Matemagisk 10: Grunnbok by Aschehoug Utdanning

Matemagisk

Asbjørn Lerø Kongsnes

Anne Karin Wallace

Matemagisk

Asbjørn Lerø Kongsnes

Anne Karin Wallace

Matemagisk 10 Lærebok er en del av læremiddelet Matemagisk 1–10. Læremiddelet følger læreplanen i matematikk for 1.–10. årstrinn.

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.

Redaktører: Kari Kleivdal, Harald Øyen Kittang og Martin Høgholen Grafisk formgiving: Marit Jakobsen og Type-it AS

Omslag: Marit Jakobsen

Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen

Tekniske tegninger: Arnvid Moholt og Hanne Sjøtrø, AiT Bjerch AS Illustrasjoner: Erik Ødegård, Kari Sortland og Martin Hvattum, BASTA illustrasjon & design – www.basta.no

Ombrekking: Gudbrand Klæstad, ord og form

Grunnskrift: Frutiger LT Std, 10/14 pkt.

Papir: 100 g G-print 1,0

Trykk: Merkur Grafisk AS

Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien

ISBN 978-82-03-40777-2

Aunivers.no

Foto og tegninger

s. 7 funky-data/iStock, s. 64 Coldsnowstorm/iStock, s. 86 Fotostorm Studio/iStock, s. 106 Irina Shatilova/iStock, s. 122 mphillips007/iStock, s. 168 SPmemory/iStock, s. 175 Diane Labombarbe/iStock, 226 mikkelwilliam/iStock, s. 260 Vect0r0vich/ iStock, 268 Eugene Sergeev/istock, s. 276 youngID/iStock

Oppgave 24.17 på s. 259 er laget med utgangspunkt i en oppgave av Kyle Pearce hentet fra tapintoteenminds.com

www.aschehoug.no

Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond.

Innhold

18 Utforske matematiske sammenhenger

18A Utforske matematiske sammenhenger 11

19 Algebrastigen

Trinn 1: Å forenkle algebraiske uttrykk 22

Trinn 2: Å løse likninger 25

Trinn 3: Å forenkle algebraiske uttrykk med parenteser ................... 29

Trinn 4: Å løse likninger med parenteser 32

Trinn 5: Å forenkle algebraiske uttrykk med brøker og parenteser 34

Trinn 6: Å løse likninger med brøker og parenteser 39

Trinn 7: Å forenkle algebraiske uttrykk med brøker, parenteser og potenser 43

Trinn 8: Å faktorisere og forkorte brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner 48

Trinn 9: Multiplikasjon og divisjon av brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner 56

Trinn 10: Addisjon og subtraksjon av brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner 58

20 Likningssett

20A Å løse likningssett 66

20B Å sette opp likningssett 75

21 Prosentregning

21A Strategier for prosentregning 88 21B Vekstfaktor .

22 Personlig økonomi

23 Funksjoner

23A Lineære funksjoner

24 Modellering

24A

Geometritårnet

Byggekloss 1: Areal og omkrets

2: Volum og overflate

3: Pytagoras’ setning

Byggekloss 4: Formlikhet

Byggekloss 5: Sammensatte figurer

Byggekloss 6: Sidelengder som er algebraiske uttrykk

Byggekloss 7: Avansert bruk av Pytagoras’ setning

Byggekloss 8: Geometri i

Velkommen til Matemagisk 10

Matemagisk 10 legger til rette for at dere som elever får være aktive, utforske og oppdage matematiske sammenhenger. Vi ønsker at dere skal snakke matte med hverandre, utvikle forståelse og bli gode problemløsere. Boka legger opp til at dere kan samarbeide om matematikken. I boka finner dere varierte oppgaver knyttet til virkeligheten som gjør matematikken meningsfull og relevant. Boka kan brukes alene eller i kombinasjon med Matemagisk 8–10 Elevhåndbok

Fellesløypa

Hvert delkapittel begynner med en fellesløype. Denne er designet for arbeid i fellesskap i klassen. Den består av teori, eksempler, utforskende oppgaver, Snakke matte-oppgaver, spill, aktiviteter og andre varierte oppgaver. Programmering og andre digitale verktøy er integrert i delkapitlene der det er relevant.

