ALEKSANDER
EDVARD
Fysikk Forkurs
PETTER CALLIN
INGA HANNE DOKKA
ANDREAS HELLESØY
SELAND
KNUTSEN SKÅLAND
PETTER CALLIN
INGA HANNE DOKKA
ANDREAS HELLESØY
ALEKSANDER SELAND
EDVARD KNUTSEN SKÅLAND
Fysikk Forkurs
BOKMÅL
ERGO Fysikk Forkurs består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no og følger de nasjonale læreplanene for forkurset, som gjelder fra august 2022.
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2022
1. utgave / 1. opplag 2022
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Lars Nersveen
Grafisk formgiving og omslag: Louise Zyskind
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Bilderedaktør: Kathrine Klinkenberg
Tekniske tegninger: Eirek Engmark
Illustrasjoner og tekniske tegninger: Sveen & Emberland Illustrasjon AS
Grunnskrift: Sabon 10,3/15
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-41199-1
Aunivers.no
Bildekrediteringer ERGO Fysikk Forkurs S. 4/5 Berit Roald / NTB, s. 6/7 Thomas Barwick/Getty, s. 8 Andreas Hellesøy, s. 11 NTB/Gorm Kallestad, s. 15 CERN, s. 16 vkbhat/iStock, s. 16 Funtay/iStock, s. 18 Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 19 RHJ/iStock, s. 20 Trifonov_Evgeniy/iStock, s. 21 VW Pics/Contributor/Getty images, s. 22 Andreas Hellesøy, s. 23 ATK-Knut Opeide, Statens vegvesen, s. 24 lelepado/iStock, s. 26 Samfoto/Jens Sølvberg/NTB Scanpix, s. 30 Neydtstock/iStock, s. 31 through-my-lens/iStock, s. 35 Joe Raedle / Staff/Getty images, s. 40 Space Frontiers/Stringer/Getty images, s. 41 UniversalImagesGroup/Getty images, s. 45 NTB/Tor Erik Schrøder/NTB Scanpix, s. 51 Shutterstock/625261/NTB Scanpix, s. 68/69 stefanschurr/iStock, s. 70 Eerik/iStock, s. 72 Frederiksen Scientific, s. 73 John Crux Photography/Getty images, s. 77 Samfoto/Thorfinn Bekkelund, s. 81 Vasilisa_k/iStock, s. 82 duncan1890/iStock, s. 86 simonkr/iStock, s. 87 Aftenposten/Trygve Indrelid/NTB Scanpix, s. 90 Tjasa Janovljak / Alamy Stock Photo, s. 91 posteriori/iStock, s. 95 Samfoto/Espen Bratlie/NTB Scanpix, s. 98 jaouad.K/iStock, s. 98 Reuters/Ho/NTB Scanpix, s. 99 lisegagne/ iStock, s. 104 Nikreates/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 105 TT/iStock, s. 107 JohnnyGreig/iStock, s. 108 MarioGuti/iStock, s. 113 izusek/iStock, s. 114 Art Rickerby/Getty images, s. 117 Ilmar Idiyatullin/iStock, s. 133 SimonSkafar/iStock, s. 136/137 Thulin, Lars/Getty images, s. 140 The Granger Collection/NTB Scanpix, s. 143 PeopleImages/iStock, s. 144 Science & Society Picture Library/Getty images, s. 150 alekseystemmer/iStock, s. 155 Samfoto/Espen Haagensen/NTB Scanpix, s. 157 Samfoto/Bjørn Jørgensen/NTB Scanpix, s. 159 Bettmann/Getty images, s. 163 vm/iStock, s. 171 technotr/iStock, s. 173 EDB Image Archive/Alamy Stock Photo, s. 174 Statens vegvesen, s. 175 Bloomberg/Getty images, s. 179 franckreporter/iStock, s. 188 CasPhotography/iStock, s. 194 tarasov_vl/iStock, s. 216/217 EPA/PETER KLAUNZER/NTB Scanpix, s. 221 Alexander Zemlianichenko Jr/NTB Scanpix (speilvendt), s. 234 Birna Rørslett/Samfoto/NTB, s. 240 Frederiksen Scientific A/S, s. 241 Stefan Sollfors/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 244 sipausa/IPA/NTB Scanpix, s. 249 Schnelle/iStock, s. 250 Schnelle/iStock, s. 251 Adam Smigielski/iStock, s. 254 Reuters/Phil Noble/NTB Scanpix, s. 255 Jonathan Ferrey/Getty images, s. 261 Samfoto/Thorfinn Bekkelund/NTB Scanpix, s. 270 Dan Grytsku/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 282 Shutterstock editorial/Caters News Agency Ltd/REX/NTB Scanpix, s. 287 AnnaTamila/Shutterstock/NTB Scanpix, s. 290/291 Erik Johansen/ NTB, s. 301 øAndrew Holt/Getty, s. 301 n Audun Bakke Andersen/Getty, s. 302 ø Andreas Hellesøy, s. 302 n Bill Truran/Alamy Stock Photo/NTB, s. 303 georgeclerk/ iStock, s. 304 AlSimonov/iStock, s. 305 v Keystone Pictures USA/Zuma press/NTB, s. 305 h Actionplus/Alamy Stock Photo/NTB, s. 309 Erickson Stock/Alamy Stock Photo/NTB, s. 312 B. Christopher/Alamy Stock Photo/NTB, s. 313 helivideo/iStock, s. 314 suravikin/iStock, s. 320/321 Alexey Sizov/EyeEm/Getty, s. 322 ø Willowpix/ iStock, s. 322 n GeorgiosArt/iStock, s. 323 ø Digital Zoo/Getty images, s. 323 n MediaProduction/Getty images, s. 324 Sharon Pruitt/EyeEm/Getty images, s. 325 Peter Phipp/Travelshots.com/Alamy Stock Photo/NTB scanpix, s. 327 NASA, s. 328 Andriy Popov/Alamy Stock Photo/NTB, s. 330 Ivan Sizov/Alamy Stock Photo/NTB, s. 332 /iStock, s. 333 ø popovaphoto/iStock, s. 333 n theasis/iStock, s. 335 ullstein bild/Getty images, s. 336 JoyfulThailand/iStock, s. 338 visual7/iStock, s. 339 ø AndrisBarbans/iStock, s. 339 n Inga Hanne Dokka, s. 342 ø mikroman6/Getty images, s. 342 v jacktherabbit/iStock, s. 342 m Toa55/ iStock, s. 342 h MajaMitrovic/iStock, s. 343 Eleftheria Sarri/EyeEm/Getty images, s. 344 Rudmer Zwerver/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 346 Ihor Martsenyuk/ iStock, s. 348 a40757/iStock, s. 349 