Matemagisk
Asbjørn Lerø Kongsnes
Anne Karin Wallace
Parallellbok
Matemagisk
Parallellbok
Asbjørn Lerø Kongsnes
Anne Karin Wallace
BOKMÅL
Matemagisk 8 Parallellbok er en del av læremiddelet Matemagisk 1–10.
Læremiddeletfølger læreplanen i matematikk for 1.–10. årstrinn.
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2020 1. utgave / 1. opplag 2023
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Kari Kleivdal og Trine Alnæs
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen og Type-it AS
Omslag: Marit Jakobsen
Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen
Tekniske tegninger: Arnvid Moholt og Trine Alnæs
Illustrasjoner: Erik Ødegård, Kari Sortland og Martin Hvattum
Ombrekking: ord og form, Gudbrand Klæstad
Grunnskrift: Frutiger LT Std, 10/14 pkt.
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-41234-9 Aunivers.no
Foto og tegninger
s. 6 Xuangu Han/Getty Images, s. 52 linuvomatic/istock, s.108 lubilub/iStock, s. 134 luchshen/iStock, s. 154 Al Simonov/istock, s. 182 adisa/iStock, s. 194 Serghei Starus/iStock, s. 206 ewastudio/iStock, s. 226 trit2lumiere/iStock, s. 246 Yalkapopkova/iStock
Tallkartet på s. 41 er laget med inspirasjon fra Factorization diagrams av Brent Yorgey (mathlesstraveled.com).
Snakke Matte på s. 58 er laget med utgangspunkt i prøven Misoppfatninger knyttet til brøk og prosent. En ressurs utviklet av Matematikksenteret (matematikksenteret.no).
www.aschehoug.no
Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond.
Innhold
1 Hele tall
1A Regnestrategier ............... 9
1B Variabler og egenskaper ved multiplikasjon .............34
1C Primtall og faktorisering ........36
1D Negative tall .................44
2 Brøk og desimaltall
2A Brøk .......................58
2B Desimaltall ..................86
2C Målenheter ..................96
2D Programmering i Python ........99
3 Algebraiske uttrykk og formler
3A Verdien av algebraiske uttrykk...110
3B Praktiske situasjoner ..........114
3C Programmering med løkker .....120
3D Figurtall ....................124
4 Potenser, kvadratrøtter og regnerekkefølge
4A Potenser og kvadratrøtter ......136
4B Regnerekkefølge .............147
5 Algebra og likninger
5A Forenkling av algebraiske uttrykk.156
5B Algebraisk løsningsmetode for likninger ................162
5C Likninger i praktiske situasjoner..176
6 Parenteser og likninger
6A Parenteser i algebraiske uttrykk..184
6B Likninger med brøker og parenteser ..................190
6C Å løse likninger med programmering ..............192
7 Hva er en funksjon?
7A Funksjonsmaskiner ...........196
8 Grafen til en funksjon
8A Koordinatsystem .............208
8B Å tegne grafen til en funksjon...216
9 Lineære funksjoner
9A Lineære funksjoner i praktiske situasjoner..................228
9B Å utforske grafen til lineære funksjoner ...........239
10 Sammensatte målenheter
10A Forholdstrekanten ............248
10B Gjennomsnittsfart ............256 Fasit ..........................264
Velkommen til Matemagisk 8
Matemagisk 8 legger til rette for at dere som elever får være aktive, utforske og oppdage matematiske sammenhenger. Vi ønsker at dere skal snakke matte med hverandre, utvikle forståelse og bli gode problemløsere. Boka legger opp til at dere kan samarbeide om matematikken. I boka finner dere varierte oppgaver knyttet til virkeligheten som gjør matematikken meningsfull og relevant. Boka kan brukes alene eller i kombinasjon med Matemagisk 8–10 Elevhåndbok
Fellesløypa
I hvert delkapittel er det en fellesløype. Denne er designet for arbeid i fellesskap i klassen. Den består av teori, eksempler, utforskende oppgaver, Snakke matte-oppgaver, spill, aktiviteter og andre varierte oppgaver. Programmering og andre digitale verktøy er integrert i delkapitlene der det er relevant.
