Matemagisk 8-10. Elevhåndbok by Aschehoug Utdanning

Matemagisk – Elevhåndbok

8 10

Asbjørn Lerø Kongsnes Anne Karin Wallace

Matemagisk 8–10. Elevhånbok er en del av læreverket Matemagisk 1–10. Læreverket følger læreplanen i matematikk for 1.–10. årstrinn. © H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2020 1. utgave / 1. opplag 2020 Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no). Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar. Redaktør: Kari Kleivdal Grafisk formgiving: Type-it AS Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad Omslag: Marit Jakobsen Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen Tekniske tegninger: Arnvid Moholt Illustrasjoner: Erik Ødegård, Kari Sortland og Martin Hvattum Grunnskrift: Frutiger LT Std, 10 pkt. Papir: 100 g G-print 1,0 Trykk: Merkur Grafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien ISBN 978-82-03-40653-9 Aunivers.no Foto og tegninger s. 10 Xuangu Han/Getty Images, s. 19 linuvomatic/istock, s. 33 lubilub/iStock, s. 42 luchshen/iStock, s. 47 Al Simonov/istock, s. 54 adisa/iStock, s. 62 Serghei Starus/iStock, s. 65 ewastudio/iStock, s. 70 trit2lumiere/iStock, s. 76 Yalkapopkova/iStock, s. 80 Bartosz Hadyniak/iStock , s. 87 johnnorth/iStock, s. 96 Yusufozluk/iStock, s. 105 NTB Scanpix / Sipa Asia, s. 111 Caroline Brundle Bugge/iStock, s. 118 Shuoshu/iStock, s. 134 funky-data/iStock, s. 136 istock/bestdesigns, s. 143 Coldsnowstorm/iStock, s. 148 Fotostorm Studio/iStock, s. 155 mphillips007/iStock, s. 167 SPmemory/iStock, s. 174 mikkelwilliam/iStock, s. 178 Eugene Sergeev/istock, s. 184 mediaphotos/iStock, s. 196 monkeybusinessimages/iStock, s. 200 mediaphotos/iStock

www.aschehoug.no

Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond.

Forord I denne boka finner du teori og forklaringer på alle matematiske emner for ungdomstrinnet. Vi legger vekt på gode forklaringer som utvikler forståelse for faget og viser sammenhenger. Boka følger kapittelstrukturen i Matemagisk 8, 9 og 10. I tillegg har vi med et introduksjonskapittel om problemløsingsstrategier og tips til hvordan føre gode besvarelser i matematikk. Disse kapitlene kan det være lurt å lese flere ganger gjennom ungdomsskolen. Bakerst i boka finner du grunnleggende opplæring i programmering med Python, bruk av regneark og GeoGebra. Dette er din egen bok! Vi håper du gjør den til din egen ved å skrive inn notater, streke under viktige begreper, osv. Boka vil du ha med deg gjennom hele ungdomsskolen, og du kan få god nytte av den også på videregående. Tuva, Hiyanna, Yonas og Henrik vil følge deg gjennom boka, og gir deg gode tips og eksempler underveis.

Tuva

Hiyanna

Yonas

Henrik

Hva betyr ordet? Her forklarer vi viktige matematiske begreper. Til hver forklaring har vi med et eksempel.

Kort fortalt Her oppsummerer vi viktige matematiske resultater.

Forklar selv Her får du mulighet til å forklare selv, og oppsummere noe av det viktigste fagstoffet. Du finner en «Forklar selv» på slutten av hvert delkapittel. Det kan være lurt å gjøre disse ordentlig. Skriv på en måte som du forstår! Du kan få nytte av forklaringene dine på senere trinn.

Innhold Forord 3 Velkommen til Matemagisk 6 A B

Problemløsing i matematikk 6 Føring av oppgaver 8

8. trinn

1 Hele tall 10 1A Regnestrategier 10 1B Variabler og egenskaper ved multiplikasjon 12 1C Primtall og faktorisering 14 1D Negative tall 16

2 Brøk og desimaltall 19 2A Brøk 19 2B Desimaltall 27 2C Målenheter 30 2D Programmering i Python 32

3 Algebraiske uttrykk og formler 33 3A Verdien av algebraiske uttrykk 33 3B Praktiske situasjoner 35 3C Programmering med løkker 37 3D Figurtall 39