MARK GARLICK/SCIENCE PHOTO LIBRARY/Getty images, s. 352 Frederiksen Scientific AS, s. 356 Mark Bullimore Photography/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 357 FPG/Getty images, s. 358 v Samfoto/Bård Løken/NTB Scanpix, s. 358 h Samfoto/Bård Løken/NTB Scanpix, s. 359 v LENblR/iStock, s. 359 h technotr/iStock, s. 361 The Granger Collection/NTB Scanpix, s. 363 Ilja Enger-Tsizikov/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 364 Andreas Hellesøy, s. 365 Nevena Ristic/iStock, s. 366simonkr / iStock, s. 368 Nicole Patience/Shutterstock/NTB, s. 370 ø Frederiksen Scientific AS, s. 370 n Martyn F. Chillmaid/Science Photo Library/NTB, s. 384 Flavio Vallenari/iStock, s. 385 Paul Biris/Getty images, s. 387 Kertu/Shutterstock/NTB, s. 390 ø malerapaso/iStock, s. 390 n Andreas Hellesøy, s. 391 Aftenposten/Karina Jensen/NTB Scanpix, s. 392 Andrew1Norton/iStock, s. 393 Barat Roland/Shutterstock/ NTB, s. 396/397 Ove Bergersen/Samfoto/NTB, s. 398 Design Pics Inc/Alamy Stock Photo/NTB, s. 407 ronstik/Alamy Stock Photo/NTB, s. 413 Lucie Lang/Alamy Stock Photo/NTB, s. 415 Isubaldo/iStock, s. 430/431 Shutterstock editorial/Guy Bell/rex/NTB Scanpix, s. 433 Arild Hansen/Telemarksavisa, s. 434 NASA, s. 441 Marija Jovovic/iStock, s. 444 Universal History Archive/Getty images, s. 445 VW Pics/Getty images, s. 446 ullstein bild/Getty images, s. 447 Donaldson Collection/Getty images, s. 448 Science Photo Library/Alamy Stock/Photo/NTB Scanpix, s. 449 Boyer/Getty images, s. 453 The Picture Art Collection/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 459 Shutterstock/3869111/NTB Scanpix, s. 464 Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 465 artursfoto/iStock, s. 467 ljubaphoto/iStock, s. 468 Martin Wahlborg/ iStock, s. 477 Lordprice Collection/Alamy/NTB, s. 478 Valerii Apetroaiei/iStock, s. 479 Phanie/Alamy Stock Photo/NTB, s. 480 ø itsmejust/iStock, s. 480 n Julio Ricco/ iStock, s. 492 Samfoto/Dag Røttereng/NTB Scanpix, s. 498/499 NASA Photo/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 500 Andreas Hellesøy, s. 501 choness/iStock, s. 502 The Picture Art Collection / Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 504 Aleksander Seland, s. 505 Franz Aberham/Getty images, s. 506 Craig Walton/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 507 Andreas Hellesøy, s. 509 ø Aleksander Seland, s. 509 n Andreas Hellesøy, s. 510 Frederiksen Scientific AS, s. 511 The Granger Collection/ NTB Scanpix, s. 512Craig Walton/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 513 Andreas Hellesøy, s. 514 Frederiksen Scientific AS, s. 516 aetb/iStock, s. 520 Len Collection/ Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 521 Sean Pavone/iStock, s. 522 Andreas Hellesøy, s. 523 ø Science & Society Picture Library/Getty images, s. 523 n VG/Hanne Hattrem/NTB Scanpix, s. 526 Elsikkerhetsportalen.no, s. 527 choness/iStock, s. 528 Belysningsbilde med tillatelse fra LEDVANCE GmbH, Garching, München, Tyskland, s. 529 georgeclerk/iStock, s. 530 Zoltan Fabian/Shutterstock/NTB, s. 534 Cristian Storto Fotografia/iStock, s. 535 AntxPhotoStock/Shutterstock/NTB, s. 540 Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 541 shaunl/iStock.
SVANEMERKET
Forord
Denne boka er skrevet for deg som skal i gang med forkurs i fysikk. Fysikk er en grunnpilar i ingeniørutdanning og i teknologiske fag. Boka vil hjelpe deg med å danne det solide faglige grunnlaget som kreves for studiene. Du vil få trening i å observere, måle, resonnere og regne på fysiske problemstillinger. Fysikkfaget vil utfordre deg, for du vil på kort tid tilegne deg kunnskap som veldig mange mennesker fra forskjellige land har brukt århundrer på å samle. Én ting kan vi love deg: Verden blir mer spennende med fysikk!
ERGO Fysikk Forkurs er et alt-i-ett-læreverk.
Vi har fylt ERGO Fysikk Forkurs med eksempler, illustrasjoner, regneoppgaver og programmeringsoppgaver slik at alt du trenger er samlet i én bok. Hvert kapittel avsluttes med oppgavesamling, blandede oppgaver og kapitteltest. Oppgaver som er ekstra utfordrende, er merket med en diamant, ♦. Samtidig lærer du ikke fysikk kun ved å lese og regne. Du vil merke at kunnskapen sitter dypere når du utforsker og eksperimenterer. Gjennom hele
boka finner du forslag til aktiviteter og forsøk som du kan utføre. Utfordre deg selv til å ta i bruk utstyret du har tilgang til på laboratoriet og hjemme.
Læreverket har også et eget nettsted på Aunivers.no. Her finner du fullstendige løsninger av alle oppgaver i boka, interaktive oppgaver, filmer, forsøksbeskrivelser, simuleringer, programmeringsressurser og fordypningsstoff.
Ta nettstedet i bruk, det er utviklet for deg som har valgt ERGO Fysikk Forkurs!
Vi ønsker å rette en stor takk til redaktør Lars Nersveen for det viktige samarbeidet, støtten og kvalitetssikringen som kreves for å skape et læreverk i fysikk.
