Matemagisk Parallellbok
Asbjørn Lerø Kongsnes
Anne Karin Wallace
Asbjørn
Matemagisk
Parallellbok
Lerø Kongsnes
Anne Karin Wallace
Matemagisk 10 Parallellbok er en del av læremiddelet Matemagisk 1–10.
Læremiddeletfølger læreplanen i matematikk for 1.–10. årstrinn.
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2022
1. utgave / 1. opplag 2022
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Kari Kleivdal, Harald Øyen Kittang, Martin Høgholen og Trine Alnæs
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen og Type-it AS
Omslag: Mona Markeng
Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen
Tekniske tegninger: Arnvid Moholt og Hanne Sjøtrø, AiT Bjerch AS, Trine Alnæs
Illustrasjoner: Erik Ødegård, Kari Sortland og
Martin Hvattum, BASTA illustrasjon & design – www.basta.no
Ombrekking: Gudbrand Klæstad, ord og form
Grunnskrift: Frutiger LT Std, 10/14 pkt.
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-41238-7
Aunivers.no
www.aschehoug.no
Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond.
Innhold
18 Utforske matematiske sammenhenger
18A Utforske matematiske sammenhenger ...............16
19 Algebrastigen
Trinn 1: Å forenkle algebraiske uttrykk.24
Trinn 2: Å løse likninger ............28
Trinn 3: Å forenkle algebraiske uttrykk med parenteser ...................37
Trinn 4: Å løse likninger med parenteser .......................42
Trinn 5: Å forenkle algebraiske uttrykk med brøker og parenteser ...........47
Trinn 6: Å løse likninger med brøker og parenteser ....................53
20 Likningssett
20A Å løse likningssett .............60
20B Å sette opp likningssett .........68
21 Prosentregning
21A Strategier for prosentregning ... 83
21B Vekstfaktor . .
101
22 Personlig økonomi
22A Kjøp og salg ................110
22B Sparing og lån ...............122
22C Utforskende arbeid . . . . . . . . . . . 132
23 Funksjoner
23A Lineære funksjoner ...........150
23B Eksponentialfunksjoner ........168
23C Å utforske funksjoner .........178
24 Modellering
24A Å lage matematiske modeller ...186
25 Geometritårnet
Byggekloss 1: Areal og omkrets .....210
Byggekloss 2: Volum og overflate ...218
Byggekloss 3: Pytagoras’ setning ....223
Byggekloss 4: Formlikhet ..........226
Byggekloss 5: Sammensatte figurer ..229 Fasit 232
Velkommen til Matemagisk 10
Matemagisk 10 legger til rette for at dere som elever får være aktive, utforske og oppdage matematiske sammenhenger. Vi ønsker at dere skal snakke matte med hverandre, utvikle forståelse og bli gode problemløsere. Boka legger opp til at dere kan samarbeide om matematikken. I boka finner dere varierte oppgaver knyttet til virkeligheten som gjør matematikken meningsfull og relevant. Boka kan brukes alene eller i kombinasjon med Matemagisk 8–10 Elevhåndbok
Fellesløypa
I hvert delkapittel er det en fellesløype. Denne er designet for arbeid i fellesskap i klassen. Den består av teori, eksempler, utforskende oppgaver, Snakke matte-oppgaver, spill, aktiviteter og andre varierte oppgaver. Programmering og andre digitale verktøy er integrert i delkapitlene der det er relevant.
Nøkkelhull
Oppgaver som viser spesielt viktige ideer og tenkemåter.
Oppgaver der dere skal snakke matte med hverandre. Her trener dere påå forklare hvordan dere tenker.
Følg stien
Oppgaver der du får trent mer på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her trener du på én ting om gangen. Følg stien dekker det mest sentrale faginnholdet og finnes i slutten av hvert delkapittel.
Vi legger gunnlaget
Eksempler, forklaringer og oppgaver som repeterer fagstoff som du har arbeidet med på tidligere trinn. Dette trenger du for å løse de neste oppgavene.
1
Henviser til tilsvarende oppgave i grunnboka. Det matematiske innholdet er bevart, men oppgaven kan være justert i parallellboka.
1
Henviser til tilsvarende eksempel i grunnboka. Det matematiske innholdet er bevart, men eksemplet kan være justert i parallellboka.