Nøkkelhull

Oppgaver som viser spesielt viktige ideer og tenkemåter.

Oppgaver der dere skal snakke matte med hverandre. Her trener dere på å forklare hvordan dere tenker.

Følg stien

Oppgaver der du får trent mer på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her trener du på én ting om gangen. Følg stien dekker det mest sentrale faginnholdet og finnes i slutten av hvert delkapittel.

Terrengløypa

Oppgaver som bygger videre på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her kan du få sammensatte utfordringer, også fra flere temaer på en gang. Terrengløypa finner du i slutten av hvert delkapittel.

SNAKKE MATTE

Topptur

Oppgaver som er svært utfordrende og som går utover det som kan forventes på dette trinnet. Jobb med toppturen hvis du mestrer oppgavene i terrengløypa godt. Toppturen finner du i slutten av hvert kapittel.

Ekspedisjon

Oppgaver som går langt utover det som kan forventes på dette trinnet. Oppgavene gir særlig god trening i abstraksjon, generalisering og avansert problemløsing. Fire ekspedisjoner er plassert på strategiske steder i boka.

Noen ganger jobber jeg bare i «følg stien».

Jeg gjør noen ganger «toppturen», men jeg gjør alltid «terrengløypa» først.

Noen få ganger jobber jeg bare i «terrengløypa».

Noen ganger jobber jeg litt i «følg stien» og litt i «terrengløypa».

Hiyanna

Henrik

Tuva

Yonas

Utforske matematiske sammenhenger

1 Hva ser dere på bildet?

2 Hvor mange personer er det på bildet?

3 På hvor mange måter kan dere r egne ut hvor mange personer som er på bildet?

Talltriks

Med matematikk kan vi lage mange talltriks som kan virke magiske. Det kan være morsomt å teste ut magiske talltriks på venner og familie. Her utforsker vi noen slike talltriks.

Denne algoritmen viser et magisk talltriks.

Steg 1 Tenk på et tall.

Steg 2 Gang tallet du nå har fått, med 2.

Steg 3 Legg til 10.

Steg 4 Del tallet du nå har fått, på 2.

Steg 5 Trekk fra tallet du startet med å tenke på.

a Gjennomfør algoritmen med noen ulike starttall. Hva oppdager du?

b Lag et program som følger algoritmen for et tall brukeren av programmet velger.

c Lag et program som gjennomfører talltrikset for alle heltall fra og med a til b der a og b er to tall brukeren skriver inn.

Her må du bruke en løkke.

Yonas, Henrik og Hiyanna har skrevet ulike forklaringer på hvorfor talltrikset fungerer.

Yonas’ forklaringHenriks forklaringHiyannas forklaring

Steg1 x x x

I steg 4 faktoriserer jeg uttrykket 2x + 10.

Da bruker jeg sammenhengen a(b + c) = ab + ac «baklengs» ved å sette 2-tallet utenfor en parentes.

d Gå gjennom de tre forklaringene ovenfor, og beskriv hva som skjer i hvert steg.

Dette er et magisk talltriks:

«Tenk på et tall. Gang tallet du nå har fått, med 4. Legg til 20.

Del tallet du nå har fått, på 4. Trekk fra tallet du startet med å tenke på».

a Skriv talltrikset som en algoritme.

b Gjennomfør beregningene med noen ulike starttall. Hva oppdager du?

c Lag et program som sjekker om talltrikset fungerer for 1000 forskjellige starttall.

d Forklar hvorfor det magiske talltrikset fungerer

Dette er et magisk talltriks for å finne ut hvilket kort som er trukket fra en kortstokk.

• Trekk et kort fra kortstokken.

• Gang kortets verdi med 5.

• Legg til 2.

• Doble tallet du nå har fått.

• Legg til 9 hvis det er spar ♠, 8 hvis det er hjerter ♥, 7 hvis det er ruter ♦ og 6 hvis det er kløver ♣.

• Oppgi sluttverdien.

Ess har verdien 1, knekt verdien 11, dame verdien 12 og konge verdien 13.

Nå skal vi finne ut hvilket kort som ble trukket fra kortstokken.

