Nummer 10 bm lavoppl by Aschehoug Utdanning

Arne Hole Renate Jensen Helga Kufaas Tellefsen Anne Karin Wallace

NUMMER 10 Matematikk for ungdomstrinnet bokmĂĽl

Læreboka Nummer 10 er en del av læreverket Nummer. Læreverket følger læreplanen i matematikk for 8. – 10. årstrinn (2014). © H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2016 1. utgave / 1. opplag 2016 Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Redaktør: Kari Kleivdal Grafisk formgiving: Laboremus Oslo AS Omslag: Laboremus Oslo AS Omslagsfoto: Science Photo Library/NTB scanpix Bilderedaktør: Heidi Wexelsen Goksøyr Tekniske tegninger: Bjørn Norheim Illustrasjoner: Kart og grafikk: Gerd Eng Kielland. Amalie Kjersem. Vilde-Celin Stenødegård Tomren. Ingeborg Mjelve. Boken er satt med: Palatino LT Std 12/16 pt Papir: 100 g Arctic matt 1,0 Trykk: 07 Media – 07.no Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien ISBN 978-82-03-34496-1 www.aschehoug.no s.8-9 Johan Eduard Petersen/NTB scanpix, s.10 Guillaume Payen/LIghtRocket/Getty Images, s.11 Claude Langlois/ NTB scanpix, s.12 Catherine MacBride/Getty Images, s.17 Stephan Zirwes/ NTB scanpix, s.20 Johner Images/ NTB scanpix, s.23 Espen Bratlie/Samfoto/ NTB scanpix, s.28 Thomas Grimm/Plainpictures/ NTB scanpix, s.32 Apply Pictures/Plainpictures/ NTB scanpix, s.43 Espen Haagensen/Samfoto/ NTB scanpix, s.46 Pixtal/ NTB scanpix, s.49 Morten Løberg/Samfoto/ NTB scanpix, s.50 Terje Rakke/Nordiv Life/ NTB scanpix, s.56 Plattform/Johner/ NTB scanpix, s.58 Tim Platt/Getty Images, s.67 Glow Cuisine/Getty Images, s.75 Onimage/Plainpicture/ NTB scanpix, s.83 Luis Quinta/Nature Picture Library/ NTB scanpix, s.87 8017 Bo Dahlin/Bildhuset/TT/ NTB scanpix, s.90 Nils-Erik Bjørholt/ NTB scanpix, s.92 Onimage/Plainpicture/ NTB scanpix, s.95 Pixtal/ NTB scanpix, s.105 62 gr Nord/Johner/ NTB scanpix, s.111 8169 Malin Gezelius/Bildhuset/TT/ NTB scanpix, s.114 Xavier Noel/Millenium/ NTB scanpix, s. 117 Image Source/ NTB scanpix, s.136-137 Joe Lena/Getty Images, s.139 Image Source/Getty Images, s.143 Hero Images/Getty Images, s.151 Bernhard Lang/Getty Images, s.155 Christian Diehl/Plainpictures/ NTB scanpix, s.159 Astrid Doerenbruch/Plainpictures/ NTB scanpix, s.160 Elektrones 08/ Plainpictures/ NTB scanpix, s.165 Alex Maclean/Getty Images, s.166 Matthias Clamer/Getty Images, s.180 Zsolt Hlinka/ Getty Images, s.183 C.A.Vogel/Plainpictures/ NTB scanpix, s.185 Stockwerk/Zolondek/Plainpictures/ NTB scanpix, s.188 Diana Coca Millenium/ NTB scanpix, s.202 Jodie Griggs/Getty Images, s.205 Azem Ramadani/Getty Images, s.210 Hinz Und Kunz/Plainpictures/ NTB scanpix, s.217 Sabine Vielmo/Plainpictures/ NTB scanpix, s.225 Markus Varesvuo/Nature Picture Library/ NTB scanpix, s.226 Lambert/Archive Photos/Getty Images, s.230 Readymade-images/Axel Dupeux/ Plainpictures/ NTB scanpix, s.238 Scheller/Plainpictures/ NTB scanpix, s.242 Trym Ivar Bergsmo/Samfoto/ NTB scanpix, s.245 Julia Girg/Stock 4B/Getty Images, s.262-263 Joseph C. Justice Jr./Getty Images, s.264 Lionel Lourde/Getty Images, s.269 Powerfocusfotografie/Getty Images, s.274 Binkski/Shutterstock/ NTB scanpix, s. 276 Anne Karin Wallace, s.280 Pixtal/ NTB scanpix,, s.281 Dave Reede/Getty Images, s.282 Hasengold/Plainpictures/ NTB scanpix, s.285 Oliver J ckel/ NTB scanpix, s.286 Terje Rakke/Nordic Life/ NTB scanpix, s.287 8069 Bengt Olof Olsson/Bildhuset/TT/ NTB scanpix, s.288 Science Photo Library/NTB scanpix, s. 291 Blue Lantern Studio/Corbis/ NTB scanpix, s.298 Tim Graham/Contributor/Getty Images, s.303 fStop Images-Stephan Zirwes/Getty Images, s.304 Geometry/Plainpictures/ NTB scanpix, s.309 Frank Baquet/Plainpictures/ NTB scanpix, s.317 Espen Bratlie/Samfoto/ NTB scanpix, s.319 Thomas Raupach/Samfoto/ NTB scanpix, s.324 Pixtal/ NTB scanpix, s.326 Johner Images/ NTB scanpix, s.329 Johner Images/ NTB scanpix, s.338 Alexander Keller/Plainpictures/ NTB scanpix, s.340 Mark Plonsky/Visuals Unlimited Inc./Getty Images, s.342 Donald Crossland/Bon Appetit/ NTB scanpix, s.345 Frits Thaulow/O.Væring, s.346 BertMyers /CulturaRM Exclusive/Getty Images, s.348 Ludvig Karsten /O.Væriing, s.349 Ulrich Mertens/Plainpictures/ NTB scanpix, s.350 Joern Rynio/Plainpictures/ NTB scanpix, s.350 David Clapp/AA World travel Library/The Bridgeman Art Library, s.352 akg-images/NTB scanpix, s.354 Lighthouse/Plainpictures/ NTB scanpix, s.356 Traveler1116/Getty Images, s.372-373 David Jakle/Getty Images, s.374 Thure Wikberg/TT/ NTB scanpix, s.375 Image Source/Getty Images, s.379 Malorny/Getty Images, s.380 Maskot/ NTB scanpix, s.381 Thomas Nykrog/ NTB scanpix, s.385 Great Stock!/Bon Appetit/ NTB scanpix, s.387 Phil Boorman/Getty Images, s.390 Cathleen Abers-Kimbal/Getty Images, s.394 Johner Images/ NTB scanpix, s.395 Ute Mans/Plainpictures/ NTB scanpix, s.397 Fotofred/Plainpictures/ NTB scanpix, s.398 Maskot/Getty Images, s.400 Roine Magnusson/Johner/ NTB scanpix, s.402 Apply Pictures/Plainpictures/ NTB scanpix, s.407 Pixtal/ NTB scanpix, s.414 Bård Løken/Samfoto/ NTB scanpix, s.415 Sabine Büttner/Plainpictures/ NTB scanpix, s.432 Pixtal/ NTB scanpix, s.452 Seth K. Hughes/ NTB scanpix, s.455 Pixtal/ NTB scanpix, s.468-469 Ushiushi/Getty Images

FORORD Vi som har laget denne boka, håper at den kan bidra til å gjøre matematikk meningsfylt for deg. Alle kan forstå matematikk, men hver av oss trenger tid til å finne vår egen vei inn i det. Om du føler at du ikke er den raskeste til å regne eller lære deg nytt matematisk stoff, så kan du likevel ha potensiale til å bli god i matematikk. Spør, snakk med dine medelever, og tenk. Boka starter med et kapittel om tall. Dette temaet er det mest sentrale i hele skolematematikken, det har fulgt deg siden du startet i første klasse. Vi har prøvd å skrive Nummer 10 slik at den inneholder alt du trenger. Derfor repeterer den også viktig stoff fra Nummer 8 og Nummer 9. Dette er den store oppsummeringen! Vi som har skrevet denne boka, prøver å gjøre alt vi kan for å hjelpe deg å forstå matematikken. Å forstå matematikken er nøkkelen til langsiktig suksess i dette faget. Pugging av metoder for å løse oppgaver kan gi uttelling på kort sikt, men i det lange løp er det vanskelig å huske et stadig økende antall metoder du ikke forstår hvorfor virker. Forstår du derimot hva som ligger bak metodene blir alt mye lettere. Da vil du se at det er fellestrekk og felles prinsipper som ligger under den uoversiktlige skogen av fagstoff, og du vil kunne konsentrere deg om kun disse prinsippene. Vi utfordrer deg til å sette ord på hvordan du har tenkt. I boka finner du tekster som forteller hvordan matematikere har tenkt. Du vil se at matematikere bruker få ord når de skriver. Det gir en annen måte å lese på. I tillegg til læreboka, har læreren en Lærerens bok med forslag til undervisningsopplegg og aktiviteter, slik at undervisningen kan tilpasses både læreren og elevene. Vi ønsker deg lykke til med Nummer 10. Hilsen Arne Hole, Renate Jensen, Helga Kufaas Tellefsen og Anne Karin Wallace

FORORD

SYMBOLFORKLARINGER Begreper du skal jobbe med i dette delkapitlet. Målet er at du skal bruke disse begrepene når du forklarer. De skal bli en del av språket ditt. Noen av ordene har du hørt før. Du møter disse begrepene i teksten og i oppgavene. Sjekk med deg selv om du kan forklare hva de betyr.

HVA KAN DU NÅ Under denne overskriften finner du oppgaver som kan hjelpe deg å finne ut om det er noe du trenger å jobbe mer med. Noen ganger kan du gå videre, andre ganger må du stoppe opp. Da har læreren oppgaver både til deg som trenger å jobbe mer, deg som vil trene litt til og deg som vil gjøre noe mer innenfor samme emne, slik at alle kan gå videre sammen.

samarbeid En oppgave som inviterer til samarbeid. Noen av disse oppgavene er spill og oppgaver som dere skal lage for hverandre. Det er også ferdighetsoppgaver som er merket med sam arbeid. Det er viktig å kunne stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både et uformelt språk og presis bruk av begreper. Når et nytt tema blir introdusert ønsker vi at dere skal arbeide sammen. Dette gir dere muligheten til å snakke om temaet slik at dere kan ta nye begreper i bruk og forklare hva dere tenker og hvordan dere har forstått stoffet dere skal arbeide videre med. Vi ønsker at slike oppgaver vil gjøre at dere føler at dere mestrer nye ferdigheter og at dere kan dele gode måter å tenke på.

SYMBOLFORKLARINGER

BEGREPER

utfordring En oppgave eller tekst som inviterer til gode ideer, en ekstra utfordring. Oppgavene er laget for å gi deg muligheten til å bruke det du har jobbet med i oppgaver som gjør deg bedre i faget.

digital En oppgave som egner seg å løse i regneark eller GeoGebra.

fra eksamen I hvert kapittel vil du finne oppgaver hentet fra eksamen. Oppgavene gir deg mulighet til å øve på det du kan, og til å se hvordan eksamensoppgaver er formulert.

rik oppgave En oppgave som gir deg muligheten til å bruke kreative løsningsmetoder, i tillegg til de ferdighetene du har jobbet med. Du vil oppdage at det er flere måter å løse oppgavene på, og at det kan være flere ulike og gode svar.

På elevnettstedet vil du finne sammendrag til hvert kapittel i Nummer 10. Sammendraget inneholder også forklaringer fra Nummer 8 og Nummer 9. På elevnettstedet vil du også finne verktøyopplæring i GeoGebra og Excel, og løsningsforslag til noen av oppgavene i boka.

SYMBOLFORKLARINGER

INNHOLD

FORORD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SYMBOLFORKLARINGER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4

TALL OG TALLREGNING

1A Tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om tallregning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1F Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om økonomi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 30 31 40 41 54 56 71 72 85 87 121

OPPGAVESAMLING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

ALGEBRA OG FUNKSJONER

137

2A Grunnleggende algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om grunnleggende algebra? . . . . . . . . . . . . . .

138 163 165

1B Tallmengder og tallinja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om tallmengder og tallinja? . . . . . . . . . . . . . . . 1C Enheter og måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om enheter og måling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1D Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om brøkregning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1E Prosent og promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om prosent og promille? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2B Kvadratsetningene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om kvadratsetningene og konjugatsetningen?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2D Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om likninger og ulikheter? . . . . . . . . . . . . . . . .

179 180 222 225 248

OPPGAVESAMLING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

250

2C Funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om funksjoner? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INNHOLD

GEOMETRI 3A Areal og volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om areal og volum? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3B 3C 3D 3E

263

264 289 Pytagoras’ setning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 hva kan du nå om Pytagoras’ setning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Konstruksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 hva kan du nå om konstruksjon? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Symmetri, formlikhet og kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 hva kan du nå om symmetri, kongruens og formlikhet? 343 Geometri i hverdag og kunst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 hva kan du nå om geometri i hverdag og kunst? . . . . . . . . 356

OPPGAVESAMLING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

373

4A Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om statistikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4C Sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om sannsynlighet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

374 393 395 409 410 423

OPPGAVESAMLING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424

EKSAMENSTRENING

433

Del 1 Uten hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Del 2 Med hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434 449

FASIT OG REGISTER

469

4B Kombinatorikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hva kan du nå om å ﬁnne antall kombinasjoner? . . . . . . .

INNHOLD

Tall og tallregning MĂĽl: Du skal beherske regning med ulike typer tall, og kjenne til hvordan regning kan brukes til ĂĽ lĂ¸se praktiske problemer fra dagliglivet.

1A TALLREGNING Etter dette delkapitlet skal du kunne • addere, subtrahere, multiplisere og dividere tall • løse praktiske oppgaver ved å bruke de ﬁre regneartene • gjøre overslag • tolke oppstilte regnestykker ved å lage regnefortellinger • faktorisere og primtallsfaktorisere tall I «Den lille prinsen» av Antoine de Saint-Exupéry leser vi følgende: «De voksne elsker tall. Hvis du forteller dem om en ny venn, spør de aldri om vesentlige ting. De spør aldri: «Hvordan var stemmen hans? Hva er det han helst vil leke? Samler han på sommerfugler?» Nei, de spør: «Hvor gammel er han? Hvor mange søsken har han? Hvor meget veier han? Hvor meget tjener faren hans?» Og da først tror de at de kjenner ham. Dersom du sier til en voksen: «Jeg har sett et nydelig rødt steinhus med geranier i vinduene og duer på taket,» så kan de slett ikke tenke seg hvordan det ser ut. Du skal si: «Jeg har sett et hus til hundre tusen franc.» Og da vil de rope: «Å, så nydelig det er!»»

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

BEGREPER de ﬁre regneartene overslag algoritme faktorisere primtallsfaktorisere

DE FIRE REGNEARTENE Oppgave 1.1

samarbeid

Nedenfor finner du fire oppgaver og en samling begreper. Løs oppgavene, og knytt begrepene til regnestykkene. Forklar muntlig for hverandre hva begrepene betyr.

addisjon

t kvotien

divisor

dividend

multiplikasjon

subtraksjon

ledd produkt

faktor

sum n divisjo differanse

a Hvis Truls har 34 sommerfugler og Trine har 17, hvor mange har de til sammen?

b Hvis du har 468 000 kr i årslønn, hvor mye tjener du hver måned?

c Hvis storebroren til Hedda veier 59,3 kg og Hedda veier 43,8 kg, hvor mye tyngre er storebroren?

d Hvis et hus koster 100 000 franc, hvor mye koster da 20 hus?

• TALLREGNING

Oppgave 1.2

samarbeid

Dere har gjennom hele grunnskolen arbeidet med de fire regneartene. Noen ganger arbeider dere gjerne med bare én regneart om gangen fordi dere trener på én ferdighet. Det er mange sammenhenger mellom regneartene som kan være til hjelp når dere regner. I denne oppgaven skal dere se på noen slike sammenhenger.

a Vi sier ofte at addisjon og subtraksjon er motsatte regnearter. Hva tror dere vi mener med det? Gi eksempler.

b Vi sier også at multiplikasjon og divisjon er motsatte regnearter. Gi eksempler på dette.

c Forklar hva som menes med at multiplikasjon er gjentatt addisjon. Gi eksempler.

d Hvilken sammenheng er det mellom divisjon og subtraksjon? Gi eksempler.

e Hvilken nytte kan dere ha av det dere vet om sammenhengen mellom regneartene?

HODEREGNING Når vi bruker hoderegning, fins det alltid flere måter å løse oppgavene på, men noen metoder er mer effektive enn andre. I eksemplene og oppgavene får du tips om mulige måter å tenke på.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.3

samarbeid

a Multipliser tallene med 10, 100 og 1000. M U LT I P L I S E R M E D 10

M U LT I P L I S E R M E D 100

M U LT I P L I S E R M E D 1000

500

5000

5 15 53 2,9 0,19 1002 56,78

b Divider tallene med 10, 100 og 1000. D I V I D E R M E D 10

D I V I D E R M E D 100

D I V I D E R M E D 1000

5,9

0,59

590 3400 17 000 9,9 0,5 90,6 5

c Se etter et mønster, og lag en regel dere kan bruke når dere multipliserer og dividerer med 10, 100, 1000.

Oppgave 1.4 a

M U LT I P L I S E R M E D 50

M U LT I P L I S E R M E D 300

M U LT I P L I S E R M E D 2000

250

1500

10 000

5 7 10 500 0,2 0,01 5000

b 15 000 3000 750

D I V I D E R M E D 50

D I V I D E R M E D 300

D I V I D E R M E D 2000

300

7,5

c Hvordan tenkte du da du gjorde oppgave a og b?

• TALLREGNING

eksempel 1 strategier som er nyttige når du regner i hodet Doble og legge til/trekke fra 25 + 28 = 25 + 25 + 3 = 53 58 + 60 = 60 + 60 – 2 = 118 Slik kan du tenke: Doble det ene leddet, og adder eller subtraher det som mangler eller er til overs fra det andre leddet. Doble den ene faktoren og halvere den andre 16 ∙ 5 = 8 ∙ 10 = 80 3,5 ∙ 8 = 7 ∙ 4 = 28 For å sjekke at det første regnestykket stemmer, kan du tenke: 8 ∙ 2 ∙ 5 er det samme som 8 ∙ 10. Multiplisere med 10 og dividere på 2 ( 28 ⋅ 10 ) 28 ⋅ 5 = = 280 : 2 = 140 2 Hvis du skal multiplisere med 5, kan du i stedet multiplisere med 10 og halvere. Legge til eller trekke fra like mye i hvert ledd når du subtraherer 62 – 48 = 64 – 50 = 14 Her kan du tenke: Hvis du legger til 2 i hvert ledd, endrer du ikke differansen. Det er enklere å trekke fra hele tiere. Delelighetsregler Alle partall er delelig med 2. Det er sifferet på enerplassen som avgjør om tallet er et partall eller et oddetall. Alle tall som har 0 eller 5 på enerplassen, er delelig med 5. I alle tall der tverrsummen er delelig med 3, er også tallet delelig med 3. Eksempel: 192 er delelig med 3 fordi 1 + 9 + 2 er lik 12 som er delelig med 3.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.5

samarbeid

Les eksempel 1, og forklar for hverandre strategiene med egne ord. For hver strategi, lag tre regnestykker.

Oppgave 1.6

samarbeid

Lag to regnestykker som dere kan regne ut i hodet, og vis hvilke strategier dere bruker.

Oppgave 1.7

samarbeid

Regn ut 65 – 27 hver for dere. Tenkte dere likt? Lærte dere noe av å lytte til hvordan den andre tenkte?

Oppgave 1.8 Finn svaret ved hoderegning.

a 25 + 27

d 91 – 47

g 158 + 89

j 260 ∙ 5

b 89 + 90

e 120 – 75

h 18 ∙ 5

k 2,5 ∙ 8

c 72 – 28

f 130 – 60

i 5 ∙ 14

l 7,5 ∙ 4

Oppgave 1.9 a Hvilke tall er delelige med 2? 7

356

4827

350

103

b Hvilke tall er delelige med 5? 450

555

556

1009

1005

c Hvilke tall er delelige med 3? 49

1122

612

731

234

• TALLREGNING

Oppgave 1.10

samarbeid

a Regn ut. 20 ∙ 2

20 ∙ 1

20 ∙ 0,5

20 ∙ 0,1

b Hva blir produktene? Skriv i stigende rekkefølge. 10 ∙ 0,6

10 ∙ 1

10 ∙ 1,2

10 ∙ 0,9

10 ∙ 2

10 ∙ 0,5

10 ∙ 0,55

c Hva blir 500 ∙ 0,98? Velg et av svarene nedenfor. • litt mer enn 500 • litt mindre enn 500 • mye mindre enn 500

d 400 ∙ 0,4 = 160 Hva blir da 400 ∙ 0,2

400 ∙ 0,8

400 ∙ 0,6

e Når gjør multiplikasjon svaret mindre? Forklar. Oppgave 1.11 a Regn ut. 20 : 2

20 : 1

20 : 0,5

20 : 0,1

b Hva blir kvotienten? Skriv i stigende rekkefølge. 10 : 0,5

10 : 0,1

10 : 2

10 : 1

10 : 0,2

10 : 2,5

10 : 0,4

c Hva blir 500 : 0,25? Velg et av svarene nedenfor. • litt mer enn 500 • litt mindre enn 500 • mye større enn 500

d 400 : 0,2 = 2000 Hva blir da 400 : 0,1 400 : 0,4

400 : 0,8

e Når gjør divisjon svaret større? Forklar.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

OVERSLAG I mange situasjoner er det for vanskelig å regne nøyaktig ved å bruke hoderegning, for eksempel når vi regner med desimaltall eller store tall. Da er det lurt å gjøre et overslag. Det betyr at vi gjør oss opp en mening om hva svaret omtrent skal bli.

eksempel 2 å gjøre overslag Gjør overslag og finn summen. 15,60 + 16,10 + 2,20 + 8,90 Løsningsforslag 1: Prøv å runde av noen ledd oppover og noen nedover. Her kan vi runde av omtrent like mange ledd opp som ned. 15,60 + 16,10 + 2,20 + 8,90 ≈ 16 + 16 + 2 + 9 = 43 Nøyaktig sum blir 42,80. Runder du av til nærmeste hele tall, blir det 43. Løsningsforslag 2: 15 + 15 + 5 + 10 = 45. Dette er et helt akseptabelt overslag og lett å ta i hodet. Du ville hatt nok penger hvis dette var et overslag du gjorde i butikken.

• TALLREGNING

eksempel 3 å gjøre overslag Gjør overslag og finn differansen. 42,60 – 17,10 Løsning Når du skal subtrahere, er det lurt å runde alle ledd opp eller ned. 42,60 – 17,10 ≈ 40 – 15 = 25 eller 45 – 20 = 25 Nøyaktig svar er 25,50.

Oppgave 1.12

samarbeid

Gjør overslag og regn ut.

a 5,91 + 13,2

d 6,9 + 20,4 + 3,8

b 67,89 – 12,56

e 10 256 + 2041

c 109,7 + 500

f 101,50 – 26,32

Oppgave 1.13 a Du skal kjøpe joggesko til 699 kr, treningsbukse til 449 kr og sokker til 79 kr. Gjør et overslag over hvor mye det koster.

b Regn ut nøyaktig. Hva var forskjellen mellom overslaget og nøyaktig utregning?

eksempel 4 å gjøre overslag Gjør overslag og finn produktet. 86 · 19 Løsning Rund en faktor opp og en ned. 86 · 19 ≈ 100 · 15 = 1500 eller 80 · 20 = 1600 Nøyaktig svar blir 1634.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.14

samarbeid

a Gjør overslag og regn ut. 59 · 7

3 · 87

351 · 9

b Velg et av regnestykkene i oppgave a og lag en praktisk situasjon til regnestykket. Bruk kalkulator og regn ut nøyaktig. Hadde dere gjort et godt overslag?

Oppgave 1.15

samarbeid

7730 . 23 Dere skal nå jobbe med hvordan det er lurt å gjøre overslag når det er divisjon.

Dere har divisjonsstykket 7730 : 23 eller skrevet som brøk

a • Rund av teller og nevner opp, og regn ut. • Rund av teller og nevner ned, og regn ut. • Rund av teller ned og nevner opp, og regn ut. • Rund av teller opp og nevner ned, og regn ut.

b Regn ut hva det nøyaktige svaret blir. c Hvilket av overslagene var nærmest det nøyaktige svaret?

SKRIFTLIG REGNING Når du arbeider med algoritmer, er det ofte lurt å gjøre et overslag før du starter å regne. Det gir deg mulighet til å oppdage feil i regningen.

Oppgave 1.16 Regn ut ved hjelp av algoritmer. I sammendraget på elevnettstedet kan du repetere de ulike algoritmene. Gjør overslag før du regner ut.

a 818 – 335

c 7000 – 89

e 35 ∙ 71

b 4518 + 3645

d 4419 : 3

f 6 ∙ 819

• TALLREGNING

Oppgave 1.17

samarbeid

Regn ut ved hjelp av algoritmer. Gjør overslag før dere regner ut.

a 3,38 + 5,13

c 3,14 + 3,19 + 3,6

e 3,1 ∙ 3,7

b 4,23 – 2,6

d 467 – 71,35

f 344 : 12

g Forklar hvorfor algoritmene dere brukte i oppgave e og oppgave f, gir riktige svar.

Oppgave 1.18

fra eksamen 2015

Regn ut.

a 395 + 1988

b 572 – 479

c 102 · 98

Oppgave 1.19 Gittermetoden er en multiplikasjonsoppstilling som har vært kjent lenge. På figuren ser du hvordan denne metoden brukes for å regne ut 273 ∙ 32 = 8736.

a Studer figuren og prøv å finne ut

d 81 : 0,27 utfordring

2 6

4 7

hvordan denne metoden virker.

b Prøv å bruke metoden på en egen multiplikasjonsoppgave.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

3 2

Oppgave 1.20

fra eksamen

Regn ut.

a 987 + 589

c 345 · 678

b 8643 – 4789

d 32 : 0,64

REGNING I PRAKTISKE SITUASJONER Du møter mange praktiske situasjoner hvor du trenger å gjøre utregninger. Da er ikke regnestykkene gitt, og du må i tillegg til å regne også kunne finne opplysningene du trenger i tabeller, tekst og diagrammer. Du trenger ofte å gjøre flere utregninger for å finne svaret. Husk å gjøre overslag.

eksempel 5 å regne i praktiske situasjoner En pakke med havrekjeks veier 400 gram og koster 29,90 kr. Pakken inneholder 20 havrekjeks. a Hva koster én havrekjeks? b På trinnet til Elin er de 75 elever. Skolen skal på tur og beregner at elevene spiser tre havrekjeks hver. Hva må skolen betale for havrekjeksene de trenger til turen? Løsning a Én havrekjeks koster 29,90 kr : 20 = 1,495 kr ≈ 1,50 kr. b De trenger 75 ∙ 3 havrekjeks = 225 havrekjeks. De må kjøpe 225 : 20 = 11,25 dvs. 12 pakker. Prisen blir da 12 ∙ 29,90 kr = 358,80 kr ≈ 359 kr.

• TALLREGNING

Oppgave 1.21

fra eksamen 2015

På «Bondens marked» selger bonden varer direkte til kundene. VA R E

PRIS

Poteter, løs vekt (1 kg)

10,00 kr

Poteter, sekk (5 kg)

45,00 kr

Blomkål (per stk.)

12,50 kr

Gulrøtter, løs vekt (1 kg)

12,00 kr

Gulrøtter, sekk (10 kg)

90,00 kr

Gårdsegg (1 brett med 20 egg)

40,00 kr

Miriam kjøper 3,5 kg poteter i løs vekt, 2 stk. blomkål og 1 sekk med 10 kg gulrøtter.

a Regn ut hva Miriam må betale til sammen for disse varene. Mikael kjøper gulrøtter (i løs vekt) og 1 brett med gårdsegg. Han betaler i alt 100,00 kr.

b Regn ut hvor mange kilogram gulrøtter (i løs vekt) Mikael kjøper.

Oppgave 1.22

samarbeid

Familien Hole skal på Hardangervidda i oktober når det er høstferie. De er fire personer: mor, far, Arne 16 år og Liv 13 år. De ønsker å leie en hytte i en uke. PRISER: PERIODE

PRIS FOR EN UKE

1.4.–31.5.

2475 kr

1.6.–31.7.

3450 kr

1.8.–31.10.

3300 kr

1.11.–31.1.

1575 kr

1.2.–31.3.

4250 kr

a Hvor mye må familien betale for hytta? b Hvor mye blir det per person? c Hva blir prisen per døgn for familien?

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

d Hva ville prisen blitt per person i den rimeligste perioden? e Hva er differansen mellom å leie en uke i januar og en uke i juli?

Oppgave 1.23 Emilie kjøpte tre skrivebøker og fire pakker med blyanter. Pakkene med blyanter kostet 79 kr per stykk. Til sammen betalte hun 364 kr. Forklar hvorfor prisen på en skrivebok er 16 kr.

Oppgave 1.24

samarbeid

Lag regnefortellinger til regnestykkene under. Lag fasit til oppgavene.

a 598 + 490 + 95

c 26 ∙ 59

b 1000 – 349

d 4800 : 60

• TALLREGNING

Oppgave 1.25

RIK OPPGAVE

Dere skal lage oppgaver knyttet til de ulike opplysningene om «Tour de France». Dere må lage fasit til alle oppgavene.

«Tour de France» er verdens største sykkelritt. Det arrangeres hver sommer og varer i tre uker. Rittet ble arrangert første gang i 1903 og er siden den gang blitt arrangert hvert år, bare avbrutt av verdenskrigene. I 2013 ble rittet arrangert for 100. gang. Nordmenn og «Tour de france» Nordmenn har vunnet seksten etapper i «Tour de France». Dag Otto Lauritzen i 1987 Thor Hushovd i 2002, 2004, 2006 (2), 2007, 2008, 2009, 2010 og 2011 (2) Kurt Asle Arvesen i 2008 Edvald Boasson Hagen i 2011 (2) Alexander Kristoff i 2014 (2). Klær og suvenirer

€ 32.00 € 8.00

€ 95.00 € 53.00

€ 13.00

Premier Det deles ut pengepremier som vanligvis deles mellom rytterne på laget (per 2010) Gul trøye – 450 000 euro Grønn trøye – 25 000 euro Klatretrøye – 25 000 euro Hvit trøye – 20 000 euro Mest aggressive rytter (totalt) – 20 000 euro Etappeseier – 8000 euro Lagkonkurransen – 50 000 euro

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

€ 152.00 € 114.00

REGNING MED NEGATIVE TALL Det er viktig å skille mellom regnetegn og fortegn når vi regner med negative tall. Regnetegnet er det som adderer, subtraherer, multipliserer og dividerer. Mens fortegnet er det som forteller om tallet er negativt eller positivt. -4 fortegn

Vi kan si at positive tall har positivt fortegn. Da tenker vi oss at det egentlig står et usynlig plusstegn foran tallene, men vi skriver ikke plusstegnet. Når vi regner med negative tall, setter vi en parentes rundt for å vise at fortegnet hører til tallet. (–50) + (–20) = (–50) – 20 = –70 Hvis vi bare hadde positive tall, kunne vi ikke funnet svaret på regnestykker som for eksempel 2 – 5 eller 10,5 – 12.

Å addere et negativt tall er det samme som å subtrahere det tilsvarende positive tallet. Å subtrahere et negativt tall er det samme som å addere det tilsvarende positive tallet.

Oppgave 1.26

samarbeid

a Regn ut (–100) – (–10) + 50 + (–150). b Lag en historie om å ha, finne og låne penger til oppgave a.

• TALLREGNING

eksempel 6 å multiplisere og dividere med negative tall Multiplikasjon med et positivt og et negativt tall Du kan tenke penger her også. Du skylder moren din, faren din og broren din 40 kr hver. Hva er gjelden din? 3 ∙ (–40) = –120 Fordi faktorenes orden er likegyldig når vi multipliserer, blir (–40) ∙ 3 = –120 Multiplikasjon av to negative tall Fordi 3 eksemplarer av (–40) pluss (–3) eksemplarer av (–40) må bli 0, må 3 ∙ (–40) +(–3) ∙ (–40) = 0. Det betyr at (–3) ∙ (–40) = 120 Divisjon med negative tall Divisjon er det omvendte av multiplikasjon, og ved å se på reglene for multiplikasjon får du alle regler du trenger for å dividere med negative tall. (–12) : 4 = –3 fordi (–3) ∙ 4 = –12 20 : (–10) = –2 fordi (–2) ∙ (–10) = 20 (–15) : (–5) = 3 fordi 3 ∙ (–5) = (–15)

Å multiplisere et positivt tall med et negativt tall gir et negativt tall som svar. Å multiplisere et negativt tall med et positivt tall gir et negativt tall som svar. Å multiplisere et negativt tall med et negativ tall gir et positivt tall som svar.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.27

RIK OPPGAVE

Indiske matematikere ble gitt æren for å ha «oppdaget» tallet null, og den neste utfordringen de arbeidet med, var å håndtere størrelser mindre enn null. Folk forsto at noe kunne være mindre enn null, for eksempel hvis de ikke hadde nok penger til å betale det de skyldte. Men ideen om at disse beløpene representerte tall, var noe helt nytt i forhold til datidens tenkemåte. Det var den indiske matematikeren Brahmagupta som definerte disse tallene og hvordan man skulle forstå dem. Brahmagupta innså at negative tall er et abstrakt begrep. Det som er mindre enn ingenting, kan ikke eksistere fysisk. Men han kom også fram til at det går an å regne med negative tall ved å bruke samme regler som brukes når man regner med positive tall. Brahmagupta brukte begrepet «formue» om positive tall. Negative tall kalte han «gjeld». Med 11 enkle setninger la Brahmagupta fram de første reglene for regning med positive og negative tall.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

En gjeld minus null er en gjeld. En formue minus null er en formue. Null minus null er null. Null minus en gjeld er en formue. Null minus en formue er en gjeld. Produktet av null multiplisert med en gjeld er null Produktet av null multiplisert med null er null. Produktet av to formuer er en formue. Produktet av to gjelder er en formue. Produktet av en gjeld og en formue er en gjeld. Produktet av en formue og en gjeld er en gjeld.

a Lag praktiske eksempler til de 11 setningene. b Skriv tilsvarende regler for å regne med negative tall med de begrepene vi bruker i dag.

• TALLREGNING

Oppgave 1.28

samarbeid

Regn ut. Bruk gjerne tallinja som hjelp.

a 4 – (–9)

c (–1) – 4

e 9 · (–2,1)

b (–3) + 1

d (–5) – (–4)

f (–0,1) · (–0,1)

a 150 – (–125)

c (–53) + (–22)

e (–200) : 5

b (–71) – 19

d (–43) – (–12)

f (–10) : (–5)

Oppgave 1.29 Regn ut.

Oppgave 1.30 Du skylder foreldrene dine 300 kr. I tillegg skylder du bestemoren din 150 kr.

a Lag et regnestykke som viser hva gjelden din er, og regn ut. I kantinen på skolen betaler du hver fredag for det du har kjøpt i løpet av uka. En uke kjøper du et rundstykke hver skoledag. Det koster 25 kr.

b Lag et regnestykke som viser hva du skylder fredagen, og regn ut.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

FAKTORISERING OG PRIMTALLSFAKTORISERING Oppgave 1.31 Faktoriser tallene i to faktorer. Hvor mange muligheter fins det? Tegn gjerne rektangler.

a 8

b 12

c 17

d 96

eksempel 7 å primtallsfaktorisere Når vi faktoriserer slik at alle faktorene er primtallsfaktorer, kalles det primtallsfaktorisering. Det er flere måter å notere på når du skal primtallsfaktorisere et tall. Primtallsfaktoriser tallet 24. Løsning 24 12 6 3 1

2 2 2 3

24 = 2 . 2 . 2 . 3

24 2 12 2

6 2 3 3 1

Oppgave 1.32 Primtallsfaktoriser 12

100

178

1020

Oppgave 1.33

samarbeid

a Hvordan kan dere finne ut om tallene har 5 som faktor? 32

501

1050

b Hvilke andre primtallsfaktorer har disse tallene i tillegg til faktoren 5?

c Hvilke primtallsfaktorer har de tallene som ikke har 5 som faktor?

• TALLREGNING

HVA KAN DU NÅ om tallregning? 1

Finn svaret ved hoderegning.

a 3,5 · 200

b 97 + 499

c 50 · 2000

a 3,4 · 6,4

c (–5) · (–0,2)

e 1,15 · 3,6

b 4,2 : 1,2

d 100 : 0,16

f 2:3

Regn ut.

Et kjøttstykke som veier 5 kg, koster 399 kr. Hva er kiloprisen?

Primtallsfaktoriser tallene

a 90

b 154

Lag en regnefortelling, altså en praktisk matematikkoppgave, som kan løses ved å sette opp regnestykket 2,6 · 28,90

c 999

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

1B TALLMENGDER OG TALLINJA BEGREPER tallinje reelt tall tallmengde mengde naturlig tall helt tall rasjonalt tall irrasjonalt tall

Etter dette delkapitlet skal du kunne • plassere tall på tallinja • forklare hva som menes med et primtall, et partall, et oddetall og et irrasjonalt tall • kjenne til tallmengdene b av naturlige tall, _ av hele tall, a av rasjonale tall og ^ av reelle tall, og kunne forklare hvilke typer tall de består av • forklare hva som menes med en delmengde • konstruere kvadratroten av 2

partall oddetall primtall sammensatt tall periodisk desimaltall kvadrattall element

Alle tallene vi regner med i grunnskolen, har hver sin plass på tallinja. Du har tidligere lært deg å plassere positive tall, negative tall, desimaltall og brøker på tallinja. Vi tenker oss at til og med tall som har uendelig mange desimaler forskjellig fra 0, slik som π, får plass her. /

delmengde venndiagram

-3

-2

-1

Alle tallene på tallinja kalles med en fellesbetegnelse reelle tall, ^ .

Oppgave 1.34 Tegn en tallinje, og plasser tallene så nøyaktig du klarer. 4,3

–0,5

0,9

–1,6

3,1

Oppgave 1.35 Tegn en tallinje som går fra 3,00 til 3,20. Lag en strek for hver av hundredelene. Plasser så tallene så nøyaktig du klarer.

a 3,1

c 3,03

e 3,14

b 3,18

d 3,06

f π

• TALLMENGDER OG TALLINJA

ULIKE TYPER TALL På tallinja finner du mange ulike typer tall. Vi kan skaffe oss oversikt ved å organisere tallene i ulike tallmengder. En mengde er bare rett og slett en samling av ting.

• Tallene 1, 2, 3, 4, ... kalles naturlige tall. Mengden av alle disse tallene skrives b .

• Tall som ikke har desimaler forskjellig fra 0, kalles hele tall. Hele tall kan være både positive og negative. Eksempler på hele tall er 4, –8 og –10 001. Tallet 0 er også et helt tall. Mengden av alle hele tall skrives _ . n av hele tall n og m, m kalles rasjonale tall. Mengden av alle rasjonale tall skrives a . 3 17 Eksempler på rasjonale tall er " 0,75 og " 5,66666... 4 3

• Tall som kan skrives som en brøk

• Reelle tall som ikke er rasjonale, det vil si at de ikke kan skrives som en brøk av hele tall, kalles irrasjonale tall. Eksempler er 5 og π.

• De naturlige tallene 2, 4, 6, 8, 10, ... kalles partall. Karakteristisk for dem er at de er delelige på 2. Det betyr at dersom man deler dem på 2, så blir svaret et helt tall.

• De naturlige tallene 1, 3, 5, 7, 9, ... kalles oddetall. • Naturlige tall som er større enn 1 og som bare er delelige på 1 og seg selv, kalles primtall.

• Naturlige tall som ikke er primtall, kalles sammensatte tall.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.36

samarbeid

Avgjør hvilke av utsagnene som er sanne. Diskuter med sidemannen. Begrunn svarene deres muntlig.

a b c d e f g h i

Et partall er alltid et naturlig tall. Et naturlig tall er alltid et partall. Et helt tall er alltid et rasjonalt tall. Null er et rasjonalt tall. Et reelt tall er alltid et rasjonalt tall. Et primtall er alltid et oddetall. Et oddetall er alltid et primtall. Et sammensatt tall er alltid et partall. Et sammensatt tall er aldri et primtall.

RASJONALE TALL Rasjonale tall er tall som kan skrives som brøker med hele tall i teller og nevner. Men brøker er også divisjonsstykker. Derfor kan alle rasjonale tall gjøres om til desimaltall ved å dividere. Eksempler: 3 " 0,6 5

−

23 = −2,09090909... = −2,09 11

Du kan gjøre slike divisjoner for eksempel ved å bruke kalkulator. Du vil da oppdage at de to eksemplene over er typiske: Enten blir svaret et tall med et endelig antall desimaler, eller så får du en endeløs rekke av desimaler som gjentar seg i et mønster med fast lengde.

Oppgave 1.37 Skriv disse rasjonale tallene som desimaltall ved å dividere på kalkulator. Hvis det ser ut til at du får et svar med uendelig mange desimaler, så skriv opp mønstret som gjentar seg.

3 15

80 9

1 3

5 8

3 11

8 7

• TALLMENGDER OG TALLINJA

Oppgave 1.38

utfordring

Som du leste i teksten på side 33 viser det seg at hvis du skriver et rasjonalt tall som desimaltall ved å dividere, så vil svaret enten få et endelig antall desimaler ulik 0, eller så vil rekka av desimaler bli såkalt periodisk, dvs. at den gjentar et mønster med fast lengde uendelig mange ganger. Prøv å finne ut hvorfor. Hint: Tenk på hvordan det går hvis du gjør divisjonen for hånd. Hvor mange ulike rester kan du få? Hva skjer hvis du får en rest du har hatt før?

Oppgave 1.39

utfordring

a Forklar hvorfor tallet 0,101001000100001000001... (uendelig mange desimaler, mønstret fortsetter) må være et irrasjonalt tall.

b Lag deg et eget eksempel på et irrasjonalt tall. Oppgave 1.40 a Bruk kalkulator og utfør divisjonene 1 2 3 , , 11 11 11

b Beskriv mønstret du ser. c Hva tror du

4 blir? 11

IRRASJONALE TALL Det gamle Hellas hadde allerede en rik matematisk kultur for ca. 2000 år siden. Grekerne likte godt å arbeide med hele tall og brøker, altså det vi i dag kaller rasjonale tall. Det var derfor et sjokk for dem å oppdage det fins tall som kan plasseres på tallinja, men som ikke kan skrives som en brøk. En vei slike tall sniker seg inn, er via kvadratrøtter.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Et positivt tall a kalles kvadratroten av et tall b hvis a 2 " b . Vi skriver da a " b . For å ﬁnne kvadratroten av et tall skal du altså ﬁnne det positive tallet som multiplisert med seg selv, blir tallet du startet med.

Oppgave 1.41 Finn kvadratrøttene ved å bruke kalkulator. Sjekk i hvert tilfelle at svaret multiplisert med seg selv blir lik tallet du startet med.

169

Gjorde du deloppgave c i forrige oppgave, så du kanskje at kvadratroten av 2 ikke ser ut til å bli et rasjonalt tall, for desimalene ser ikke ut til å gjenta seg. Man kan bevise at det faktisk er slik. Kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall. Se oppgave 1.43.

Oppgave 1.42 a Regn ut. 4

100

b Regn ut. Bruk kalkulator. 6

180

c Gi eksempler på når du trenger å finne kvadratroten av et tall. d Hva menes med et kvadrattall?

Kvadrattall er et tall som gir et helt tall til svar når vi tar kvadratroten av tallet. Faktisk er det slik at kvadratroten av alle naturlige tall som ikke er kvadrattall, blir irrasjonale tall. Det betyr at 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 alle er irrasjonale tall.

• TALLMENGDER OG TALLINJA

Oppgave 1.43

utfordring

I denne oppgaven skal vi se at man kan konstruere kvadratroten av 2 med passer og linjal.

a Tegn en tallinje, og marker bare punktet 0 (origo). b Ta en passe stor åpning i passeren, plasser spissen i origo og slå en sirkel. Der sirkelen skjærer tallinja til høyre for 0, plasserer du tallet 1.

c Oppreis en normal i tallet 1 på tallinja. d Ta avstanden fra 0 til 1 i passeren, og sett passerspissen i punktet 1 på tallinja. Slå en sirkel.

e Der hvor sirkelen fra oppgave d skjærer normalen ovenfor tallinja, ligger punktet (1 , 1). Slå en sirkel med sentrum i origo som går gjennom punktet (1 , 1).

f I det punktet til høyre for 1 på tallinja din der sirkelen fra oppgave e skjærer gjennom, ligger tallet

2 . Hvorfor?

Hint: Bruk Pytagoras’ setning på trekanten med hjørner i (0 , 0), (1 , 0) og (1 , 1).

Oppgave 1.44 Skriv minst fem irrasjonale tall.

Oppgave 1.45

utfordring

a Bruk kalkulator og regn ut 3. Er 3 et irrasjonalt tall?

b Konstruer et linjestykke som har lengden 3 .

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

SKRIVEMÅTER FOR MENGDER Vi kan beskrive en mengde ved å liste opp tingene som er i den. Det er vanlig å bruke krøllparenteser { } foran og bak når vi lister opp elementene i en mengde. Som eksempel kan vi ta mengden som består av de tre tallene 2, 4 og 6. Den kan vi skrive slik: {2, 4, 6} Et annet eksempel er mengden b av alle naturlige tall. Den kan vi skrive b = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, ...} Prikkene betyr at lista av tall skal fortsette uendelig langt oppover. Tallene som er med i mengden b , kalles elementer i mengden. For eksempel er 3 et element i b . Det kan vi skrive 3 b

Oppgave 1.46

samarbeid

Avgjør om utsagnene er sanne eller usanne.

a 10 _

d π b

b −2 ∈_

e π a

c −2 ∈b

f π ^

At A er en delmengde av B, kan vi illustrere slik: A

Poenget er at A ligger inneholdt i mengden B. Et slikt diagram kalles et venndiagram.

En mengde A kalles en delmengde av mengden B hvis alle elementene i A også er elementer i B. Vi skriver da A B .

• TALLMENGDER OG TALLINJA

eksempel 8 delmengde Mengden A = {1 , 2 , 3} har bare tre elementer. Den er en delmengde av » fordi alle elementene i A er naturlige tall. . Vi skriver A

Venndiagrammet nedenfor er ment å illustrere at . Disse tallmengdene ligger inne i hverandre som delmengder. », naturlige tall, er en delmengde av , hele tall, som igjen er en delmengde av ,, rasjonale tall, som igjen er en delmengde av , relle tall.

Oppgave 1.47

samarbeid

I denne oppgaven skal vi sette navn på noen flere av tallmengdene vi har sett på. Vi lar PAR være mengden av partall, ODDE være mengden av oddetall, PRIM være mengden av primtall, SAM være mengden av sammensatte tall og IRR være mengden av irrasjonale tall. Avgjør hvilke av utsagnene som er sanne. Diskuter med sidemannen. Begrunn svarene deres muntlig.

a b PAR c d e f PRIM

IRR

g IRR h SAM

Kapittel 1

PAR

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.48

samarbeid

Dere har tallet 0,3333... Hvis vi setter a = 0,3333..., så blir 10a = 3,3333...

a Regn ut 10a – a. 1 3

b Vis at a = . Oppgave 1.49

utfordring

Vi har sett at hvis du skriver et rasjonalt tall som et desimaltall ved å utføre divisjonen, så blir desimaltallet periodisk. Dette betyr at desimaltallet gjentar seg med en viss periode fra et visst punkt av. I denne oppgaven skal vi se at denne sammenhengen gjelder omvendt vei også: Vi skal se på en metode som viser at alle periodiske desimaltall kan skrives som en brøk av hele tall. La oss starte med det periodiske desimaltallet a = 5,327272727... Her er det mønstret 27 som gjentar seg. Først multipliserer vi med 10 for å flytte desimalkommaet dit desimalene begynner å gjenta seg: 10a = 53,27272727... Så multipliserer vi med 100 for å flytte desimalkommaet videre bak første eksemplar av blokken som gjentar seg: 1000a = 5327,272727...

a Begrunn at vi nå har 1000a – 10a = 5274. b Bruk likningen i oppgave a til å skrive a som en brøk av hele tall.

c Bruk samme metode til å skrive tallene 4,121212... og 78,0012341234... som brøker av hele tall.

• TALLMENGDER OG TALLINJA

HVA KAN DU NÅ om tallmengder og tallinja? 1

Tegn en tallinje, og plasser tallene på den. 5 π –3 6,2 –0,8 4

Skriv et tall som ligger mellom 4,5 og 4,49 på tallinja.

a Hva betyr de ulike symbolene i venndiagrammet? b Gi eksempler på tall som tilhører de ulike mengdene.

Hvilke utsagn er riktige?

a b c d

5 Regn ut 121.

Skriv tallet 1,33333333... (her kommer det uendelig mange 3-ere) som en brøk med hele tall som teller og nevner.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

1C ENHETER OG MÅLING BEGREPER grunnenhet forstavelse tierpotens tall på standardform sammensatt enhet strekning gjennomsnittsfart massetetthet

Etter dette delkapitlet skal du kunne • regne med grunnenhetene meter, gram og sekund • bruke forstavelser for enheter, og regne om mellom enheter • regne med sammensatte enheter, blant annet enheter for fart og massetetthet • arbeide med tall på standardform, og kjenne reglene for gjeldende sifre • runde av tall på en hensiktsmessig måte

måleusikkerhet gjeldende sifre avrunding

F O R S TAV E L S E

ENHETER, TIERPOTENSER OG FORSTAVELSER Tabellen viser de vanligste forstavelsene man bruker sammen med enheter. Tallene er skrevet ved hjelp av tierpotenser, altså tall på formen 10n der eksponenten n er et helt tall. 103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 1 1 1 1 10−3 = = ⋅ ⋅ = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 = 0,001 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 10 10 F O R K O RT E L S E

TIERPOTENS

N AV N

tera

10 = 1 000 000 000 000

billion

giga

109 = 1 000 000 000

milliard

mega

million

10 = 1 000 000

kilo

10 = 1000

tusen

hekto

102 = 100

hundre

deka

10 = 10

desi

10−1 =

1 1 = = 0,1 101 10

tidel

centi

10−2 =

1 1 = = 0,01 102 100

hundredel

milli

10−3 =

1 1 = = 0,001 103 1000

tusendel

mikro

10−6 =

1 1 = = 0,000 001 106 1 000 000

milliondel

nano

10−9 =

1 1 = = 0,000 000 001 109 1000 000 000

milliarddel

piko

10−12 =

1 1 = = 0,000 000 000 001 1012 1 000 000 000 000

•

billiondel

ENHETER OG MÅLING

eksempel 9 omgjøring av målenheter Gjør om. a 8,4 kg til hg. b 45 GB til kB. c 100 kWh til GWh. d 3500 kg til tonn. e 7,8 mil til km. Løsning a Forstavelsen k betyr 1000, og forstavelsen h betyr 100. Vi setter dette inn: 8,4 kg = 8,4 · 10 · hg = 84 hg b Byte er en målenhet for datalagring. Forstavelsen G betyr 1 000 000 000. Forstavelsen k betyr 1000. Vi setter inn 45 GB = 45 000 000 000 B = 45 000 000 · 1000 B = 45 000 000 kB c Wh (watt-timer) er en enhet for elektrisk energi. Vi får 100 kWh = 100 · 1000 Wh = 0,0001 · 1 000 000 000 Wh = 0,0001 GWh d 1 tonn (t) er 1000 kg = M g 3500 kg = 3,5 · 1000 kg = 3,5 t e 1 mil er 10 km. Vi får 7,8 mil = 7,8 · 10 km = 78 km

Oppgave 1.50 Gjør om.

a 4,1 km til m b 1 km til cm

c 3,78 m til cm d 3,78 m til mm

e 3,4 cm til m f 2 Mm til Tm

Oppgave 1.51 Gjør om.

a 1,3 gram til kg b 1 cm til nm c 4 Tm til cm

Kapittel 1

d 0,81 t til kg e 3,42 TB til GB f 864 kWh til Wh

• TALL OG TALLREGNING

TALL PÅ STANDARDFORM Når vi snakker om astronomi, trenger vi store tall. Når vi studerer celler i mikroskop eller skal måle størrelsen på atomer trenger vi veldig små tall. Avstanden mellom jorda og månen er ca. 384 400 000 meter. Røde blodceller har en diameter på 0,000003 meter. Både store og små tall er vanskelige å lese og oppfatte. Slike tall blir mer oversiktlige når vi skriver dem på standardform. Standardform Å skrive et tall på standardform betyr å skrive det på formen a 10n der a er et tall som er minst like stort som 1 og mindre enn 10. Eksponenten n skal være et helt tall. Den kan være både positiv og negativ.

•

ENHETER OG MÅLING

eksempel 10 å skrive tall på standardform a Skriv tallet 384 400 000 på standardform. b Skriv tallet 0,000003 på standardform Løsning a Vi faktoriserer ut 10-ere inntil tallet vi står igjen med, ligger mellom 1 og 10. 384 400 000 = 3,844 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 3,844 · 108 Tallet skrevet på standardform er altså 3,844 · 108. b Vi faktoriserer ut 0,1-ere inntil tallet vi står igjen med, ligger mellom 1 og 10. 0, 000003 = 3 ⋅

1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 3 ⋅ 6 = 3 ⋅ 10−6 10 10 10 10 10 10 10

Tallet skrevet på standardform er altså 3 · 10-6.

Oppgave 1.52 Skriv tallene på standardform.

a 2000

d 0,2

b 78 000

e 0,03

c 900 000

f 0,006

Oppgave 1.53 Skriv tallene på vanlig form.

a 6 · 102

d 4,5 · 10–1

b 7,2 · 103

e 1,5 · 10–2

c 6,3 · 1013

f 5,9 · 10–3

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

REGNING MED SAMMENSATTE ENHETER En sammensatt enhet er satt sammen av to eller flere enheter. Eksempler: m/s: meter per sekund. Dette er en enhet for fart satt sammen av enhetene m og s. km/h: kilometer per time. Denne er satt sammen av enhetene km og h (time).

eksempel 11 å gjøre om fra km/h til m/s En bil kjører i 110 km/h. Hva er farten målt i meter per sekund? Løsningsmetode 1: Algebraisk regning Vi kan skrive den skrå brøkstreken i km/h horisontalt og regne slik: 1000 m 1000 m 1 m 110 m km = 110 = 110 ⋅ = 110 ⋅ = 110 h 3600 s 3600 s 3, 6 s 3, 6 s ≈ 30, 6 m s Her brukte vi at 1 time er 60 · 60 = 3600 sekunder. I regninger som siste overgang er det greit å bruke kalkulator. Løsningsmetode 2: Bilen kjører 110 km på én time. Siden 1 km er 1000 m, betyr dette at den kjører 110 000 m på én time. Vi vet at én time er 60 · 60 = 3600 sekunder, så bilen kjører 110 000 m på 3600 sekunder. 110 000 ≈ 30, 6 3600 betyr dette at bilen kjører med fart 30,6 m/s.

Siden

Oppgave 1.54 Gjør om farten til m/s.

a 50 km/h

b 1 km/h

c 178 km/h

•

ENHETER OG MÅLING

eksempel 12 å gjøre om fra m/s til km/h En dag er vindfarten 12 m/s. Hva tilsvarer dette i km/h? Løsningsmetode 1: Algebraisk regning Vi kan skrive den skrå brøkstreken i m/s horisontalt og regne slik: 0, 001 km m 3600 ⋅ 0, 001 km 3, 6 km = 12 ⋅ = 12 ⋅ = 12 ⋅ h s s 3600 s km = 12 ⋅ 3, 6 ≈ 43,2 km/h h

Merk deg trikset i andre overgang: Vi utvider brøken med 3600 oppe og nede fordi vi vil ha en hel time (h) i nevneren. Og vi vet at 1 time er 60 · 60 = 3600 sekunder. Løsningsmetode 2: Siden vinden blåser 12 meter på 1 sekund, kan vi regne ut hvor mange meter lufta beveger seg ved å regne: 12 · 60 · 60 = 43 200 Siden 1 km er 1000 meter, er dette 43,2 km. Farten er altså 43,2 km/h.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.55 Gjør om farten til km/h.

a 50 m/s

b 1 m/s

c 0,78 m/s

Oppgave 1.56

samarbeid

Det fins en huskeregel for omregning mellom km/h og m/s, nemlig følgende: For å gå fra m/s til km/h, multipliser med 3,6. For å gå fra km/h til m/s, divider med 3,6. Prøv denne regelen på oppgavene ovenfor. Prøv så å finne ut hvorfor regelen blir slik.

STREKNING, FART OG TID Gjennomsnittsfart er definert som strekning dividert på tid. Som symbol for gjennomsnittsfart brukes vanligvis v (engelsk: velocity). Som symbol for strekning brukes s, og som symbol for tid brukes t. Vi har da s v" t Hvis vi multipliserer med t på begge sider av likhetstegnet og snur likningen, får vi sammenhengen i boksen under.

Hvis strekningen er s, gjennomsnittsfarten er v og tiden t, så har vi s=v·t

I oppgaver som har med dette å gjøre, er det typisk at du kjenner to av de tre størrelsene som inngår i likningen s = v ⋅ t . Du kan da sette inn det du vet og finne den tredje. Vi skal se på to ulike måter man kan gjøre dette på.

•

ENHETER OG MÅLING

Metode 1: Sørg først for at enhetene stemmer overens. Hvis farten er i m/s, må strekningen være i meter og tiden i sekunder. Sett så inn tallene uten enheter i likningen s = v ⋅ t , løs og oppgi svaret med enhet til slutt. Metode 2 (algebraisk metode): Sett inn de tallene du har i likningen, med enheter, og løs likningen. Gjør så om til enhetene du skal ha til slutt, hvis det trengs.

eksempel 13 å finne gjennomsnittsfart En bil kjører 450 km på 6 timer. Hva er gjennomsnittsfarten? Løsningsmetode 1: Enhetene stemmer overens. Her kjenner vi s og t. Vi setter inn i likningen s = v · t. 450 = v · 6 Vi løser denne likningen med v som ukjent. Vi dividerer da med 6 på begge sider og får 450 v= = 75 6 Gjennomsnittsfarten er altså 75 km/h. Løsningsmetode 2: Vi setter inn det vi vet, i likningen s = v · t, med enheter: 450 km = v · 6 h Dividerer vi denne likningen med 6 h på begge sider, får vi v=

450 km 450 km = = 75 km/h 6h 6 h

Oppgave 1.57 Christine skal kjøre til et sted som ligger 243 km unna. Hun håper å komme fram om 4 timer. Hvilken gjennomsnittsfart må hun kjøre med for å komme fram i tide?

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.58 Et fly kjører med fart 950 km/h i forhold til bakken. Hvor lang tid bruker flyet på å bevege seg 100 mil?

Oppgave 1.59 Et romskip beveger seg 1 mil på 5 sekunder. Finn farten til romskipet målt i km/h.

MASSETETTHET En terning laget av bly veier mer enn en like stor terning laget av lett plast. Dette skyldes at bly har større massetetthet enn plast. Massetetthet måles med den sammensatte enheten kilogram per kubikkmeter, som vi kan skrive kg/m3. Hvis et stoff har massetetthet 10 kg/m3, altså 10 kg per kubikkmeter, så veier en terning på 1 kubikkmeter 10 kg. Dette er svært lite. Til sammenlikning har bly massetetthet omtrent 113 400 kg/m3. Siden 1 tonn er 1000 kg, betyr dette at 1 kubikkmeter rent bly veier 113,4 tonn.

