– forenklet
Ørnulf Borgan
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
Ørnulf Borgan
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
– forenklet
Bokmål
Påbygging
Innhold
1 Tall
Legge sammen og trekke fra 5
Positive og negative tall 7
Gange og dele 8
Brøk 15
Veien om 1 18
Forhold 20
Kvadratrot 23
Potenser 23
Regnerekkefølge 25
Likninger 26
Programmering 30
2 Prosent
Prosent 32
Prosentandel 36
Prosentpoeng 37
Vekstfaktor 39
Regning med vekstfaktor 40
Prosentendring i flere perioder 43
Prosentvis vekst 44
Eksamensoppgaver 47
3 Funksjoner
Koordinatsystemet 50
Funksjonsbegrepet 52
Egenskaper ved funksjoner 60
Eksamensoppgave 66
4 Modellering
Matematiske modeller 68
Fra målinger til modell 75
Modellering i praksis 84
Eksamensoppgaver 85
5 Generalisering
Formler 89
Proporsjonalitet 92
Omvendt proporsjonalitet 95
Tallmønstre 98
Figurtall 101
Programmering 103
Eksamensoppgaver 105
6 Statistikk
Frekvens 108
Relativ frekvens 109
Stolpediagram (søylediagram) 110
Klasser og klassebredde 111
Histogram 113
Sektordiagram (sirkeldiagram) 114
Kumulativ frekvens 115
Kumulativ relativ frekvens 116
Gjennomsnitt 117
Median 118
Gjennomsnitt og median med regneark 119
Typetall 120
Variasjonsbredde 120
Standardavvik 121
Eksamensoppgaver 122
7 Potenser og røtter
Regning med potenser 125
Store og små tall – standardform 129
Eksamensoppgaver 133
Fasit 135
Om Matematikk Påbygging – forenklet
Matematikk Påbygging – forenklet er én av komponentene i
Matematikk Påbygging, som består av
Forenklet bok
grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede
Oppgaver som krever programmering, er merket med
Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene
Vi håper at Matematikk Påbygging – forenklet hjelper deg på veien til å mestre
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne Ørnulf Borgan, John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef
Legge sammen og trekke fra 5
Positive og negative tall 7
Gange og dele 8
Brøk 15
Veien om 1 18
Forhold 20
Kvadratrot 23
Potenser 23
Regnerekkefølge 25
Likninger 26
Programmering 30
Legge sammen og trekke fra
a 35 + 19
b 3,5 + 1,9
Vi begynner bakerst. 5 + 9 = 14
Vi fører 4-tallet ned, og én tier i minne.
EKSEMPEL 3
1 + 5 = 4
–4–3–2–1 –5 –608 1 2 3 4 5 6 7
c Hvor mange flere jenter enn gutter er det? –4–3–2–1 –5012
Medlemmer i idrettslaget
JenterGutterVoksne
a Kan vi gange 7 med et helt tall og få 62 til svar?
b Kan vi gange 5 med et helt tall og få 105 til svar?
c Kan vi gange 3 med et helt tall og få 28 til svar?
Hvilket tall skal stå på strekene?
Hvilket tall skal stå på strekene?
Regn her:
12 34
43 54 123
84 17 124
27 64
125
85 17
126
Figuren viser hvor mange elever som kom på leksehjelpen i ukene
a Hvilke uker kom det flere enn 22 elever?
b
Hvor store var matutgiftene til sammen for denne perioden?
Regn og skriv svarsetning her:
EKSEMPEL
a 3,8 ⋅ 2,1
b 8,5 4,3
c 5,7 5,4
d 7,8 ⋅ 6,4
128
a 18,5 3,4
b 6,4 1,7
c 9,24 ⋅ 4,1
d 7,5 18,2
Gange/dele med 10, 100, 1000, osv.
2,35 10 = 2,35 100 =
: 10 =
Ser du systemet? Forklar:
1000 =
Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot høyre.
Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre.
Og så videre.
Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot venstre.
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plaser mot venstre.
Og så videre.
EKSEMPEL 6 a 2,3 100 = 230 b 4,5 : 100 = 0,045
2,3 100 b 4,5 : 100
:
35,4 : 10 = b 2,5 : 1000 =
3,5 : 100 = e 0,05 : 10 =
EKSEMPEL 7
35 : 1000
240,5 100 =
0,5 : 100 = 132 a 5 : 10 = b 45 : 100 =
100
35 : 1000 = 0,035 I det hele tallet 35 kan vi tenke oss at det står et komma og null bak det
35 = 35,0 Så bruker vi «knepet» fra eksempel 6b med å skrive noen nuller foran
1000
Hvor mange esker blir det?
Regn og skriv svarsetning her:
134
Hvor mange gram proteinpulver er det i kassa?