Trekk 4 fra sluttverdien. Det siste sifferet viser nå om det er spar, hjerter, ruter eller kløver.

• Hvis siste siffer er 9, er det spar

• Hvis siste siffer er 8, er det hjerter

• Hvis siste siffer er 7, er det ruter

• Hvis siste siffer er 6, er det kløver

Heltallsdelen av tallet 11,7 er 11.

Del på 10, behold heltallsdelen av svaret, og du får kortets verdi.

a Prøv trikset på noen ulike kort og sjekk at det fungerer.

b Bruk algebraiske uttrykk til å forklare hvorfor trikset fungerer.

Lag ditt eget magiske talltriks. Test det på noen du kjenner.

Bruk algebraiske uttrykk til å forklare hvorfor trikset fungerer.

18A Utforske matematiske sammenhenger

• Bruke programmering til å utforske matematiske egenskaper og sammenhenger.

• Utforske og begrunne geometrisk, algebraisk og med programmering, hvordan vi kan multiplisere parenteser

OPPgAvE 18.1

Vi skal lage et program som vi kan bruke til å utforske om a(b + c + d) = ab + ac + ad for hele tall a, b, c og d

Algoritme

Steg 1 Brukeren skriver inn tall for variablene a, b, c og d

Steg 2 Programmet regner ut verdien av uttrykket på den venstre siden og uttrykket på den høyre siden av likhetstegnet, og lagrer svarene i to variabler.

Steg 3 Programmet sjekker om de to variablene fra steg 2 har samme verdi, og skriver en forklarende tekst til skjermen.

a Lag et program som følger algoritmen.

b Test programmet flere ganger ved å velge ulike tall for variablene a, b, c og d. Hva oppdager du?

I oppgave 18.1 lagde dere et program for å sjekke om a(b + c + d) = ab + ac + ad stemmer for ulike verdier av tallene a, b, c og d. Er dette en begrunnelse for at det alltid stemmer?

SNAKKE MATTE

Til høyre ser dere et rektangel.

a Foreslå ulike måter å regne ut hvor mange ruter det er i rektanglet.

b Forklar sammenhengen mellom tabellene og rektanglet.

c Bruk et rektangel til å begrunne at a(b + c + d) = ab + ac + ad for alle positive tall

a, b, c og d

SNAKKE MATTE

Tuva skal regne ut a(b + c + d). Hun tar utgangspunkt i den kjente sammenhengen

a(b + z) = ab + az for alle tall a, b og z. Hun velger at z = c + d og regner på følgende måte:

ab cd a b cd a b z ab az ab a cd abacad () () () () ++ =+ + =+ =+ =+ + =+ +

a Forklar hva Tuva gjør på hver linje.

b Begrunn at Tuva nå har vist at a(b + c + d) = ab + ac + ad for alle tall a, b, c og d

OPPgAvE 18.2

a Lag et program som utforsker om (a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be for hele tall a, b, c, d og e b Er likheten i oppgave a riktig? Begrunn svaret.

Du kan tegne rektangler eller lage en algebraisk begrunnelse.

OPPgAvE 18.3

a Lag et program som kan brukes til å utforske om (x + 5)2 har samme verdi som x2 + 25 for ulike heltallige verdier av x.

b Kjør programmet med x = 0. Stemmer sammenhengen for denne verdien av x?

c Kjør programmet med x = 3. Stemmer sammenhengen for denne verdien av x?

d Oppdater programmet ved å bytte ut uttrykket x2 + 25 med et annet uttrykk.

Uttrykket skal ha samme verdi som (x + 5)2 for alle verdier av x. Kjør programmet for ulike verdier av x og sjekk at de to uttrykkene har den samme verdien for disse x-verdiene.

SNAKKE MATTE

Hvordan kan vi gå fram når vi skal multiplisere to parenteser med hverandre?

Prøv å lage en forklaring som fungerer uansett hvor mange ledd det er i hver av parentesene.