SNAKKE MATTE
Skriv ryddig og oversiktlig. Da blir også matematikken enklere.
Ikke gi opp selv når det blir vanskelig.
Samarbeid gjerne med hverandre!
Tren på å stille spørsmål om det du faktisk lurer på.
Hiyanna
Henrik
Tuva
Yonas
Utforske matematiske sammenhenger
1 Hva ser dere på bildet?
2 Hvor mange personer er det på bildet?
3 På hvor mange måter kan dere regne ut hvor mange personer som er på bildet?
Vi legger grunnlaget
REGNEOPERASJONER I PYTHON
RegneoperasjonSkrivemåte i PythonForklaring
Addisjonstegn +
Subtraksjonstegn
Multiplikasjonstegn*
Divisjonstegn /
Eksponent**
OPPGAVE 1
Her ser du et pythonprogram.
EKSEMPEL 1
a Hva blir resultatet av å kjøre programmet? Resultat:
b Kjør programmet og se om du får samme resultat som du forventet.
c Kjør programmet, men endre verdien av variabelen tall til 10. Hvordan endres resultatet av programmet?
Program i Python
Følgende skrives til skjermen når programmet kjøres: 4 8 12 16 20
Linje 1:Variabelen i økes med én for hver gjentakelse av løkka. Den starter på 1 og stopper etter 5. Løkka utføres 5 ganger. Legg merke til kolonet, og at setningene som skal gjentas må skrives med innrykk.
De linjene som gjentas i denne koden er linje 2 og 3.
Linje 2:Variabelen tall tilordnes verdien av variabelen i multiplisert med 4.
Linje 3:Verdien av variabelen tall skrives til skjermen. for i in range(1, 6): tall = i * 4 print(tall)
Følg stien Vi legger grunnlaget
OPPGAVE 2
Lag et program som skriver de første 10 tallene i tallfølgene.
Sammenlikn tallene i oppgave med tallene i oppgave b
Henrik har laget et program i Python som sjekker om svaret på et regnestykke blir over 100.
a = 15 b = 8
svar = a * b
if svar > 100: print("Svaret er over 100") else: print("Svaret er under 100") 1 2 3 4 5 6 7 8
OPPGAVE 3
Bruk programmet til Henrik. Sett ring rundt de gangestykkene der svaret er over 100.
a 18 6 b 23 4 c 12 9 d 44 2,3
OPPGAVE 4
Endre programmet til Henrik. Sett ring rundt de delestykkene der svaret er over 300.
a 1857 : 6 b 953 : 3,6 c 160 : 0,5 d 280 : 0,9
e Forklar hvilke endringer du gjorde i programmet fra oppgave 3.
Desimalskilletegnet i Python er punktum. Tallet 2,3 skrives derfor som 2.3.
pgave c et t 2,3 skrives
EKSEMPEL 2
Talltriks
Med matematikk kan vi lage mange talltriks som kan virke magiske.
Det kan være morsomt å teste ut magiske talltriks på venner og familie. Her utforsker vi noen slike talltriks.
Denne algoritmen viser et magisk talltriks.
Steg 1 Tenk på et tall.
Steg 2 Gang tallet du nå har fått, med 2.
Steg 3 Legg til 10.
Steg 4 Del tallet du nå har fått, på 2.
Steg 5 Trekk fra tallet du startet med å tenke på.
a Gjennomfør algoritmen med noen ulike starttall. Fyll ut resten av tabellen.
StegEksempel 1Eksempel 2Eksempel 3Eksempel 4
Steg 1 20
Steg 2 2 20 = 40
Steg 3 40 + 10 = 50
Steg 4 50 : 2 = 25
Steg 5 25 – 20 = 5 1
b Se på tabellen i oppgave a. Hva oppdager du?
c Lag et program som følger algoritmen. Test programmet med de tallene du valgte i oppgave a Får du samme resultat som i oppgave a?
d Lag et program som gjennomfører talltrikset for alle heltall fra 1 til 15. Hvordan stemmer oppdagelsen fra oppgave b med resultatet av å kjøre programmet?
e Yonas har skrevet en forklaring på hvorfor talltrikset fungerer. Gå gjennom forklaringen, og beskriv hva som skjer i hvert steg.
