 15 i regneuttrykket.
DIVISJON MED NEGATIVE TALL
20 : 5 = 4, fordi 4 5 = 20.
20 : ( 5) = ( 4), fordi ( 4) ( 5) = 20.
( 20) : 5 = ( 4), fordi ( 4) ⋅ 5 = ( 20).
( 20) : ( 5) = 4, fordi 4 ( 5) = ( 20).
Reglene for fortegn blir de samme ved divisjon som ved multiplikasjon.
10 : ( 2) =−5 ( 20) : ( 10) = 2
FORKLAR SELV
Lag en oppsummering av regnereglene for negative tall. Bruk gjerne eksempler.
2 Brøk og desimaltall MATEMAGISK
8
BEGREPER : Likeverdige brøker, utvide brøk, forkorte brøk, fellesnevner, desimaltall, prosent, avrunding, overslag, målenhet, Python, kalkulatorprogram, algoritme
2ABrøk
HVA ER EN HEL?
Når vi regner med brøk, må vi ha klart for oss hva som er enheten, hva som er én hel
En grønn bit er 1 4 av en hel sirkel, men samtidig er den 1 2 av en oransje bit.
En rød bit er 1 4 av kvadratet, men samtidig er den 1 8 av det grå rektanglet.
Når vi plasserer tall på tallinja, er enheten avstanden fra 0 til 1, det er én hel.
Den blå pila peker på tallet 3 4 på tallinja.
HVABETYR ORDET?
To brøker kalles likeverdige hvis de har samme verdi.
2 , 2 4 og 3 6 er likeverdige brøker.
Å UTVIDE BRØK
2 5 av figuren er fargelagt.
Vi deler opp figuren slik at vi får tre ganger så mange ruter.
Vi har både fått tre ganger så mange ruter totalt og tre ganger så mange fargede ruter.
2 5 2 3 5 3 6 15 = =
6 15 av figuren er fargelagt.
Teller Nevner 6Brøkstrek15
Det er ingenting spesielt med tallet 3. Vi kunne byttet det ut med et hvilket som helst tall.
Vi kan altså gange nevneren og telleren med det samme tallet uten å endre verdien av brøken. Vi kaller dette å utvide brøken
KORT FORTALT
For alle tall a, b og c der b og c ikke er null, er = ⋅ a b ac bc
Å forkorte en brøk er det motsatte av å utvide brøken.
KORT FORTALT
Når vi adderer to brøker med lik nevner, beholder vi nevneren og legger sammen tellerne. Vi gjør tilsvarende ved subtraksjon.
For alle tall a, b og c der c ikke er null, er
b c ab c
ADDISJON OG SUBTRAKSJON AV BRØKER MED ULIKE NEVNERE
Hvis brøkene har ulik nevner, må vi få samme nevner før vi kan addere eller subtrahere brøkene.
Regn ut 1 4 3 8
Vi utvider den første brøken med faktoren 2 for at brøkene skal få samme nevner, fellesnevneren
Når vi har fått fellesnevner, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren.
+ = 2 8 3 8 23 8 5 8
Hele utregningen kan skrives slik:
Vi kan gjøre tilsvarende regning ved subtraksjon:
Å FINNE FELLESNEVNER
Vi skal finne fellesnevner for å regne ut 11 12 1 6 3 8
1 Tuvas strategi: Primtallsfaktorisering Primtallsfaktoriser nevnerne. Ta med felles faktorer én gang i tillegg til de faktorene som ikke er felles.
12 = 2 2 3
6 = 2 ⋅ 3
8 = 2 2 2
Fellesnevner = 2 2 3 2 = 24
Vi regner ut:
HELTALL GANGET MED BRØK
4 3 betyr 4 grupper av 3.
4 3 = 3 + 3 + 3 + 3
4 3 5 betyr 4 grupper av 3 5 ⋅=+++ 4 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5
For å finne svaret kan vi telle antall femdeler.
4 ⋅ 3 femdeler = 12 femdeler = 12 5
Vi kan finne svaret ved å gange heltallet med telleren i brøken. Det er ingenting spesielt med tallene i dette eksemplet. Slik blir det uansett hvilke tall vi velger.
2 Hiyannas strategi: Bruke gangetabellen Skriv gangetabellene til nevnerne. Første tall som fins i alle gangetabellene, kan brukes som fellesnevner.
12-gangen 122436
6-gangen 61218243036
8-gangen 816243240
Husk å forkorte svaret 33 24 11 8
KORT FORTALT
For alle tall a, b og c der b ikke er null, er
⋅= c a b ca b
BRØKDELEN AV ET TALL
Vi skal finne 3 4 av 800. Da er 800 helheten som vi skal finne 3 4 av.
Del først 800 inn i fire like store deler. Legg sammen 3 av de fire delene.
Vi ser at 1 4 av 800 er 200, så 3 4 av 800 blir 600.
BRØK MULTIPLISERT MED BRØK
Vi kan vise hvordan en brøk multipliseres med en annen brøk ved å tegne rektangler.