Følg stien

OPPgAvE 18.4

Tegn et rektangel som kan brukes til å begrunne at a(b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae for positive tall a, b, c, d og e

OPPgAvE 18.5

a Trekk sammen uttrykket 5x + 4 3x så mye som mulig.

b Lag et program som kan sjekke om verdien av det opprinnelige uttrykket og verdien av det forenklede uttrykket er den samme for ulike heltallige verdier av x

OPPgAvE 18.6

a Regn ut og trekk sammen uttrykket 3(x + 2 + y) 6 så mye som mulig.

b Lag et program som kan sjekke om verdien av det opprinnelige uttrykket og verdien av det forenklede uttrykket er den samme for ulike heltallige verdier av x og y.

OPPgAvE 18.7

a Regn ut og trekk sammen uttrykket (3 + a)(4 a) så mye som mulig.

b Regn ut og trekk sammen uttrykket (a + b)(2 a + b) så mye som mulig.

c Lag et program til oppgave a eller b som kan sjekke om verdien av det opprinnelige uttrykket og verdien av det forenklede uttrykket er den samme for ulike heltallige verdier av a og b

OPPgAvE 18.8

Dette er et magisk talltriks:

«Tenk på et tall. Legg til 4. Gang det nye tallet med 3. Trekk så fra 6. Tallet du har nå, deler du på 3. Deretter trekker du fra tallet du startet med å tenke på».

a Skriv talltrikset som en algoritme.

b Gjennomfør beregningene med noen ulike starttall. Hva oppdager du?

c Forklar hvorfor det magiske talltrikset fungerer

Terrengløypa

EKSEMPEL 1

Når vi skal bruke Python til å teste om uttrykk er like og vi bruker desimaltall, kan måten Python gjør beregninger på, gi utfordringer. Python regner ofte med 16–17 desimaler. Tall som i utgangspunktet er like, kan bli ulike på den siste desimalen. Dette har i utgangspunktet ingen praktisk betydning, men kan gi trøbbel når vi sjekker om to tall er like ved å bruke en if-setning. Vi kan løse problemet ved å sjekke om differansen mellom de to tallene er nær null, i stedet for å sjekke om de to tallene er like.

x = 1/3

uttrykk1 = 5*x + 4 – 3*x

uttrykk2 = 2*x + 4

# Vi regner ut den positive differansen mellom uttrykkene diff = abs(uttrykk1 – uttrykk2)

if diff < 0.00001:

print("Uttrykkene har samme verdi.") else:

print("Uttrykkene har ikke samme verdi.")

Kommandoen gjør om negative tall til tilsvarende positive tall. For eksempel er abs(–4) = 4

abs(7.2) = 7.2

abs(–5.6) = 5.6

OPPgAvE 18.9

a Lag et program som sjekker om 4x + 6 = 2(2x + 3) for ulike verdier av x

b Her ser du en tallfølge.

10 , 31 3 , 32 3 ,11, 34 3 ,, 59 3 ,20 …

Utvid programmet slik at det sjekker om 4x + 6 = 2(2x + 3) for x-verdier fra tallfølgen.

c Begrunn hvorfor likheten 4x + 6 = 2(2x + 3) er riktig for alle verdier av x

Prøv med både heltall og desimaltall som x-verdier.

OPPgAvE 18.10

Dette er et magisk talltriks.

• Tenk på et tall.

• Kvadrer tallet.

• Doble tallet du nå har fått.

• Legg til 4 ganger så mye som tallet du startet med.

Å kvadrere et tall betyr å gange tallet med seg selv.

• Del tallet du nå har fått, på 2 mer enn tallet du startet med.

• Legg til 6.

• Del tallet du nå har fått, på 2.

• Trekk fra tallet du startet med.

a Prøv talltrikset med noen ulike starttall.

Hva oppdager du?

b Skriv uttrykket 2x2 + 4x som et produkt av 2x

og en parentes med to ledd.

c Bruk algebraiske uttrykk til å forklare hvorfor trikset fungerer.

OPPgAvE 18.11

Her ser du et pythonprogram som fungerer som et magisk talltriks.

from pylab import *

Lag gjerne et program. I Python skriver vi 52 som

Vi importerer biblioteket pylab for å kunne bruke kommandoen sqrt() som regner ut kvadratroten av et tall.

starttall = float(input("Hvilket tall tenker du på? "))

tall = starttall + 10

tall = sqrt(tall)

tall = tall/5

tall = tall**2

tall = tall*25 tall = tall - starttall

a Skriv algoritmen som programmet bruker

b Utforsk programmet med ulike starttall. For hvilke starttall fungerer talltrikset?

