Forkurs
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Odd Heir
Inger Christin Borge
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Odd Heir
Inger Christin Borge
Forkurs
Læreboka Matematikk Forkurs følger de nasjonale læreplanene for forkurset, som gjelder fra august 2022.
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2022
1. utgave / 2. opplag 2023
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-41198-4
www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6 Jonathan Kitchen/Getty Images, s. 17 Ninprapha Lippert/Kaktusfactory/NTB, s. 18 Jan A. Martinsen/ Aftenposten/NTB, s. 34 Lars Kraft/Getty Images, s. 58 Einar Rønqvist, s. 86 David Lees/Getty Images, s. 107 Nanisimova/iStock, s. 108 LazingBee/iStock, s. 115 Cecilie_Arcurs/iStock, s. 134 miljko/iStock, s. 139 SafakOguz/iStock, s. 146 Stock Montage/Getty Images, s. 170 milan2099/iStock, s. 174 MarkMirror/ iStock, s. 183 Eirek Engmark, s. 204 Alexander Hafemann/iStock, s. 215 Stock Montage/Getty Images, s. 217 36clicks/iStock, s. 219 Inger Christin Borge, s. 234 freestocktextures.com. Bearbeidet av Eirek Engmark, s. 235 SSPL/Science Museum/Getty Images, s. 243 ciungara/iStock, s. 246 michele lugaresi/ iStock, s. 268 Album/NTB, s. 274 amriphoto/iStock, s. 300 sajoiner/iStock, s. 319 OJO Images/iStock, s. 331 bukharova/iStock, s. 338 Artur Debat/Getty Images, s. 341 Marat Musabirov/iStock, s. 351 Silvia Janson/iStock, s. 357 tolgart/iStock, s. 364 Privat, s. 365 Trygve Bølstad/Samfoto/NTB, s. 372 Tony Max/ iStock, s. 374 guruxoox/iStock, s. 389 hadynyah/iStock, s. 399 SteveMarts1938/iStock, s. 402 magann/ iStock, s. 408 subjug/iStock, s. 414 Tone Kari Toft, s. 427 Farknot-Architect/iStock, s. 433 Alaska Stock/ NTB, s. 436 vovashevchuk/iStock, s. 446 Svein Grønvold/Samfoto/NTB, s. 450 Ridofranz/iStock, s. 455 Gudella/iStock, s. 460 Frédéric Soltan/Getty Images, s. 488 alephx01/iStock, s. 510 Wittayayut/ iStock, s. 511 Heritage Images/Getty Images, s. 519 Anna_leni/iStock, s. 524 GoodLifeStudio/iStock, s. 546 avatar25/iStock, s. 562 mikroman/Getty Images, s. 563 Science Photo Library/NTB, s. 569 Randall Munroe/xkcd.com, s. 573 mikroman/Getty Images, s. 576 Hill Street Studio/Getty Images, s. 587 Bettmann/Getty Images, s. 596 mgkaya/iStock, s. 609 Sharvik/iStock, s. 615 alex_ugalek/iStock, s. 618 a Nirian/E+/Getty Images, b Archive Photos/Stringer/Getty Images, s. 642 JonJacob/iStock, s. 644 LeManna/iStock, s. 667 Stein J. Bjørge/Aftenposten/NTB, s. 686 MarsBars/iStock, s. 717 klazing/ iStock, s. 733 alexemanuel/iStock, s. 747 Terje Pedersen/NTB
Innhold
1 Tall og mengder
1A Tallmengder 7
1B Brøkregning 17
1C Algoritmer 24
1D Implikasjon og ekvivalens 30
Sammendrag 33
2 Potenser og røtter
2A Potenser 35
2B Store og små tall 43
2C Røtter 48
2D Potenser med rasjonale eksponenter 53
Sammendrag 57
3 Algebra
3A Bokstavuttrykk 59
3B Kvadratsetningene 62
3C Faktorisering 66
3D Faktorisering med kvadratsetningene 69
3E Rasjonale uttrykk 75
Sammendrag 85
4 Likninger og ulikheter
4A Lineære likninger 87
4B Andregradslikninger 92
4C Nullpunktfaktorisering 102
4D Formler 110
4E Potenslikninger og eksponentiallikninger 118
4F Ekvivalens ved løsning av likninger 121
4G Likningssystemer 128
4H Ulikheter 133
Sammendrag 145
5 Funksjoner
5A Funksjonsbegrepet 147