Regn og skriv svarsetning her:
Regn og skriv svarsetning her:
Hvor mange av disse er det rimelig å tro at er «venstrehendte»? 136
Hvor mye saft blir det i hver flaske?
Regn og skriv svarsetning her: 135
Gange/dele med negative tall
4(2)8
⋅−=−
(2)(4)8
(1)2(3)6
(1)(2)(3)6
Gange med negative tall
Når det er 1, 3, 5, … negative tall, blir svaret negativt.
Når det er 2, 4, 6, … negative tall, blir svaret positivt.
8(4)2 (6)(2)3 :−=− −:−=
137 a 2(3) ⋅−
b (2)(3)
c (2)(1)(3) −⋅−⋅−
d (2)(2)3
138 a (6)2 −:
b (6)(2) −:−
c 12(3) :−
Regn her:
I brøken 3 4 er 3 telleren og 4 nevneren
4 340,75=:=
Fra brøk til desimaltall
Vi gjør om fra brøk til desimaltall ved å dele telleren på nevneren.
Hvor stor del av figuren til høyre er skravert?
Svar som brøk:
Svar som desimaltall:
Utviding og forkorting
Vi utvider en brøk ved å multiplisere (gange) med det samme tallet i teller og nevner. Det endrer ikke verdien av brøken.
EKSEMPEL 8
Vi utvider brøken med 2.
Vi forkorter en brøk ved å dividere (dele) med det samme tallet i teller og nevner. Det endrer ikke verdien av brøken.
Å gange et tall med en brøk
Når vi multipliserer (ganger) et helt tall med en brøk, ganger vi tallet opp i telleren.
Veien om 1
Hvor mye må Magnus betale for 2,5 kg epler?
For å finne ut det bruker vi metoden Å gå veien om 1
Vi finner først prisen for 1 kg epler: 120 1,5 80
2,5 kg epler koster: 80 kr ⋅ 2,5 =
Vi kunne også ha satt opp regnestykket slik:
Veien om 1
Vi finner først ut hvor mye som tilsvarer én enhet, for eksempel prisen for 1 kg.
Deretter ganger vi med det antall enheter vi skal ha.
144
Juice blir solgt i kartonger
Hva er literprisen på juice i de to kartongene?
21 kr34,50 kr
I en oppskrift til fire personer står
Hvor mye fisk går det med til 6 personer?
Til én person: 1,2kg 4 0,3kg Til seks personer: 6 0,3 kg = 1,8 kg
Du kan også regne slik: 1,2 4 61,8⋅=
145 Prisen for 1,3 kg lakseskiver
Hvor mye må Gustav betale for 1,5 kg lakseskiver?
146
I en oppskrift på en gryterett står det at du til fire personer må
Hvor mye kjøttdeig må du beregne til ni personer?
147
a Hvor mye koster én kg appelsiner?
b Hvor mye koster 4 kg appelsiner?
148 Hvor mye må Signe betale?
149 Line bruker 15 minutter på å
Hvor lang tid vil hun bruke på å jogge 4 km hvis hun holder den samme gjennomsnittsfarten?
150 Hvor mye tjener han på 25 timer?
151 Grovbrød inneholder
På nettet fant vi at dagsbehovet
Hvor mange gram grovbrød må Kari spise hvis dette skal dekke dagsbehovet for jern?
Regn her:
Forhold
Forholdet mellom x og y er x y , som vi også kan skrive som x : y.
EKSEMPEL 11
I en klasse er det 10 gutter og
a Hva er forholdet mellom antall gutter og antall jenter?
b Hva er forholdet mellom antall jenter og antall gutter?
152
Forholdet mellom antall gutter og antall jenter er 2 : b 15 10 15:5 10:5 3 2
Forholdet mellom antall jenter og antall gutter er 3 :
a Hva er forholdet mellom antall jenter og antall elever i klassen?
b Hva er forholdet mellom antall gutter og antall elever i klassen?
153
a Hva er forholdet mellom hvit og gul maling?
b Hva er forholdet mellom hvit maling og ferdigblandet maling?
EKSEMPEL 12 a 10 15 10:5 15:5 2 3
Forholdet mellom den korteste siden og den lengste siden i et rektangel er 2 :
Hva er den lengste siden i et rektangel der den korteste siden er 1,6 cm?
Vi tenker oss at lengdene av sidene er gitt
Siden den korteste siden er 1,6 cm og to deler, kan vi finne lengden av én del:
154
Tegn et rektangel der den
Forholdet mellom den korteste og den lengste siden er 1 :
155
Tegn et rektangel der den lengste
Forholdet mellom den lengste og den korteste siden er 3 :
EKSEMPEL 13
Vi fant denne oppskriften på drikken «Strawberry milkshake»:
TIL 2 PERSONER
150 G FROSNE JORDBÆR
1 DL HUSHOLDNINGSFLØTE
2 DL KALD HELMELK
1 SS MELIS
Hvor mye må vi bruke av hver av de fire ingrediensene?