Mai 2022
Petter Callin
Inga Hanne Dokka
Andreas Hellesøy Aleksander Seland Edvard Knutsen Skåland
Innhold
1Rettlinjet bevegelse
1AFysikk som målefag 8
1BPå rett vei 22
1CGrafisk framstilling 30
1DKonstant akselerasjon 37
1ESimulering av bevegelse 45
2Krefter i én dimensjon
2AKrefter 70
2BNewtons 1. lov 82
2CFriksjon og luftmotstand 92
2DNewtons 3. lov 101
2ENewtons 2. lov 105
2FNår kreftene ikke er konstante 113
3Mekanisk
energi og bevegelsesmengde
3AEnergi 138
3BArbeid
3CPotensiell energi 153
3DKinetisk energi 159
3EBevaring av mekanisk energi 165
3FEndring i mekanisk energi 170
3GBevegelsesmengde 177
3HBevaring av bevegelsesmengde
3IUlike
4Bevegelse i to dimensjoner
4AKraftvektorer
5Statikk
6Termofysikk
7Harmonisk bevegelse
8Stråling
9Elektrisitet
Rettlinjet bevegelse
Måling og beregning av bevegelse
1AFysikk som målefag
8
1BPå rett vei22
1CGrafisk framstilling30
1DKonstant akselerasjon37
1ESimulering av bevegelse45
UTFORSK!
Fysikk som målefag
Størrelser og nøyaktighet
Ta en papirlapp og fysikkboka di og slipp dem samtidig og fra samme høyde ned mot gulvet. Du blir neppe overrasket over å oppdage at fysikkboka treffer gulvet før papirlappen. Legg så papirlappen oppå fysikkboka og slipp dem sammen. Resultatet blir et helt annet.
Dersom du ønsker å undersøke nærmere hvordan og hvorfor papirlappen ikke faller på samme måte i de to tilfellene, vil du ha behov for å gjøre flere eller mer nøyaktige målinger. Dessuten vil du måtte notere resultater og beskrive hva som skjer. Når du gjør målinger og beskriver resultater, må du vite noe om hvor nøyaktige målingene dine er, og hvordan du kan presentere dem slik at du kan få fram sammenhenger på en oversiktlig måte.
En «rute»
En gammel lengdeenhet, kalt «rute», ble brukt i Tyskland på 1500-tallet. Enheten ble bestemt ved at man tok de 16 første mennene som kom ut kirkedøra etter gudstjenesten en vanlig søndag, og målte opp den samlede lengden av herrenes venstreføtter.
Lag en rekke med 16 studenter og mål opp den samlede lengden når alle plasserer venstreføttene sine på rekke og rad.
Hvor mange meter er en «rute»?
Hvis dere gjennomfører målingen med 16 andre studenter, hvor mye lengre eller kortere tror dere den nye målingen blir?
Hvor nøyaktig er målenheten en «rute»?
Ville nøyaktigheten av en rute vært den samme om man tok utgangspunkt i venstrefoten til én student og ganget opp med 16?
Tid og strekning
To viktige størrelser i fysikken som vi relativt enkelt kan måle, er posisjon og tid. Fra naturfag, og kanskje også fra matematikkfaget, husker du sikkert at vi definerer fart som v = s / t. Strekningen, s, er avstanden mellom to punkter, og t er tiden man bruker på denne strekningen. I fysikkfaget bruker vi ofte matematiske sammenhenger mellom størrelser for å trekke konklusjoner.
EKSEMPEL 1
En sykkeltur ned bakken
Nora liker å sykle og må ned en bratt bakke på vei til jobb. Hun ønsker å finne ut hvor fort det går ned bakken, og bestemmer seg for å undersøke saken nærmere. Siden hun ikke har speedometer på sykkelen, må hun finne en annen måte å beregne farten på. Sammen med Martin blir de enige om å måle lengden av bakken og tiden hun bruker på å trille ned. Martin stiller seg nederst i bakken for å ta tiden, mens Nora starter i ro på toppen av bakken. Sammen finner de ut at bakken er 20,0 meter lang, og at Nora bruker 4,7 sekunder på å trille ned bakken. Dermed konkluderer de med at farten ned bakken er
v s t 20,0m 4,7s 4,3m/s
UTFORSK!
VIKTIG!
Nøyaktige begreper
En ting du kommer til å oppdage når du lærer fysikk, er at begreper ofte har en helt bestemt betydning som noen ganger skiller seg fra hvordan vi bruker begrepene i dagligtale. I eksempel 1 ovenfor konkluderte Nora og Martin med at farten var 4,3 m/s. De burde nok heller brukt begrepet gjennomsnittsfart. Hvorfor det?
Symboler og størrelser
Det er noen detaljer i eksempel 1 som vi skal se nærmere på. Formelen v = s / t består av det vi kaller symboler. v er symbolet for fart, s er symbolet for strekning, og t er symbolet for tid. Det svarer omtrent til det vi i matematikken kaller variabler. Vi kunne ha skrevet formelen som x = y / z og sagt at x er fart, y er strekning og z er tid. Hvilke symboler som brukes for ulike størrelser, varierer i ulike land og kulturer og mellom ulike fagfelt.
Symbolene representerer fysiske størrelser. De består av et måltall og en enhet. Måltallet er verdien vi har målt, og enheten beskriver hva vi har målt størrelsen i. Når vi skriver 20,0 meter, er 20,0 måltallet og meter enheten. Det er vanlig å bruke forkortelser for enhetene i regnestykker, og også i tekst når det står et måltall foran. Vi skriver altså m i stedet for meter. Husk alltid å oppgi både måltallet og enheten i svar på fysikkoppgaver!
Enheter inngår i regnestykker på lik linje med tall. Når vi deler 20,0 meter på 4,7 sekunder, blir enheten i svaret meter delt på sekund. Dette uttaler vi gjerne som meter per sekund, og vi skriver m/s.
Størrelser
Størrelse = måltall enhet
En størrelse består av et måltall og en enhet. Når vi oppgir en fysisk størrelse, skal vi alltid oppgi både måltallet og enheten.
Enheter følger de samme regnereglene som tall.
Symbolet s og enheten s skrives med samme bokstav. De betyr likevel forskjellige ting. Her i boka skrives symboler i kursiv, mens enheter skrives med normal skrift. I de fleste tilfeller vil det ikke være noen tvil om hva bokstavene representerer. Det er likevel greit å være klar over denne forskjellen i skrivemåte.