5B Lineære funksjoner 165
5C Polynomfunksjoner 170
5D Rasjonale funksjoner 182
5E Eksponentialfunksjoner 187
5F Potensfunksjoner og rotfunksjoner 191
5G Funksjoner med delt forskrift 195
Sammendrag 202
6 Grenseverdier og kontinuitet
6A Grenseverdier 205
6B Eulertallet og eksponentialfunksjoner 215
6C Kontinuitet 219
6D Asymptoter 224
Sammendrag 233
7 Logaritmer
7A Briggske og naturlige logaritmer 235
7B Logaritmesetningene 241
7C Logaritme- og eksponentiallikninger 248
7D Logaritmefunksjoner 258
7E Generelle logaritmer 262
Sammendrag 267
8 Derivasjon
8A Vekstfart 269
8B Den deriverte 276
8C Definisjonen av den deriverte 282
8D Derivasjonsregler 291
8E Kjerneregelen 298
8F Produktregelen og brøkregelen 303
8G Størst og minst verdi 308
8H Størst og minst vekst 321
8I Tangenter 330
Sammendrag 337
9
Geometri
9A Formler fra geometrien 339
9B Spesielle vinkler og trekanter 347
9C Pytagorassetningen 353
9D Formlikhet 357
9E Optimering 360
Sammendrag 363
10 Trigonometri
10A Tangens, sinus og cosinus 365
10B Generell definisjon av sin v og cos v 374
10C Arealsetningen 386
10D Sinussetningen 391
10E Cosinussetningen 396
10F Et nytt vinkelmål 401
10G Trigonometriske identiteter 407
Sammendrag 413
11 Trigonometriske likninger og funksjoner
11A Trigonometriske grunnlikninger 415
11B Trigonometriske likninger 424
11C Trigonometriske ulikheter 429
11D Trigonometriske funksjoner 432
11E Derivasjon av trigonometriske funksjoner 448
11E Arealberegninger 457
Sammendrag 459
12 Vektorer
12A Punkter i planet og rommet 461
12B Vektorer i planet og rommet 464
12C Sum og differanse av vektorer 471
12D Parallelle vektorer 486
12E Skalarproduktet 492
12F Determinanter 501
12G Vektorproduktet 504
12H Areal og volum 514
Sammendrag 523
13 Linjer og plan
13A Linjer i planet og rommet 525
13B Plan 532
13C Skjæring mellom linjer og plan 541
13D Vinkler og avstander i rommet 552
Sammendrag 561
14 Følger og rekker
14A Rekursive sammenhenger 564
14B Rekker 578
14C Aritmetiske og geometriske rekker 584
14D Uendelige rekker 598
14E Praktiske anvendelser av rekker 607
Sammendrag 617
15 Integrasjon
15A Det bestemte integralet 619
15B Numerisk integrasjon 631
15C Bruk av det bestemte integralet 642
15D Analysens fundamentalteorem 652
15E Integrasjonsmetoder 667
15F Volum ved integrasjon 679
Sammendrag 685
16 Oppgavesamling 686
Fasit 769
Python 812
Viktige Python-kommandoer 819
Register 823
1A Tallmengder
Ethvert reelt tall har sin bestemte plass på tallinja, og alle punkter på tallinja representerer et reelt tall. Symbolet for mengden av reelle tall er
Alle tall du skal regne med i dette kurset, er reelle tall. Om ikke annet blir sagt, bruker vi derfor som grunnmengde
Jo større et tall er, desto lenger til høyre står det på tallinja.
For eksempel er 2 et større tall enn 3, det vil si at −>−23
–3 –4–2–101234
Tallene som er markert på tallinja ovenfor, er hele tall
Symbolet for mengden av hele tall er
De hele tallene er en delmengde av de reelle tallene. Vi skriver det slik: ⊂
De positive heltallene kaller vi naturlige tall
Vi regner ikke 0 som et naturlig tall.
Symbolet for mengden av naturlige tall er . Siden alle naturlige tall også er hele tall, er de en delmengde av de hele tallene: ⊂
Vi bruker symbolene ∈ og ∉ for å uttrykke om et tall er med i en mengde eller ikke.