Nøkkelhull
Oppgaver som viser spesielt viktige ideer og tenkemåter.
Oppgaver der dere skal snakke matte med hverandre. Her trener dere påå forklare hvordan dere tenker.
Følg stien
Oppgaver der du får trent mer på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her trener du på én ting om gangen. Følg stien dekker det mest sentrale faginnholdet og finnes i slutten av hvert delkapittel.
Vi legger gunnlaget
Eksempler, forklaringer og oppgaver som repeterer fagstoff som du har arbeidet med på tidligere trinn. Dette trenger du for å løse de neste oppgavene.
1
Henviser til tilsvarende oppgave i grunnboka. Det matematiske innholdet er bevart, men oppgaven kan være justert i parallellboka.
1
Henviser til tilsvarende eksempel i grunnboka. Det matematiske innholdet er bevart, men eksemplet kan være justert i parallellboka.
SNAKKE MATTE
Skriv ryddig og oversiktlig. Da blir også matematikken enklere.
Ikke gi opp selv når det blir vanskelig.
Samarbeid gjerne med hverandre!
Tren på å stille spørsmål om det du faktisk lurer på.
Hiyanna
Henrik
Tuva
Yonas
1 Hele tall
1Hva ser dere på bildet?
2Omtrent hvor mange etasjer tror dere det er i bygningen på bildet?
3Hvor mange personer tror dere kan bo i denne bygningen?
Vi legger grunnlaget
OPPGAVE 1
Skriv tallene på utvidet form.
a 745 = b 206 =
c 84 = d 1098 =
e 837 = f 4208 =
OPPGAVE 2
Fyll ut gangetabellen. 700+40+5
12345678910
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 42
1ARegnestrategier
•Bruke likhetstegnet riktig.
•Bruke ulike regnestrategier i de fire regneartene.
• Argumentere for valg av regnestrategi og forklare regnemåter.
•Hente ut og bruke relevant informasjon fra tekst og tabeller
Hva betyr tegnet = ?
Sant eller usant? 4 + 3 = 7 7 = 4 + 3 4 + 3 = 5 + 2
Marta har 60 kr. Hun sparer 50 kr hver uke. Her ser dere fire utregninger som viser hvor mye Marta har etter fire uker.
a Er alle utregningene skrevet riktig? Begrunn svaret.
b Hvilken måte å skrive utregningen på synes dere er best?
SNAKKE MATTE
SNAKKE MATTE
SNAKKE MATTE
1.1 OPPGAVE 3
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 178 + 36.
1 Hoppetelling på tallinja 2 Omgruppering med tiere og enere
+10
+10+10+6
178188198208214
178361781010106 214 +=++++ =
+30+6
178208214
17836178306 178306 2086 214 +=++ =++ =+ = () ()
a Sammenlikn strategi 1 og strategi 2. Hva er likt, og hva er ulikt?
b Bruk både strategi 1 og strategi 2 til å regne ut 467 + 84.
Strategi 1:
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret. 467
Strategi 2:
OPPGAVE 4
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 178 + 36.
3 Omgruppering med nærmeste enkle tall 4 Omgruppering med nærmeste hele
178180214 ++34 2
17836178234 178234 18034 214 +=++ =++ =+ = () ()
178200214 ++14 22
178361782214 1782214 20014 214 +=++ =++ =+ = () ()
a Sammenlikn strategi 3 og strategi 4. Hva er likt, og hva er ulikt?
b Bruk både strategi 3 og strategi 4 til å regne ut 467 + 84.
Strategi 3:
Strategi 4:
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret.
OPPGAVE 5
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 178 + 36.