•

ENHETER OG MÅLING

Du ﬁnner massetettheten av et stoff ved å dividere massen på volumet. Hvis massen er målt i kg og volumet i m3, blir enheten for massetettheten kg/m3 (kilogram per kubikkmeter) Hvis massen er målt i gram (g) og volumet i kubikkcentimeter (cm3), blir enheten for massetettheten g/cm3 (gram per kubikkcentimeter)

eksempel 14 å regne ut massetetthet En kanonkule veier 11 kg. Volumet er 0,0014 m3. Finn massetettheten. Løsning 11 kg masse = " 7857, 14 kg/m 3 volum 0, 0014 m 3

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.60 Finn massetettheten i hvert tilfelle. Bruk gjerne kalkulator.

a Massen er 6000 kg, og volumet er 2,00 m3. b Volumet er 0,05 m3, og massen er 200 kg. c 2,0 cm3 av stoffet veier 40 gram. Oppgave 1.61 Gull har massetetthet 19,3 g/cm3. Hvor mye veier en gullklump med volum 4,00 cm3?

Oppgave 1.62 Tora skal støpe lys. Hun har en form med volum 0,35 L. Stearin har massetetthet 0,90 g/cm3. Tora skal veie opp passende mengde stearin til dette lyset. Hvor mye stearin trenger hun?

MÅLEUSIKKERHET OG GJELDENDE SIFRE I forbindelse med måling og regning med tall som er usikre, er begrepet gjeldende sifre viktig.

eksempel 15 å finne gjeldende sifre Tallet 6,743 har fire gjeldende sifre. Tallet 6,74 har tre gjeldende sifre. Tallet 13 har to gjeldende sifre. Tallet 2,49 · 1017 har tre gjeldende sifre. Tallet 10,0 har tre gjeldende sifre. Tallet 10 har to gjeldende sifre. Tallet 1 · 101 har ett gjeldende siffer. Tallet 0,0061 har to gjeldende sifre (tallet starter med tre nuller).

•

ENHETER OG MÅLING

Gjeldende sifre Antall gjeldende sifre i et tall er antall sifre i tallet minus antall nuller tallet starter med. Hvis et tall er skrevet på standardform a · 10n , så er antall gjeldende sifre lik antall sifre i a.

Oppgave 1.63 Finn antall gjeldende sifre i disse tallene:

a 0,34

c 50

e 7,5 · 104

b 0,034

d 5000

f 7,500 · 104

Oppgave 1.64 Skriv tallet 1000 med to gjeldende sifre.

Når du måler en størrelse, må du oppgi svaret slik at bare de sifrene du er sikker på, blir gjeldende sifre. Du må altså ikke oppgi tallet med flere gjeldende sifre enn du har dekning for.

Tommelfingerregel for regning med målte tall 1. Hvis du multipliserer eller dividerer målte tall, bør du ikke oppgi svaret med flere gjeldende sifre enn det minste antall gjeldende sifre som fins blant tallene du regner med. 2. Hvis du adderer eller subtraherer målte tall, bør du ikke oppgi svaret med flere desimaler enn det minste antall desimaler som fins blant tallene du regner med.

Oppgave 1.65 Du vil finne arealet av gulvet på rommet ditt. Gulvet er rektangelformet, og du måler sidelengdene til å være 3,15 m og 3,8 m. Hva blir arealet? Oppgi svaret med korrekt antall gjeldende sifre.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.66 Du har tre planker som du måler har lengder 5,13 m, 0,94 m og 3,85 m. Hvor langt rekker disse tre hvis du legger dem ned etter hverandre? Oppgi svaret med korrekt antall gjeldende sifre.

Oppgave 1.67

samarbeid

utfordring

a Hva vil svaret på forrige oppgave vært dersom du skulle oppgi det med det minste antall gjeldende sifre som forekom blant de tre tallene vi regnet med? Ville det vært rimelig å oppgi svaret slik? Begrunn.

b Forklar hvorfor det er nødvendig å ha to ulike punkter i tommelfingerregelen på side 52.

•

ENHETER OG MÅLING

HVA KAN DU NÅ om enheter og måling? 1

Gjør om til km. 5m

6 cm

Skriv tallene på standardform. 0,14

1001

0,0003

Skriv tallene på vanlig form. 4,5 · 103

3000 Wh

Telefonen din har 32 GB lagringsplass. Du har lyst til å lagre 1000 bilder på telefonen som hvert er på 20 Mb. Hvor mye plass har du i igjen til å lagre andre ting på telefonen?

78,3

7 mm

Gjør om til kWh. 0,2 MWh

1 Mm

Kapittel 1

1 · 10–4

5 · (1,1 · 10–1)

• TALL OG TALLREGNING

En bil kjører med en fart på 53 km/h. Hva er farten i m/s?

En plate laget av polystyren (omtrent som isopor) veier 2,3 kg. Anta at massetettheten av polystyren er 24 kg/m3. Hva er volumet av plata, regnet i cm3? Du kan bruke kalkulator.

Et godstog kjører 35 mil på 7 timer. Finn togets gjennomsnittsfart målt i km/h.

Du har målt lengde og bredde av en rektangulær treplate til å være henholdsvis 23,5 cm og 40,2 cm. Finn areal og omkrets for plata, avrundet til riktig antall gjeldende sifre. Du kan bruke kalkulator.

HVA KAN DU NÅ ?

1D BRØKREGNING Etter dette delkapitlet skal du kunne • forklare sammenhengen mellom brøk og divisjon • forklare sammenhengen mellom brøker og desimaltall • addere og subtrahere brøker ved å ﬁnne felles nevner • multiplisere og dividere brøker • forklare begrepene ekte, uekte og brudden brøk

BEGREPER ekte brøk uekte brøk avrunding brudden brøk hovedbrøkstrek fellesnevner likeverdige brøker utvide forkorte minste felles multiplum

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.68

samarbeid

Læring er en aktiv prosess, og forskere har funnet at læring er mest effektiv dersom vi klarer å aktivere forkunnskapene våre. Det betyr at vi må hente fram det vi allerede kan om et tema, og så bygge videre på disse forkunnskapene. Dere skal nå hente fram de kunnskapene dere har om brøk. Helt fra dere gikk på barnetrinnet har dere jobbet med brøk på ulike måter. Dere kjenner sikkert mange begreper om brøk. Start med å skrive brøk i en boble, og bygg videre med begreper og eksempler. Bruk begrepslista, og se hvor mange av disse begrepene dere klarer å forklare og gi eksempler til.

EN BRØK ER DET SAMME SOM EN DIVISJON 10 betyr det samme som 10 : 4. 4 1 betyr det samme som 1 : 3. 3 Hvis telleren er mindre enn nevneren, kalles brøken en ekte brøk. Den kan da tolkes som en brøkdel av en helhet. Hvis telleren er større enn nevneren, kalles brøken uekte brøk. Den kan da tolkes som et antall brøkdeler av en enhet. 10 For eksempel kan tolkes som 10 firedels pizzaer, altså 10 4 kvarte pizzaer. Her er det 1 hel pizza som er «enheten».

•

BRØKREGNING

Oppgave 1.69

samarbeid

Denne oppgaven skal hjelpe dere med å repetere begreper.

a Tegn et rektangel, del rektanglet inn i 6 like store deler 5 av rektanglet. 6 b Hvor stor del er ikke fargelagt? og fargelegg

c Del alle de seks delene av rektanglet i to like store deler. d Hvor mange deler er nå fargelagt? e Hva betyr det at to brøker er likeverdige? f Lag en tallinje og marker hvor

1 er på tallinja. 4

1 som en divisjon og skriv svaret som desimaltall. 4 1 h Illustrer brøken som del av en helhet. 4 i Forklar hva begrepene teller, nevner og brøkstrek betyr. Dere kan gjerne bruke et eksempel.

g Regn ut

Oppgave 1.70 Regn ut brøkene ved å oppfatte dem som divisjonsstykker. Bruk gjerne kalkulator. Avgjør om brøkene er ekte eller uekte brøker.

1 4

Kapittel 1

3 4

437 190

• TALL OG TALLREGNING

16 5

1 3

2 4

Oppgave 1.71 Plasser brøkene fra forrige oppgave på en tallinje.

Oppgave 1.72 6 11

8 8

13 12

samarbeid 3 7

3 6

7 14

5 8

101 100

1 4

10 16

1 ? 2 b Hvordan tenker dere når dere avgjør om en brøk er 1 • mindre enn 2 1 men mindre enn 1 • større enn 2 • lik 1

a Hvilke brøker er mindre enn

• større enn 1

c Hva kalles en brøk som er større enn 1? d Har noen av brøkene samme verdi, det vil si at de er likeverdige brøker?

SAMMENHENGEN MELLOM BRØKER OG DESIMALTALL Oppgave 1.73

samarbeid

Skriv brøkene som desimaltall.

3 10

9 1000

1 2

1 100

999 1000

1 4

Oppgave 1.74

samarbeid

Skriv desimaltallene som brøk.

a 0,02

c 0,001

e 2,13

b 0,7

d 0,123

f –0,16

•

BRØKREGNING

De fleste brøker gir desimaltall med uendelig mange desimaler forskjellig fra null. Da må vi avrunde.

eksempel 16 brøker og avrunding Skriv disse brøkene som desimaltall. Rund av til to desimaler. 1 3

1 6

7 11

Løsning 1 = 0, 333333 … ≈ 0,33 3 1 = 0, 166666… ≈ 0,17 6 7 " 0, 636363 … ≈ 0,64 11 Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 0, 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover. Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover.

Oppgave 1.75

samarbeid

Skriv brøkene som desimaltall. Rund av til to desimaler.

7 9

4 9

20 9

5 6

4 7

19 0,3

Oppgave 1.76

samarbeid

Skriv desimaltallene som brøk. Forkort brøkene hvis mulig.

0,6

0,17

0,20

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

HVA ER VITSEN MED BRØKREGNING? Hva er så vitsen med å lage en ny skrivemåte for divisjonsstykker og regne med dem som «brøker»? Litt av begrunnelsen så du hvis du gjorde oppgave 1.75. Noen divisjonsstykker gir ganske stygge desimaltall som svar. Da er det ofte greiere å la være å regne ut svaret og heller bare regne videre med brøkene. 1 Brøken er et eksempel på dette. 3 Den blir et uendelig langt desimaltall, men samtidig kan den enkelt og greit tolkes som «en tredel» av noe. For eksempel en tredels pizza. På samme måte kan algebraiske lover som har med brøkuttrykk å gjøre, tolkes som regning med brøkdeler av noe. I Nummer 9 jobbet vi med disse lovene:

Lover for regning med brøkuttrykk For alle tall a, b, c og d slik at nevnerne ikke er 0, gjelder

a b a +b + = c c c a b a −b − = c c c a b a ⋅b ⋅ = c d c ⋅d a a ⋅c = b b ⋅c De tre første lovene forteller oss hvordan vi kan addere, subtrahere og multiplisere brøker. Den siste loven handler om å forkorte og utvide brøker. Den trenger vi blant annet når vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere. Da kan vi først utvide hver av brøkene slik at de får fellesnevner. Så kan vi bruke reglene for addisjon og subtraksjon, der det forutsettes at begge brøkene har samme nevner c.

•

BRØKREGNING

Oppgave 1.77

samarbeid

Skriv opp loven a b a+b + = c c c slik den blir når a = 2, b = 3 og c = 8. Tegn en figur der du tolker brøkene som brøkdeler av en pizza. Forklar for hverandre hvorfor loven stemmer.

Oppgave 1.78

samarbeid

Skriv opp loven a b a−b − = c c c slik den blir når a = 7, b = 2 og c = 8. Tegn en figur der du tolker brøkene som brøkdeler av en pizza. Forklar for hverandre hvorfor loven stemmer.

Oppgave 1.79 Utvid brøkene slik at de får felles nevner. Hvilken lov bruker du her?

1 1 og 2 3

1 2 og 3 5

1 4 og 6 9

eksempel 17 å finne fellesnevner Familien Storm har vært på besøk, og i bilen hjem sier 1 1 Mathilde at hun spiste av kaka. Broren sier han spiste 8 6 av kaka. Hvor mye kake har de spist til sammen? Løsning Når vi skal addere og subtrahere brøker, må brøkene ha samme nevner. Vi ønsker å finne den minste fellesnevneren, slik at ikke tallene blir for vanskelige å regne med.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

For å finne fellesnevner kan vi primtallsfaktorisere nevnerne. Deretter finner vi det minste tallet som inneholder alle faktorene i hver av nevnerne. 8=2∙2∙2 6=2∙3 Minste fellesnevner er da 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24. Vi må utvide brøkene slik at de får fellesnevner. 1 1 1⋅ 3 1⋅ 4 3 4 7 = + = + = + 8 6 8 ⋅ 3 6 ⋅ 4 24 24 24 Mathilde og broren spiste til sammen

7 av kaka. 24

Sjekk alltid om det er mulig å forkorte svaret. Her er det ikke mulig fordi 7 er et primtall som ikke går opp i 24.

Med minste felles multiplum av to naturlige tall menes det minste tallet som kan divideres på begge de to gitte tallene.

Oppgave 1.80

samarbeid

a Finn minste felles multiplum av 6 og 10. b Finn minste felles multiplum av 8 og 12. c Når man skal utvide brøker slik at de får felles nevner, kan man alltid bruke minste felles multiplum av nevnerne som felles nevner. Forklar hvorfor.

Oppgave 1.81 Adder de to brøkene i hver av deloppgavene i 1.79.

Oppgave 1.82 Regn ut.

2 1 3 5

1 1 4 2

8 1 3 4

•

BRØKREGNING

MULTIPLIKASJON, Å TA EN BRØKDEL AV EN BRØKDEL Nå skal vi se på hvordan loven a b a ⋅b ⋅ = c d c ⋅d kan tolkes når vi tenker «brøk». Denne loven sier at man kan multiplisere brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner. Nøkkelen er følgende:

Multiplikasjon av brøker kan tolkes som å ta en brøkdel av en brøkdel.

For å skjønne hvorfor, se på multiplikasjonsstykket 2 4 3 5 Det første tallet i et multiplikasjonsstykke forteller alltid hvor mange eksemplarer vi skal ha av det andre tallet. Her skal vi 4 ha «to tredels eksemplar» av . I dagligtale sier man da 5 4 heller at vi skal ha «to tredeler» av . Vi skal altså ha en 5 brøkdel av en brøkdel! Konklusjon: Når to brøker multipliseres, kan du lese multiplikasjonstegnet som «av». Vi skal nå bruke dette til å finne svaret på multiplikasjonsstykket 2 4 3 5 Her skal vi altså ha 2 4 av 3 5

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Vi kan illustrere dette ved å 4 først tegne brøken . 5

2 av dette 3 ved å ta det dobbeltskraverte området på figuren. Vi kan skaffe oss

Her ser du at vi har fått 2 ⋅ 4 = 8 dobbeltskraverte ruter av totalt 3 ⋅ 5 = 15 ruter. 2 4 8 er lik . Så av 3 5 15 Dette stemmer med det du får, hvis vi bruker loven a b a ⋅b ⋅ = c d c ⋅d

Oppgave 1.83

samarbeid

1 1 av . 3 6 b Lag en situasjon eller en tegning som viser at svaret dere fikk, er riktig. 2 c Finn av 24. 3

a Finn

d Lag en situasjon eller en tegning som viser at svaret deres er riktig.

Oppgave 1.84 Regn ut.

2 1 7 2

4 1 5 2

1 1 1 2 2 2

•

BRØKREGNING

DIVISJON AV BRØKER For divisjon av brøker har vi følgende regel: Du kan dividere en brøk med en brøk ved å multiplisere den første brøken med den andre snudd opp ned. Altså: a b a d : = ⋅ c d c b

Man kan bevise denne loven algebraisk på grunnlag av reglene vi allerede har, slik det er vist i oppgave 1.90. Her og nå skal vi nøye oss med å se på et eksempel som viser at regelen stemmer med det vi får når vi tenker brøktolkning og målingsdivisjon. I målingsdivisjon kan vi for eksempel tenke fordeling i glass.

eksempel 18 divisjon av brøk som målingsdivisjon 2 liter melk, og at du skal fordele denne likt 3 1 i glass som hvert tar liter. Antall glass du kan fylle, blir da 6 2 1 : 3 6 2 Vi kan finne svaret på dette ved å regne om til seksdeler. 3 2 2⋅2 4 Vi har = = . 3 3⋅2 6 Anta at du har

4 1 og hvert glass tar , kan vi fylle 4 glass. 6 6 Dette stemmer med det vi får hvis vi bruker regelen for divisjon av brøker: 2 1 2 6 12 : = ⋅ = =4 3 6 3 1 3 Siden vi har

Oppgave 1.85

samarbeid

Regn ut, og tolk i hvert tilfelle svarene ved å tenke fordeling av melk i glass.

1 1 : 2 4

Kapittel 1

3 1 : 8 16

• TALL OG TALLREGNING

1 1 : 4 2

Oppgave 1.86

samarbeid

a Du har 4 L melk som skal fordeles i store kopper som 1 L. Hvor mange kopper kan du fylle? Tenk 3 målingsdivisjon.

rommer

b Sett opp regnestykket i oppgave a som en divisjon. c Skriv 4 som en brøk, og bruk dette til å skrive regnestykket i oppgave a som en brøk dividert med en brøk.

Oppgave 1.87 a Du har en rull med papir som er biter. Hvor lang blir hver bit?

9 m. Den skal du dele i fire 2

b Sett opp regnestykket i oppgave a som en divisjon. c Skriv 4 som en brøk, og bruk dette til å skrive regnestykket i oppgave a som en brøk dividert med en brøk.

Oppgave 1.88 1 av formuen sin 4 til et hjem for bortkomne katter. De resterende pengene skal hennes to nevøer dele likt. Hvor stor brøkdel av Klaras formue får hver nevø? Tante Klara dør, og hun testamenterer

•

BRØKREGNING

BRUDNE BRØKER Med en brudden brøk menes en brøk der telleren og/eller nevneren selv er en brøk. Et eksempel på en brudden brøk er 2 15 3 5 Brøkstreken i midten, altså brøkstreken mellom de to 2 3 brøkene og , kalles hovedbrøkstreken. 15 5 Brudne brøker er bare divisjon av brøker skrevet på en annen måte. Siden en brøk er det samme som en divisjon, kan vi like gjerne skrive den brudne brøken ovenfor som 2 3 : 15 5 Så kan vi finne svaret ved å bruke regelen om å multiplisere med den siste brøken snudd opp ned.

Oppgave 1.89 2 15 Regn ut den brudne brøken 3 5

Det fins også en direkte måte å regne ut brudne brøker på. La oss gå tilbake til den brudne brøken 2 15 3 5 For å bli kvitt «bruddenheten» skal vi bruke den algebraiske loven a a⋅c 2 3 5 = med, a " , b " og c " b b⋅c 15 5 3 Tallet c er her ikke tilfeldig valgt, det er brøken i nevneren på den brudne brøken vår snudd opp ned. Den algebraiske loven gir oss

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

( )( ) ( )( )

5 2 2 ⋅ 15 3 15 = 3 3 5 ⋅ 5 5 3 Her blir

( 35 ) ⋅ ( 53 ) = 1515 = 1

Så hele nevneren i den store brøken til høyre blir 1. Dermed kan vi regne slik:

( )( ) ( )( ) ( )( )

5 2 2 ⋅ 15 3 5 10 15 2 = = ⋅ = 15 3 45 3 3 5 ⋅ 5 5 3 Metoden er altså slik: For å regne ut brudne brøker ved den direkte metoden kan du multiplisere hovedbrøken oppe og nede med brøken som står i nevneren, snudd opp ned.

Oppgave 1.90

utfordring

Den direkte metoden for å beregne brudne brøker leder oss fram til hvordan vi kan bevise regelen om at brøker kan divideres ved å snu siste brøk opp ned. Beviset består i å regne akkurat som vi gjorde ovenfor, bortsett fra at vi lar brøkene våre bestå av ukjente tall: a a d a d ⋅ ⋅ a b c c b c b a d : = = = = ⋅ c d b b d 1 c b ⋅ d d b Sammenlikn dette med regningen vi gjorde rett før viktigboksen. Det som skjer, er nøyaktig det samme, bortsett fra at vi nå regner med ukjente tall. Forklar hvorfor hver av de fire overgangene som er gjort, er riktige.

•

BRØKREGNING

Oppgave 1.91

utfordring

Regn ut de brudne brøkene ved å bruke direkte metode. Oppgi svarene som en vanlig brøk. 6 a 7 2 3

5 b 3 9 13

100 c 3 2 3

Oppgave 1.92 Regn ut. Sjekk i hvert tilfelle svaret ditt ved å multiplisere det med brøken du dividerte på.

2 1 : 3 7

13 7 : 5 8

5 8 : 8 5

5 3 : 6 11

3 3 : 7 7

99 1 : 100 3

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

HVA KAN DU NÅ om brøkregning? 1

Skriv desimaltallene som brøker av hele tall. Forkort brøkene så mye som mulig.

a 34,8

3 9 4 4

3 Hvor mye er

c 100,1

Regn ut.

b 0,04

1 1 2 6

2 9 3 7

7 2 : 5 3

2 5 av ? Skriv dette som et regnestykke. 3 8

Bruk en tegning til å forklare hvorfor denne regneregelen gjelder for brøker: a b a+b + = c c c

3 2 liter melk i glass som hvert tar liter. 2 5 Hvor mange glass kan du fylle? Skriv regnestykket ditt som et divisjonsstykke. Du skal fordele

1 2 Regn ut den brudne brøken 1 3

HVA KAN DU NÅ ?

1E PROSENT OG PROMILLE Etter dette delkapitlet skal du kunne • forstå sammenhengen mellom prosent og hundredeler, promille og tusendeler • regne med prosent i praktiske sammenhenger • kjenne til ulike strategier for prosentregning, blant annet «veien om 1» I dagliglivet kommer vi svært ofte borti begrepet prosent.

Ved å bruke verdikort på bussen får man 12 % rabatt. %. En vare på salg er nedsatt med 60 n på Merverdiavgifte . matvarer er 15 %

Senterpartiets oppslutning på meningsmålingen har økt med 0,6 prosentpoeng.

Torunn betaler 22 % skatt. Arbeidsledigheten har sunket med 0,4 prosentpoeng.

Renten på sparekonto er 2,8 %. Lønnsøkningen er

Omsetningen

i en bedrift økte

med 200 %.

6 til e ﬁkk karakteren 5 % av kandidaten k. atik eksamen i matem

Du husker sikkert at prosent betyr hundredeler.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

på 3,2 %.

BEGREPER prosent prosentgrunnlag prosentpoeng promille

Oppgave 1.93 Hvor mange prosent av figurene er fargelagt?

Oppgave 1.94 Hvor mange prosent av figurene er fargelagt?

Hvis du har gjort oppgaven riktig, har du nå konstatert at 50 % er halvparten, 25 % er en firedel og 10 % er en tidel.

Oppgave 1.95 Hva er

a 50 % av 30 kr b 25 % av 40 kg c 10 % av 60 minutter

• PROSENT OG PROMILLE

Oppgave 1.96 Hvor mange prosent er

a tre firedeler

b en femdel

c en tredel

eksempel 19 ĂĽ finne hvor mye en gitt prosent utgjĂ¸rÂ avÂ et tall En type yoghurt inneholder 8 % sukker. Live spiser 150 g yoghurt. Hvor mange gram sukker har hun spist? LĂ¸sningsmetode 1: Veien om 1 % Vi vet at 1 % er det samme som en hundredel. 1 % av 150 g blir derfor 1,50 g 8 % av 150 g blir da 8 â&#x2C6;&#x2122; 1,50 g = 12,0 g LĂ¸sningsmetode 2: NĂĽr 8 % av et tall er ĂĽtte hundredeler av tallet, er det et alternativ ĂĽ sette opp utregningen slik: 8 â&#x2C6;&#x2122; 150 g = 0,08 â&#x2C6;&#x2122; 150 g = 12 g 100

Oppgave 1.97 PĂĽ en skole fikk 12,5 % av elevene pĂĽ 10. trinn karakteren 6 i matematikk. Det var 40 elever pĂĽ trinnet. Hvor mange elever fikk karakteren 6? Finn svaret ved ĂĽ regne pĂĽ begge mĂĽtene som ble vist i eksemplet ovenfor.

Vi skal nĂĽ se pĂĽ hvordan vi kan sette opp formler som kan brukes til ĂĽ regne ut en p % av et tall k. Tallet k kaller vi prosentgrunnlaget. Da kan vi sette opp de to mĂĽtene ĂĽ regne pĂĽ slik:

100k p 74

Kapittel 1

p 100

â&#x20AC;˘ TALL OG TALLREGNING

Tidligere jobbet du med følgende algebraiske lov:

( ab ) ⋅ ( dc ) = bdac Hvis vi bruker denne loven, kan vi også skrive formelen på en tredje måte: k

p k " 100 1

p k p " 100 100

Vi ﬁnner p % av et tall k på en av disse måtene:

k p 100

p 100

k p 100

Oppgave 1.98 Live reiser av og til med buss for å besøke mormor. Bussbilletten koster i desember 112 kr. I januar har billettprisen steget med 5 %. Hvor mange kroner øker billettprisen med?

Oppgave 1.99 En sykkel kostet 4925 kr. I oktober kommer den på salg med et avslag på 40 %. Hva koster sykkelen på salg?

• PROSENT OG PROMILLE

Oppgave 1.100

samarbeid

Forklar med egne ord de tre måtene vi kan sette opp regnestykket på, når vi skal finne en gitt prosent av et tall. Sammenlikn forklaringen din med forklaringen til en eller flere medelever. Kan dere i fellesskap komme fram til en tydelig og god forklaring på hvordan man setter opp regnestykkene?

eksempel 20 å regne prosent i regneark Et par joggesko som koster 799 kr, er på salg nedsatt med 30 %. Hva koster joggeskoene på salg? Løsning Vi løser oppgaven i regneark. Alle celler med pengebeløp i formaterer vi med regnskapsformat. Slik gjør vi hvis vi ikke bruker prosentformatering:

Slik gjør vi når vi bruker prosentformatering. Vi ser at når vi bruker prosentformatering i B2, blir det regnet med 0,3.

Oppgavene som følger, kan du variere mellom å løse med regneark og med papir og blyant.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.101 I juli 2014 var det 17 748 besøk på kinoene i Fredrikstad. I juli 2015 hadde kinobesøket økt med 47,6 %. Hvor mange kinobesøk var det i juli 2015?

Oppgave 1.102

digital

Prisen på barnehageplass i en kommune økte 1. august 2015 med 10 % fra 1900 kr per måned. Året etter økte prisen igjen med 10 %. Tom mener at prisen totalt har økt med 20 %. Lise er ikke enig, hun mener at prisøkningen i hele perioden er mer enn 20 %.

a Hva mener du? Gjør beregninger og finn ut hvem som har rett.

b Lag en regnearkmodell som du kan bruke til å utforske problemstillingen fra oppgave a.

c Lag en regnearkmodell hvor du kan utforske hva som skjer hvis prisnedgangen har den samme prosentvise nedgangen to ganger på rad.

Oppgave 1.103 Helge dyrker juletrær, og han følger nøye med på hvordan trærne vokser. Han har noen utvalgte trær som han gjør målinger på. I august 2015 var ett av disse trærne 145 cm høyt. Helge regner med at treet vokser 15 % i høyden hvert av de to kommende årene. Hvor høyt regner han med at treet vil være i august 2017?

Oppgave 1.104

samarbeid

Enig eller uenig? Begrunn svarene deres med eksempler.

• • • • •

150 % er å legge til halvparten. 200 % er det samme som å doble. 200 % er det samme som å legge til 100 % to ganger. 125 % er å legge til en firedel. 110 % er å legge til en tidel.

• PROSENT OG PROMILLE

Oppgave 1.105

fra eksamen 2014

(del av oppgaven)

Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule. Jordas diameter er 12 756 km. Vi regner med at 71 % av jordas overflate er dekket med vann. Overflaten O av en kule er gitt ved formelen O = 4πr2. Hvor stort er arealet av jordas overflate som er dekket med vann? Oppgi svaret ditt på standardform.

eksempel 21 å finne prosenten Et egg veier 53 g. Eggeplommen veier 29 g. Hvor mange prosent av eggets vekt er plomme? Løsning 29 ~ 0, 55 . Vi kan tenke slik: 29 er en brøkdel av 53: 53 Vi vet at 0,55 er 55 hundredeler, altså 55 %.

Oppgave 1.106 Hvor mange prosent er

a 5 km av 30 km b 7 g av 100 g c 17 timer av 24 timer d 30 timer av 24 timer e 90 minutter av 60 minutter f 200 g av 100 g g 75 minutter av 60 minutter

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

For å ﬁnne hvor mange prosent tallet m utgjør av tallet k, kan vi bruke formelen

m 100 k

eksempel 22 å finne prosenten På en skole er det 456 jenter og 368 gutter. Hvor mange prosent av elevene er gutter? Løsning Vi må først finne ut hvor mange elever det er til sammen på skolen. 465 + 368 = 833 elever. Vi har da at m = 368 og k = 833. p"

368 m 100 " 833 k

100

44, 2

Det er 44,2 % gutter.

Oppgave 1.107

samarbeid

I en oppskrift på grovbrød er det 300 g siktet hvetemel og 200 g grovt sammalt hvetemel. Hvor mange prosent er grovt mel?

Oppgave 1.108

samarbeid

Her er oppskriften på en type smoothie: 2 dL fruktyoghurt med kirsebær 1 dL drikkeyoghurt med kirsebærsmak 2 dL dypfryste bjørnebær Hvor mange prosent utgjør hver av ingrediensene i den ferdige drikken?

• PROSENT OG PROMILLE

Oppgave 1.109

utfordring

Figuren viser det totale utslippet av karbondioksid (CO2) som er skapt av mennesker, målt i 1000 tonn i Kina og USA i 2001 og 2011. 2011

2001 9,1 millioner

Kina

3,5 millioner 5,3 millioner 5,6 millioner

USA

a Med hvor mange prosent økte Kinas utslipp i denne perioden?

b Med hvor mange prosent minket USAs utslipp i denne perioden?

c Figuren viser hvor stor andel av Kinas CO2-utslipp som skyldes hver av de tre fossile brenseltypene. Høyre kant av diagrammet er 2015. Anslå hvor stor prosentandel av CO2-utslippet hver av de tre brenselstypene står for.

10 Gass Olje Kull

Milliarder tonn per år

0 2000

Kapittel 1

2002

2004

2006

2008

• TALL OG TALLREGNING

2010

2012

2014

Oppgave 1.110

fra eksempelsett 2015

Tilbudet TA 3, BETAL FOR 2 betyr at du får kjøpt tre varer, men betaler bare for to varer. En T-skjorte koster 100 kr. Hvor mange prosent avslag vil du få ved å benytte deg av tilbudet TA 3, BETAL FOR 2?

eksempel 23 å finne prosentgrunnlaget Helge dyrker og selger juletrær. Ett år solgte han 450 juletrær i desember. Salget av juletrær hadde økt med 15 % fra året før. Hvor mange juletrær solgte han året før? Løsning Når salget har økt med 15 %, er salget i år 115 % av salget året før. 115 % kan vi skrive som 1,15. Salget året før kaller vi k, prosentgrunnlaget blir derfor k. Det betyr at 1,15 ∙ k = 450. Vi løser likningen: 450 k= ≈ 391 1, 15 Helge solgte 391 juletrær året før.

Oppgave 1.111

samarbeid

a I juli 2015 reiste 39 710 passasjerer med innenlandsfly til og fra Molde lufthavn. Dette var en økning på 10,7 % sammenliknet med juli 2014. Hvor mange passasjerer reiste med innenlandsfly til og fra Molde lufthavn i 2014?

b Utlandstrafikken økte med 39 % i samme periode. Totalt 9286 passasjerer reiste til og fra utlandet i juli 2015. Hva var samlet passasjertall over Molde lufthavn i juli 2014?

• PROSENT OG PROMILLE

Oppgave 1.112

fra eksamen 2012

Du betaler 475 kr for en jakke etter at du har fått 40 % rabatt. Omtrent hvor mye kostet jakka før du fikk rabatt? Ca. 300 kr

ca. 500 kr

ca. 800 kr

ca. 1200 kr

I noen sammenhenger sammenlikner vi noe som er oppgitt som en prosent. Eksempler på dette er rente og valgresultat. Når prosentene sammenliknes eller endrer seg, snakker vi om prosentpoeng.

Oppgave 1.113 I 9B er det 9 gutter og 17 jenter.

a Hvor mange prosent av elevene er gutter? b Etter sommerferien er det kommet en ny gutt i klassen, så i 10B er det nå 10 gutter og 17 jenter. Hvor mange prosent av elevene er nå gutter?

c Med hvor mange prosentpoeng har gutteandelen i klassen økt?

d Når antall gutter har økt fra 9 til 10, hvor mange prosent flere gutter er det i klassen?

Oppgave 1.114

samarbeid

Lag tre oppgaver som handler om prosent. Lag oppgavene med utgangspunkt i noe du har lest om i en avis eller i et nyhetsoppslag på nettet. Lag fasit til oppgavene. Bytt oppgaver med en annen gruppe, og løs hverandres oppgaver.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

PROMILLE Promille betyr tusendeler. Vi regner med promille på samme måten som med prosent, bortsett fra at vi må huske på at det nå dreier seg om tusendeler.

eksempel 24 å regne ut promille Hvor mye utgjør 4 ‰ av 6000 L? Løsning 6000 "6 Vi finner først 1 ‰ av 6000: 1000 Deretter finner vi 4 ‰: 6 ∙ 4 = 24. 4 ‰ av 6000 L er 24 L.

Oppgave 1.115

samarbeid

a I vannet i havet er det de fleste steder 32 ‰ salt. Hvor mye salt er det i 1000 kg sjøvann?

b Salt som vi kjøper i butikken, kan produseres på flere måter. En av måtene er at saltvann samles i et basseng og inndampes. Hvor mye saltvann trenger vi for å produsere 1 kg sjøsalt?

• PROSENT OG PROMILLE

Oppgave 1.116

samarbeid

«Världens vuxna befolkning beräknas år 2013 omfatta 4,7 miljarder personer. Av dessa är 0,7 promille dollarmiljonärer» (sitat fra Svenska Dagbladet). Hvor mange dollarmillionærer var det i verden i 2013?

Promille betyr tusendeler. Vi regner med promille på samme måten som med prosent, men vi bruker tusendeler i stedet for hundredeler.

Oppgave 1.117 Hvis vi søker på Internett etter ordet promille, vil de fleste treffene ha forbindelse med å være påvirket av alkohol. At en person har en promille på 1,2, betyr at det er 1,2 ‰ alkohol (etanol) i blodet til denne personen.

a Hvis vi antar at personen har 5 liter blod, hvor mange mL alkohol er det i blodet?

b En regel for å finne hvor mye blod det er i kroppen, er at vi finner antall liter blod som er 7 % av kroppsvekten målt i kg. En dame som har drukket alkohol, får målt promillen sin til 0,8 ‰. Hun veier 55 kg. Hvor mange mL alkohol er det i blodet hennes?

Oppgave 1.118 100 g makrell i tomat inneholder 1,2 mg jern. Hvor mange promille jern er det i makrell i tomat?

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

HVA KAN DU NÅ om prosent og promille? 1

Hvor mye er

a 25 % av 80 m b 12 % av 240 kr c 130 % av 300 kg d 0,2 % av 10 L

Hvor mange prosent utgjør

a 30 minutter av en time b 120 g av ett kg c 250 g av 2 kg d 1200 kg av et tonn

Finn prosentgrunnlaget når

a 10 % er 34 g b 25 % er 500 kr c 200 % er 120 kg d 17 % er 45 mL

a På værstasjonen i Karasjok ble det i juli 2014 målt 35,1 mm nedbør. I juli 2015 var nedbørsmengden 24,5 % mindre. Hvor mange mm nedbør var det i juli 2015?

b Løs oppgaven ved hjelp av regneark.

HVA KAN DU NÅ ?

På målestasjonen på Kjevik ved Kristiansand kom det 68,4 mm nedbør i juli 2014. I juli 2015 kom det 90,0 mm nedbør. Hvor mange prosent mer nedbør kom det i 2015 enn i 2014?

Antall elever på Li skole som trener på treningssentere, økte fra 27 % i 8. klasse til 36 % i 10. klasse Hvor mange prosentpoeng økte det med? Hvor mange prosent økte det med?

I en by er det 34 670 innbyggere 1. januar 2015. I januar 2016 skriver lokalavisen at innbyggertallet har økt med 9,0 ‰. Hvor mange innbyggere er det i byen 1. januar 2016?

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

1F ØKONOMI BEGREPER prosentvis endring vekstfaktor merverdiavgift rabatt utgift inntekt regnskap forbruk underskudd overskudd

Etter dette delkapitlet skal du kunne • beregne prosentvis prisøking og prisnedgang ved hjelp av vekstfaktor • beregne priser med og uten merverdiavgift • sette opp budsjett og regnskap • gjøre beregninger av rente og terminbeløp i forbindelse med sparing og lån • vurdere hva kjøp med kredittkort koster • gjøre beregninger av lønn, skatt og feriepenger • bruke regneark til å foreta beregninger knyttet til økonomi

budsjett rente rentefot rentesrente avdrag egenkapital termin terminbeløp serielån nedbetalingsplan annuitetslån bankkort kredittkort skatt frikort bruttolønn nettolønn akkordlønn trekkgrunnlag prosenttrekk tabelltrekk feriepenger

PROSENTVIS PRISENDRING I mange sammenhenger endres størrelser prosentvis. Eksempler på dette er at priser settes opp eller ned med en fast prosent. Vi sier at vi har prosentvis endring.

•

ØKONOMI

eksempel 25 å finne prisen etter prosentvis endring En sykkel koster 4200 kr. I oktober er sykkelen på salg, da er prisen redusert med 30 %. Hva koster sykkelen på salg? Løsning Vi finner 30 % av 4200 kr: 4200 kr ∙ 0,3 = 1260 kr Salgspris: 4200 kr – 1260 kr = 2940 kr

Oppgave 1.119 Togbilletten fra Trondheim til Levanger koster 79 kr. Billetten fra Trondheim til Steinkjer er 43 % dyrere. Hva koster billetten fra Trondheim til Steinkjer?

Oppgave 1.120 Oljeprisen var 109,2 $ per fat i uke 1 i januar 2014. I uke 46 i november 2014 var oljeprisen sunket til 80,3 $. Hvor mange prosent var nedgangen i oljeprisen i denne perioden?

eksempel 26 prisøkning med vekstfaktor En vare koster 80 kr i en butikk. I en annen butikk er den samme varen 12 % dyrere. Hva koster varen i den andre butikken? Løsning For å finne prisen i den andre butikken må vi først ta 80 kr og så legge til 12 % av 80 kr. Vi skriver 12 % som 0,12: 80 + 80 ∙ 0,12 = 80 ∙ (1 + 0,12) = 80 ∙ 1,12 = 89,60 Varen koster 89,60 kr i den andre butikken.

Vekstfaktoren er 1 + prosenten når prisen øker med en fast prosent. Når vi har funnet vekstfaktoren, kan vi finne den nye prisen ved å multiplisere den gamle prisen med vekstfaktoren.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

eksempel 27 prisøkning med vekstfaktor Prisen på en vare har økt med 5 %. Den gamle prisen var 150 kr. Hva blir den nye prisen? Løsning Vekstfaktor: 1 + 0,05 = 1,05 Ny pris: 150 kr ∙ 1,05 = 157,50 kr

Oppgave 1.121

samarbeid

Finn vekstfaktoren og den nye prisen.

a Gammel pris: 500 kr

Prisøkning: 20 %

b Gammel pris: 12 000 kr Prisøkning: 6 % c Gammel pris: 34 kr

Prisøkning: 100 %

d Gammel pris: 200 kr

Prisøkning: 150 %

e Gammel pris: 400 kr

Prisøkning: 2,8 %

f Gammel pris: 1500 kr

Prisøkning: 0,7 %

eksempel 28 prisreduksjon med vekstfaktor En bukse koster 800 kr. På salg blir den satt ned med 30 %. Hva blir salgsprisen? Løsning Vi må ta utgangspunkt i 800 kr og trekke fra 30 %. Vi skriver 30 % som 0,30. 800 – 800 ∙ 0,30 = 800 ∙ (1 – 0,30) = 800 ∙ 0,70 = 560 Vi ser at når prisen reduseres, finner vi vekstfaktoren ved å subtrahere prosenten fra 1. Vi kan dermed skrive løsningen slik: Vekstfaktor: 1 – 0,30 = 0,70 Salgspris: 800 kr ∙ 0,70 = 560 kr

•

ØKONOMI

Oppgave 1.122

samarbeid

Finn vekstfaktoren og den nye prisen.

a b c d e f

Gammel pris: 500 kr

Prisreduksjon: 20 %

Gammel pris: 12 000 kr Prisreduksjon: 6 % Gammel pris: 34 kr

Prisreduksjon: 100 %

Gammel pris: 200 kr

Prisreduksjon: 50 %

Gammel pris: 400 kr

Prisreduksjon: 2,8 %

Gammel pris: 1500 kr

Prisreduksjon: 0,7 %

Vi ﬁnner ny pris ved å multiplisere prosentgrunnlaget med vekstfaktoren. p . Dersom prisen går opp med p %, er vekstfaktoren 1 + 100 Dersom prisen settes ned med p %, p er vekstfaktoren 1 – . 100

Oppgave 1.123 Et telt koster 3400 kr. Hos Sport1 blir teltet først satt ned med 20 %, deretter med 20 % en gang til. Hos Sport2 blir teltet satt ned med 40 %.

a Gjør beregninger, og finn ut hva telt vil koste i de to butikkene.

b Forklar hvorfor prisen ikke blir den samme i de to butikkene.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.124

rik oppgave

digital

En fiskestang med snelle koster 1200 kr. Hos Sport1 blir prisen på fiskestanga først satt opp med 20 % og deretter redusert med 30 %. Hos Sport2 blir prisen på fiskestanga først satt ned med 30 % og deretter økt med 20 %. Her er 3 utsagn om prisendringene: 1 Fiskestanga er billigst hos Sport2, for de setter ned prisen først. 2 De må betale det samme i begge butikkene. 3 Fiskestanga er billigst hos Sport1 fordi butikken satte ned prisen til slutt.

a Er dere enig med noen av de tre utsagnene? Begrunn svaret deres.

b Vil det bli slik dere fant ut i oppgave a uansett hvilke prosentsatser varen blir satt opp og ned med og uansett hva varen koster til å begynne med? Lag gjerne en regnearkmodell slik at dere kan undersøke ved å endre pris og prosentsatser.

c Kan dere bruke algebra til å finne ut om det dere fant ut i oppgave a gjelder for alle priser og prosentsatser?

Vi skal nå se på hvordan vi kan finne prosentgrunnlaget ved hjelp av vekstfaktoren. Tidligere har vi funnet den nye prisen etter en prisendring ved å multiplisere den gamle prisen med vekstfaktoren. Hvis vi kaller den nye prisen N, den gamle prisen G og vekstfaktoren v, kan vi skrive dette slik: N = G ∙ v. Prosentgrunnlaget G ﬁnner vi ved å sette inn ny verdi N og vekstfaktor v og løse likningen N=G·v

•

ØKONOMI

eksempel 29 å finne prosentgrunnlaget med vekstfaktor På salg kostet et par fotballsko 560 kr. Skoene var nedsatt med 30 %. Hva hadde skoene kostet før de ble nedsatt? Løsning Her er N = 560, og vekstfaktoren er v = 1 – 0,30 = 0,70. Innsatt i likningen N=G·v 560 " 800 . får vi 560 = G · 0,7. Dette gir G " 0,7

Oppgave 1.125

samarbeid

Finn vekstfaktoren og den gamle prisen:

a b c d e f

Ny pris: 500 kr

Prisreduksjon: 20 %

Ny pris: 12 000 kr Prisøkning: 6 % Ny pris: 34 kr

Prisøkning: 100 %

Ny pris: 200 kr

Prisreduksjon: 50 %

Ny pris: 400 kr

Prisøkning: 2,8 %

Ny pris: 1430 kr

Prisreduksjon: 0,7 %

Oppgave 1.126 Dersom man reiser mye med ferge, kan man skaffe seg et fergekort, fylle penger på kortet og betale med det når man reiser. Prisen på fergebillett for bil med fører blir redusert med 40 % dersom man betaler med fergekortet. En fergetur koster 36 kr for bil med fører dersom man betaler med fergekort. Hva koster denne fergeturen for bil med fører dersom man ikke betaler med fergekort?

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

MERVERDIAVGIFT Når vi kjøper varer og tjenester, er det som oftest lagt til en salgsskatt til prisen på varene. Denne salgsskatten kaller vi merverdiavgift. Ordet forkortes ofte til mva. Størrelsen på merverdiavgiften varierer, men på de fleste varer er den 25 %. På matvarer er merverdiavgiften 15 %, og på transport er den 10 %. Priser oppgis vanligvis med merverdiavgiften inkludert.

Merverdiavgift (mva.) er salgsskatt som legges til prisen på varer vi kjøper. Prisene vi får oppgitt når vi kjøper varer, inkluderer merverdiavgift.

Oppgave 1.127

samarbeid

Prisen på en motorsag er 2010 kr uten mva. Hva blir prisen på saga når mva. er inkludert?

eksempel 30 å regne med merverdiavgift Tuva har kjøpt et badehåndkle som kostet 250 kr. Hva er prisen uten mva.? Hvor mange kroner utgjør merverdiavgiften? Løsning Merverdiavgiften på denne typen vare er 25 %. Vekstfaktor: 1,25 Det er pris uten mva. som er prosentgrunnlaget G. Vi regner derfor slik: G · 1,25 = 250. 250 kr " 200 kr 1,25 Mva.: 200 kr ∙ 0,25 = 50 kr

Pris uten mva.: G =

I eksemplet ovenfor er merverdiavgiften 25 %. Vi kan skrive regnestykket slik:

250 4 1 = 250 ⋅ = 250 ⋅ 0,8 = 250 ⋅ 5 1,25 1,25

•

ØKONOMI

Prisen uten mva. er ﬁre femdeler eller 80 % av prisen med mva. Da utgjør merverdiavgiften en femdel eller 20 % av prisen med mva. Dette gjelder når merverdiavgiften er 25 %.

Oppgave 1.128 Her har du prisene på en del varer oppgitt inklusive merverdiavgift. Hvor mye utgjør merverdiavgiften? Hva blir prisen uten merverdiavgift?

a Hagehansker 99 kr b Vaskepulver 49 kr c Grovbrød 35 kr d Togbillett 199 kr e Allværsjakke 1599 kr Oppgave 1.129 Her har du oppgitt prisen på en del varer inklusive merverdiavgift og hvor mange kroner merverdiavgiften utgjør. Finn for hver vare hvor mange prosent merverdiavgiften utgjør.

a Bussbillett: pris 84 kr, mva. 8,40 kr b Pizza: pris 150 kr, mva. 19,57 kr c Strikkegarn: pris 360 kr, mva. 72 kr Oppgave 1.130

samarbeid

Når du har handlet varer i en butikk, vil kassalappen vise prisen på hver vare, totalprisen, og hvor mange kroner av totalprisen som merverdiavgiften utgjør. Finn fram en slik kassalapp, ta for dere hver enkelt vare, og regn ut hvor mange kroner merverdiavgiften utgjør. Kontroller til slutt om summen av det dere har regnet ut, stemmer med det som står på kassalappen. Husk at satsen for merverdiavgift ikke er den samme for alle varetyper.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.131

samarbeid

Forklar begrepene prosentvis endring, vekstfaktor og merverdiavgift. Bruk gjerne eksempler.

PRIVAT REGNSKAP Når vi handler, har vi ofte bruk for å sette opp en oversikt over de utgiftene vi har hatt. Regneark er godt egnet til å lage en slik oversikt, men det kan også gjøres med papir og blyant. Ofte vil vi gjøre et overslag for å finne ut omtrent hva prisen blir, før vi handler.

Oppgave 1.132 Live skal ordne i hagen og starter med en tur på hagesenter for å kjøpe det hun trenger. Her er oversikten over hva Live skal kjøpe og hva det koster: 1 par hagehansker, 79 kr 5 poser frø, pris per pose 15 kr 1 hagespade, 99 kr 2 sekker jord, pris per sekk 49 kr 4 blomsterpotter, pris per potte 69 kr 4 sommerblomster, pris per blomst 35 kr Gjør overslag og regn ut omtrent hvor mye Live må betale.

•

ØKONOMI

eksempel 31 kostnadsberegning i regneark Vi kan lage en regnearkmodell for beregning av Lives utgifter slik:

Det som er skrevet i rutene med oransje bakgrunn, er inndata som kan endres.

Ofte kan vi få rabatt når vi handler, et avslag i prisen. Rabatten kan oppgis som et kronebeløp eller som prosent. Rabatten skal vi trekke fra den opprinnelige prisen.

Oppgave 1.133

digital

a Lag en regnearkmodell for Lives kjøp i hagesenteret, slik det er vist i eksempel 31.

b Live får 15 % rabatt på planter og frø fordi hun har hagesenterets kundekort. Gjør nødvendige endringer i regnearkmodellen slik at prisen med rabatt fratrukket vises, og vi ser hva Live nå skal betale. Pass på at du lager

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

regnearkmodellen så fleksibel som mulig, slik at størrelsen på rabatten enkelt kan endres, og slik at det er mulig å bruke rabatten på flere av varene.

Oppgave 1.134

digital

Sigve har handlet grønnsaker på bondens marked. Her er en oversikt over hva han har kjøpt og prisene på de ulike grønnsakene: 2 bunter gulrot, 14 kr per bunt 2,5 kg poteter, 12 kr per kg 2 agurker, 18 kr per stk 0,8 kg tomater, 35 kr per kg 1,2 kg kålrot, 25 kr per kg

a Gjør et overslag over hvor mye Sigve har betalt. b Lag en regnearkmodell som kan brukes til å regne ut hva Sigve har betalt for grønnsakene.

Oppgave 1.135

eksempeloppgave 2015

digital

Oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Anne kjøper fotballutstyr via Internett. Nedenfor ser du hvilke typer varer hun kjøper, de opprinnelige prisene på varene og eventuelle rabatter.

Fotball 1050 kr

Pumpe 99 kr

Fotballsko 639 kr

Keeperhansker 439 kr

Hettegenser 549 kr

Anne kjøper 4 fotballer og 2 pumper, 1 par fotballsko, 1 par keeperhansker og 1 hettegenser. Anne må betale til sammen 99 kr kr i frakt uansett hvor mye hun kjøper.

•

ØKONOMI

a Lag en oppstilling der du tar med varetype, pris, antall varer, eventuelle rabatter og frakt. Før Anne bekrefter kjøpet, vil hun endre antallet på noen av varene. Hun vil kjøpe 3 fotballer og 3 pumper. I tillegg kjøper hun 4 par fotballsko, 2 par keeperhansker og 4 hettegensere.

b Gjør nødvendige endringer i oppstillingen din. Hvor mye må Anne betale til sammen etter at rabatter er trukket fra og frakt er lagt til?

REGNSKAP OG BUDSJETT I mange sammenhenger har vi behov for å lage en oversikt over de utgiftene og inntektene vi har hatt. Det kan være en enkeltperson eller en familie som vil ha oversikt over hva de har hatt av utgifter og inntekter, eller det kan være en organisasjon eller en bedrift som trenger denne oversikten. Ofte trenger vi også oversikt over inntekter og utgifter i forbindelse med et arrangement. Oversikten kaller vi et regnskap.

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Summen av utgiftene til en enkeltperson eller en familie er familiens forbruk. Tabellen viser en oversikt over en gjennomsnittshusstands forbruk i 2012 (kilde: ssb.no).

eksempel 32 regnskap for klassefest Klasse 10A har hatt klassefest. Regnskapet etter festen ble slik:

Vi ser at utgiftene ble større enn inntektene. Det betyr at klassefesten gikk med underskudd. De burde enten hatt høyere inngangspenger, vært flere på festen eller hatt billigere lokaler eller mat. Hadde inntekten vært større enn utgiften, hadde vi hatt et overskudd.

Oppgave 1.136

digital

En klasse med 24 elever var på tur til Vitensenteret. De hadde følgende inntekter og utgifter: Tilskudd fra skolen: 2000 kr Hver elev betalte: 50 kr Bussleie: 2500 kr Inngangspenger på Vitensenteret: 25 kr per elev Sett opp et regnskap for turen. Gikk turen med overskudd eller med underskudd?

•

ØKONOMI

Summen av utgifter utgjør forbruket. Dersom utgiftene blir større enn inntektene, har vi underskudd. Dersom inntektene er større enn utgiftene, har vi overskudd. Dersom inntekter og utgifter er like, går regnskapet i balanse.

eksempel 33 budsjett I eksempel 32 så vi at klassefesten gikk med underskudd. For å unngå det kan i sette opp et budsjett på forhånd. Budsjettet hjelper oss med å planlegge bedre slik at vi unngår underskudd. Vi kan også i ettertid sammenlikne regnskapet med budsjettet for å lære av eventuelle feil.

Vi ser at ved å velge 120 kr som inngangspenger og anta at 30 elever deltar på festen, har vi budsjettert med et lite overskudd. Når vi har overskudd, er inntektene større enn utgiftene.

Oppgave 1.137

digital

Ta utgangspunkt i budsjettet i eksempel 33, og lag et regnskap for festen dersom 28 elever deltar og prisene er som budsjettert. Blir det overskudd eller underskudd?

100

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.138

digital

Regnearket skal brukes som budsjett og regnskap for et kor. Fullfør regnearket med tall du selv finner på. Du bør budsjettere slik at inntekter og utgifter er omtrent like, men du kan velge å la regnskapet gå med overskudd eller underskudd.

Oppgave 1.139

digital

Tora skal bo på hybel når hun skal begynne på videregående skole. Mor har hjulpet henne med å sette opp budsjett for én måned.

Opprett regnearket slik det er vist i figuren over. Bruk formler i kolonne D, E, H og I. Skriv inn tenkte regnskapstall for Tora for november måned. Hvordan stemmer regnskapet du har laget med budsjettet? Vil du gjøre endringer i budsjettet? Er det noen poster mor ikke har tatt med?

•

ØKONOMI

101

Statens institutt for forbruksforskning (Sifo) har et referansebudsjett på Internett som du kan bruke for å gjøre eventuelle endringer i Toras budsjett. Se www.sifo.no.

Tallene som er ringet ut viser forbruket til en familie med en mamma, en pappa, et barn på 5 år og et barn på 11 år. Et budsjett viser en plan for inntekter og utgifter i framtiden. Et regnskap viser en oversikt over inntekter og utgifter vi har hatt.

Oppgave 1.140

samarbeid

Vi tenker oss at skolen skal arrangere en aktivitetsdag for elevene, og de trenger å kjøpe inn noe utstyr og mat til denne dagen. Dere skal lage budsjett og regnskap for aktivitetsdagen. Dere velger selv hva dere skal spise og hvilken type utstyr dere trenger. Bruk gjerne regneark.

102

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.141

samarbeid

Forklar begrepene utgift, forbruk, inntekt, rabatt, regnskap, budsjett, overskudd og underskudd. Bruk gjerne eksempler.

SPARING Hvis Tora klarer å holde utgiftene innenfor rammen av mors budsjett, kan hun spare litt hver måned. Hun kan opprette sparekonto og sette inn litt penger på denne kontoen hver måned. Når vi setter inn penger på en sparekonto, vil banken betale oss renter. Renten er en viss prosent per år av beløpet vi har på kontoen. Denne prosenten kaller vi rentefoten.

eksempel 34 sparing Tora har fått 2000 kr i julegave av bestemor. Bestemor overførte pengene til Toras sparekonto 31. desember. Rentefoten på sparekontoen er 2,5 % per år. Hvor stort beløp kan Tora ta ut etter ett år? Løsning Vi regner ut renten: 2000 kr ∙ 0,025 = 50 kr

Vi kan sette opp en regnearkmodell slik:

Etter et år har beløpet vokst til: 2000 kr + 50 kr = 2050 kr Vi kan også bruke vekstfaktor til å regne ut hva beløpet har vokst til. Vekstfaktor: 1 + 0,025 = 1,025 Beløpet har vokst til: 2000 kr ∙ 1,025 = 2050 kr

•

ØKONOMI

103

Oppgave 1.142 Finn hva beløpet vil vokse til på ett år.

a 4000 kr med rentefot på 4,2 % per år b 12 000 kr med rentefot på 3,1 % per år c 7200 kr med rentefot på 1,8 % per år Hvis beløpet blir stående i banken i mer enn ett år, får vi rente av tidligere års renter også. Dette kaller vi rentesrente.

eksempel 35 sparing over flere år Vi lager et regneark som viser hvordan et beløp på en sparekonto vokser når det blir stående i banken i flere år.

I rad 8 bruker vi absolutt cellereferanse til B3 og B4 for å kunne kopiere formlene nedover i resten av radene.

104

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.143

digital

a Lag et regneark som kan brukes til å regne ut hva et beløp vokser til når det står på en bankkonto med samme rente i 10 år. Se på eksempel 35 når du lager regnearkmodellen din.

b Hvor mange prosent må renten være per år dersom et beløp på 10 000 kr skal vokse til minst 15 000 kr på 10 år? Bruk regnearket du laget i oppgave a, og prøv deg fram for å finne svaret.

c Hvor mange år må 100 000 kr stå i banken for å vokse til 120 000 kr hvis rentefoten er 2,0 % per år?

Oppgave 1.144

digital

utfordring

a Tora får 2000 kr av bestemor. Pengene overføres til Toras nyopprettede sparekonto 31. januar. De påfølgende fire årene klarer Tora å spare 2000 kr hvert år. Hun setter disse pengene inn på sparekontoen sin 31. januar. Hvor mye har Tora på sparekontoen sin ett år etter siste innskudd? Vi forutsetter at rentefoten på sparekontoen er 2,5 % per år hele perioden. Løs oppgaven i regneark.

b Rentefoten endres til 2,8 % per år den dagen Tora setter inn det tredje sparebeløpet sitt. Hvor mye vil Tora ha på sparekontoen ett år etter siste innskudd?

•

ØKONOMI

105

Nå skal vi finne fram til en formel som kan brukes til å regne ut hva et spart beløp har vokst til etter tre år. Denne måten å regne på er nyttig når vi ikke bruker regneark. Vi tenker oss at vi setter inn 3000 kr på sparekonto. Rentefoten er 2,5 %. Da blir vekstfaktoren 1,025. Etter ett år har vi 3000 ∙ 1,025 kr. Etter to år har vi (3000 ∙ 1,025) ∙ 1,025 kr = 3000 ∙ 1,0252 kr. Etter tre år har vi (3000 ∙ 1,0252) ∙ 1,025 kr = 3000 ∙ 1,0253 kr. Vi ser at vi kan multiplisere beløpet med vekstfaktoren opphøyd i antall år pengene har stått på kontoen.

Når et beløp K vokser med samme prosent i n perioder, kan vi ﬁnne hva beløpet har vokst til slik: Finn først vekstfaktoren v. Deretter regner du ut hva beløpet har vokst til, slik: K ∙ vn

eksempel 36 sparing i flere år 20 000 kr settes inn på sparekonto. Rentefoten er 3,4 %. Hva har beløpet vokst til etter 8 år? Løsning K8 = 20 000 ∙ 1,0348 = 20 000 ∙ 1,306 65 = 26 113,30 Beløpet har vokst til 26 113,30 kr.

Dersom pengene ikke er på kontoen hele året, får vi rente bare for den delen av året pengene er på kontoen. Vi må da dele antall dager pengene er på konto på antall dager i året.