VIKTIG!
Antallet gjeldende sifre
Det siste vi skal se på fra eksempel 1, er sluttsvaret. Skriver du inn 20,0 ÷ 4,7 på kalkulatoren eller i et regneprogram på datamaskinen, får du gjerne svaret 4,255319149. Dette er ikke et godt svar for måltallet i oppgaven. I teksten oppgis tiden Nora bruker ned bakken til 4,7 s. Her er størrelsen oppgitt med to gjeldende sifre. Antallet gjeldende sifre forteller oss hvor nøyaktig vi kjenner størrelsen. 4,7 s betyr egentlig at verdien av tidsmålingen ligger et sted mellom 4,65 s og 4,75 s. For å være helt presis kunne vi ha skrevet 4,7 s ± 0,05 s. Når Nora og Martin beregner farten ned bakken, er tidsmålingen den mest unøyaktige verdien de baserer utregningen sin på. Det hjelper ikke at lengden av bakken er målt med tre gjeldende sifre.
Når politiet har fartskontroll har målingene (som alle andre målinger) en viss usikkerhet. Derfor trekker de fra noen km/h fra målingen for å være sikker på at de ikke oppgir for høy hastighet.
Nøyaktighet i regneoppgaver
Når du oppgir svaret på en regneoppgave, skal svaret inneholde like mange gjeldende sifre som den minst nøyaktige størrelsen beregningen baserer seg på.
Antallet gjeldende sifre finner du ved å starte med det første sifferet fra venstre som ikke er 0, og så telle mot høyre.
1.1
Skriv svarene med korrekt antall gjeldende sifre og riktig enhet.
a 0,12 m / 0,1 s
b 0,050 kg ⋅ 1,62 m/s
c 0,45m 1,7s0,014m/s
1.2
Mål lengden, bredden og tykkelsen på fysikkboka med en linjal.
a Hvor mange gjeldende sifre mener du det er rimelig å oppgi målene med?
b Oppgi arealet av forsiden av boka med riktig antall gjeldende sifre.
c Oppgi volumet av boka med riktig antall gjeldende sifre.
EKSEMPEL 2 En ny sykkeltur ned bakken
Nora er ikke helt overbevist om at farten ned bakken er så lav som 4,3 m/s. Hun synes det går mye fortere, spesielt mot slutten av bakken. De bestemmer seg for å undersøke saken nærmere og inviterer Elias, Sadia og Knut, slik at de kan måle tiden flere steder nedover bakken. Nora står fremdeles for syklingen, mens resten av gjengen plasserer seg nedover bakken med 5,0 m mellomrom. Nora setter seg på sykkelen på nytt og triller ned bakken. Resultatene legger de inn i en tabell:
t (s) 0,02,43,34,14,7
s (m) 0,05,010,015,020,0
2 FORTS.
For å få bedre oversikt over målingene tegner de dem inn i en graf:
Nå kan Nora beregne gjennomsnittsfarten flere steder nedover bakken. På de ulike delstrekningene beregner hun farten ved hjelp av formelen v = s t , der s er endringen i posisjon og t endringen i tid. Mellom det andre og tredje punktet finner hun at gjennomsnittsfarten er
Dette er også stigningstallet til linja mellom disse to punktene på grafen. Hvor bratt en kurve stiger eller synker, forteller oss hvor raskt noe endrer seg, i dette tilfellet hvor raskt posisjonen endrer seg med hensyn på tiden, altså farten til sykkelen. Grafen blir brattere og brattere, og det betyr at farten blir større og større. En grafisk representasjon kan altså brukes på flere måter enn bare å vise sammenhengen mellom to størrelser.
Grafisk framstilling
Farten vi fant i eksempel 1, gir oss et mål for gjennomsnittsfarten ned bakken. Når du triller ned bakken, øker farten, så den kan ikke være 4,3 m/s hele veien. Farten du har ved et bestemt tidspunkt, kaller vi momentanfarten. For å skille mellom gjennomsnittsverdier og momentanverdier setter vi en strek over symbolet for gjennomsnittsverdi. Gjennomsnittsfarten får dermed symbolet v
Legg merke til at vi velger tiden på førsteaksen og posisjonen på andreaksen. Svært ofte ønsker vi å se hvordan noe utvikler seg med tiden, og da er det naturlig å ha tiden på førsteaksen. Når vi framstiller en bevegelse på denne måten, er det viktig å være klar over at grafen på ingen måte likner på den fysiske bevegelsen vi ser. Sykkelen beveger seg rett fram nedover bakken selv om grafen «bøyer av» oppover!
1.3
Regn ut gjennomsnittsfarten på alle delstrekningene i eksempel 2, og presenter resultatene i en graf med t på førsteaksen og v på andreaksen. Diskuter hvilke tidspunkter gjennomsnittsverdiene bør gjelde for.
Fra målinger til funksjonsuttrykk
Når vi undersøker en sammenheng mellom to størrelser, kan det være hensiktsmessig å se om vi kan finne et funksjonsuttrykk som passer til målepunktene. Vi vet at farten på toppen av bakken, det vil si i startposisjonen, var 0 m/s. Det betyr at stigningstallet til grafen må være null når t = 0 s. I tillegg vet vi at startposisjonen til sykkelen var s = 0 m. En funksjon som oppfyller disse kravene, er s(t) = At2, der A er en konstant.
Ved å bruke et regresjonsverktøy ser vi at funksjonen s(t) = 0,90t2 passer bra med målingene våre. I vårt tilfelle er s målt i meter og t i sekunder. Verdien 0,90 er ikke en størrelse uten enhet. Siden venstre side av uttrykket er målt i meter, må også høyre side ende opp med meter som enhet. For å få til dette må enheten til måltallet 0,90 være m/s2. Setter vi inn en verdi for tiden i sekunder, får vi dermed enheten m/s2 ⋅ s 2 = m også på høyre side. Det korrekte uttrykket for posisjonen til sykkelen er altså s(t) = 0,90 m/s2 t2 .