La oss bruke 4 som eksempel. Det er et helt tall, men ikke et naturlig tall.
−∈ 4 betyr at 4 er med i mengden av hele tall.
−∉ 4 betyr at 4 ikke er med i mengden av naturlige tall.
–3 –4 –5–2–10123 4 5
På tallinja står 4 og 4 like langt fra null, men på hver sin side.
Vi sier at de to tallene har samme tallverdi eller absoluttverdi, nemlig 4.
Med absoluttverditegn, , kan vi uttrykke det slik: = 44 og −=44
SNAKK
Stemmer det?
Alltid − noen ganger − aldri
Forklar!
1.1
Bestem absoluttverdien av tallene. a 8 b 1 c 3 d 0
1.2
Sett inn riktig tegn i de tomme rutene. Velg mellom >=<∈ ,,, og ∉ a 35 b 35 c 33 d 3 e 0 f 3
Det fins uendelig mange tall på tallinja som ikke er hele tall. Mellom 1 og 2 er det for eksempel uendelig mange desimaltall der det bare står tretall etter komma:
1,3 1,33 1,333 osv.
Disse tallene kan vi skrive som brøker: 13 10 133 100 1333 1000 osv.
Tar vi med uendelig mange tretall etter komma, skriver vi 1,333... . Også dette tallet kan vi skrive som brøk: = 1,333 4 3
Tall vi kan skrive som en brøk med hele tall i teller og nevner, kaller vi rasjonale tall. Symbolet for mengden av rasjonale tall er Legg merke til at de hele tallene også er rasjonale tall. Det er fordi vi kan skrive dem som brøker der nevneren er 1.
Vi kan altså si at de hele tallene er en delmengde av de rasjonale tallene:
Det fins også uendelig mange tall som vi ikke kan skrive som brøker med hele tall i teller og nevner. Disse tallene kaller vi irrasjonale tall
2,3og 2 er eksempler på irrasjonale tall mellom 1 og 2.
Taster du 2 på et digitalt verktøy, får du kanskje 1,414 213 562.
Men dette er bare en tilnærmet verdi for 2
Irrasjonale tall er likevel like «virkelige» som de rasjonale tallene: I et kvadrat der sidene er 1 cm, er diagonalene ifølge pytagorassetningen 2 cm. Det kan vi bruke til å plassere 2 på tallinja.
Til sammen utgjør de rasjonale og irrasjonale tallene de reelle tallene.
Tallinja
Tallinja består av de reelle tallene, . De naturlige tallene er en delmengde av de hele tallene, som er en delmengde av de rasjonale tallene, som igjen er en delmengde av de reelle tallene:
1.3
Sett inn riktig tegn i de tomme rutene. Velg mellom ∈, ∉, ⊂ og ⊄ a 8,5
b 3
c 3,14
d e f
Venndiagram
Sammenhengen mellom de ulike tallmengdene, kan vi illustrere med et venndiagram (etter den engelske matematikeren John Venn):
De irrasjonale tallene er alle elementene i som ikke er med i , og svarer til området med den lyseste fargen i venndiagrammet ovenfor. Dette er komplementmengden til . Vi skriver og leser «ikke Q». Vi illustrerer med et nytt venndiagram:
De rasjonale talleneDe irrasjonale tallene
Mengden av de rasjonale tallene og mengden av de irrasjonale tallene har ingen elementer felles. Vi sier at snittet av mengdene er tomt, og skriver ∩ = ∅ . Symbolet står for den tomme mengden, som er en mengde uten noen elementer. Når snittet av to mengder er tomt, sier vi at de er disjunkte mengder.
Hvis vi slår sammen mengden av de rasjonale tallene og mengden av de irrasjonale tallene, får vi de reelle tallene. Vi sier at unionen av mengdene er de reelle tallene, og skriver = .
Hvis vi fjerner de rasjonale tallene fra de reelle tallene, står vi igjen med de irrasjonale tallene. Mengden av de irrasjonale tallene kan derfor uttrykkes som en mengdedifferanse: = \
EKSEMPEL 1
1.4
Venndiagram
La A og B være to delmengder av en grunnmengde S. Figurene viser hva vi mener med komplementmengde, disjunkte mengder, og snitt og union av mengder.