5 Omgruppering med overhopp 6 Oppstilling
Husk minnetall! SNAKKE MATTE
a Sammenlikn strategi 5 og strategi 6. Hva er likt, og hva er ulikt?
b Bruk både strategi 5 og strategi 6 til å regne ut 467 + 84.
Strategi 5 Strategi 6
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret.
For hver av de seks regnestrategiene i de tre forrige oppgavene, gi eksempler på regnestykker der strategien er spesielt nyttig.
OPPGAVE 6
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 313 64.
1 Omgruppering med tiere og enere
–4–60
249253313
Omgruppering med overhopp
a Sammenlikn strategi 1 og strategi 2. Hva er likt, og hva er ulikt?
b Bruk både strategi 1 og strategi 2 til å regne ut 126 58.
Strategi 1:
Strategi 2:
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret.
OPPGAVE 7
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 313 64.
3 Omgruppering med nærmeste enkle tall Omgruppering med nærmeste hele 249313319
a Sammenlikn strategi 3 og strategi 4. Hva er likt, og hva er ulikt?
b Bruk både strategi 3 og strategi 4 til å regne ut 126 – 58.
Strategi 3:
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret. 4 249300313 ––13 51
Strategi 4:
OPPGAVE 8
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 313 64.
5 Å tenke addisjon
Fra64til100er36
Fra100til300er200
Fra300til313er13
Svaretblir249
Oppstilling 313 –64 =249
a Sammenlikn strategi 5 og strategi 6. Hva er likt, og hva er ulikt?
Vi bruker veksling!
b Bruk både strategi 5 og strategi 6 til å regne ut 126 58.
Strategi 5: Strategi 6:
Fra100til126
Svaretblir
Fra58til100 er126 -5 = 8
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret.
For hver av de seks regnestrategiene i de tre forrige oppgavene, gi eksempler på regnestykker der strategien er spesielt nyttig. er
SNAKKE MATTE
OPPGAVE 9
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 4 22.
1 Med tomt rutenett 2 Med tomt rutenett
422 88 420 80 42 8 ⋅=+
a Sammenlikn strategi 1 og strategi 2. Hva er likt, og hva er ulikt?
b Bruk både strategi 1 og strategi 2 til å regne ut 4 56.
Strategi 1:
Strategi 2:
c Hvilken strategi synes du er enklest å bruke? Begrunn svaret.
1.3
OPPGAVE 10
Her ser du to ulike strategier du kan bruke for å regne ut 4 22.
3 Med tomt rutenett 4 Addisjon med gruppering 440408 10102222222 4444 22 88 422 88 410 40 410 40 42 8 4 22 = (22 + 22) + (22 + 22) = 44 + 44 = 88
Bruk både strategi 3 og 4 til å regne ut 4 56.
Strategi 3:
Strategi 4:
SNAKKE MATTE
For hver av de fire regnestrategiene i de to forrige oppgavene, gi eksempler på regnestykker der strategien er spesielt nyttig.
EKSEMPEL 1
Å gange eller dele med 10, 100, 1000 osv.
Når vi ganger med 10, 100, 1000 osv., blir alle sifrene verdt 10, 100, 1000, osv. ganger mer.
100 ⋅ 42 = 4200
6042 10 = 60 420
Når vi deler på 10, 100, 1000 osv., blir alle sifrene verdt 10, 100, 1000 osv. ganger mindre.
5200 : 10 = 520
13 500 : 100 = 135
OPPGAVE 11
Regn ut.
a 52 10 = b 100 423 =
c 890 : 10 = d 40 500 : 100 =
OPPGAVE 12
a Regn ut 32 5 ved å bruke tomt rutenett.
Morten har regnet ut 32 5 på følgende måte: 32 5 = 16 10 = 160
b Forklar med egne ord hvordan Morten tenkte da han løste oppgaven.
c Regn ut 14 5 ved å bruke dobling og halvering.
På hvilke typer regnestykker er dobling og halvering lurt å bruke?
