Matemagisk A GRU N N BOK
Kristina Markussen Raen Asbjørn Lerø Kongsnes
Matemagisk
A GRU N N BOK
Kristina Markussen Raen
Asbjørn Lerø Kongsnes
Bli kjent med Matemagisk 6 Hva betyr sporene?
SPILL
AKTIVITET
KOPIARK tilgjengelig
på aunivers.no.
SNAKKE MATTE
Oppgaver som viser spesielt viktige ideer og tenkemåter.
Oppgaver der dere skal snakke matte med hverandre. Her trener dere på å forklare hvordan dere tenker.
Jeg gjør noen ganger «toppturen», men jeg gjør alltid «terrengløypa» først.
Noen ganger jobber jeg litt i «følg stien» og litt i «terrengløypa».
FØLG STIEN
Oppgaver der du får trent mer på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her trener du på én ting om gangen.
TERRENGLØYPA
Oppgaver som bygger videre på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her kan du få sammensatte utfordringer, også fra flere temaer på en gang.
TOPPTUR
Oppgaver som er svært utfordrende. Jobb med toppturen hvis du mestrer oppgavene i terrengløypa godt.
Noen få ganger jobber jeg bare i «terrengløypa».
Noen ganger jobber jeg bare i «følg stien».
På alle oppgavene, svar med
• et tall dere er sikker på at er for høyt
• et tall dere er sikker på at er for lavt
• et tall dere tror er omtrent riktig
a Hvor mange personer er i hallen?
b Hvor mange prosent av setene er opptatt?
c Hvor stor brøkdel av setene er opptatt?
d Hvor mange prosent av personene har håndbagasje?
e Hvor stor brøkdel av personene står?
SNAKKE MATTE
Hvor mange kuber kan det være i hver figur?
Triominospillet
Dette er et spill for to spillere eller to lag.
Utstyr:
Spillebrett
Triominobrikker
Hvis dere ikke har triominobrikker, kan dere fargelegge spillebrettet.
Hvordan spille?
• Spillerne plasserer etter tur en triominobrikke på spillebrettet.
• Spiller A bruker oransje brikker, og spiller B bruker grønne brikker.
• Ingen brikker kan ligge oppå hverandre.
• Den som ikke lenger kan plassere en ny brikke, taper spillet.
To eksempler på utfylte spillebrett:
1 På dette 4 × 4-spillebrettet har vi tatt bort ett felt.
a Tenk at du bare har brikker som er like store som den svarte. Er det mulig å dekke alle feltene som er igjen på brettet?
b Er det mulig hvis vi fjerner to felt fra spillebrettet?
Det kan hjelpe å fargelegge spillebrettet i sjakkmønster.
c Prøv deg frem. Spiller det noen rolle hvilke to felt som fjernes? Begrunn svaret.
d Undersøk om svaret i oppgave c er det samme for et 6 × 6- og 8 × 8-spillebrett.
Bygg boksen
Utstyr: 10 blå, 10 røde og 10 oransje kuber i lik størrelse.
Her ser du en boks som består av 30 små kuber. Boksen vises i 3D sett fra to ulike vinkler.
DEL 1
Bruk blå, røde og oransje kuber, og bygg boksen.
DEL 2
Tegn fire tegninger i 2D som viser hvordan bunnflaten, frontflaten, venstreflaten og høyreflaten til boksen ser ut.
Topp
Bunn
VenstreHøyre
Bak Front
Lag din egen 23 5 ×× boks ved å bruke blå, røde og oransje kuber. Tegn hvordan boksen ser ut fra to ulike vinkler, og tegn hvordan de seks sideflatene ser ut.
Topp
Bunn
Bak Front
VenstreHøyre
1 Variabler og formler
Samtalebilde:
1 Omtrent hvor mange elever går på trinnet deres?
2 Tr or dere trinnet får plass i salen?
3 Omtrent hvor mange elever går på 5.−7. trinn på skolen der es?
4 Tr or dere at 5.−7. trinn får plass i salen?
5 Omtrent hvor mye tr or dere det koster å se en forestilling i denne salen for alle elevene på skolen deres?
Begreper: Tenk med:
Variabel Tabell Sammenheng Regneark
Systematisk tabell
Oppstart
DEL 1: VARIABEL-YATZY
Utstyr: En terning og en tabell.