A er komplementmengden til A
Disjunkte mengder: A B = ∅
Beskriv disse tallmengdene. a ∪ b ∩ c \ d \
Listeform
Mengder som inneholder enkeltelementer, skriver vi på listeform. For eksempel har mengden {5, 6, 9} tre elementer: tallene 5, 6 og 9.
Hvis vi skriver ∈ x {5,6,9} , sier vi at x kan være et av de tre tallene.
Hvis vi skriver x \{5,6,9} ∈ , sier vi at x kan være et hvilket som helst reelt tall bortsett fra tallene 5, 6 og 9.
Skriv mengden av naturlige tall på listeform.
Det er ikke mulig å skrive opp alle tallene i . Uansett hvor mange tall vi tar med, så fins det flere. Det fins uendelig mange naturlige tall. Vi bruker tre prikker som symbol for dette. Vi skriver det slik på listeform: = {1,2,3,...}
1.5
Skriv tallmengdene på listeform.
a Tallene 4 og 8.
b De naturlige tallene mellom 4 og 8.
c De naturlige tallene som er større enn 5.
d
SNAKK
Forklar hva skrivemåtene betyr.
∈ x {2,3} ∈ y \{0} z \{2,2}∈−
EKSEMPEL 2
Ta for deg mengdene A {2,5,8} og B {4,5,6,7}
Finn AB , A B , BA \ og A B \
Vi tegner et venndiagram for å få god oversikt.
Det er bare tallet 5 som er med i begge mengdene, så AB {5} =
Tallene 2, 4, 5, 6, 7 og 8 er med i minst én av mengdene, så
AB {2,4,5,6,7,8} =
Når vi fjerner mengde A fra mengde B, får vi BA\{4,6,7} =
Når vi fjerner mengde B fra mengde A, får vi AB\{2,8} =
Med Python:
A = {2, 5, 8}
B = {4, 5, 6, 7}
print("Snittet av A og B er", A.intersection(B))
print("Unionen av A og B er", A.union(B))
print("B fratrukket A er", B.difference(A)) print("A fratrukket B er", A.difference(B))
Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet:
Snittet av A og B er {5}
Unionen av A og B er {2, 4, 5, 6, 7, 8}
B fratrukket A er {4, 6, 7}
A fratrukket B er {8, 2}
1.6
Ta for deg mengdene A {3,4,5} = og B {4,5,6,7} =
a Finn AB , AB , BA \ og AB \
b Er A en delmengde av B?
c Er B en delmengde av A?
1.7
Ta for deg mengdene A {1,4,9} = og B {1,2,3,4,5,6,7,8,9} =
a Finn AB , AB , BA \ og AB \ .
b Er A en delmengde av B?
c Er B en delmengde av A?
Intervaller
Et sammenhengende utsnitt av tallinja er et intervall
Alle intervaller inneholder uendelig mange reelle tall, og er delmengder av
–3–2–1012345
På figuren er tallene fra og med 2 til og med 4 markert.
Dette er et lukket intervall, og vi skriver det slik: [2,4]
Hvis endepunktene 2 og 4 ikke er med i intervallet, skriver vi 2,4
Dette er et åpent intervall, og består av tallene fra 2 til 4, det vil si tallene som ligger mellom 2 og 4. Figuren nedenfor viser hvordan vi kan markere dette intervallet på tallinja.
–3–2–1012345
Hvis bare ett av endepunktene hører med til intervallet, sier vi at det er halvåpent:
2 til 4 skriver vi slik: [ 2,4
2 til og med 4 skriver vi slik: ] 2,4
For eksempel kan vi skrive [ −∈−22,4 og ] −∉−22,4
EKSEMPEL 3
Et intervall kan også være ubegrenset oppover eller nedover.
Dette markerer vi ved å sette en pil:
2 skriver vi slik: −→ 2, 2 skriver vi slik: ←−,2 , – 2 – 2 , –6–4–3–2–10123 –5
Til sammen utgjør de to intervallene ovenfor alle reelle tall unntatt 2.