1.4
Vi slipper en kule fra ulike høyder og måler tiden kula bruker fra vi slipper den og til den treffer bakken. Det gir disse resultatene:
t (s) 0,320,450,550,64
h (m) 0,501,001,502,00
a Regn ut gjennomsnittsfarten når vi slipper kula fra 0,50 m, og gjennomsnittsfarten når vi slipper kula fra 2,00 m.
b I tabellen har vi ikke tatt med h = 0,00 m. Kan du tenke deg hva t ville vært hvis vi slapp kula fra 0,00 m høyde? I så fall kan du utvide tabellen med denne verdien.
c Undersøk om du kan finne sammenhengen mellom høyden kula er sluppet fra, og tiden den bruker på å falle til bakken.
TENK SOM EN FYSIKER
Å undersøke en sammenheng
I eksempel 1 og 2 ønsket vi å studere farten til Nora. En av de første tingene vi må ta stilling til, er hva vi kan måle som er relevant for problemstillingen. Dette spørsmålet krever ofte at vi kjenner noe teori knyttet til emnet. Her benytter vi oss av sammenhengen mellom fart, strekning og tid. I tillegg vet vi at strekningen er avstanden mellom to posisjoner. Disse sammenhengene utnytter vi til å se at tid og posisjon vil være relevante størrelser å måle.
Vi må også ta stilling til hvordan vi ønsker å måle de aktuelle størrelsene. Ideelt sett ønsker vi oss så mange og så presise målinger som mulig. Målenøyaktigheten er ofte begrenset av tid og ressurser, men noen ganger kan et smart oppsett gi gode resultater med enkle ressurser. Når vi har tatt stilling til hvordan vi ønsker å gjøre målingene, må vi vurdere hvor nøyaktige målingene er. Selv om en stoppeklokke vanligvis gir oss hundredels sekunder, er det ikke rimelig å anta at de som tar tiden, klarer å måle tiden med så stor nøyaktighet. Derfor er verdiene rundet av til 1/10 sekunds nøyaktighet. Posisjonen er rundet av til 1/10 meters nøyaktighet. Selv om vi med et målebånd kunne ha målt posisjonen med 1/100 meters nøyaktighet, skal de som tar tiden stoppe klokkene når sykkelen er i punktet. Med en sykkel i fart er det vanskelig å avgjøre nøyaktig på centimeteren hvor sykkelen er.
Enkelte ting er vanskeligere å måle enn andre ting. Partikkeldetektoren CMS ved forskningsstasjonen CERN i Sveits måler spor etter elementærpartikler som lever i mindre enn en milliarddel av et milliarddels sekund. For å måle disse svært små og kortlivede partiklene trenger fysikerne en maskin med en masse på 15 000 tonn og en diameter på 15 m!
UTFORSK!
Gjentatte målinger
Hva veier en appelsin?
Finn en gjenstand som ikke er veldig tung eller veldig lett, for eksempel en appelsin. La mange personer (helst ti eller flere) kjenne på gjenstanden og tippe vekten etter beste evne. Etterpå veier dere gjenstanden på en vekt.
Regn ut gjennomsnittet av alle forslagene, og sammenlikn med den verdien vekta viste. Hvor langt unna vektas verdi var gjennomsnittet til de som tippet vekta? Hvor stor variasjon var det i forslagene? Hvordan kan variasjonen i forslagene uttrykkes matematisk?
Når vi gjør målinger, kan vi anslå usikkerheten i målingene basert på hvilket måleinstrument vi bruker, i tillegg til andre rimelige antakelser knyttet til målesituasjonen. Måler du en lengde med linjal, er det vanskelig å bestemme lengden mer nøyaktig enn til nærmeste millimeter. Da er det rimelig å oppgi nøyaktigheten med så mange gjeldende sifre at det siste sifferet representerer en millimeter. Har du god tid, kan det være lurt å gjennomføre det samme forsøket flere ganger og se hvor mye resultatet varierer fra gang til gang. Hvis vi gjør flere målinger, vil gjennomsnittet normalt være et bedre mål på den virkelige verdien enn en enkeltmåling. Med flere målinger har vi også muligheten til å angi variasjonen eller usikkerheten i målingen ved hjelp av statistiske metoder.
En tommelfingerregel du kan bruke når du skal oppgi en verdi fra en måling eller en måleserie, er at verdien ikke bør oppgis mer nøyaktig enn at du sannsynligvis ville fått samme verdi dersom du gjentok forsøket.
Med et skyvelære kan du måle størrelsen på gjenstander svært nøyaktig. Et godt skyvelære har gjerne en nøyaktighet på 0,01 mm.
EKSEMPEL 3 Romstørrelse
Elias og Sadia har fått i oppgave å finne arealet av et rom. Sadia måler lengden, mens Elias måler bredden av rommet. Sadia vet at et litt langt skritt tilsvarer omtrent en meter, så hun skritter opp rommet på langs og finner ut at det er ni skritt, altså ca. 9 m langt.
Elias går litt mer grundig til verks. Han bruker en tommestokk, som er 1,00 m lang, til å måle bredden av rommet. Stoler, bord og skap gjør det litt vanskelig å måle helt nøyaktig, så han prøver forskjellige steder og får disse resultatene for bredden av rommet:
Bredde (m) 11,2411,1611,1811,2111,19
Gjennomsnittet av bredden er 11,196 m, men verdiene varierer med 0,08 m. Hvis han oppgir lengden med tre gjeldende sifre, 11,2 m, er han ganske sikker på at en ny måling ville gitt samme resultat.
Når de skal regne ut arealet, fortviler Elias over Sadias upresise måling. Hennes måling er i beste fall nøyaktig til nærmeste meter og kan ikke oppgis med mer enn ett gjeldende siffer. Dermed blir arealet av rommet
9 m ⋅ 11,2 m = 100,8 m2, så de må oppgi arealet til å være omtrent 100 m2.
Legg merke til at 100 m2 ikke er ment å være en størrelse med tre gjeldende sifre, så «arealet er omtrent 100 m2» betyr ikke det samme som «arealet er 100 m2».
Det er mange måter å oppgi usikkerhet mer presist på enn i dette eksemplet. På Aunivers.no kan du lese mer om usikkerhet og målenøyaktighet.
1.5
Mål bredden av et bord med en blyant.
a Hvor mange blyantlengder er bredden av bordet?
b Vil en ny måling med den samme blyanten gi et annet resultat?