Hvordan spille?
• Kast terningen annenhver gang, og regn ut hvor mange poeng dere får.
RundeUttrykk Spiller ASpiller B
1. runde t + 1
2. runde2t + 1
3. runde3t + 1
4. runde2t 1
5. runde6 t
6. runde
7. runde
8. runde Sum
Hvis jeg kaster 5 med terningen, blir mine poeng i 1. runde: t + 1 = + 1 = 5 + 1 = 6
• Etter fem runder: Bli enige om tre nye uttrykk på de ledige plassene i tabellen, og spill ferdig.
Vinneren er den med flest poeng til sammen.
Alternativ spillemåte:
Dette spillet kan også spilles fritt. Da kan du velge hvilken linje du skriver poengene på etter hvert kast, så lenge linja er ledig.
DEL 2: VARIABEL-BATTLE
Utstyr: En terning og en tabell.
Hvordan spille?
• Velg hver deres kolonne.
• Kast terningen annenhver gang, og regn ut hvor mange poeng dere får.
• Regn ut hvor mange poeng hver spiller har fått til sammen.
Vinneren er den med flest poeng til sammen.
DEL 3
Tenk at dere skal spille Variabel-battle ti ganger. Hvilket utrykk ville du valgt?
a t + 2 eller 2 t
b t + 3 eller 2 t
c t + 4 eller 2 t
d t + 5 eller 2 t
e Er det mulig å lage to ulike uttrykk slik at spillet blir rettferdig?
Spiller ASpiller B
Poeng : t + 2
Poeng : 2 · t
Jeg får t + 2 = 7 poeng.
Jeg får 2 ⋅ t = 6 poeng.
Figurtall
1 På en skole skal de lage langbord ved å sette sammen pulter og sette stoler rundt dem.
a Fyll ut tabellen.
Antall pulterAntall stoler
Slik ser det ut med 1 pult og 2 pulter. Det kan være lurt å tegne hvordan det ser ut med 3 pulter også.
b Hvilke mønstre ser du i tabellen?
c Hvor mange stoler trengs rundt 5 pulter?
d Hvor mange stoler trengs rundt 10 pulter?
e Er det dobbelt så mange stoler rundt 10 pulter som rundt 5 pulter?
f Hvor mange stoler trengs rundt 100 pulter?
g Hvor mange stoler trengs rundt 220 pulter?
h Forklar hvordan du kan regne ut hvor mange stoler som trengs hvis du vet antall pulter
Du kan forklare med ord, tegning eller lage en regel.
Tuva og Yonas diskuterer hvor mange stoler som trengs rundt 10 pulter.
Tuvas strategi
Rundt 10 pulter er det 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 22 stoler.
a Hvordan tror dere Tuva har tenkt?
Yonas’ strategi
Rundt 10 pulter er det (2 · 10) + 2 = 22 stoler.
b Forklar med egne ord hvordan Yonas har tenkt.
c Hvilken strategi synes dere er enklest å forstå?
d Hvilken strategi gjør det enklest å regne ut antall stoler rundt 100 bord?
Jeg bruker farger for å oppdage et mønster.
Vi setter opp en tabell som passer med Yonas’ strategi.
Bokstaven p står for antall pulter.
Hvis vi ikke vet hvilket tall vi skal bruke, kan vi i stedet skrive en bokstav.
Denne bokstaven kalles en variabel.
Antall stoler = (2 ⋅ p) + 2
a Fyll ut tabellen.
Antall bordAntall stoler 1 5 2 8 3 4 5 6 7 8 9
b Hvilke mønstre ser du i tabellen?