Forklar hvorfor det blir slik.

c Utvid programmet slik at brukeren får en melding hvis hun har sendt inn et starttall som ikke kan brukes.

OPPgAvE 18.12

a Vis ved regning at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b Forklar hvorfor (a + b)3 = (a + b)2(a + b) og bruk det til å regne ut (a + b)3 Trekk sammen uttrykket du får så mye som mulig.

I de neste deloppgavene kan du enten regne for hånd eller bruke CAS.

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig.

c (a + b)4

d (a + b)5

e (a + b)6

f (a + b)7

g (a + b)8

Du kan få bruk for verktøyet Utvid

h Sammenlikn svarene fra oppgave a–g med tallene i Pascals trekant. Hva oppdager du?

Vi kaller den øverste raden i trekanten for rad 0.

OPPgAvE 18.13

Her ser du et pythonprogram.

tall = int(input("Skriv et tall: ")) if tall % 2 == 0: print("Tallet", tall, "er delelig med 2.") 1 2 3

a Forklar hva programmet gjør på hver linje.

b Endre programmet slik at det sjekker om tallet som skrives inn av brukeren, er delelig med 3.

Nedenfor ser du et pythonprogram som ikke er skrevet ferdig.

Regneoperasjonen % gir resten ved divisjon. For eksempel er 15 % 2 = 1

15 % 3 = 0

15 % 4 = 3

tall = int(input("Skriv et tall: ")) faktorer = 0

for divisor in range(2, tall + 1): if tall % divisor == 0: faktorer = faktorer + 1

if faktorer == 1: print(" … ") else: print(" … ")

c På linje 9 og 11 skal programmet skrive en passende forklarende tekst til skjermen. Finn ut hva programmet gjør, og skriv passende kode på linje 9 og linje 11.

d Lag et program som lar brukeren skrive inn et naturlig tall. Programmet skal finne alle de ulike faktorene tallet har, og skrive dem til skjermen.

e Lag et program som lar brukeren skrive inn et naturlig tall. Programmet skal finne primtallsfaktoriseringen av tallet og skrive denne til skjermen.

Jeg velger å skrive primtallsfaktorene til skjermen etter hvert som jeg finner dem.

Jeg velger å bruke en liste.

Lager en tom liste: liste = []

Legger til et tall i lista: liste.append(tall)

Antall elementer i en liste: len(liste)

Topptur

Her ser du to talltriks.

Talltriks 1

Steg 1 Tenk på et tall.

Steg 2 Gang tallet med 2.

Steg 3 Legg til 10.

Steg 4 Del tallet du nå har fått, på 2.

Steg 5 Trekk fra tallet du startet med.

a Hva er likt, og hva er ulikt i de to talltriksene?

b Hvordan avhenger sluttsvaret av hvilket tall som legges til i steg 3?

c Hva skjer hvis vi varierer tallet vi ganger og deler med i steg 2 og steg 4?

Hvordan påvirker det sluttsvaret?

d Hva skjer hvis tallet vi ganger med i steg 2, er ulikt tallet vi deler på i steg 4?

Vi ser på et nytt talltriks. La a og b være to tall.

Talltriks 3

Steg 1 Tenk på et tall.

Steg 2 Gang tallet med a

Steg 3 Legg til b

Steg 4 Del tallet du nå har fått, på a

Steg 5 Trekk fra tallet du startet med.

Talltriks 2

Steg 1 Tenk på et tall.

Steg 2 Gang tallet med 2.

Steg 3 Legg til 16.

Steg 4 Del tallet du nå har fått, på 2.

Steg 5 Trekk fra tallet du startet med.

Utforsk gjerne talltriksene ved å bruke programmering.

e Lag et algebraisk uttrykk som viser sluttsvaret på talltriks 3 uttrykt ved a og b

Her ser du et talltriks.

Talltriks 4

Steg 1 Tenk på et tall.

Steg 2 Kvadrer tallet.