106

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

eksempel 37 sparepengene står ikke på konto hele året Tora har bursdag 10. november og får 500 kr i bursdagsgave av farmor i 2015. Hun setter pengene inn på sparekontoen sin der hun har 2,5 % rente per år. Hvor mye har pengene vokst til ved årets slutt? Løsning Antall dager pengene står i banken: 20 dager i november + 31 dager i desember. I 2015 er det 365 dager. Antall dager: 20 + 31 = 51 Rente for et helt år: 500 kr ∙ 0,025 = 12,50 kr 51 = 12,5 ∙ 0,140 = 1,75 kr Rente for 51 dager: 12,5 ∙ 365 Beløpet har vokst til: 500 kr + 1,75 kr = 501,75 kr Vi kan beregne hva beløpet vokser til i regneark, slik:

Oppgave 1.145

digital

Tore fikk 8000 kr til sammen i konfirmasjonsgaver. Han satte pengene inn på sparekontoen sin 20. mai. Renten på sparekontoen er 3,0 %.

a Hvor mye har Tore på sparekontoen ved årets slutt? b Året etter kjøper Tore en kajakk. Han tar ut alle pengene fra sparekontoen sin 5. juli. Hvor mye penger tar Tore ut fra sparekontoen?

c Løs oppgave b i regneark.

•

ØKONOMI

107

Mange banker tilbyr sparekalkulator på Internett. Da kan du skrive inn hvor mye du vil spare hver måned, og få regnet ut hvordan pengene vokser på kontoen din.

Når vi sparer, betaler banken oss rente. Renten oppgis som prosent per år. Når pengene står på konto i ﬂere år, får vi også rente av tidligere års renter. Dersom vi sparer deler av et år, får vi en andel av den årlige renten som tilsvarer tiden pengene står i banken, antall dager antall dager i året

Oppgave 1.146

samarbeid

Forklar begrepene rente, rentefot og rentesrente. Bruk gjerne eksempler.

LÅN Dersom vi skal kjøpe noe veldig dyrt, som en bil eller en leilighet, er det vanlig å ta opp lån. Vi låner penger av banken. Da må vi betale rente til banken. Renten oppgis som prosent per år. Vi betaler lånet tilbake i deler, vi kaller beløpene vi betaler tilbake for avdrag. Vanligvis stiller banken noen krav til oss for at vi skal få låne penger: At vi har noe egenkapital, og at vi har inntekt slik at vi klarer å betale renter og avdrag. For mange av oss er det første lånet vi tar opp, et studielån. Dette er penger vi bruker til å leve mens vi studerer eller går på skole. Lånet må nedbetales over en periode, ofte mange år. Tidspunktene man betaler inn på lånet, kalles terminer. Noen ganger har man årlige terminer, andre ganger betaler man et beløp hver måned og har da månedlige terminer.

108

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

eksempel 38 nedbetalingsplan for serielån Tina skal låne penger for å kjøpe seg bil. Hun har spart en stund, slik at hun har en egenkapital på 30 000 kr. Bilen hun skal kjøpe, koster 89 000 kr. Hun tilbys serielån med 4,0 % rente per år som skal nedbetales over 6 år med årlige terminer. Finn ut hvor mye Tina må låne, og hvor mye hun må betale i renter og avdrag hvert år. Løsning Vi finner først ut hvor mye Tina må låne: 89 000 kr – 30 000 kr = 59 000 kr. Avdrag per år:

59 000 kr " 9833,33 kr 6 ÅRLIG

ÅR

AV D R A G

RENTE

TERMINBELØP

RESTLÅN

9833,33 kr

59 000 kr ∙ 0,04 = 2360 kr

9833,33 kr + 2360 kr = 12 193,33 kr

59 000kr – 9833,33 kr = 49 166,67 kr

9833,33 kr

9833,33 kr 49 166,67 kr ∙ 0,04 + 1966,67 kr = 11 800,00 kr = 1966,67 kr

49 166,67 kr – 9833,33 kr = 39 333,33 kr

9833,33 kr

9833,33 kr 39 333,33 kr ∙ 0,04 + 1573,33 kr = 11 406,67 kr = 1573,33 kr

39 333,33 – 9833,33 kr = 29 500,00 kr

9833,33 kr

29 500 kr ∙ 0,04 = 1180,00 kr

9833,33 kr + 1180 kr = 11 013,33 kr

29 500 kr – 9833,33 kr = 19 666,67 kr

9833,33 kr

9833,33 kr + 19 666,67 kr ∙ 0,04 786,67 kr = 10 620 kr = 786,67 kr

9833,33 kr

9833,33 kr ∙ 0,04 = 393,33 kr

9833,33 kr + 393,33 kr = 10 226,67 kr

19 666,67 kr – 9833,33 kr = 9833,33 kr 9833,33 kr – 9833,33 kr = 0 kr

Du bør se nøye på utregningene i eksemplet over slik at du forstår hvordan vi kommer fram til hva Tina skal betale hvert år. Vi kan lage en slik nedbetalingsplan for et serielån i regneark.

•

ØKONOMI

109

Oppgave 1.147 Hans låner 12 000 kr. Lånet er et serielån som skal nedbetales over 4 år. Rentefoten er 3 %. Lag en nedbetalingsplan som viser hva Hans hvert år betaler som avdrag og renter.

eksempel 39 nedbetalingsplan for serielån i regneark Vi har her en regnearkmodell som viser en nedbetalingsplan for Tinas billån.

Ved å bruke absolutt cellereferanse noen steder kan vi kopiere formlene, og det er da ikke noe problem å utvide regnearkmodellen med flere år. Vi kan også summere renteinnbetalingene, og vi kan summere slik at vi ser hvor mye Tina totalt betalte til banken i løpet av de 6 årene.

110

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.148

digital

a Lag en regnearkmodell som regner ut avdrag og renter på Tinas lån (Eksempel 38 og 39) dersom lånet skal tilbakebetales på 10 år.

b Hvor stort kan lånet maksimalt være dersom lånet skal nedbetales over 6 år, renten er 4,0 % og Tina aldri skal betale mer enn 10 000 kr på et år?

c Dersom Tina låner 59 000 kr og renten er 4,0 %, hvor mange år må lånet være over dersom hun aldri skal betale mer enn 10 000 kr på et år?

d Dersom Tina låner 59 000 kr over 6 år, hva er det høyeste renten kan være dersom hun aldri skal betale mer enn 11 000 kr per år?

e Etter 3 år settes renten på Tinas lån ned til 3,8 %. Gjør nødvendige endringer i regnearket slik at det viser den nye nedbetalingsplanen. Når vi låner penger, må vi betale renter til banken. Renten oppgis i prosent per år. Hvis vi har et serielån, er avdragene like store hver termin. Renten regnes ut av det som gjenstår av lånet.

•

ØKONOMI

111

Oppgave 1.149

digital

fra eksamen 2015

Oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Isak vil bygge et kyllingfjøs og får et serielån i banken. Lånebeløpet er 3 600 000 kr. Han vil betale ned lånet med én termin per år i 10 år. Renten er 4,0 % per år. Nedenfor ser du et oppsett for nedbetalingsplanen fra banken. Alle beløp er oppgitt i kroner.

a Fullfør nedbetalingsplanen i et regneark. b Framstill terminbeløp for hvert år i et passende diagram. Isak vurderer å betale ned lånet i løpet av 8 år med én termin per år. Renten er fortsatt 4,0 % per år.

c Hvor mye mindre betaler Isak i renteutgifter totalt ved å redusere antall terminer til 8?

Oppgave 1.150

digital

Familien Vik flytter til Drammen, kjøper en rekkehusleilighet og må ta opp et boliglån på 1,8 millioner kr. Lånet er et serielån. De skal nedbetale lånet over 15 år med månedlige terminer. Renten på boliglånet er 3,5 %. Lag en nedbetalingsplan der du forutsetter at renten er den samme hele perioden.

112

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

ANNUITETSLÅN Bankene tilbyr ofte det som kalles annuitetslån. Da er beløpet låntaker må betale, det samme alle årene lånet går over. Dette beløpet er sammensatt av avdrag og renter. Vanligvis er boliglån annuitetslån. Detaljer om hvordan det årlige beløpet regnes ut, skal vi ikke gå inn på her, men det fins en funksjon i regnearket som regner ut det årlige beløpet for oss.

eksempel 40 annuitetslån Familien Nilsen tar opp et boliglån på 1 500 000 kr. Lånet er et annuitetslån, og det skal betales tilbake over 20 år. Renten er 3,3 %. Finn det beløpet de må betale hvert år. Løsning

Oppgave 1.151

digital

Lag et regneark som regner ut hvor mye det skal betales årlig om man har et boliglån på 2 millioner kr med en rentefot på 3,0 % som skal nedbetales over 25 år.

Oppgave 1.152

samarbeid

Forklar begrepene egenkapital, avdrag, termin, terminbeløp, serielån, nedbetalingsplan og annuitetslån. Bruk gjerne eksempler.

•

ØKONOMI

113

KREDITTKORT Du har kanskje skaffet deg en brukskonto i en bank. Da har du gjerne et bankkort som du betaler med når du kjøper noe i butikk eller på Internett. Når du bruker bankkortet, trekkes det med en gang penger fra kontoen din. Noen mennesker trenger av og til kortsiktige lån til vanlig forbruk. En måte å skaffe seg et slikt lån er å bruke et kredittkort. Når man bruker kredittkortet, låner man penger av kredittkortselskapet. Ofte er det slik at lånet er rentefritt en kort periode, for eksempel inntil 45 dager. Men etterpå er renten på slike lån ganske høy, den kan for eksempel være 25 % per år. Ofte oppgis renten per måned. Det er bare personer over 18 år som kan ha kredittkort.

eksempel 41 kjøp med kredittkort Niklas kjøper flybillett til Paris med kredittkort. Rentefoten er 8 % per måned. Billetten kommer på 2460 kr. Beløpet er rentefritt fram til første forfall. Da betaler Niklas 1000 kr. Neste måned betaler han også 1000 kr. Den tredje måneden betaler han resten. Hvor mye har Niklas betalt til sammen?

114

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Løsning F O R FA L L

B E TA L E R

RENTE

RESTBELØP

Første

1000 kr

1460 kr

Andre

1000 kr

1460 kr ∙ 0,08 = 116,80 kr

460 kr + 116,80 kr = 576,80 kr

Tredje

576,80 kr + 46,14 kr = 622,94 kr

576,80 kr ∙ 0,08 = 46,14 kr

Sum

1000 kr + 1000 kr + 622,94 kr = 2622,94 kr

Vi kan løse oppgaven med regneark slik:

Oppgave 1.153

digital

En del butikker tilbyr avtaler av typen «kjøp nå, betal seinere». Her er et eksempel på vilkårene som gjelder for en slik avtale: Kontohaver er innforstått med at det belastes renter med for tiden 1,75 % per md. av det til enhver tid utestående beløp. I tillegg kommer et månedlig termingebyr (pengetransaksjonskostnader) på kr 45,-. Lise kjøper i februar med disse vilkårene PC og TV som til sammen koster 12 600 kr. Hun vil betale hele beløpet om 6 måneder, etter at hun har fått lønn for sommerjobben sin. Regn ut hvor mye Lise må betale.

•

ØKONOMI

115

Ved bruk av kredittkort kan vi låne penger av kredittkortselskapet. Dersom vi ikke betaler innen den rentefrie perioden, påløper renter. Rentene på kredittkjøp beregnes per måned og er relativt høye.

Oppgave 1.154 Tiril vil kjøpe seg ny sykkel og betaler med kredittkort. Sykkelen koster 5400 kr. Renten på kredittkortet er 7,5 % per måned. Fram til første forfall er gjelden rentefri. Da betaler hun 2000 kr. Ved andre forfall betaler hun resten og rentene. Hvor mye betalte Tiril til sammen for sykkelen?

Oppgave 1.155

fra eksamen 2012

digital

Oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Live skal få satt inn en ny tann. Behandlingen koster 10 000 kr. Hun får tilbud om et lån som skal nedbetales i løpet av 10 måneder med avdrag på 1000 kr per måned. Renten er 2 % per måned. Alle beløp er i kroner.

a Bruk formler og lag ferdig nedbetalingsplanen for Live. Ta med formelutskrift.

116

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

b Framstill terminbeløpene for lånet i et stolpediagram. En annen bank tilbyr Live et lån med en rente på 1,5 % per måned. Lånene er ellers like.

c Hvor mye sparer Live totalt på å velge dette lånet? Du trenger ikke ta ny formelutskrift.

LØNN OG SKATT Oppgave 1.156 Tuva har sommerjobb i en skobutikk. Hun jobber i fire uker. Hver uke jobber hun 30 timer. Timelønna er 120 kr. Hvor mye tjener Tuva på sommerjobben?

Oppgave 1.157

digital

Etter sommerferien fortsetter Tuva å jobbe i skobutikken torsdag ettermiddag hver uke. En måned har hun jobbet fire torsdager. Hun jobber fra kl. 16.00 til kl. 20.00. Timelønna er 120 kr. Hun får 30 % tillegg for de timene som er etter kl. 18.00.

a Regn ut hvor mye Tuva tjener denne måneden. b Lag en regnearkmodell som kan brukes til å regne ut hvor mye Tuva tjener denne måneden. Lag modellen dynamisk slik at det er lett å endre antall dager Tuva jobber, antall timer hun jobber per dag, antall timer som er etter kl. 18.00, og timelønna.

c Måneden etter jobber Tuva 3 torsdager fra kl. 15.00 til 20.00. Gjør endringer i regnearkmodellen slik at den viser hva Tuva tjener denne måneden.

•

ØKONOMI

117

Dersom inntekten vår overstiger et visst beløp på et år må vi betale skatt. Arbeidsgiveren skal alltid ha et skattekort før lønna utbetales. Selv om du ikke skal betale skatt, må du ha frikort. På skatteetaten.no finner du grensen for frikort og informasjon om hvordan du bestiller ulike typer skattekort, inklusive frikort. Skoleelever og studenter som tjener mer en fribeløpet, har som oftest et prosentkort som viser hvor mye skatt de skal betale.

eksempel 42 å beregne nettolønn Vilde jobber på et treningssenter og tjener 135 kr per time. Hun jobber 20 timer per uke. Hun betaler 15 % skatt. En måned har hun jobbet akkurat 4 uker. Finn Vildes bruttolønn, skattetrekk og nettolønn denne måneden. Løsning Bruttolønna er det Vilde tjener før noe er trukket fra. Bruttolønn: 135 kr ∙ 20 ∙ 4 = 10 800 kr Skatt: 10 800 kr ∙ 0,15 = 1620 kr Nettolønn: 10 800 kr – 1620 kr = 9180 kr

Nettolønn er det beløpet vi får utbetalt. Dersom vi betaler pensjonsinnskudd og fagforeningskontingent, blir disse trukket fra bruttolønna for å finne det beløpet som er trekkgrunnlag for skatt. Skatten beregnes så med utgangspunkt i trekkgrunnlaget.

Oppgave 1.158

digital

Thomas jobber på et lager. Han tjener 125 kr per time. En måned jobber han 85 timer. Thomas har prosentkort, og det trekkes 18 % skatt. Han er medlem i fagforening, og kontingenten er 200 kr per måned.

118

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

a Regn ut bruttolønna, skattetrekket og nettolønna til Thomas denne måneden.

b Lag en regnearkmodell som Thomas kan bruke til å regne ut nettolønna si. Modellen skal være fleksibel slik at inndataene enkelt kan endres.

Oppgave 1.159

digital

Sigve har fått jobb med jordbærplukking en uke i sommerferien. Han har akkordlønn. Det innebærer at han får lønn i forhold til hvor mange kurver jordbær han plukker. Sigve får 8 kr per kurv. I tillegg til akkorden får han 200 kr per dag. Her ser du hvor mange kurver han plukker den uka han jobbet: Mandag: 22 kurver Tirsdag: 34 kurver Onsdag: 30 kurver Torsdag: 42 kurver Fredag: 40 kurver Sigve har frikort. Lag en regnearkmodell som beregner hvor mye Sigve tjener på en uke.

Oppgave 1.160 Tommy har fast jobb i bank, og bruttolønna hans hver måned er 43 400 kr. Tommy har tabellkort. Det vil si at skattetrekket bestemmes ved å slå opp i en tabell. Her ser du et utdrag av den tabellen Tommy bruker (kilde: skatteetaten.no):

Tommy betaler 500 kr per måned i fagforeningskontingent. Han betaler også innskudd til en pensjonsordning. Beløpet han betaler, er 2,5 % av bruttolønna. Lag en oversiktlig oppstilling som viser hva Tommys nettolønn blir.

•

ØKONOMI

119

Alle som får lønn, må ha skattekort. Hvis vi i løpet av året tjener mindre enn fribeløpet, bruker vi frikort. Hvis vi tjener over fribeløpet, bruker vi prosenttrekk eller tabelltrekk.

Oppgave 1.161

samarbeid

Anslå en månedslønn for en voksen person i full jobb. Det kan være en lærer, en butikkmedarbeider, en sykepleier etc. Bruk nettsiden skatteetaten.no og velg en trekktabell. Finn skattetrekket for en måned.

Oppgave 1.162 Når vi har ferie, får vi ikke lønn. I stedet får vi feriepenger. Feriepengene er for personer under 60 år 10,2 % av bruttolønna året før. I fjor var Tommys bruttolønn 495 600 kr. Hvor stort beløp får han i feriepenger i år?

Oppgave 1.163

samarbeid

Forklar begrepene skatt, frikort, prosenttrekk, tabelltrekk, trekkgrunnlag, bruttolønn, nettolønn, akkordlønn og feriepenger. Bruk gjerne eksempler.

120

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

HVA KAN DU NÅ om økonomi? 1

Prisen på et par fjellsko er nedsatt med 30 % i butikk A. Førprisen var 999 kr. I butikk B koster de samme skoene 699 kr på salg. De var nedsatt med 25 %. Gjør beregninger og finn ut hvor skoene var billigst før og etter at prisen ble satt ned.

Tore kjøper et nytt kjøleskap. Prisen uten merverdiavgift er 2300 kr. Hva blir prisen med merverdiavgift som Tore skal betale?

En vare koster 100 kr når merverdiavgiften på 25 % er inkludert. Hva koster varen uten merverdiavgift?

Bruk regneark og lag en modell som viser hva Tora skal betale når hun kjøper: A N TA L L

PRIS PER STK.

Skrivebok

39 kr

Blyant

13 kr

Viskelær

12 kr

VA R E

Klassen skal arrangere en konsert der foreldre og venner inviteres. De vil ha noen utgifter til leie av diverse lydutstyr, kjøring av utstyr, og noen notestativ som må kjøpes inn. De vil ha inngangspenger som skal dekke utgiftene. Bruk regneark og lag en modell som kan brukes som budsjett og regnskap for konserten.

HVA KAN DU NÅ ?

121

Vilde har tjent bra på sommerjobben sin og kan i august sette inn 6500 kr på sparekontoen sin. Hun får 3,2 % rente. Bruk regneark og finn ut hvor mye Vilde har på kontoen etter 1, 2, 3, 4 og 5 år.

Hilde kjøper bil og må ta opp et lån på 40 000 kr. Lånet er et serielån som skal nedbetales over 5 år med årlige terminer. Renten er 5,6 %. Sett opp en nedbetalingsplan som viser renter, avdrag og terminbeløp for hvert år.

Nelly er student og har deltidsjobb på biblioteket. Timelønna er 145 kr. En måned har hun jobbet 68 timer. Nelly har prosentkort og betaler 18 % skatt. Regn ut hvor mye Nelly får utbetalt denne måneden.

Forklar forskjellen på

a regnskap og budsjett b bruttolønn og nettolønn c serielån og annuitetslån d rente og rentesrente e bankkort og kredittkort f skattekort, prosentkort og tabellkort g pris uten mva. og pris med mva.

122

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

OPPGAVESAMLING Kapittel 1

På elevnettstedet ﬁnner du sammendrag til dette kapitlet.

1A Tallregning Oppgave 100

Oppgave 104

Regn ut.

Sett begrepene på riktig plass i teksten. multiplikasjon negative divisjon differanse faktor

Oppgave 101

addisjon ledd subtraksjon faktorer regneart regnetegn

Lag regnefortellinger til regnestykkene under. Lag fasit til oppgavene.

Svaret i et multiplikasjonsstykke kaller vi .

a 12,90 + 34,50 + 19,90

De fire regneartene kaller vi , , og .

b 175 – 49,50

+ og – er eksempler på

a 1021 – 563

d 696 ∙ 41

b 34,8 + 89,5

e 3,86 ∙ 8,3

c 407,94 : 7,8

f 8,5 : 3,4

c 26 ∙ 3,5

Når vi subtraherer to tall, finner vi forskjellen. Dette kalles for .

d 76 : 2,5

ledd + ledd =

Oppgave 102

I regnestykket 2 ∙ 3 = 6 er 2 og 3

En klasse med 27 elever vil kjøpe en gave til en lærer som koster 640 kr. De tar 100 kr fra klassekassa og spleiser på resten. Hvor mye må hver betale?

Tall som er mindre enn 0, kaller vi tall.

Oppgave 105 a Hva er summen av 354 og 345?

Oppgave 103

b Hva er differansen mellom 2001

Hvilket tall skal stå i stedet for x?

og 1999?

a –5 + x = –15

c –7 – x = 15

c Hva er produktet av 18 og 5?

b –4 + x = 7

d x – 5 = –13

d Hva er svaret i divisjonsstykket 840 : 6? OPPGAVESAMLING

123

Oppgave 106

Oppgave 110

Regn ut.

Regn ut og vis utregning.

a 832 + 1196

c 14,2 · 3,1

a 38 ∙ 24

b 987 – 789

d 1620 : 120

b 9789 – 138 c 4509 + 978

Oppgave 107

d 1620 : 15

Regn ut.

e Hva kalles regneartene i

a 395 + 1988

c 102 · 98

b 572 – 479

d 81 : 0,27

oppgave a–d?

Oppgave 111 Oppgave 108 Regn ut. Bruk hoderegning og tenk gjennom hvilken strategi du bruker.

Disse oppgavene er løst slik at sifrene i svarene er riktige, men desimaltegnet mangler. Sett desimaltegn på riktig sted. Forklar hvorfor du mener at desimaltegnet skal stå der du plasserte det.

a 26 + 34

d 7 ∙ 70

b 67 – 58

e 160 : 40

a 6,2 ∙ 1,7 = 1054

c 200 : 25

f 34 – 26

b 0,35 ∙ 5,2 = 182 c 24,3 ∙ 64,5 = 156735 d 237,3 ∙ 0,99 = 234927

Oppgave 109 Regn ut ved hjelp av hoderegning eller skriftlig regning.

Oppgave 112

a 328 + 124

f 350 ∙ 20

Regn ut.

b 629 – 232

g 736 + 263

a 36,6 : 6

c 1260 : 30

h 60 : 8

b 36,24 : 0,12

d 846 – 248

i 624 : 24

c 75,2 : 8

e 3200 ∙ 6

124

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

d 36,24 : 1,2

Oppgave 113

Oppgave 114

Philip tar bussen to ganger hver dag hele uka. En billett koster 16 kr.

Kaffe selges i ulike pakninger til ulik pris. Du kan velge mellom:

a Hvor mye koster det i en uke?

• Type A: 300 g kaffe til 29,90 kr

b Hvor mye koster det i en måned

• Type B: 100 g kaffe til 11,90 kr

(30 dager)?

• Type C: 750 g kaffe til 50,00 kr

c Han kan kjøpe et månedskort. Det koster 720 kr. Hvor mye sparer han ved å kjøpe et månedskort?

Hvilken er billigst? Begrunn svaret ditt.

Tallmengder og tallinja

Oppgave 115

Oppgave 117

Tegn tallinjer og plasser tallene. Du kan bruke kalkulator.

a Finn et tall som ligger mellom

a 2,6

d 0,03

b –3,2

c 0,4

f π2

Oppgave 116 I denne oppgaven skal vi jobbe med mengdene M = {0 , 1 , 2 , 3}, N = {2 , 3 , 4} og K = {2 , 3} Hvilke utsagn er sanne?

0,9 og 1 på tallinja.

b Finn et tall som ligger mellom 0,8 og 0,81 på tallinja.

c Hvilket tall ligger midt mellom –0,3 og 0,8 på tallinja?

Oppgave 118 Skriv disse rasjonale tallene som n , der n og m er hele tall. brøker m

a 0,25 b 0,3333333...

a M

c 1,3333333...

b N

d 0,212121...

c K

e –3,949494...

d 2 K

f 6,00757575...

e 4 K

OPPGAVESAMLING

125

Oppgave 119 a Forklar hvorfor dette tallet må være irrasjonalt: 0,101001000100001000001...

b Lag et eget eksempel på et irrasjonalt tall som oppfyller disse kravene: Tallet skal ha uendelig mange desimaler forskjellig fra 0, og det skal være et system i desimalene til tallet.

Oppgave 120 I denne oppgaven skal vi se hvordan man kan bevise at 2 er et irrasjonalt tall. De gamle grekerne oppdaget dette beviset.

d Forklar hvorfor i så fall n også må

La oss anta at 2 er et rasjonalt tall. Da fins det hele tall n og m slik at n 2" m

e Siden vi nå vet at n er et partall,

Hvis 2 kan skrives som en slik brøk, kan den også skrives som en brøk som er forkortet så mye som mulig. Derfor kan vi anta at telleren n og nevneren m ikke har felles faktorer. Vi skal nå resonnere oss framover steg for steg med dette utgangspunktet.

g Forklar hvorfor m2 må være et

n2 . m2 b Bevis at 2m2 = n2 .

a Bevis at 2 "

c Forklar hvorfor n2 må være et partall.

126

utfordring

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

være et partall. (Hint: Oddetall multiplisert med oddetall må bli oddetall. Hvorfor?) kan vi skrive n = 2k, der k er et naturlig tall. Bevis at 2m2 = 4(k2).

f Bevis at m2 = 2(k2). partall.

h Forklar hvorfor i så fall m må være et partall. (Hint: Samme som i oppgave d.)

i Vi vet nå at både n og m må være partall. Men da er jo ikke brøken vi startet med, forkortet så mye som mulig likevel! Forklar hvorfor dette betyr at det ikke kan finnes noen slik brøk. Hvorfor beviser dette at tallet 2 må være irrasjonalt?

Enheter og måling

Oppgave 121

Oppgave 124

Gjør om mellom.

Bly har massetettheten 11,35 g/cm3. Hvor mye veier en 1 L bly?

a 20 cm til m b 1200 m til km

Oppgave 125

c 3 m2 til cm2

Et objekt veier 347 kg og har volum 0,5 m3. Hva er massetettheten?

d 20 dm2 til cm2 e 1000 dm2 til m2 f 2 h og 10 min til min

Oppgave 126

Oppgave 122

Lyset beveger seg med ca. 300 000 km per sekund i tomt rom.

Gjør om (B står for Byte).

a 2 km til mm

d 1,3 kg til μg

b 1 cm til km

e 4 GB til MB

c 5 cm til mil

f 0,4 cm til km

a Regn med at et år er 365 dager. Hvor mange km beveger lyset seg på ett år?

b En stjerne ligger 1000 lysår fra jorda. Hvor mange mil er dette?

Oppgave 123 Strømforbruk regnes vanligvis i kilowatt-timer, forkortet kWh. En kilowatt-time er energien som brukes f.eks. når en ovn på 1000 W står på i en time. W står for watt.

Oppgave 127 Skriv tallene på standardform.

a 450

d 1000

b 0,25

e 1 700 000

c 1005

f 0,0004

a I et hus står 4 ovner på 500 W på i 31 døgn. Hvor mange kWh tilsvarer dette?

b Strømregningen sier at et bolighus har brukt 2107 kWh strøm i januar måned. Hvor mange watt har strømeffekten i huset gjennomsnittlig vært i løpet av januar?

Oppgave 128 Skriv tallene på vanlig form.

a 1,0 103

d 5,8 ⋅ 10−1

b 4,78 103

e 9,8 ⋅ 10−5

c 6,666 102

f 1 ⋅ 10−2

OPPGAVESAMLING

127

Oppgave 129

Oppgave 130

a En bil kjører med farten 56 km/h

Tre pakker veier henholdsvis 103,6 kg, 23,1 kg og 0,8 kg. Hvor mye veier pakkene til sammen? Oppgi svaret med korrekt antall gjeldende sifre.

i 3,5 timer. Hvor langt kjører den?

b En annen bil skal kjøre 32 mil, og den må være framme om 5 timer. Hvilken gjennomsnittsfart må den kjøre med?

c En bil kjører 50 mil med gjennomsnittsfarten 67 km/h. Hvor lang tid bruker den?

d Hvis man løper 100 m på 9,7 sekunder, hva er gjennomsnittsfarten målt i m/s? Hva er gjennomsnittsfarten målt i km/h?

Oppgave 131 Du har målt sidene på en rettvinklet eske til å være 32 cm, 15 cm og 8 cm. Finn volumet av esken. Oppgi svaret med korrekt antall gjeldende sifre.

1D Brøkregning Oppgave 132

Oppgave 134

Regn ut og forkort.

3 2 10 10

8 3 1 9 4 2

7 1 12 3

4 6 : 5 15

216 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 9 = . . . . = 48 2 2 2 2 3 2

a Primtallsfaktorisering kan være et Oppgave 133 Regn ut, og forkort brøken hvis det er mulig.

128

1 2 5 5

5 2 2 3

d 4:

Kapittel 1

1 2 4 4 2 3

• TALL OG TALLREGNING

nyttig verktøy når dere skal forkorte brøker. Se på eksemplet og forklar hva som er gjort for å forkorte.

b Forkort brøkene. 84 128

189 126

22 66

Oppgave 135 1 3

0 1 6

0 0

1 9

3 6

2 6 2 9

3 9

4 9

1 4

0 1 5

0 0

2 3 4 6 5 9

5 3

6 9

2 4 2 5

7 9

1 8 9

3 4 3 5

1 1

4 5

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Hvis du trekker loddrette linjer fra tallinjene med brøk til tallinja med desimaltall, viser det samme verdi.

a Hvor mye er tre firedeler skrevet som desimaltall?

b Hva er 0,8 skrevet som brøk? c Finn to brøker som er likeverdige.

1 1

d Hva blir brøkene du fant i oppgave c, skrevet som desimaltall?

e Lag en oppgave til tallinjene. Lag fasit til oppgaven.

Prosent og promille

Oppgave 136

Oppgave 138

Regn ut.

Finn prosentgrunnlaget.

a 10 % av 100

d 5 % av 200

a 10 er 20 %

b 5 % av 100

e 20 % av 500

b 0,2 er 10 %

c 10 % av 200

f 0,2 % av 500

c 300 er 150 %

Oppgave 137

Oppgave 139

Hvor mange prosent er

a 40 av 100

d 2 av 10

En vare koster 1000 kr både i butikk A og i butikk B.

b 15 av 45

e 0,1 av 0,4

• I butikk A blir prisen satt ned

c 5 av 50

f 250 av 10 000

med 20 % på fredag.

• I butikk B blir prisen først satt ned med 10 % på fredag, deretter ned med 10 % til på lørdag. I hvilken butikk er varen billigst etter prisreduksjonene?

OPPGAVESAMLING

129

Oppgave 140

Oppgave 143

En bukse koster til vanlig 1099 kr, og en genser koster til vanlig 899 kr.

a På en skole fikk 5 % av elevene

Anne kjøper både buksa og genseren, og får totalt 38 % prisavslag. Gjør overslag, og bestem omtrent hvor mye Anne må betale.

Oppgave 141 En vare på salg er nedsatt med 60 %. Varen koster nå 800 kr. Hva kostet varen før den ble satt ned?

på 10. trinn karakteren 6 til eksamen i matematikk. Det var 134 elever på 10. trinn. Hvor mange elever fikk karakteren 6?

b På en annen skole var det 56 elever, og 4 elever fikk karakteren 6. Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 6?

c På en tredje skole fikk 6 elever karakteren 6. Dette var 8 % av elevene. Hvor mange elever var det på 10. trinn på denne skolen?

Oppgave 142 Forklar forskjellen på at

– antall elever som har med seg frukt på skolen, har økt med 20 %

– antall elever som har med seg frukt på skolen, har økt med 20 prosentpoeng Du kan gjerne bruke et eksempel når du forklarer.

Økonomi

Oppgave 144 a En bussreise koster 80 kr. 1. januar

c Verdien av en eiendom økte fra

øker prisen med 5 %. Hva koster bussreisen etter prisøkningen?

2013 til 2016 med 200 000 kr. Dette var en verdiøkning på 20 %. Hva var eiendommens verdi i 2016?

b En dag koster en kurv jordbær på torget 40 kr. Neste dag koster en kurv jordbær 35 kr. Med hvor mange % har prisen gått ned?

130

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 145

Oppgave 148

a Tore har kjøpt en stol som koster

Forklar for en medelev hva som menes med rentesrente. Du kan gjerne bruke et eksempel i forklaringen din.

1200 kr. Hvor mye utgjør merverdiavgiften?

b Liv har handlet ingredienser til å lage middag for 115 kr. Merverdiavgiften er 15 % på matvarer. Hva er prisen på matvarene uten merverdiavgift?

c Sara reiser med toget fra Lillestrøm til Otta. Prisen på billetten er 282 kr. Merverdiavgiften utgjør 25,64 kr. Finn prosentsatsen for merverdiavgiften.

Oppgave 146

utfordring

a Sigve vil kjøpe bil og setter inn 10 000 kr på sparekontoen sin. Han får 3 % rente. Hvor stort beløp har han på sparekontoen etter ett år?

b Etter ett år setter Sigve igjen inn 10 000 kr på sparekontoen. Hvilket beløp har han på kontoen etter to år?

Oppgave 147 Sigve låner 40 000 kr for å kjøpe bil. Renten er 5 % per år.

a Hvor mange kroner må Sigve betale i renter det første året?

b Sigve betaler 10 000 kr i avdrag hvert år. Hvor mye betaler han i renter og avdrag det andre året?

Oppgave 149 Tove jobber i en kafé noen lørdager. Hun tjener 110 kr timen. I desember har hun jobbet 20 timer. Tove har frikort.

a Hvor mye får Tove utbetalt i lønn denne måneden?

b I januar får Tove en lønnsøkning på 5 %. Hun jobber 15 timer. Dessuten regner hun med å jobbe så mye dette året at hun har fått prosentkort. Hun betaler 10 % skatt. Hvor mye får Tove utbetalt i januar?

Oppgave 150

digital

Sigrid setter 200 kr inn på sparekontoen sin hver måned. Renten på sparekontoen er 3,3 % per år.

a Lag en regnearkmodell som for 12 måneder framover viser hvor mye Sigrid har satt inn på kontoen, hvor mye renter hun har fått, og hvor stort beløp hun har på kontoen.

b Etter 12 måneder reduseres renten til 3,1 %. Sigrid fortsetter å spare i 5 måneder til. Så tar hun ut beløpet hun har på kontoen. Utvid regnearket du laget i oppgave a, slik at du kan svare på spørsmålet: Hvor stort beløp tar Sigrid ut?

OPPGAVESAMLING

131

Oppgave 151

digital

a Sigrid vil kjøpe bil og setter inn 12 000 kr på sparekontoen sin 1. september. Hun får 2,8 % rente per år. Hun fortsetter å sette inn 1000 kr på kontoen hver måned til beløpet hun har på kontoen, passerer 30 000 kr. Hvor mange måneder må hun spare? Lag en regnearkmodell som du kan bruke til å finne det ut.

b Sigrid ønsker å bruke nøyaktig 2 år på å spare slik at hun har 30 000 kr. Bruk regnearkmodellen du laget i oppgave a, til å finne ut hvor stort månedlig beløp hun må spare etter at hun har satt inn 12 000 kr.

Oppgave 152

digital

I januar har Terje jobbet 75 timer. Av disse timene er 13 timer overtid. Terjes timelønn er 155 kr. Når han jobber overtid, får han 50 % tillegg. Terje er medlem i en fagforening, og han betaler 2 % av lønna som fagforeningskontingent. Terje har prosentkort og betaler 28 % skatt.

a Lag en oppstilling som viser hva Terjes nettolønn blir i januar.

b Lag en regnearkmodell som Terje kan bruke til å regne ut hvor mye han får utbetalt. Modellen skal være dynamisk, slik at antall timer, antall overtidstimer, timelønn og skatteprosent kan varieres.

Blandede oppgaver Oppgave 153 Lise handler på Internett. Slik ser handlevogna hennes i nettbutikken ut: VA R E

ENHETSPRIS

Pose med hårstrikk

69,00 kr

9,50 kr

Deodorant

104,30 kr

Håndkrem

8,30 kr

Leppepomade

5,40 kr

Bodylotion

8,75 kr

Shampo

Gjør et overslag over hvor mye Lise må betale.

132

A N TA L L

Kapittel 1

• TALL OG TALLREGNING

Oppgave 154 INNGANGSBILLETTER

Alder

E N K E LT B I L L E T T

Pris (i kroner)

K L I P P E K O RT

Pris (i kroner) 10 klipp

Pris (i kroner) 25 klipp

Voksen (fra 16 år)

125

1150

2665

Ungdom (10–15 år)

105

910

2060

Barn (3–9 år)

710

1485

Barn (0–2 år)

Anne (18 år), Eva (15 år) og Charles (14 år) går sammen til Badeland. Alle kjøper enkeltbillett.

a Hvor mye må Anne, Eva og Charles betale til sammen? For å spare penger vil Anne kjøpe klippekort.

I løpet av et år kjøpte Charles ett klippekort med 25 klipp og ett klippekort med 10 klipp. I tillegg kjøpte han 12 enkeltbilletter.

c Regn ut hva Charles betalte i gjennomsnitt hver gang han var i svømmehallen dette året.

b Regn ut hvor mange prosent Anne sparer dersom hun kjøper klippekort (25 klipp) i stedet for 25 enkeltbilletter.

Oppgave 155 I august 2015 kunne vi lese følgende i Stavanger Aftenblad:

utfordring a Hvor stor var arbeidsstyrken i Rogaland i august 2015?

Ledigheten er nå på 3,6 prosent av arbeidsstyrken, en oppgang på 65 prosent fra samme tid i fjor.

b Hvis vi går ut fra at arbeids-

Det er nå 9291 helt ledige i Rogaland, en endring på 3649 fra i august i fjor.

c Med hvor mange prosentpoeng

Arbeidsstyrken i Rogaland er antall mennesker som bor i Rogaland, og som er i arbeid.

styrken var like stor i august 2014, hvor mange prosent var da arbeidsledigheten på? har arbeidsledigheten økt?

d Hvordan rimer svaret ditt i oppgave c med at det i sitatet står at oppgangen er på 65 % fra 2014 til 2015? Gjør beregninger og forklar.

OPPGAVESAMLING

133

Oppgave 156

digital FØRSTE ENDRING,

VA R E

PRIS

Jakke

1600 kr

–10 %

Sovepose 2800 kr

+15 %

Ski Ulltrøye

FØRSTE ENDRING, KR

–160 kr

ANDRE ENDRING,

–25 %

ANDRE ENDRING, KR

–500 kr

499 kr

50 kr

a Gjør nødvendige beregninger, og fyll ut tabellen.

–335 kr

–20 % 50 kr

b Skriv inn tabellen i et regneark. Sett inn formler som gjør beregninger i de tomme rutene.

Oppgave 157

digital P R I S U . M VA .

M VA .- S AT S

M VA .

Kasserolle

799,00 kr

25 %

199,75 kr

Flybillett Kristiansand–Tromsø

857,00 kr

VA R E

Kalkun

15 %

Kjøkkenbord

25 %

a Gjør nødvendige beregninger, og fyll ut tabellen.

ENHETSPRIS

A N TA L L

Pose med hårstrikk

69,00 kr

Shampo

99,50 kr

Deodorant

104,30 kr

Håndkrem

48,30 kr

Leppepomade

35,40 kr

168,75 kr

a Lag et regneark som beregner hva Lise skal betale. Lag regnearket

Kapittel 1

998,75 kr

256,00 kr 580,00 kr

b Skriv inn tabellen i et regneark.

digital

Her ser du hva Lise kjøper i nettbutikken.

134

P R I S I N K L . M VA .

Sett inn formler som gjør beregninger, i de tomme rutene.

Oppgave 158

Bodylotion

ENDRING T O TA LT , KR

–15 %

2995 kr

VA R E

ENDRING T O TA LT ,

• TALL OG TALLREGNING

dynamisk, slik at du for eksempel kan endre antall av hver varetype.

b Nettbutikken legger til 50 kr for frakt. Ta med frakt i regnearket ditt.

c Frakten er gratis dersom det handles for 1000 kr eller mer. Endre regnearkmodellen slik at frakten bare legges til hvis beløpet det handles for, er 1000 kr eller mer. Sjekk at modellen er riktig ved å endre på antallet av noen av varene.

Oppgave 159

digital

En familie vurderer å flytte. For å kjøpe den boligen de ønsker seg, må de ta opp et lån på 1 750 000 kr.

a Bruk regneark og lag en nedbetalingsplan for lånet. Lånet skal være et serielån med årlig termin og en rente på 3,4 %.

Det skal betales tilbake over 15 år. Planen skal vise både hvor mye renter og avdrag utgjør hvert år, sammen med terminbeløpet og restlånet. Planen kan for eksempel starte slik:

N E D B E TA L I N G S P L A N S E R I E L Å N LÅNEBELØP: RENTE: N E D B E TA L I N G S T I D , Å R : ÅR

1 750 000,00 kr 3,40 % 15 Avdrag

Rente

Terminbeløp

Restlån

116 666,67 kr

59 500 kr

176 166,67 kr

1 633 333,33 kr

116 666,67 kr

55 533,33 kr

172 200 kr

1 516 666,67 kr

b Familien finner ut at de ikke kan håndtere et høyere første terminbeløp enn 16 000 kr.

Hva er da maksimalt lånebeløp hvis betingelsene ellers er de samme?

Oppgave 160

digital

Bruk regneark. Ta utskrift. Vis hvilke formler du har brukt. Nedenfor ser du noen av utgiftene (i kroner) som en familie har i en måned. K AT E G O R I

UTGIFT

Mat og drikke

7590

Klær og sko

2600

Personlig pleie

1610

Lek og fritid

3240

a Bruk regneark og lag et sektordiagram som viser fordelingen av utgiftene. Siv har kjøpt varer i butikken. Alle prisene er i kroner. Merverdiavgiften på 15 % er inkludert i prisene.

b Bruk regneark og regn ut prisen på hver enkelt vare uten merverdiavgift.

OPPGAVESAMLING

135

Algebra og funksjoner Mål: Du skal kunne bruke algebra, funksjoner og likninger til å løse praktiske og matematiske problemer.

2A GRUNNLEGGENDE ALGEBRA Etter dette delkapitlet skal du kunne • forstå at bokstavene i algebraiske uttrykk står for tall, og forklare hva uttrykkene betyr • bruke de grunnleggende algebraiske lovene til å forenkle algebraiske uttrykk • sette opp formler og omforme dem

Oppgave 2.1

samarbeid

I tabell A og B ser dere en del algebraiske uttrykk. Finn uttrykk fra tabell A og B som er like. tabell A A2

5 – (7 + 3) A7

a b c c A8

ab A13

3(2c) A9

A10

A15

a – (b – c)

( )( )

A11

A16

a(b + c) A12

4 2 5 5

5·4 A17

7 5 4 4

2 5 ⋅ 3 7

2 3

5 – (7 – 3)

a b c c

a – (b + c) A14

5(7 – 3)

a(b – c) A18

a(bc)

( )( ) a c ⋅ b d

tabell B B1

a–b+c B7

5–7+3 B13

138

a–b–c

Kapittel 2

ab – ac

7 5 4

4·5 B9

B14

a b c

B10

B15

5–7–3

B11

a b c

35 – 15

ac bd

B16

B12

2 5 3 7 B17

2 4 3 4

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

(3 · 2)c

ab + ac B18

4 2 5

(ab)c

BEGREPER algebraisk uttrykk usynlig parentes algebraisk lov bokstavuttrykk

I Nummer 9 jobbet vi med de ti algebraiske lovene nedenfor. Til hver lov hadde vi en regnefortelling som forklarte hvorfor regelen er riktig.

10 grunnleggende algebraiske lover For alle tall a, b, c og d gjelder reglene nedenfor. I reglene der det divideres på et tall, forutsetter vi at dette tallet ikke er null. Lov 1

ab = ba

Lov 2

a(b + c) = ab + ac

Lov 3

a(b – c) = ab – ac

Lov 4

a(bc) = (ab) c

Lov 5

a – (b + c) = a – b – c

Lov 6

a – (b – c) = a – b + c

Lov 7

a b a +b + = c c c

Lov 8

a b a −b − = c c c

Lov 9

a ac " b bc

Lov 10

a b

c ac " d bd

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

139

eksempel 1 å lage en regnefortelling Lag en regnefortelling til lov 5: a – (b + c) = a – b – c Løsning Her kan vi tenke oss at a = 200, b = 99 og c = 79. Du har 200 kr, og kjøper deg en t-skjorte og et par sokker. T-skjorta koster 99 kr, og sokkene koster 79 kr. Hvor mange kroner har du igjen? Det er to måter du kan regne dette på: 1 200 – (99 + 79) = 200 – 178 = 22 Her legger vi sammen prisen på t-skjorta og sokkene først, og så subtraherer vi summen fra 200 kr for å finne ut hvor mye som er igjen. Dette tilsvarer venstre side av lov 5. 2 200 – 99 – 79 = 22 Den andre måten å tenke på er først å subtrahere prisen på t-skjorta, og så subtrahere prisen på sokkene. Dette tilsvarer høyre side av likhetstegnet av lov 5. Vi ser at vi får samme svar.

Oppgave 2.2

samarbeid

Se oppgave 2.1. Velg ut minst fem av uttrykksparene og forklar hvorfor de er like. Du kan f.eks. bruke regnefortelling, tallinje eller geometri når du forklarer.

Oppgave 2.3

samarbeid

Sett inn tall for a, b, c og d i de 10 lovene, og vis at lovene stemmer for noen tall ved å regne ut venstre og høyre side hver for seg. Endre tallene dere satte inn for a, b, c og d, med nye tall, og vis at lovene gjelder også for disse tallene.

140

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Husk reglene vi har for «tenkte» eller «usynlige» parenteser og multiplikasjonstegn: • Når det står ab på venstre side i lov 1, betyr det a · b. Når to bokstaver står inntil hverandre, er det et usynlig multiplikasjonstegn mellom. Det samme gjelder når en bokstav står inntil en parentes. • Når det står ab + ac på høyre side i lov 2, betyr det (ab) + (ac). I uttrykk der kun de fire regneartene forekommer, skal multiplikasjon og divisjon gjøres før addisjon og subtraksjon. Alle bokstaver står for tall. Husk at variablenes navn ikke spiller noen rolle, vi kunne like gjerne uttrykt de 10 lovene med f.eks. bokstavene x, y, z og w. Vi kan bruke de ti lovene når vi skal forenkle algebraiske uttrykk.

eksempel 2 å multiplisere tall med parentes Skriv så enkelt som mulig. Bokstavene står for tall. ab + ac + a(b – c) Løsning Når vi skal forenkle dette uttrykket, kan vi bruke lov 3 til å multiplisere a inn i parentesen. Fra lov 3 vet vi at a(b – c) = ab – ac. Vi får ab + ac + a(b – c) lov 3 = ab + ac + ab – ac = ab + ab + ac – ac = 2ab

Oppgave 2.4

samarbeid

Skriv så enkelt som mulig. Velg ut minst to av uttrykkene, og forklar for hverandre hvilke algebraiske lover dere bruker.

a a – (b – c) + c

c a – (b + c) – c

e x2 + y2 + x(y – x)

b a – (b – c) – c

d a2 + b2+ a(a – b)

f x2 + y2 + y(y + x)

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

141

Oppgave 2.5

samarbeid

a Sett inn a = 2, b = 3, c = 5, x = 7 og y = 10, og regn ut de algebraiske uttrykkene i forrige oppgave slik de står, altså uten å bruke de 10 algebraiske lovene.

b Sett inn de samme verdiene a = 2, b = 3, c = 5, x = 7 og y = 10 i svarene du fikk i forrige oppgave når du forenklet de algebraiske uttrykkene. Sammenlikn med svarene du fikk i oppgave a.

c Velg andre tall for a, b, c, x og y, og regn ut uttrykkene som de står og svaret dere fikk etter at dere forenklet uttrykkene. Sammenlikn svarene dere fikk før og etter dere forenklet uttrykkene.

eksempel 3 å forenkle bokstavuttrykk Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar underveis hvilke lover du bruker. xy + xt − x( y − t) Løsning Når vi skal forenkle dette uttrykket, kan vi bruke lov 3, a(b – c) = ab – ac, og deretter lov 6, a – (b – c) = a – b + c. xy + xt – (x(y – t)) = xy + xt – (xy – xt) = xy + xt – xy + xt = xy – xy + xt + xt = 2xt

lov 3 lov 6

Der vi bruker lov 6, tenker vi at a " xt , b " xy og c " xt . Vi bruker tankegangen med å la bokstavuttrykk som xt, xy og xt spille rollen som a, b, c i lov 6.

Du kan la algebraiske uttrykk med en synlig eller usynlig parentes rundt spille rollen som bokstavene i alle algebraiske lover.

142

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.6

samarbeid

Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Velg minst to av uttrykkene og forklar muntlig for hverandre hvilke algebraiske lover dere bruker.

a xy + xt – (xy – xt) b xy + xt – (xy + xt) c xyt + xst + t(xy – xs) d 3(x – y) + 2x – y e t + 2(5t + x) – 9x f ab + 5ab + a – a(b – 3) Oppgave 2.7 Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Velg minst to av uttrykkene og forklar hvilke lover du bruker.

a 5(a + b) – 2(b – a) b 2x(1 – x) – 3(y + x2 + 1) + 7 c 4x + 2y(x + 1) – xy + x2 d –(m – n) + 3n e (x + y) · 2x – y(x + y2) f 2(5 – a) + 7(b – 3) + 7a – b

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

143

eksempel 4 å forenkle brøkuttrykk Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar hvilke lover du bruker. x+y x−y − 5 5 Løsning Når vi skal forenkle dette algebraiske uttrykket, kan vi a b a−b , først bruke lov 8, − = c c c og deretter lov 6, a – (b – c) = a – b + c. x+y x−y − 5 5 (x + y) − (x − y) = 5 (x + y) − x + y = 5 x+y−x+y = 5 x−x+y+y = 5 2y = 5

lov 8

lov 6

I første overgang brukte vi lov 8 med a = (x + y), b = (x – y) og c = 5. I andre overgang brukte vi lov 6 med a = (x + y), b = x og c = y.

Oppgave 2.8

samarbeid

Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar for hverandre hvilke algebraiske lover dere bruker.

144

x+y x−y − 5 5

a 3 a 7 4 4

a−4 a+8 + 3 3

a b a b 2 2

a−b a+b + c c

2a 4 a 6 2c 2c

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 5 å forenkle brøkuttrykk med ulike nevnere Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar hvilke lover du bruker. x+y x−y − 5 5x Løsning Når vi skal forenkle dette algebraiske uttrykket, kan vi a ac , bruke lov 9, " b bc a b a−b deretter lov 8, − = , c c c og så lov 6, a – (b – c) = a – b + c. x+y x−y − 5 5x (x + y) ⋅ x x − y − = 5⋅x 5x ( x 2 + xy ) − ( x − y ) = 5x 2 x + xy − x + y = 5x

lov 9

lov 8

lov 6

I første overgang brukte vi lov 9 med a = (x + y), b = 5 og c = x. I andre overgang brukte vi lov 8 med a = (x + y), b = x – y og c = 5x I tredje overgang brukte vi lov 6 med a = x2 + xy, b = x og c = y.

Oppgave 2.9

samarbeid

Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar muntlig for hverandre hvilke algebraiske lover dere bruker.

x+y x−y − 5 10

x 5 x 18 4 8

a−4 a+2 + 9 3

x+y x+y − 4 2

a−b a+b + c 2c

2 a 4 4 a 10 2c 4c

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

145

eksempel 6 å forkorte brøkuttrykk Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar hvilke lover du bruker. 5x 5 5 Løsning Når vi skal forenkle dette algebraiske uttrykket, kan vi bruke lov 2, a(b + c) = ab + ac, a ac . og deretter lov 9, " b bc 5x + 5 5 lov 2 5( x + 1) = 5 lov 1 ( x + 1) ⋅ 5 = 1⋅ 5 lov 9 ( x + 1) = 1 = x+1 I første overgang brukte vi lov 2 med a = 5, b = x og c = 1. I andre overgang brukte vi lov 1 med a = 5 og b = (x +1). I tredje overgang brukte vi lov 9 med a = ( x + 1) , b = 1 og c = 5.

Oppgave 2.10

samarbeid

Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar for hverandre hvilke algebraiske lover dere bruker.

146

4 x 4y 4

10 x 10 y 10

6a 6 3

2 x 2y 2

3a 3b 9

8a 8 4c

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 7 å forkorte brøkuttrykk Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall. Forklar hvilke lover du bruker. 4x x2 2x Løsning Når vi skal forenkle dette algebraiske uttrykket, kan vi først bruke lov 2, a(b + c) = ab + ac, a ac . deretter lov 1, ab = ba og så lov 9, " b bc 4x 2 x + 2x lov 2 2⋅2⋅x = x( x + 2) lov 1 x⋅2⋅2 = x( x + 2) lov 9 4 = ( x + 2) I første overgang brukte vi lov 2 med a = x, b = 2 og c = x. I andre overgang brukte vi lov 1 med a = 2 · 2 og b = x. I tredje overgang brukte vi lov 9 med a = 4, b = (x + 2) og c = x.

Oppgave 2.11

samarbeid

Skriv så enkelt som mulig. Velg en av oppgavene og forklar for hverandre hvilke algebraiske lover dere bruker.

4 4 x 8y

2( x y ) x y

5 10 5 x

2 2 x 4y

2 x 2y 2

12 a 8 c 4c

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

147

MULTIPLIKASJON AV PARENTESUTTRYKK Vi skal multiplisere to parentesuttrykk (x + y) · (z + t) med hverandre. Bokstavene står for tall. Vi kan vise hvordan vi kan forenkle (x + y) · (z + t) ved å se på et areal. Vi tegner et rektangel der lengden er (x + y) og bredden er (z + t). z

x.z

y.z

x.t

y.t

Arealet av hele rektanglet blir (x + y) · (z + t). Dette må være lik summen av de små arealene xz + yz + xt + yt. Det gir (x + y) · (z + t) = xz + yz + xt + yt.

eksempel 8 å multiplisere parentesuttrykk algebraisk Multipliser parentesene og skriv så enkelt som mulig. Bokstavene står for tall. (x + y) · (z + t) Løsning Hvis vi bruker lov 2 og tenker at det første uttrykket (x + y) står for tallet a, får vi at a(z + t) = az + at Hvis vi nå setter inn (x + y) for a, får vi (x + y)z + (x + y)t = xz + yz + xt + yt Dermed har vi vist algebraisk at (x + y) · (z + t) = xz + yz + xt + yt

148

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.12

samarbeid

utfordring

Bruk de algebraiske lovene til å vise at for alle tall x, y, z og w gjelder (x + y) · (z – t) = xz + yz – xt – yt Hint: Bruk lov 3 og lov 2 der a = (x + y).

Oppgave 2.13

utfordring

Bruk de algebraiske lovene til å vise at for alle tall x, y, z og w gjelder (x – y) · (z – w) = xz – yz – xw + yw Hint: Bruk lov 2 og lov 3 der a = (x – y).

Når vi multipliserer et uttrykk i en parentes med en annen parentes, må vi multiplisere hvert av leddene i parentesene med hverandre. (x + y) · (z + t) = xz + yz + xt + yt (x + y) · (z – t) = xz + yz – xt – yt (x – y) · (z – t) = xz – yz – xt + yt

Oppgave 2.14 Multipliser parentesene.

a (5 + y) · (4 + t)

d (4x + 2y) · (z + 2x)

b (x + y) · (5 + y)

e (x – y) · (10 – t)

c (x + 2) · (2 – t)

f (x – 5y) · (3 + z)

Oppgave 2.15

utfordring

Bruk de algebraiske lovene til å vise at for alle tall x, y, z og w gjelder x · (y + z + w) = xy + xz + xw Forklar hvilke lover du bruker.

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

149

t · (x + y + z) = tx + ty + tz Når vi multipliserer et tall med en parentes, multipliserer vi tallet med hvert av leddene inne i parentesen.

Oppgave 2.16 Multipliser parentesene og skriv så enkelt som mulig.

a 3 · (2y + 5z – w)

d (3a + b) · 4 – 2 · (3a – b)

b a · (y + 3z + 5w)

e (y + z + w) · 4 – 4 · (y – z – w)

c (a + 3b + c) · 4 + 2 · (a – b) f 2 · (a – b) + (a + b – c) · 2 Oppgave 2.17 Multipliser parentesene og skriv så enkelt som mulig.

a 5 · (4a – 5b – c)

d (3a – b) · 6 – (3a – 2b) · 3

b a · (a + 3b + 5c)

e 2 · (y – z + w) – (y + z – w) · 4

c (x + y + t) · 4 + 2 · (x – t)

f 4 · (a – b) – (a – c) · 4

Oppgave 2.18

fra eksamen 2015

Skriv så enkelt som mulig.

a 2 – 2(2a + 1)

(2 a − 2b )( a + b ) 2 a + 2b

Oppgave 2.19

fra eksamen 2014

Skriv så enkelt som mulig.

150

6a 3 2a2

Kapittel 2

6a 6 a 1 : 12b2 4b 3

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.20

fra eksamen 2013

Skriv så enkelt som mulig.

a a – (a – 2a)

x 2 y 2 xy 2 xy 2

ALGEBRAISKE LOVER FOR POTENSER eksempel 9 å forenkle potensuttrykk Vi skal forenkle det algebraiske uttrykket a2 · a3. Bokstaven a står for et tall. Løsning Vi kan skrive a2 som a · a og a3 som a · a · a. Det gir a2 · a3 = (a · a) · (a · a · a) = a5 = a2 + 3.

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

151

Oppgave 2.21

samarbeid

I denne oppgaven skal vi utlede følgende regel: Hvis a er et tall, og n og m er naturlige tall, så gjelder an · am = an + m

a Forenkle uttrykket a4 · a5. b Forenkle uttrykket a5 · a6 på samme måte. c Hva oppdager du? Forklar hvorfor den algebraiske loven an · am = an + m gjelder.

Når vi multipliserer en potens med en annen potens med samme grunntall a, blir svaret grunntallet a opphøyd i summen av eksponentene. an · am = an + m

Oppgave 2.22 Forenkle uttrykkene.

a 2 5 · 23

d 32 · 33 · 3

b a 3 · a4 · a

e x2 · x4 · x – x4 · x2

c x4 · x5 · x2

f x2 · x7 · x – x6 · x4

eksempel 10 å forenkle potensuttrykk med ulike grunntall Forenkle uttrykket a2 · b2. Bokstavene a og b står for tall. Løsning Vi kan skrive a2 som a · a og b2 som b · b. Det gir a2 · b2 = a · a · b · b. a · a · b · b kan skrives som (a · b) · (a · b) = (a · b)2. Det gir a2 · b2 = (a · b)2.