Slik ser det ut med 1 bord og 2 bord. Det kan være lurt å tegne hvordan det ser ut med 3 bord også.
c Hvor mange stoler trengs rundt 5 bord?
d Hvor mange stoler trengs rundt 10 bord?
e Hvor mange stoler trengs rundt 100 bord?
f Forklar hvordan du kan regne ut hvor mange stoler som trengs hvis du vet antall bord.
Du kan forklare med ord, tegning eller lage en regel med en variabel.
FØLG STIEN
3 Tuva skal perle et smykke. Hun bruker fem ulike figurer og følger et fast mønster.
a Hvilken figur er perle nr. 5?
b Hvilken figur er perle nr. 10?
c Hvilken figur er perle nr. 15?
d Hvilken figur er perle nr. 4?
e Hvilken figur er perle nr. 19?
f Hvilken figur er perle nr. 24?
Jeg holder oversikt slik:
1 2 3 4 5
K H B T S
6 7 8 9 10
K H
4 Vi ser nærmere på Tuva sitt mønster.
a Den første sirkelen er perle nr. 5. Hvilket nr. har den andre sirkelen?
b Hvilket nr. har den tredje sirkelen?
c Hvilket nr. har den femte sirkelen?
d Hvilket nr. har det første hjertet?
e Hvilket nr. har det andre hjertet?
f Hvilket nr. har det tredje hjertet?
g Hvilket nr. har det femte hjertet?
5 Fyll inn tallene som mangler, for å vise sammenhengen mellom antall av hver figur og antall perler totalt.
Variabelen p står for et hvilket som helst tall.
p
6 Yonas perler også. Han bruker fire ulike figurer og følger et fast mønster.
a Hvilken figur er perle nr. 6?
b Hvilken figur er perle nr. 8?
c Hvilken figur er perle nr. 14?
d Hvilken figur er perle nr. 16?
e Hvilken figur er perle nr. 24?
7 Vi ser nærmere på Yonas sitt mønster.
a Det første kvadratet er perle nr. 2. Hvilket nr. har det andre kvadratet?
b Hvilket nr. har det tredje kvadratet?
c Hvilket nr. har det fjerde kvadratet?
d Hvilket nr. har det femte kvadratet?
e Hvilket nr. har det tiende kvadratet?
Sammenhenger
SNAKKE MATTE
Tuva har 20 mynter. Noen av dem er kronestykker, og noen av dem er tikroner.
Hvor mange kronestykker har hun hvis hun har
a 5 tikroner
b 12 tikroner
c t tikroner
Hvor mange kroner har hun til sammen hvis hun har
d 5 tikroner
e 12 tikroner
f t tikroner
SNAKKE MATTE
Silje og Daniel diskuterer hvordan vi kan skrive en sammenheng mellom antall tikroner og antall kronestykker.
t = antall tikroner
k = antall kronestykker
Hvem har rett? Begrunn svaret.
1 tikrone er verdt like mye som 10 kronestykker.
t = 10 ⋅ k
Jeg setter opp en tabell.
8 Tuva har noen kronestykker og noen tikroner. Hvor mange har hun av hver mynt hvis hun har 56 kr til sammen? Skriv alle mulighetene.
9 Tuva har 40 kr i mynter. Dette kan være kronestykker, femkroner, tikroner og tjuekroner. Hvor mange kan hun ha av hver type mynt? Skriv alle mulighetene.
Hvor høyt spretter ballen?
Dere skal slippe en ball fra ulike høyder og undersøke hvor høyt ballen spretter.
Utstyr:
• En ball
• Et målebånd
DEL 1
1 Velg tre høyder ballen skal slippes fra. Skriv inn i tabellen.
1 Slipp ballen, og mål hvor høyt den spretter. Skriv inn i tabellen. 1 2
Det kan være lurt å markere slippunktet, for eksempel med en tapebit.