Mål bredden av bordet med en linjal.
c Hvor mange millimeter er bredden av bordet?
d Vil en ny måling med den samme linjalen gi et annet resultat?
SI-enhetene
Det finnes mange ulike målenheter. De fleste fagområder har spesialiserte enheter som er tilpasset nettopp dette fagfeltet. På havet måles gjerne avstander i nautiske mil, mens en «kaffekok» er en gammel samisk lengdeenhet. For at samfunnet skulle ha noen felles enheter, ble det i 1960 innført et sett med grunnenheter som verden kunne enes om.
StørrelseSI-enhetForkortelse
Lengdemeterm
Massekilogramkg
Tidsekunds
Elektrisk strømampereA
TemperaturkelvinK
Stoffmengdemolmol
Lysstyrkecandelacd
Opp gjennom historien har solas posisjon på himmelen bestemt tiden på dagen. Da SI-systemet ble etablert, var et sekund definert til å være 1/86 400 døgn. Seinere har man funnet mer presise måter å definere sekundet på. I 1950-årene klarte man å lage klokker som baserte seg på egenskaper ved atomer som viser seg å være svært stabile. Et sekund er nå definert som 9 192 631 770 svingninger i cesium. Atomklokker brukes til å bestemme tiden helt nøyaktig i for eksempel GPS-satellitter, og for å definere felles tid på jorda. Bildet viser JILAs 3D-kvanteklokke, som baserer seg på svingetiden til strontium. Den kan måle et sekund med 3 10 15 s nøyaktighet.
Fram til 2019 var et kilogram definert som massen av et bestemt lodd som var oppbevart i Frankrike. I dag har alle SI-enhetene definisjoner som ikke er knyttet til fysiske objekter.
Enheter som er satt sammen av flere SI-enheter, kaller vi SI-avledede enheter. Eksempler er m/s for fart og kg m/s2 for kraft. Ofte har SI-avledede enheter fått egne navn. Det er vanligere å bruke newton som enhet for kraft, men newton betyr det samme som kg m/s2.
Prefikser og standardform
Uran-238 har en halveringstid på 4,5 milliarder år. Et uranatom har en masse på 4,0 10 25 kg. Det frigjøres 152 fJ med energi når atomet henfaller.
SI-enhetene er i stor grad tilpasset dagliglivet vårt. Vi mennesker er stort sett mellom én og to meter høye. Et kilogram er omtrent massen av en full melkekartong. Fysikkfaget handler derimot om alt fra atomer til hele universet, altså fra veldig små størrelser til veldig store størrelser. Da har vi behov for å uttrykke oss uten for mange sifre.
Et alternativ hvis størrelsene blir veldig store eller veldig små, er å skrive måltallet på standardform eller å bruke prefikser foran enhetene. En oversikt over vanlige prefikser finner du i tabellen til høyre.
Fra km/h til m/s
En av de vanligste enhetene vi bruker i dagliglivet, som ikke følger SI-systemet, er fartsenheten kilometer i timen (km/h). Ved å gjøre om kilometer til tusen meter og timer til sekunder finner vi at
Altså er 1 m/s = 3,6 km/h.
Noras gjennomsnittsfart ned bakken var 4,3 m/s.
Det tilsvarer 4,3 3,6 km/h = 15 km/h.
EKSEMPEL 4
1.6
Lydfarten i luft påvirkes i hovedsak av temperaturen. Med en lufttemperatur på 15 °C er lydfarten 1225 km/h.
a Hvor stor er lydfarten i m/s med riktig antall gjeldende sifre?
b Forholdstallet 3,6 påvirker ikke antallet gjeldende sifre. Hvorfor ikke?
Hvor gammelt er lyset fra sola?
Avstanden fra sola til jorda er 1,496 108 km. Lyset beveger seg med en fart på 3,00 ⋅ 108 m/s. Tiden lyset bruker fra sola til jorda er derfor
Siden lengden er oppgitt i kilometer og farten er oppgitt i meter per sekund, får vi enheten km/(m/s) om vi bare regner ut verdien av brøken slik den står. Derfor gjør vi om kilometer til meter. Regnestykket blir da
Legg merke til at enhetene utgjør en brudden brøk. Den fjerner vi ved å gange med s i teller og nevner.
Lyset bruker altså 499 s på sin vei fra sola til jorda. Når vi ser på sola, ser vi den altså slik den var for ca. 8 minutter siden.
UTFORSK!
Solformørkelse
En sjelden gang står månen nøyaktig på linja mellom jorda og sola, og vi får solformørkelse. Nå vet du at lyset fra sola bruker ca. 8 minutter fra det forlater sola til det når jorda. 20. mars 2015 var det solformørkelse på Svalbard. I avisene kunne vi lese at den startet kl. 09:40. Den siste solstrålen som traff jorda, forlot altså sola kl. 09:32. Fra sola ville vi ikke ha sett skyggen på jorda før kl. 09:48. Så når startet egentlig solformørkelsen?
1.7
Skriv størrelsene med et passende prefiks og på standardform med SI-enheter.
a 158 000 s
b 0,000 003 3 m
c 5,34 mm / 75 ns
På rett vei
Sammenhengen mellom posisjon, fart og akselerasjon
Et bilde kan si mer enn tusen ord. Men én ting et vanlig bilde ikke kan si så mye om, er hvordan ting endrer seg over tid. Et fotografi er statisk og viser situasjonen i et øyeblikk.
Bildet ovenfor er av en bybanevogn i Bergen. Hvilken informasjon om vogna kan du få ut fra bildet? Hvilken informasjon om vogna kan du ikke få ut fra bildet?
Fart og akselerasjon handler om endring, om hvordan posisjonen eller farten til en gjenstand endrer seg med tiden. For å kunne si noe om farten eller akselerasjonen til en gjenstand må vi altså følge gjenstanden over en viss tid.
Bildene ovenfor er tatt 1,0 s og 2,0 s etter det første bildet. Hva kan du nå si om bevegelsen til vogna?
VIKTIG!
Momentanfart og gjennomsnittsfart
Som vi har sett tidligere, har vi behov for å skille mellom gjennomsnittsfart og momentanfart
Gjennomsnittsfart
Gjennomsnittsfart er lik endring i posisjon delt på tiden denne posisjonsendringen tar: = == = 21 21 v s t ss tt
Her er s1 posisjonen ved tiden t1 og s2 posisjonen ved tiden t2.