Steg 3 Gang tallet du nå har fått, med 2.

Steg 4 Legg til 4 ganger så mye som tallet du startet med.

Steg 5 Del tallet du nå har fått, på 2 mer enn tallet du startet med.

Steg 6 Legg til 6.

Steg 7 Del tallet du nå har fått, på 2.

Steg 8 Trekk fra tallet du startet med.

a Test talltrikset med noen ulike starttall.

b Fungerer talltrikset for negative starttall?

c Prøv med starttallet 2. Forklar hva som skjer.

I resten av oppgaven skal vi utforske talltriks hvor vi gjør de samme regneoperasjonene i den samme rekkefølgen som i talltriks 4. Det vi kan variere, er hvilke tall vi legger til, ganger med og deler på.

d Hvilke sammenhenger er det mellom tallene i steg 3–7? Hvilke er avhengige av hverandre, og hvilke er uavhengige for at talltrikset skal fungere?

e Lag din egen variant av talltriks 4 ved å endre tallene i steg 3–7. Vis at talltrikset ditt fungerer ved å la starttallet være x og bruke algebra.

Hvis det er vanskelig å vise dette med algebra nå, kan du gå tilbake til denne oppgaven etter å ha jobbet med algebrastigen i kapittel 19.

19 Algebrastigen

Når dere arbeider med Algebrastigen, jobber dere med å forenkle algebraiske uttrykk og løse likninger. Dere kan gjerne samarbeide og diskutere oppgavene med hverandre.

Innholdet på trinn 7 til trinn 10 er for det meste nytt fagstoff dette skoleåret. Jeg synes jeg har god kontroll på algebra, så jeg starter rett på trinn 7. Jeg pleier å kontrollere svarene mine med CAS. Prøv du også!

Jobb med trinnene i ditt eget tempo. Det er viktigere å jobbe godt med noen av trinnene enn å jobbe med alle trinnene.

Vi har arbeidet med innholdet på trinn 1 til trinn 6 tidligere på ungdomsskolen. Jeg synes algebra er vanskelig, så jeg starter på trinn 1.

Trinn 10: Addisjon og subtraksjon av brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner

Trinn 10: Addisjon og av brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner

Trinn 9: Multiplikasjon og divisjon av brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner

Trinn 8: Å faktorisere og forkorte brøker med algebraiske uttrykk i teller og nevner

Trinn 7: Å forenkle algebraiske uttrykk med brøker, parenteser og potenser

Trinn 6: Å løse likninger med brøker og parenteser

Trinn 5: Å forenkle algebraiske uttrykk med brøker og parenteser

Trinn 4: Å løse likninger med parenteser

Trinn 3: Å forenkle algebraiske uttrykk med parenteser

Trinn 2: Å løse likninger

Trinn 2: Å løse

Trinn 1: Å forenkle algebraiske uttrykk

Er du usikker på om du trenger å jobbe med dette trinnet? Hopp til oppgave 19.8. Hvis du får til den greit, trenger du ikke å gjøre de andre oppgavene på trinn 1.

Å forenkle et algebraisk uttrykk vil si å skrive om det algebraiske uttrykket til et annet, enklere uttrykk. Det forenklede uttrykket skal alltid ha samme verdi som det opprinnelige uttrykket, uansett hvilke tall vi setter inn for variablene.

Vi forenkler uttrykket a + a + a + a til 4a. Uansett hvilket tall vi setter inn for a, er verdien av a + a + a + a og verdien av 4a den samme.

3, så er + a = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 = 4 ⋅ 3 = 12

Vi trenger ikke skrive gangetegn mellom tallet og variabelen. 4a betyr 4 ⋅ a.

OppgAve 19.1

Skriv så enkelt som mulig.

a a + a + a + a + a b y + y + y

c n + n + n + n + n + n

e 3b + 4b

g 11x 5x

OppgAve 19.2

Hvilke uttrykk har samme verdi?

A 6 + 3 + 8 6 3

C 6 6 + 3 3 + 8

k + k + k k

2a + 9a

4n + 2n 3n

B 6 + 3 8 6 + 3

D 6 + 3 + 3 14

OppgAve 19.3

Fire elever har startet å forenkle det algebraiske uttrykket 4a 8 + 5 6a

Hvem har startet på riktig måte?