Dette kan vi skrive som \{2} eller ,22, ←−−→
Ta for deg mengdene A [2,4] = , B [3,6] = og C {4} =
Finn AB , AB og AC \
Vi tegner en tallinje og markerer mengdene for å få god oversikt. 1 023
A og B overlapper for tallene fra og med 3 til og med 4.
Derfor er A B [3,4] =
A og B inneholder til sammen alle reelle tall fra og med 2 til og med 6.
Derfor er AB [2,6] = .
Fjerner vi tallet 4 fra det lukkede intervallet [2,4] , blir intervallet halvåpent.
Derfor er AC\2,4 =
1.8
Sett inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.
a 90,9[] b 3,3 ← c 3\3, −−→
d 90,9[] e 10,2 f 10,2 { }
1.9
Forklar med ord hvilke tall mengdene inneholder.
a [ → 5, b []0,9\{5}
c \5,9 d 3,722,29
1.10
Skriv som intervaller.
a Tallene fra 2 til 8. b Tallene fra og med 2 til og med 8. c Tallene fra 2 til 8 bortsett fra 5. d Tallene som er større enn 2.
e Tallene som er mindre enn 2 eller større enn 8.
SNAKK
Ta for deg mengdene 1,2 [], 1,2 og {1,2}
Beskriv sammenhengen mellom dem.
1.11
Ta for deg mengdene A [1,4] = , B [4,7] = og C {1,7} =
Finn AB , AC , BC , AB , AB \ og BC \
EKSEMPEL 4
Skriv med ulikhetstegn.
a ∈→ x 5, b [ ∈− y 2,4
a Tallet x er større enn 5. Vi kan derfor skrive x > 5. b Tallet y er et tall fra og med 2 til 4. Da er y større enn eller lik 2 og samtidig mindre enn 4. Vi kan derfor skrive y ≥ 2 og y < 4. Det blir mer oversiktlig når vi skriver det som en dobbeltulikhet:
2 ≤ y < 4
1.12
Skriv med ulikhetstegn. a ∈← x ,2 b [ ∈→ y 2, c ∈−[] z 1,2
1.13
Skriv som intervaller.
a ≤ x 3 b −<< y 55 c <≤ z 03
1.14
Hvilke utsagn uttrykker det samme?
a [] ∈ xab , 1 ≥ xa
b ∈ xab , 2 <≤ axb
c [ ∈ xab , 3 < xb
d ] ∈ xab , 4 << axb
e [ ∈→xa , 5 ≤ xb
f ∈→xa , 6 ≤< axb
g ] ∈← xb , 7 > xa
h ∈← xb , 8 ≤≤ axb
RØDE OPPGAVER
1.15
Hvilke av tallene er rasjonale tall?
a 2 3 b 4 c 2 d 7 e 0,5 f π
1.16
Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.
a 2,52,5 { } b 2,5 c d 1
1.17
Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.
a 33,5[] b 44,9 c 53, −−→
1.18
Om et tall får du vite at absoluttverdien er fem og at det ikke er et naturlig tall.
Hvilket tall er dette?
1.19
Forklar med ord hvilke tall mengdene inneholder.
a [] 3,3 b { }3,3 c → 2, d 4,55,6
1.20
Skriv mengdene som intervaller eller på listeform.
a De reelle tallene mellom 5 og 9. b De naturlige tallene mellom 5 og 9.
c Tallene som har absoluttverdien åtte. d Alle reelle tall som er minst lik åtte.
BLÅ OPPGAVER
1.21
Skriv med matematiske symboler på to ulike måter.
a De reelle tallene som er større enn 5 men mindre enn eller lik 1.
b De reelle tallene som er negative.
c De reelle tallene.
d De positive hele tallene.
1.22
Ta for deg mengdene A [1,9] = , B [4,7] = og C {1} =
Finn AB , AC , BC , AB, AB \ , A , C og \ B
1.23
Skriv med ulikhetstegn.
a x 2,55,9[] ∈ b [ ∈ x 5,6\{5} c x \3, ∈→
Brøkregning
I forrige underkapittel så vi at alle rasjonale tall kan skrives som en brøk med hele tall i teller og nevner. Her skal vi se nærmere på hvordan vi regner med rasjonale tall.