Høyde ballen slippes fraHøyde ballen spretter til
DEL 2
1 Velg en ny høyde ballen skal slippes fra. Skriv inn i tabellen.
1 Gjett hvor høyt ballen spretter, og skriv det inn i tabellen.
1 Slipp ballen fra riktig høyde, og mål hvor høyt den spretter. Skriv inn i tabellen.
1 Gjenta punkt 1−3 for to andre høyder.
DEL 3
1 Velg en ny høyde dere ønsker at ballen skal sprette til. Skriv inn i tabellen.
1 Gjett hvor høyt dere må slippe ballen fra, og skriv det inn i tabellen.
1 Slipp ballen, og mål hvor høyt den spretter. Fortsett å slippe ballen fra ulike høyder helt til ballen spretter så høyt som dere ønsker. Skriv riktig slipphøyde inn i tabellen.
1 Gjenta punkt 1−3 for to andre spretthøyder. 1 2 3 4 1 2 3 4
FØLG STIEN
10 Petter har 10 mynter. Myntene kan være tikroner, femkroner eller kronestykker.
Hvor mange kronestykker har Petter hvis han har
a 5 tikroner og 2 femkroner
b 3 tikroner og 3 femkroner
c 7 tikroner og 2 femkroner
d Tenk deg at du vet hvor mange tikroner og hvor mange femkroner Petter har. Forklar hvordan du kan regne ut hvor mange kronestykker Petter har.
11 Niklas har 15 mynter. Myntene kan være tikroner, femkroner eller kronestykker.
Hvor mange femkroner har Niklas hvis han har
a 7 tikroner og 1 kronestykke
b 10 tikroner og 5 kronestykker
c Tenk deg at du vet hvor mange tikroner og hvor mange kronestykker Niklas har. Forklar hvordan du kan regne ut hvor mange femkroner Niklas har.
12 Mohammed har 10 mynter. Myntene kan være tikroner, femkroner eller kronestykker.
Hvor mange kroner har Mohammed til sammen hvis han har
a 5 tikroner og 2 femkroner
b 3 tikroner og 3 femkroner
c 7 tikroner og 1 kronestykke
d 6 tikroner og 4 kronestykker
13 Fatima har noen mynter. Hun har både tikroner og kronestykker.
Det er til sammen 70 kr.
a Fyll ut tabellen.
b Viser tabellen alle løsningene? Begrunn svaret.
14 Oskar har noen mynter. Han har både tikroner, femkroner og kronestykker.
Det er til sammen 80 kr.
a Velg antall femkroner, og fyll ut antall kronestykker.
b Viser tabellen alle løsningene? Begrunn svaret.
Fotballturneringen
Bjarne har ansvar for en fotballturnering. Han bestemmer seg for å lage et program som regner ut hvor mange poeng de ulike lagene får. På skjermen ser du hvordan han har begynt.
a Hvor mange poeng får laget som vinner en kamp?
b Hvor mange poeng får lagene for å spille uavgjort?
c Hvor mange poeng får laget som taper en kamp?
Royal Sinsen vant 3 kamper, spilte uavgjort 2 kamper og tapte 1 kamp.
d Hvor mange poeng fikk Royal Sinsen?
Lagene i turneringen
Gr e f senskog en IL
S andaker s t ar s
F C Nor dpolen Royal Sinsen
Her er resultatet fra de 11
3 – 4
2 – 3 4 – 2 4 – 2 2 – 2 3 – 3 2 – 2 4 – 2 4 – 4 4 – 2 5 – 5
1 Åpne et nytt regneark, og lag tabellen.
2 Fyll inn antall kamper hvert lag har vunnet, spilt uavgjort og tapt.
3 Regn ut hvor mange kamper hvert lag har spilt med en formel i kolonne B.
4 Skriv denne formelen i celle F2: = (C2*3) + (D2*1) + (E2*0)
Formelen for antall kamper for Grefsenskogen IL er: = C2 + D2 + E2
5 Skriv inn formler i celle F3, F4 og F5 slik at du regner ut hvor mange poeng hvert av lagene har fått.
a Hvor mange kamper har hvert lag spilt?
b Hvilket lag har fått flest poeng?
c Hvilke lag må spille mot hverandre for at alle skal ha spilt like mange kamper?
d Vil resultatet fra den siste kampen ha noe å si for hvilket lag som vinner turneringen? Oppdater antall kamper lagene har vunnet, spilt uavgjort eller tapt, og se hvordan poengsummene endrer seg.