4 Potenser, kvadratrøtter og

regnerekkefølge 42

4A Potenser og kvadratrøtter 42 4B Regnerekkefølge 45

5 Algebra og likninger 47 5A Forenkling av algebraiske uttrykk 47 5B Algebraisk løsningsmetode for likninger 49 5C Likninger i praktiske situasjoner 52

6 Parenteser og likninger 54 6A Parenteser i algebraiske uttrykk 54 6B Likninger med brøker og parenteser 58 6C Å løse likninger med programmering 60

7 Hva er en funksjon? 62 7A Funksjonsmaskiner 62

8 Grafen til en funksjon 65 8A Koordinatsystem 65 8B Å tegne grafen til en funksjon 67

9 Lineære funksjoner 70 9A Lineære funksjoner i praktiske situasjoner 70 9B Å utforske grafen til lineære funksjoner 74

10 Sammensatte målenheter 76 10A Forholdstrekanten 76 10B Gjennomsnittsfart 78

9. trinn

11 Figurtall og tallmønster 80 11A Å multiplisere to parenteser 80 11B Figurtall 82 11C Tallmønstre 86

12 Statistikk 87 12A Tabeller og diagrammer 87 12B Sentralmål og spredningsmål 93

13 Sannsynlighet 96 13A Grunnleggende sannsynlighet 96 13B Store talls lov 99 13C Sammensatte forsøk 102

14 Linjer, figurer og vinkler 105 14A Definisjoner og egenskaper 105 14B Vinkler i mangekanter 108

15 Areal og omkrets 111 15A Arealenheter 111 15B Areal og omkrets av mangekanter 113 15C Areal og omkrets av sirkler og sirkelsektorer 114

16 Pytagoras’ setning og formlikhet 118 16A Pytagoras’ setning 118 16B Spesielle trekanter 121 16C Formlikhet og kongruens 124

17 Volum og overflate 128 17A Volum 128 17B Volum og overflate av noen tredimensjonale figurer 130

10. trinn

18 Utforske matematiske

sammenhenger 134

18A Utforske matematiske sammenhenger 134

19 Algebrastigen 136 20 Likningssett 143 20A Å løse likningssett 143 20B Å sette opp likningssett 147

21 Prosentregning 148 21A Strategier for prosentregning 148 21B Vekstfaktor 152

22 Personlig økonomi 155 22A Kjøp og salg 155 22B Sparing og lån 157 22C Utforskende arbeid 162

23 Funksjoner 167 23A Lineære funksjoner 167 23B Eksponentialfunksjoner 170 23C Å utforske funksjoner 173

24 Modellering 174 24A Å lage matematiske modeller 174

25 Geometritårnet 178

26 Programmering i Python 184 27 Regneark 196 28 GeoGebra 200

Velkommen til Matemagisk Matemagisk 8–10

A Problemløsing i matematikk I faget matematikk vil du bli utfordret på å løse mange ulike problemer. Det fins ulike måter å angripe disse oppgavene på. Her får du en oversikt over 10 problemløsingsstrategier. Disse strategiene vil være nyttige i oppgaver der du ikke allerede kjenner en framgangsmåte for å løse oppgaven. Det viktigste er å ikke gi opp. Ofte må du starte på nytt flere ganger og angripe oppgaven på ulike måter før du kommer fram til en løsning.

Å forstå oppgaveteksten Start med å stille deg to sentrale spørsmål.

1 Hva skal jeg finne ut? 2 Hva vet jeg? For å kunne svare på disse spørsmålene kan følgende strategier være nyttige: • Strek under eller ring rundt viktige ord og begreper i oppgaveteksten. Det hjelper deg med å få oversikt og fokusere på det viktigste. Hvis du er usikker på hva noen av begrepene betyr, forsøk å finne ut av dette. Skriv gjerne en forklaring på begrepene. • Lag en punktliste med de viktigste opplysningene. Da blir det lettere for hjernen å se sammenhenger. Etter hvert som du finner nye opplysninger, kan du skrive dem på punktlista.