Momentanfarten til en gjenstand er farten ved et bestemt tidspunkt. Den finner vi ved å la t gå mot null. Vi må altså finne ut hvor langt gjenstanden har flyttet seg i løpet av en «uendelig liten» tidsperiode. Det er ikke praktisk mulig å gjøre dette. Men hvis vi kjenner funksjonsuttrykket til posisjonen, kan vi derivere funksjonen for å finne et uttrykk for momentanfarten til gjenstanden.
VIKTIG!
Momentanfart
Når s(t) beskriver posisjonen til en gjenstand, er momentanfarten til gjenstanden gitt ved
Momentanfarten ved et bestemt tidspunkt finner vi ved å sette inn verdien av t i v(t).
EKSEMPEL 5 Momentanfart i bakken
I eksempel 2 i begynnelsen av kapitlet fant Nora og Martin ut at s(t) = 0,90 m/s2 ⋅ t2 passet godt med målingene fra sykkelturen ned bakken. Med denne funksjonen kan vi finne farten til sykkelen ved ethvert tidspunkt.
Fartsfunksjonen blir
vtstttt ()()0,90m/s0,90m/s21,8m/s 2222() = ′ =⋅ ′ =⋅=⋅
I bunnen av bakken er tiden t = 4,7 s. Farten nederst i bakken er derfor vs(4,7)1,8m/s4,7s8,5m/s 2 =⋅=
1.8
De to første målingene av Nora som trillet ned bakken var:
a Hvor stor var gjennomsnittsfarten til sykkelen mellom disse to punktene?
b Ta utgangspunkt i posisjonsfunksjonen til sykkelen, s(t) = 0,90 m/s2 t2 , og finn momentanfarten ved t = 2,4 s og t = 3,3 s.
c Når var momentanfarten lik gjennomsnittsfarten i oppgave a?
Bakken var 20,0 m lang.
d Hvor stor var farten midt i bakken?
Gjennomsnittsfarten ned bakken var 4,3 m/s.
e Hvorfor er farten midt i bakken større enn gjennomsnittsfarten?
Akselerasjon
Når du sitter i bilen på vei ut av et lyskryss der lyset akkurat har skiftet til grønt, kan du kjenne at bilen akselererer. Farten øker fra stillestående til større fart. Sykkelen som triller ned bakken, akselererer også. Farten er liten øverst i bakken og større nederst i bakken. Denne akselerasjonen er vanskeligere å føle, men du opplever at farten blir større. Kanskje blir den så stor at du får behov for å bremse før du når bunnen av bakken.
Ta en stein eller en ball og slipp den ned på bakken. Kan du se om farten øker, eller om gjenstanden er på vei nedover med konstant fart? Sannsynligvis ikke. Akselerasjon er vanskelig å «se» med det blotte øyet. Det er likevel en viktig fysisk størrelse for å beskrive bevegelsen til gjenstander. Vi går derfor gjerne mer analytisk til verks for å avgjøre om en gjenstand er akselerert eller ikke.
VIKTIG!
Dersom en gjenstand endrer fart, er den akselerert. På samme måte som vi skiller mellom gjennomsnittsfart og momentanfart, skiller vi også mellom gjennomsnittsakselerasjon og momentanakselerasjon
Gjennomsnittsakselerasjon
Gjennomsnittsakselerasjon er lik endring i fart delt på tiden denne fartsendringen tar:
EKSEMPEL 6
Her er v1 farten ved tiden t1 og v2 farten ved tiden t2.
Enheten for akselerasjon er m/s2, eller m/s per sekund. Akselerasjon er altså et mål på hvor mye farten endrer seg per tidsenhet.
Det er lett å blande begrepene fart og akselerasjon. Husk at det er posisjonsendring som gir fart, mens det er fartsendring som fører til akselerasjon.
Gjennomsnittsakselerasjon ned bakken
Hvor stor er gjennomsnittsakselerasjonen til sykkelen på vei ned bakken?
Vi har tidligere funnet ut at farten nederst i bakken er 8,5 m/s. Da sykkelen startet, var farten 0,0 m/s. Denne fartsendringen tok 4,7 s. Gjennomsnittsakselerasjonen er derfor
VIKTIG!
Momentanakselerasjonen finner vi ved å derivere fartsfunksjonen, på samme måte som vi fant momentanfarten ved å derivere posisjonsfunksjonen.
Momentanakselerasjon:
Når v(t) beskriver farten til en gjenstand, er momentanakselerasjonen til gjenstanden gitt ved
()lim() 0 at v t vt t = == = ′′ →
Momentanakselerasjonen ved et bestemt tidspunkt finner vi ved å sette inn verdien av t i a(t).
EKSEMPEL 7
Momentanakselerasjon ned bakken
På samme måte som vi kan finne et funksjonsuttrykk for farten til sykkelen ned bakken, kan vi også finne et funksjonsuttrykk for akselerasjonen til sykkelen ned bakken:
atvtt ()()1,8m/s1,8m/s 22() = ′ =⋅ ′ =
Legg merke til at akselerasjonsfunksjonen ikke er avhengig av tiden. Det må bety at akselerasjonen er den samme hele tiden. Akselerasjonen er i dette tilfellet altså konstant.
EKSEMPEL 8
En bil akselererer ut fra et lyskryss
En bil akselererer ut fra et lyskryss. Farten til bilen de første ti sekundene er gitt ved
vttt ()0,18m/s3,6m/s 322 =−⋅+⋅
der t er tiden etter at bilen har kjørt ut fra krysset.
Hvor stor er farten og akselerasjonen til bilen når den starter i krysset og etter 10 s?
Løsning:
Farten i starten og etter 10 s finner vi ved å sette tidene direkte inn i uttrykket:
v(0s)0,18m/s(0s)3,6m/s0s0m/s 322 =−⋅+⋅= () =−⋅+⋅= v(10s)0,18m/s10s3,6m/s10s18m/s 3 2 2
Farten til bilen er 0 m/s når den starter i krysset, og 18 m/s etter 10 s.