152

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Når vi multipliserer en potens med en annen potens med samme eksponent n, blir svaret grunntallene multiplisert med hverandre opphøyd i eksponenten. an · bn = (a · b)n

Oppgave 2.23 Forenkle uttrykkene.

a 25 · 65

d 22 · 32 · 42

b a3 · b3 · c3

e x2 · y2 · z2 – x4 · y4

c x4 · y4 · z4

f x5 · y5 · z5 – x6 · y6 · z6

eksempel 11 å forenkle potensuttrykk a3 Forenkle det algebraiske uttrykket 2 . a Bokstaven a står for et tall. Løsning Vi skriver a3 som a · a · a og a2 som a · a. Det gir a3 a ⋅ a ⋅ a a = = = a = a 3− 2 a2 a⋅a 1

Oppgave 2.24

samarbeid

I denne oppgaven skal vi utlede følgende regel: Hvis a er et tall, og n og m er naturlige tall slik at n er større enn m, så gjelder an = a n− m m a

a Forenkle uttrykket

a5 . a2

b Forenkle uttrykket

c Hva oppdager du? Forklar hvorfor regelen

•

a4 . a3

an = a n− m gjelder. m a

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

153

Når vi dividerer en potens med en annen potens med samme grunntall a, blir svaret grunntallet a opphøyd i differansen av eksponentene.

an = a n −m am

Oppgave 2.25 Forenkle uttrykkene. 34 a 3

29 b 6 2

x5 c 4 x

b3 d b

y5 e 4 y

Oppgave 2.26 Forenkle uttrykkene. b6 b2 b5

a (2a)3 · a · a4

x4 b 3 x

a3 a4 d 2 a a

c4 c5 c2 c6

x2 x7 x 4 (3 x )2

eksempel 12 å forenkle potensuttrykk Forenkle uttrykket

a3 . b3

Bokstavene a og b står for tall. Løsning Vi skriver a3 som a · a · a og b3 som b · b · b. Det gir a3 a a a a a a a = = = 3 b b b b b b b b

154

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

53 51

Når vi dividerer en potens med en annen potens med lik eksponent n, er det det samme som å ta kvotienten mellom grunntallene opphøyd i eksponenten. n

an a n " b b

Oppgave 2.27 Skriv om uttrykkene til én potens der det er mulig.

34 54

26 56

x5 y5

(c)

3 d b3 ⋅ b

y5 x 3 x 5 y3

53 a2 a 3 52

EKSPONENTER SOM ER NULL ELLER NEGATIVE La a være et tall som ikke er 0. Vi har blitt enige om at an = a · a · a · ... · a (n eksemplarer av tallet a multiplisert sammen). For eksempel er a3 = a · a · a og a1 = a. Men denne definisjonen av an gir ingen mening hvis eksponenten n er null eller et negativt heltall. Matematikerne har imidlertid blitt enig om definisjoner som dekker disse tilfellene også. I neste oppgave skal vi forske oss fram til hvordan disse bør se ut.

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

155

Oppgave 2.28 a Regn ut

samarbeid

a6 a 5 a 4 a 3 a2 a1 , , , , , . a1 a1 a1 a1 a1 a1

b Forklar hvorfor

a1 " 1 uansett hva tallet a er. a1

c Forklar at hvis loven så må a0 = 1.

d Forklar hvorfor

an = a n− m skal gjelde også når n " m , m a

a3 1 a3 1 " og " uansett hva tallet a er. a4 a a 5 a2

an e Forklar at hvis loven m = a n− m skal gjelde a 1 også når n = 3 og n = 5, så må a −2 = 2 . a

I oppgave 2.28 så vi at dersom regnereglene vi har for positive eksponenter også skal gjelde når eksponenten er 0 eller et negativt helt tall, så må vi velge følgende definisjoner:

Vi deﬁnerer a0 = 1 for alle tall a. Vi deﬁnerer a −n =

1 for alle tall a og alle naturlige tall n. an

Matematikerne har valgt å gjøre det slik. Legg merke til at dette er noe man har funnet på. Oppgave 2.28 beviser ikke at det er sånn, den viser bare at det er lurt å gjøre det sånn.

Oppgave 2.29 Skriv som brøk eller naturlig tall.

156

a 140

c 5–1

e 6–2

b 2–2

d 2–3

f a–1

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

ALGEBRAISKE LOVER FOR KVADRATRØTTER Oppgave 2.30 Regn ut og sammenlikn svarene du får. Hva legger du merke til?

64 225

25 16

Oppgave 2.31

25 16

samarbeid

a Regn ut 4 , 9 og 36 . b Regn ut 16 , 25 og 400 . c Regn ut 64 , 49 og 3136 . d Multipliser de to første svarene i hver av oppgavene. Finner du et mønster?

e På bakgrunn av mønstret du fant, formuler en regel.

Dersom du har regnet riktig, har du kanskje kommet fram til den algebraiske loven a ⋅ b = ab .

For alle ikke-negative tall a og b gjelder

ab = a ⋅ b .

Oppgave 2.32 Regn ut.

18 2

2 8

12 3

9 25

f Vis at 12 " 2 3

16 4

Oppgave 2.33

samarbeid

Regn ut og sammenlikn svarene dere får. Hva legger dere merke til?

225 64

•

225 64

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

157

Oppgave 2.34 a Regn ut

utfordring

36 , 36 og 9

400 , 400 og 25 . 25 c Hva oppdager du? Forklar hvorfor den algebraiske loven

b Regn ut

a " b

For alle positive tall a og b gjelder

a gjelder. b

a a " . b b

eksempel 13 å forenkle rotuttrykk Forenkle

2 slik at vi ikke har rotuttrykk i nevneren. 3

Løsning Vi kvadrerer tallet under rottegnet i nevneren for å få bort rottegnet. Da må vi multiplisere med samme tall i telleren slik at brøken ikke endrer verdi. Ved å multiplisere teller og nevner med 3 får vi 2 3 ⋅ = 3 3

2⋅3 = 3⋅3

6 = 9

6 6 1 = = 6. 3 3 9

Legg spesielt merke til hvordan vi setter nevneren utenfor rottegnet.

Oppgave 2.35 Skriv så enkelt som mulig uten kvadratrot i nevneren. Her er x > 0.

158

81 4

Kapittel 2

2 6

4 5

8x 2x

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

x2 x

x x2

Oppgave 2.36 Flytt hele tall utenfor rottegnet ved å faktorisere tallet under rottegnet.

8x2

169

Oppgave 2.37 a Vis at det fins tall a og b slik at a + b ≠ a + b . b Vis at det fins tall a og b slik at a − b ≠ a − b .

Vi har altså ingen regler for kvadratroten av en sum eller differanse.

Oppgave 2.38

utfordring

a Vis at 300 " 10 3 . b Vis at 100k " 10 k for alle tall k > 0. c Vis at

2 1 1 " " 2. 2 2 2

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

159

Å LAGE FORMLER En formel er et algebraisk uttrykk for en sammenheng eller et resultat.

eksempel 14 å lage formel Et busselskap har x busser med 52 passasjerseter i hver, og y busser med 47 passasjerseter i hver. Finn en formel for totalt antall passasjerseter i alle bussene selskapet har til sammen. Løsning Formelen blir 52x + 47y.

Oppgave 2.39

samarbeid

Busser av type 1 bruker k liter diesel per mil, mens busser av type 2 er hybridbusser som bare bruker p liter diesel per mil, der p < k. En buss av hver type skal kjøre M mil.

a Sett opp en formel for totalt antall liter diesel D som de to bilene bruker på turen til sammen.

b Formelen i oppgave a kan skrives på flere ulike måter. Se hvor mange ulike måter dere kan finne. (Hint: parentesregning.)

160

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.40 På et byggefelt skal det settes opp n hus. Hvert hus har k store vinduer og r små vinduer. Finn en formel for totalt antall vinduer på byggefeltet.

Oppgave 2.41 På et annet byggefelt skal det også bygges n hus, altså samme antall som i forrige oppgave. Hvert hus skal ha k store vinduer også her, men antall små vinduer per hus skal være bare r – 2.

a Finn en formel for totalt antall vinduer på de to byggefeltene til sammen.

b Forenkle formelen fra oppgave a så mye som mulig ved å bruke algebraisk omskriving.

Oppgave 2.42

samarbeid

Lag en regnefortelling til det algebraiske uttrykket S = 15k + m(b + c + d + e) Altså: Finn en situasjon hvor dette uttrykket kan brukes til å regne ut en størrelse S, og hvor alle bokstavene står for tall.

Oppgave 2.43 Forklar hvorfor alle partall kan skrives på formen 2n der n er et naturlig tall.

Oppgave 2.44 Forklar hvorfor alle oddetall kan skrives på formen 2n – 1 der n er et positivt, helt tall.

•

GRUNNLEGGENDE ALGEBRA

161

Oppgave 2.45

utfordring

a La n og m være naturlige tall. Skriv om dette uttrykket ved å multiplisere sammen parentesene: (2n + 1) · (2m + 1)

b Bruk svaret du fikk i oppgave a, til å bevise at produktet av to oddetall alltid er et oddetall.

Oppgave 2.46

digital

Vi har denne tallfølgen: 5, 9, 13, 17, 21, ... Skriv tallene i en kolonne i et regneark.

a Se på tallfølgen og prøv å finne en regel for hvordan du finner neste tall. Test ut regelen ved hjelp av regnearket, ved at du lager en kolonne i regnearket der du regner ut tallene ved hjelp av regelen din. Finn de 10 første tallene i tallfølgen.

b Kan du finne en formel for tall nummer n i tallfølgen? Test formelen din ved å lage en kolonne i regnearket der du regner ut de 10 første tallene ved hjelp av formelen din.

162

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

HVA KAN DU NÅ om grunnleggende algebra? 1

Vis hvorfor (x + y) · (z + t) = xz + yz + xt + yt både algebraisk og geometrisk.

Multipliser parentesene. Tenk gjennom hva du gjør når du multipliserer. (2 + a) · (4 + b) (x + y) · (1 + y) (a + 4) · (4 – t) (x – y) · (6 + z)

Lov 5

a – (b + c) = a – b – c

Sett inn tall for a, b og c, og lag en regnefortelling som kan forklare loven.

4 a3 " 1 uansett hva tallet a er, og at vi derfor a3 definerer a0 = 1. a kan ikke være 0. Forklar hvorfor

Forkort brøkene og skriv uttrykkene på en annen måte.

a6 a2

a7 a 2 a9

x8 y8

a3 b4 b3 a4

HVA KAN DU NÅ ?

163

6 a Vis at 1250 " 25 2 . Hint: Faktoriser tallet under rottegnet. b Vis at 625k " 25 k for alle tall k # 0 . c Vis at

3 3 5 3 " " 5. 5 5 5

Følgende mønster kan lages ved å legge fyrstikker:

a Hvor mange fyrstikker (trekantsider) trengs for å lage mønster med 5 trekanter? Hva med 7 trekanter?

b Hvor mange fyrstikker trengs for å lage mønster med 10 trekanter?

c Forklar hvor mange fyrstikker som trengs for å lage mønster med n trekanter.

d Lag et uttrykk som viser sammenhengen mellom antall trekanter n og antall fyrstikker s.

164

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

2B KVADRATSETNINGENE BEGREPER første kvadratsetning andre kvadratsetning konjugatsetningen

Etter dette delkapitlet skal du kunne • forklare hva kvadratsetningene og konjugatsetningen sier, og hvorfor de er riktige • bruke setningene til å forenkle algebraiske uttrykk

Oppgave 2.47

samarbeid

a Tegn et kvadrat med sidelengder 10 cm. Del sidelengdene i to ulike lengder, for eksempel 4 og 6 cm, slik figuren viser.

b Hva blir arealet av det store kvadratet?

4.6

4.4

10 6

6.6

4.6

c Regn ut arealet av de små firkantene og adder arealene. Hva fikk du?

d Tegn et nytt kvadrat med sidelengder 10 cm og del sidelengdene i to nye ulike lengder, for eksempel 2 og 8, og gjør det samme som i oppgave a og b. Hva fant du?

e Ut fra det du nå har observert, kan du formulere en regel?

•

KVADRATSETNINGENE

165

I oppgaven 2.47 kom du fram til en regel som sa at arealet av det store kvadratet må være det samme som summen av arealene til de to små kvadratene pluss arealet av de to rektanglene. Du så med andre ord at venstre side av et uttrykk er lik høyre side av et uttrykk, tilsvarende det du har jobbet med i 2A og de algebraiske lovene 1–10. Uansett hvilket tall vi erstatter bokstavene med, så får vi samme resultat når vi regner ut. I dette delkapitlet skal vi jobbe med 1. kvadratsetning (x + y)(x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 2. kvadratsetning (x – y)(x – y) = (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 Konjugatsetningen (x + y)(x – y) = x2 – y2 Vi går tilbake til Lov 2: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) og Lov 3: a · (b – c) = (a · b) – (a · c) I begge disse lovene er det som står på venstre side av likhetstegnet, akkurat det samme som det som står på høyre side, uansett hvilke tall a, b og c står for. For å vise at lovene stemte, brukte vi regnefortellinger. Vi vil nå vise at kvadratsetningene stemmer både algebraisk med bakgrunn i lov 2 og 3, men også geometrisk.

166

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 15 første kvadratsetning Vis at (x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y2. Løsning Hvis vi tenker at det første uttrykket (x + y) står for tallet a, får vi a · (x + y) = (a · x) + (a · y) Hvis vi nå setter (x + y) inn for a, får vi (a · x) + (a · y) = (x + y) · x + (x + y) · y. Det gir (x + y) · x + (x + y) · y = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 Dermed har vi vist at (x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y2.

Vi kan også vise at første kvadratsetning gjelder, ved å vise den geometrisk. Vi tegner et kvadrat med sider (x + y).

x.y

x+y x

x.y

Vi kan regne ut arealet av det store kvadratet på to måter: 1 Arealet av det store kvadratet A = (x + y)(x + y). 2 Arealet av hvert av rektanglene blir x · y. Arealet av det minste kvadratet blir y · y = y2. Arealet av det nest minste kvadratet blir x · x = x2.

•

KVADRATSETNINGENE

167

Arealet av det store kvadratet må være det samme som summen av arealene av de to mindre kvadratene med sidelengder x og y pluss arealet av de to rektanglene med sider x og y. Summen av disse arealene blir som vi ser x2 + y2 + xy + xy = x2 + 2xy + y2 Vi ser at (x + 4)(x + 4) = x2 + 8x + 42.

Oppgave 2.48

samarbeid

Vis geometrisk og algebraisk at (2 + y)(2 + y) = 22 + 2 · 2y + y2 = 4 + 4 y + y2. Når dere viser det geometrisk, kan dere velge en tilfeldig lengde for y.

Første kvadratsetning sier at kvadratet av en sum av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss det dobbelte produktet av de to tallene pluss kvadratet av det siste tallet. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Oppgave 2.49 Regn ut ved hjelp av første kvadratsetning.

( )

b (x + 3)(x + 3)

1 2 g (10 + 3)(10 + 3)

c (b + 2)2

h 13 · 13

a (5 + x)(5 + x)

d (2 + b)

e (2a + 3)

i Vis geometrisk at svaret du 2

fikk i oppgave c, stemmer.

Oppgave 2.50 a Tegn et kvadrat med sidelengder 10. Del sidelengdene i to ulike lengder, for eksempel med lengder 2 og 8. Del arealet av kvadratet i fire nye areal slik figuren viser.

168

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

10 10 – 2

10 – 2

b Hva blir arealet av det røde kvadratet? c Regn ut arealet av det røde kvadratet ved først å regne ut arealet av det store kvadratet og så subtrahere arealene av rektanglene. Det lille kvadratet er da trukket fra to ganger. Derfor må vi legge til det igjen. Hva fikk du?

d Tegn et nytt kvadrat, og del sidelengdene i to nye ulike lengder, og gjør det samme som i oppgave a, b og c. Hva fant du?

e Ut fra det du nå har observert, kan du formulere en regel?

eksempel 16 andre kvadratsetning Vis at (x – y) · (x – y) = x2 – 2xy + y2. Løsning Hvis vi tenker at det første uttrykket (x – y) står for tallet a, får vi a · (x – y) = (a · x) – (a · y) Hvis vi nå setter (x – y) inn for a, får vi (a · x) – (a · y) = (x – y) · x – (x – y) · y Det gir (x – y) · x – (x – y) · y = x2 – xy – xy + y2 = x2 – 2xy + y2 Dermed har vi vist at (x – y)(x – y) = x2 – 2xy + y2.

•

KVADRATSETNINGENE

169

Vi kan også vise at andre kvadratsetning gjelder ved å vise den geometrisk. Vi tegner et kvadrat med sider (x – y). y

x (x – y)

(x – y)

Så forlenger vi sidene med y og tegner et kvadrat med sidelengde x. Vi kan regne ut arealet av kvadratet på to måter: Arealet av det røde kvadratet = (x – y)(x – y). Arealet av det store kvadratet må være x · x = x2. Arealet av det blå kvadratet må være y · y = y2, og arealet av hvert av rektanglene må være (x – y) · y. Geometrisk ser vi at arealet av det det røde kvadratet må være det samme som arealet av det store kvadratet minus arealene av de to rektanglene pluss arealet av det lille kvadratet. Det lille kvadratet er trukket fra to ganger. Derfor må vi legge til det igjen. Kvadratet (x – y)2 må da bli x2 – xy – xy + y2 = x2 – 2xy + y2 Vi ser at (x – y)(x – y) = x2 – 2xy + y2.

Oppgave 2.51 Vis geometrisk og algebraisk at (1 – y)(1 – y) = 12 – 1 · y – 1 · y + y2 = 1 – 2y + y2. Når dere viser det geometrisk, må dere velge en tilfeldig lengde for y.

170

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Andre kvadratsetning sier at kvadratet av en differanse mellom to tall er lik kvadratet av det første tallet minus det dobbelte produktet av de to tallene pluss kvadratet av det siste tallet. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Oppgave 2.52 Regn ut ved hjelp av andre kvadratsetning.

a (3 – x)(3 – x) b (x – 2)2 c (2a – 1)2 d (20 – 3)(20 – 3) e 182 f Vis at svaret du får i oppgave a, også stemmer geometrisk. Oppgave 2.53 Til denne oppgaven trenger du et ark med kvadratiske ruter.

a Omtrent midt på arket tegner du et rektangel med lengde 10 cm + 4 cm = 14 cm og bredde 10 cm – 4 cm = 6 cm. Del rektanglet i to rektangler med lengder 10 cm og 4 cm slik som på figuren. Fargelegg det minste rektanglet grønt og det største blått. Sett opp et regnestykke og regn ut arealet av det store rektanglet.

•

KVADRATSETNINGENE

171

b Tegn et kvadrat med sider 10 cm slik som vist med rødt på figuren. Klipp ut hele mangekanten som du nå har tegnet.

Klipp av det grønne rektanglet, og legg det i det hvite feltet slik figuren under viser.

Sett opp et regnestykke og regn ut arealet av det hvite kvadratet.

c Sammenlikn arealet av det røde kvadratet med arealet av det opprinnelige rektanglet (blå pluss grønn). Hva ser du?

d Vi kaller lengden som er 10 cm for a, og lengden som er 4 cm for b. Forklar at svaret i oppgave a er (a – b)(a + b). Bruk så figurene i oppgave b til å forklare at (a – b)(a + b) = a2 – b2.

172

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 17 konjugatsetningen Vis at (x + y)(x – y) = x2 – y2. Løsning Hvis vi tenker at det første uttrykket (x + y) står for tallet a, får vi a · (x – y) = (a · x) – (a · y) Hvis vi setter (x + y) inn for a, får vi (a · x) – (a · y) = (x + y) · x – (x + y) · y. Det gir (x + y) · x – (x + y) · y = x2 + xy – xy + y2 = x2 – y2 Dermed har vi vist at (x + y)(x – y) = x2 – y2.

Oppgave 2.54 Vis geometrisk og algebraisk at (1 + y)(1 – y) = 12 – y2. Når dere viser det geometrisk, må dere velge en tilfeldig lengde for y.

Konjugatsetningen sier at produktet av summen av to tall og differansen av de samme tallene er lik kvadratet av det første tallet minus kvadratet av det siste tallet. (x + y)(x – y) = x2 – y2

Oppgave 2.55 Regn ut ved hjelp av konjugatsetningen.

a (2 + x)(2 – x) b (x + 5)(x – 5) c (a + 1)(a – 1) d Vis at svaret du får i oppgave b, stemmer geometrisk.

•

KVADRATSETNINGENE

173

Oppgave 2.56 Regn ut.

a (50 + 4)(50 – 4)

e (3x – 2)(3x + 2)

b (100 – 4)(100 – 4)

f (5 + y)(5 + y)

c (70 + 3)(70 + 3)

g Vis geometrisk at svaret du fikk i oppgave a, d og f stemmer.

d (6 – y)(6 – y)

Kvadratsetningene og konjugatsetningen kan vi av og til bruke til hoderegning. Vi skal regne ut 32 · 28. Det kan skrives som (30 + 2) · (30 – 2). Ved å bruke konjugatsetningen får vi (30 + 2) · (30 – 2) = 900 – 4 = 896.

Oppgave 2.57 Bruk konjugatsetningen som hoderegningsstrategi og regn ut.

a 33 · 27

c 72 · 68

e 22 · 38

b 41 · 39

d 55 · 45

f 87 · 93

Oppgave 2.58 Skriv så enkelt som mulig.

a (a + 2)(a + 2) – (a – 2)(a – 2) b (a + b)2 – (a – b)2 – 2(a – b) + (6a + 6b) c (2a – 2b)2 + (a + b)(a – b) d 2(x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x + y)2

Nå skal vi se hvordan vi kan kjenne igjen mønstrene fra kvadratsetningene og konjugatsetningen, og bruke det til å faktorisere uttrykk.

174

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 18 å bruke konjugatsetningen til å faktorisere Bruk konjugatsetningen til å faktorisere uttrykket x2 – 1. Løsning Vi vet at konjugatsetningen sier at (a + b)(a – b) = a2 – b2. Vi kan skrive x2 – 1 som x2 – 12. Da kan vi si at a = x og b = 1 i formelen, og får dermed x2 – 1 = x2 – 12 = (x + 1)(x – 1)

Oppgave 2.59 Faktoriser uttrykkene.

a x2 – 4

c 4x2 – 16y2

e 9x2 – 4

b x2 – 16

d 9x2 – 25y2

1 2 x 4y2 4

eksempel 19 å bruke første kvadratsetning til å faktorisere Bruk første kvadratsetning til å faktorisere uttrykket x2 + 4xy + 4y2. Løsning Vi vet at første kvadratsetning sier at (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2. Vi kan skrive x2 + 4xy + 4y2 som x2 + 2 · x · 2y + (2y)2. Da kan vi si at a = x og b = 2y i formelen, og får dermed x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x + 2y)

Oppgave 2.60 Faktoriser uttrykkene.

a x2 + 2x + 1

c 4x2 + 4x + 1

e 16x2 + 8x + 1

b x2 + 6x + 9

d 9x2 + 12x + 4

•

1 2 x 2x 4 4

KVADRATSETNINGENE

175

eksempel 20 å bruke andre kvadratsetning til å faktorisere Bruk andre kvadratsetning til å faktorisere uttrykket 4x2 – 4x + 1. Løsning Vi vet at andre kvadratsetning sier at (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2. Vi kan skrive 4x2 – 4x + 1 som (2x)2 – 2 · 2x · 1 + 12. Da kan vi si at a = 2x og b = 1 i formelen, og får dermed 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)(2x – 1)

Oppgave 2.61

utfordring

Faktoriser uttrykkene.

a y2 – 4y + 4

d 4x2 – 8x + 4

b a2 – 4a + 4

e x2 – 4xy + 4y2

c 4b2 – 4b + 1

1 2 y − 4 y + 16 4

Oppgave 2.62

samarbeid

Se på uttrykkene i oppgave a, b og c. Forklar for hverandre hvordan dere går fram når dere skal prøve å faktorisere uttrykkene.

a x2 – 25

b x2 – 4x + 4

c 16x2 + 8x + 1

Oppgave 2.63 Faktoriser uttrykkene.

176

a x2 – 36

d 81x2 + 36x + 4

b x2 – 2x + 1

e 9x2 – 6xy + y2

c 25x2 + 10x + 1

Kapittel 2

1 2 y 2 y 16 16

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.64 Faktoriser uttrykkene.

a 25 – y2

c 16 + 8b + b2

e 4x2 – 4 y2

b 25 – 10 a + a2

d 49x2 + 14 x + 1

f 9 + 12b + 4b2

eksempel 21 å faktorisere og forkorte brøker Skriv så enkelt som mulig. 4a2 − b2 4 a + 2b Løsning Først faktoriserer vi teller og nevner. Vi ser at telleren kan faktoriseres med konjugatsetningen fordi vi har (2a)2 – b2. Det gir 4 a 2 − b 2 (2 a + b)(2 a − b) = 4 a + 2b 2(2 a + b) Vi ser at vi har felles faktor i teller og nevner, nemlig (2a + b). Da kan vi forkorte (lov 9) Det gir

4 a 2 − b 2 (2 a − b)(2 a + b) 2 a − b = = . 4 a + 2b 2(2 a + b) 2

Oppgave 2.65

utfordring

Forkort brøkene så mye som mulig. (Hint: Faktoriser teller og nevner hver for seg først.)

8 a 4b 2a b

( x + y )(4 x − 4 y ) 2 x + 2y

6a + 18b 3 x − 6y

4 a − 4b a + b2 − 2 ab

a2 + 2a + 1 a2 − 1

3 xy 9 x 2 c 9 y 27 x

•

KVADRATSETNINGENE

177

Oppgave 2.66

utfordring

Skriv de algebraiske uttrykkene enklere. ( x + 3)2 x 2 − 3 x − 9 a − 6 6

5a + 6 3b − 1 2 a + 12b + − 4a 2a 8a

4 2 5a − 3 + − 2 a+1 a−1 a −1

Oppgave 2.67

fra eksamen 2014

Et stort kvadrat ABCD består av to mindre kvadrater og to rektangler. D

(a – 2)

Skriv et uttrykk for arealet til det store kvadratet ABCD.

178

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

HVA KAN DU NÅ om kvadratsetningene og konjugatsetningen? 1

Vis geometrisk at (2 + x)(2 + x) = 4 + 4x + x2. Når du viser det geometrisk, kan du velge en tilfeldig lengde for x.

Vis algebraisk at (2 + x)(2 – x) = 4 – x2.

Uttrykk konjugatsetningen både med ord og algebraisk.

Skriv så enkelt som mulig.

a (x + 1)(x + 1) – (x – 2)(x – 2) b (a + b)2 – (a – b)2 – (2a + 2b) c (a – b)2 + (a + b)(a – b) d 2(x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

Faktoriser uttrykkene.

a a2 – 9

d 25y2 + 10y + y2

b b2 – 8b + 16

e 9x2 – 12xy + 4y2

c 4x2 + 8x + 4

1 2 y 2 y 25 25

9a 3c 6c

Skriv så enkelt som mulig.

2b 2 a a b

3a 3b 3 x 3y

b2 − 8b + 16 b−4

HVA KAN DU NÅ ?

179

2C FUNKSJONER Etter dette delkapitlet skal du kunne • forklare hva en funksjon er, og vise noen av overgangene mellom de ulike måtene en funksjon kan representeres på: en graf, en verditabell, et funksjonsuttrykk eller en situasjonsbeskrivelse • bruke GeoGebra til å undersøke egenskapene til ulike typer funksjoner • bruke og beskrive lineære funksjoner, proporsjonaliteter, brøkfunksjoner, omvendte proporsjonaliteter, andregradsfunksjoner og eksponentialfunksjoner

BEGREPER lineær funksjon proporsjonalitet stigningstall brøkfunksjon omvendt proporsjonalitet hyperbel asymptote modellering andregradsfunksjonparabel deﬁnisjonsmengde eksponentialfunksjon

I Nummer 9 jobbet vi med lineære funksjoner, proporsjonaliteter, brøkfunksjoner og omvendt proporsjonalitet.

180

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

nullpunkt ekstremalpunkt symmetrilinje

FUNKSJONSTYPE

GRAF

Lineær funksjon

f(x) 5

F U N K S J O N S U T T RY K K

f(x) = ax + b

3 2 1

FUNKSJONSTYPE

GRAF

Proporsjonalitet

f(x) 3

F U N K S J O N S U T T RY K K

g(x) = ax

FUNKSJONSTYPE

GRAF

Brøkfunksjon

f(x) 5

F U N K S J O N S U T T RY K K

a k( x ) = + b x

3 x

5 x

2 1

FUNKSJONSTYPE

GRAF

Omvendt proporsjonalitet

f(x) 5

F U N K S J O N S U T T RY K K

a h( x ) " x

3 2 1

Vi så også på fire ulike måter å uttrykke en funksjon på, nemlig som situasjon, graf, verditabell og funksjonsuttrykk.

• FUNKSJONER

181

Oppgave 2.68

rik oppgave

Her er grafene til fire ulike funksjoner. 1

f(x) 30

f(x) 250

25 20

200

15 150

10 5 1 2

3 4

5 6

100

7 8 x

2 f(x) 300 250

200

f(x) 300

150

250

100

200

150

60 x

30 x

100 50

For hver av de fire grafene:

a Hvilken funksjonstype beskriver grafen? Begrunn svaret ditt.

b Foreslå funksjonsuttrykk som du mener kan passe til grafen. Bruk gjerne GeoGebra til å sjekke om funksjonsuttrykket du foreslår, stemmer.

c Sett opp en verditabell til grafen. d Lag en situasjon som kan beskrives med funksjonen. e Hva er typisk for situasjoner som kan beskrives med denne typen funksjon?

182

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

40 x

Oppgave 2.69 Her ser du to grafer. 1

y 16

y 4

14 12

10 8

–2

6 4

–1

8 10 14 16 x

–2 –3

2 2

8 10 12 14 16 x

–4

a Hva er y når x = 14? b Ingen av disse grafene er grafen til en funksjon. Hva er grunnen til det?

c Forklar hva en funksjon er.

Vi har en funksjon bare når hver verdi av x gir én bestemt verdi for y. I oppgave 2.69, graf 1, så vi at vi hadde mange verdier for y når x = 14, og fra graf 2 hadde vi to verdier for y når x = 14. Når en verdi av x gir én bestemt verdi for y, sier vi at y = f(x) er en funksjon av variabelen x.

• FUNKSJONER

183

ULIKE REPRESENTASJONER AV FUNKSJONER Vi har ofte bruk for å gå fra en av de fire måtene å representere en funksjon på til en annen for å kunne gjenkjenne, modellere, tolke og skissere funksjonen. Vi kan lage en oversikt over alle overgangene i en janviertabell oppkalt etter Claude Janvier. I tabellen ser du en oversikt over alle overgangene mellom de fire måtene å representere en funksjon på. Du har jobbet med mange av disse overgangene, og vi skal se mer på dem nå. TIL SITUASJON FRA SITUASJON FRA TA B E L L

Gjenkjenne og tolke

FRA GRAF

Gjenkjenne og tolke

FRA FUNKSJONSU T T RY K K

TIL TA B E L L

TIL GRAF

TIL FUNKSJONSU T T RY K K

Måle

Skissere eller tegne

Modellere

Tegne graf

Modellere og tilpasse

Lese av

Modellere og tilpasse

Gjenkjenne Tegne graf Beregne og tolke eller skissere

Fra funksjonsuttrykk til graf Hvis vi kjenner funksjonsuttrykket, kan vi bruke GeoGebra til å tegne grafen. Vi skriver funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet, og grafen tegnes i grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket vises i algebrafeltet. Hvis vi har funksjonsuttrykket f(x) = 2x + 1, kan vi skrive 2x + 1 i inntastingsfeltet, og vi ser grafen i grafikkfeltet.

184

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Funksjonen f(x) = 2x + 1 er en lineær funksjon som skjærer andreaksen i punktet (0 , 1). Stigningstallet er 2. Vi legger merke til sammenhengen mellom 2-tallet i funksjonsuttrykket og grafens stigning. Vi ser også at det er en sammenheng mellom konstantleddet 1 i funksjonsuttrykket og grafens skjæring med andreaksen.

f(x) Dersom vi skal tegne grafen uten hjelp 5 av GeoGebra, ser vi først at funksjons4 2 uttrykket er på formen for en lineær 3 1 funksjon, ax + b. Da vet vi at grafen er 2 2 en rett linje. Konstantleddet, b, er 1 og 1 1 forteller hvor linja skjærer andreaksen. –1 1 2 3 4 x –1 Stigningstallet, a, er 2. For hver enhet vi går til høyre på førsteaksen, må vi gå 2 enheter oppover på andreaksen. Slik kan vi finne koordinatpar og dermed punkter som vil ligge på grafen. Vi trenger bare to punkter for å trekke en rett linje.

Oppgave 2.70 Vi har funksjonsuttrykket f(x) = 5x. Tegn grafen uten å lage verditabell. I hvilket punkt skjærer grafen andreaksen? Vis på grafen hva stigningstallet er.

• FUNKSJONER

185

Oppgave 2.71

digital

Tegn grafen til f(x) = 5x i GeoGebra. Marker skjæringspunktet med andreaksen på grafen, og vis koordinatene til skjæringspunktet.

eksempel 22 å tegne grafen til en omvendt proporsjonalitet Tegn grafen til f ( x) "

200 . Bruk positive tall som x-verdier. x

Løsning Vi velger x-verdier som er enkle å regne med. x = 1 gir f(x) = 200 x = 2 gir f(x) = 100, x = 10 gir f(x) = 20, og x = 20 gir f(x) = 10 Da har vi koordinatparene (1 , 200), (2 , 100), (10 , 20) og (20 , 10). Vi tegner grafen f(x) 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 –2 –20

2 4

8 10 12 14 16 18 20 x

Oppgave 2.72 Tegn grafen til f ( x ) "

186

Kapittel 2

500 . Bruk positive tall som x-verdier. x

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.73

digital

a Tegn grafen til f ( x ) " som x-verdier.

500 i GeoGebra. Bruk positive tall x

b Hva kaller vi en slik graf? eksempel 23 å tegne grafen til en brøkfunksjon 200

Tegn grafen til f ( x ) " + 20. Bruk positive tall som x x-verdier. Løsning Vi velger x-verdier som er enkle å regne med. x = 1 gir f(x) = 220. x = 2 gir f(x) = 120. x = 10 gir f(x) = 40. x = 20 gir f(x) = 30. Da har vi koordinatparene (1 , 220), (2 , 120), (10 , 40) og (20 , 30). Vi tegner grafen f(x) 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 2 4

6 8 10 12 14 16 18 20 22 x

Oppgave 2.74 Tegn grafen til f ( x ) "

500 + 100. Bruk positive tall som x-verdier. x

• FUNKSJONER

187

Oppgave 2.75 a Tegn grafen f ( x ) = tall som x-verdier.

digital 500 + 100 i GeoGebra. Bruk positive x

b I brøkfunksjoner kan ikke x være 0. Videre ser vi at om x 500 et veldig lite tall, og f(x) blir x nesten 100. Grafen nærmer seg linja y = 100 som vi sier er en asymptote til grafen. Tegn inn asymptoten, og sjekk at grafen ikke skjærer den selv for store verdier av x.

blir veldig stor, blir

c Beskriv hvordan denne grafen er, sammenliknet med grafen i oppgave 2.73

Oppgave 2.76

utfordring

digital

Du skal i denne oppgaven tegne grafen til noen brøkfunksjoner i GeoGebra.

a Lag to glidere a og b. La a variere mellom 1 og 100, la b variere mellom –10 og 10. a + b . Bruk positive tall x for x. Bruk gliderne og velg a = 10 og b = 1.

b Tegn grafen til funksjonen f ( x ) =

c Endre på a. Beskriv hvordan grafen endrer seg. d Sett a = 10 og endre på b. Beskriv hvordan grafen endrer seg.

188

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Fra funksjonsuttrykk til verditabell Overgangen fra funksjonsuttrykk til verditabell innebærer å sette inn verdier for x i funksjonsuttrykket og regne ut. Da får vi flere tallpar som vi kan sette opp i en tabell.

eksempel 24 å lage en verditabell ut fra et funksjonsuttrykk 2000 + 10 . x Vi skal lage en verditabell ut fra funksjonsuttrykket. Vi har funksjonsuttrykket f ( x) =

Løsning Vi ser det er en brøkfunksjon. Ved å velge ulike verdier for x kan vi regne ut verdier for f(x). Vi velger x-verdier som er enkle å regne med. Å gjøre slike utregninger blir det samme som å regne ut et regneuttrykk. 2000 + 10 = 200 + 10 = 210 . Hvis vi velger x = 10, får vi f ( x) = 10 Hvis vi velger x = 20, får vi f ( x) =

2000 + 10 = 100 + 10 = 110 . 20

Hvis vi velger x = 200, får vi f ( x) =

2000 + 10 = 10 + 10 = 20 . 200

200

f(x)

210

110

Når vi skal lage verditabell, kan det være lurt å bruke digitalt verktøy til å regne ut verdiene av f(x), enten kalkulator eller regneark.

• FUNKSJONER

189

Hvilke verdier og hvor mange verdier vi velger for x, avhenger av funksjonstypen og hva vi skal bruke verditabellen til. Noen ganger skal vi bruke den til å tegne grafen til funksjonen, andre ganger skal den bare gi oss informasjon om hva funksjonsverdien er for ulike verdier av x.

Oppgave 2.77 Sett opp verditabell for funksjonsuttrykkene. Velg fem verdier mellom 1 og 100 for x.

a f(x) = 120x + 20

c h( x ) "

5000 x

b g(x) = 50x

d k( x ) =

1000 + 50 x

Oppgave 2.78

samarbeid

a Sett opp tre ulike funksjonsuttrykk og la en medelev lage verditabeller for de ulike funksjonsuttrykkene.

b Bestem ut fra funksjonsuttrykkene hvilken type funksjon dere har.

Fra funksjonsuttrykk til situasjon Overgangen fra et funksjonsuttrykk til en situasjon handler om å finne en regnefortelling eller tekst som passer til funksjonsuttrykket. Vi må da først vurdere hvilken type funksjon det er snakk om, og deretter lage en situasjon som passer til uttrykket.

eksempel 25 å lage en situasjon ut fra et funksjonsuttrykk Lag en situasjon til funksjonsuttrykket f(x) = 5x + 10.

190

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Løsning Her ser vi at vi har en lineær funksjon med et konstantledd som ikke er null. En situasjon kan være: Per skal selge blader. Han får 10 kr for oppmøtet (konstantleddet) og 5 kr per blad han selger (stigningstallet). Hvor mye tjener Per? Hvis Per selger 10 blader, får han 5 kr · 10 + 10 kr = 50 kr + 10 kr = 60 kr.

Oppgave 2.79 Lag situasjoner til funksjonsuttrykkene.

a f(x) = 120x + 20

c h( x ) "

2000 x

b g(x)= 50x

d r( x ) =

100 + 10 x

Oppgave 2.80

samarbeid

a Sett opp fem ulike funksjonsuttrykk på hvert deres ark. La en medelev lage en situasjon til hvert av de fem funksjonsuttrykkene. Medeleven skriver situasjonen på et annet ark.

b Bland sammen arkene med alle funksjonsuttrykkene i en bunke og arkene med situasjonene dere laget, i en annen bunke. Finn deretter ut hvilken situasjon som passer til hvilket funksjonsuttrykk.

Fra graf til verditabell Overgangen fra graf til tabell innebærer å lese av koordinatene til punkter på grafen og sette dem opp systematisk i en verditabell. Om vi markerer punkter på en graf, kan vi lese av førstekoordinaten og andrekoordinaten til punktene. Dermed kan vi lage verditabell av koordinatparene med så mange verdier vi ønsker.

• FUNKSJONER

191

eksempel 26 å lage verditabell ut fra en graf Grafen viser vannstanden i Bodø skjærtorsdag. Lag en verditabell som viser høyden på tidevannet hver 6. time dette døgnet.

Løsning Vi leser av andrekoordinaten på grafen på de aktuelle tidspunktene, og lager en verditabell. TIDSPUNKT H Ø Y D E PÅ T I D E VA N N E T ( C M )

00.00

06.00

12.00

18.00

24.00

255

235

105

205

Oppgave 2.81

samarbeid

Lag verditabeller ut fra grafene. Ha med fire tallpar i verditabellen.

f(x) 10

f(x) 4

2 –4 –2 –2

–4 –3 –2 –1 2

8 x

–4

–1 –2 –3 –4

192

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

4 x

Oppgave 2.82 Lag verditabeller ut fra grafene. Ha med tre tallpar i verditabellen.

f(x) 180

f(x) 120

160

100

140 120

100

7 8

9 10 x

20 2

8 10 12 14 16 18 x

Fra graf til situasjon Vi skal lage en regnefortelling som passer til grafen. Vi studerer formen til grafen og ser om vi kan finne fram til en situasjon som denne grafen kan beskrive.

eksempel 27 å lage en situasjon ut fra en graf Lag en situasjon som passer til grafen.

f(x) 300 250

200 Løsning 150 Ut fra denne grafen 100 ser vi at f(x) avtar når 50 x øker. Det ser ut som 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x om grafen synker mot førsteaksen. Dette leder tanken i retning av en omvendt proporsjonalitet. Vi ser at hvis x = 1, er f(x) = 300. Vi kan da lage følgende regnefortelling: Klassen vil kjøpe en fotball som koster 300 kr. Hvor mye hver elev må betale, avhenger av hvor mange som er med og spleiser. Hvis 6 elever er med, hvor mye må hver betale? Hvis x elever er med, hvor mye må hver elev betale?

Hvis 6 elever er med, må hver betale 50 kr, og hvis x elever er med, må hver betale f ( x ) "

300 . x

• FUNKSJONER

193

Oppgave 2.83 Lag fortellinger eller situasjoner som passer til grafene.

f(x) 900

f(x) 1000

800

700

600

400

500

200

400

300

9 10 11 x

200 100 1

7 x

Fra graf til funksjonsuttrykk Når vi skal finne et funksjonsuttrykk ut fra en graf, må vi studere grafen og se om formen passer til noen av funksjonstypene vi kjenner til. Dersom vi har en rett linje som går gjennom origo, vet vi at vi har en proporsjonalitet. Videre vet vi at dersom vi har en hyperbel som nærmer seg koordinataksene, har vi en omvendt proporsjonalitet. Når vi har funnet fram til funksjonstypen, prøver vi å sette opp funksjonsuttrykket.

eksempel 28 å finne funksjonsuttrykket når grafen er en rett linje Finn funksjonsuttrykket til grafen. f(x) 5 4 3 2

0,5

1 1

194

Kapittel 2

1 5

9 x

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Løsning Grafen er en rett linje, vi har en lineær funksjon. Funksjonsverdien avtar når x øker. Vi ser at f(x) avtar med 0,5 for −0, 5 = −0, 5 . hver gang x øker med 1. Stigningstallet blir 1 Grafen skjærer andreaksen i 4. Konstantleddet blir 4. Vi har da funksjonsuttrykket f ( x) = −0, 5 x + 4 .

Oppgave 2.84

samarbeid

a Hvilket av funksjonsuttrykkene passer til grafen? 1 f (x) = x −

f(x) 2

1 2

2 f (x) = −x −

1 2

1 x

–1

1 3 f (x) = x − 1 2

–1 –2

4 f(x) = 2x – 1

b Forklar hvordan du gikk fram for å finne hvilket funksjonsuttrykk som passet til grafen.

eksempel 29 å finne funksjonsuttrykket når grafen er en hyperbel Finn funksjonsuttrykket til grafen. f(x) 300 250 200 150 100 50 1

8 9 10 x

• FUNKSJONER

195

Løsning Ut fra denne grafen ser vi at g(x) avtar når x øker. Det ser ut som om grafen synker mot førsteaksen. a Dette kan dermed være omvendt proporsjonalitet, g( x) " . x a Når x = 1, er g(x) = 250. Da har vi 250 " , a " 250, 1 250 . og vi kan sette opp funksjonsuttrykket g( x) " x

Oppgave 2.85

samarbeid

Test om funksjonsuttrykket dere fant i eksemplet over, passer til grafen ved å sette opp verditabell.

Oppgave 2.86

samarbeid

a Hvilket av funksjonsuttrykkene passer til grafen? 1 f (x) "

12 x

3 f (x) =

1 x +2 2

2 f (x) =

10 +2 x

4 f(x) = 7x – 2

f(x) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1

4 5

9 10 11 12 13 14 15 x

b Forklar hvordan du tenkte for å finne hvilket funksjonsuttrykk som passet til grafen.

196

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.87

fra eksamen 2010

Hva er funksjonsuttrykket til grafen?

1 y=x–1 2 y = 2x +

f(x) 3

1 2

2 1

3 y = –x + 2

–1

4 x

–2

4 y = 2x – 1

Fra verditabell til graf Dersom vi har en verditabell og skal tegne en graf, bruker vi tallene i tabellen som koordinatpar og tegner grafen.

eksempel 30 å tegne en graf fra en verditabell Bruk verditabellen og tegn grafen. x

f(x)

–1

Løsning Vi bruker x som førstekoordinat, og f(x) som andrekoordinat. Vi har punktene (0 , 2), (4 , 0) og (6 , –1). Vi plasserer punktene i et koordinatsystem. Her ser vi at vi kan tegne en rett linje gjennom de tre punktene. Vi har en lineær funksjon. f(x) 4 3 2

(0, 2)

1 –1 –1

(4, 0) 4 5 6 7 x (6, –1)

• FUNKSJONER

197

Oppgave 2.88 Bruk verditabellene og tegn grafene.

a b c d

f(x)

g(x)

–2

h(x)

–2

k(x)

Fra situasjon til funksjonsuttrykk Overgangen fra situasjon til funksjonsuttrykk innebærer å finne et funksjonsuttrykk til en situasjon. Vi kaller prosessen matematisk modellering. Vi må analysere situasjonen og finne ut hvilke størrelser som henger sammen. Vi må finne ut hvilken størrelse det er som skal oppfattes som x-verdien, og hvilken verdi som blir funksjonsverdien, f(x). Funksjonsverdien kan vi alltid regne ut hvis vi kjenner verdien for x. Deretter blir det å prøve å finne sammenhengen, altså hvordan f(x) kan uttrykkes ved hjelp av x. Når vi kjenner hva som karakteriserer de ulike funksjonstypene, kan vi ut fra beskrivelsen for eksempel tenke på – om f(x) øker eller minker når x øker – om f(x) øker eller minker med samme verdi når x øker med 1 – om x kan være 0 – hva f(x) er når x er 0 Vi kan da skille mellom en lineær funksjon og en brøkfunksjon, og vi kan bruke opplysninger om situasjonen til å prøve å sette opp et funksjonsuttrykk. Det fins andre typer funksjoner også, men det er lineær funksjon og brøkfunksjon vi skal fokusere på her.

198

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 31 å finne funksjonsuttrykket til en situasjon Terje er nøyaktig 5 år eldre enn Heidi. De har bursdag på samme dag. Hvordan kan Terjes alder uttrykkes som en funksjon av Heidis alder? Løsning Hvis vi sier at alderen til Heidi er variabelen x, så vil alderen til Terje være bestemt av x. Funksjonsuttrykket blir f(x) = x + 5

Oppgave. 2.89 Tobias har fått jobb som avisbud. Han får 2 kr per avis han leverer, pluss 50 kr fast for ruta han går. Sett opp et funksjonsuttrykk f(x) som beskriver hvor mye Tobias tjener. Hva står x for?

Oppgave 2.90 Cathrine er på butikken, og kjøper 2 kg epler og en avis som koster 25 kr.

a Lag et uttrykk for hvor mye Cathrine må betale? b Hva står x for? Oppgave 2.91 Klasse 10B skal ha klassefest. De har gjort store innkjøp av mat for til sammen 1300 kr. Alle som deltar, skal spleise. Hvor mye må hver betale? Kall antall deltakere x og lag et funksjonsuttrykk. Når et funksjonsuttrykk knyttes til en praktisk situasjon, er det ofte slik at vi bare kan bruke bestemte verdier for x i uttrykket. I eksempel 31 kan vi ikke bruke negative tall for x, for x er jo en alder. Som den høyeste verdien for x kan vi velge 110 her. Dermed kan vi bruke alle tall fra og med 0 til og med 110 som x-verdier. Vi skriver det slik: 0 ≤ x ≤ 110. Dette kaller vi funksjonens definisjonsmengde.

• FUNKSJONER

199

Oppgave 2.92

fra eksamen 2014

I denne oppgaven kan du spare tid og arbeid ved å bruke en datamaskin med graftegner. Svømmebassenget i Badeland på 645 000 L skal tømmes for vann. Det tappes ut 18 000 L per time.

a Forklar at antall liter V(x) som er igjen i svømmebassenget etter x timer, kan beskrives av funksjonen V gitt ved V(x) = –18 000x + 645 000

b Bestem ved regning når svømmebassenget er tomt for vann. c Tegn grafen til V. d Bestem grafisk når det er 285 000 L igjen i svømmebassenget.

Fra situasjon til verditabell Av og til innbyr praktiske situasjoner til at vi setter opp en verditabell. Ut fra verditabellen kan vi ofte tegne graf og finne funksjonsuttrykk. Ut fra en tekst kan det være mulig å finne tallpar som passer til det funksjonen beskriver, og som dermed kan settes opp i en verditabell.

eksempel 32 å finne verditabellen til en situasjon Vi ser på eksempel 31 der Terje er nøyaktig 5 år eldre enn Heidi. Løsning Ved hjelp av hoderegning kan vi finne hvor gammel Terje må være ved å velge ulike verdier for alderen til Heidi. Hvis Heidi er 11 år, vil Terje være 16 år. Hvis Heidi er 8 år, vil Terje være 13 år. Slik kan vi fortsette, og når vi har funnet en del verdier, kan vi sette opp en verditabell

200

HEIDIS ALDER

TERJES ALDER

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.93

samarbeid

Vi skal prøve å finne ut om det er noen sammenheng mellom bredden og høyden på noen papirark. Vi skal måle bredde og høyde, og samle målingene i en verditabell. Dere trenger et A4-ark og en linjal for å gjøre oppgaven. I denne oppgaven kaller vi den korteste siden av arket for bredde og den lengste for høyde.

a Mål bredde og høyde på et A4-ark, og sett de målte verdiene inn i en verditabell. Brett arket i to, og klipp eller riv langs bretten.

b Mål bredde og høyde på det nye arket, og sett verdiene inn i verditabellen.

c Fortsett på samme måte til dere har delt arket 5 ganger, og sett verdiene inn i verditabellen.

d Studer verditabellen. Hva forteller den? e Hvilken type funksjon har dere? Skriv funksjonsuttrykket, og fortell hva x og f(x) står for.

Oppgave 2.94 Sett opp verditabeller til oppgavene 2.89, 2.90 og 2.91. Hvis du synes det er vanskelig, kan du bruke funksjonsuttrykkene du fant i oppgavene, som grunnlag.

Oppgave 2.95

utfordring

Vi skal undersøke om det er noen sammenheng mellom lengden av en pendel og svingetiden.

a Lag en pendel ved å henge en litt tung gjenstand i en tråd. Tråden må være minst én meter lang. Mål lengden av tråden.

• FUNKSJONER

201

b Løft det som henger i enden av tråden, ut til siden. Bruk stoppeklokke til å måle tiden det tar fra du slipper, til det er tilbake i samme posisjon. Det kan bli mer nøyaktige tall om du måler tiden på for eksempel tre svingninger og deler antall sekunder på tre.

c Gjenta med ulike lengder på tråden. d Sett opp målingene av taulengde og svingetid i en verditabell. e Presenter resultatet som en graf. f Kan du tenke deg noen andre ting enn lengden av snora som bestemmer hvor lang svingetiden vil være? Lag minst ett eksperiment til der du undersøker svingetiden ved å variere en annen ting enn lengden av snora. Sett opp resultatet av målingene i en verditabell, og presenter resultatet i en graf.

Fra situasjon til graf Ut fra en situasjon kan vi noen ganger skissere en graf uten å gå veien om tabell eller funksjonsuttrykk. En graf framstiller en sammenheng visuelt og er derfor ofte nyttig når vi skal vise situasjonen funksjonen beskriver. Når vi skal skissere grafen, må vi bestemme hva som er x-verdien og hva som blir f(x)-verdien. Skissen skal imidlertid ikke være en graf som i detalj beskriver en situasjon, men formen på den skisserte grafen skal avspeile det vi vet om situasjonen.

202

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 33 å skissere en graf til en situasjon Skisser grafen til situasjonen: Per jobber for sin far. Han får en fast timelønn. Hvor mye tjener Per? Løsning f(x) 2500 Her er det ikke oppgitt noen 2000 verdier. Det vi vet er at han 1500 får en fast pris per time. Hvis 1000 han ikke jobber i det hele tatt, 500 vil han ikke tjene noen ting. 5 10 15 20 25 30 x Det betyr at grafen vil gå –500 gjennom origo. For hver time Per jobber, øker lønna hans med et fast beløp, timelønna. Dette vil derfor være en lineær funksjon som starter i origo, og har timelønna som stigningstall.

Oppgave 2.96 Skisser grafen til situasjonen: Pernille går til butikken og kjøper n kg poteter pluss én liter melk som koster 18 kr. Hva betaler Pernille? Hvilken type funksjon er dette?

Oppgave 2.97

samarbeid

Skolen din åpner kl. 07.00 og stenges kl. 22.00. Beskriv antall personer som er på skolen i løpet av en hverdag, ved hjelp av en graf. Velg antall på andreaksen og tid fra 07.00 til 22.00 på førsteaksen. Sammenlikn grafen dere tegnet, med andre elever.

Oppgave 2.98 En liten bedrift fikk et overskudd som de ønsket å utbetale til sine ansatte. Hvor mye fikk hver? Skisser grafen og sett opp funksjonsuttrykket.

• FUNKSJONER

203

Oppgave 2.99

digital

a En lineær funksjon f(x) = ax + b er slik at f(1) = 1 og f(7) = 4. Tegn grafen til f.

b Finn stigningstallet til funksjonen fra a. c Hvis du har en lineær funksjon f(x) = ax + b og du kjenner to punkter på grafen, hvordan kan du finne stigningstallet a?

d Forklar følgende regel: Hvis vi har en lineær funksjon f(x) = ax + b og vi vet at f(x1) = y1 og f(x2) = y2, så er y − y1 a= 2 x2 − x1

e Bruk regelen fra oppgave d til å finne stigningstallet til den lineære funksjonen f(x) = ax + b som oppfyller f(2) = 3 og f(5) = 13.

Oppgave 2.100

samarbeid

Terje har eksperimentert med to ulike termoser. Han har fylt kokende vann på de to termosene. Etter en time målte han temperaturen i hver av termosene og fortsatte med temperaturmålinger i 19 timer til. Resultatet av målingene presenterer han som to grafer. f(x) °C 100 80 60 40 20

a Lag verditabeller som viser hva temperaturen var i de to termosene på forskjellige tidspunkter etter at termosen var fylt opp.

204

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

h x

b Lag forslag til to funksjonsuttrykk som beskriver temperaturen i termosene.

c Bruk funksjonsuttrykkene dine, og regn ut hva temperaturen i de to termosene er etter 24 og 30 timer.

d Er det mulig at Terje kunne ha målt de temperaturene du regnet ut i oppgave d? Begrunn svaret ditt.

Oppgave 2.101

fra eksamen 2012

Stefan betaler 225 kr per hårklipp hos frisøren.

a Sett opp en funksjon som viser Stefans frisørutgifter y etter x hårklipp.

b Tegn grafen til y på papir eller med digital graftegner for 0 f x f 12. Stefan kjøper seg en klippemaskin til 990 kr og bruker den i stedet for å gå til frisøren.

c Bruk grafen til å bestemme hvor mange ganger Stefan må klippe seg med klippemaskinen før han har spart den inn. Marker på grafen.

• FUNKSJONER

205

ANDREGRADSFUNKSJONER Det fins mange funksjonstyper som vi ennå ikke har sett på. I dette avsnittet skal vi ta for oss andregradsfunksjoner, også kalt kvadratiske funksjoner.

eksempel 34 å finne arealet av kvadrat som funksjon av sidelengden Et kvadrat har sidelengde s. Sett opp et funksjonsuttrykk for arealet av kvadratet, lag verditabell og tegn grafen. Løsning Arealet av et kvadrat med sidelengde s kan vi uttrykke med funksjonsuttrykket A(s) = s2, s ≥ 0. Vi velger noen sidelengder og lager verditabell. s

A(s)

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og tegner grafen.

A(s) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

4 s

Oppgave 2.102 Hva blir arealet av tre like kvadrater med sidelengde x? Sett opp funksjonsuttrykket, lag verditabell og tegn grafen.

En andregradsfunksjon er en funksjon som kan skrives på formen f(x) = ax2 + bx + c. der a, b og c er gitte tall og a er ulik 0. Vi kaller a, b og c for koeffisienter.

Grunnen til at vi må ha a | 0, er at ellers hadde funksjonsuttrykket blitt f(x) = bx + c, som er en lineær funksjon.

206

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 35 å tegne grafen til en andregradsfunksjon Tegn grafen til f(x) = –x2 + 3. Løsning f(x) 3

utregning

f(x)

–2

–(–2)2 + 3 = –1

–1

2 1

–1

–(–1) + 3 = 2

–(0)2 + 3 = 3

–(1)2 + 3 = 2

–(2)2 + 3 = –1

–2 –1

–1

3 x

–2 –3

Oppgave 2.103

digital

Her er fem eksempler på andregradsfunksjoner.

1 f(x) = 3x2 + 2x + 1 (a = 3, b = 2, c = 1) 2 g(x) = 2x2 – 5x + 7 (a = 2, b = –5, c = 7) 3 h(x) = x2 + 9 (a = 1, b = 0, c = 9) 4 p(x) = –x2 + 4x (a = –1, b = 4, c = 0) 5 q(x) = x2 (a = 1, b = 0, c = 0) Tegn grafene til de fem funksjonene i GeoGebra.

Oppgave 2.104

samarbeid

Sammenlikn uttrykket A(x) = – x2 + 60x med det generelle uttrykket f(x) = ax2 + bx + c. Hva er a, b og c i dette funksjonsuttrykket?

Oppgave 2.105 Sammenlikn uttrykket A(x) = x2 – 2x – 24 med det generelle uttrykket f(x) = ax2 + bx + c. Hva er a, b og c i dette funksjonsuttrykket?

• FUNKSJONER

207

Oppgave 2.106 f(x) 3

a Lag verditabell til grafen. b Hva er den største verdien f(x)

kan ha?

1 –2 –1

–1

3 x

–2 –3

Oppgave 2.107

fra eksamen 2013

a Fyll inn det som mangler i verditabellen for funksjonene f(x) = x + 1 og g(x) = x2 – 1 x

f(x)

g(x)

–2 –1

–1

b Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem.

f(x) 5 4

c Finn koordinatene til skjærings-

3 2

punktene mellom f og g.

1 –3 –2 –1

–1

3 x

–2

Oppgave 2.108 a Lag verditabeller og tegn grafene til f(x) = x2, g(x) = x2 + 2 og h(x) = x2 – 2.

b Sammenlikn grafene. Hvordan endret grafen seg da vi la til eller trakk fra et tall i funksjonsuttrykket? Kan vi se av grafen hva c-leddet i funksjonsuttrykket f(x) må være?

208

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.109

digital

a Tegn grafene til f(x) = x2, g(x) = 4x2 og h(x) = 0,5x2 i GeoGebra.

b Sammenlikn grafene. Hvordan endret grafen seg da vi endret a i funksjonsuttrykket?

Oppgave 2.110

digital

a Tegn grafene til f(x) = x2, g(x) = –x2, h(x) = –x2 + 2 og p(x) = x2 + 2 i GeoGebra.

b Sammenlikn grafene. Hvordan endret grafen seg da vi endret fortegnet til a?

Oppgave 2.111

digital

a Tegn grafene til f(x) = x2, g(x) = (x – 5)2 og h(x) = (x + 5)2. b Sammenlikn grafene. Hvordan endret grafen seg da vi erstattet x med (x – 5) eller med (x + 5)?

Oppgave 2.112

digital

a Tegn grafen til f(x) = (x – 5)2 + 1. b Tegn grafen til q(x) = –(x + 1)2 + 4.

f(x) 6

Grafen til f(x) = (x – k)2 + r ser ut som på ﬁguren.