A Pr oblemløsing i matematikk

Å løse oppgaven Når du har funnet ut hva oppgaven spør om og hvilke opplysninger du har, starter jobben med å løse oppgaven. Algoritmisk tenkning handler om å bryte en oppgave ned i deloppgaver som kan løses systematisk. Det er lurt å sette opp en algoritme (framgangsmåte) for hvordan oppgaven kan løses. Følgende strategier er ofte nyttige:

3 Lag en tegning. Tegningen trenger ikke å være nøyaktig, men skal fungere som en hjelp for deg til å systematisere opplysninger og se sammenhenger. Ved å tegne kan du hjelpe hjernen til å se problemet på en ny måte. Bruk gjerne farger. Etter hvert som du finner nye opplysninger, kan du skrive dem på tegningen.

4 Sett opp en systematisk tabell. Tabeller er nyttige for å hjelpe hjernen med å se sammenhenger. Skriv ryddig og oversiktlig. Bruk farger.

5 Sett opp en likning. Mange problemer kan løses ved å sette opp likninger. Når du setter opp en likning eller et likningssett, må du selv velge hva variablene i likningen står for. Du kan lese mer om å sette opp likninger i kapittel 5C og 20B.

6 Å tenke som en robot. Ved å programmere kan vi gjenta noen beregninger veldig mange ganger. Dette kan brukes til å løse problemer ved systematisk prøving og feiling, eller ved simulering.

7 Tenk på et tilsvarende problem. Har du løst liknende problemer tidligere? Hvilke strategier brukte du da? Kan de samme strategiene brukes på dette problemet?

8 Forenkle problemet. •

•

Bruk enklere tall. Noen ganger virker et problem mye vanskeligere enn det egentlig er, fordi tallene som brukes, er vanskelige å regne med. Hvis du bytter ut tallene med enklere tall, kan du kanskje finne en strategi som kan brukes for å løse det opprinnelige problemet også. Velg å se bort fra noe informasjon i oppgaveteksten. Hvis du står helt fast, kan det å se bort fra noen krav til løsningen av oppgaven hjelpe deg i gang. Hvis du for eksempel blir bedt om å tegne en rettvinklet og likebeint trekant kan du starte med å se bort fra at trekanten skal være likebeint. Dette kan gjøre at du etter hvert får til å løse oppgaven slik den er formulert. Anta noe. Dette vil egentlig si å gjette på noe og bruke gjetningen din i den videre regningen. Hvis det for eksempel ser ut som om to trekanter er formlike, kan du i første omgang anta at de er det. Dette kan du bruke til å regne ut sidelengder. Etterpå må du gå tilbake og forsøke å vise hvorfor trekantene faktisk er formlike.

1 Hele tall

Spesielle strategier for geometri 9 Bruk Pytagoras’ setning eller formlikhet. Undersøk om du kan bruke Pytagoras’ setning eller formlikhet til å regne ut lengden av ukjente sider i trekanter. Det kan være lurt å finne ut så mye som mulig om vinklene. Noen ganger må du tegne inn nye linjestykker på figuren for å lage trekanter som er rettvinklede eller formlike. Du kan lese mer om dette i kapittel 16.

10 Del opp figuren i mindre enheter. Ved å dele opp figuren i mindre enheter kan du forenkle regningen. Da kan du få bruk for formler for areal, omkrets, volum og overflate som fins i kapittel 15B, 15C og 17B.

Vurder om svaret er rimelig Etter at du har løst en oppgave, bør du alltid prøve å vurdere om svaret du har kommet fram til, er rimelig!

Gir svaret mening? Kan du gjøre overslag for å sjekke om svaret er rimelig?

B Føring av oppgaver Å vise hvordan du kommer fram til svaret på en oppgave, er minst like viktig som selve svaret. Når du skriver utregning på oppgaver, er det viktig å skrive ryddig og oversiktlig. Det skal komme klart fram hvordan du har tenkt. Tekstoppgaver skal besvares med en svarsetning til slutt.

Hva kjennetegner en god besvarelse? 1 En god besvarelse er ryddig og oversiktlig. Sett tall under hverandre, og bruk avsnitt.

2 En god besvarelse forklarer hva de ulike tallene står for. Dette kan gjøres med ord eller tegninger og trenger ikke ta mye plass.

3 En god besvarelse begrunner det som må begrunnes. Dette kan for eksempel være hvorfor du kan bruke Pytagoras’ setning, hvorfor trekantene er formlike, hva variablene står for i likninger du setter opp, eller hvorfor funksjonsuttrykket blir slik du har skrevet.