OPPGAVE 13
Live skal regne ut 24 13. Forklar hvordan Live regner.
OPPGAVE 14
a Regn ut 23 16.
b Regn ut 34 22.
c Regn ut 56 17.
Tenk til tusen
Utstyr: 1 terning per spillegruppe.
Dette er et spill for to eller flere spillere. Hver spiller tegner et spillebrett.
En på spillegruppa kaster terningen. Alle spillerne plasserer tallet terningen viser i én av de ni rutene på sitt eget spillebrett. Trill terningen på nytt og plasser det nye tallet i en ledig rute. Fortsett til ni tall er plassert på alle spillebrettene.
Spillerne har nå fått tre tresifrede tall på sitt spillebrett. Tallene legges sammen. Spilleren med sum nærmest 1000 har vunnet runden.
Jeg fikk 1055.
Henrik Hiyanna
vant! Jeg er nærmest 1000.
OPPGAVE 15
Hiyanna har regnet ut 615 : 5.
a Forklar hvordan Hiyanna har tenkt.
Til høyre ser du hvordan Henrik har regnet ut 615 : 5.
b Sammenlikn Hiyannas og Henriks regnemåte. Hva er likt, og hva er ulikt?
6155= –500100 115 –10020 15 –153 0123
c Bruk både Hiyannas og Henriks regnemåte og regn ut 135 : 5.
OPPGAVE 16
Bestefar deler ut 15 sjokolader til 5 barn. Bestemor deler ut 30 sjokolader til 10 barn.
a Forklar uten å regne at alle barna får like mange sjokolader hver. Bruk gjerne illustrasjonen nedenfor til hjelp.
b Forklar hvordan regnefortellingen ovenfor gir deg en strategi du kan bruke til å regne ut 615 : 5.
c På hvilke typer regnestykker kan denne strategien være en lur regnemåte?
Å GANGE OG DELE MED NULL
Når vi ganger et tall med null, blir svaret alltid null.
Multiplikasjon og divisjon er motsatte regneoperasjoner. Det betyr blant annet at 30 : 5 = 6, fordi 6 ⋅ 5 = 30.
Hva blir 30 : 0? Det går ikke an, fordi det ikke finnes noe tall du kan gange med 0 for å få 30.
Koble situasjon til rett regneuttrykk. Til hvert regneuttrykk hører det til to ulike situasjoner.
A I konfirmasjonen til Milla kom det 35 fra hennes familie i tillegg til 5 venner. Hvor mange gjester var det i konfirmasjonen til Milla?
B Camilla sparer 35 kr hver måned. Hvor mange kroner har hun spart etter 5 måneder?
C I løpet av en fotballsesong scoret Jonas 35 mål. Det var 5 mål mindre enn sesongens toppscorer. Hvor mange mål scoret sesongens toppscorer?
D I løpet av en håndballturnering ble Kaja toppscorer med 35 mål. Lise scoret 5 mål mindre enn Kaja. Hvor mange mål scoret Lise i turneringen?
E I en håndballturnering scoret Norge i gjennomsnitt 35 mål i hver av de 5 kampene i turneringen. Hvor mange mål scoret Norge i turneringen?
F I en klasse går det 35 elever som skal fordeles i grupper. Det skal være 5 personer i hver gruppe. Hvor mange grupper blir det?
G I en klasse går det 35 elever som fordeles i grupper. Det skal være 5 grupper. Hvor mange personer blir det i hver gruppe?
H En sommerdag var det 35 grader i skyggen. Dagen etter var det 5 grader kaldere. Hva var temperaturen denne dagen?
SNAKKE MATTE
På skitur i Alpene
Familien Hansen består av Elisabeth (48 år), Lars (46 år), Peder (16 år), Nikoline (11 år) og Maria (9 år). De skal på ferie for å stå på ski i Alpene. 1
1
Familien bestiller fly fra Oslo Lufthavn Gardermoen kl. 13.15. Familien ønsker å være på flyplassen minst 2 h 20 min før flyet går. Når må familien seinest være på flyplassen?