For å finne akselerasjonen må vi først derivere uttrykket for farten:
atvtt ()()0,36m/s3,6m/s 32 = ′ =−⋅+
Deretter setter vi inn for tiden i uttrykket:
a(0s)0,36m/s0s3,6m/s3,6m/s 322=−⋅+= =−⋅+= a(10s)0,36m/s10s3,6m/s0,0m/s 322
Når bilen starter i krysset, er akselerasjonen 3,6 m/s2. Etter 10 s er akselerasjonen 0,0 m/s2.
Legg merke til at vi har akselerasjon ved t = 0 s, selv om farten er 0 m/s. Etter 10 s er akselerasjonen 0 m/s2, men bilen farer av gårde med farten 18 m/s.
EKSEMPEL 9
1.9
Finn farten og akselerasjonen til Nora ved t = 2,0 s og t = 4,0 s med utgangspunkt i posisjonsformelen s(t) = 0,90 m/s2 t2 .
1.10
Vi skyter en puck på en ishockeybane. Utgangsfarten til pucken er 30 m/s. 1,5 s seinere treffer pucken den andre siden av banen med farten 25 m/s.
a Hvor stor er gjennomsnittsakselerasjonen til pucken?
b Forklar fortegnet til akselerasjonen.
Retningen betyr noe
Når vi ser på bevegelsen til en gjenstand, er det nyttig å se på bevegelsen som om den foregår i et koordinatsystem. Da må vi bestemme oss for et punkt der vi setter s = 0 m, og vi må bestemme i hvilken retning s øker.
I eksempel 2, med sykkelen som triller ned bakken, valgte vi å ha s = 0 m på toppen av bakken, og vi lot s-verdiene øke nedover bakken.
Du bestemmer selv hvilken retning du velger som positiv, og hvor du setter s = 0 m. Men det er viktig å gjøre det helt klart hva du har valgt. Posisjonen til en gjenstand er målt i forhold til hvor vi har satt s = 0 m. Derfor vil alle posisjoner være avhengige av dette valget.
Vi snur retningen på sykkelturen
Hva skjer dersom vi setter s = 0 midt i bakken og lar positiv retning være oppover bakken? Da er startposisjonen til sykkelen 10,0 m ved tiden t = 0 s. Når Nora har kommet til bunnen av bakken, er posisjonen 10,0 m og tiden t = 4,7 s. Gjennomsnittsfarten blir dermed
10,0m(10,0m) 4,7s0,0s 4,3m/s
Vi får altså samme verdi for gjennomsnittsfarten som tidligere, men med negativt fortegn. Det negative fortegnet forteller oss at farten har motsatt retning av oppover, altså nedover.
Dette valget av s = 0 m og positiv retning er ikke spesielt hensiktsmessig i denne situasjonen. Ofte kan det være lurt å tenke gjennom hvilken retning vi velger som positiv retning, og sette s = 0 m der bevegelsen starter.
EKSEMPEL 10 Grafisk framstilling med positiv retning mot bevegelsen
Framstill målingene fra eksempel 2 grafisk med s = 0 m i bunnen av bakken og positiv retning oppover.
Løsning:
Tabellen over tid og posisjon blir nå:
Tabellen gir denne grafen:
Hvis vi sammenlikner denne grafen med den i eksempel 2, ser vi at den er «snudd på hodet». Utviklingen er den samme. Grafen blir brattere og brattere med tiden, men nå med negativ stigning.
EKSEMPEL 11
To gjenstander som beveger seg samtidig
Martin og Sadia bor 100 m fra hverandre. De går for å møtes. Martin går med farten 1,0 m/s mot Sadias hus, og Sadia går med farten 1,5 m/s mot Martins hus. Hvor lang tid tar det før de møtes?
EKSEMPEL 11 FORTS. Løsning:
Her har vi to personer som går i forskjellige retninger og har to forskjellige startpunkter. Da er det ekstra viktig å klargjøre hvilken retning som er positiv, og hvor vi bestemmer at posisjonen er null.
Vi kan la s = 0 m være hos Martin og la Martin gå i positiv retning med farten 1,0 m/s. Sadia begynner da i posisjonen s = 100 m og beveger seg i negativ retning med farten 1,5 m/s.
Posisjonen til Martin er gitt ved stt ()1,0m/s Martin =⋅ . Posisjonen til Sadia er gitt ved stt()1,5m/s100m Sadia =−⋅+ . De møtes når s tst ()() Martin Sadia .
Grafisk kan vi framstille det slik:
t /s
Vi ser at Martin og Sadia treffer hverandre etter 40 s, og at dette skjer 40 m fra Martins hus. 1.11
Martin sykler til forelesning med farten 5,0 m/s. 50 m lenger framme ser han Sadia, som også er på vei til forelesningssalen. Hun går med farten 1,5 m/s.
Hvor lang tid tar det før Martin tar igjen Sadia?
Petter Callin har doktorgrad i teoretisk fysikk fra Universitetet i Oslo, og jobber som forsker ved Forsvarets forskningsinstitutt. Han har vært forfatter av fysikkbøker for videregående skole i flere år.
Inga Hanne Dokka er lektor ved Kongsberg videregående skole og underviser ved lektorutdanningen ved Universitetet i Sørøst-Norge. Hun har bred undervisningserfaring fra videregående skole, IB, teknisk fagskole og universitet.
Andreas Hellesøy er lektor ved Bergen Katedralskole og underviser i fysikk, matematikk og teknologi og forskningslære. Han har bred undervisningserfaring fra videregående skole samt videreutdanning av lærere i fysikk og naturfag ved Universitetet i Bergen.
Aleksander Seland er lektor ved Akademiet Vgs Ypsilon og har solid erfaring fra privatistundervisning og undervisning på videregående skole i matematikk, fysikk, naturfag og programmering. Han er utdannet gjennom lektorprogrammet fra Universitetet i Oslo med masterfordypning i teoretisk fysikk.
Edvard Knutsen Skåland er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Han jobber som lektor ved Hartvig Nissens skole og underviser i matematikk, fysikk og naturfag.
ERGO Fysikk Forkurs
På Aunivers.no nner du Aschehougs digitale ressurser til ERGO Fysikk Forkurs.
Her nner du blant annet fullstendige løsninger av oppgavene i læreboka, interaktive oppgaver, simuleringer, programmeringsaktiviteter, forsøksbeskrivelser og lmer. I tillegg vil faglærer ha tilgang til årsplan, forslag til kapittelprøver, bokas illustrasjoner og Lærerens digitalbok.