Tegn her:
150 2 5755375 ⋅=⋅=
Fløte: 1 2 50,552,5 ⋅=⋅= Melk: 2 2 5155 ⋅=⋅= Melis: 1 2 50,552,5 ⋅=⋅=
156
Til dessert fant vi denne oppskriften på «Sjokoladeiskrembiter»:
Til 6 personer 6 dL iskrem
200 g mørk sjokolade
2 ss usaltet smør
Hvor mye må vi bruke til 10 personer?
her:
Regn
EKSEMPEL 14
På en flaske med konsentrert saft
står det at forholdet mellom
1 :
Viktor skal lage en saftblanding
a Hvor mye vann må han da tilsette?
b Hva er forholdet mellom den konsentrerte saften og saftblandingen?
a Siden forholdet mellom konsentrert saft og vann skal : 4, trenger Viktor 4 deler vann til 1 del
trenger 8 dL vann til
b og saftblandingen er derfor 1 :
157
a Hva er forholdet mellom konsentrert saft og vann?
b Hvor mye vann trenger du til 4 dL konsentrert saft?
c Hva er forholdet mellom vann og saftblandingen?
158 :
159
Cornelia har en saftflaske merket med «1 :
a Hvor mye vann må hun ha til 2 dL saft?
b Hvor mye saft må hun ha til 4,5 dL vann?
c Hvor mye saft må hun ha for å få 1 L ferdig drikke?
Regn her:
Kvadratrot
25
Kvadratroten av 25 er det positive 255
Å finne kvadratroten av et tall betyr å finne det positive tallet som ganget med seg selv gir tallet.
kvadrattall: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …
EKSEMPEL 15
Hva er a 16 b 36
a 164 fordi 4 ⋅ 4 = 16
b 366 fordi 6 6 = 36
I GeoGebra kan du finne 36 + +
= =⋅⋅⋅⋅ 2222 3 3faktorer
Når eksponenten er et positivt heltall, forteller den hvor mange ganger grunntallet skal stå som faktor.
EKSEMPEL 16
a Regn ut 32
b Skriv tallet 16 som potens
161
a I potensen 34 er grunntallet og eksponenten
b I potensen (2a)5 er grunntallet og eksponenten
162 a 42 = b 72 =
=
163
a Skriv som potens med 5 som grunntall: 5 5 5 5 =
b Skriv som potens med b som grunntall: b b b =
EKSEMPEL 17
Skriv tallet 27 som potens med 164 a b c I GeoGebra skriver vi inn potensen 35 + +
Regnerekkefølge
Hva blir svaret på 4 + 2 6?
Regnerekkefølgen
❶ Parenteser
❷ Potenser og kvadratrøtter
❸ Ganging og deling
❹ Pluss og minus
Legg merke til hvilke ord som betyr det samme: gange multiplisere dele dividere legge sammen addere trekke fra subtrahere
EKSEMPEL 18
Likninger
Derfor skriver vi = x 4 =
Å løse en likning vil si å finne ut hvilket tall x I likningen ovenfor ser vi at løsningen er x = for å regne deg fram til den.
I en likning kan vi
❶ dele med det samme tallet på begge sider
❷ gange med det samme tallet på begge sider
❸ legge til det samme tallet på begge sider
Løs likningen 4x =
❹ trekke fra det samme tallet på begge sider Regn her:
2x = 8 b 3x = 18 c 5x = 10 d 3x = 6
4x = 8
deler på begge sider med tallet som x er ganget med.
EKSEMPEL 20
Løs likningen x 7 6
Vi ganger på begge sider med tallet som x er delt på.
Regn her:
a x 2 8
b x 3 7
c x 100 0,05
d x 3 2 12
e x 3 2 12
f x 1000 0,012
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Matematikk Påbygging følger fagfornyelsens læreplan i Matematikk Påbygging (LK20) og består av lærebok, forenklet tilleggsbok, og digitale elev- og lærerressurser på Aunivers.no
Forenklet bok
Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med teori og med oppgaver tilpasset teorien. Eleven loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Til slutt i hvert kapittel er det noen eksamensoppgaver. Boka er laget for innskriving.
Digitale ressurser
Aunivers.no inneholder blant annet: •opplæringsressurser til GeoGebra, regneark og Python •interaktive oppgaver •eksamensløsninger
Som lærer får du også tilgang til: •lærerveiledning •kapittelprøver •terminprøver •aktivt klasserom
Den digitale elevressursen er inkludert i lærerressursen, og er tilgjengelig med FEIDE-innlogging.
ISBN
Påbygging