Vi skal regne ut 3 5 1 2 3 5 1 2 er det samme som 3 5 av 1 2
Vi tegner tre like store rektangler for å vise dette.
Det tredje rektanglet er delt inn i 5 2 = 10 ruter totalt.
Området som viser 3 5 av 1 2 består av 3 1 = 3 ruter.
⋅= = 3 5 1 2 31 52 3 10
Det blå arealet er 3 5 av 1 2
Vi kan tegne tilsvarende figurer for andre regnestykker. Ved å tegne flere figurer kan vi oppdage at vi alltid kan finne svaret ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner.
KORT FORTALT
For alle tall a, b, c og d der b og d ikke er null, er
Å DELE PÅ EN BRØK
Delestykket 4 : 1 3 kan forklares med et praktisk eksempel.
Hvor mange plankebiter som er 1 3 m lange må vi legge etter hverandre for å få 4 m med planker?
Vi teller at vi trenger 12 plankebiter. 4: 1 3 12
Hvis hver plankebit er 1 5 m lang, trenger vi 4: 1 5 20 plankebiter.
Når vi deler på en brøk der telleren er 1, får vi samme resultat som om vi ganger med nevneren.
Vi tar nå utgangspunkt i regnestykket 4: 1 3 . La oss se hva som skjer om vi i stedet deler på 2 3
Siden alle plankene blir dobbelt så lange, trenger vi halvparten så mange planker for å måle opp 4 m. Vi kan med andre ord først regne ut 4: 1 3 og så gange med 1 2
La oss på nytt ta utgangspunkt i 4: 1 3 og denne gangen sammenlikne med 4: 4 3
Nå blir hver planke fire ganger så lang, dermed trenger vi en firedel så mange planker. Vi kan derfor først regne ut 4: 1 3 og så gange med 1 4 4: 4 3 = 4: 1 3 1 4 = 4 3 1 4 = 4 3 4
Dette fungerer også når det første tallet er en brøk.
KORT FORTALT
Når vi deler et tall på en brøk, ganger vi med den omvendte brøken.
For alle tall a, b, c og d der b, c og d ikke er null, er
=⋅ a c d a d c :
=⋅ a b c d a b d c :
FORKLAR SELV
Forklar med egne ord hva det vil si å utvide og forkorte brøk. Lag eksempler.
Lag en oppsummering som viser hvordan du regner med brøk i alle de fire regneartene. Lag eksempler, og forklar med ord hvordan du regner.
2B Desimaltall
0,6 5
TidelerHundredeler
0,65
Hundredeler
Vi kan plassere desimaltall på tallinja:
0,65 er 6 tideler og 5 hundredeler. 0,65 er 65 hundredeler. 0 0,050,30,50,650,921,461,6
OMGJØRING MELLOM BRØK, DESIMALTALL OG PROSENT
Prosent betyr hundredel. 1 % = 1 100 = 0,01
Fra desimaltall til prosent Gang med hundre siden prosent betyr hundredel.
0,124 = 0,124 ⋅ 100 % = 12,4 %
Fra desimaltall eller prosent til brøk Skriv som hundredeler og forkort brøken. === ⋅ = 48%0,48 48 100 124 254 12 25 == ⋅ = 0,4 40 100 220 520 2 5
Fra brøk til prosent eller desimaltall 3 5 3 20 5 20 60 100 0,660% = === 63 150 213 503 21 50 21 2 50 2 42 100 0,4242% = == ===
Det er vanskelig å utvide 3 7 til hundredeler. Derfor tenker jeg på brøkstreken som et deletegn og utfører divisjonen. Jeg har rundetav fra 0,428 571 428 571 428 571… =≈= 3 7 3:70,428642,86%
Jeg skriver om brøken slik at jeg får 100 i nevneren.
Matematikk for 8.–10. trinn
Matemagisk 8–10 Elevhåndbok er en fyll-inn-bok som elevene har med seg fra de begynner i 8. trinn og ut 10. trinn. Boka inneholder teori og forklaringer på alle matematiske emner for ungdomstrinnet.
I denne boka får også elevene muligheten til selv å forklare og oppsummere noe av det viktigste fagstoffet.
Elevhåndboka følger kapittelstrukturen i Matemagisk 8, Matemagisk 9 og Matemagisk 10. I tillegg inneholder boka et introduksjonskapittel om problemløsingsstrategier, og tips til hvordan føre gode besvarelser i matematikk. Elevhåndboka inneholder også grunnleggende opplæring i programmering med Python, bruk av regneark og GeoGebra.
Matemagisk 8–10 er utviklet av fagpersoner og lærere med nærhet til klasserommet.
Matemagisk 8–10 består av
• Matemagisk 8, Matemagisk 9 og Matemagisk 10 Lærebok
• Matemagisk 8–10 Elevhåndbok
• Matemagisk 8–10 Digital, med elevressurser og lærerveiledning
Digitale ressurser finner du på Aunivers.no