4 En god besvarelse bruker likhetstegnet riktig. Likhetstegnet betyr at verdien av uttrykket på venstre side er lik verdien av uttrykket på høyre side av likhetstegnet.

5 En god besvarelse bruker målenheter på riktig måte. Målenheter skal alltid være med i svaret. Målenheter skal enten tas med i all utregning eller bare i svaret.

6 En god besvarelse markerer svaret tydelig. Dette kan for eksempel gjøres med to streker under svaret, ring rundt svaret, bruk av markeringspenn eller rett og slett skrive «Svar: ».

B Føring av oppgaver

Eksempel Her vises to besvarelser der den ene er god og den andre er dårlig. Vi understreker at gode besvarelser kan føres og settes opp på ulike måter så lenge de seks kjennetegnene ivaretas. Oppgavetekst Tre ungdommer drar på kino. Kinobillettene koster 140 kr per stykk. I tillegg kjøper de varer i kiosken for 100 kr til sammen. Hvor mye koster kinoturen totalt for de tre personene til sammen? Eksempel på en dårlig besvarelse

Eksempel på en god besvarelse

1 Rotete. Utregningen står skrevet skrått og

1 Svært ryddig. Enkelt å lese. 2 Hva som er billettpriser og hva som er

svaret står over utregningen.

2 Ingen tall er forklart. 3 Dette punktet er ikke relevant i denne

kioskpriser, er forklart.

3 Dette punktet er ikke relevant i denne

oppgaven.

4 Det første likhetstegnet er brukt feil. Verdien av

4 Likhetstegnet er brukt riktig. 5 Målenheter er brukt gjennom hele

uttrykket på venstre side, 3 ⋅ 140, er ikke lik verdien av uttrykket på høyre side, 420 + 100.

utregningen.

5 Målenhetene dukker plutselig opp midt i utregningen.

6 Svaret er ikke tydelig markert.

6 Det er skrevet svarsetning med to streker under svaret.

7 Hva er en funksjon?

Hva er en funksjon? Matemagisk 8

BEGREPER: Funksjonsmaskin, algoritme, funksjonsuttrykk, funksjonsverdi, verditabell

7A Funksjonsmaskiner Når vi skal beskrive hva en funksjon er, beskriver vi funksjonen som en funksjonsmaskin. Vi kan for eksempel putte et tall inn i maskinen, maskinen gjør noe med tallet etter en bestemt regel, og det kommer et svar ut av maskinen. De funksjonsmaskinene vi skal se på her, gjør som oftest én eller flere regneoperasjoner der de bruker tallet som ble puttet inn i maskinen. Vi kan da skrive det funksjonsmaskinen gjør som en algoritme og som et algebraisk uttrykk. I denne sammenhengen kaller vi det algebraiske uttrykket et funksjonsuttrykk.

Kort fortalt Funksjonsmaskin x

f (x) = 2x + 2

f(x)

f(x) leses som «f av x»

Funksjonsuttrykk Vi kaller svarene som kommer ut av funksjonsmaskiner, for funksjonsverdier.

7A Funksjonsmaskiner

Eksempel Vi har en funksjonsmaskin som følger denne algoritmen: Steg 1 Ganger tallet som sendes inn i maskinen med 2. Steg 2 Legger 1 til svaret fra forrige regneoperasjon. Vi kan oversette denne algoritmen til et algebraisk uttrykk. Vi gir funksjonen navnet f, lar x stå for tallet som sendes inn i maskinen, og får funksjonsuttrykket f(x) = 2x + 1. −2 0 2 5

Funksjonsmaskin x

f(x)

f (x) = 2x + 1

Vi kan velge hvilken bokstav vi vil bruke som navn på funksjonen.

−3 1 5 11

Det er lurt å systematisere utregningene i en verditabell. En verditabell inneholder verdier for variabelen og tilhørende funksjonsverdier.