5 4 3 2 1

5 x

• FUNKSJONER

209

Oppgave 2.113

digital

Tegn grafen til f(x) = ax2 + bx + c i GeoGebra, der du lar a, b og c være glidere. La a, b og c variere mellom –5 og 5.

Oppgave 2.114 Vi har funksjonen f(x) = x2 + 4. Tegn grafen til funksjonen. Sammenlikn dette uttrykket med det generelle uttrykket for en andregradsfunksjon f(x) = ax2 + bx + c, og finn ut hva a, b og c er i dette funksjonsuttrykket.

Grafene til andregradsfunksjoner kalles parabler Alle andregradsfunksjoner vi har jobbet med i oppgavene foran har grafer med samme «form» som grafen til f(x) = x2 Forskjellen er bare at grafene kan være flyttet opp eller ned, flyttet til siden, være brattere eller slakere, eller være snudd opp ned. Det viser seg at grafen til alle andregradsfunksjoner har denne formen. Grafene til andregradsfunksjoner kalles med en fellesbetegnelse parabler.

210

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

• Parabler har enten et toppunkt eller et bunnpunkt. Hvis a > 0, har grafen et toppunkt, hvis a < 0, har den et bunnpunkt. f(x) 1 –1

f(x) 6

Toppunkt 1

–2

5 x

a<0

–3

a>0

4 2

–4

Bunnpunkt 1

5 x

• Parabler har en vertikal symmetrilinje som går gjennom topppunktet/bunnpunktet, og vil være ermed andreaksen. f(x) 1 –1 –2 –3

Toppunkt 1

5 x

x=k

–4

eksempel 36 å finne symmetrilinja til en annengradsfunksjon Finn symmetrilinja til funksjonen f(x) = (x – 3)2 = x2 – 6x + 9. Løsning Vi tegner grafen.

f(x) 5

4 3 2 1 1

5 x

Vi ser vi får et bunnpunkt i (3 , 0). Symmetrilinja går alltid gjennom bunnpunktet eller toppunktet og er parallell med andreaksen. Symmetrilinja blir derfor x = 3.

• FUNKSJONER

211

Oppgave 2.115 Finn symmetrilinja til funksjonene.

a f(x) = (x – 1)2 b f(x) = (x – 2)2 c f(x) = (x – 2)2 + 2 Oppgave 2.116 Hvilket funksjonsuttrykk passer til hvilken graf.

a f(x) = –4x2 + 2 b g(x) = (x – 1)2 c h(x) = x2 – 2 d k(x) = (x + 2)2 1

y 7

–5 –4 –3 –2 –1

y 7

–1

1 x

–2 –1

–1

y 2

–1 –2 –3

3 x

1 –3 –2 –1

–1 –2

–5

Kapittel 2

3 x

–4

212

y 4

1 –2 –1

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

3 x

eksempel 37 areal av ballplass Vi har 120 m netting som vi skal bruke til å lage gjerde rundt en rektangulær ballplass. Tenk på situasjonen som en funksjon. Den ene siden i rektanglet kaller vi for x. Finn arealet som en funksjon av sidelengden x.

Løsning Vi prøver å lage et funksjonsuttrykk. Vi vet at vi finner omkretsen i et rektangel ved å addere alle sidene. Siden to av sidene blir x + x = 2x, må de to andre sidene være omkretsen minus 2x, altså 120 – 2x. Hver av de to andre sidene må da være 120 − 2 x 2(60 − x) = = 60 − x . 2 2 Vi har da at bredden b er x, og lengden l er 60 – x. Arealet av ballplassen finner vi ved å multiplisere lengden med bredden. Det blir (60 – x) · x = 60x – x2. Vi kan nå sette opp et funksjonsuttrykk A(x) = –x2 + 60x. Arealet av ballplassen blir da en funksjon av siden x. Vi har fått et funksjonsuttrykk som inneholder x2.

• FUNKSJONER

213

Oppgave 2.117

samarbeid

I denne oppgaven skal dere undersøke hvilken bredde x som gir størst areal av ballplassen fra eksempel 37. Da må dere se på funksjonen A(x) = (60 – x) · x = –x2 + 60x

a Fyll ut verditabellen. x

A(x)

b Tegn grafen til funksjonen A(x). c Hvilken verdi av x ser ut til å gi størst areal?

I oppgave 2.117 ser vi at vi ikke kan bruke alle verdier for x. Vi må ha x-verdier som er større enn 0 og mindre enn 60. Definisjonsmengden til funksjonen er x-verdier mellom 0 og 60. Dette kan vi skrive slik: 0 ≤ x ≤ 60.

eksempel 38 areal av ballplass i geogebra a Tegn grafen til funksjonen A(x) = –x2 + 60x. b Hvor lange blir sidene på ballplassen når den har sitt største areal? c Hvor lange er sidene hvis arealet er 500 m2? Løsning Vi skriver i inntastingsfeltet:

Ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt kan vi få koordinatene til toppunktet nøyaktig.

Vi ser da at når A(x) er 900, blir x = 30. Det vil si at bredden b er 30 m.

214

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Lengden l blir (60 – x) m = (60 – 30) m = 30 m. Vi får et kvadrat med sider lik 30 m. Vi tegner inn linja f(x)= 500 sammen med grafen til A(x), og markerer skjæringspunktene med verktøyet Skjæring mellom objekt, eller vi bruker kommandoen Skjæring.

Ved å lese av på grafen ser vi at det er x = 10 eller x = 50 som svarer til at A(x) = 500. Når b = x = 10, blir l = (60 – 10) = 50. Når b = x = 50, blir l = (60 – 50) = 10. Vi ser at begge disse alternativene gir sider som er 10 m og 50 m.

Førstekoordinaten til punktene der grafen skjærer førsteaksen, kalles funksjonens nullpunkt.

Oppgave 2.118

digital

a Sett opp arealet A av en sirkel som funksjon av radius, r. Tegn grafen til A(r) i GeoGebra. Hva er a, b og c i dette tilfellet?

b Hva er forholdet mellom arealet As av en sirkel med radius r og arealet Ak av et kvadrat med side r?

• FUNKSJONER

215

Oppgave 2.119

digital

Tegn grafen til funksjonsuttrykket f(x) = x2 + 2x – 3 i GeoGebra.

a Hva er den laveste verdien f(x) har? b Hvor skjærer grafen andreaksen? c Finn koordinatene til grafens skjæringspunkt med førsteaksen.

Førstekoordinaten til et punkt der grafen skjærer førsteaksen, kaller vi et nullpunkt for funksjonen. Med et nullpunkt til en funksjon f(x) mener vi et tall x slik at f(x) = 0.

eksempel 39 andregradsfunksjon i geogebra Vi har gitt funksjonen f(x) = –3x2 + 6x + 4. a Tegn grafen til funksjonen. b Hva er den største verdien f(x) kan få? Hvilken verdi har x da? c Finn funksjonens nullpunkter, det vil si x-verdien når f(x) = 0. d Hvor skjærer grafen andreaksen? Løsning a Vi skriver funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og får tegnet grafen. Tilpass enhetene på aksene.

216

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

b For å finne den største funksjonsverdien bruker vi kommandoen Ekstremalpunkt Vi leser av grafen: Den største verdien f(x) kan få, er 7. Da har vi x = 1. c For å finne nullpunktene bruker vi kommandoen Nullpunkt. Vi leser av grafen: Nullpunkt: x = –0,53 eller x = 2,53 d Alle punkter på andreaksen har førstekoordinat som er 0. Likningen for andreaksen blir dermed x = 0. For å markere skjæringspunktet med andreaksen bruker vi kommandoen Skjæring. Vi leser av grafen: Grafen skjærer andreaksen i (0 , 4). Vi viser koordinatene til punktene i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn.

• FUNKSJONER

217

Oppgave 2.120

digital

Du har fått deg jobb på et gartneri og skal lage et rektangulært blomsterbed ved å bruke 20 m kantstein. Blomsterbedet skal ligge inntil en vegg. y

Du lurer på hvordan blomsterbedet bør være for at arealet skal bli størst mulig. Kall bredden av blomsterbedet x og lengden y.

a Finn y uttrykt ved hjelp av x. b Finn arealet A(x) som en funksjon av x. c Tegn grafen til A(x). d Hva er det største arealet blomsterbedet kan ha? e Hva må x være for at arealet skal bli størst mulig? f Hva blir arealet dersom bredden x = 4 m? g Hva blir bredden dersom A(x) = 32 m2? Oppgave 2.121

digital

Vi skyter en kule fra bakkenivå og rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter. Høyden er en funksjon av tiden gitt ved h(t) = 23,2t – 4,9t2. Kula treffer bakken igjen etter 4,7 sekunder.

a Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra. b Hvor lang tid bruker kula på å nå sitt høyeste punkt? c Hvor høyt er kula på sitt høyeste punkt? d Etter hvor lang tid er kula 20 meter over bakken?

218

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

EKSPONENTIALFUNKSJONER I mange praktiske situasjoner regner vi med en fast prosentvis økning eller prosentvis reduksjon som gjentas flere ganger.

eksempel 40 eksponentialfunksjon – befolkningsvekst Antall barn i en liten kommune øker med 5 % per år. Dette vil ha noe å si for planlegging av både barnehager og skoler. Det bor nå 1000 barn i kommunen. Finn en funksjon som beskriver hvordan antall barn utvikler seg med tiden. Løsning I delkapittel 1F lærte vi å bruke vekstfaktor i denne type situasjoner. Økningen på 5 % gir vekstfaktoren p 5 = 1+ = 1 + 0, 05 = 1, 05 . 1+ 100 100 Vi finner antall barn f(x) som funksjon av antall år x ved å multiplisere med vekstfaktoren x ganger. Vi får da f(x) = 1000 · 1,05x Antall barn etter fire år vil da være 1000 · 1,054 = 1216. Grafen til funksjonen vil se slik ut: f(x) 2500 2000 1500

(4, 1215,51)

1000 500 2

8 10 12 14 16 18

Ved en fast prosentvis økning blir funksjonen en eksponentialfunksjon, og vi sier vi har eksponentiell vekst. Vekstfaktoren er større enn 1.

• FUNKSJONER

219

eksempel 41 eksponentiell nedgang i geogebra En bil er verdt 300 000 kr. Verdien synker med 15 % per år. a Sett opp funksjonsuttrykket V(t) for verdien av bilen etter t år. Tegn grafen til funksjon i GeoGebra. b Hva er verdien av bilen om fire år? c Hvor lang tid tar det før bilens verdi er 200 000 kr? Løsning 15 = 1 − 0, 15 = 0, 85 . 100 Funksjonsuttrykket blir V(t) = 300 000 · 0,85t.

a Vekstfaktoren blir 1 −

Vi skriver i inntastingsfeltet:

b Vi finner verdien etter 4 år slik: Verdien etter 4 år er 156 602 kr. c For å finne når verdien passerer 200 000 kr, skriver vi

Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til V(t) og denne linja (6,8 , 100 000).

Bilen har en verdi på 200 000 kr etter ca. 2,5 år.

220

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

En eksponentialfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes ved funksjonsuttrykket f(x) = k · ax Ved en fast prosentvis økning er vekstfaktoren a > 1. Da stiger grafen. Ved en fast prosentvis nedgang er vekstfaktoren 0 < a < 1.

Oppgave 2.122

digital

Antall bakterier i en bakteriekultur øker med 8 % per time. På et lite område er det 2500 bakterier.

a Vis at vekstfaktoren blir 1,08. b Sett opp funksjonsuttrykket for antall bakterier som funksjon av antall timer.

c Tegn grafen i GeoGebra. d Hvor mange bakterier vil det være etter 15 timer? e Hvor lang tid tar det før antall bakterier har doblet seg? Oppgave 2.123

digital

Et idrettslag hadde siste året 550 medlemmer. De siste 3 årene har dessverre medlemstallet gått ned. Idrettslaget venter en fortsatt svikt i medlemstallet med en nedgang på 10 % årlig.

a Vis at vekstfaktoren blir 0,90. b Sett opp funksjonsuttrykket for antall medlemmer som funksjon av antall år fra i år.

c Tegn grafen i GeoGebra. d Hvor mange medlemmer vil det være etter 3 år? e Hvor lang tid tar det før antall medlemmer er halvert?

• FUNKSJONER

221

HVA KAN DU NÅ om funksjoner? 1

a Hvilken graf passer til hvilket funksjonsuttrykk? 10 x 5 l(x) = 3x – 2

1 f(x) = 3x

4 k(x) =

2 g(x) = –x + 2 20 3 h(x) = +2 x y 7 6

6 m(x) = –x – 2

4 3 2

1 –2 –1 e –1

4 5

9 10 11 12 13 x

–2

b Sett opp verditabell til hvert av funksjonsuttrykkene. c Lag situasjoner til funksjonsuttrykkene 1 og 4.

Lag en situasjon som kan passe til denne grafen: Avstand 400 Antall km 300 200 100 1

222

Kapittel 2

9 10 11 Timer

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Du har verditabellene: 1

f(x)

200

a Beskriv mønstret du finner i hver av verditabellene. b Tegn grafene til funksjonene. c Finn funksjonsuttrykkene. d Finn en situasjon som passer til hver av verditabellene.

a Tegn grafen til de ulike funksjonene i GeoGebra: 1 f(x) = –x2

4 i(x) = 4x2 – 2x

2 g(x) = 2x2 + 2

5 j(x) = 10x2 – 2x + 1

3 h(x) = x2 + 4x+ 4

6 k(x) = –x2 – 2

b Bestem koeffisientene a, b og c for alle funksjonene. c Kan du ut fra grafene si noe om hva koeffisientene a, b og c forteller?

d Finn symmetrilinja til alle grafene. e Formuler en regel om sammenhengen mellom koeffisientene a og c og grafen.

Vi har denne grafen:

a Lag en verditabell ut fra grafen.

f(x) 7

b Hva er den minste verdien

f(x) kan ha?

5 4

c Hva er x når f(x) har sin

minste verdi?

d Hva er symmetrilinja?

1 –2 –1

–1

1 2

4 x

–2 –3

HVA KAN DU NÅ ?

223

En moped er verdt 80 000 kr. Verdien synker 10 % per år.

a Vis at vekstfaktoren er 0,90. b Sett opp funksjonsuttrykket V(t) for verdien av mopeden etter t år.

c Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra. d Hva er verdien av bilen om fire år? e Hvor lang tid tar det før bilen har en verdi lik 20 000 kr?

224

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

2D LIKNINGER BEGREPER likning «hold over»-metoden «gjett og sjekk»-metoden algebraisk metode likningssystem innsettingsmetoden addisjonsmetoden graﬁsk metode andregradslikning ulikhet

Etter dette delkapitlet skal du kunne • forstå hva en likning er, og uttrykke praktiske situasjoner som likninger • forstå hva en ulikhet er, og uttrykke praktiske situasjoner som ulikheter • løse likninger og ulikheter ved gjetting, «hold over»-metoden og algebraisk metode • løse likningssett med to likninger og to ukjente graﬁsk og ved regning • vite hva en andregradslikning er, og kunne løse enkle andregradslikninger • løse likninger, ulikheter og likningssett ved å bruke GeoGebra

I Nummer 8 og Nummer 9 jobbet vi med tre ulike metoder for å løse en likning der vi skal finne et ukjent tall x:

«Hold over»–metoden «Hold over»-metoden går ut på å holde fingeren over en del av likningen som inneholder x, for å finne ut hvilket tall som må stå der. Så kan vi prøve å finne x etterpå. Fordelen

•

LIKNINGER

225

med denne metoden er at den ofte er svært rask og grei. Ulempen er at den bare virker på spesielle typer likninger. Skal metoden bli effektiv, må det være mulig å dekke alle x-ene i likningen ved å holde over en spesiell del av den. Metoden virker fint på likningen 2 =1 x+5 Her kan vi nemlig holde over uttrykket x + 5. Dette uttrykket 2 må være 2 fordi = 1. Altså x + 5 = 2 , slik at x = −3 . Derimot 2 fungerer «hold over»-metoden ikke særlig godt på likningen 3x + 3 = x + 9 Her forekommer x på begge sider av likningen, så hva skal vi holde over?

«Gjett og sjekk»-metoden «Gjett og sjekk»-metoden går ut på å gjette en verdi for x, sette den inn i likningen og se om den passer. Passer den ikke, kan vi prøve en annen x. Fordelen med denne metoden er at den er enkel og grei. Ulempen er at vi kan risikere å holde på svært lenge før vi finner den riktige x-en. Dersom vi har likningen

x +1 1 = , kan gjettemetoden ofte x+5 2

være den beste metoden. Her bruker vi det vi kan om likeverdige brøker. Vi prøver oss fram med x = 1. 2 1 Det gir , som ikke er lik . 6 2 Vi prøver videre med 2 som 3 gir og som også er for7 1 skjellig fra . Så prøver vi 2 4 1 med x = 3 som gir " . 8 2

226

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Algebraisk metode Algebraisk metode går ut på å løse likningen ved å skrive den om trinn for trinn inntil den ukjente x står alene på den ene siden. Underveis er det to typer operasjoner vi kan gjøre:

1 Vi kan addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme på begge sider av likningen. 2 Vi kan skrive om en av sidene i likningen ved å bruke en algebraisk lov. Siden slik omskriving ikke endrer verdien av uttrykket, trenger vi ikke gjøre det samme på begge sider. Fordelen med algebraisk metode er at den virker på nesten alle likninger du kommer bort i. Dessuten er denne metoden det som gir deg mest matematisk modning. Ulempen med metoden er at den ofte er vanskeligere å bruke enn de to andre.

eksempel 42 å løse likningen algebraisk Løs likningen. 2 1 = x+5 x Løsning Her vil «hold over»-metoden fungere dårlig. Vi prøver algebraisk metode. For å bli kvitt nevnerne, kan vi multiplisere med fellesnevneren på begge sider. 2 ⋅ x ⋅ ( x + 5) 1 ⋅ x ⋅ ( x + 5) = ( x + 5) x Vi forkorter brøkene. Det endrer ikke verdien av uttrykkene. Det gir 2 ⋅ x = ( x + 5) . Vi subtraherer x på begge sider og får x = 5. Til slutt kan vi sette prøve på svaret ved å sette inn x = 5 på begge sider i likningen: 2 2 2 1 = = = x + 5 5 + 5 10 5 1 1 Høyre side: " x 5

Venstre side:

x = 5 er en løsning av likningen fordi begge sidene ble like.

•

LIKNINGER

227

Oppgave 2.124

samarbeid

Løs likningene. Dere kan velge metode selv. Løs gjerne samme likning med flere metoder. Sett til slutt prøve på svaret.

a 2x − 5 = x − 1 x x −2 − =1 2 3 2 =2 c x+5

2 1 " x 3 3 1 4 e − = x 2x 3 2 1 x f x −2 = − 3 2 6

Oppgave 2.125 Løs likningene. 1 3 = x −2 9 2 b 2x − 4 = − x 3 1 1 2x c x−4= − 3 6 2

d ( x − 2)2 + 4 = x 2 + 7 1 2

e x − 3( x − 1) = 3 + ( x − 2) f

1 1 x +2 x + ( x + 3) = 1 − 3 2 3

Oppgave 2.126

eksamen 2015

Løs likningene.

a 6x = 4x + 8

x x −2 − =1 2 3

eksempel 43 å sette opp likninger Audun hadde 150 kr ved årets begynnelse, og han får 100 kr i ukepenger. Hans lillesøster Aud-Unn hadde 600 kr, men ukelønna hennes er bare 50 kr. Begge sparer alt de får. Når har de like mange penger? Løs oppgaven ved å sette opp en likning der antall uker er den ukjente x.

228

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Løsning Det fins mange måter å finne svaret på her. Man kan telle seg fram, man kan ta differansen 600 – 150 og dividere den på 50, eller løse oppgaven ved å sette opp en likning. Etter x uker er pengesummen til Audun 150 + 100x. Etter x uker er pengesummen til Aud-Unn 600 + 50x. De vil ha like mange penger når disse to summene er like. Da får vi likningen 150 + 100x = 600 + 50x Vi løser den: 150 + 100x = 600 + 50x 150 + 50x = 600 50x = 450 50 x 450 " 50 50 x=9

subtraherte 50x på begge sider subtraherte 150 på begge sider dividerte med 50 på begge sider forkortet på begge sider

Etter 9 uker har de like mye penger.

Oppgave 2.127

samarbeid

Tore er 28 år yngre enn sin far. Hvor gammel er Tore når han er halvparten så gammel som sin far?

Oppgave 2.128

samarbeid

En rørlegger tjener 600 kr i timen. Han betaler 30 % skatt. Hvor mange timer må han jobbe for å få utbetalt 2100 kr?

Oppgave 2.129

samarbeid

Et taxiselskap har en fast startpris på 60 kr. I tillegg kommer 20 kr per kilometer. Et annet taxiselskap har en fast startpris på 80 kr, men bare 15 kr per kilometer. Hvor langt må man kjøre for at tilbudene skal være like?

•

LIKNINGER

229

Oppgave 2.130 3 av 5 alle elevene ved skolen. Hvor mange elever var det ved skolen? Ved et skolevalg stemte 93 elever på Arbeiderpartiet. Det var

Oppgave 2.131 Per er dobbelt så gammel som Ola. Lise er ti år eldre enn Ola. Til sammen er de 66 år.

a Sett opp uttrykk for alderen til Per, Ola og Lise. b Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de er. Oppgave 2.132 Zahra, Iselin og Nora har til sammen 420 kr.

a Hvor mange kroner har de hver når Iselin har dobbelt så mye som Zahra, og Iselin har 20 kr mindre enn Nora?

b Løs oppgaven ved å sette opp en likning. Oppgave 2.133 a Omkretsen av en sirkel er gitt ved O = 2πr. Sett opp et utrykk for r.

b Arealet av en sirkel er gitt ved A = πr2. Sett opp et utrykk for r gitt ved arealet A.

230

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.134 1 Volumet av en pyramide er gitt ved V = G ⋅ h . 3 G er et rektangel med lengden l og bredden b.

a Sett opp et uttrykk for h gitt ved volumet V og grunnflata G. b Sett opp et uttrykk for bredden b gitt ved volumet V. Oppgave 2.135 Brage, Eiliv og Anan skal selge lodd til inntekt for Redd Barna. De selger til sammen 900 lodd. Brage selger dobbelt så mange lodd som Anan, og Eiliv selger 100 lodd mer enn Anan.

a Hvor mange lodd selger hver av dem? Av inntektene de får, trekker de fra utgifter til buss og trikk, samt innkjøp av loddbøker og noen gevinster. Etter utgiftene sitter de igjen med en nettoinntekt på 540 kr.

b Hvor mange kroner i nettoinntekt fikk hver av dem etter loddsalget?

Oppgave 2.136

utfordring

I en idrettsturnering velger halvparten av elevene ballspill, en tredel velger styrketrening, mens resten, dvs. 4 elever. velger friidrett. Hvor mange elever deltok på idrettsturneringen?

Oppgave 2.137

fra eksamen 2015

Marius er halvparten så gammel som Gabriel. Andreas er tre år eldre enn Gabriel. Til sammen er de tre guttene 53 år Lag en likning, og bruk den til å regne ut hvor gammel hver av guttene er.

•

LIKNINGER

231

TO LIKNINGER MED TO UKJENTE Når vi har to ukjente, skal vi finne tall x og y som er slik at to likninger er oppfylt med samme verdi for x og samme verdi for y. Likning I: x + y = 9 Likning II: x – y = 3 Vi har her et likningssystem med to likninger og to ukjente. Vi kan finne løsninger av mange slike systemer ved «gjett og sjekk»-metoden. Prøver du deg fram her, kan du med litt flaks komme fram til at x = 6 og y = 3 passer. Ser du det? Men som oftest er det vanskelig å gjette løsninger av likningssystem. Vi skal derfor se på tre løsningsmetoder, nemlig innsettingsmetoden, addisjonsmetoden og grafisk metode.

Oppgave 2.138

samarbeid

På figuren ser dere en skrue som har en mutter, og en skrue som har to muttere. Skruene og mutterne er like. Skruen med én mutter veier 20 gram, skruen med to muttere veier 24 gram. Tenk praktisk når dere finner svar på følgende spørsmål:

a Hvor mye veier én mutter?

b Hvor mye veier én skrue?

Oppgave 2.139

fra eksamen 2014

Hva koster ett skolebrød, og hva koster én vannflaske?

O LD EN

Totalt: 85kr

232

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

O LD EN

Totalt: 55 kr

eksempel 44 å løse likningssett med innsettingsmetoden Finn x og y som er slik at disse to likningene er oppfylt. Likning I: x + y = 9 Likning II: x – y = 3 Løsning Vi starter med å omforme en av likningene slik at en av de ukjente står alene på venstre side. Her velger vi likning I. I: x + y = 9 I: x=9–y Vi setter x = 9 – y inn i uttrykket for likning II. II: x–y=3 II: (9 – y) – y = 3 Vi løser likning II og får at 9 – 2y = 3 –2y = –6 2y = 6 y=3 Setter vi y = 3 inn likning I, får vi at x+3=9 x=6 Hvis vi setter inn x = 6 og y = 3 i begge likningene, ser vi at løsningen stemmer.

Oppgave 2.140

samarbeid

Løs disse likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden:

a I: x + y = 6

c I: 3x – 2y = 4

II: 2x – y = 3

II: x + 3y = 5

b I: x + 3 y = 2 II: x + 4 y = 5

d I: 4 x − 3 y = 15 II: −5 x + y = −16

•

LIKNINGER

233

eksempel 45 å løse likningssett grafisk Finn x og y som er slik at disse to likningene er oppfylt. Likning I: x + y = 9 Likning II: x – y = 3 Denne metoden går ut på å løse begge likningene ved å tegne grafen til y som funksjon av x. Løsning Løsningen blir punktet (x , y) der de to grafene skjærer hverandre. Hvis et slikt skjæringspunkt ikke fins, har ikke likningssystemet noen løsning. I eksemplet vårt blir y som funksjon av x slik: Likning I: y = – x + 9 Likning II: y = x – 3 Vi tegner de to rette linjene for likning I og likning II: Der linjene skjærer hverandre, har linjene samme xog y-verdi f(x) 9 8 7

y = –x +9

y = x –3

5 4

A = (6, 3)

3 2 1 1

2 3

9 10 11

Vi kan så lese av skjæringspunktets koordinater. Her ser vi at skjæringspunktet blir (x , y) = (6 , 3). Løsningen er x = 6 og y = 3.

234

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.141 Løs likningssettene grafisk.

a I: x + y = 6

c I: 3x – 2y = 4

II: 2x – y = 3

II: x + 3y = 5

x + 3y = 2 II: x + 4 y = 5

d I: 4 x − 3 y = 15

b I:

II: −5 x + y = −16

Oppgave 2.142 Løs likningssettene ved både innsettingsmetoden og grafisk metode.

a Likning I: x + y = 5 Likning II: x − y = 1

b Likning I: 2 x + y = 10 Likning II: y − x = 7

c Likning I: x − 2 y = 15 Likning II: x + y = 0

Addisjonsmetoden Likningssettet Likning I: x + y = 9 Likning II: x − y = 3 var enkelt å løse ved hjelp av innsettingsmetoden. Det var fordi det var enkelt å omforme en av likningene slik at vi fikk uttrykt y som 9 + x. Her var koeffisientene foran både x og y lik 1. Hvis du har likningssettet Likning I: 6x + 5y = 12 Likning II: 3x + 2y = 10 vil addisjonsmetoden være mer effektiv.

•

LIKNINGER

235

eksempel 46 å løse likningssett med addisjonsmetoden Finn x og y slik at disse likningene er oppfylt: Likning I: 6x + 5y = 12 Likning II: 3x + 2y = 10 Løsning Addisjonsmetoden går ut på å eliminere enten x eller y ved å addere eller subtrahere den ene likningen fra den andre. Vi ser på koeffisientene foran x- og y-leddene. Her ser vi at vi har 3 foran den ene x-en og 6 foran den andre x-en. Ved å multiplisere likning II med 2 får vi Likning I: 6x + 5y = 12 Likning II: 6x + 4y = 10 Så subtraherer vi likning II fra likning I. Likning I: 6x + 5y = 12 – Likning II: 6x + 4y = 10 y =2 Videre setter vi y = 2 inn i en av likningene. Likning II: 3x + 2y = 5 3x + 2 · 2 = 5 3x + 4 = 5 3x = 1 1 x" 3

I eksempel 46 subtraherte vi likning II fra likning I. I andre oppgaver kan det være lurt å subtrahere likning I fra likning II. Dersom det står minus foran et av leddene, kan det være hensiktsmessig å addere. Vi må i hvert tilfelle se på de ulike likningene og finne ut hva som er lurest for å eliminere den ene ukjente. Følgende tre løsningsmetoder kan brukes når vi skal løse likningssett: innsettingsmetoden, addisjonsmetoden og graﬁsk metode.

236

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.143 Løs oppgavene ved hjelp av innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Velg den metoden du til enhver tid syns er mest effektiv.

a I 4x – 2y = 2

d I 3x + 4y = –6

II x – 3y = 3

b I 2x – 2y = 10

II 4x + 5y = –7

e I –0,2x – 0,8y = –0,2

II 6x + 2y = –2

c I 3x – 2y = 2

II 0,8 + 0,6x = –0,4y

f I 6x + 3y = –3

II 3x + y = 5

II x – 3y = –4

eksempel 47 å løse likningssett i geogebra Løs likningssettet i GeoGebra. Likning I: x – 2y = –2 Likning II: x + y = 4 Løsning Vi skriver inn de to likningene i inntastingsfeltet og finner skjæringspunktet mellom linjene.

Løsning: x = 2 og y = 2

•

LIKNINGER

237

Oppgave 2.144

digital

Løs likningssettene grafisk i GeoGebra.

a Likning I: x + y = 5 Likning II: x − y = 1

b Likning I: 2 x + y = 10 Likning II:

y−x =7

c Likning I: x − 2 y = 15 Likning II:

x+y=0

Oppgave 2.145 Løs alle fra oppgavene 2.143 grafisk i GeoGebra.

Oppgave 2.146 Løs likningssettet grafisk og ved regning. 2x + y = 5 x – y = –2

238

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

digital

eksempel 48 løsning ved hjelp av cas Løs likningssystemet med CAS Likning I: 2x + y = 4 Likning II: 3x – 5y = 10 Løsning Skriv inn de to likningene på hver sin linje i CAS-vinduet i GeoGebra. Merk de to likningene ved å klikke i feltet der linjenummeret står mens du holder ctrl-tasten nede. Klikk på

Vi ser at vi ved hjelp av CAS kan løse likningssett på en effektiv måte ved bare å taste inn likningene slik de står. Det er likevel praktisk for forståelsen å kunne løse likningssettene algebraisk enten ved innsettingsmetoden eller ved addisjonsmetoden.

Oppgave 2.147 Ved et idrettsstevne er billettprisen forskjellig for voksne og barn. For 2 voksne og 3 barn koster det 330 kr å komme inn. Ved det samme stevnet betaler 3 voksne og 2 barn 370 kr. Finn billettprisen for voksne og barn.

Oppgave 2.148 I en kinosal er det 500 plasser. Barnebillettene koster 60 kr og voksenbillettene det dobbelte. En kveld var alle billettene utsolgt. Da var billettinntektene 39 000 kr. Hvor mange barn og hvor mange voksne var i kinosalen?

•

LIKNINGER

239

Oppgave 2.149

utfordring

I en søskenflokk er det tre barn. Iver er 4 år eldre enn Siri, og Siri er tre år eldre enn Nora. Til sammen er søsknene 31 år.

a Bruk opplysningene i teksten til å sette opp tre likninger for de ukjente aldrene.

b Du har nå tre likninger. Løs likningssystemet ved først å bruke innsettingsmetoden på en av likningene slik at du står igjen med to likninger, altså et likningssett med to ukjente. Løs deretter likningssettet og finn ut hvor gamle de tre søsknene er.

ANDREGRADSLIKNINGER Prøver du å løse likningen x2 − 3x + 2 = 0 ved algebraisk metode, vil du antakelig ikke lykkes. Det er ikke enkelt å få isolert x alene på den ene siden her uten å ty til matematiske ulovligheter. Likningen lar seg løse, og her skal vi nøye oss med å se på «gjett og sjekk»-metoden, og løsning med digitalt verktøy og grafisk løsning. Prøver du gjette-metoden på oppgaven over, ser du at x = 1 og x = 2 passer. Andregradslikninger inneholder et andregradsledd og har ofte to løsninger.

Oppgave 2.150

samarbeid

Løs likningene ved å gjette løsninger, og deretter kontrollere om svarene dere fikk, stemmer. Likningene har to løsninger.

a b c d e f

240

x2 = 9 x2 + 2x = 0 x2 – 16 = 0 x2 + x – 6 = 0 x(x – 2) = 0 (x – 3)(x + 2) = 0

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 49 cas Løs likningen x2 + 3x – 10 = 0 ved hjelp av CAS i GeoGebra. Løsning Vi skriver likningen på en linje i CAS-vinduet og klikker på

Oppgave 2.151

samarbeid

Løs likningene i oppgave 2.150 ved hjelp av CAS. Stemmer svaret overens med det du fikk da du brukte «gjett og sjekk»metoden for å løse oppgaven?

eksempel 50 å løse andregradslikninger grafisk Løs likningen x2 + 3x – 10 = 0 grafisk i GeoGebra. Løsning Vi skal finne hvilke verdier av x som gjør at uttrykket på venstre side av likningen blir 0. Dette er det samme som å finne nullpunktene til f(x) = x2 + 3x – 10. Vi tegner grafen til f(x) og bruker kommandoen Nullpunkt til å finne nullpunktene. Løsning: x = –5 eller x = 2

•

LIKNINGER

241

Oppgave 2.152

digital

Løs likningene grafisk i GeoGebra.

a 0,5x2 – 2x – 6 = 0

d x2 – 4x + 4 = 0

g x2 + 6x + 9 = 0

b x2 – 25 = 0

e 3x2 + 4 = 0

h x2 + 3 = 0

c x2 + 4x – 21 = 0

f x2 = 0

i –2x2 – 1 = 0

Oppgave 2.153

eksamen 2014

Løs likningene.

a 3x = x + 8

b (x + 2)2 = x2 + 6

Oppgave 2.154

utfordring

a Hvis du har løst oppgave 2.152 riktig, vil du se at noen av andregradslikningene bare har én løsning. Studer likningene, og finn ut hva som er felles for disse likningene. Hva er felles for grafene i disse tilfellene?

b Du så kanskje at noen av likningene ikke har noen løsning. Kunne du ha forutsagt dette ved bare å studere likningen? Hva er felles for grafene i disse tilfellene?

c Lag tre andregradslikninger der en av dem har to løsninger, en har én løsning og en har ingen løsning. Bytt med medelever, og løs hverandres likninger grafisk med GeoGebra.

242

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

eksempel 51 å løse likninger grafisk med geogebra Løs likningen x2 + 3x – 10 = 2x + 10 grafisk med GeoGebra. Løsning Her skal vi finne for hvilke verdier av x uttrykket på venstre side av likhetstegnet får samme verdi som uttrykket på høyre side av likhetstegnet. Vi kaller uttrykket på venstre side for f(x) og uttrykket på høyre side for g(x). Vi tegner grafen til begge funksjonene i samme koordinatsystem. I de punktene der grafen til f(x) og g(x) skjærer hverandre, har de to uttrykkene samme verdi. Vi skal altså finne verdien av x i skjæringspunktene. Vi tegner de to grafene og finner skjæringspunktene med kommandoen Skjæring.

x = –5 eller x = 4

•

LIKNINGER

243

Oppgave 2.155

digital

Løs likningene grafisk i GeoGebra.

a x2 + 5x + 9 = 3

d 2x2 + 3x + 6 = 2x + 3

b x2 + 2x + 6 = 2x + 10

e x2 + 2x + 10 = 2x +10

c x2 + 6x + 9 = –4

f x2 + 4x – 2 = 2x – 2

ULIKHETER Hvis a og b er tall, så betyr skrivemåten a>b at a er større enn b, altså at a ligger lenger til høyre på tallinja enn b. b

Skrivemåten b < a betyr at b er mindre enn a. Dette er det samme som å si at a er større enn b. Skrivemåten a v b betyr at a er minst like stor som b. Det betyr at a også kan være lik b. Her tillates at a = b. For eksempel er 3 f 3 sant, men 3 ! 3 er usant.

Ulikheter er matematiske utsagn der et av disse tegnene er med: > større enn > større eller lik < mindre eller lik < mindre enn

Ofte har vi ukjente tall i ulikheter. Her er et eksempel: 3x – 4 > 17 Denne ulikheten stiller et krav til det ukjente tallet x. Å løse ulikheten betyr å finne ut hvilke tall x som tilfredsstiller dette

244

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

kravet. Du kan løse ulikheter ved å tenke som du gjør når du løser likninger algebraisk. Men det er ett unntak: Hvis du multipliserer eller dividerer begge sider av en ulikhet med et negativt tall, så må du snu ulikhetstegnet. Se på ulikheten 7 > 3. Den er sann. Hvis vi multipliserer med (–2) på begge sider, uten å snu ulikhetstegnet, blir ulikheten gjort om til 7 · (–2) > 3 · (–2) Multipliserer vi ut på begge sider, får vi her det usanne utsagnet –14 > –6. Dersom vi snur ulikhetstegnet, blir utsagnet sant: –14 < –6.

Du kan løse ulikheter algebraisk på samme måte som du løser likninger, bortsett fra at du må snu ulikhetstegnet når du multipliserer eller dividerer begge sider av ulikheten med et negativt tall.

Oppgave 2.156

samarbeid

Løs ulikhetene.

a 2x > 12 b x +6<9 c 2 x − 10 > 30 d 4

x x < 1 3 2

e x + 3 < 4x – 3 f

1 3x x >2 3 6

g 7

x 2x <2 6 3

•

LIKNINGER

245

eksempel 52 å løse ulikheter i cas Løs ulikheten 3x – 6 < 5 ved hjelp av CAS. Løsning Vi skriver ulikheten på en linje i CAS-vinduet og trykker på .

Løsning: x <

11 3

Oppgave 2.157

digital

Løs oppgave 2.156 ved hjelp av CAS. Stemmer svarene overens med det du fikk når du løste oppgaven med papir og blyant?

eksempel 53 å løse ulikheter grafisk Skriv ulikheten i inntastingsfeltet. Det tegnes nå en loddrett linje ved den x-verdien der ulikheten skifter mellom å være usann og sann. Den siden der ulikheten er sann, fargelegges. Finn skjæringspunktet mellom den loddrette linja og x-aksen ved hjelp av kommandoen Skjæring.

Løsning: x < 3,67

246

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 2.158

digital

Løs ulikhetene fra oppgave 2.156 grafisk i GeoGebra.

Oppgave 2.159 Katrine har fått ekstrajobb som selger. Hun får to tilbud:

1 Hun kan få 6000 kr fast per måned og 500 kr per salg. 2 Hun får ingenting fast, men 800 kr per salg. Sett opp en ulikhet og finn ut når det lønner seg med tilbud 1.

Oppgave 2.160 En bil koster 280 000 kr i innkjøp og bruker bensin for 5,40 kr per mil. En annen bil koster 320 000 kr i innkjøp og bruker diesel for 4,20 kr per mil. Hvor langt må vi kjøre for at det skal lønne seg med dieselbilen? (Her tenker vi bare økonomi og ikke miljø.)

Oppgave 2.161

digital

Det er ulike firmaer som leverer strøm. Her er eksempler på to tilbud.

1 Det første tilbudet er 0,42 kr per kilowatt-time (kWh). 2 Det andre tilbudet er 5000 kr pluss 0,62 kr for det vi bruker over 20 000 kWh. Vi kaller årsforbruket for x kWh. Vi forutsetter at vi bruker mer enn 20 000 kWh.

a Forklar at årsforbruket for x kWh etter tilbud 1 er gitt ved y1 = 0,42x

b Forklar at årsforbruket for x kWh etter tilbud 2 er gitt ved y2 = 5000 + 0,62(x – 20 000)

c For hvilke verdier av x er tilbud 1 billigere enn tilbud 2? d Løs oppgaven i GeoGebra.

•

LIKNINGER

247

HVA KAN DU NÅ om likninger og ulikheter? 1

Løs likningene med penn og papir. Du kan velge metode selv. Løs gjerne samme likning med flere metoder. Sett til slutt prøve på svaret.

a 3x − 2 = x + 4

4 2 " x 3

x x+4 − =3 3 6

6 2 4 − = x x 3

9 =3 x −6

4 1 x x −2 = − 2 3 3

Forklar de ulike måtene du bruker for å løse likningssett med innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. Lag et eksempel og vis begge metodene.

Løs oppgavene ved hjelp av innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Velg den metoden du til enhver tid syns er mest effektiv

a I

c I

b I

d I

x – 2y = 10 II x + 3y = 5

4x – 3y = 9 II 2x + 2y = 8

248

5x + 2y = 2 II –5x + y = –5

–4x + 8y = –10 II –8x + 10y = –14

Løs oppgavene i oppgave 3 grafisk i GeoGebra.

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

I dyreparken i Kristiansand er billettprisen forskjellig for voksne og barn. For 2 voksne og 3 barn koster det 570 kr å komme inn. For 3 voksne og 2 barn koster det 650 kr. Finn billettprisen for voksne og barn.

Løs likningene ved å gjette løsninger og deretter kontrollere om de stemmer. Likningene har to løsninger.

a x2 = 16 b x2 + 4x = 0 c x2 – 25 = 0 d x2 – 5x + 6 = 0 e Løs likningene grafisk i GeoGebra.

Løs ulikhetene både ved regning og i GeoGebra.

a 3x > 12

b x+4<9

c 4 x − 10 > 30

d 8−

x x < 1+ 2 6

Lars har fått sommerjobb med å plukke jordbær. Han får to tilbud:

1 Han får 300 kr per dag pluss 3 kr per kurv han plukker 2 Han får ingenting fast, men 8 kr per kurv han plukker. Sett opp en ulikhet og finn ut når det lønner seg med tilbud 2.

HVA KAN DU NÅ ?

249

OPPGAVESAMLING På elevnettstedet ﬁnner du sammendrag til dette kapitlet.

Kapittel 2 2A

Grunnleggende algebra

Oppgave 200 a I tabellene A og B ser dere noen uttrykk. Alle bokstaver står for tall. Finn uttrykk som er like i tabell A og tabell B. Skriv uttrykkene som er like, i boka di. TA B E L L A

7 8 TA B E L L B

10a – 10b

5 1 4 4

10(a – b)

a b 4

a b 4 4

7 3 8 3

b Forklar ved hjelp av en regnefortelling hvorfor uttrykkene er like.

Oppgave 201

Oppgave 202

Skriv så enkelt som mulig. Alle bokstaver står for tall.

a Sett inn a = 4, b = 2, c = 1, x = 3

a a – (b + c) – c b a + (b – c) – c c a + (b – c) + c 2

d a – b – a(a – b) e x2 + y2 – x(y + x) f x2 + y – (y + x2)

og y = 5, og regn ut de algebraiske uttrykkene i oppgave 201 slik de står, altså uten å bruke de 10 algebraiske lovene.

b Sett inn de samme verdiene for a, b, c, x og y i svarene du fikk når du forenklet de algebraiske uttrykkene. Sammenlikn svarene som du fikk i oppgave a og b.

250

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 203

b Sett inn de samme verdiene for bokstavene når du forenklet de algebraiske uttrykkene. Sammenlikn svarene som du fikk i oppgave a.

Forenkle følgende algebraiske uttrykk. Alle bokstaver står for tall.

6b 2 2b

c Velg andre tall for bokstavene, og

a 5 b c a

regn ut uttrykkene som de står og etter at du har forenklet uttrykkene. Sammenlikn svarene dere fikk før og etter du forenklet uttrykkene.

c a2 – b2 + b(b + a) d

ab b a − ⋅ 2b b 2

4 5 4+5 5 4 + + − − 3 3 3 3 3

2 6 5 + − y y y

Oppgave 206 Forenkle de algebraiske uttrykkene. Alle bokstaver står for tall.

Oppgave 204 Forenkle de algebraiske uttrykkene. Alle bokstaver står for tall.

m + n 2m − n + 3 3

a−3 a+3 + 2c 2c

6a b 2 a b 4 4

3a 4 2 a 9 5b 5b

a + c a − 3c + 2c 2c

lm m l m kl kl

a xy + xt − ( xy − xt ) b lm − ln + ( lm + ln) c lmn + lon − n( lm + lo ) d abc − adc + c( ab + ad )

Oppgave 207

e a – 5b – 2a + 6b

Multipliser parentesene.

3ab b2

ln − 2 mn 4 mn + n n

Oppgave 205 a Sett inn tall for bokstavene l, m, n, o, a, b, c, d, og regn ut de algebraiske uttrykkene i forrige oppgave 204 slik de står.

a (3 + a) · (2 + a) b (a + 5) · (5 + b) c (x – 2) · (2 – y) d (3a – 2b) · (c + 3a) e (10 – a) · (10 – b) f (7 – 5y) · (2 + x) Forklar hvilke lover du bruker.

OPPGAVESAMLING

251

Oppgave 208

Oppgave 211

Multipliser parentesene og forklar hvilke lover du bruker

Skriv så enkelt som mulig.

a 103 · 10 · 104

a 2 · (3x – 10y + t) b x · (x + 8y – 2t)

c (a + b + c) · 10 – 4 · (a – c) d (2x + y) · 6 – (4x – 2y) · 3 e 4 · (b – c + d) – (b + c – d) · 4 f 3 · (x – 4) – (x – 5) · 3

104 103

a5 a3 c a4

a 10 a 2 a 2 a 10

(2 c )3 c 4 c c5

x2 x6 x3 x5

Oppgave 212 Skriv som brøk eller naturlig tall.

Oppgave 209

a 20

d 10–3

Skriv så enkelt som mulig.

b 3–2

e 5–2

c 2–1

f 10–1

a 2 4 · 23 b 3 3 · 32 · 3 c x2 · x5 · x3

Oppgave 213

d 4 2 · 43 · 4

Vi definerer a0 = 1 for alle posive a. Reg ut (x + z4)10.

e a3 · a4 · a2 – a4 · a2

utfordring

f x2 · x7 · x – x5 · x4 Oppgave 214 Oppgave 210

a Regn ut 49 36 · 49 36 .

Skriv så enkelt som mulig. 4

5 52

252

x x

Regn ut

49 36 ·

Regn ut

49 36 ·

49 36 . 49 36 .

3 32

y y1

a5 a4

103 101

Kapittel 2

b Regn ut 49 36 · 49 36 .

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Sammenlikn svarene du fikk. Hva legger du merke til?

Oppgave 215

Oppgave 218

a Regn ut 9 4 og 9 4 .

Du kan skrive 50 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 ved å bruke den algebraiske loven a b = a b .

b Regn ut 12 3 og 12 3 . c Regn ut 3 27 og 3 27 . d Regn ut 9 9 og 9 9 . e Regn ut 25 4 og 25 4 . f Regn ut 2 50 og 2 50 . Hvilke oppgaver ga samme svar? Forklar hvorfor den algebraiske loven a b = a b gjelder.

Oppgave 216

Regn ut ved å faktorisere tallene under rottegnet, og bruk den algebraiske loven a b = a b .

16a

128

8b 2

125

144

Oppgave 219

a Regn ut 9 4 og 9 4 . b Regn ut 12 3 og 12 3 . c Regn ut 3 27 og 3 27 .

a Vis at 81 + 49 ≠ 81 + 49 . b Vis at 121 − 16 ≠ 121 − 16 .

d Regn ut 9 9 og 9 9 . e Regn ut 25 4 og 25 4 . f Regn ut 2 50 og 2 50 . Fikk du samme svar på noen oppgaver? Forklar hvorfor ikke a b er det samme som a b .

Oppgave 220 a Vis at 250 " 5 10 . b Vis at 625k " 25 k for alle tall k > 0.

c Vis at

75 5 3 " . 4 16

Oppgave 217

Oppgave 221

Skriv så enkelt som mulig uten kvadratrot i nevneren. Her er x > 0.

x, y, t er partall og m, n, l er oddetall. Hvilke av følgende uttrykk står for et partall?

36 4

25 9

121 25

16 x 2x x4 x2

1 m+n

4 x+y+l

7 mt

2 y+m

5 xn

8 mn

3 m+2

6 9mn

9 mnl

x4 x

OPPGAVESAMLING

253

Oppgave 222

Oppgave 224

Lag en regnefortelling til det algebraiske uttrykket. Husk at alle bokstavene står for tall. (Tips: Tenk areal.)

Skriv så enket som mulig.

A = 10m2 + m(x + y + t)

Oppgave 223

utfordring

a Hvilke av følgende uttrykk er størst? 3(x – 2)2 eller (3x + 2)(x – 2) (Tips: Sett inn noen naturlige tall for x.)

a 4a – (a + 2a) x 2 y xy 2 b xy

Oppgave 225 Skriv så enkelt som mulig.

a 2(b + 4a) – (b + a) 4a2 2a b 2a

b Finn differansen mellom de to uttrykkene.

c For hvilke naturlige tall er det første uttrykket større enn det andre?

d For hvilke tall er differansen mellom de to uttrykkene et partall?

e La m og n være naturlige tall. For hvilke x er uttrykket (mx + n)(x – n) et større tall enn m(x – n)2?

254

Kvadratsetningene

Oppgave 226

Oppgave 227

Regn ut.

a (x – 9)(x + 9)

a (x – 7)2

b (5x + 2)(5x – 2)

b (2x + 5)2

c 3(x + 4)(x – 4)

c (3 – 4y)2

d 2(2x + 4)(2x –4)

d 2(x – 1)2

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

Oppgave 228

Oppgave 231

Faktoriser.

Skriv så enkelt som mulig.

a x2 + 10x + 25

c x2 + 6x + 9

b x2 – 12x + 36

d 4x2 – 16x + 16

Oppgave 229 Faktoriser. 2

3 x 2 12 2x 4

2 x 2 − 32 2x + 8

2x2 4x x2 4

x2 5x x 3 25 x

e Vis geometrisk hvorfor 2

a x –1

c x – 36

b 2x2 – 18

d 4y2 – 49

(x + 2)(x + 2) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.

f Vis at det alltid er slik at

Oppgave 230 Bruk kvadratsetningene og konjugatsetningen, og regn ut i hodet.

a (10 – 6)(10 + 6)

c 532

b 47 · 53

d 282

utfordring

(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Funksjoner

Oppgave 232

Oppgave 234

Tegn grafene til funksjonsuttrykkene.

Funksjonen g er gitt ved funksjonsuttrykket g(x) = 3x – 1.

a f(x) = –10x – 4

a Tegn grafen til funksjonen.

b q( x ) "

100 x

c h(x) = 200x – 20 d p( x ) =

200 + 50 x

b Hva forteller 3-tallet i funksjonsuttrykket?

c Hvor skjærer grafen y-aksen? Forklar sammenhengen mellom skjæringen mellom y-aksen og funksjonsuttrykket.

Oppgave 233 Lag situasjoner til de ulike funksjonene i oppgave 232.

OPPGAVESAMLING

255

Oppgave 235

Oppgave 240

Et tog kjører med jevn fart 80 km/h. Skriv et funksjonsuttrykk som viser strekningen toget har tilbakelagt som funksjon av tiden det har brukt.

a Skisser grafen til f (x) =

1000 + 100 . x

b Beskriv forskjellen mellom denne funksjonen og funksjonen i oppgave 239..

Oppgave 236

c Lag situasjoner både til funksjo-

Lag verditabell til funksjonene.

nen i oppgave 239 og funksjonen i denne oppgaven.

a f(x)= 2x x2 b f (x) " 2

Oppgave 241

c f(x) = 3x – 1

utfordring

Prisen på en vare er 3000 kr.

1 d f (x) = + 2 x

Vi antar at prisen kan utvikle seg på ulike måter i årene som kommer.

Oppgave 237

Alternativ 1

Prisen øker med 80 kr per år.

Alternativ 2

Prisen øker med 2 % hvert år.

Alternativ 3

Prisen synker med 2 % hvert år.

Oppgave 238

Alternativ 4

1000 . x Bruk positive tall som x-verdier.

Prisen avtar med 50 kr per år.

a Sett opp funksjonsuttrykkene

Tegn grafen til funksjonene.

a f(x) = 3x b f (x) = 2 −

c f(x) = 4x – 5 x 2

d f (x) = 2 +

3x 5

Tegn grafen til f ( x ) "

Hva kaller vi en slik funksjon?

for de ulike funksjonene som framkommer fra de ulike alternativene.

b Beskriv funksjonstypene fra Oppgave 239 a Tegn grafen til f ( x ) " i GeoGebra. x ≥ 0

digital 1000 x

b Hva kaller vi en slik graf?

256

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

alternativene.

c Tegn funksjonene i GeoGebra i samme vindu.

d Når blir prisen like stor etter alternativ 1 og 2?

Oppgave 242

digital

I denne oppgaven skal vi undersøke funksjoner på formen f(x) = ax3 + bx2 + cx + d der a, b, c og d er gitte tall. Slike funksjoner kalles tredjegradsfunksjoner. Tast inn uttrykket for f(x) i algebravinduet. Da blir a, b, c og d glidere. Dra i dem og se hvordan grafen endrer seg. Hva oppdager dere?

Oppgave 243

utfordring

La f ( x ) = ax 2 + bx + c være en andregradsfunksjon.

a Forklar hvorfor b f (x) " a x 2a

b2 4a

b Forklar hvordan grafen til f(x) ser ut sammenliknet med grafen til g ( x ) " x 2 .

2D Likninger og ulikheter Oppgave 244

Oppgave 246

Løs likningene. Sett prøve på svaret.

Et beløp står i banken med en rentefot på 2,5 %. Beløpet står i banken i 240 dager. Renten er da 75 kr. Hvor stort var beløpet som sto i banken?

a 3 x + ( x + 2) = 10 b 8 − (2 x − 1) = 8 c 2 x − (3 + x ) = (1 − x ) d

4x −2 =1 8

Oppgave 245 Løs likningene. Du kan velge metode selv. Løs gjerne samme likning med flere metoder. Sett til slutt prøve på svaret.

x x + x = 13 + 2 2

b 1−

3x 8x x = − 4 9 3

c 5−

3 1 =4 2x 2

Oppgave 247 En bil kjører 15 mil på 3 timer og et kvarter. Hvor stor var gjennomsnittsfarten?

Oppgave 248 masse volum Vekten av en jernsylinder er 156 kg. Jernets tetthet er 7,8 kg/dm3. Hva er volumet av sylinderen? tetthet =

2x + 2 1 2x − 1 + = −1 3 2 6

OPPGAVESAMLING

257

Oppgave 249

Oppgave 253

Arealet av en trekant er gitt ved g h . A= 2

Løs disse likningssettene ved addisjonsmetoden.

a Hva er høyden i trekanten uttrykt

a I: 4x – y = 8

ved arealet?

b Arealet er 21,2 dm2. Hva er høyden når grunnlinja er 4 dm?

II: 8x – 3y = 4

b I: 3 x − y = 4 II: 2 x + y = 6

c I: 6y – 6x = 5 Oppgave 250 (a b) · h . 2 Arealet av et trapes er 35 cm2. De parallelle sidene er 8 cm og 9,5 cm. Hvor stor er høyden i trapeset? Arealet av et trapes: A =

Oppgave 251 En tilhenger skal romme 6 m3. Planet er 4,8 m langt og 2,10 m bredt. Hvor høy må lemmen på tilhengeren være?

II: 2x + 3y – 7,5 = 0

d I: 2 x − y = 6 II: 3 x + y = 9

Oppgave 254 Løs likningssettene ved grafisk metode.

a Likning I: 2 x + 2 y = 10 Likning II: 2 x − 2 y = 2

b Likning I: 4 x − 2 y = 8 Likning II: 3 y − 2 x = 4

Oppgave 252 Løs disse likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

a I: x + y = 2 II: x – y = 1

b I: 2 y − x = 8 II: y + 3 x = 11

c I: 2x = 4y II: 3y + 1 = x

d I: 3 x − 5 = y II: x + y = 3

258

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

c Likning I: x − 3 y = −2 Likning II: 2 x + 6 y = 0

d Likning I: 4 x − 12 y = −13 Likning II: 4 x + 14 y = 0

Oppgave 255

Oppgave 258

Løs oppgavene ved hjelp av innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Velg den metoden du til enhver tid syns er mest effektiv.

På sirkus er billettprisen ulik for voksne og barn. For 5 voksne og 4 barn koster det 740 kr og for 3 voksne og 5 barn koster det 600 kr. Hva var billettprisen for voksne og barn?

a I

4x + 2y = 12 II 2x – 5y = 6

Oppgave 259

b I

–3x – 11 = – 2y II 3x + 2y + 19 = 0

1 kg epler og 1,5 kg druer koster 51 kr. 3 kg epler og 2 kg druer koster 112 kr. Hva er kiloprisen for eplene og druene?

c I

2x + y = 5 II 3x + y = 0

d I

x + 2y = 12 II 2x – y = 4

Oppgave 256

Oppgave 260 digital

Løs likningssettene i oppgave 255 grafisk i GeoGebra.

Oppgave 261

a Likning I: x + y = 5 Likning II: x − y = 1

Løs likningene ved å gjette løsninger, og deretter kontrollere om svarene du fikk, stemmer. Likningene har to løsninger.

b Likning I: 2 x + y = 10 Likning II: y − x = 7

c Likning I: x − 2 y = 15 Likning II: x + y = 0

Oppgave 257

Summen av to tall er 21. Det ene tallet er dobbelt så stort som det andre. Hvilke to tall er dette?

digital

Løs likningssettene i oppgave 255 med CAS.

a x2 – 4 = 0

c x2 – x = 0

b x2 – 5x = 0

d 2x2 – 6x = 0

Oppgave 262 Løs likningene ved grafisk metode.

a x2 − 4x = 0

c x2 − x = 0

b x2 − 5x = 0

d 2x2 − 6x = 0

OPPGAVESAMLING

259

Oppgave 263

Oppgave 267

Løs likningene ved å gjette løsninger, og deretter kontrollere om svarene du fikk, stemmer. Likningene har to løsninger.

Løs ulikhetene fra oppgave 265 og 266 grafisk i GeoGebra.

a x(x – 2) = 0

Oppgave 268 Løs ulikhetene i oppgave 265 og 266 med CAS.

b (x – 3) (x + 2) = 0 c (x – 2)(x – 2) = 0 d (x + 3) (x + 2) = 0

Oppgave 269

Oppgave 264

Magnus har fått to tilbud om sommerjobb.

digital

Løs likningene i oppgave 263 grafisk i GeoGebra.

Oppgave 265 Løs ulikhetene.

a 2x + 3 > 9 b x + 3 x < 12

Tilbud 1: Han får 100 kr timen + 200 kr per dag. Tilbud 2: Han får 105 kr timen + 120 kr per dag. Magnus skal jobbe 40 timer per uke og 5 dager per uke. Hvor mange timer må Magnus jobbe for at tilbud 1 skal lønne seg?

c 4x – 2 ≤ 3 – x d 8 – x < –x

Oppgave 270

utfordring

a Regn ut. Oppgave 266 Løs ulikhetene. x 1 x ≥ 1 a 2 3

2x 1 1 x ≤ 4 4

c 3(2x + 1) ≤ 2(x – 2) d 7

260

2x x < 2 3 6

Kapittel 2

• ALGEBRA OG FUNKSJONER

0∙4 x∙0

6∙0 –1089 ∙ 0 0 ∙ (x – 3)

x2 – 3x = 0 er en andregradslikning. Vi skal nå finne en metode som kan brukes til å løse noen andregradslikninger.

b Skriv venstre side i likningen som et produkt av to faktorer.

c Løs likningen ved å bruke det du erfarte i oppgave a.