1 Åpne et nytt regneark, og lag tabellen.
2 Skriv formelen = C2 + D2 + E2 i celle B2.
Skriv formelen = C3 + D3 + E3 i celle B3.
3 Skriv formelen = (C2*3) + (D2*1) + (E2*0) i celle F2.
Skriv formelen = (C3*3) + (D3*1) + (E3*0) i celle F3.
To lag har spilt 12 kamper og fått like mange poeng uten å vinne like mange kamper. Hvilke resultater kan lagene ha hatt?
Prøv deg fram i regnearket, og skriv alle løsningene du finner.
Du må prøve deg fram ved å endre de oransje cellene.
TERRENGLØYPA
15 a Hvor høy er én skål?
9 cm
b Hvor høy stabel får du av 4 skåler?
c Hvor høy stabel får du av 8 skåler?
d Hvor høy stabel får du av 20 skåler?
12 cm
e Hvordan kan du tenke når du skal finne høyden på en stabel med mange skåler?
f Forklar hvordan du kan regne ut høyden av stabelen hvis du vet antall skåler.
g Hvor høy stabel får du av 100 skåler?
Bruk gjerne variabelen s. Den kan stå for antall skåler.
h Hvor mange skåler får du plass til i et skap som er 40 cm høyt?
16 a Hvor høy er én kjegle?
34 cm 42 cm
b Hvor høy stabel får du av 3 kjegler?
c Hvor høy stabel får du av 6 kjegler?
d Hvor høy stabel får du av 20 kjegler?
e Forklar hvordan du kan regne ut høyden av stabelen hvis du vet antall kjegler.
17 a Kvadratet består av 36 ruter. Hvor mange av rutene er røde?
Forklar hvordan du tenkte.
b Kvadratet består av 100 ruter. Hvor mange av rutene er røde?
Forklar hvordan du tenkte.
c Tenk deg et kvadrat med 12 ruter langs hver kant der de ytterste er røde. Hvor mange av rutene er røde? Forklar hvordan du tenkte.
d Fins det flere måter å tenke på? Skriv så mange måter du klarer.
e Tenk deg et kvadrat med 100 ruter langs hver kant der de ytterste er røde. Hvor mange av rutene er røde? Forklar hvordan du tenkte.
18 Anders maler en garasje på 3 timer. Bjarne maler en like stor garasje på 6 timer.
a Hvor stor brøkdel av garasjen har Anders malt etter 1 time?
b Hvor stor brøkdel av garasjen har de malt etter 1 time hvis begge maler på samme garasje?
c Hvor lang tid bruker de på å male garasjen sammen?
19 Siri skal fylle opp et badebasseng. Hun har to vannslanger. Den ene slangen bruker 4 timer på å fylle bassenget. Den andre slangen bruker 12 timer for å fylle bassenget. Hvor lang tid bruker hun på å fylle bassenget hvis hun bruker begge slangene samtidig?
20 Du kan finne bursdagssummen din ved å legge sammen tallene for dato og måned for bursdagen.
a Hva er bursdagssummen din?
b Begynn med bursdagssummen din. Legg til 10. Trekk fra 6. Legg til 2. Trekk fra bursdagssummen din.
Hva blir svaret?
c Gjenta oppgave b med minst to andre bursdagssummer. Sammenlikn svarene.
Hva oppdager du?
Hvis du er født 1. februar, er bursdagssummen 1 + 2 = 3.
d Begynn med bursdagssummen din. Gang med 2. Legg til 8. Del på 2. Trekk fra bursdagssummen din. Hva blir svaret?
e Gjenta oppgave d med minst to andre bursdagssummer. Sammenlikn svarene. Hva oppdager du?
f Sammenlikn oppskriftene i oppgave b og d. Hva er likt, og hva er ulikt?
21 a En snekker blir spurt hvor mange skruer hun har i lomma.
Hun svarer: «Hvis jeg deler skruene i mengder på 11, får jeg 5 i rest.