2x + 1

f (x )

−2

2 · (−2) + 1

−3

2·0+1

2·2+1

2·5+1

Kort fortalt Hvis vi putter samme tall inn i en funksjonsmaskin flere ganger, vil svaret som kommer ut, være det samme hver gang. Hvis maskinen ikke fungerer slik, er det ikke en funksjonsmaskin. Dette er en funksjon

Dette er en funksjon

Dette er ikke en funksjon

Tall inn

Tall ut

Tall inn

Tall ut

Tall inn

Tall ut

−5

−1

7 Hva er en funksjon?

Funksjonsmaskinen som pythonprogram Vi kan lage pythonprogram som fungerer som en funksjonsmaskin. Dette programmet bruker funksjonsuttrykket f(x) = 2x + 1. Algoritme Steg 1 Steg 2 Steg 3

Brukeren skriver inn en x-verdi. Regn ut tilhørende funksjonsverdi. Skriv svaret til skjermen.

Program i Python 1 2 3

x = float(input("Hvilken verdi skal x ha? ")) f = 2*x + 1 print("f(", x, ") = ", f)

Forklar selv På hvilke måter har vi beskrevet funksjonsmaskiner her? Lag din egen funksjonsmaskin, og beskriv funksjonsmaskinen på alle måtene.

8A Koor dinatsystem

Grafen til en funksjon Matemagisk 8

BEGREPER: Koordinatsystem, origo, x-akse, y-akse, førsteakse, andreakse, koordinat, x-koordinat, y-koordinat, førstekoordinat, andrekoordinat, graf, verditabell, løse likninger grafisk

8A Koordinatsystem Hva betyr ordene? For å kunne beskrive hvor punkter er, kan vi bruke et koordinatsystem. I koordinatsystemet er det to akser. De to aksene er tallinjer. Førsteaksen kaller vi ofte x-aksen, og den tegner vi horisontalt (vannrett). Andreaksen kaller vi ofte y-aksen, og den tegner vi vertikalt (loddrett). Punktet der aksene krysser hverandre, kaller vi origo. Vi kan beskrive plasseringen til punkter i koordinatsystemet ved å oppgi en x-koordinat og en y-koordinat. Vi kaller ofte x-koordinaten førstekoordinat, og y-koordinaten andrekoordinat.

y 4

A = (2 , 3)

3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

4 x

8 Grafen til en funksjon

Å tilpasse enhetene på aksene Når vi skal tegne koordinatsystem, må vi tilpasse enhetene på aksene til de punktene vi skal plassere i koordinatsystemet. Hvor mange enheter en rute skal være, velger vi slik at vi får plass til alt vi ønsker å tegne inn. Vi må passe på at antall enheter en rute representerer på x-aksen, er det samme hele tiden, og antall enheter en rute representerer på y-aksen, er det samme hele tiden. y 80

Tallene på aksene øker med det samme for hver rute.

(10 , 60)

60 40 20 –15 –10 –5 –20

5 10 15 20 x

–40

y 4

(0,4 , 3)

3 2 1 –0,6–0,4 –0,2 –1

0,2 0,4 0,6 0,8 x

–2

Punkter i geogebra Vi plasserer punkter i grafikkfeltet i GeoGebra enten ved å bruke verktøyet Punkt

eller

I GeoGebra bruker vi punktum som desimalskilletegn.

ved å skrive koordinatene slik A = (0.4 , 3).

Forklar selv Plasser begrepene på riktig sted på figuren. • Førsteaksen • Andreaksen • x-aksen • y-aksen • Førstekoordinat • Andrekoordinat • x-koordinat • y-koordinat • Origo

y 4

A = (2 , 3 )

3 2 1 –1

8B Å tegne grafen til en funksjon

8B Å tegne grafen til en funksjon Hva betyr ordet? Grafen til en funksjon består av alle punkter som er slik at • førstekoordinaten til punktet er en verdi vi kan velge for variabelen • andrekoordinaten er den tilhørende funksjonsverdien

Eksempel Antall spillere som spiller et dataspill gjennom et døgn, kan beskrives med funksjonen f. Vi lar variabelen t stå for antall timer etter midnatt og f for antall spillere. f(t)

Antall spillere

10 000 9000 8000 7000 6000

Prøv selv! Hvor mange spilte dataspillet kl. 11 og kl. 15.30?