Oppgave 271

utfordring

Løs likningene.

a x2 + 6x = 0

c x2 = 2x

b x2 – 5x = 0

d x2 – 4 = 0

Oppgave 272

utfordring

Les følgende tekst og diskuter med en medelev. Vi skal bruke abc-formelen til å løse likningen x2 − 3x + 2 = 0 x=

−b ± b − 4 ac 2a

Som nevnt betyr tegnet t at vi kan velge både pluss og minus. Velger vi pluss, får vi løsningen 4 x" "2 2 Velger vi minus, får vi løsningen 2 x" "1 2 Vi får altså to løsninger. Setter du dem inn i likningen vi startet med, kan du se at begge passer.

Oppgave 273

Da må vi først finne a, b og c. For å få det til må vi skrive likningen vår nøyaktig på formen ax 2 + bx + c = 0

Løs andregradslikningene ved hjelp av abc-formelen. Se oppgave 272.

a x2 − 4x + 3 = 0 b x2 − 5x + 6 = 0 c x2 − x − 2 = 0

Det kan vi oppnå ved å skrive den slik: 1 x 2 + ( −3) x + 2 = 0

d 2x2 − 6x + 4 = 0

Altså har vi a " 1 , b = −3 og c " 2 . Innsatt i abc-formelen gir dette

Oppgave 274

− b ± b − 4 ac 2a 2

−( −3) ± ( −3) − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 ⋅1 3± 9−8 = 2 3± 1 3±1 = = 2 2 2

utfordring

Løs andregradslikningene ved hjelp av abc-formelen. Se oppgave 272.

a x 2 + 4 x = 12 b x 2 + 10 x = −16 c x 2 − 6 x = 16 d x2 − 2x + 5 = 0

OPPGAVESAMLING

261

Geometri Mål: Du skal kunne beskrive, samt finne omkrets, areal, overflate og volum av geometriske figurer. Du skal kunne bruke Pytagoras’ setning og formlikhet til å finne ukjente vinkler og sider i geometriske figurer. Du skal kunne konstruere geometriske figurer og gi eksempler på hvordan geometri brukes i kunst og arkitektur.

3A AREAL OG VOLUM Etter dette delkapitlet skal du kunne • regne om mellom ulike enheter for areal og volum • bruke formlene for areal av de viktigste plangeometriske figurene, og forklare hvorfor formlene er riktige • regne ut volum av de viktigste romfigurene • regne ut overflatearealet av romfigurer

264

Kapittel 3

• GEOMETRI

BEGREPER arealenheter volumenheter plangeometriske figurer sirkelsektor romfigurer overflateareal

AREAL- OG VOLUMENHETER Grunnenheten vi bruker for måling av areal, er kvadratmeter, m2. Ofte er det aktuelt å måle areal med andre arealenheter. Små areal kan for eksempel oppgis med cm2 som målenhet. Du husker kanskje at 1 m2 = 10 000 cm2? Store areal måles ofte med enheter som har spesielle navn. 1 ar (a) = 100 m2, et dekar (daa) = 1000 m2. Et dekar kalles ofte et mål. 1 hektar (ha) = 10 000m2.

eksempel 1 å gjøre om mellom arealenheter Gjør om 5 m2 til cm2 på den algebraiske måten. Løsning 5 m2 = 5(100 cm)2 = 5 · 100 cm · 100 cm = 50 000 cm2

Oppgave 3.1

samarbeid

Regn om på den algebraiske måten.

a 2 m2 til cm2 b 50 dm2 til cm2 c 70 dm2 til m2 d 3,4 m2 til dm2 e 6000 cm2 til dm2 f 34 dm2 til m2 Oppgave 3.2 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 Forklar både algebraisk og geometrisk at denne sammenhengen stemmer.

•

AREAL OG VOLUM

265

Oppgave 3.3

samarbeid

Krig med målenheter Spill sammen i grupper på tre eller fire.

a Lag kort med ulike arealmål. La noen mål være i kvadratcentimeter, noen i kvadratdesimeter. Hver av dere lager 20 kort. Bruk gjerne et A4-ark som dere deler i 20 like store rektangler.

b Bland kortene og del dem likt mellom dere. Legg kortene du har fått, i en bunke slik at ikke verdiene vises. Spilleregler: Alle snur det øverste kortet i sin bunke samtidig. Den som har den høyeste verdien på kortet (når man tar hensyn til målenheter), får de andre kortene. Disse kortene legger vinneren nederst i sin bunke. Hvis to eller flere deltakere har like verdier på sine kort, blir det krig. Ved krig legger deltakerne opp tre kort hver. Det tredje kortet avgjør hvem som vinner kortene som er lagt ut. Spillet er slutt når en har vunnet alle kortene eller når dere har spilt så lenge som dere avtalte. Den som har flest kort, vinner spillet.

Grunnenheten vi bruker for å måle volum, er kubikkmeter. Denne enheten skrives m3. Du kan tenke på den som en kasse med sidekanter lik 1 meter. Ofte er det aktuelt å måle volum med andre volumenheter, for eksempel kubikkcentimeter. Denne enheten skrives cm3, og du kan tenke på den som en liten terning med sidekanter 1 cm. Vi bruker også liter som volummål, 1 dm3 = 1 L. Det betyr at hvis du har 1 L med vann, vil dette få plass i en boks eller kar som rommer 1 dm3.

266

Kapittel 3

• GEOMETRI

1 dm3 = 1 L 1 dm3 = 0,001 m3 1 m3 = 1000 L 1 cm2 = 1 mL

eksempel 2 å gjøre om mellom volumenheter Gjør om 5 m3 til cm3 på den algebraiske måten. Løsning 5 m3 = 5(100 cm)3 = 5 · 100 cm · 100 cm ∙ 100 cm = 5 000 000 cm3

Oppgave 3.4 Gjør om på den algebraiske måten.

a 8 m3 til cm3

b 2 m3 til cm3

c 1 000 000 cm3 til m3

Oppgave 3.5 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 Forklar både algebraisk og geometrisk at denne sammenhengen stemmer.

Oppgave 3.6 a b c d e f

Hvor stort volum er 10 mL uttrykt i kubikkcentimeter? Hva bestyr ordet milli? Hvor mange milliliter er det i en liter? Hvor mange dL er 850 mL? Hva betyr order desi? Hvor mange dL er 450 L?

•

AREAL OG VOLUM

267

Oppgave 3.7

samarbeid

Krig med målenheter Se på oppgave 3.3. Lag denne gangen kort med volummål. Spillereglene er de samme.

Oppgave 3.8

fra eksamen 2014

Et basseng fylles med 1 m3 vann på 10 min. Hvor lang tid tar det å fylle 100 m3 vann i bassenget? 1 h 40 min

10 h 0 min

16 h 6 min

16 h 40 min

AREAL Du har tidligere arbeidet med formler for arealet av ulike trekanter, firkanter og sirkel. I praksis har ofte ikke hus, landområder eller liknende form som en av de geometriske figurene du kjenner egenskapene til. Det fins dermed ikke en formel du kan bruke for hele området. Oppdeling er en viktig teknikk for å finne arealet. Ved å dele opp området i figurer du kjenner, kan du bruke det du kan om å beregne areal.

268

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.9

RIK OPPGAVE

Dere skal anslå arealet til parken på bildet nedenfor ved å bruke det dere kan om egenskaper til geometriske figurer og formler for areal. Bruk gjerne oversikten under bildet over formler for ulike areal som hjelp når dere deler opp parken i geometriske figurer dere kjenner til. Bruk gjenstander eller personer på bildet til å anslå de lengdene dere trenger.

R E K TA N G E L

TREKANT

A=l·b

g ⋅h 2

A = π · r2

l TRAPES

SIRKEL

PA R A L L E L L O G R A M O G R O M B E

( a + b )h 2

A=g·h

b h

h g

•

AREAL OG VOLUM

269

Oppgave 3.10

samarbeid

Det norske flagget har bestemte proporsjoner. Proporsjon betyr forhold mellom størrelser. Det norske flaggets proporsjoner er bredde: 6–1–2–1–12 og høyde: 6–1–2–1–6. I denne oppgaven kan du bruke et kvadrat med sidekant 1 som arealenhet.

a Regn ut arealet av hele flagget. b Regn ut arealet av det blå korset i det norske flagget. 6

1 2 1

Oppgave 3.11

samarbeid

Tsjekkias flagg er identisk med flagget som ble brukt av det tidligere Tsjekkoslovakia.

a Hva kjennetegner den blå trekanten, og hva kaller vi en slik trekant?

b Regn ut arealet av den blå trekanten. c Hvilken type firkant er det røde feltet? d Regn ut arealet av det røde feltet. 6

270

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.12

samarbeid

Vis ved regning at arealet av trapeset er 18 cm2. 4 cm 3 cm 2 cm 8 cm

Oppgave 3.13 Tegn figurene.

a Et rektangel med areal 28 cm2 b En trekant med areal 14 cm2 c Et kvadrat med omkrets lik 52 cm d Regn ut arealet av kvadratet du tegnet i oppgave c. Oppgave 3.14 a Tegn en sirkel med omkrets 25,12 cm. b Regn ut arealet av sirkelen i oppgave a. Oppgave 3.15

a Tegn parallellogrammet i boka di. b Hva kjennetegner et parallellogram? c Hva er formelen for arealet av et parallellogram? d Finn arealet av parallellogrammet du tegnet i boka di. e Hvis du ikke kunne formelen for arealet av et parallellogram, kunne du likevel regnet ut arealet pĂĽ en annen mĂĽte? Vis hvordan du ville ha gjort det.

â&#x20AC;˘

AREAL OG VOLUM

271

Oppgave 3.16

samarbeid a

Regn ut arealet av figurene. En rute er en arealenhet.

b c

Oppgave 3.17 Regn ut arealet av figurene

15 cm

5,1 cm 6,2 cm 2,8 cm

Oppgave 3.18

digital

a Tegn figurene fra oppgave 3.16 i GeoGebra. b Mål arealet. c Fikk du samme svar som når du regnet det ut i oppgave 3.16?

Oppgave 3.19

digital

Bruk regneark til å regne ut arealene. Lag regnearket dynamisk slik at du kan endre alle målene.

a Et kvadrat med side 5,5 cm b Et rektangel med lengde 8, 5 m og bredde 15 dm c En sirkel med omkrets 4,5 m

272

Kapittel 3

• GEOMETRI

d Et trapes med høyde 2,0 dm der summen av de parallelle sidene er 55 cm

e Endre noen av målene og se hva som skjer med arealene. Oppgave 3.20

utfordring

Følg instruksjonen: Bruk passeren og lag en sirkel med radius lik 8 cm på et ark. Del sirkelen i tolv like sirkelsektorer. Klipp ut sirkelsektorene. Legg sirkelsektorene ved siden av hverandre, som vist på figuren nedenfor. Hvilken geometrisk figur likner figuren du fikk, på?

Sirkelsektor

Bruk figuren du har laget, til å forklare at formelen for arealet av en sirkel er A = πr2. πr

eksempel 3 å finne arealet av en sirkelsektor En sirkelsektor er en del av en sirkel. Den er avgrenset av en sirkelbue og to radier.

v = 81°

Finn arealet av sirkelsektoren.

r=3

Sirkelsektor

Løsning Vi finner hvor stor del sirkelv . sektoren er av hele sirkelen, 360 v 2 av πr som gir Vi finner 360 81 A≈ ⋅ 3,14 ⋅ 3 ⋅ 3 360 A ≈ 6,4 Arealet av sirkelsektoren er 6,4.

•

AREAL OG VOLUM

273

Oppgave 3.21

samarbeid

a Konstruer en halvsirkel med radius 13 cm og regn ut arealet. b Konstruer en sirkelsektor på 90° med radius 6 cm og regn ut arealet.

c Konstruer en sirkelsektor på 15° med radius 9 cm og regn ut arealet.

Oppgave 3.22

samarbeid

En sirkel har radius 5,0 cm. Vis at en sirkelsektor på 45° har et areal på 9,8 cm2.

VOLUM AV RETTE PRISMER, SYLINDERE OG KUBER Romfigurer kan ha ulik form, og du skal arbeide med å regne ut volumet av noen av de vanligste romfigurene.

274

Kapittel 3

• GEOMETRI

Når vi skal finne volumet av et prisme, en kube eller en sylinder, kan vi først finne arealet av grunnflaten G. Vi kan deretter tenke at skiver med form som grunnflaten G blir stablet oppå hverandre til en høyde h. Formelen for volum av et prisme, en kube og en sylinder er derfor V = G ∙ h.

samarbeid

Va n sau iljes

Tomater

ker stik Fyr

Oppgave 3.23

a Hva kalles disse romfigurene i matematikken? b Hvilken av figurene er dette: Grunnflaten er en sirkel. Figuren er rett når høyden fra sentrum på toppflaten treffer sentrum på bunnflaten.

c Beskriv hva som kjennetegner de andre tre figurene. d Hva er likt og hva er ulikt med de fire romfigurene? e Forklar hvordan dere vil regne ut arealet av grunnflatene. f Forklar hvordan dere vil regne ut volumet av de romgeometriske figurene.

Oppgave 3.24

samarbeid

a Hvor stort volum har en boks med bønner når høyden er 12 cm og diameteren er 7 cm?

b Grunnflaten i en Tobleroneeske er 3,75 cm2. Høyden er 14 cm. Hvor stort er volumet?

c Hvilke mål mener dere en eske med cornflakes har? Bestem mål og regn ut volumet.

d En kube har et volum på 27 dm3. Hvor lange er sidekantene?

•

AREAL OG VOLUM

275

Oppgave 3.25 Butikken til Geir selger prismeformede esker i ulike størrelser. Finn målene som mangler. LENGDE

BREDDE

HØYDE

12 cm

1,5 dm

0,6 m

5 dm

4 dm

0,9 m

Oppgave 3.26

VOLUM

160 dm3 0,5 m

0,135 m3

digital

Lag en regnearkmodell der du kan skrive inn lengde, bredde og høyde til et prisme, og beregne volumet. Test modellen din med tallene fra oppgave 3.25.

Oppgave 3.27 a Vanntanken på bildet rommer 1000 L. Gi eksempler på hvilke mål en slik tank kan ha.

b Hvor mange m3 rommer tanken?

276

Kapittel 3

• GEOMETRI

VOLUM AV PYRAMIDER, KJEGLER OG KULER Grunnflaten i en pyramide kan ha mange ulike former. Det vanligste er en trekant eller et kvadrat. Når grunnflaten er en trekant, kaller vi det en trekantet pyramide. Når grunnflaten er en firkant, kaller vi det en firkantet pyramide. Et tetraeder er en pyramide der de fire sideflatene er likesidede trekanter.

En rett kjegle er en romfigur der grunnflaten vanligvis har form som en sirkel. Den har en krum sideflate som kan brettes ut til en sirkelsektor.

h r

En kule er en romfigur der alle punktene på kulas overflate har en fast avstand (radius) til ett bestemt punkt (sentrum).

eksempel 4 å finne volumet av en kjegle Høyden på en kroneis er 12 cm. Diameteren er 5,0 cm. Finn volumet av kroneisen. Løsning G⋅h . Formelen for volumet av en kjegle er V = 3 3, 14 ⋅ 2, 5 cm ⋅ 2, 5 cm ⋅ 12 cm V≈ 3 3 ≈ 78, 5 cm ≈ 79 cm 3 Volumet av en kroneis er 79 cm3.

•

AREAL OG VOLUM

277

Oppgave 3.28

samarbeid

Hvor mange dL is inneholder kroneisen i eksempel 4?

Oppgave 3.29 samarbeid

Oppgave 3.30 samarbeid

Finn volumet av kjegla.

Formelen for volumet av en G⋅h pyramide er V = . 3 Finn volumet av pyramiden.

5 3 2 2

Oppgave 3.31

utfordring

a En kube har sidekanter lik 4,0 cm. Regn ut volumet av kuben.

b En firkantet pyramide har samme grunnflate som kuben i oppgave a. Hvis pyramiden skal ha samme volum som kuben, hvor høy må den være?

Oppgave 3.32

utfordring

a En sylinder har en diameter lik 4 cm. Høyden er 7 cm. Regn ut volumet av sylinderen.

b En kjegle har samme grunnflate som sylinderen i oppgave a. Hvis kjegla skal ha samme volum som sylinderen, hvor høy må den være?

278

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.33

Dette er formler for volumet av noen romfigurer.

samarbeid

høyde

høyde side side

PRISME OG SYLINDER

PYRAMIDE OG KJEGLE

V=G∙h

G⋅h 3

a Hva betyr bokstavene G og h i formlene? b Hva kan dere si om forholdet mellom volumet av et rett prisme og volumet av en rett pyramide?

c Hvor stort volum har et rett firkantet prisme med grunnflate 20 cm2 og høyde 20 cm?

d Hvor stort volum har en rett pyramide med de samme målene?

e Hva kan dere si om forholdet mellom volumet av en sylinder og en kjegle?

f En sylinder har radien 4,0 dm og er 80 cm høy. Hva er volumet av sylinderen?

g Hva er volumet av en kjegle med de samme målene? Formelen for volum av en pyramide og en kjegle er G ⋅h V= 3

Oppgave 3.34

fra eksamen 2015

πr 2 h Formelen for volumet av en rett kjegle V " . 3 Formelen for høyden er h i kjegla er Vπr 2 πr 2 3V { h" { h = 3Vπr2 { h" { h" 2 3 3V πr

•

AREAL OG VOLUM

279

Oppgave 3.35

digital

a Lag en regnearkmodell som regner ut volumet av en pyramide og et prisme med rektangulær grunnflate l ∙ b og høyde h. Lag modellen dynamisk, slik at du kan velge forskjellige tall for l, b og h.

b Lag en regnearkmodell som regner ut volumet av en sylinder og en kjegle med radius r og høyde h. Lag modellen dynamisk slik at du kan velge forskjellige tall for r og h.

c Sett inn ulike verdier for l, b, r og h, og sammenlikn svarene du får når du regner ut volumet av pyramiden og prismet og volumet av sylinderen og kjegla. Regn ut forholdet mellom volumet av pyramiden og prismet, og volumet av kjegla og sylinderen. Hva fant du ut?

eksempel 5 å finne volumet av en kule Radius til en ball er 5 cm. Finn volumet av ballen. Løsning 4πr 3 . Formelen for volumet av en kule er V " 3 4 ⋅ 3, 14 ⋅ 5 cm ⋅ 5 cm ⋅ 5 cm V≈ 3 ≈ 1570 cm 3 Volumet av ballen er 1570 cm3.

Oppgave 3.36 a En petangkule har en diameter lik 7,52 cm. Finn volumet av kula. Rund svaret av til nærmeste heltall.

b Petangkula veier 600 g. Finn massetettheten til kula.

280

Kapittel 3

• GEOMETRI

samarbeid

Oppgave 3.37

fra eksamen 2015

En silo er satt sammen av en rett sylinder og en rett kjegle. Radien r = 1,05 m er den samme i både sylinderen og kjegla. Høyden i kjegla er 1,8 m. Se skissen nedenfor.

a Regn ut volumet av kjegla. 1,05 m

Volumet av hele siloen er 14,5 m3.

b Regn ut høyden av hele siloen.

I en liknende silo er radien i både sylinderen og kjegla lik r. Høyden i sylinderen er h1. Høyden i kjegla er h2. Forholdet mellom volumet av sylinderen og volumet av kjegla er 6 : 1.

1,05 m 1,8 m

c Regn ut forholdet mellom h1 og h2.

•

AREAL OG VOLUM

281

OVERFLATEAREAL Det er viktig å forstå at selv om du arbeider med en romfigur, er overflaten et areal. Dette kaller vi overflateareal. Mengden av papp du trenger for å lage en eske, handler om overflaten. Hvor mye du får plass til i esken, handler om hvor stort volum den har. Hvis du skal regne ut overflaten av en romfigur, for eksempel en eske, må du se for deg hvordan esken vil se ut når du bretter den ut. Deretter må du dele opp overflaten i kjente figurer og beregne arealet.

samarbeid

Va n sau iljes

Tomater

ker stik Fyr

Oppgave 3.38

a Tegn figurene slik de ser ut hvis dere bretter dem ut. Tegn så nøyaktig som mulig.

b Hvilke plangeometriske figurer får dere når dere bretter ut emballasjene?

282

Kapittel 3

• GEOMETRI

eksempel 6 ĂĽ regne ut overflatearealet av et rett trekantet prisme Et rett trekantet prisme har mĂĽl som pĂĽ figuren. Hva er overflatearealet av prismet? LĂ¸sning 5 cm

3 cm

4 cm 2 cm

Dette prismet har fem flater. Sideflatene har form som rektangler. Toppflaten og bunnflaten er like, og har form som en trekant. Vi mĂĽ finne arealet av de fem mangekantene.

3 cm

Overflatearealet " (l1 b) (l2 b) (l3 b) 2

(g h) 2

" (3 cm 2 cm)+(4 cm 2 cm) (5 cm 2 cm) 2

3 cm

4 cm 2

" 6 cm 2 8 cm 2 10 cm 2 12 cm 2 " 36 cm 2 Prismet har en overflate pĂĽ 36 cm2.

Oppgave 3.39

samarbeid

a Hvilken form har

2 cm

denne esken?

b Tegn esken brettet ut

10 cm

4 cm

og sett pĂĽ mĂĽl. Esken har ikke lokk.

c Fargelegg de arealene som er like store, med samme farge. d Regn ut overflatearealet av esken.

â&#x20AC;˘

AREAL OG VOLUM

283

eksempel 7 å regne ut overflatearealet av en sylinder En tank har form som en sylinder. Den har mål som vist på figuren. Hva er overflatearealet av tanken?

12 m

Løsning r Overflaten av en sylinder består av toppflaten, bunnflaten og en sideomkrets av sirkel flate. Toppflaten og h 2/r bunnflaten har form som en sirkel. Sideflaten har form som et rektangel. Høyden i rektanglet er det samme som høyden i sylinderen. Bredden i rektanglet er det samme som omkretsen i sirkelen. Overflatearealet = 2(π ⋅ r 2 ) + ( 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h )

(

≈ 2 3, 14 ⋅ (4 m)2 ) + ( 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 4 m ⋅ 12 m ) ≈ 100 m 2 + 301 m 2 ≈ 401 m 2

Tanken har en overflate på 401 m2.

Oppgave 3.40

samarbeid

En hermetikkboks med tomater har form som en sylinder. Høyden er 10 cm, og diameteren er 7 cm.

a Tegn boksen brettet ut og sett på mål. b Regn ut overflatearealet av boksen.

284

Kapittel 3

• GEOMETRI

Tomater

Oppgave 3.41

samarbeid

a Figuren viser en kube med sidekanter lik 5 cm. Tegn kuben brettet ut.

b Forklar at overflatearealet av en kube kan skrives som O = 6 ∙ s2.

Oppgave 3.42

utfordring

a En kube har overflate 96 cm2. Hvor lange er sidekantene? b Foreslå mål på et prisme som har like stor overflate som kuben.

Oppgave 3.43 Vi skal lage en pyramide der grunnflaten er et kvadrat med sidelengde s, og der de fire sideflatene er likebeinte trekanter med høyde h og grunnlinje s. Finn en formel for det totale overflatearealet til pyramiden.

Oppgave 3.44

utfordring

Vi skal lage en rett pyramide der grunnflaten er et kvadrat med sidelengde s, og der høyden rett ned fra toppen av pyramiden til midtpunktet på grunnflaten er H. Finn en formel for overflatearealet til pyramiden, uttrykt ved s og H.

•

AREAL OG VOLUM

285

Oppgave 3.45

samarbeid

For overflatearealene A til kjegler og kuler har vi disse formlene: Kule med radius r: A = 4πr2

Rett sirkulær kjegle med radius r og avstand s fra ytterkant til spiss: A = πr2 + πrs

h r

Lag en konkret oppgave hver der dere skal finne overflatearealet av en kjegle og en kule. Bytt med en medelev og løs hverandres oppgaver.

286

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.46

utfordring

På en fabrikk skal de lage store, kuleformede ståltanker, der hver av tankene må romme minst 1000 m3.

a Hvor stor radius og diameter må disse tankene ha? b Hvor mange kvadratmeter stålplater går med til å lage en tank? Fabrikken bestemmer seg for å bygge ståltanker med radius 14 meter. Diameteren er da 28 m.

c Hva blir volumet av hver av disse tankene? d Hvor mange kvadratmeter stålplater trengs for å lage en slik tank?

e Når stålplatene settes sammen, blir det en del svinn. Svinnet er beregnet til 15 % av overflatearealet av tanken. Hvor mange m2 stålplater må de kjøpe når de skal lage denne tanken?

Oppgave 3.47

fra eksempeloppgave 2014

a En fotball med størrelse 5 betyr at volumet er omtrent 5 L. Vis at dette stemmer når omkretsen av fotballen er ca. 67 cm.

b Regn ut arealet av overflaten til en fotball som har volum 5 L.

c Arealet av overflaten til en annen fotball er ca. 10 dm2. Regn ut størrelsen på denne fotballen.

•

AREAL OG VOLUM

287

Oppgave 3.48

rik oppgave

Le Pavillon du Futuroscope er en bygning som ligger ved Poitiers i Frankrike. Bygningen er en del av en opplevelsespark med mange installasjoner som er både kunstneriske og teknologiske. Her finner du en del opplysninger om bygningen: Diameter på kula 17,20 m Vekten av malingen som gikk med til å male kula to strøk 800 kg Areal av solcellepanelet på taket 900 m2 Bygningen ble åpnet 31.05.1987 Den opprinnelige kula ble erstattet av en ny kule 18.11.2014 Solcellepanel kan ha effekt på 0,15 kWh per m2 Her ser du tidspunkt for soloppgang og solnedgang i Poitiers noen dager i juni og desember: 2016 19 20 21 22 23

JUNI

DESEMBER

SOLOPPGANG

SOLNEDGANG

SOLOPPGANG

SOLNEDGANG

06.05 06.05 06.05 06.06 06.06

21.55 21.55 21.56 21.56 21.56

08.39 08.39 08.40 08.41 08.41

17.13 17.13 17.14 17.14 17.15

Bruk opplysningene, og finn eventuelt flere opplysninger, og lag oppgaver om denne bygningen. Lag løsningsforslag på oppgavene.

288

Kapittel 3

• GEOMETRI

HVA KAN DU NÅ om areal og volum? 1

a Et rektangel har sidelengder lik 4,0 m og 5,0 m. Hvor stort er arealet i m2?

b Hvor stort er arealet av rektanglet i cm2? c Forklar hvordan du tenker når du gjør om mellom m2 og cm2. d Et firkantet prisme har grunnflate lik 30 cm2 og høyde lik 10 cm. Hvor stort er volumet i cm3?

e Hvor mange liter rommer prismet?

Regn om på den algebraiske måten.

a 15 m2 til cm2

e 1 dL til cm3

b 70 dm2 til m2

f 8 cm3 til mL

c 1000 cm3 til m3

g 0,5 m3 til L

d 3 m3 til dm3

h 200 mL til dm3

a Regn ut arealet av figuren. E

D BC = BD

AB = 6 cm B AC = 10 cm

b Hvilke geometriske figurer brukte du når du regnet ut arealet?

HVA KAN DU NÅ ?

289

Her ser du en eske uten lokk. 20,0 cm

22,0 cm 60,0 cm

a Hva kalles denne romfiguren? b Regn ut arealet av grunnflaten. c Regn ut volumet av esken. d Regn ut overflaten av esken.

Maria skal lage en sylinderformet eske som rommer like mye som esken i oppgave 4. Lag et forslag til hvilke mål en slik sylinderformet eske kan ha.

6 FIRKANTET PRISME

V=G∙h

PYRAMIDE

G⋅h 3

a Hva betyr bokstavene G og h i formlene? b Hvor stort volum har et rett firkantet prisme med grunnflate 4 m2 og høyde 25 dm?

c Hvor stort volum har en pyramide med de samme målene?

d Gi et eksempel på andre romfigurer hvor du kan bruke disse formlene for å finne volumet.

290

Kapittel 3

• GEOMETRI

3B PYTAGORAS’ SETNING BEGREPER rettvinklet trekant hypotenus katet

Etter dette delkapitlet skal du kunne • forklare hva Pytagoras’ setning sier • bruke setningen til å regne ut lengden av ukjente sider i rettvinklede trekanter og anvende det i praktiske situasjoner • forklare egenskaper til 45/45/90-trekanter og til 30/60/90-trekanter.

Pytagoras var en gresk matematiker som levde ca. 500 år før vår tidsregning. Han har fått navnet sitt knyttet til denne matematiske setningen, og vi tror det er fordi han var den første som kunne bevise den. Pytagoras’ setning er et eksempel på noe som er funnet ut, og mange matematikere har vært opptatt av denne sammenhengen mellom arealene i en rettvinklet trekant. På 1800-tallet foreslo noen vitenskapsmenn at man skulle hogge store skogsområder i Sibir som viste tre kvadrater som omringet en rettvinklet trekant. Området skulle være så stort at det var synlig fra verdensrommet. De ville bruke Pytagoras’ setning for å vise at det er intelligent liv på jorda. Pytagoras’ setning kan brukes til å beregne ukjente sider i rettvinklede trekanter.

• PYTAGORAS ’ SETNING

291

I en rettvinklet trekant har sidene spesielle navn.

c hypotenus katet a

katet b

Hypotenusen er motstående til den rette vinkelen. Den er den lengste siden i trekanten. De to katetene danner en rett vinkel.

I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet på hypotenusen lik summen av arealene av kvadratene på katetene. Sammenhengen blir kalt Pytagoras’ setning a2 + b2= c2

Oppgave 3.49

samarbeid

a I hvilke av trekantene kan dere bruke Pytagoras’ setning til å regne ut ukjente sider?

30°

60°

b Forklar hvorfor du kan eller ikke kan bruke Pytagoras’ setning til å regne ut ukjente sider i trekantene.

292

Kapittel 3

• GEOMETRI

c Tegn en rettvinklet trekant, og skriv på hvilke sider som er kateter og hvilken side som er hypotenus.

d Tegn mønstret i boka di, og fargelegg det slik at Pytagoras’ setning vises.

eksempel 8 å regne ut lengden av hypotenusen Hvor lang er hypotenusen?

c b

Løsning Trekanten er rettvinklet, så vi kan bruke Pytagoras’ setning. a2 + b2 = c2 32 + 42 = c2 9 + 16 = c2 25 = c2 Vi finner lengden av c ved å finne kvadratroten av 25. 25 " 5 Lengden av c er 5.

• PYTAGORAS ’ SETNING

293

Oppgave 3.50

samarbeid

Finn lengden av diagonalen i kvadratet. En rute er 1 cm x 1 cm.

Oppgave 3.51 Vis ved regning at omkretsen av trapeset på bildet under er ≈ 19,2 cm. 4 cm

3 cm

2 cm 8 cm

Oppgave 3.52

digital

a I en trekant ABC, er A er 90°, AB er 6 cm og B er 45°. Tegn trekanten.

b Forklar hvorfor lengden av AC er 6 cm. c Finn lengden av BC. d Tegn trekanten ABC i GeoGebra. Mål lengden av BC. Stemmer lengden med det du regnet ut i oppgave c?

294

Kapittel 3

• GEOMETRI

eksempel 9 å regne ut lengden av en katet Hvor lang er kateten a?

c = 10

b=6

Løsning Kjenner vi lengden av to av tre sider i en rettvinklet trekant, kan vi regne ut den tredje ved hjelp av Pytagoras’ setning a2 + b2 = c2 Her vet vi lengden av kateten b og av hypotenusen c. Det er lengden av kateten a vi skal regne ut. Vi kan da ved å subtrahere b2 på begge sider av likhetstegnet skrive setningen slik: a2 = c2 – b2 a2 = 102 – 62 a2 = 100 – 36 a2 = 64 a = 64 a=8 Lengden av a er 8.

Oppgave 3.53

samarbeid

Regn ut lengden av den ukjente kateten. Alle mål er i centimeter.

c = 8,81

a = 7,8

• PYTAGORAS ’ SETNING

295

Oppgave 3.54

samarbeid

I et rektangel er bredden 6,2 cm, og diagonalen er 12,5 cm.

a b c d

Tegn rektanglet og sett på mål. Hva er lengden i rektanglet? Hva er omkretsen av rektanglet? Hva er arealet av rektanglet?

Oppgave 3.55 Johanne skal male huset, og trenger en stige som minst rekker 7 meter opp på husveggen. Hun har en stige som er 8 m lang. Bakken hvor stigen er plassert, er vannrett. Hvis stigen plasseres 3,5 m fra husveggen, rekker den da minst 7 meter opp på veggen? Gjør beregninger som begrunnelse for svaret ditt.

8,0 m

3,5 m

Pytagoras’ setning kan også brukes for å sjekke om vi har en rett vinkel. Den omvendte Pytagoras’ setning sier at dersom trekanten er rettvinklet er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet av hypotenusen. Hvis a2 + b2 = c2, da er motstående vinkel til siden med lengde c en rett vinkel.

Oppgave 3.56 Sidene i en trekant er 5 cm, 12 cm og 13 cm.

samarbeid

a = 5 cm

c = 13 cm

b = 12 cm

Er trekanten rettvinklet? Bruk Pytagoras’ setning og forklar hvordan denne setningen kan hjelpe dere med å finne svar på spørsmålet.

296

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.57 Hvilke av disse trekantene er rettvinklede? SIDE

SIDE

Trekant 1

Trekant 2

Trekant 3

Trekant 4

3,5

4,9

Oppgave 3.58 Familien Hansen skal legge nytt gulv og ringer til en tømrer. Han har med seg en snekkertrekant. Tømrere bruker ofte en snekkertrekant med sider på 12 cm, 16 cm og 20 cm, når de skal lage et rettvinklet hjørne.

a Bruk Pytagoras’ setning og vis at snekkertrekanten har en rett vinkel.

b En annen trekant har sider som er 5 dm, 6 dm og 8 dm. Avgjør om denne trekanten er rettvinklet.

Oppgave 3.59

digital

Lag en regnearkmodell som du kan bruke til å sjekke om en trekant er rettvinklet. Test modellen din på trekantene i oppgave 3.57.

Oppgave 3.60

digital

Tegn trekantene fra oppgave 3.57 i GeoGebra. Mål vinklene i trekantene og se hvilke som er rettvinklede. Stemmer målene med det du regnet ut i oppgave 3.59?

• PYTAGORAS ’ SETNING

297

Oppgave 3.61

fra eksamen 2009

Øyvind skal opp under taket og bruker en stige som er 2,5 meter. På bakken står stigen 1,2 meter fra husveggen.

2,5 m

Hvor langt opp på husveggen når stigen?

1,2 m

PYTAGORAS OG 45/45/90-TREKANTER A

En rettvinklet trekant der to vinkler er 45°, er en likebeint trekant. I en slik trekant er katetene like lange. Da kan vi bruke Pytagoras’ setning selv om vi bare kjenner lengden av én av sidene.

Oppgave 3.62

samarbeid

45°

Du har en trekant ABC der A = 90°. B = C = 45°. AB = 4,0 cm.

a b c d

298

Tegn trekanten. Hva kalles en slik trekant, og hvilke egenskaper har den? Hvor lang er AC? Forklar hvorfor hypotenusen i trekanten dere tegnet, er ≈ 5,7 cm.

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.63 Regn ut lengden av diagonalen.

eksempel 10 å regne ut lengden av katetene Finn lengden av katetene i denne trekanten. Løsning x 2 + x 2 = 4, 242

4,24 cm

2 x 2 = 18 2 x 2 18 = 2 2 2 x =9

x= 9 x=3 Katetene er 3,00 cm lange.

Oppgave 3.64

samarbeid

a I et kvadrat er diagonalen 6,5 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet?

b I et kvadrat er diagonalen 32,0 cm. Hvor stor omkrets har kvadratet?

• PYTAGORAS ’ SETNING

299

PYTAGORAS OG 30/60/90-TREKANTER

30°

I en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, kan vi finne lengden av begge katetene når vi kjenner lengden av hypotenusen. 60°

Oppgave 3.65

samarbeid

a Konstruer eller tegn en likesidet trekant der sidene er 10 cm, og klipp den ut.

60°

b Brett trekanten langs en av høydene.

c Sammenlikn trekantene som kommer fram, med den dere hadde først. I den likesidede trekanten

60°

I de to rettvinklede trekantene dere fikk når dere brettet

Hvor lange er sidene? Hvor store er vinklene?

d Fargelegg en av de to trekantene dere fikk fram når dere brettet.

e Hva kalles denne trekanten? f Hvor lang er den korteste siden sammenliknet med den lengste?

g Regn ut høyden i den opprinnelige trekanten. I trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90° er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den korteste kateten.

300

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.66

samarbeid

Bruk det dere erfarte i forrige oppgave, og forklar hvorfor hypotenusen i en 30°, 60°, 90° trekant er dobbelt så lang som den korteste kateten.

Oppgave 3.67 En trekant har vinkler på 30°, 60°, 90°. Regn ut lengden av de ukjente sidene hvis

a den korteste kateten er 3,5 cm b hypotenusen er 10,6 cm Oppgave 3.68

digital

Tegn trekantene i oppgave 3.67 i GeoGebra. Mål lengden av sidene, og sjekk at utregningene dine stemmer.

Oppgave 3.69

utfordring

Regn ut lengdene av de ukjente sidene i trekanten.

60° 30° 7,5

Oppgave 3.70

fra eksamen 2015 C

Christian skal hugge ned et tre som står loddrett på et flatt område. Christian står og ser mot treet fra et punkt B til et punkt A på treet. Toppen av treet kaller vi punkt C. Se skisse 1. A

Regn ut høyden av treet ved hjelp av opplysningene i skisse 1.

60°

B 1,8 m

9,0 m

• PYTAGORAS ’ SETNING

301

HVA KAN DU NÅ om Pytagoras’ setning? 1 Regn ut lengden av den ukjente kateten. 6

Finn lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter på 5,0 cm og 12,0 cm.

3 a Regn ut lengden av hypotenusen b Regn ut lengden av den lengste kateten.

30°

c=3

Forklar hvorfor vi kan bruke Pytagoras’setning til å finne ut om en trekant er rettvinklet. Bruk et eksempel i forklaringen din.

a Diagonalen i et kvadrat er 10,0 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet?

b Tegn kvadratet og sett på mål.

302

Kapittel 3

• GEOMETRI

3C KONSTRUKSJON

BEGREPER toppvinkler nabovinkler samsvarende vinkler tangent korde Tales’ setning

Etter dette delkapitlet skal du kunne • konstruere vinkler på 90° og 60° og vinkler som du kan få ved å halvere disse • konstruere midtnormaler, nedfelle normalen fra et punkt til en linje og oppreise en normal på en linje • konstruere parallelle linjer • konstruere tangent til sirkelen • konstruere sentrum i sirkelen • tredele linjestykke • bruke dine kunnskaper om konstruksjon til å konstruere mangekanter og andre plangeometriske ﬁgurer

Konstruksjonene du har arbeidet med tidligere, danner grunnlaget for konstruksjonene du skal arbeide med i dette delkapitlet.

•

KONSTRUKSJON

303

Å konstruere en sirkel

Å oppreise en normal fra et punkt på en linje

Å nedfelle en normal fra et punkt til en linje

Å konstruere midtnormalen

Å halvere en vinkel

Å konstruere en 60° vinkel

B A

Ved hjelp av disse konstruksjonene kan vi konstruere mange vinkler, parallelle linjer, tangenten til en sirkel, mangekanter, sentrum i sirkelen og tredele et linjestykke.

304

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.71 a Konstruer en vinkel på 45°. Halver vinkelen. b Tegn en linje a og konstruer to linjer som er parallelle med denne linja. Det skal være 2 cm og 3 cm mellom linja a og de parallelle linjene.

c Tegn et linjestykke AB = 10 cm og konstruer midtnormalen til linjestykket.

d Tegn en linje b og et punkt D som ikke ligger på linja. Nedfell en normal fra D til linja b.

Oppgave 3.72 Konstruer en trekant GHI, der GH = 5 cm, G = 120° og H = 30°. Husk hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

Oppgave 3.73 a Konstruer UABC, der B = C = 60°. AB er 6 cm. Husk hjelpefigur.

b Hvor mange grader er A? c Hva kaller vi en slik trekant? Oppgave 3.74

utfordring

a Konstruer en trekant ABC der AB = 7 cm, C = 90° og BC = 4 cm. Husk hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

b Trekanten ABC er en del av firkanten ABCD. D ligger på halveringslinja til B og like langt fra A som fra C. Konstruer firkanten ABCD.

Oppgave 3.75

fra eksamen 2010

a Konstruer en trekant ABC der AB er 7 cm, A = 45° og B = 60°.

b Trekanten ABC er en del av parallellogrammet ABCD. Konstruer parallellogrammet. Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

•

KONSTRUKSJON

305

Når vi skal beregne vinkler og sidekanter i plangeometriske figurer, er det nyttig å ha noen flere begreper på plass. Toppvinkler To rette linjer som skjærer hverandre, danner to par toppvinkler. Toppvinkler i et par er alltid like store.

u=v x=y

v y

Nabovinkler Nabovinkler har et felles vinkelbein og er til sammen 180°.

u + v = 180°

Oppgave 3.76 a Hvilke par av vinklene a, b, c og d er nabovinkler?

b Hvilke par av vinklene a, b, c og d er toppvinkler?

Oppgave 3.77

b c

samarbeid

a Hvor store er hver av nabovinklene hvis de er like store? b Hvor store er hver av nabovinklene hvis den ene er tre ganger så stor som den andre?

306

Kapittel 3

• GEOMETRI

Samsvarende vinkler ved parallelle linjer Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, får vi mange vinkler. Samsvarende vinkler, som de som er merket på figuren, er like store.

u=v

Oppgave 3.78

samarbeid

På figuren er l parallell med m

a Hvor stor er x? Forklar. b Hvor stor er y? Forklar. c Hvor stor er z? Forklar. d Hvor stor er v? Forklar.

50°

Oppgave 3.79 Tegn en linje l. Konstruer en parallell linje m i avstand 5 cm fra l. Hvor mange løsninger fins det?

•

KONSTRUKSJON

307

En tangent til en sirkel er en linje som berører sirkelen i ett punkt. Tangenten står alltid vinkelrett på radien i tangeringspunktet.

eksempel 11 å konstruere en tangent i et punkt på sirkelperiferien Konstruer en sirkel med radius 4 cm. Sett av et punkt P på sirkelperiferien, og konstruer en tangent til sirkelen i P. Løsning Vi markerer et punkt S som skal være sentrum i sirkelen, og konstruerer en sirkel med radius 4 cm. Vi setter av et punkt P på sirkelperiferien. Vi trekker en stråle fra S gjennom P. Vi oppreiser en normal til strålen i punktet P. Dette er tangenten til sirkelen.

308

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.80 a Tegn et linjestykke AB = 7 cm. Konstruer en sirkel som har AB som diameter. Konstruer tangentene i A og B.

b Forklar hvorfor de to tangentene er parallelle linjer. Oppgave 3.81

B C

a Konstruer en sirkel med sentrum i A. Merk av to punkter B og C på sirkelperiferien, og konstruer tangentene til sirkelen slik som vist på figuren.

b Halver vinkelen mellom tangentene. Hvor går halveringslinja?

•

KONSTRUKSJON

309

eksempel 12 å tegne en tangent til en sirkel i et punkt på sirkelperiferien i geogebra Tegn en sirkel og avsett en tangent i et punkt på sirkelperiferien. Løsning , Bruk verktøyet Tangenter, og tegn tangenten ved å klikke i tangeringspunktet og et annet sted på sirkelperiferien.

Oppgave 3.82

digital

a Tegn en sirkel med radius 5. Plasser et punkt P på sirkelperiferien.

b Tegn en tangent til sirkelen i P.

En korde er et linjestykke som går fra et punkt på sirkelperiferien til et annet punkt på sirkelperiferien.

Korde

310

Kapittel 3

• GEOMETRI

eksempel 13 å finne sentrum i en sirkel ved hjelp av konstruksjon Finn sentrum i sirkelen ved hjelp av konstruksjon. Løsning Først avsetter vi en korde DE. Så konstruerer vi midtnormalen til korden. Vi får da en diameter FG som vi vet går gjennom sentrum. Hvis vi nå konstruerer midtnormalen til diameteren, vil sentrum S ligge i skjæringspunktet mellom diametrene. E G

D S

Oppgave 3.83

samarbeid

a Konstruer en sirkel og tegn to korder. b Konstruer midtnormalen til begge kordene. c Hva kan du si om skjæringspunktet til de to midtnormalene?

En korde er et linjestykke som går fra et punkt på sirkelperiferien til et annet. En tangent er en linje som berører sirkelperiferien i ett punkt. Tangenten står vinkelrett på radien i tangeringspunktet.

•

KONSTRUKSJON

311

Oppgave 3.84 a Konstruer en sirkel med radius 4 cm. b Tegn en tilfeldig radius i sirkelen, avsett sentrum S og skjæring med sirkelperiferien A. Konstruer normalene til radien i S og A.

c Normalen fra S treffer sirkelperiferien i C og D. Konstruer normalen til SC i C. Kall skjæringspunktet mellom normalen i A og normalen i C for E.

d Du har nå fått firkanten SAEC. Hva er forholdet mellom arealene til sirkelen og firkanten?

eksempel 14 å dele et linjestykke i tre like store deler Tegn linjestykket AB. Tredel linjestykket ved hjelp av konstruksjon. Løsning Vi avsetter et linjestykke AB. Så lager vi en stråle ut fra A. Videre avsetter vi en valgt avstand på strålen, AD. Vi avsetter den samme lenden to ganger til slik at AD = DE = EC. Så trekker vi linja BC. Videre konstruerer vi en parallell til BC gjennom E og en parallell til gjennom D. Da deler F og G linjestykket AB i tre like store deler. C

F J

312

Kapittel 3

• GEOMETRI

B H

Oppgave 3.85 a Tegn et linjestykke AB = 8 cm. b Tredel linjestykket ved hjelp av konstruksjon. c Del et linjestykke i fire like deler. Hvilke konstruksjoner brukte du?

TALES' SETNING Tales (624 f.Kr–547 f.Kr) var en gresk filosof som regnes som en av vestens første vitenskapsmenn. C

Tales' setning I trekant ABC er AB diameter i en sirkel med sentrum S, og punktet C ligger på sirkelperiferien. Da er C 90°.

Oppgave 3.86

samarbeid

a Konstruer en sirkel med radius 5 cm. Tegn inn diameteren i sirkelen. Kall skjæringspunktene med sirkelperiferien for A og B.

b Sett av et punkt C på sirkelperiferien, og tegn trekanten ABC. c Mål C. Hvor mange grader er vinkelen? d Konstruer UDEF når DE = 7 cm EF = 4 cm F = 90°

•

KONSTRUKSJON

313

Oppgave 3.87

digital

a Tegn et linjestykke AB b Tegn en sirkel med AB som diameter. c Sett av et punkt C hvor som helst på sirkelperiferien. d Bruk verktøyet

Mangekant og tegn trekanten ABC.

e Velg verktøyet Vinkel og mål C. f Flytt C rundt på sirkelbuen. Hva oppdager du? Oppgave 3.88

digital

a Gjør oppgave 3.87 en gang til, men denne gangen starter du med å plasserer C utenfor sirkelen. Tegn en trekant ABC og mål vinklene.

b Hvilken type vinkel er C når C er utenfor sirkelperiferien?

c Hvilken type vinkel er C når C er innenfor sirkelperiferien?

d Hvilken type vinkel er C når C er på sirkelperiferien?

314

Kapittel 3

• GEOMETRI

HVA KAN DU NÅ om konstruksjon? 1

Tegn en linje m. Konstruer en linje som er parallell med m i avstand 3 cm. Hvor mange løsninger fins det?

a Konstruer en sirkel med radius 4 cm. Plasser et punkt A på sirkelperiferien.

b Konstruer en tangent til sirkelen i A. c Gjør oppgaven i GeoGebra.

a Konstruer parallellogrammet ABCD der AB = 6,0 cm, A = 30° og D ligger i avstanden 2,5 cm fra AB. Husk hjelpefigur.

b Regn ut arealet av ABCD.

Finn vinklene x og y. l og m er parallelle.

50°

m x

HVA KAN DU NÅ ?

315

a Tegn en vilkårlig sirkel. Tegn diameteren AB. Avsett et punkt C på sirkelperiferien og trekk linjene fra punktet C til A og B.

b Hvilken type trekant fikk du? c Forklar hvorfor C alltid vil være 90°.

a Del et linjestykke i fire like deler ved hjelp av konstruksjon. b Del et linjestykke i tre like deler ved hjelp av konstruksjon.

316

Kapittel 3

• GEOMETRI

3D SYMMETRI, FORMLIKHET OG KONGRUENS BEGREPER speilingssymmetri symmetrilinje kongruens parallellforskyvning rotasjonssymmetri formlike ﬁgurer forstørrelsesfaktor målestokk

Etter dette delkapitlet skal du kunne • forklare og bruke speilingssymmetri, rotasjonssymmetri og parallellforskyvning • forklare hva det betyr at to ﬁgurer er formlike eller kongruente • bruke formlikhet til å ﬁnne ukjente sider i trekanter, og anvende det i praktiske situasjoner • bruke begrepene forstørrelsesfaktor og målestokk i forbindelse med kart og andre praktiske oppgaver

SYMMETRI OG KONGRUENSAVBILDNINGER Oppgave 3.89

samarbeid

Beskriv mønstret. Hvilke symmetrier finner dere?

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

317

Symmetrilinje

En figur som har speilingssymmetri har en eller flere symmetrilinjer. Figuren er symmetrisk om disse linjene. Trekant A’B’C’ er speilbilde av trekanten ABC. Trekanten er speilet om andreaksen. Legg merke til hvordan vi har bestemt at vi merker punktene i en figur som et resultat av en speiling, parallellforskyvning eller rotasjon. A’ leses «A merket». y 7 C = (–1, 6)

C’ = (1, 6)

5 4 3 2 A = (–3, 1) –4

–3

B = (–1, 1) –2

–1

B’ = (1, 1) 1

A’ = (3, 1) 2

4 x

eksempel 15 å speile om en linje ved hjelp av konstruksjon Speil trekanten ABC om linja s. A

C s

318

Kapittel 3

• GEOMETRI

Løsning Nedfell normaler fra punktene A, B og C til linja s.

A’

B’

C’

Ta avstanden fra A til linja s i passeren, og merk av den samme avstanden på andre siden av linja. Dette er det nye punktet A’. Gjør tilsvarende med de andre punktene. Tegn den nye trekanten A’B’C’.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

319

Oppgave 3.90

samarbeid

a Tegn figurene og symmetrilinja så nøyaktig som dere klarer. Speil figurene om de ulike linjene. Bruk passer og linjal.

b Se på de nye figurene dere fikk. Diskuter resultatene med medelever. Hva vil det si å speile en figur om en linje?

c Skriv en forklaring på hvilke konstruksjoner dere brukte for å konstruere speilingen av de ulike figurene om en linje. Hva er viktig å passe på når du skal speile om en linje?

Oppgave 3.91

samarbeid

Dere skal nå speile en figur om et punkt. Tegn et koordinatsystem som på figuren og tegn inn trapeset ABCD. I denne oppgaven skal figuren speiles om origo, det vil si punktet som har koordinatene (0 , 0). Start med å trekke en linje fra A gjennom origo. La linja fortsette et godt stykke. Ta avstanden fra A til origo i passeråpningen, og avsett denne lengden på andre siden av origo. Da få du punktet A’. Gjør det samme med de andre punktene. Tegn den nye figuren.

320

Kapittel 3

• GEOMETRI

y 7 6 D

5 4 3

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

2 1 –1 –2 –3 –4 –5

6 A’

Oppgave 3.92

samarbeid

a Tegn figurene og punktene. Speil figurene om de ulike punktene. Bruk passer og linjal.

b Se på de nye figurene dere fikk. Diskuter resultatene med medelever. Hva vil det si å speile en figur om et punkt?

c Skriv en forklaring på hvilke konstruksjoner dere brukte for å konstruere speilingen av de ulike figurene om et punkt. Hva er viktig å passe på når dere skal speile om et punkt?

4 D C

Oppgave 3.93

digital

a I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra. Bruk verktøyet Mangekant og tegn en trekant. Tegn et punkt utenfor trekanten. Bruk verktøyet Speil objekt om punkt, og speil trekanten om punktet.

b Endre form på trekanten. Hva skjer med den speilede trekanten?

c Flytt på punktet du speilet trekanten om. Hva skjer med den speilede trekanten?

d Gjør det samme som i oppgave a, b og c, men bruk verktøyet Speil objekt om linje.

Dersom du speilet figurene riktig, oppdaget du kanskje at du fikk figurer med samme form og størrelse, men de var speilvendte. Vi sier at figurene er kongruente. I dette kapitlet skal du seinere arbeide med kongruens og formlikhet.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

321

Når vi speiler en figur om en linje eller et punkt, får vi en figur som er like stor og har samme form som den vi startet med. Vi sier at figurene er kongruente. C’

A’

D B

B’ A

A’

B’

C’

Parallellforskyvning går ut på å flytte alle punkter i en figur like langt og i samme retning. En parallellforskyvning kan beskrives ved hjelp av en pil som har en bestemt lengde og en bestemt retning. U A’B’C’D’ er en parallellforskyvning av ABCD i, den retningen og avstanden som pila viser.

D’ D

A’ A

C’

B’

Oppgave 3.94 Parallellforskyv figurene i oppgave 3.92. Bestem retningen og lengden på pila selv. Hva oppdager du?

Når vi parallellforskyver en figur, får vi en ny figur som samme form og størrelse som den vi startet med. Figurene er kongruente. Ved parallellforskyvning flyttes alle punktene i samme retning og med en fast lengde.

322

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.95 a Tegn en rettvinklet trekant DEF og parallellforskyv alle hjørnene i en retning og lengde som du velger. Tegn den nye trekanten.

b Sett navn på hjørnene i den nye trekanten. Oppgave 3.96

digital

I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra. Tegn en trekant ved hjelp av verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Vektor, og tegn en pil som angir hvor langt og i hvilken retning trekanten skal parallellforskyves. Du kan gjerne la pila starte i ett av hjørnene på trekanten. Velg verktøyet Flytt objekt med Vektor og parallellforskyv trekanten.

Oppgave 3.97

digital

I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra.

a Tegn en trekant ABC der A = (2 , 0), B = (4 , 1) og C = (4 , 5). b Parallellforskyv ABC slik at A’ kommer i (3 , 5). c Hva blir koordinatene til B’ og C’? Oppgave 3.98

samarbeid

a Tegn en trekant med hjørner (1 , 0), (1 , 1) og (0 , 1). Dere skal bruke speiling og/eller parallellforskyvning til å tegne figurene under.

b Lag ditt eget mønster ved hjelp av speiling og parallellforskyvning.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

323

Rotasjonssymmetri betyr at mønstret er rotert rundt et punkt.

eksempel 16 å rotere om et punkt Vi ønsker å rotere trekant ABC 60° om punktet D mot klokka. Løsning C Vi starter med punktet A og trekker linja AD. Vi avsetter DA’ = AD ved å B bruke en gradskive eller konstruere en 60 ° vinkel på AD. Så trekker vi linja A BD og avsetter vi DB’ på samme måte. Til slutt C’ trekker vi linja CD og avsetter DC’ = CD 60° på CD. Vi trekker linjene A’B’, B’C’ og A’C’. Vi får en trekant som viser seg å være kongurent med trekant ABC. Den nye trekanten er rotert 60 °.

324

Kapittel 3

• GEOMETRI

D 60°

B’

A’

Oppgave 3.99 a Tegn en trekant ABC og roter den 45° mot klokka om A. Marker de nye punktene du får, med A’, B’ og C’. Du kan bruke en gradskive eller konstruere.

b Tegn en ny trekant ABC og roter denne trekanten 180° mot klokka om A. Marker de nye punktene du får, med A’, B’ og C’.

c Tegn en tredje trekant ABC og roter trekanten 270° mot klokka om et punkt P utenfor trekanten. Marker de nye punktene du får, med A’, B’ og C’.

Oppgave 3.100

digital

Tegn en likesidet trekant ved hjelp av verktøyet Regulær mangekant. Roter trekanten 60° om et av hjørnene. Bruk verktøyet Roter objekt om punkt med fast vinkel. Gjenta til du har en figur som den du ser her.

Oppgave 3.101

digital

I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra. Bruk rotasjon til å tegne figuren på bildet. Tips: Start med å tegne en regulær sekskant. Finn deretter punktet den skal roteres om ved å forlenge to av sidene med stråler.

Oppgave 3.102

digital

Komponer et mønster eller et bilde der du bruker speiling om en linje, parallellforskyvning og rotasjon.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

325

Rotasjon om et punkt er å dreie en figur et bestemt antall grader rundt punktet. Når vi roterer en figur, får vi en ny figur som har samme form og størrelse som den vi startet med. Vi får to kongruente figurer. ΔA’B’C’ er en rotasjon på 90° av ΔABC om punktet D i retning mot klokka. C D A

B C’ B’

A’

FORMLIKHET

326

Kapittel 3

• GEOMETRI

To figurer kalles formlike hvis den ene figuren er et forstørret bilde av den andre. Figurene er også formlike om den ene er både forstørret og speilvendt i forhold til den andre. Når to trekanter er formlike, kan vi skrive UABC~UDEF. Vi leser: UABC er formlik med UDEF F

Her er trekanten til høyre et forstørret bilde av trekanten til venstre, de er formlike. Vi sier at forstørrelsesfaktoren k er 2. Det betyr at du kan finne sidelengdene i den store trekanten ved å multiplisere de tilsvarende sidelengdene i den lille trekanten med 2. Vi setter navn på formlike trekanter slik at tilsvarende vinkler kommer i samme rekkefølge i begge trekantene. Da kommer tilsvarende sider i samme rekkefølge. UABC~UDEF betyr at A = D, B = E og C = F.

Vi har to formlike trekanter. Forstørrelsesfaktoren er k.

Da er d = ka, e = kb og f = kc. Derfor er d e f " " " k. a b c

Dessuten har vi

d ka a " " e kb b

d ka a " " f kc c

e kb b " " f kc c

I formlike ﬁgurer er forholdet mellom to tilsvarende sider lik forholdet mellom to andre tilsvarende sider.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

327

Dersom 0 < k < 1, vil UDEF bli mindre enn UABC. Dersom k = 1, blir de to trekantene like store. Da er de kongruente. Dersom k > 1, vil UDEF bli større enn UABC.

Oppgave 3.103 Figuren nedenfor viser to formlike trekanter.

i a

Finn forstørrelsesfaktoren k ved å måle med linjal.

eksempel 17 å avgjøre om to trekanter er formlike Avgjør om trekantene er formlike. C 30°

F 30° 110°

40° A

Løsning Når vi kjenner to av vinklene i en trekant, kan vi regne ut den tredje, fordi vi vet at vinkelsummen i en trekant alltid er 180°. A = 180° – B – C =180° – 40° – 30° = 110° E = 180° – D – F = 180° – 110° – 30° = 40° De to trekantene er formlike fordi vinklene er parvis like store. UABC ~ UDEF

328

Kapittel 3

• GEOMETRI

Hvis to trekanter er formlike, er vinklene i trekantene parvis like store. Dersom vi har to trekanter der to vinkler er parvis like store, må også de to siste vinklene være like store.

Oppgave 3.104

samarbeid

a Hva er vinkelsummen i en trekant? b Trekantene er formlike. Bestem de ukjente vinklene. C

108°

45° D

27°

E I

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

329

Oppgave 3.105

samarbeid

Er det riktig at to firkanter er formlike hvis de har parvis like vinkler? Begrunn svaret ditt med eksempler.

eksempel 18 å finne lengden av ukjente sider i formlike trekanter Trekantene er formlike. Finn lengden av DE. C F

10 cm

7 cm

8 cm

Løsning Ved å dividere en side i den største trekanten med tilsvarende side i den minste trekanten finner vi forholdet mellom sidene i trekantene. AC 10 " " 1, 25 DF 8 Forstørrelsesfaktoren er 1,25. Så kan vi bruke forstørrelsesfaktoren til å finne lengden av DE. Det er det samme forholdet mellom AB og DE som det er mellom AC og DF. AB AB 7 " 1, 25 , DE " " " 5, 6 DE 1, 25 1, 25 Lengden av DE er 5,6 cm.