A 4a + 6a + 8 5

C 4a + 6a 8 5

B 4a 3 6a

D 4a 13 6a

2x og 5x er ledd av samme type. 5x og 5 er ikke ledd av samme type. 3x og 3y er ikke ledd av samme type.

Skriv uttrykket 5a 3 + 7 2a så enkelt som mulig.

Løsning

5a 3 + 7 2a = 5a – 3 + 7 – 2a

= 5a – 2a 3 + 7

= 3a + 4

Vi fargelegger ledd av samme type med samme farge for å skape oversikt.

Vi endrer rekkefølgen på leddene (pass på at fortegnene følger med riktig ledd).

Vi trekker sammen de røde leddene for seg, og de blå leddene for seg.

OppgAve 19.4

Skriv så enkelt som mulig.

a 4a + 3a + 5 8

b 5a + 3 2a + 8

c 4x + 2 5 + 3x

d 5x 6 + 3 5x

OppgAve 19.5

Skriv så enkelt som mulig.

a 5a + 2 7 3a

b 3a 4 + a 6

c 5 4n + 2n + 3

d 2 6t 7 t

Når vi ganger et tall med 1, får vi tallet vi startet med. Derfor skriver vi 1a bare som a

Skriv uttrykket 3x + 2y 5x + 6y så enkelt som mulig.

Løsning

OppgAve 19.6

Skriv så enkelt som mulig. a 5a + 2b +

OppgAve 19.7

Skriv så enkelt som mulig.

Vi fargelegger ledd av samme type med samme farge for å skape oversikt.

Vi endrer rekkefølgen på leddene. Pass på fortegnene.

Vi trekker sammen leddene med x for seg, og leddene med y for seg.

En algebrapyramide er en pyramide der det som står i én rute, er summen av det som står i de to rutene nedenfor.

OppgAve 19.8

Fyll ut algebrapyramiden.

Trinn 2: Å løse likninger

Er du usikker på om du trenger å jobbe med dette trinnet? Hopp til oppgave 19.18.

Hvis du får til den greit, trenger du ikke å gjøre de andre oppgavene på trinn 2. x + 812 =

En likning er en likhet der uttrykket på venstre og/eller høyre side av likhetstegnet inneholder én eller flere variabler. Når vi løser en likning, skal vi finne ut hvilke verdier variablene kan ha for at likheten skal være riktig.

Vi skal løse likningen 2x + 4 = 10.

Tegning

Algebraisk løsningsmetode

Samme verdi hvis x = 4

Forklaring

De grønne boksene viser x-ene, og de gule kulene viser enere.

Vi tar bort tallet 4 fra hver side av likhetstegnet.

Dette er vist ved at fire røde kuler skal tas bort på hver side av vippehuska.

Vi forenkler uttrykkene på hver side av likhetstegnet.

Vi står igjen med 2 x-er på venstre side og 6 kuler på høyre side.

Vi deler på 2 på hver side av likhetstegnet.

Hver side av vippehuska deles i to like grupper.

En gruppe på hver side tas så bort. Løsningen på likningen er x = 3.

Denne likningen har løsningen x = 3.

Matematikk for 8.–10. trinn

Matemagisk oppfordrer elevene til å utforske og diskutere fra første stund.

Læremiddelets struktur ivaretar fellesskapet i klasserommet. Fellesdelene i hvert kapittel er laget for at elevene skal lære sammen. Dette gjør de gjennom «Snakke matte», spill, aktiviteter og utforskende samarbeidsoppgaver.

Den unike differensieringsmodellen i Matemagisk gir elevene individuelle tilpasninger innenfor samme tema.

Slik lærer elevene matematikk på sitt nivå, men likevel i takt med hverandre.

Matemagisk er utviklet av fagpersoner og lærere med nærhet til klasserommet.

Matemagisk10 består av:

•Lærebok

•Matemagisk 8–10 Elevhåndbok

•Matemagisk 8–10 Aschehoug Univers, med ressurser til elever og lærere

På Aunivers.no ﬁnner du Aschehougs digitale læremidler.