3 4 Teller Nevner
En brøkstrek betyr det samme som et divisjonstegn. Vi kan derfor regne om en brøk til desimaltall på denne måten:
3 4 3:40,75==
Enkelte kalkulatorer har en tast som gir en mal for brøk, for eksempel eller . Disse kalkulatorene har gjerne også en tast der du kan veksle fram og tilbake mellom brøk og desimaltall.
Primtall og faktorisering
Et naturlig tall n er sammensatt hvis det kan skrives som et produkt av to (like eller ulike) tall mellom 1 og n. For eksempel er 6 og 9 sammensatte tall, fordi =⋅ 623 og =⋅ 933. Et sammensatt tall er derfor delelig med minst ett tall i tillegg til tallet selv og 1.
Primtall er naturlige tall større enn 1 som ikke er sammensatte. Primtallene er derfor delelig bare med seg selv og 1. Legg merke til at tallet 1 ikke er et primtall.
Primtallene under tjue er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19.
Et naturlig tall er ett av disse tre alternativene:
EKSEMPEL 5
Å faktorisere et tall eller et uttrykk vil si å skrive det som et produkt av to eller flere faktorer.
Hvordan faktoriserer vi for eksempel tallet 12? Svaret er at det avhenger av sammenhengen. 12 kan skrives som 3 ⋅ 4, 2 ⋅ 6 eller 2 ⋅ 2 ⋅ 3, alt etter hva vi har bruk for.
12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 er et eksempel på det vi kaller primtallsfaktorisering, og blir regnet som den fullstendige faktoriseringen av 12. Hvis vi ikke straks ser primtallsfaktoriseringen av et tall, kan vi starte med å skrive det som et produkt av to faktorer. Hvis disse faktorene ikke er primtall, skriver vi hver av dem igjen som et produkt av to nye faktorer. Slik fortsetter vi til vi står igjen med bare primtall.
Skriv 630 som et produkt av primtall.
Altså har vi at
Den norske matematikeren Atle Selberg (1917−2007) beviste store resultater blant annet innenfor teorien om primtall. Han er den eneste nordmannen som er tildelt Fieldsmedaljen, en utmerkelse som deles ut hvert fjerde år til fremragende matematikere under 40 år.
EKSEMPEL 6
Utviding og forkorting
Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i teller og nevner. Det endrer ikke verdien av brøken.
Vi forkorter en brøk ved å dividere med det samme tallet i teller og nevner. Dette endrer ikke verdien av brøken. Hvis telleren og nevneren ikke har minst én felles faktor, får vi ikke forkortet.
a Utvid brøken 5 6 slik at nevneren blir 12.
b Forkort brøken 30 48 mest mulig.
a En mulig faktorisering av 12 er 6 2, så vi multipliserer med 2 i både teller og nevner. 5 2 6 2 10 12 ⋅ =
b Vi primtallsfaktoriserer for å se hvilke faktorer som er felles for teller og nevner.
1.24
a Utvid 5 6 slik at nevneren blir 24.
b Utvid 2 3 slik at nevneren blir 9.
c Utvid 11 70 slik at nevneren blir 630.
1.25
Forkort brøkene mest mulig.
EKSEMPEL 7
Addisjon og subtraksjon
Vi kan bare trekke sammen brøker med lik nevner. Det minste tallet som alle nevnerne går opp i kaller vi fellesnevneren. Vi utvider derfor brøkene slik at de får denne nevneren og trekker deretter sammen. Svaret forkorter vi om det er mulig.
Regn ut 3
Nevnerne er 4, 1 og 6. Det minste tallet alle nevnerne går opp i er 12, så dette er fellesnevneren.
EKSEMPEL 8
Multiplikasjon
Vi multipliserer to brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner.
Regn ut.
Merk!
spare deg for unødvendig arbeid.
kan vi gjøre fordi vi alltid kan skrive det hele tallet som en brøk med 1 som nevner.
1.27
Regn ut.
EKSEMPEL 9
Divisjon
Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte (inverse) brøken: t n er n t t er t 1 , siden t t 1
Regn ut.
a 3 7 : 5 6
b 2: 5 6
c 5 6 :2
a 3 7 :
2:
5 6 :2
1.28
Regn ut.
a 2 3 : 5 7
b 15 7 : 9 14
c 1 6 :3
d 3: 1 6