StegYonas’ forklaringBeskriv hva som skjer i hvert steg
Steg 1 x
Steg 2 x x
Steg 3 x x
Steg 4 x
Steg 5
Her må du bruke en løkke. ke
Dette er et magisk talltriks:
«Tenk på et tall. Gang tallet du nå har fått, med 4. Legg til 20. Del tallet du nå har fått, på 4. Trekk fra tallet du startet med å tenke på».
a Skriv talltrikset som en algoritme.
StegBeskrivelse
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Steg 5
b Gjennomfør beregningene med noen ulike starttall.
StegEksempel 1Eksempel 2Eksempel 3Eksempel 4
Steg 1 10
Steg 2 4 10 = 40
Steg 3 40 + 20 = 60
Steg 4 60 : 4 = 15
Steg 5 15 – 10 = 5
c Se på tabellen i oppgave b. Hva oppdager du?
d Lag et program som sjekker om talltrikset fungerer for heltallene fra 1 til 1000. Stemmer resultatet du får når du kjører programmet med det du oppdaget i oppgave c?
e Forklar hvorfor talltrikset fungerer. Lag gjerne tegninger slik som i Yonas’ forklaring i oppgave 1.
StegForklaring
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Steg 5
Lag ditt eget magiske talltriks. Test det på noen du kjenner. Lag et program som sjekker om det fungerer for ulike starttall, og bruk tegninger til å forklare hvorfor det fungerer.
Vi legger grunnlaget
Å GANGE ET TALL MED EN PARENTES
Figuren viser et rektangel. Vi kan regne ut arealet av rektanglet på to ulike måter.
1 Ved å gange antall ruter i hver kolonne med antall ruter i hver rad.
I hver rad er det 4 ruter.
I hver kolonne er det 2 + 3 = 5 ruter.
Til sammen er det 4 (2 + 3) = 4 5 = 20 ruter.
2 Ved å legge sammen antall blå og røde ruter.
Det er 4 2 = 8 blå ruter.
Det er 4 3 = 12 røde ruter.
Til sammen er det 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = 8 + 12 = 20 ruter.
Vi ser at de to måtene å regne på gir samme svar.
Vi kan skrive 4 (2 + 3) = 4 2 + 4 3.
Det var ingenting spesielt med tallene vi valgte i dette eksemplet.
Denne måten å regne på fungerer uansett hvilke tall vi bruker.
For alle tall a, b og c er
a(b + c) = ab + ac a
OPPGAVE 5
a Regn ut arealet av rektanglet på to ulike måter.
Måte 1: Gang antall ruter i hver kolonne med antall ruter i hver rad.
(b + c) betyr a ⋅ (b + c).
Måte 2: Regn ut arealet av det blå rektangelet. Regn ut arealet av det røde rektanglet. Legg sammen de to arealene.
b Forklar hvorfor regninga ovenfor viser at 3 (5 + 2) = 3 5 + 3 2.
18.1
18A Utforske matematiske sammenhenger
programmering til å utforske matematiske egenskaper og sammenhenger. multiplisere parenteser
OPPGAVE 6
Vi skal lage et program som vi kan bruke til å utforske om a(b + c + d) = ab + ac + ad for hele tall a, b, c og d
Algoritme
Steg 1 Brukeren skriver inn tall for variablene a, b, c og d
Steg 2 Programmet regner ut verdien av uttrykket på den venstre siden og uttrykket på den høyre siden av likhetstegnet, og lagrer svarene i to variabler.
Steg 3 Programmet sjekker om de to variablene fra steg 2 har samme verdi, og skriver en forklarende tekst til skjermen.
a Lag et program som følger algoritmen.
b Test programmet flere ganger ved å velge ulike tall for variablene a, b, c og d abcd
Resultat
c Hva oppdager du?
Fyll ut tabellen for å holde oversikt over utprøvingen.
SNAKKE MATTE
I oppgave 6 lagde dere et program for å sjekke om a(b + c + d) = ab + ac + ad stemmer for ulike verdier av tallene a, b, c og d. Er dette en begrunnelse for at det alltid stemmer?