330

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.106

samarbeid

Regn ut sidene merket x.

F 65°

C 65°

3,8

x 70°

45° 4,7

6,3

b 60°

30°

Oppgave 3.107 a Finn de ukjente vinklene i trekantene. b Regn ut lengden av AC. F 65°

C 4,9

65°

70° A

45° 4,7

6,3

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

331

Oppgave 3.108 D

Trekantene er formlike. Bestem E og F og regn ut sidene i UDEF når du vet at forstørrelsesfaktoren er 1,6.

C 3,0

6,0

60°

5,2

Oppgave 3.109 a Finn de ukjente vinklene i trekantene. b Regn ut lengden av AB. C

F 11,4 48° 5,7 72°

72°

60°

4,5

Oppgave 3.110 A = D og B = E.

a Hvorfor er

UABC formlik med UDEF?

C 10,0 cm

b Finn lengden EF.

6,2 cm

c Finn lengden AC. A

332

Kapittel 3

• GEOMETRI

6,0 cm

8,0 cm

eksempel 19 å finne sider i trekanter med en felles vinkel og en 90° vinkel a Begrunn at de to rettvinklede trekantene på figuren er formlike. b Finn x.

3 E x A

Løsning De to trekantene ABC og DBE har en felles vinkel, og i tillegg har de begge en vinkel som er 90°. Siden vinkelsummen i en trekant er 180°, må den siste vinkelen også være lik i de to trekantene. De to trekantene har tre vinkler som er parvis like store. De er formlike. Vi kan finne forstørrelsesfaktoren ved å regne ut forholdet mellom AB og DB i de to trekantene: 4 k" "4 1 For å finne x kan vi da dividere den korteste kateten i den 3 store trekanten på 4. Altså x " " 0, 75 . 4

Oppgave 3.111 C

a Vis at UABC ~ UDBE. 10

b Finn lengden av BE,

E 4

BC og AB. A

4√2

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

333

Oppgave 3.112 a Finn de formlike tre-

kantene i denne figuren.

b Regn ut lengden av

sidene AC og BC. A

eksempel 20 å vise at trekanter er formlike

I UABC er AB parallell med DE. Forklar hvorfor UDEC er formlik med UABC.

Løsning Trekantene er formlike fordi • C er felles i begge trekantene

• CDE = CAB fordi de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer. • CED = CBA fordi de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer.

Oppgave 3.113

samarbeid

Trekanten ABC er en rettvinklet trekant.

a I trekanten ABC er DE parallell med AB. Vis at UABC~UDEF.

b Finn lengden DC. c Hvor lang er EC? Enn BE?

6 D

334

Kapittel 3

• GEOMETRI

3 4

Oppgave 3.114 a I trekanten ABC er DE parallell med AB.Vis at UABC~UDEC. b Finn lengden DE. C 3,2 D

8,2

6,8

Oppgave 3.115 For å finne ut hvor høyt et tre er, kan man sette opp en pinne og bruke skyggene.

0,8 m 1,5 m

15 m

a Begrunn at de to trekantene som dannes på figuren, er formlike.

b Hva er forstørrelsesfaktoren? c Hva blir treets høyde?

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

335

eksempel 21 å vise at trekanter er formlike D

Figuren viser en firkant ABCD der siden AD er parallell med siden BC.

C 4,9

Vis at trekantene BCE og DAE er formlike.

3,6 3,8

Løsning UCBE og UADE er formlike fordi • BEC og DEA er toppvinkler • EBC og EDA er samsvarende vinkler ved parallelle sider • BCE og DAE er samsvarende vinkler ved parallelle sider

Oppgave 3.116 Bruk figuren i eksempel 21, og regn ut lengden på diagonalen BD.

Oppgave 3.117 A

På skissen er UDBA~UECB (formlike). En rett linje går gjennom punktene A, B og C.

a Regn ut AB.

fra eksamen 2014

336

Kapittel 3

• GEOMETRI

b Regn ut BE.

KONGRUENS Hvis to figurer A og B kan dekke hverandre fullstendig, sier vi at de er kongruente. Kongruens brukes om geometriske figurer som har helt samme størrelse og form, men som kan være ulikt orientert eller speilbilde av hverandre. Når figuren A er kongruent med figuren B, skriver vi A % B.

B A

To ﬁgurer er kongruente når den ene kan legges oppå den andre og dekke den nøyaktig. Alle lengder og alle vinkler er parvis like.

Oppgave 3.118

samarbeid

a Tegn hver deres trekant der en vinkel er 45° og en side er 5 cm.

b Tegn hver deres trekant der en vinkel er 45°, en vinkel er 30° og en side er 5 cm.

c Tegn hver deres trekant der en side er 4 cm, en annen side er 5 cm og en vinkel er 30°.

d Sammenlikn trekantene deres. Hvilke opplysninger trenger dere for å si at trekantene må være kongruente?

Oppgave 3.119

samarbeid

a Finn parallellforskyvning, speiling og rotasjon i mønstret på bildet.

b Tegn hvert deres mønster der dere bruker trekanter som er kongruente. Beskriv mønstret deres for hverandre.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

337

Oppgave 3.120

utfordring

Tales brukte kongruente trekanter til å bestemme avstander. Et skip ligger i S. En observatør står i O på land og ønsker å finne avstanden OS. Hvor langt er det fra observatøren til skipet? Observatøren lager en rett vinkel i O, og går i denne retningen og velger et fritt valgt punkt A der han setter ned en stokk. Så går han videre og finner et nytt punkt B, slik at OA = AB. Så lager han igjen en rett vinkel i B og går så langt i denne retningen til han ser stokken A og skipet på en rett linje. Hvordan kan han nå finne avstanden OS?

Oppgave 3.121

digital

Tegn en trekant i GeoGebra og la sidekantene ha ulik lengde. Tegn en linje og speil trekanten om linja. Mål sider og vinkler i de to trekantene. Forklar hvorfor trekantene er kongruente med bakgrunn i samsvarende sider og vinkler.

338

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.122 Tegn en mangekant i GeoGebra og gjør det samme som i oppgave 3.121. Forklar hvorfor disse figurene er kongruente, og si noe om hvilken vinkel som er like stor som hvilken vinkel i mangekanten som oppsto etter speilingen.

Oppgave 3.123

digital

Tegn en trekant i GeoGebra og roter trekanten 45° mot klokka om et av hjørnene i trekanten. Mål alle sider og vinkler. Forklar hvorfor de to trekantene er kongruente med bakgrunn i hvilke vinkler som er like og hvilke sidekanter som er like.

MÅLESTOKK

Et kart er et forminsket bilde av hvordan et område er i virkeligheten. Målestokken på et kart forteller oss hvor mange ganger lengdene på kartet er forminsket i forhold til virkeligheten. Hvis 1 cm på kartet tilsvarer 10 000 cm i virkeligheten, er målestokken 1 : 10 000.

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

339

Når vi jobber med formlike trekanter, er forstørrelsesfaktoren viktig for å kunne beregne sidekanter. Vi kan godt si at forstørrelsesfaktoren er det samme som målestokk. Målestokken forteller hvor mye noe er forminsket eller forstørret. Målestokk brukes også når vi forstørrer noe, for eksempel bildet av noe som er veldig lite. Målestokk 2 : 1 betyr at lengdene er doblet. Målestokk 1 : 2 betyr at lengdene er halvert.

Oppgave 3.124 Tegn en trekant som er formlik med denne trekanten i målestokk 1 : 3.

Oppgave 3.125 Tegn en trekant som er formlik til denne trekanten i målestokk 3 : 1.

Oppgave 3.126 Tegn en trekant som er formlik med denne trekanten i målestokk 2 : 1.

Oppgave 3.127 Tegn en trekant som er formlik med denne trekanten i målestokk 1 : 2.

Oppgave 3.128 Forholdet mellom diameteren i to sirkler er 1 : 4. Den minste sirkelen har radius 1,25 cm. Konstruer den største sirkelen.

340

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.129 a Konstruer UABC der AB = 2,5 cm, BC = 3,5 cm og AC = 4 cm.

b Konstruer UDEF i målestokk 3 : 1 i forhold til UABC.

c Sett mål på sidene i begge trekantene.

Oppgave 3.130

samarbeid

En leilighet er tegnet slik at 1 cm på tegningen tilsvarer 2 m i virkeligheten.

a Hvilken målestokk er leiligheten tegnet i? b På tegningen er veggene i et rektangulært soverom 2 cm og 3 cm lange. Hvor lange er veggene i soverommet i virkeligheten?

Oppgave 3.131 Lag en tegning av klasserommet i målestokk 1 : 100.

Oppgave 3.132 Et vindu har bredde 60 cm og høyde 80 cm. Tegn vinduet i målestokk 1 : 10.

Oppgave 3.133

digital

a Tegn en likesidet trekant med sidelengde 1 i GeoGebra. Bruk verktøyet Forstørr objekt fra punkt til å lage en trekant som har side som er tre ganger så lang.

b Hvor mange eksemplarer av den gamle trekanten får du plass til i den nye?

• SYMMETRI , FORMLIKHET OG KONGRUENS

341

c Gjenta a, men lag sidekanten i den nye trekanten dobbelt så lang.

d Kan du finne en regel for forholdet mellom arealet av figurene når du kjenner forholdet mellom sidene? Bruk GeoGebra til å teste regelen din med noen flere eksempler.

Oppgave 3.134 En rektangulær gårdsplass skal asfalteres. Den er 108 m lang og 42 m bred. På plassen ligger det to hus. Det ene huset har en grunnflate på 68 m2, og det andre huset har en grunnflate på 150 m2. Disse to husene disponerer sammen en grønnsakhage som er rektangulær med lengde 16 m og bredde 8,5 m. I tillegg har de et beplantet område som er sirkelformet med diameter 8 m.

a Lag en skisse av området med hus og bed i målestokk 1 : 100.

b Regn ut hvor mange kvadratmeter som skal asfalteres.

342

Kapittel 3

• GEOMETRI

HVA KAN DU NÅ om symmetri, kongruens og formlikhet? 1

a Tegn en trekant og en linje som verken er vannrett eller loddrett. Speil trekanten om linja ved hjelp av passer og linjal.

b Tegn en ny trekant og parallellforskyv trekanten. Bestem retning og lengde selv. Bruk passer og linjal.

c Tegn en ny trekant. Roter trekanten 90° om et punkt O som du velger selv. Bruk passer og linjal, eller gradskive.

Regn ut lengden AC. F C x

65° 3,8

65° 75°

40° 4,7

6,3

Her ser du to trekanter der A = D, C = F.

a Hva vet vi om vinklene A

B og E? Begrunn.

b Forklar hvorfor trekantene er formlike.

c Hva kan du si om lengdene av sidene i de to trekantene?

d Hvorfor er ikke de to trekantene kongruente?

HVA KAN DU NÅ ?

343

En flaggstang kaster en skygge som måles til 7,7 m. Ved siden av flaggstanga står det en stokk loddrett med lengde 1 m. Den kaster en skygge som måler 0,7 m. Hvor høy er flaggstanga?

Figuren viser en firkant ABCD der siden DC er parallell med siden AB.

a Vis at trekantene ABE og CDE er formlike. b Bruk dette til å regne ut

lengden på diagonalen BD. 10,2

D E

4,2 B 8,4

Et skisse av grunnflaten til et hus skal tegnes i målestokk 1 : 100. Huset er rektangulært og har lengde på 14 m og bredde på 8 m. Lag en tegning av grunnflaten til huset.

a Forklar hva det betyr at målestokken er 1 : 500. b Forklar hva det betyr at målestokken er 100 : 1. c Gi eksempler fra virkeligheten der vi bruker målestokk.

344

Kapittel 3

• GEOMETRI

3E GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST BEGREPER ﬁbonaccitall det gylne snitt perspektiv forsvinningspunkt horisontlinje

Etter dette delkapitlet skal du kunne • forklare hva det gylne snitt er, og kjenne sammenhengen mellom ﬁbonaccitallene og det gylne snitt • gi eksempler på situasjoner der det gylne snitt opptrer • tegne perspektiv med ett eller ﬂere forsvinningspunkt Estetikk dreier seg om noe mennesker synes er vakkert. Den estetiske siden av matematikken har gjennom alle tider vært en av drivkreftene bak utviklingen av ny matematisk teori. I dette delkapitlet skal vi se noen eksempler på temaer som ofte nevnes i sammenheng med «matematisk estetikk».

FIBONACCITALLENE OG DET GYLNE SNITT Fibonaccitallene er en berømt tallfølge som sies å stamme fra en mann fra den italienske byen Pisa. Mannen hette egentlig Leonardo de Pisano, men han ble kalt Fibonacci.

•

GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST

345

Fibonaccitallene har følgende mønster: De to første tallene er 1. Deretter er hvert nytt tall summen av de to forrige tallene. De første tallene i tallfølgen er 1 1 2 3 5 8 13

Oppgave 3.135

samarbeid

Hva blir de ti neste fibonaccitallene etter dem som er satt opp ovenfor?

Oppgave 3.136

samarbeid

I denne oppgaven skal dere tegne en fibonaccispiral. Dere trenger tallrekka dere fant i forrige oppgave. Det beste er å bruke ark med ruter.

1 Tegn to små kvadrater som har en felles side, ved siden av hverandre. La sidene i kvadratene ha lengde 1.

2 Tegn et kvadrat inntil og under de to første. Dette kvadratet har side 2 (summen av de to første).

3 Tegn et nytt kvadrat inntil og til høyre for de tre første. Hvor lang side skal dette kvadratet ha?

4 Fortsett på samme måte til du ikke har mer plass på arket.

5 For å tegne spiralen må du ha åpningen i passeren lik lengden av sidene i kvadratet.

6 Hvor store hadde sidene i det neste kvadratet blitt dersom du hadde hatt mer plass?

346

Kapittel 3

• GEOMETRI

1 1 2x2

Oppgave 3.137 La an være fibonaccitall nummer n, slik at a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, ... I denne oppgaven skal vi undersøke forholdet mellom et fibonaccitall og det forrige. Du kan bruke kalkulator.

a Regn ut

a2 . a1

c Regn ut

a4 . a3

e Regn ut

a6 . a5

b Regn ut

a3 . a2

d Regn ut

a5 . a4

f Regn ut

a7 . a6

Oppgave 3.138

digital

Regnet du oppgavene ovenfor riktig, så du at svarene ser ut til å stabilisere seg på et tall som er omtrent 1,6. For å undersøke dette nærmere, lag et regneark der du regner ut forholdet mellom hvert nytt fibonaccitall og det forrige, for de 20 første tallene.

Forholdene du regnet ut i oppgave 3.137 og 3.138, nærmer seg et spesielt tall når du regner lenger utover i følgen av fibonaccitall. Det viser seg at tallet disse forholdene nærmer seg, er O = 1,618 033 988 7... Dette forholdstallet kalles det gylne snitt. Det er et irrasjonalt tall, så desimalene fortsetter uten noe spesielt mønster. Symbolet for det gylne snitt er O som vi leser «fi». Man kan bevise (se oppgave 360) at det gylne snitt kan angis eksakt som "

1 5 2

Oppgave 3.139

samarbeid

a Tegn hvert deres rektangel. Mål lengden og bredden, og divider den lengste siden med den korteste siden.

•

GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST

347

b Det viser seg ofte at mange av oss tegner et rektangel som ligger nært opp til et gyllent rektangel. Det vil si at forholdet mellom lengste og korteste siden i rektanglet ligger nært opp mot 1,6. Sammenlikn svarene dere fikk, med utsagnet over. Stemmer det med det dere tegnet?

Oppgave 3.140 Et kredittkort er et tilnærmet gyllent rektangel. Den korteste siden på kredittkortet er 5,4 cm. Regn ut den lengste siden på kredittkortet.

Oppgave 3.141

samarbeid

Ifølge Leonardo da Vinci er forholdet mellom høyden fra navlen og ned, og høyden fra navlen og opp hos et menneske lik det gylne snitt. Det betyr at hvis en person på 160 cm måler høyden fra navlen og ned, skal den være omtrent 99 cm. 160 cm : 1,618 ~ 99 cm. Forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp blir da 99/61 ~ 1,6

a Regn ut navlehøyden. b Finner dere andre forhold i kroppen som tilsvarer det gylne snitt?

c Bruk bildet og gjør nødvendige mål for å finne ut om personen på bildet er tegnet med det gylne snitt som utgangspunkt.

348

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 3.142 Du skal i denne oppgaven konstruere et gyllent rektangel. Følg oppskriften under.

a Konstruer et kvadrat ABCD med side lik 8 cm. b Finn midtpunktet på AB og kall dette punktet for E. c Trekk linjestykket EC. d Forleng siden AB forbi B. e Bruk lengden av EC som radius og slå en bue om E ned på forlengelsen av AB. Da får du F.

f Oppreis en normal i F. g Forleng DC slik at du får et rektangel. lengde i rektanglet. Vis at dette er et bredde gyllent rektangel.

h Mål AF. Regn ut

PERSPEKTIVTEGNING Når vi skal tegne, bruker vi ofte perspektiv for å få romvirkning i tegningen. Ting som er lenger borte, blir tegnet mindre enn det som er nær.

•

GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST

349

Perspektivtegning med ett forsvinningspunkt Når vi ser inn i et rom, eller som her innover langs en vei, bruker vi ett forsvinningspunkt i tegningen. Horisontlinja er en vannrett linje i samme høyde som øynene til den som ser. Vi har brukt rød farge på horisontlinja. Alle vannrette parallelle linjer som går innover i bildet, møtes i et forsvinningspunkt på horisontlinja. Loddrette linjer blir loddrette når vi tegner.

p gs

inn

v rs Fo

Horisontlinje

Oppgave 3.143 Tegn inn forsvinningspunkt, horisontlinje og hjelpelinjer i fotografiet. Fotografiet fins som utskrift på elevnettstedet.

350

Kapittel 3

• GEOMETRI

eksempel 22 å tegne i perspektiv med ett forsvinningspunkt Berit skal tegne rommet sitt i perspektiv. Hun tenker seg at hun står i døra og ser inn i rommet. Løsning Start med å tegne bakveggen og plasser horisontlinja. Den skal plasserers så høyt som øynene dine er når du står og ser inn i rommet. Plasser forsvinningspunktet på horisontlinja. Tegn linjer ut fra forsvinningspunktet til alle hjørnene på bakveggen og fortsett dem. Linjene markerer kantene gulv/vegg og tak/vegg. Senga: Tegn enden av senga helt inntil bakveggen. Tegn hjelpelinjer fra forsvinningspunktet til alle hjørner og der du skal feste sidekantene på senga. Plasser nå den andre sengeenden slik at alle hjørner og fester for sidekanter er på samme linje. Tegn kommode, speil og golvteppe på samme måten.

•

GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST

351

Oppgave 3.144 Tegn bildet i oppgave 3.143 i ettpunktsperspektiv.

Oppgave 3.145 Tegn rommet ditt i ettpunktsperspektiv.

Oppgave 3.146

digital

Tegn en forenklet versjon av bildet i oppgave 3.143 i ettpunktsperspektiv i GeoGebra. Se hvordan du kan gjøre det i verktøyopplæringen på elevnettstedet.

Perspektivtegning med to forsvinningspunkt Når vi betrakter en gjenstand slik at vi ser på skrå inn mot den, kan vi tegne med topunktsperspektiv. Et hjørne er mot oss. Vi må ha to forsvinningspunkt på horisontlinja.

Forsvinningspunkt

Forsvinningspunkt Horisontlinje

352

Kapittel 3

• GEOMETRI

eksempel 23 å tegne topunktsperspektiv Vi skal tegne en bygning i topunktsperspektiv. Vi starter med å tegne horisontlinja og de to forsvinningspunktene. Deretter tegner vi den loddrette kanten på bygningen som er nærmest den som betrakter bildet.

Vi tegner hjelpelinjer fra forsvinningspunktene til toppen og bunnen av den loddrette kanten. Deretter tegner vi de to andre synlige loddrette kantene.

Nå kan vi tegne topp- og bunnkanter. Etterpå tegner vi flere hjelpelinjer for å tegne vinduer og en port.

•

GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST

353

Oppgave 3.147 Lukk Nummer 10, legg den på pulten foran deg og tegn boka i topunktsperspektiv.

Oppgave 3.148 Tegn en bygning i topunktsperspektiv.

Oppgave 3.149

digital

Tegn en forenklet tegning av fyret i topunktsperspektiv i GeoGebra. På elevnettstedet finner du forklaring på hvordan du tegner topunktsperspektiv i GeoGebra.

Tre forsvinningspunkter Hvis vi betrakter noe langt nedenfra eller høyt ovenfra, kan vi ha et tredje forsvinningspunkt som de loddrette linjene tegnes langs.

Hvis du ser ovenfra og ned (fugleperspektiv), tegner du horisontlinja høyt i bildet. Hvis du er nedenfra og opp

354

Kapittel 3

• GEOMETRI

(froskeperspektiv) tegner du horisontlinja lavt i bildet. Når vi ser nedenfra, vil det tredje forsvinningspunktet ligge høyt oppe. Start med horisontlinja, forsvinningspunktene og den fremste loddrette kanten, og jobb deg innover i tegningen.

Oppgave 3.150 Tegn en bygning i trepunktsperspektiv.

Tegning på isometrisk papir Ved å bruke isometrisk papir får vi dybdevirkning i tegningen uten at størrelser på ting som er lenger bak, endres. Arkitekter tegner ofte skisser på isometrisk papir.

Oppgave 3.151 Sett sammen 5 terninger til en «bygning», og tegn den på isometrisk papir. Du kan skrive ut et ark med isometriske linjer fra elevnettstedet.

•

GEOMETRI I HVERDAG OG KUNST

355

HVA KAN DU NÅ om geometri i hverdag og kunst? 1 Mål lengder på bildet, og sett opp par av lengder som er slik at forholdet mellom dem er O.

356

Lag en tegning av en dør. Forholdet mellom døras lengde og bredde skal være O. I døra skal det være et lite vindu. Vinduet skal også ha mål som tilfredsstiller det gylne snitt. Du kan fargelegge og dekorere døra som du ønsker.

Finn en gjenstand i klasserommet som du kan tegne i ettpunktsperspektiv. Du velger om du vil tegne med blyant og papir eller i GeoGebra.

Tegningen er en uferdig tegning av en eske i perspektiv. Kopier tegningen i boka di. Tegn inn horisontlinje og forsvinningspunkter, og gjør tegningen ferdig.

Kapittel 3

• GEOMETRI

OPPGAVESAMLING Kapittel 3 3A

På elevnettstedet ﬁnner du sammendrag til dette kapitlet.

Areal og volum

Oppgave 300

Oppgave 303

Gjør om mellom målenhetene.

Sett inn riktig målenhet.

a 20 cm til m

a Arealet av Norge er omtrent 385 000

b 1200 m til km

b Arealet av leiligheten til Oscar

c 3 m2 til cm2

er 95

d 20 dm2 til cm2

c Arealet til en tommelfingernegl

e 1000 dm2 til m2

er omtrent 3,5

f 2 h og 10 min til min

d En skrivebok har et areal på

g 34 100 m2 til daa

omtrent 4

h 785 a til ha i 45 da til km2

Oppgave 304 Gjør om

Oppgave 301 Hvor mange kvadratcentimeter er

a 1 dm2

e 35 dm2

b 100 dm2

f 75 m2

c 5 dm

d 400 mm2

g 0,5 dm

a 240 min til h b 20 000 m til km c 50 cL til L d 200 dm3 til m2

h 4,8 dm2 Oppgave 305

Oppgave 302 a Hvor mange meter er 1 km? b Hvor mange kvadratmeter er en km2?

Hvor mange kubikkcentimeter er

a 1 dm3

e 35 dm3

b 100 dm3

f 75 m3

c 5 dm3

g 0,5 dm3

d 1000 mm3

h 4,8 dm3

OPPGAVESAMLING

357

Oppgave 306

Oppgave 309

Hvor mange liter, er

a Tegn tre ulike trapes.

a 1 kubikkcentimeter

b Vis på tegningene hvilke sider i

b 1 kubikkdesimeter

trapesene som er parallelle.

c 1 kubikkmeter

c Tegn inn høydene i trapesene.

d 1200 mL

d Mål legndene og regn ut arealet av trapesene. Forklar framgangsmåten du bruker.

Oppgave 307 Regn ut arealet av

Oppgave 310

a et rektangel med lengde 5,0 m

Tegn trapesene i oppgave 309 i GeoGebra. Mål arealene. Sammenlikn målene med de du fant i oppgave 309.

og bredde 3,5 m

b en sirkel med radius 8,0 cm c et kvadrat med sider på 2,2 dm

digital

d en trekant med grunnlinje 16 cm og høyde 5,5 cm

Oppgave 311

e en sirkel med diameter 15 cm f et parallellogram med grunnlinje 2 dm og høyde 0,5 dm

Et rett prisme har målene lengde 3 dm bredde 2 dm høyde 5 dm

a Hvor mange hjørner har prismet? b Hvilken form har sideflatene i prismet?

c Regn ut volumet av prismet. d Regn ut overflaten av prismet.

Oppgave 308 Bruk formelen for arealet av et trapes, og fyll ut tabellen. LENGDE

358

LENGDE

6 cm

3,5 cm

12 cm

14 cm

Kapittel 3

• GEOMETRI

HØYDE

AREAL

2,5 cm 104 cm2

Oppgave 312

utfordring

Velg en av utregningene i oppgave 309, og forklar hvorfor formelen du brukte, er riktig.

Oppgave 315 Finn arealet av sirkelsektoren når

a r = 15 cm og v = 60° b d = 7 cm og v = 30°

Oppgave 313

c r = 8 dm og v = 90° d r = 0,25 m og v = 75°

Finn tre flater. Ta de målene du trenger for å regne ut arealet av flatene. Regn ut arealet av flatene.

Oppgave 316

Oppgave 314

En sirkelsektor er 50°. Arealet er 27,9 cm2. Hva er radien?

En kakeboks har form som en sylinder. Kakeboksen har en diameter på 32,0 cm og en høyde på 15,0 cm. En annen kakeboks har form som en kube med sider på 20,0 cm.

Oppgave 317

utfordring

En sylinder rommer 240 L. Høyden er 1,5 m. Hvor stor er grunnflaten? Hva er radius i grunnflaten?

Hvilken kakeboks har størst volum?

Pytagoras’ setning

Oppgave 318

Oppgave 320

Tegn en rettvinklet trekant der katetene er 9 cm og 12 cm. Hvor lang er hypotenusen?

a Forklar begrepene hypotenus, katet, rettvinklet trekant. Bruk gjerne en tegning i forklaringen din.

b Konstruer en likesidet trekant Oppgave 319 Tegn et kvadrat med sidelengder 6 cm. Hvor lang er diagonalen?

ABC med sider 4 cm.

c Hva vet du om vinklene i en likesidet trekant?

d Del trekanten i to like store trekanter ved å nedfelle en normal fra C på AB.

e Regn ut høyden i trekanten.

OPPGAVESAMLING

359

Oppgave 321

utfordring

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 5 cm.

a Tegn to slike trekanter. Mål i hver av trekantene de to andre sidene.

Oppgave 322 a Konstruer en trekant ABC der AB = 4 cm, CB = 5 cm og A er 90°. Husk hjelpefigur.

b Hvor lang er AC?

b Uttrykk lengden av den andre kateten ved hjelp av hypotenusen.

Oppgave 323 a Konstruer en trekant EFG der EF = 5,0 cm, E = 90° og FG = 8,0 cm. Husk hjelpefigur.

b Regn ut lengden av EG.

Konstruksjon

Oppgave 324

Oppgave 326

a Konstruer en parallell linje i

a Konstruer en firkant ABCD der

avstand 3 cm til en linje m.

b Konstruer en midtnormal til et linjestykke AB = 8 cm.

c Konstruer en vinkel på 60°. d Tegn en vinkel. Konstruer halver-

utfordring

a Konstruer en trekant DEF der E er 90°, DE = 7,0 cm og D er 30°. Tegn hjelpefigur og forklar hvilke konstruksjoner du har brukt.

b Hvor stor er vinkel F? c Tegn trekanten i GeoGebra. d Mål sidene i trekanten. Hva finner du?

360

Kapittel 3

• GEOMETRI

b Hva slags firkant har du konstruert? Begrunn.

ingsstrålen.

Oppgave 325

AB = 6,0 cm, BAD er 60° og ABC er 120°. BC = 4,0 cm, DC er parallell med AB. Husk hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

Oppgave 327

utfordring

Konstruer et trapes ABCD der AB = 8,0 cm, BC = 6,0, AD = 4,5 cm og CD ( AB i avstand 3 cm.

Oppgave 328

utfordring

a Konstruer et kvadrat der sidene er 5 cm.

b Konstruer en likesidet trekant på hver av sidene i kvadratet.

c Klipp ut figuren, og brett den til en romfigur.

d Hva kaller vi en slik romfigur? e Regn ut volum og overflateareal av figuren.

Oppgave 332

utfordring

I denne oppgaven skal du komme fram til en metode for å konstruere en tangent til en sirkel gjennom et oppgitt punkt utenfor sirkelen.

a Konstruer en sirkel med sentrum S, og merk av et punkt P utenfor sirkelen.

b Konstruer midtpunktet M mellom S og P.

c Konstruer en sirkel med sentrum i M, som går gjennom S og P.

Oppgave 329

d Kall et av skjæringspunktene mel-

Forklar begrepene under ved å tegne et eksempel og skrive en forklaring: punkt linje stråle

linjestykke vinkelbein toppunkt

lom de to sirklene du har konstruert, for T. Tegn en linje gjennom P og T. Denne linja går gjennom det oppgitte punktet P og tangerer sirkelen i T.

Oppgave 333 Oppgave 330

digital

a Tegn to parallelle linjer og en linje som skjærer begge disse linjene.

b Mål to samsvarende vinkler i figuren.

c Du skal nå endre figuren slik at målene på vinklene endrer seg. Hva oppdager du?

digital

Tegn en sirkel med sentrum i A og radius 5 i GeoGebra. Avsett tre punkt P, Q og R på sirkelen. Tegn linjestykkene PQ, PR, SQ og SR. Mål vinklene QPR og QSR.

a Hvordan er forholdet mellom størrelsen av de to vinklene du målte?

b Flytt på punktene P, Q og R, og Oppgave 331 Tegn et linjestykke d = 8 cm. Konstruer sirkelen som har d som diameter. Konstruer tangentene i begge punktene der d treffer sirkelperiferien.

sjekk om forholdet mellom vinklene endrer seg.

c Endre radien i sirkelen, og se om det skjer noe med forholdet mellom vinklene.

OPPGAVESAMLING

361

d Vinkelen med toppunkt i S kalles en sentralvinkel. Vinkelen med toppunkt i P på sirkelperiferien kalles en periferivinkel. For en sentralvinkel og en periferivinkel med vinkelbein gjennom de samme to punktene på sirkelperiferien gjelder følgende: Sentralvinkelen er dobbelt så stor som periferivinkelen. Stemmer dette med det du fant ut?

e Et spesialtilfelle har vi når sentralvinkelen er 180° Hvor stor er periferivinkelen da?

Oppgave 334 a Tegn to nabovinkler og bruk gradskive for å finne størrelsen på hver av vinklene. Hvor mange grader er de to vinklene til sammen?

b Tegn to linjer som skjærer hverandre. Marker på figuren din hvilke vinkler som er toppvinkler og dermed like store.

c Konstruer to parallelle linjer. Tegn en linje som skjærer de to parallelle linjene. Marker vinklene som er samsvarende vinkler.

3D Symmetri, formlikhet og kongruens Oppgave 335 a Tegn et koordinatsystem og merk av punktene A(1 , 1), B(5 , 1) og C(1 , 4).

b Speil trekanten ABC om y-aksen. c Speil den nye trekanten om x-aksen.

d Speil UABC om origo. Oppgave 336 Et hus er tegnet i en målestokk slik at 1 cm på tegningen tilsvarer 2 m i virkeligheten.

a På tegningen er målene på kjøkkenet 1,5 cm i bredden og 2,5 cm i lengden. Kjøkkenet har form som et rektangel. Hva er de virkelige målene på kjøkkenet?

362

Kapittel 3

• GEOMETRI

b Hvilken målestokk er huset tegnet i?

c Hva er arealet av kjøkkenet? Oppgave 337

utfordring

UABC er rettvinklet der A = 60°, AB = 10 cm og AC = 5 cm. UDEF er formlik med UABC og DF = 8 cm. Finn lengden av DE og EF.

Oppgave 338 a En dukke er dobbelt så høy i virkeligheten som på et bilde i en katalog. Hvilken målestokk har bildet?

b En bille er fire ganger så lang på bildet i naturfagboka som i virkeligheten. Hvilken målestokk har bildet?

Geometri i hverdag og kunst

Oppgave 339

En familie skal bygge hus. De har kjøpt en tomt som er 38 m lang og 34 m bred. Tomta er tilnærmet rektangulær. Huset skal ligge i det nordøstre hjørnet av tomta 6 m fra tomtegrensene. Huset skal være kvadratisk med grunnflate 121 m2.

Løs likningen for ‫ ׋‬ved å gjøre ferdig følgende regning: 1 O" 1 O

a Tegn tomta med huset på i måle-

O2 = O + 1 O2 – O = 1 2

stokken 1 : 200.

b Hvor mange mål er tomta på? c Hva er prisen på tomta dersom

utfordring

La an være fibonaccitall nummer n, slik at a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, ...

a Forklar hvorfor a7 = a6 + a5. b Forklar hvorfor

1 2

1 5 " 4 4

5 4

1 5 " 2 4

tomteprisen er 2 300 000 kr per mål?

Oppgave 340

utfordring

a7 1 = 1+ a . a6 6

a 1 c Forklar hvorfor 700 = 1 + a . a699 699

a698

1 5 " 2 4

Oppgave 342 a Tegn inn horisontlinja og forsvinningspunktene på eska.

b Eska har lengde 20 cm, bredde 15 cm og høyde 10 cm. Finn volumet.

d Anta at forholdet mellom hvert nytt fibonaccitall an og det forrige tallet nærmer seg et tall G når n blir større og større. Forklar hvorfor vi da må ha 1 O " 1 O

OPPGAVESAMLING

363

Blandede oppgaver Oppgave 343

a Finn arealet av rektanglet. b Finn arealet av trekanten. c Hva er arealet av trekanten sammenliknet med arealet av rektanglet? Oppgave 344

utfordring

På figuren ser du en liten del av skoleplassen på Berg skole som brukes til kjøkkenhage. Hver rute på tegningen er 1 m2.

a Hvilke geometriske figurer ser du på tegningen, og hva kjennetegner de ulike figurene?

b Finn arealet av kjøkkenhagen.

c Halvsirkelen skal bli et blomsterbed. Dere vil ha et gjerde rundt dette. Hvor langt blir gjerdet?

364

Kapittel 3

• GEOMETRI

60°

Oppgave 345

fra eksamen 2013

Tre like store kuler har alle radius r. En sylinder har samme radius r som kulene og høyde h. Sylinderen skal ha like stort volum som de tre kulene til sammen.

Formelen for volumet av en kule er 4 V " πr 3 . 3 Bruk formler og bestem høyden h i sylinderen uttrykt ved r.

r r

Oppgave 346 Regn ut lengden av den ukjente kateten. Alle mål er i centimeter.

5,81

4,98

Oppgave 347 20 m

En gårdsplass har form som vist på skissen.

a Gårdsplassen skal asfalteres med

10 m

et jevnt asfaltlag som er 5 cm tykt.

b Det skal settes opp et gjerde rundt gårdsplassen, men ikke langs AD der innkjøringen er. Hvor langt blir gjerdet?

5m A

OPPGAVESAMLING

365

Oppgave 348

fra eksamen 2009

Nedenfor ser du en lastebåt fra 1840: 2 fot

22 fot

1 fot = 0,305 m 7 fot

På tegningen har vi satt på målene mellom masta og baugen (spissen på båten) som er 7 fot og linen på 22 fot som er festet fra baugen til

masta. Legg merke til avstanden på 2 fot mellom der linen er festet, og toppen av masta. Hvor høy er masta, målt i meter?

Oppgave 349 Skissen viser en rettvinklet trekant ABC.

fra eksamen 2012 C

Vis ved regning at B | 60°. 7,0 m

366

Kapittel 3

• GEOMETRI

4,0 m

Oppgave 350

fra eksamen 2015

Platon forteller om filosofen Sokrates og Menons slave, som diskuterer hvordan de kan gjøre arealet av et kvadrat dobbelt så stort.

a Et kvadrat har side 1,0 cm. Dersom siden i kvadratet fordobles, hva skjer da med arealet? Forklar.

b Bruk figuren og vis at arealet av kvadratet A

BEFD er dobbelt så stort som arealet av kvadratet ABCD.

Oppgave 351

fra eksamen 2009

Bildet nedenfor til venstre viser et vindu i stortingsbygningen. Til høyre har vi laget en figur av øverste del av vinduet. Figuren består av • en stor halvsirkel med sentrum i B

• to like halvsirkler, den ene har sentrum i A • en sirkel med sentrum i C a Forklar at BC = 40 cm. b Forklar at AC = 50 cm. c Regn ut lengden CD. d Hvor store er vinklene i trekanten DEF? Begrunn svaret.

F 20 cm C

E 60 cm

OPPGAVESAMLING

367

Oppgave 352 a Hvor store er vinklene u og v på figuren? b Forklar hvordan du fant ut dette.

55° 45°

c Hvor stor er vinkelsummen i firkanten? d Forklar hvordan du fant ut dette.

45° v

70°

Oppgave 353

fra eksamen 2010

Tegn de symmetriaksene du finner i denne figuren.

Oppgave 354 Finn 10 logoer på Internett som du kjenner.

a Hvilke av logoene er symmetriske? Hvilke symmetrier finner du? Beskriv eventuelle symmetrilinjer og rotasjonsvinkler.

b Du skal designe din egen logo basert på symmetri. Lag en skisse av logoen og konstruer den.

c Tegn logoen i GeoGebra.

368

Kapittel 3

• GEOMETRI

Oppgave 355 a Hvilke av figurene A, B, C, D og E er formlike med den første figuren? b Hvorfor er figurene du svarte i oppgave a, formlike? c Er noen av figurene kongruente? d Hva betyr det at to figurer er kongruente?

C D

Oppgave 356 a Finn de ukjente vinklene i trekantene. b Finn de ukjente sidene i trekantene. Alle mål er i centimeter. F

30°

10,0 60°

60° 2,8

8,2

3,1 30° D

OPPGAVESAMLING

369

Oppgave 357

utfordring

CD er parallell med AB i avstand 6,0. D

a Hva kalles en firkant av denne typen, og hva kjennetegner en slik firkant?

7,0

b BD = 8,0. Regn ut lengden av BE og DE.

c Regn ut arealet. A

10,0

Oppgave 358

digital

a Tegn to figurer slik som vist på figuren under. Du kan tenke på figurene som mønster til en håndveske. 1 Tegne femkant: Bruk verktøyet Regular mangekant. 2 Tegne halvsirkel: Bruk verktøyet Halvsirkel mellom to punkt. 3 Midtpunktet på en av sidene i femkanten: Bruk verktøyet Midtpunkt eller sentrum. 4 Høyden i femkanten: Bruk verktøyet Linjestykke mellom to punkter.

370

Kapittel 3

• GEOMETRI

b Forklar hvorfor de to figurene er

d Regn ut forholdet mellom høyden

formlike.

og en side i hver av femkantene.

c I algebrafeltet ser du lengden av

e Endre størrelsen på en eller

sidene i femkantene og lengden av halvsirklene. Regn ut forholdet mellom lengden av samsvarende sider og mellom lengden av halvsirklene.

begge figurene. Hva skjer med forholdene?

f Legg til flere avstander og regn ut forhold.

Oppgave 359 Avstanden fra A til B er 500 m.

a Finn målestokken på kartet. b Du planlegger å padle rundt Olderøya og Kalvøya. Finn ut omtrent hvor lang padleturen blir.

Kalvøya

A Burøya

røysu nd et

Olderøya

Sauholmen

Talerøya

OPPGAVESAMLING

371

Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet Mål: Du skal kunne lese og tolke tabeller og diagrammer, og kunne bruke dem til å framstille data på en hensiktsmessig måte. Du skal kunne beregne sentralmål og spredningsmål, og forklare hva disse målene forteller om dataene. Du skal kunne ﬁnne antall kombinasjonsmuligheter i noen kjente situasjoner. Du skal kunne ﬁnne sannsynligheter i tilknytning til praktiske situasjoner.

4A STATISTIKK Etter dette delkapitlet skal du kunne • vite hva et sentralmål er, og ﬁnne gjennomsnitt, median og typetall. • vite hva et spredningsmål er, og beregne variasjonsbredde. • lese og framstille data i frekvenstabell og i ulike typer diagrammer som søylediagram, linjediagram, sektordiagram og histogram.

BEGREPER frekvens relativ frekvens søylediagram sektordiagram klassedelt tallmateriale histogram linjediagram sentralmål

I mange sammenhenger samler vi inn data for å få kunnskap om et tema. Vi måler eller teller for eksempel hvor mange trafikkulykker det er på en veistrekning, hvor mye CO2 det er i atmosfæren på ulike tidspunkter, vekten og lengden av fisk i en fangst, eller hvilke karakterer elever har fått på en prøve. Andre ganger samler vi data fra spørreundersøkelser. Kanskje du selv har deltatt i Elevundersøkelsen? Dataene som er samlet inn, må presenteres i en form som gir mening. Vi skal nå se på hvordan vi kan presentere dataene våre i tabeller og diagrammer. Dessuten skal vi se på hvordan vi kan gjøre beregninger som viser hva som er typisk for dataene vi har, og hvor stor spredning det er i dataene. Regneark er ofte et nyttig hjelpemiddel når vi skal presentere informasjonen. På elevenes nettsted finner du regnearkopplæring som dekker de behovene du har i dette kapitlet.

374

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

typetall gjennomsnitt median spredningsmål variasjonsbredde database

FREKVENSTABELL Oppgave 4.1 Under ser du karakterene på en halvårsprøve i matematikk på 10. trinn ved en skole. 4

a Kopier tabellen nedenfor i boka di og fyll ut tellekolonnen samt kolonnene med frekvens og relativ frekvens i prosent for de ulike karakterene. KARAKTER

TELLEKOLONNE

FREKVENS

R E L AT I V F R E K V E N S

2 ≈ 0,07 = 7 % 30

2 3 4 5 6 Sum

b Ta utgangspunkt i frekvensene og lag et søylediagram som illustrerer karakterfordelingen.

•

STATISTIKK

375

Vi bruker søylediagram når vi skal illustrere data i forskjellige kategorier. Vi kan tilpasse andreaksen ut fra hva vi vil framheve i datamaterialet vårt. Vi kan også slå sammen kategorier for å få fram det vi mener er viktig. Fugletelling 14 12 Antall fugler

10 8 6 4 2 0

Dompap

Blåmeis

Gulspurv

Kjøttmeis

Skjære

Hvor mange stemmer ﬁkk elevene? Ole 7 Thomas 5 Jacob 5

Henriette 10

Når vi skal vise hvor stor del ulike kategorier utgjør av en helhet, bruker vi ofte sektordiagram.

Siri 8 Marte 15

Oppgave 4.2

digital

a Bruk regneark til å lage en oversikt over frekvens og relativ frekvens for karakterene i oppgave 4.1.

b Lag et søylediagram i regnearket for å illustrere frekvensene.

c Hvis du skal fortelle noen om hvordan elevene på dette trinnet har gjort det på matematikkprøven, vil du bruke diagrammet eller tabellen? Hva er fordelen med tabellen? Hva er fordelen med diagrammet?

376

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.3

digital

I et nabolag er de plaget med en del tungtrafikk som tar en snarvei gjennom et boligområde. Velforeningen bestemmer seg for å gjennomføre trafikktelling en onsdag. Gunnhild skal stå for tellingen én time. Hver gang et kjøretøy passerer, noterer hun hvilken type det er. Lastebil

Motorsykkel

Personbil

Traktor

Motorsykkel

Lastebil

Personbil

Traktor

Personbil

Lastebil

Personbil

Lastebil

Motorsykkel

a Bruk regneark og lag en tabell som viser frekvens og relativ frekvens for de ulike kjøretøytypene som passerte denne timen. Du kan bruke funksjonen ANTALL.HVIS() til å telle opp frekvensene. Denne funksjonen teller bare verdier som oppfyller en betingelse. Her er betingelsen at verdien er en bestemt type kjøretøy. Cellen der den kategorien vi teller ligger

Området der observasjonene ligger

b Framstill frekvensene i et sektordiagram. c Hvis du skal presentere resultatet av trafikktellingen, hva er fordelen med å bruke diagrammet?

d Hva er fordelen med å bruke tabellen?

•

STATISTIKK

377

KLASSEDELT MATERIALE Noen ganger er omtrent alle verdiene vi måler, forskjellige, slik at det gir liten mening å telle frekvensen for hver av verdiene. Da kan vi gruppere verdiene i klasser, og deretter telle opp hvor mange verdier vi har i hver klasse. Vi sier at vi har laget et klassedelt tallmateriale. Når vi har funnet hvor mange målinger vi har i hver klasse, kan vi lage frekvenstabell.

eksempel 1 å dele tallmateriale i klasser I en elevgruppe på 10. trinn har alle elevene målt høyden sin. Vi skal lage frekvenstabell for å presentere hvor høye elevene i denne gruppa er. Løsning Vi må først bestemme hvordan klassene vi skal dele høydene i, skal være. Vi ser at minste høyde er 154 cm, og største høyde er 178 cm. Det er ofte lurt å velge en klassebredde som gjør at vi får mellom 5 og 10 klasser. Her velger vi klassebredde på 5 cm. Vi lar første klasse være fra og med 150 cm til og med 154 cm. Neste klasse starter da på 155 cm og går til og med 159 cm. Vi fortsetter slik, og den siste klassen blir da fra og med 175 cm til og med 179 cm. Vi teller hvor mange høydemålinger vi har i hver av klassene.

378

Kapittel 4

ELEV

Tora Live Tuva Olav Christel Nils Ove Gaute Robert Silje Jone Håkon Vemund Simon Mathilde Solveig Sajaki Vilde Isak Elvira

HØYDE

161 160 166 167 158 162 168 156 158 171 163 169 178 163 154 167 156 176 163

A N TA L L HØYDE

ELEVER

150 cm – 154 cm 155 cm – 159 cm 160 cm – 164 cm 165 cm – 169 cm 170 cm – 174 cm 175 cm – 179 cm Sum

1 4 6 5 1 2 19

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.4 Helge selger juletrær på torget de to siste ukene før jul. Prisen på et juletre avhenger av høyden. En dag selger Helge juletrær med disse høydene målt i cm: 302 223 356

285 180 201

190 155 243

225 187 210

256 268 207

224 218 202

190 210 216

192 214 220

204 234

Lag en frekvenstabell som viser fordelingen av høydene på juletrærne Helge solgte denne dagen. Bruk klasser med bredde på 50 cm.

HISTOGRAM Vi bruker ofte en type diagram som likner et søylediagram når vi skal vise klassedelt datamateriale. Vi tegner søylene helt inntil hverandre for å markere at tallene vi har målt, kan være alle verdier som fins på førsteaksen. Arealet av søylene er et visuelt uttrykk for hvor mange målinger vi har i klassen. Vi kaller et slikt diagram et histogram. I de histogrammene du skal arbeide med i dette kapitlet, skal alltid bredden være den samme for alle klassene. (Det er mulig å ha ulike bredder på klassene, men da må søylenes høyde beregnes.) Elevers høyde 7 Antall elever

6 5 4 3 2 1 0

150

155

160

165 Høyde

170

175

•

180

STATISTIKK

379

Oppgave 4.5

digital

Bruk regneark og lag et histogram som illustrerer frekvensene som er vist i eksempel 1. Tips: Velg søylediagram og formater søylene med 0 % mellomromsbredde.

Oppgave 4.6

digital

Bruk regneark og lag et diagram som illustrerer frekvensene for juletrehøydene som du kom fram til i oppgave 4.4.

Når vi har mange målte verdier og svært få er like, kan vi gruppere dataene i klasser og lage frekvenstabell som viser hvor mange som er i hver klasse. Vi sier at vi har klassedelt datamateriale. Vi kan framstille klassedelt datamateriale i et histogram.

380

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

GRAFISK FRAMSTILLING Du har tidligere jobbet med å framstille data i forskjellige typer diagrammer. Hvilken diagramtype du bør velge, avhenger av hvilken type data du har, og hvilken informasjon du vil formidle med diagrammet. Når vi vil framstille hvordan noe utvikler seg over tid, bruker vi ofte linjediagram. Ved å tilpasse aksene i diagrammet kan vi ofte velge hva vi vil at den som leser diagrammet, skal legge merke til. 140 Hjertefrekvens

120 100 80 60 40 20 5

20 25 30 Minutter

Oppgave 4.7 Velforeningen har gjort trafikktelling i et boligstrøk hver dag i en uke, og antall lastebiler som passerer, er slik:

Framstill dataene fra trafikktellingen i et linjediagram.

samarbeid mandag tirsdag onsdag torsdag fredag lørdag søndag

21 15 19 24 31 5 2

•

STATISTIKK

381

eksempel 2 linjediagram

Tabellen viser antall elg som ble felt under elgjakta i Melhus kommune. Hvordan kan vi utforme diagrammet hvis vi vil vise at antallet har økt mye i løpet av disse årene? Løsning Siden intervallene mellom årene ikke er like, bruker vi et punktdiagram med linjer mellom punktene når vi lager diagrammet i regneark. Vi har tre virkemidler vi kan bruke: – Vi kan legge årstallene på førsteaksen nær hverandre slik at kurven blir bratt. – Vi kan la avstanden mellom tallene på andreaksen være lang. – Vi kan la andreaksen starte på et tall nær det laveste tallet vi har i tabellen. Hvis vi vil poengtere at det ikke har vært noen stor endring i denne perioden, gjør vi motsatt: Vi starter andreaksen på null, lar avstanden mellom enhetene på andreaksen være liten, og vi har stor avstand mellom enhetene på førsteaksen.

382

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.8

samarbeid

Dette bildet ble brukt på nrk.no til å illustrere en artikkel om hvordan antall drepte og hardt skadde i trafikken har vært fra 2000 til 2014, og til å vise en prognose for hvordan vi ønsker at antall drepte og hardt skadde i trafikken skal synke de neste 10 årene.

a Hva er gjort for å vise at 500 drepte og hardt skadde er få? b Hvordan kan du endre grafen for å poengtere at 500 drepte og hardt skadde i trafikken er mange?

c Med hvor mange prosent har antall drepte og hardt skadde i trafikken gått ned fra 2000 til 2014?

d Se bare på grafen og ikke på tallene. Hvor stor prosentvis nedgang i drepte og hardt skadde vil du anslå at det var i perioden fra 2000 til 2014?

Oppgave 4.9 MÅNED

STRØMFORBRUK

jan. feb. mars april mai juni juli aug. sept. okt. nov. des. 2023 1945 1654 1235 1134 890 784 874 1367 1698 1789 2145

( kWh )

Tabellen viser strømforbruket til en familie gjennom et år.

a Framstill dataene i et linjediagram. b Hvordan kan du utforme diagrammet hvis du vil framheve at strømforbruket er mye større om vinteren enn om sommeren? Lag et slikt diagram.

•

STATISTIKK

383

Oppgave 4.10

samarbeid

I en spørreundersøkelse blir noen ungdommer bedt om å krysse av for den type brus de liker best. Frekvenstabellen viser resultatet av undersøkelsen.

A N TA L L / FREKVENS

BRUSTYPE

Coca-Cola Coca-Cola Zero Ananasbrus Solo Sprite

31 26 54 32 22

a Lag et søylediagram der du ønsker å vise at veldig mange foretrekker Ananasbrus.

b Dersom du ønsker å vise at det egentlig ikke er så mange som foretrekker Ananasbrus, kan du slå sammen antallet som liker noe annet enn Ananasbrus best. Lag et søylediagram med de sammenslåtte dataene.

Oppgave 4.11

digital

samarbeid

a Framstill dataene fra spørreundersøkelsen i oppgave 4.10 i et sektordiagram.

b Sammenlikn sektordiagrammet med søylediagrammet dere laget i oppgave 4.10. Hvilket diagram synes dere egner seg best hvis dere skal fortelle at veldig mange liker Ananasbrus? Begrunn svaret dere kommer fram til.

Oppgave 4.12 Elevene på 10. trinn har talt opp antall førsteønsker når det gjelder utdanningsprogram på videregående skole.

a Kopier tabellen og fullfør kolonnene med relativ frekvens og relativ frekvens · 360°. A N TA L L

R E L AT I V FREKVENS

Studiespesialisering

0,42

Medier og kommunikasjon

UTDANNINGSPROGRAM

384

Restaurant- og matfag

Elektro

Service og samferdsel

Sum

Kapittel 4

R E L AT I V FREKVENS

· 360°

150°

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

b Tallene i kolonnen relativ frekvens ∙ 360° skal vi bruke til å tegne sektordiagram. Tallet forteller hvor stor sirkelsektor hvert utdanningsprogram får. Bruk gradskive og tegn sektordiagrammet.

Oppgave 4.13

samarbeid

digital

Vi ser på tallene for valg av utdanningsprogram igjen. Denne gangen er det delt opp i valgene gutter og jenter har gjort. UTDANNINGSPROGRAM

Studiespesialisering

JENTER

GUTTER

Medier og kommunikasjon

Restaurant- og matfag

Elektrofag

Service og samferdsel

a Skriv inn dataene i et regneark, og lag et søylediagram der data for både jenter og gutter vises i det samme diagrammet. Velg en av disse to diagramtypene:

•

STATISTIKK

385

b Dersom hovedfokuset er å se på forskjeller mellom jenter og gutter, hvilken av diagramtypene vil dere velge? Begrunn valget dere gjør.

c Dersom hovedfokuset er å se på interessen for de ulike utdanningsprogrammene, hvilken diagramtype vil dere velge? Begrunn valget dere gjør.

d Gjør en spørreundersøkelse på trinnet deres om hvilket utdannningsprogram elevene kan tenke seg å ha som førstevalg. Lag et tilsvarende diagram. Dere finner alle utdanningsprogrammene dere har å velge mellom på udir.no.

SENTRALMÅL OG SPREDNINGSMÅL Et sentralmål er et tall som sier noe om hva som er typisk for et tallmateriale. Vi skal her se på tre ulike sentralmål: typetall, gjennomsnitt og median.

Typetallet er den observasjonsverdien det er ﬂest av. Vi bruker typetallet når vi kan stille spørsmålet: Hva er det ﬂest av?

Oppgave 4.14 Tabellen viser karakterfordelingen på en matematikkprøve på 10. trinn. KARAKTER

A N TA L L

Hva er typetallet i karakterene elevene fikk?

386

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Gjennomsnittsverdien ﬁnner vi ved å addere alle verdiene og deretter dividere på antall verdier. Medianen er det midterste tallet når alle verdiene er ordnet i stigende rekkefølge. Dersom det er to tall i midten, er medianen gjennomsnittet av disse to tallene.

Oppgave 4.15 6

a Finn gjennomsnittet av tallene. b Finn medianen. Oppgave 4.16 5

–2

–5

2,5

5,5

–1

a Finn gjennomsnittet av tallene. b Finn medianen.

•

STATISTIKK

387

Oppgave 4.17

fra eksamen 2013

På en matematikkprøve fikk 10 elever disse karakterene: KARAKTER FREKVENS

( A N TA L L )

a Finn summen av karakterene for de 10 elevene. b Finn gjennomsnittskarakteren for de 10 elevene. Oppgave 4.18 a Gjennomsnittet av fem tall er 8. Fire av tallene er 4, 6, 12, 15. Hva er det femte tallet?

b Gjennomsnittet av fem tall er 8. Medianen er 9. Tre av tallene er 2, 9 og 10. Hva kan det fjerde og det femte tallet være?

Spredningsmål forteller oss om det er stor eller liten spredning i dataene våre. Variasjonsbredden er et spredningsmål. Det er forskjellen mellom største og minste verdi.

Oppgave 4.19 I oppgave 4.4 så vi på salg av juletrær. Høyden av trærne Helge solgte en dag, målt i cm, var 302 223 356

285 180 201

190 155 243

225 187 210

256 268 207

224 218 202

190 210 216

192 214 220

204 234

a Finn gjennomsnittshøyden og medianhøyden. b Finn variasjonsbredden.

388

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

eksempel 3 å finne sentralmål og spredningsmål i regneark

Oppgave 4.20

digital

Her ser du en oversikt over antall kjøretøy som var med ferga på noen av turene mellom Oanes og Lauvik en lørdag. 5

Bruk regneark og finn gjennomsnitt, median og variasjonsbredde.

•

STATISTIKK

389

Oppgave 4.21

digital

Regnearket viser en oversikt over resultatene på tentamen i matematikk på en skole.

a Du skal ut fra frekvenstabellen finne gjennomsnittskarakteren. Skriv eksemplet inn i regneark. Kopier formelen i C2 nedover, og summer alle tallene i C-kolonnen. I C10 skriver du = C8/B8.

b Forklar hvorfor formelen i C10 gir oss gjennomsnittsverdien av alle karakterene.

Oppgave 4.22

samarbeid

digital

Her er høydene på Helges juletrær: 302 223 356

390

285 180 201

Kapittel 4

190 155 243

225 187 210

256 268 207

224 218 202

190 210 216

192 214 220

204 234

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

a Finn gjennomsnittet og medianen med regneark. b Dere skal studere egenskaper ved gjennomsnittet og medianen. La det største juletreet bli veldig høyt, for eksempel 500 cm. Hva skjer med gjennomsnittet og medianen? Forklar hvorfor det blir slik.

c La det minste treet bli veldig lite, for eksempel 50 cm. Hva skjer med gjennomsnittet? Hva skjer med medianen? Forklar hvorfor det blir slik.

d Det er nok vanligst å bruke gjennomsnitt som sentralmål. I hvilke situasjoner tror dere at medianen er et bedre mål på hva som er typisk i tallmaterialet? Gi gjerne konkrete eksempler.

DATABASER I mange sammenhenger har vi behov for å lagre store mengder data. Da må de lagres slik at vi kan søke og finne det vi leter etter. Et datasystem som kan lagre data på en strukturert måte, kaller vi en database. Mange slike databaser er tilgjengelige for søk på Internett. Eksempler er Statistisk sentralbyrås statistikkdatabase ssb.no og globalis.no med data om verdens land. Det fins databaser med data om mange ulike temaer, for eksempel miljø og idrettsresultater. I noen av databasene er det mulig å laste ned søkeresultatet som et regneark.

•

STATISTIKK

391

Oppgave 4.23

samarbeid

a Arbeid sammen i grupper på tre eller fire. Søk i navnestatistikken på ssb.no og finn ut hvor mange i Norge som har samme fornavn som dere.

b Presenter resultatet av søkene på navnene deres i et felles søylediagram.

Oppgave 4.24

samarbeid

Norsk kulturbarometer finner vi i statistikkbanken på ssb.no

a Gjør valgene som er vist i figuren, og vis tabellen som søket resulterer i.

b Last ned resultatet som et regneark. c Lag en presentasjon for klassen der dere bruker resultatene fra søket til å informere klassen om nordmenns besøk på idrettsarrangement. Lag gjerne en presentasjon med PowerPoint eller Prezi. Bruk både tabeller og diagrammer i presentasjonen.