Du kan for eksempel hoppe på en tom tallinje.
Flyet familien tar, har 32 rader med 6 seter på hver rad. I tillegg er det plass til 8 kabinansatte og 2 piloter.
a Hvor mange passasjerer er det plass til på flyet?
b Hvor mange personer er med på flyet dersom flyet er fullbooket?
Familien vil besøke enten Engelberg eller Andermatt i Sveits.
Engelberg1050 moh.3238 moh.44002027 Andermatt1440 moh.2961 moh.15003722
a Hva er det samlede folketallet i de to byene?
b Hva er høydeforskjellen mellom høyeste topp ved Engelberg og byen Engelberg?
c Hva er høydeforskjellen mellom høyeste topp ved Andermatt og byen Andermatt?
d Hva er høydeforskjellen mellom byen Engelberg og byen Andermatt?
I tabellen ser du prisliste for heiskort på skistedene Engelberg og Andermatt. Hele familien Hansen planlegger å stå på ski 5 dager.
EngelbergAndermatt
Voksen (20+) Ungdom (16−19) Barn (5−15) Voksen (16+)Barn (5−15)
Dagskort550 kr400 kr240 kr600 kr260 kr
3-dagers kort1500 kr1100 kr700 kr
Ukeskort3100 kr2250 kr1500 kr2800 kr1350 kr
a Hvor mye må familien betale for å stå på ski 5 dager i Engelberg hvis de kjøper dagskort?
DagskortAntall dagskortPris per dagskortPris til sammen
Voksen
Ungdom Barn
Til sammen
Bruk kalkulator og fyll ut tabellen.
b Hvor mye må familien betale for å stå på ski 5 dager i Engelberg hvis de kjøper ukeskort?
UkeskortAntall ukeskortPris per ukeskortPris til sammen
Voksen
Ungdom Barn
Til sammen
c Hvor mye må familien betale for å stå på ski i 5 dager i Andermatt hvis de kjøper dagskort?
d Hvor mye må familien betale for å stå på ski i 5 dager i Andermatt hvis de kjøper ukeskort?
e Er det billigst med dagskort eller ukeskort i Andermatt hvis familien skal stå på ski i 5 dager?
f Hvis familien kjøper det billigste alternativet i Engelberg eller Andermatt, hvilket sted er det billigst å stå på ski? Hvor stor er prisforskjellen?
Følg stien
OPPGAVE 17
Hvilket tall må x være hvis likheten skal være riktig?
OPPGAVE 18
Regn ut ved å bruke minst to ulike strategier. a 45 + 13
18
OPPGAVE 19
Regn ut ved å bruke minst to ulike strategier.
a 65 13 b 306 102
c 61 11 d 429 37
1.14
OPPGAVE 20
Regn ut ved å bruke minst to ulike strategier. a 12 4 b 42 5
Matematikk for 8.–10. trinn
Matemagisk oppfordrer elevene til å utforske og diskutere fra første stund. Læremiddelets struktur ivaretar fellesskapet i klasserommet. Fellesdelene i hvert kapittel er laget for at elevene skal lære sammen. Dette gjør de gjennom «Snakke matte», spill, aktiviteter og utforskende samarbeidsoppgaver.
Den unike differensieringsmodellen i Matemagisk gir elevene individuelle tilpasninger innenfor samme tema. Slik lærer elevene matematikk på sitt nivå, men likevel i takt med hverandre.
Matemagisk er utviklet av fagpersoner og lærere med nærhet til klasserommet.
Matemagisk 8 består av:
• Lærebok
• Parallellbok
• Matemagisk 8–10. Elevhåndbok
• Matemagisk 8–10 Digital, med elevressurser og lærerveiledning
Digitale ressurser finner du på Aunivers.no