Til høyre ser dere et rektangel.
a Foreslå ulike måter å regne ut hvor mange ruter det er i rektanglet.
b Forklar sammenhengen mellom tabellene og rektanglet.
c Bruk et rektangel til å begrunne at a(b + c + d) = ab + ac + ad for alle positive tall a, b, c og d
OPPGAVE 7
Til høyre ser dere et rektangel.
Foreslå så mange måter som mulig å regne ut hvor mange ruter det er i rektanglet.
SNAKKE MATTE
Følg stien
OPPGAVE 8
Dette er et magisk talltriks:
c Se på tabellen i oppgave b. Hva oppdager du? 18.8
«Tenk på et tall. Legg til 4. Gang det nye tallet med 3. Trekk så fra 6. Tallet du har nå, deler du på 3. Deretter trekker du fra tallet du startet med å tenke på.
a Skriv talltrikset som en algoritme.
StegBeskrivelse
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Steg 5
Steg 6
b Gjennomfør beregningene med noen ulike starttall.
StegEksempel 1Eksempel 2Eksempel 3Eksempel 4
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Steg 5
Steg 6
d Forklar hvorfor talltrikset fungerer. Lag gjerne tegninger.
StegForklaring
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Steg 5
Steg 6
19 Algebrastigen
Når dere arbeider med Algebrastigen, jobber dere med å forenkle algebraiske uttrykk og løse likninger. Dere kan gjerne samarbeide og diskutere oppgavene med hverandre.
Jobb med trinnene i ditt eget tempo. Det er viktigere å jobbe godt med noen av trinnene enn å jobbe med alle trinnene.
Vi har arbeidet med innholdet tidligere på ungdomsskolen. Jeg synes algebra er vanskelig, så jeg starter på trinn 1.
Vi legger grunnlaget
OPPGAVE 1
Regn ut.
a 3 + 3 + 3 + 3 b 4 3
c 5 + 5 + 5 d 3 5
e 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 f (4 3) + (3 5)
g Sammenlikn svaret i oppgave a og b, svaret i oppgave c og d, og svaret i oppgave e og f Hva oppdager du?
OPPGAVE 2
Regn ut.
a 3 + 3 3 b (2 3) 3
c 5 + 5 + 5 5 5 d (3 5) (2 5)
e Sammenlikn svaret i oppgave a og b, og svaret i oppgave c og d. Hva oppdager du?
Regnerekkefølge
1 Parenteser med regneoperasjoner inni
2 Potenser
3 Gange og dele
4 Pluss og minus
OPPGAVE 3
Regn ut.
a 5 ⋅ 4 + 3
b 3 + 5 ⋅ 4
En variabel er et symbol som står for et tall. Verdien av variabelen kan variere. Vi bruker ofte små bokstaver som variabler, for eksempel a, b, n, t eller x
Et algebraisk uttrykk er et regneuttrykk med en eller flere variabler.
OPPGAVE 4
Eksempler på algebraiske uttrykk er 4 x 12 a 5 a 3 b
a Hva er verdien av det algebraiske uttrykket 6 x hvis x = 3?
b Hva er verdien av det algebraiske uttrykket 6 x hvis x = 5?
c Hva er verdien av det algebraiske uttrykket 6 x + 4 hvis x = 2?
d Hva er verdien av det algebraiske uttrykket y + 6 x hvis x = 5 og y = 1?
Trinn 1: Å forenkle algebraiske uttrykk
Å forenkle et algebraisk uttrykk vil si å skrive om det algebraiske uttrykket til et annet, enklere uttrykk. Det forenklede uttrykket skal alltid ha samme verdi som det opprinnelige uttrykket, uansett hvilke tall vi setter inn for variablene.
Vi forenkler uttrykket a + a + a + a til 4a. Uansett hvilket tall vi setter inn for a, er verdien av a + a + a + a og verdien av 4a den samme. a = 3, så er
OPPGAVE 5
Vi trenger ikke skrive gangetegn mellom tallet og variabelen. 4a betyr 4 ⋅ a + =
Skriv så enkelt som mulig.
a a + a + a + a + a =
b y + y + y =
c n + n + n + n + n + n = d k + k + k k = e 3b + 4b = f 2a + 9a = g 11x 5x =
OPPGAVE 6
c n + n + n n + m d 6 + 16 k 19.1
2x og 5x er ledd av samme type. 5x og 5 er ikke ledd av samme type. 3x og 3y er ikke ledd av samme type. e.