Hvis jeg deler skruene i mengder på 5, får jeg 2 i rest.»
Hva er det minste antall skruer hun kan ha?
b Ved en annen anledning svarte snekkeren at hvis hun delte skruene i mengder på 2, 3, 4 eller 5, ville hun få en rest på 1, 2, 3 eller 0 skruer.
Hva kan du si om antall skruer hun hadde?
22 Øyvind var på fisketur og fikk tre ulike fisk.
a Hvor mye veier torsken?
b Hvor mye veier sjøørreten?
c Hvor mye veier makrellen?
d Lag en liknende oppgave selv.
Oppsummering
FIGURTALL
Når vi arbeider med figurtall, er det lurt å bruke disse strategiene:
• Tegne neste figur
• Bruke farger
• Beskrive mønstret med ord
• Sette opp en systematisk tabell
Vi kan lage langbord ved å sette sammen pulter og sette stoler rundt dem.
Farger gjør det enklere å oppdage mønstre.
Vi trenger dobbelt så mange stoler som pulter. I tillegg trenger vi to ekstra stoler.
Her beskriver vi mønstret med ord.
Bokstaven p står for antall pulter.
Hvis vi ikke vet hvilket tall vi skal bruke, kan vi i stedet skrive en bokstav. Denne bokstaven kalles en variabel.
Antall stoler = (2 ⋅ p) + 2
TOPPTUR
T1 a Regn ut 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
Regnestykket 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 kan tegnes på to måter.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 7 + 7 + 7
b Beskriv hvordan du må stable klossene for at alle stablene skal bli like høye.
c Hvor mange stabler er det på tegningen til høyre, og hvor høy er hver av disse stablene?
d Forklar hvordan tegningen viser at 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3 ⋅ (6 + 1).
e Regn ut 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.
f Forklar hvorfor 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 8 2 ·( 8 1) + .
Tenk gjerne på klosser:
g Regn ut 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.
h Hvilket annet regnestykke kan brukes for å regne ut 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?
i Hva er summen av de 100 første heltallene? Forklar hvordan du tenker.
j Julian sier summen av de n første heltallene er 2 ·( 1) n n + . Har Julian rett? Begrunn svaret.
T2 Her ser du en algoritme til et program.
Steg 1
Steg 2
Opprett variabelen tall, og gi den verdien 0.
Opprett variabelen sum, og gi den verdien 0.
Steg 3 Gjenta 6 ganger:
Øk verdien av variabelen tall med 1.
Øk verdien av variabelen sum med verdien av variabelen tall. Skriv verdien av variabelen sum til skjermen.
a Bruk blokkene nedenfor og lag et program som følger algoritmen over. Noen av blokkene skal brukes flere ganger. Kjør programmet, og forklar hva som skjer.
På Aunivers.no/programmering kan dere programmere i Trinket.
b Endre antall ganger løkka gjentas, til 8. Kjør programmet, og forklar hva som skjer.
c Endre antall ganger løkka gjentas, til 10. Gjett først hva resultatet av programmet blir. Kjør deretter programmet, og se om du gjettet riktig.
d Sammenlikn programmet med oppgave T1. Hva oppdager du?
e Regn ut 1 + 2 + 3 + … + 499 + 500 både ved å tenke som i oppgave T1 og ved å bruke programmet fra denne oppgaven.
Matemagisk 6
Matematikk for 5.–7. trinn
A
GRUN N BOK
Matemagisk følger fagfornyelsen (LK20) og stimulerer elevene til å utforske og diskutere fra første stund. Lærebokas struktur ivaretar fellesskapet i klassen slik at elevene lærer sammen. Elevene får individuelle tilpasninger gjennom en unik differensieringsmodell.
Matemagisk 6 består av:
• grunnbok 6A
• grunnbok 6B
• parallellbok 6A
• parallellbok 6B
• oppgavebok 6
• Matemagisk 1–7 Aschehoug Univers
• Matemagisk 6 Digitalbok
• digital lærerveiledning
På Aunivers.no finner du Aschehougs digitale læremidler.