5000 4000

(4 , 3000)

3000 2000 1000

Timer etter midnatt 2

Kurven er grafen til funksjonen f. Hvis vi velger en verdi for t, kan vi lese av hvor mange som var aktive i spillet på tidspunktet t. Hvis vi leser av verdier for noen tidspunkter, kan vi lage en verditabell. Tallparene (t , f (t )) er koordinatene til punkter på grafen.

f (t)

Punkt (t, f (t) )

8000

(0 , 8000)

3000

(4 , 3000)

2100

(8 , 2100)

5100

(12 , 5100)

9600

(16 , 9600)

9800

(20 , 9800)

7700

(24 , 7700)

Vi har nå representert funksjonen f som • en praktisk situasjon, antall personer som spiller dataspillet • en graf, kurven i diagrammet • en verditabell, verdiene vi leste av i diagrammet

8 Grafen til en funksjon

Å tegne grafen til en funksjon på papir

f(x) 8

Vi skal tegne grafen til f(x) = 5x − 10.

1 2 3 4

Vi lager først en verditabell. De x-verdiene vi bruker, har vi valgt selv.

Vi tegner koordinatsystem med passende enheter på aksene.

Vi plasserer punktene i koordinatsystemet.

–3 –2 –1 –2

I dette eksemplet kan vi trekke en rett linje gjennom punktene.

–4 –6

5x − 10

f (x)

Punkt (x , f (x ))

5 ⋅ 3 − 10

(3 , 5)

–8 –10

5 ⋅ 1 − 10

−5

(1 , −5)

5 ⋅ 0 − 10

−10

(0 , −10)

−2

5 ⋅ 3 − 10

−20

(−2 , −20)

–12 –14 –16 –18 –20

Når grafen til en funksjon er en rett linje, trenger vi bare to punkter når vi skal tegne grafen. Det er imidlertid lurt å regne ut tre funksjonsverdier og ta med tre punkter. Da sjekker vi at vi ikke har regnet feil ved å se at punktene havner på samme rette linje.

Å tegne grafen til en funksjon i geogebra Vi kan tegne grafen til en funksjon i GeoGebra ved å skrive inn funksjonsuttrykket.

–22

Finn ut hvordan du gjør dette på din enhet!

Er alle grafer grafen til en funksjon? I de to eksemplene vi har sett på, er det slik at om vi velger en verdi for variabelen, finner vi nøyaktig ett punkt på grafen som har denne verdien som førstekoordinat. Grafen gir oss nøyaktig én funksjonsverdi. Slike grafer er grafen til en funksjon. y

Det fins andre grafer som ikke oppfyller dette kravet. En sirkel er et slikt eksempel. Se på sirkelen på figuren. Vi velger verdien 4 for variabelen x. Det fins to punkter på grafen som har 4 som x-koordinat.

6 5 4 3

Da vi jobbet med funksjonsmaskinen, lærte vi at en funksjons maskin må sende ut samme svar hver gang vi sender inn et bestemt tall. Dette tilsvarer at det bare fins ett punkt på grafen med en bestemt førstekoordinat. «Sirkelmaskinen» på figuren vil noen ganger sende ut 4 og noen ganger −4 om vi sender inn x = 4. Dermed er ikke sirkelen grafen til en funksjon.

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

Grafisk løsning av likninger Når vi løser likninger grafisk, kan vi tenke at venstre side i likningen er en funksjon og at høyre side er en annen funksjon. Å løse likningen vil da si å finne x-verdier som er slik at funksjonsverdien er den samme i begge funksjonene. Grafisk vil dette si å finne punktet/punktene der grafen til de to funksjonene skjærer hverandre, og så lese av tilhørende x-koordinat.

–6

8B Å tegne grafen til en funksjon

Eksempel Vi skal løse likningen 15 + 3x = 30 grafisk. Vi tegner grafen til funksjonene p(x) = 15 + 3x og r(x) = 30. y 35 30

r(x) = 30

25 20 15

p(x) = 15 + 3x

10 5 –2 –1 –5

Vi leser av x-koordinaten til skjæringspunktet. Løsningen av likningen er x = 5. Vi kan sjekke om svaret stemmer ved å sette inn x = 5 på venstre og høyre side i likningen. Venstre side: p(5) = 15 + 3 ⋅ 5 = 15 + 15 = 30 Høyre side: r(5) = 30

p(5) er funksjonsverdien når p = 5. Vi leser «p av 5».

Verdien av venstre og høyre side er den samme for x = 5. Dermed er løsningen x = 5 riktig.

Forklar selv Skriv et funksjonsuttrykk. Velg verdier for x, fyll ut verditabellen, sett navn og enheter på aksene i koordinatsystemet, og tegn grafen. f(x) =

f (x)

Punkt