Sett ring rundt ledd av samme type.
a 2a + 5a + b 4
b y + 2y + 2
Skriv uttrykket 5a 3 + 7 2a så enkelt som mulig.
Løsning
5a 3 + 7 2a = 5a –3+7 –2a
= 5a –2a 3 + 7
= 3a +4
19.4
OPPGAVE 7
Skriv så enkelt som mulig.
a 4a + 3a + 5 8
Vi fargelegger ledd av samme type med samme farge for å skape oversikt. Vi endrer rekkefølgen på leddene (pass på at fortegnene følger med riktig ledd).
Vi trekker sammen de røde leddene for seg, og de blå leddene for seg.
b 5a + 3 2a + 8
c 4x + 2 5 + 3x d 5x 6 + 3 5x
19.5
OPPGAVE 8
Skriv så enkelt som mulig.
a 5a + 2 7 3a
c 5 4n + 2n + 3
EKSEMPEL 1
b 3a 4 + a 6
Når vi ganger et tall med 1, får vi tallet vi startet med. Derfor skriver vi 1a bare som a
d 2 6t 7 t
Skriv uttrykket 3x + 2y 5x + 6y så enkelt som mulig.
Løsning
3x + 2y 5x + 6y = 3x + 2y – 5x + 6y
= 3x – 5x + 2y + 6y
= –2x + 8y
19.6
19.7 2
OPPGAVE 9
Skriv så enkelt som mulig.
a 5a + 2b + 3a + 4b
Vi fargelegger ledd av samme type med samme farge for å skape oversikt.
Vi endrer rekkefølgen på leddene. Pass på fortegnene.
Vi trekker sammen leddene med x for seg, og leddene med y for seg.
b 6x + 2y x + 5y
c 4s + 3t s 2t d 5m 3n + 6n 7n
OPPGAVE 10
Skriv så enkelt som mulig.
a 5x + 3y 8y 6x b 3b 2a 3b + 2a
c 4a + 5b + 6 4a + 3b d 5s + 3t 2s + t
En algebrapyramide er en pyramide der det som står i én rute, er summen av det som står i de to rutene nedenfor.
+ 3a a + 2 4a + 4
a a
OPPGAVE 11
Fyll ut algebrapyramiden.
EKSEMPEL 4
Trinn 2: Å løse likninger
+ 8 12 =
verdi hvis x = 4
Vi skal løse likningen 2x + 4 = 10.
Denne likningen har løsningen x = 3. 4
De grønne boksene viser x-ene, og de gule kulene viser enere.
Vi tar bort tallet 4 fra hver side av likhetstegnet.
Dette er vist ved at fire røde kuler skal tas bort på hver side av vippehuska.
Vi forenkler uttrykkene på hver side av likhetstegnet.
Vi står igjen med 2 x-er på venstre side og 6 kuler på høyre side.
Vi deler på 2 på hver side av likhetstegnet.
Hver side av vippehuska deles i to like grupper.
En gruppe på hver side tas så bort. Løsningen på likningen er x = 3.
Samme
Algebraisk løsningsmetode
OPPGAVE 12
Løs likningen 2x + 3 = 9 ved å bruke tegning og algebraisk løsningsmetode.
Tegning Algebraisk metode
Matematikk for 8.–10. trinn
Matemagisk oppfordrer elevene til å utforske og diskutere fra første stund. Læremiddelets struktur ivaretar fellesskapet i klasserommet. Fellesdelene i hvert kapittel er laget for at elevene skal lære sammen. Dette gjør de gjennom «Snakke matte», spill, aktiviteter og utforskende samarbeidsoppgaver.
Den unike differensieringsmodellen i Matemagisk gir elevene individuelle tilpasninger innenfor samme tema. Slik lærer elevene matematikk på sitt nivå, men likevel i takt med hverandre.
Matemagisk er utviklet av fagpersoner og lærere med nærhet til klasserommet.
Matemagisk 10 består av:
• Lærebok
• Parallellbok
• Matemagisk 8–10. Elevhåndbok
• Matemagisk 8–10 Digital, med elevressurser og lærerveiledning
Digitale ressurser finner du på Aunivers.no