392

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

HVA KAN DU NÅ om statistikk? 1

Tabellen viser alderen til kandidatene på Arbeiderpartiets liste ved kommunevalget i Molde: 61 43 64 55

46 47 58 32

67 69 60 44

44 42 51 76

46 42 37 47

39 28 44 69

60 70 34

60 37 61

32 76 45

18 71 70

a Fyll ut tabellen: ALDERSGRUPPE

FREKVENS

R E L AT I V F R E K V E N S

10–19 år 20–29 år 30–39 år 40–49 år 50–59 år 60–69 år 70–79 år

b Framstill aldersfordelingen i et sektordiagram. c Bruk regneark til å regne ut de relative frekvensene. 2

Hvor stort areal er dekket av skog? A R E A L D E K K E T AV S K O G I M I L L I O N E R H E K TA R REGION

Afrika Asia Europa Nord- og SentralAmerika Oceania Sør-Amerika

1990 749 576 989 708

2000 709 570 998 705

2010 674 593 1005 705

199 946

198 904

191 864

Du skal lage et diagram som viser hvor stor del av jorda som er dekket av skog. Du vil legge vekt på at den delen av jorda som er dekket av skog, har minket. Du skal bruke tall fra tabellen som datagrunnlag.

HVA KAN DU NÅ ?

393

Tabellen viser antall passasjerer på en bussrute hver dag en periode. 48

a Finn gjennomsnitt, median og typetall. Hvilket av sentralmålene synes du best beskriver hva som er typisk antall passasjerer?

b Finn variasjonsbredden. c Bruk regneark og finn gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde.

4 Martin er en ivrig fisker, og en sommer bestemte han seg for å måle lengden av alle fiskene han fisket. Her er resultatet: Finn gjennomsnittslengden av fiskene Martin fisket denne sommeren.

394

Kapittel 4

LENGDE,

A N TA L L F I S K

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

4B KOMBINATORIKK BEGREPER kombinatorikk valgtre multiplikasjonsprinsippet ordnet utvalg

Etter dette delkapitlet skal du kunne • bruke kombinatorikk til å ﬁnne antall kombinasjonsmuligheter i en del situasjoner, blant annet antrekkssituasjoner, køsituasjoner, medaljesituasjoner og komitésituasjoner

med tilbakelegging fakultet uten tilbakelegging uordnet utvalg

Når vi går fram på en systematisk måte for å finne hvor mange kombinasjonsmuligheter vi har, sier vi at vi bruker kombinatorikk. Kombinatorikk er nyttig når vi skal finne sannsynligheter. Vi skal nå se nærmere på hvordan vi kan gjenkjenne antrekkssituasjonen, køsituasjonen, medaljesituasjonen og komitésituasjonen. De tre første situasjonene ble presentert i Nummer 9. I oppgave 4.25 og i de etterfølgende eksemplene, får du repetert disse situasjonene.

•

KOMBINATORIKK

395

Oppgave 4.25

samarbeid

a På en restaurant har de 2 ulike forretter, 3 hovedretter og 2 desserter. Hvor mange ulike menyer kan du sette sammen på denne restauranten?

b På en tippekupong kan du tippe hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). Det er i alt 12 kamper. Ett kryss på hver av kampene regnes som en tipperekke. Hvor mange ulike tipperekker er det mulig å lage?

c På hvor mange forskjellige måter kan 4 personer stille seg i kø?

d En klasse med 20 elever skal velge et stafettlag som består av 4 elever. Ett stafettlag er bestemt når personene som skal være med på laget er plukket ut, og det er bestemt hvilken etappe hver av dem skal ha. For eksempel er Allan (1), Kari (2), Liv (3) og Ole (4) ett stafettlag, mens Kari (1), Liv (2), Allan (3) og Ole (4) er et annet. På hvor mange måter kan stafettlaget settes sammen?

Vi skal nå ta for oss oppgave 4.25 og se på hva som er karakteristisk for antrekkssituasjonen, køsituasjonen og medaljesituasjonen.

396

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

ANTREKKSSITUASJONEN eksempel 4 antrekkssituasjonen Situasjonen i oppgave 4.25 a er et eksempel på det vi kaller en antrekkssituasjon. Vi kan bruke valgtre for å finne antall kombinasjoner av rettene. Rød: Forrett Brun: Hovedrett Fiolett: Dessert

Antall forskjellige menyer finner vi som antall endepunkter på greinene i valgtreet. Her kan vi telle 12 greiner. Vi kan regne ut antall kombinasjoner ved å multiplisere: 2 · 3 · 2 = 12. Vi kaller dette multiplikasjonsprinsippet.

I antrekkssituasjoner ﬁnner vi antall kombinasjoner ved å multiplisere antall muligheter vi har å velge blant i hvert trinn. Det totale antall kombinasjonsmuligheter blir produktet av antall muligheter ved hvert valg. Vi kaller dette multiplikasjonsprinsippet.

Oppgave 4.26 Hvor mange antrekk kan du variere blant om du har tre bukser, fire gensere og to par sko?

•

KOMBINATORIKK

397

eksempel 5 å gjenta samme eksperiment mange ganger På en tippekupong kan du tippe hjemmeseier, uavgjort eller borteseier. Det er i alt 12 kamper. Hvor mange ulike tipperekker er det mulig å lage? Dette var spørsmålet i oppgave 4.25 b. Løsning For hver gang du tipper, krysser du av på hjemmeseier, uavgjort eller borteseier. Det betyr at vi har de samme tre valgmulighetene hver gang. Vi sier at vi har en situasjon der vi trekker med tilbakelegging. Vi tipper 12 rekker. Det gir 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 312 = 531 441. Det er mulig å lage 531 441 ulike tipperekker.

I situasjoner der vi trekker med tilbakelegging og rekkefølgen på elementene vi har trukket spiller en rolle, har vi et ordnet utvalg med tilbakelegging. Hvis vi foretar r trekninger blant n elementer er antall kombinasjonsmuligheter nr.

Oppgave 4.27 Trine har kodelås. Låsen har fire hjul med sifre fra 0 til 9, og alle fire må stemme for at låsen skal åpnes. Hvor mange ulike koder har Trine å velge blant når hun skal velge kode til låsen sin?

Oppgave 4.28 En klasse skal ha en liten prøve med flervalgsspørsmål. Det er fem spørsmål på prøven og tre svaralternativ på hvert spørsmål. Hvor mange kombinasjoner av svar fins det?

398

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.29 Vi har 12 kuler i en skål. Kulene er nummererte fra 1 til 12. Vi trekker en kule. Når vi har trukket noterer vi tallet, legger kula tilbake igjen og trekker på nytt, slik at det blir tolv muligheter i neste trekning også. Vi trekker 6 ganger. Hvor mange kombinasjoner av de 12 tallene fins det dersom rekkefølgen tallene trekkes i, har betydning?

Oppgave 4.30 Et flyselskap har flightnummer på alle de ulike rutene. For eksempel har en av flyrutene som går fra Oslo til Tromsø, flightnummer SK4438. SAS bruker SK og fire sifre i sine flightnumre (noen av numrene har bare tre sifre, men vi kan da tenke oss at første siffer er 0). Hvor mange ulike flightnumre kan SAS lage hvis vi aksepterer å ha 0 på en hvilken som helst av de 4 plassene?

KØSITUASJONEN eksempel 6 køsituasjonen I oppgave 4.25 c skal fire personer stille seg i kø. På hvor mange måter kan de gjøre det? Løsning Hvis vi starter fremst i køen, er det 4 muligheter når første person skal plasseres. Neste person har 3 muligheter. Når to har stilt seg opp, har nummer 3 bare to muligheter, og nummer 4 har bare én mulighet. Antall muligheter blir da 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Dette uttrykket kaller vi fire fakultet og skriver 4! Oppgaver av denne typen kaller vi «køproblemer». Det er situasjoner der alle elementene skal trekkes ut og rekkefølgen betyr noe. Vi sier vi har et ordnet utvalg. Hvert element kan opptre bare en gang, vi trekker uten tilbakelegging.

•

KOMBINATORIKK

399

I situasjoner der n elementer skal stilles opp etter hverandre, ﬁnner vi antall måter de kan ordnes på slik: n · (n – 1) · ... · 2 · 1 = n! Vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging.

Oppgave 4.31 34 671 er et femsifret tall der alle sifrene er forskjellige. Hvor mange femsifrede tall kan du lage av sifrene 3, 6, 7, 1, 5 når alle sifrene skal være forskjellige?

Oppgave 4.32 a I en karavane er det 6 kameler som går etter hverandre i en rekke. I hvor mange ulike rekkefølger kan kamelene gå i karavanen?

b Det viser seg at karavanen holder jevnest fart hvis den hvite kamelen går først. Hvor mange ulike rekkefølger kan kamelene gå i dersom den hvite kamelen skal være først?

400

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

MEDALJESITUASJONEN eksempel 7 medaljesituasjonen I oppgave 4.25 d skal det settes opp et stafettlag som består av fire personer. Stafettlaget skal velges fra en klasse med 20 elever. Løsning Vi kan si at vi skal gjøre et utvalg på 4 av 20 elever. Når vi skal velge første person, har vi 20 muligheter. Denne personen er da valgt til første etappe og kan ikke velges på nytt. Vi sier at vi har en trekning uten tilbakelegging. Når vi trekker en person til andre etappe, har vi bare nitten personer å velge blant. Ved trekking til tredje etappe har vi atten muligheter og ved trekking av siste og fjerde etappe har vi sytten muligheter. Vi regner ut antall mulige kombinasjoner ved å multiplisere 20 · 19 · 18 · 17 = 116 280.

Digitale verktøy har ofte en spesiell funksjon til å regne ut antall ordnede kombinasjoner. Den heter nPr, og du finner den på mange kalkulatorer og i GeoGebra CAS. Situasjoner som den som beskrives i denne oppgaven, kaller vi ofte for «medaljesituasjoner». Det er situasjoner der rekkefølgen betyr noe, og der hvert element kan opptre bare en gang. Vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Men i motsetning til i køsituasjoner så skal ikke alle personene velges.

I medaljesituasjoner har vi en færre å velge blant for hver gang vi skal velge, og rekkefølgen elementene velges i, betyr noe. Vi sier vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Vi ﬁnner antall mulige kombinasjoner ved å multiplisere antall vi har å velge blant, hver gang vi skal trekke.

•

KOMBINATORIKK

401

Oppgave 4.33 Vi har 15 kuler i biljard. Kulene er nummererte fra 1 til 15. Vi trekker en kule. Når vi har trukket, noterer vi tallet, legger kula til side og trekker på nytt, slik at det blir 14 muligheter i neste trekning. Vi trekker 6 ganger. Hvor mange kombinasjoner av de 15 tallene fins det dersom rekkefølgen tallene trekkes i, spiller en rolle?

Oppgave 4.34 Tre venner skal på kino. Når de kjøper billetter, er det 16 ledige seter. På hvor mange måter kan de velge seter dersom det ikke betyr noe om de sitter sammen?

Oppgave 4.35 Hvor mange firesifrede tall kan du lage av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 når alle de fire sifrene skal være forskjellige?

KOMITÉSITUASJONEN I oppgave 4.36 blir dere introdusert for det vi skal kalle en komitésituasjon. Diskuter oppgaven og prøv dere fram før dere ser på eksempel 8.

Oppgave 4.36

samarbeid

Fra en klasse med 20 elever skal det velges en festkomité på 4 elever. På hvor mange måter kan det gjøres? Blir det flere eller færre muligheter enn om vi skulle lage et stafettlag?

402

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

eksempel 8 komitésituasjonen Det skal velges 4 elever til en festkomité fra en klasse med 20 elever. På hvor mange måter kan det gjøres? Løsning Denne oppgaven er på mange måter lik eksempel 7, der vi også skulle trekke 4 elever fra en klasse på 20 elever. Når vi har trukket en person, kan han eller hun ikke trekkes en gang til. Vi har en situasjon uten tilbakelegging. I oppgaven med stafettlag spiller det en rolle hvem som løper første etappe og hvem som løper siste etappe. I festkomitéen er alle medlemmene likeverdige, rekkefølgen spiller ikke noen rolle. Vi har et uordnet utvalg. 1: Vi starter med det vi kan, det vil si at vi regner som om rekkefølgen betyr noe. Vi finner da antall mulige kombinasjoner ved å multiplisere 20 · 19 · 18 · 17 = 116 280. 2: Siden vi har et uordnet utvalg, må vi korrigere for at rekkefølgen av de fire elevene som ble trukket ut, ikke spiller noen rolle. Vi har fått altfor mange utvalg. Vi kan tenke oss at de som er valgt ut, er Ane, Bernt, Cato og Daniel. Vi forkorter navnene til A, B, C og D. Av de 116 280 ordnede utvalgene består 24 utvalg av disse fire personene. ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB

BACD BADC BCDA BCAD BDAC BDCA

CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA

DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

Antall mulige kombinasjoner av disse fire kan vi også finne som 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Slik vil det være for alle mulige uordnede utvalg på 4 personer. Vi har 24 ordnede utvalg som inneholder de samme personene. Vi må derfor dividere 116 280 på 24. Vi har et uordnet utvalg uten tilbakelegging og kan finne antall mulige kombinasjoner slik:

20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 = 4845 4 ⋅3⋅2 ⋅1

•

KOMBINATORIKK

403

Digitale verktøy har ofte en spesiell funksjon til å regne ut antall uordnede kombinasjoner. Den heter nCr, og du finner den på mange kalkulatorer og i GeoGebra CAS. Situasjoner som den vi har i eksempel 8, kaller vi ofte for «komitésituasjoner». Det er situasjoner der rekkefølgen ikke betyr noe og hvert element kan opptre bare en gang. Vi har et uordnet utvalg uten tilbakelegging. I komitésituasjoner har vi uordnet utvalg uten tilbakelegging. Vi har én færre å velge blant for hver gang vi skal velge. Vi starter med å finne antall ordnede kombinasjoner. Det gjør vi ved å multiplisere antallet vi har å velge fra hver gang vi skal trekke. I og med at utvalget er uordnet, må vi dividere med antall kombinasjoner av de som er valgt til komitéen.

Antall uordnede utvalg av k gjenstander som velges fra n gjenstander uten tilbakelegging, er gitt ved antall ordnede utvalg av k gjenstander fra n uten tilbakelegging antall rekkefølger som k gjenstander kan settes opp i

Oppgave 4.37 På et bord ligger det 15 ulike bøker. Du skal velge tre av bøkene. På hvor mange måter kan du velge tre av disse bøkene når rekkefølgen ikke spiller noen rolle?

Oppgave 4.38 I en skål ligger det 8 forskjellige twist-sjokolader. Du skal velge 4 av sjokoladene. På hvor mange måter kan du gjøre det? Rekkefølgen spiller ingen rolle.

404

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.39 a I en gruppe er det 6 elever. Fra denne gruppa skal det velges 2 elever. På hvor mange måter kan det gjøres?

b På hvor mange måter kan du velge 4 elever fra den samme gruppa? Sammenlikn med svaret du fikk i oppgave a. Hva fant du?

Oppgave 4.40

samarbeid

utfordring

I oppgave 4.39 så du at det er like mange måter å trekke 2 av 6 som det er å trekke 4 av 6. Forklar hvorfor det blir slik.

Oppgave 4.41 a Du skal trekke 3 personer ut fra en gruppe på 7. På hvor mange måter kan du gjøre det hvis rekkefølgen ikke spiller noen rolle?

b På hvor mange måter kan du trekke 4 personer ut fra en gruppe på 7?

Oppgave 4.42

samarbeid

a En time starter med at elevene deles inn i grupper på 4, og deretter håndhilser elevene som er på samme gruppe, på hverandre. Hver elev håndhilser én gang på hver av de tre andre elevene Hvor mange håndtrykk blir det til sammen?

b Hvor mange håndtrykk blir det hvis 20 elever hilser på hverandre?

c Hvor mange håndtrykk blir det hvis 100 elever hilser på hverandre?

•

KOMBINATORIKK

405

eksempel 9 håndhilsing I oppgave 4.42 skal elevene inndeles i grupper på 4 og deretter håndhilse på hverandre. Hvor mange håndtrykk blir da utvekslet? Hva hvis 20 elever hilser på hverandre? Enn 100? Løsning Her kan vi tenke på mange forskjellige måter. Vi kan tenke slik: Den første personen hilser på 3 stykker. Da har denne personen hilst på alle sammen. Neste person har hilst på den første, så hun har to personer til å hilse på. Den nest siste personen har allerede hilst på to, så da gjenstår det å hilse på den siste. Den siste personen har nå hilst på alle sammen. Dette gir svaret 3 + 2 + 1 = 6. Dersom 20 skulle hilse på hverandre, skulle det gi svaret 19 + 18 + ... + 3 + 2 + 1. Vi ser at dette kan bli komplisert å regne ut når vi f.eks. har 100 som skal hilse på hverandre. Vi kan også tenke slik: At to hilser på hverandre, er det samme som at vi trekker 2 personer ut av 4. Personene skal hilse på hverandre bare en gang, det betyr at vi har utvalg uten tilbakelegging. Når to personer hilser på hverandre, er de likeverdige, det er dermed et uordnet utvalg. Dette gir følgende:

4⋅3 =6. 2 ⋅1

Når 20 personer skal hilse på hverandre, blir det 20 ⋅ 19 = 190 håndtrykk. 2 ⋅1 Når 100 personer skal hilse på hverandre, blir det 100 ⋅ 99 = 4950 håndtrykk. 2 ⋅1

406

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.43 a Regn ut. 19 + 18 + ... + 3 + 2 + 1

b Regn ut. 99 + 98 + ...+ 2 + 1

Oppgave 4.44

utfordring

Når du skal legge sammen 19 + 18 + ...+ 2 + 1, kan du gjøre det ved å sette opp summen slik: (19 + 1) + (18 + 2) +...+ (11 + 9).

a Hvor mange ganger får du parenteser der verdien er 20? 20 ⋅ 19 = 190 . 2 ⋅1 c Sett opp en generell formel for antall håndtrykk når n personer håndhilser på hverandre.

b Vis at 20 · 9 + 10 kan skrives som

Oppgave 4.45 På en lottokupong skal du krysse av 7 tall av totalt 34 tall. Du skal i denne oppgaven finne ut hvor mange ulike lottorekker som fins.

a Hvordan vil du beskrive denne situasjonen, er det en situasjon med eller uten tilbakelegging, og er det en situasjon som er ordnet eller uordnet? Begrunn svaret ditt.

b Hvor mange ulike lottorekker fins det?

•

KOMBINATORIKK

407

Oppgave 4.46

samarbeid

I oppgavene under skal dere diskutere og finne ut hvilken type situasjon som beskrives: Er det en antrekkssituasjon, en køsituasjon, en medaljesituasjon eller en komitésituasjon? Forklar hva som kjennetegner hver av situasjonene, og finn deretter svar på spørsmålet som stilles i oppgaven.

a Arne har 7 ulike bøker om matematikk i bokhylla si. I hvor mange ulike rekkefølger kan han ordne bøkene i hylla si?

b Arne tar ut tre tilfeldige matematikkbøker fra bokhylla si. På hvor mange måter kan han gjøre det?

c Arne skal lage en utstilling om matematikkbøker på skolebiblioteket. Han skal bruke tre tilfeldige bøker av de 7 han har i bokhylla si. I hvor mange ulike rekkefølger kan han stille ut tre av de 7 matematikkbøkene?

d Helga mener at det ikke skal være bare matematikkbøker i utstillingen. Hun vil at det skal være en matematikkbok, en naturfagbok og en engelskbok. Arne har i tillegg til de 7 matematikkbøkene 5 naturfagbøker og 3 engelskbøker. På hvor mange måter kan han velge tre bøker til utstillingen?

408

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

HVA KAN DU NÅ om å finne antall kombinasjoner? 1

Du har sifrene 2, 5, 1, 7 og 8. Hvor mange femsifrede tall kan du lage hvis alle sifrene skal være forskjellige?

Anders skal ha bursdagsfest, og du lurer på hva du skal ha på deg. Du velger mellom 2 bukser, 3 gensere og 3 par sko. Hvor mange forskjellige antrekk kan du sette sammen?

Det skal arrangeres en idrettsdag. I din klasse er det 20 elever.

a På hvor mange måter kan dere plukke ut et volleyballag når det er 6 spillere på laget?

b Klassen skal også velge et stafettlag. På hvor mange måter kan dere sette opp et stafettlag når det er seks etapper i stafetten?

Vi har seks terninger med ulike farger i en kurv. Vi trekker en terning og noterer fargen. Så legger vi terningen tilbake igjen i kurven. Vi trekker en terning på nytt, noterer fargen og legger den tilbake i kurven igjen. Vi gjør fire slike trekninger. Hvor mange kombinasjonsmuligheter av ulike farger kan vi få når rekkefølgen terningene ble trukket i har betydning?

Klassifiser oppgavene 1, 3 og 4 i «med eller uten tilbakelegging» og om det er «ordnet eller uordnet utvalg». Begrunn klassifiseringen.

HVA KAN DU NÅ ?

409

4C SANNSYNLIGHET Etter dette delkapitlet skal du kunne • bruke kombinatorikk til å ﬁnne antall utfall i et sannsynlighetseksperiment, og regne ut sannsynligheter ved å bruke metoden «antall gunstige utfall dividert på antall mulige utfall» • regne ut sannsynligheter ved å bruke trinnvis utregning, og kunne forklare hvorfor denne metoden er riktig • forklare sammenhengen mellom sannsynlighet og relativ frekvens Fra Nummer 9 husker du kanskje at dersom alle utfallene i et sannsynlighetseksperiment er like sannsynlige, kan vi finne sannsynligheten for en hendelse som antall gunstige utfall antall mulige utfall Vi skal se nærmere på dette ved hjelp av et eksempel.

eksempel 10 å finne sannsynlighet Live har fire kopper med bokstaver på. På hver kopp er det en bokstav, en L, en I, en V og en E. Live tar koppene ut av oppvaskmaskinen i tilfeldig rekkefølge og setter dem etter hverandre på kjøkkenbenken. Hva er sannsynligheten for at de står i denne rekkefølgen: L I V E? Løsning Siden Live tar ut koppene i tilfeldig rekkefølge går vi ut fra at alle rekkefølger hun kan stille opp koppene, er like sannsynlige. Det er bare én rekkefølge som tilfredsstiller kravet her, nemlig rekkefølgen L I V E. Vi har da kun ett gunstig utfall for begivenheten vår.

410

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

BEGREPER sannsynlighet utfall gunstig utfall mulig utfall utfallsrom hendelse eller begivenhet store talls lov

Mengden av alle de mulige utfallene kaller vi utfallsrommet. Det er alle de rekkefølgene det er mulig å stille opp koppene i. Antall mulige utfall finner vi ved hjelp av kombinatorikk. Dette er et køproblem. Da blir antall gunstige utfall 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. Sannsynligheten for at koppene står i rekkefølgen L I V E, antall gunstige utfall 1 " blir da antall mulige utfall 24

I et sannsynlighetseksperiment er det som oftest ﬂere mulige utfall. Mengden av alle de mulige utfallene kaller vi utfallsrommet i eksperimentet.

Oppgave 4.47 Marit har kjøpt en kodelås som hun bruker på skapet sitt på skolen. Låsen har tre hjul med sifre fra 0 til 9, og alle tre må stemme for at låsen skal åpnes.

a Hvor mange sifferkombinasjoner fins det? b Tormod skal hente matematikkboka i skapet til Marit, men han har glemt koden. Hva er sannsynligheten for at Tormod klarer å gjette riktig kode på første forsøk?

I eksempel 10 hadde vi mange utfall. Ett av dem er kombinasjonen L I V E. Vi skriver da sannsynligheten for dette utfallet slik: P(L I V E). Vi bruker bokstaven P om sannsynlighet. For å huske det kan du tenke på at sannsynlighet heter probability på engelsk. Vi kan skrive svaret i eksemplet slik: 1 P(L I V E) " 24

•

SANNSYNLIGHET

411

Sannsynligheten for hvert av utfallene er et tall mellom 0 og 1. At sannsynligheten for et utfall er 0, betyr at utfallet helt sikkert ikke vil skje. At sannsynligheten for et utfall er 1, betyr at utfallet helt sikkert vil skje. Siden prosent er det samme som hundredeler, kan vi også oppgi sannsynligheter 1 i prosent. For eksempel er sannsynligheten det samme 24 som 0,042 eller 4,2 %. Summen av sannsynlighetene til alle utfallene i et sannsynlighetseksperiment må være 1, fordi vi tenker oss at ett av utfallene må skje.

Oppgave 4.48 Vi har en eske med tre kuler i. En av kulene er rød, en er blå, og en er hvit. Du skal trekke en kule fra esken.

a Skriv opp de utfallene som utgjør utfallsrommet i dette eksperimentet.

b Finn sannsynligheten for hvert av utfallene. c Stemmer det at summen av sannsynlighetene for alle utfallene blir 1?

Oppgave 4.49 Terje kaster med en vanlig terning.

a Skriv opp de utfallene som utgjør utfallsrommet i dette eksperimentet.

b Terje får en treer. Hva blir P(treer)?

Vi kan også finne sannsynligheten for hendelser som tilsvarer mer enn ett enkelt utfall . Et annet ord for hendelse er begivenhet.

412

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

eksempel 11 å finne sannsynligheten for en hendelse Vi kaster med en vanlig terning og skal finne sannsynligheten for hendelsen «vi får et odde antall øyne». Løsning Det er 3 oddetall (1, 3, 5) blant de 6 utfallene vi har når vi kaster en terning, og alle de 6 utfallene er like sannsynlige. Vi sier at det er tre utfall som er gunstige for hendelsen «oddetall». Sannsynligheten blir 3 P(oddetall) " " 0, 5 6

I eksempel 11 bruker vi følgende metode:

Hvis alle utfallene i et sannsynlighetseksperiment er like sannsynlige, så kan vi ﬁnne sannsynligheten P(A) for en hendelse A slik:

P ( A) "

antall utfall som er «gunstige» for A totalt antall mulige utfall

eksempel 12 å finne gunstige og mulige utfall Du trekker et tilfeldig kort fra en kortstokk med 52 kort. Hva er sannsynligheten for at du får en konge eller et ess? Løsning Siden det er 4 konger og 4 ess, er det 8 gunstige utfall for hendelsen «konge eller ess». Alle de 52 mulige utfallene er like sannsynlige. Altså får vi P(konge eller ess) "

antall gunstige utfall 8 2 " " antall mulige utfall 52 13

•

SANNSYNLIGHET

413

Oppgave 4.50 Du trekker et tilfeldig kort fra en kortstokk med 52 kort. Hva er sannsynligheten for at du får

a et hjerterkort b et hjerterkort eller et sparkort

c en knekt, en dame eller en konge Oppgave 4.51 Du kaster to vanlige terninger, en rød og en blå.

a Dette kan oppfattes som et sannsynlighetseksperiment med 36 utfall som alle er like sannsynlige. Forklar hvorfor. Lag en tabell som viser alle de 36 utfallene på en oversiktlig måte.

b Finn sannsynligheten for hendelsen at begge terningene viser det samme.

c Finn sannsynligheten for at ingen av terningene viser 5. d Finn sannsynligheten for at minst en av terningene viser 5. Oppgave 4.52 I denne oppgaven kan det være lurt å organisere informasjonen du får i et venndiagram eller i en krysstabell. På 10. trinn på en skole er det 21 elever. Sju elever er allergiske mot nøtter, seks er allergiske mot både nøtter og bjørkepollen, og to elever er allergiske mot bjørkepollen, men ikke mot nøtter. Vi skal plukke ut en tilfeldig elev.

a Hva er sannsynligheten for at eleven er allergisk mot bjørkepollen?

b Hva er sannsynligheten for at eleven er ikke allergisk mot verken nøtter eller bjørkepollen?

414

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.53 I en speidertropp er det 4 jenter og 6 gutter. I troppen er det 7 speidere som skal delta på landsleir, 3 av dem er jenter. Vi skal plukke ut en tilfeldig speider som skal bli intervjuet av lokalavisa om speiding som fritidsaktivitet.

a Tegn et venndiagram som illustrerer utfallsrommet. b Hva er sannsynligheten for at vi intervjuer en gutt som skal på landsleir?

Oppgave 4.54 Vi har en eske med 9 papirlapper i. På hver av lappene er det skrevet en vokal: A, E, I, O, U, Y, Æ, Ø, Å. Vi skal trekke tre tilfeldige lapper fra esken. Vi legger ikke lappen tilbake i esken, og rekkefølgen vi trekker bokstavene i spiller ingen rolle.

a Bruk kombinatorikk og finn ut hvor mange ulike uordnede kombinasjoner av tre bokstaver det er mulig å trekke.

b Hva er sannsynligheten for at de tre bokstavene vi trekker, er A, E og I?

c Hva er sannsynligheten for at vi trekker verken Æ, Ø eller Å?

•

SANNSYNLIGHET

415

Oppgave 4.55 a I en klasse med 22 elever skal det velges 3 elever til en festkomité. På hvor mange måter kan det gjøres?

b Hva er sannsynligheten for at Per, Truls og Anne ble plukket ut?

TRINNVIS UTREGNING AV SANNSYNLIGHETER eksempel 13 trinnvis utregning av sannsynlighet Lillebror skal på ferie og skal plukke ut to leker han kan ta med seg. Han har en eske med 5 ulike kosedyr og en annen eske med 7 ulike lekebiler. Lillebror plukker ut en tilfeldig lekebil og et tilfeldig kosedyr. Hva er sannsynligheten for at han tar favorittbamsen og favorittlekebilen? Løsning Vi tenker oss at lillebror først velger et kosedyr. Sannsynligheten for at han velger favorittbamsen, er antall gunstige utfall 1 " antall mulige utfall 5 Vi antar nå at favorittbamsen er valgt. Sannsynligheten 1 for at han så velger favorittlekebilen, er . I ett av 7 tilfeller 7 der favorittbamsen er valgt, vil også favorittlekebilen bli valgt. Andelen av tilfeller der begge favorittene ble valgt, 1 1 av . Vi finner brøkdeler av en brøk ved å er da 7 5 multiplisere brøkene. 1 1 1 1 1 P(begge favorittlekene ble valgt) = ⋅ = ⋅ = 7 5 5 7 35

Eksperimentet i eksempel 13 består av to trinn. Først velger lillebror et kosedyr, det er første trinn. Det andre trinnet er at han velger en lekebil. Sannsynligheten for å lykkes i begge trinnene er produktet av sannsynligheten for å lykkes i hvert av trinnene.

416

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 4.56 Lise kaster med tre vanlige terninger. Bruk metoden med trinnvis utregning av sannsynlighet, og finn sannsynligheten for at hun får tre femmere.

Oppgave 4.57 Tiril har tre luer med ulik farge, to par votter med ulik farge og tre skjerf med ulik farge. En morgen hun skal på skolen, velger hun lue, votter og skjerf helt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun velger de grønne vottene, den oransje lua og det brune skjerfet?

eksempel 14 trinnvis utregning av sannsynlighet En hatt inneholder 8 hvite og 7 røde kuler. Du skal trekke ut to tilfeldige kuler. Hva er sannsynligheten for at du får to røde kuler? Løsning Vi bruker trinnvis utregning. Sannsynligheten for å lykkes 7 . med første trinn, altså å få en rød kule på første trekk, er 15 Hvis dette har gått bra, blir sannsynligheten for å få en rød 6 . kule på det neste trekket 14 Sannsynligheten for å trekke to røde kuler blir derfor 7 6 7 ⋅2⋅3 1 P(to røde) = ⋅ = = 15 14 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 7 5

Trinnvis utregning av sannsynligheter: Vi ﬁnner sannsynligheten for hendelsen vår ved å multiplisere sannsynlighetene for hvert trinn vi må gå gjennom for at hendelsen skal inntreffe.

•

SANNSYNLIGHET

417

Oppgave 4.58 Du skal trekke to kort fra en kortstokk. Bruk trinnvis utregning til å finne sannsynligheten for at du får to spar.

Oppgave 4.59 Du skal trekke tre kort fra en kortstokk. Bruk trinnvis utregning til å finne sannsynligheten for at du trekker tre spar.

Oppgave 4.60 Du skal trekke fire kort fra en kortstokk. Bruk trinnvis utregning til å finne sannsynligheten for at du får fire spar.

eksempel 15 sammenhengen mellom trinnvis utregning og gunstige over mulige Hvis du tipper en enkeltrekke i Lotto, skal du velge ut 7 av 34 tall. Trekningsmaskinen plukker ut ett og ett tall. Du vinner hvis de sju tallene som plukkes ut, er akkurat dine sju tall. Hva er sannsynligheten for at dine sju tall vinner? Løsning Dette er et problem som kan løses med trinnvis utregning av sannsynligheter eller ved å bruke kombinatorikk til å finne antall mulige utfall. Sannsynligheten for at det første tallet som trekkes ut, er 7 blant dine sju tall, er 34 Anta at et av tallene du har tippet, blir trukket ut. Det neste tallet trekkes blant 33 tall, og av dem er seks på rekka di. Sannsynligheten for at det andre tallet som trekkes ut, er 6 blant dine resterende seks tall, er 33

418

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Vi kan si at i 6 av 33 tilfeller der du hadde tippet riktig på det første tallet, vil også det andre tallet være på rekka di. Andelen tilfeller der begge de to første tallene er på rekka di, blir dermed 6 7 av brøken 33 34 Sannsynligheten for at begge de to første tallene er på rekka di, blir dermed 6 7 7 6 som vi også kan skrive som 33 34 34 33 Slik fortsetter det. Denne måten å tenke på svarer til at vi regner ut sannsynligheten trinnvis, svarende til de sju trinnene der et av tallene dine må trekkes ut underveis til Lotto-gevinsten. Vi ender opp med P(sju rette) =

7 6 5 4 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 34 33 32 31 30 29 28

Vi kan også løse oppgaven ved å ta utgangspunkt i kombinatorikk. I Lotto spiller ikke rekkefølgen på tallene noen rolle. Vi har en komitésituasjon og finner antall mulige kombinasjoner som 34 33 32 31 30 29 28 7 6 5 4 3 2 1 Alle disse kombinasjonene er de mulige utfallene i forsøket. Den rekka du har gjettet, er det ene gunstige utfallet. Sannsynligheten for at din rekke vinner, blir da P(sju rette) = 1 :

34 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ 31 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 28 7 ⋅6⋅5⋅ 4⋅3⋅2 ⋅1

1 7 ⋅6⋅5⋅ 4⋅3⋅2 ⋅1 = ⋅ 1 34 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ 31 ⋅ 30 ⋅ 29 ⋅ 28 =

7 6 5 4 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 34 33 32 31 30 29 28

•

SANNSYNLIGHET

419

TRINNVIS UTREGNING MED FLERE FORLØP Det går også an å bruke trinnvis utregning av sannsynligheter i situasjoner der flere ulike forløp leder fram til den hendelsen vi er interessert i.

eksempel 16 hendelsen kan skje på flere måter Du kaster en terning tre ganger. Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig én firer? Løsning I dette forsøket må vi finne ut på hvilke måter vi kan få nøyaktig en firer. Vi må altså finne ut hvilke forløp som leder til hendelsen at vi får nøyaktig én firer. Ett mulig forløp er at vi får én firer på første kast, og så bommer på de to neste kastene. Ved trinnvis utregning får vi at sann1 5 5 synligheten for dette er . 6 6 6 Men det er to andre mulige forløp også: Du kan nemlig få én firer på andre kast og bomme på første og tredje, eller du kan bomme på de to første og få én firer på tredje. Sannsynlighetene for disse to forløpene er henholdsvis 5 1 5 5 5 1 og 6 6 6 6 6 6

Sannsynligheten for hendelsen vår blir summen av sannsynlighetene til disse tre alternative forløpene, altså P(én firer) = 1 5 5 5 1 5 5 5 1 25 25 25 75 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 216 216 216 216

420

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Trinnvis utregning med ﬂere alternative forløp Finn først sannsynligheten for hvert av de alternative forløpene ved vanlig trinnvis utregning. Til slutt ﬁnner du sannsynligheten for hendelsen du var ute etter, ved å summere sannsynlighetene for hvert av de alternative forløpene.

Oppgave 4.61

utfordring

Du kaster tre terninger.

a Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig to firere? b Hva er sannsynligheten for å få minst to firere? c Hva er sannsynligheten for ikke å få noen firere? d Hva er sannsynligheten for å få minst én firer? Oppgave 4.62

utfordring

Du har 5 røde og 6 hvite kuler i en hatt, og du trekker to tilfeldige kuler opp av hatten. Hva er sannsynligheten for at én av de to kulene er rød, og den andre er hvit?

Oppgave 4.63

fra eksamen

Thomas har disse fire filmene: Avatar, Hobbiten, Gravity, Hunger Games.

a Thomas trekker tilfeldig én film. Bestem sannsynligheten for at Thomas trekker Avatar.

b Thomas trekker tilfeldig 2 av de 4 filmene og tar dem med til Markus. Markus sier: «Jeg så Gravity i går, jeg håper du ikke tok med den filmen.» Bestem sannsynligheten for at Thomas har tatt med Gravity.

•

SANNSYNLIGHET

421

SANNSYNLIGHET OG RELATIV FREKVENS Oppgave 4.64 Kast tre terninger 100 ganger. Noter frekvensen til hendelsen «nøyaktig to firere», dvs. tell opp hvor mange ganger denne hendelsen inntreffer. Regn så ut den relative frekvensen til «nøyaktig to firere». Sammenlikn svaret med svaret på oppgave 4.61 a. Tenk deg at vi har et sannsynlighetseksperiment, og at B er en hendelse tilknyttet eksperimentet. Hvis du gjennomfører sannsynlighetseksperimentet et antall ganger, så kalles brøken antall ganger B inntraff totalt antall ganger eksperimentet ble gjort den relative frekvensen til hendelsen B. Ifølge de store talls lov vil denne brøken nærme seg sannsynligheten for hendelsen mer og mer dersom du gjør eksperimentet flere og flere ganger.

At de relative frekvensene alltid nærmer seg et bestemt tall når vi gjør mange forsøk, kalles de store talls lov.

Oppgave 4.65

digital

a Lag en regnearkmodell der du simulerer kast med to terninger. Den ene terningen er en vanlig terning med 6 sider, den andre har 10 sider. Summer for hvert kast antall øyne du får når du kaster de to terningene. Velg selv hvor mange kast du vil simulere, men jo flere jo bedre. Bruk funksjonen TILFELDIGMELLOM() til å simulere terningkast.

b Lag en frekvenstabell som viser alle de mulige utfallene (det vil si de mulige summene av antall øyne på de to terningene) og antall ganger du fikk de ulike summene i simuleringen.

c Bruk frekvenstabellen og finn sannsynligheten for at summen av antall øyne blir høyere enn 10.

422

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

HVA KAN DU NÅ om sannsynlighet? 1

På en videregående skole er 64 % av elevene jenter. Hvis vi skal velge en tilfeldig elev fra denne skolen, hva er sannsynligheten for at vi velger en gutt?

Vi har en dropspose med 5 røde og 3 gule drops.

a Guro skal ta to drops fra posen. Hva er sannsynligheten for at hun tar først ett rødt, og deretter ett gult drops?

b Hva er sannsynligheten for at hun tar ett drops av hver farge?

c Hva er sannsynligheten for at hun tar minst ett gult drops?

Vi kaster med to terninger.

a Hva er sannsynligheten for å få to like? b Hva er sannsynligheten for at summen av øynene på terningen er 5?

c Hva er sannsynligheten for at summen av øynene på terningen er mer enn 3?

En lærer forteller at hun har tre barn. I denne oppgaven går vi ut fra at når en kvinne venter barn, er det like sannsynlig at barnet er en jente som at det er en gutt.

a Hva er sannsynligheten for at eldste barn er en jente, midterste barn er en gutt og yngste barn en jente?

b Hva er sannsynligheten for at hun har to jenter og en gutt?

HVA KAN DU NÅ ?

423

OPPGAVESAMLING Kapittel 4 4A

På elevnettstedet ﬁnner du sammendrag til dette kapitlet.

Statistikk

Oppgave 401

Oppgave 403

Finn gjennomsnittet og medianen av tallene.

Finn typetallet dersom dataene har et typetall.

a 2

8 7

3 3

15 8

3,9 1,8

2,2 2,8

0,3 3,7

7 7

–6 –6

–5 6

c –3

8 0

d –1

–2

d –1

b 1,2 0,1

c –3

4 8

b 1,2 0,1 2 12

Oppgave 402

b 1,8 0,1

c –3 2

d –1

3 3

15 8

3,9 1,2

2,2 2,8

0,3 3,7

8 0

7 1

–6 –6

5 6

6 –5

–2 5

4 8

–5 6

Oppgave 404

Finn variasjonsbredden.

a 2

8 7

3 3

15 8

4 8

3,9 1,8

2,2 2,8

0,3 3,7

8 0

7 7

–6 –6

–5 6

–2

Gjennomsnittet er 4. Hvilket tall mangler? 7

–2

16 –5

Oppgave 405 Medianen er 2,8. Hva kan de tallene som mangler, være?

a 2,4

3,8 –1,5 9,6 19,6 2,8 –8,5 0,12

b –34,7 112 0,2 –3,8 5,6 –4 8,9

424

Kapittel 4

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

2,8 6,9

Oppgave 406 Tabellen viser resultatene på en matematikkprøve i en skoleklasse.

a Hvor mange elever deltok på prøven?

KARAKTER

A N TA L L E L E V E R

b Finn gjennomsnittskarakteren.

c Framstill dataene i et diagram.

Oppgave 407

utfordring

Karoline liker godt å fiske, og en sommer har hun skrevet opp hvor mange fisk hun har fått av ulike slag hver gang hun har vært på fisketur. Til slutt har hun oppsummert sommerens fangst i en tabell du ser til høyre. Men noen tall er blitt visket ut i tabellen. Finn ut hva tallene som mangler i tabellen, skal være.

FISKESLAG

A N TA L L , FREKVENS

Makrell

100

Sei

R E L AT I V FREKVENS

30,0 %

Torsk

10,0 %

Lyr Lange

5,0 %

Sum

200

Oppgave 408 Ved en videregående skole er inntakspoengene til søkerne som har denne skolen som førstevalg, fordelt slik: I N N TA K S P O E N G

A N TA L L S Ø K E R E

21–30 poeng

31–40 poeng

41–50 poeng

51–60 poeng

a Hvor mange elever hadde denne skolen som førstevalg?

b Tegn et histogram som du vil bruke til å fortelle at skolen har veldig mange søkere med høy poengsum

c Tegn et histogram som du vil bruke til å vise at det er en god del søkere med lav poengsum.

Sum

OPPGAVESAMLING

425

Oppgave 409

utfordring

Et reisebyrå selger feriereiser til 4 land. Et år har salget vært slik:

a Hvor mange reiser har de solgt

Frankrike: 20 reiser, dette utgjør 5 % av reisene de har solgt

b Hvor mange reiser til Hellas har

dette året? de solgt?

c Det fjerde landet er Tyrkia. Hvor

Hellas: 25 % av reisene de har solgt, har gått hit

mange prosent av reisene er reiser til Tyrkia?

Spania: 50 % av reisene de har solgt, har gått hit.

d Framstill dataene du nå har om salg av reiser i et sektordiagram.

Oppgave 410 a Oppsummer resultatet av spør-

I en skoleklasse har alle elevene i en spørreundersøkelse oppgitt hvor enige de er i påstanden «matematikk vil bli viktig for meg i videre skolegang og i arbeidslivet». Elevene har svart med et tall fra og med 1 til og med 5, der 1 betyr at man er helt uenig, og 5 betyr at man er helt enig. Resultatet ser du her: 3

reundersøkelsen i en tabell der du har med frekvens og relativ frekvens for de fem ulike svarene.

b Lag frekvenstabellen i regneark. c Illustrer resultatet med et stolpediagram.

Oppgave 411 Marie liker godt hunder, og en sommer har hun skrevet opp hvor mange hunder hun har sett av ulike raser. Til slutt har hun oppsummert sommerens observasjoner i tabellen du ser til høyre. Uheldigvis er noen tall blitt visket ut i tabellen. Finn ut hva tallene som mangler i tabellen, skal være.

426

Kapittel 4

FISKESLAG

A N TA L L , FREKVENS

Golden retriever

Labrador

R E L AT I V FREKVENS

30,0 %

Dachs Elghund

7,5 %

Puddel

Sum

120

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

2,5 %

Oppgave 412

b Framstill dataene i et passende

Arne og Helga har fått hver sin termokopp i julegave. Arnes kopp er gjennomsiktig og laget av plast, Helgas kopp er ikke gjennomsiktig, og den er laget av stål. De bestemmer seg for å teste hvilken kopp som holder teen varm lengst. I matpausen fyller de koppene med 2 dL te og måler temperaturen hvert femte minutt i 30 minutter. Resultatet av målingene ser du her: HELGAS KOPP

Tid

ARNES KOPP

Temperatur Temperatur (°C) (°C)

diagram. Du skal utforme diagrammet slik at Helgas kopp framstår som mye bedre enn Arnes.

Oppgave 413 Innholdet av næringsstoffer i 100 gram byggryn er slik: NÆRINGSSTOFF

VEKT

Fett

2,0 g

Karbohydrater

59 g

Kostfiber

15 g

Proteiner

11 g

Vann

13 g

0 minutter

5 minutter

10 minutter

15 minutter

b Velg et par matvarer du vanligvis

20 minutter

25 minutter

30 minutter

spiser, for eksempel yoghurt, brunost eller kaviar. Finn informasjon om næringsinnholdet på emballasjen eller på www. matvaretabellen.no. Framstill informasjonen i ett eller flere diagrammer.

a Du skal framstille resultatet grafisk. Hvilken type diagram vil du velge? Begrunn svaret ditt.

a Framstill næringsinnholdet i byggryn i et sektordiagram.

Kombinatorikk

Oppgave 414 I et spill som passer for førskolebarn, spiller de med to terninger. På den ene terningen er det seks ulike former (sirkel, trekant osv.), på den andre terningen er det seks ulike

farger. Spilleren skal velge en brikke som har samme form og farge som terningene angir. Hvor mange ulike brikker fins det i dette spillet?

OPPGAVESAMLING

427

Oppgave 415

Oppgave 418

a Lise er på ferie og har med seg

Et korps skal spille 3 musikkstykker på et arrangement 17. mai. Korpset har et repertoar på 14 stykker som de kan velge blant når det skal lages program for arrangementet. Hvor mange mulige kombinasjoner av tre musikkstykker er det da mulig å lage? Rekkefølgen har betydning her.

fire bluser, to skjørt og tre par sko. Hvor mange ulike antrekk kan hun sette sammen?

b Siv kan sette sammen 40 ulike antrekk med de blusene, skjørtene og skoene hun har med seg. Hun har to par sko og fire skjørt. Hvor mange bluser har hun med?

Oppgave 419 Oppgave 416 a Seks svømmere er kommet til finalen i en svømmekonkurranse. Det er 6 baner i bassenget. På hvor mange måter kan de 6 svømmerne plasseres i de seks banene?

b I en skolekonkurranse i friidrett har Ole funnet ut at deltakerne i 100-meter løpet kan plasseres i banene på 40 320 ulike måter. Det er like mange deltakere i løpet som det er baner på stadion. Hvor mange baner er det?

Oppgave 417 På en skole er det 8 matematikklærere. De skal plukke ut et lag som skal delta i et stafettløp. Det er 4 etapper i stafetten. På hvor mange måter kan stafettlaget til matematikklærerne settes sammen?

428

Kapittel 4

a Regn ut. 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5

b De tre første summene du kom fram til i oppgave a, kan illustreres slik:

Tegn illustrasjoner som viser de to siste summene på samme måten

c Summene kalles trekanttall. Skriv de fem neste trekanttallene.

d Finn et uttrykk for det n-te trekanttallet.

e En gruppe mennesker håndhilser på hverandre. Det ble 10 håndtrykk. Hvor mange mennesker besto gruppen av?

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

Oppgave 420

Oppgave 421

I en skoleklasse er det 25 elever. Når læreren lager en navneliste, bruker hun vanligvis å sette opp navnene i alfabetisk rekkefølge. Men det behøvde hun ikke ha gjort. I hvor mange rekkefølger er det mulig å skrive de 25 ulike navnene til elevene i klassen?

I klasse 10A er det 27 elever. De skal velge ut 11 elever som skal være klassens fotballag i en skoleturnering. På hvor mange ulike måter kan de velge 11 elever til fotballaget dersom de bruker loddtrekning for å velge ut hvem som skal være med?

Sannsynlighet

Oppgave 422

Oppgave 425

I en eske er det 12 røde luer og 3 blå luer. Per tar en tilfeldig lue ut av esken. Hva er sannsynligheten for at han tar en blå lue?

a Lag en kombinatorikkoppgave som

Oppgave 423 Kari triller med to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av øynene på terningen er et primtall?

kan løses ved å regne ut 3 ∙ 2 ∙ 5.

b Lag en oppgave der du skal bruke det du kan regne ut i oppgave a, til å finne en sannsynlighet.

c Bytt oppgave med en medelev og løs hverandres oppgaver.

Oppgave 426 Oppgave 424

Tora triller en vanlig terning.

a Lag en kombinatorikkoppgave

a Hva er sannsynligheten for at

eller problemstilling som kan løses ved å regne ut 53.

b Lag en oppgave der du skal bruke det du kan regne ut i oppgave a, til å finne en sannsynlighet.

c Bytt oppgave med en medelev og løs hverandres oppgaver.

hun får en treer eller høyere?

b Hva er sannsynligheten for at hun får lavere enn 3?

c De to hendelsene du fant sannsynligheten for i oppgave a og oppgave b, dekker til sammen alle muligheter vi har når vi

OPPGAVESAMLING

429

kaster med en terning. Hvis ikke hendelsen i oppgave a skjer, vil helt sikkert hendelsen i oppgave b skje. Vi kaller slike hendelser for komplementære hendelser. Når to hendelser, vi kan kalle dem A og B, er komplementære, har vi følgende regel: P(A) = 1– P(B). Sjekk om denne regelen stemmer ut fra det du regnet ut i oppgave a og oppgave b.

Oppgave 428 a Skriv opp regneuttrykket som GeoGebrakommandoen nCr[8,2] står for. Regn ut regneuttrykket.

b Lag en kombinatorikkoppgave som kan løses med kommandoen nCr[8,2] i GeoGebra.

c Lag en oppgave der du skal

d Vi kaster med to terninger. Hva er

bruke det du kan regne ut i oppgave b, til å finne en sannsynlighet.

sannsynligheten for å få to like?

d Bytt oppgave med en medelev og

e Hvordan kan du beskrive hen-

løs hverandres oppgaver.

delsen som er komplementær til «to like»?

f Hva er sannsynligheten for hendelsen du beskrev i oppgave e?

g Lag en oppgave med komplementære hendelser. Du kan gjerne bruke terninger eller kort i oppgaven. Bytt oppgave med en medelev, og løs hverandres oppgaver.

Oppgave 429 a Lag en kombinatorikkoppgave som kan løses ved å regne ut 5!

b Lag en oppgave der du skal bruke det du kan regne ut i oppgave a, til å finne en sannsynlighet.

c Bytt oppgave med en medelev og Oppgave 427

løs hverandres oppgaver.

a Skriv opp regneuttrykket som GeoGebrakommandoen nPr[4,2] står for. Regn ut regneuttrykket.

b Lag en kombinatorikkoppgave som kan løses med kommandoen nPr[4,2] i GeoGebra.

c Lag en oppgave der du skal bruke det du kan regne ut i oppgave b, til å finne en sannsynlighet.

d Bytt oppgave med en medelev og løs hverandres oppgaver.

430

Kapittel 4

Oppgave 430 a I en eske ligger det 10 lapper. På hver lapp står det en bokstav. Bokstavene er A, E, I, K, L, M, S, T, U, V. Live skal trekke fire lapper og legge dem etter hverandre. I denne oppgaven kaller vi fire bokstaver i en bestemt rekkefølge for et «ord», selv om ordet ikke har mening. Hvor mange ulike

• STATISTIKK , KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

«ord» på fire bokstaver kan Live lage på denne måten?

b Hva er sannsynligheten for at hun trekker lapper som gir ordet LIVE?

c Live skal også trekke 4 lapper fra en eske som inneholder hver av de 29 bokstavene i alfabetet. Denne gangen trekker hun en lapp, skriver bokstaven i boka si og legger lappen tilbake før hun trekker neste bokstav. Hvor mange ulike «ord» kan Live lage når hun trekker på denne måten?

Oppgave 431 a Arild, Bente, Cecilie, Doris, Even og Finn skal på restaurant for å spise pizza. På restauranten er det seks nummererte knagger som de henger ytterjakka si på, én jakke på hver knagg. I hvor mange ulike rekkefølger kan de henge fra seg jakkene sine?

b Vi går ut fra at de seks vennene henger fra seg jakkene i helt tilfeldig rekkefølge. Hva er sannsynligheten for at Arild og Bente sine jakker henger ved siden av hverandre?

d Hva er sannsynligheten for at hun lager ordet LIVE denne gangen?

e Igjen skal Live trekke fire lapper fra en eske som inneholder de 29 bokstavene i alfabetet. Nå trekker hun 4 lapper samtidig og kan lage det ordet hun vil med de 4 bokstavene hun har trukket. Hvis hun for eksempel har trukket EOLS, kan hun lage blant annet SOLE og LOSE. Hva er sannsynligheten for at hun har tukket bokstaver som gjør at hun kan lage ordet LIVE?

utfordring c Neste gang de seks vennene skal ut for å spise pizza, har restauranten byttet ut knaggrekka med en sirkelrund stumtjener med plass til nøyaktig seks jakker. I hvor mange ulike rekkefølger kan de seks vennene henge jakkene sine på denne stumtjeneren?

d Hva er sannsynligheten for at Arild og Bentes jakker blir hengende ved siden av hverandre på stumtjeneren?

OPPGAVESAMLING

431

Eksamenstrening

DEL 1 UTEN HJELPEMIDLER På Del 1 er skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler tillatte og nødvendige hjelpemidler.

Oppgave 5.1 Regn ut.

a 457 + 589

b 8643 – 3998

c 296 ∙ 678

d 108 : 0,54

Oppgave 5.2 Regn ut.

a 45,6 + 98,7

d 1008 – 579

g 1081 : 23

b 7650 + 345

e 23,5 ∙ 4

h 5,4 : 0,12

c 657 – 95,3

f 345 ∙ 12,2

i 38 ∙ 42

Oppgave 5.3 a b c d e f g

Hva er summen av 1985 og 496? Hva er differansen mellom 1678 og 599? Hva er produktet av 18 og 5? Hva er svaret i divisjonsstykket 651 : 30? Hva kaller vi svaret i et divisjonsstykke? Forklar begrepene sum, differanse og produkt. Forklar begrepene ledd og faktor.

Oppgave 5.4 Idrettslaget ditt har bestemt at det skal selges pakker med nøtter på julecupen. En helg selges det 75 pakker med nøtter. En pakke veier 100 g og koster 40 kr.

a Hvor mange kilo veier pakkene med nøtter til sammen? b Hva koster pakkene til sammen? c Idrettslaget tjener 15 kr for hver pakke de selger. Hvor mye tjener idrettslaget på salget av nøtter denne helgen?

434

EKSAMENSTRENING

Oppgave 5.5 Proxima Centauri er en rød dvergstjerne. Den har en overflatetemperatur på 2940 °C. Overflatetemperaturen på sola er 5500 °C.

a Hvor mange grader varmere er det på sola enn på Proxima Centauri?

b Temperatur kan også måles i Kelvin (K). 0°C = 273 K. Oppgi temperaturen på Proxima Centauri målt i Kelvin.

Oppgave 5.6 3,5 kg med bananer koster 84 kr. Regn ut kiloprisen på bananer.

Oppgave 5.7 Gjør om

a 1870 mL til L

c 4500 mm til dm

b 2,4 t (tonn) til kg

d 10 000 m2 til daa (dekar)

Oppgave 5.8 Gjør om

a 5,8 dm2 til m2

d 20 m/s til km/h

b 145 min til h og min

e 8,5 dm3 til L

c 35,6 mil til km

f 35 000 m2 til daa (dekar)

Oppgave 5.9 Gjør om

a 129 m til mm

d 6,5 GB til MB

g 210 min til h

(B står for byte)

b 67 kg til g

e 0,8 km til cm

h 1,2 h til h og min

c 2 g til kg

f 90 mm til m

i 560 kWh til GWh

DEL 1

• UTEN HJELPEMIDLER

435

Oppgave 5.10 Skriv tallene på standardform.

a 50 000

b 0,0034

Oppgave 5.11 Forklar hva det vil si å skrive et tall på standardform.

Oppgave 5.12 Skriv på vanlig form.

a 5 ∙ 10–3

c 5 ∙ 10–4

e 5 ∙ 10–6

b 2,5 ∙ 103

d 3,7 ∙ 102

f 5,9 ∙ 10–6

Skriv på utvidet form.

g 309

h 10 308

i 10 101

Oppgave 5.13 Ta utgangspunkt i tallet 8,6 ∙ 103.

a Skriv tallet på vanlig form. b Skriv tallet som er hundre ganger så stort, på standardform.

c Skriv tallet som er tusen ganger så stort, på standardform. d Skriv tallet som er en million ganger så stort, på standardform.

Oppgave 5.14 Sett inn <, > eller =.

a (–4) · (–6) b 12 · (–3)

436

3·8 12 : (–3)

EKSAMENSTRENING

c (–4) – 8 d (24 – 15) : 3

3·4 24 – 15 : 3

Oppgave 5.15 Regn ut.

a 8 – 15

c (–9) · 6

e 12 – (–3) · (–6)

b (–4) + 6 – 10

d (–12) · (–4)

f 128 : (–4)

Oppgave 5.16 Et kart er tegnet i målestokk 1 : 10 000.

a Hvor langt er 3,5 cm på kartet i virkeligheten? b Avstanden i luftlinje mellom to steder på kartet er 0,5 km. Hvor mange centimeter er dette på kartet?

Oppgave 5.17 Du blander saft og vann i forholdet 1 : 4. Hvor mye ferdigblandet saft får dere når dere har

a 1 dL ublandet saft

d 10 L vann

b 5 dL ublandet saft

e 10 dL vann

c 2 L vann

f 3,5 dL ublandet saft

Oppgave 5.18 En scooter bruker olje i bensinen.

a Hva betyr det at forholdet mellom olje og bensin er 1 : 50? b Hvor mye olje må du tilsette i en tank som blir fylt med 15 L bensin?

Oppgave 5.19 En syklist sykler 25 km på 1 time og 15 minutter.

a Hvor stor er gjennomsnittsfarten? En dag var vindstyrken 10 m/s.

b Hva var vindstyrken målt i km/h?

DEL 1

• UTEN HJELPEMIDLER

437

Oppgave 5.20 Massetettheten av aluminium er 2,7 g/cm3. Massetettheten av kobber er 9,0 g/cm3.

a En del til en sykkel er laget av aluminium og veier 50 g. Hva er volumet av sykkeldelen?

b En produsent vurderer å lage delen av kobber. Hva vil delen veie hvis den lages av kobber?

c Hva er forholdet mellom vekten av delen om den lages av aluminium og vekten av delen om den lages av kobber?

Oppgave 5.21 Avstanden mellom to steder på et kart er 6 cm. I virkeligheten er avstanden 3 km. Hva er målestokken på kartet? 1 : 50 000 1 : 20 000 1 : 500 000

1 : 200 000

Oppgave 5.22 Regn ut, og forkort svarene dersom det er mulig.

2 3 7 7

4 :8 11

g 2:

12 2 9 5

1 2 3 4 6 5

2 3 9 7

f 3

5 6

1 3

1 7 1 + − 6 2 3 1 2

i 2

5 4

Oppgave 5.23 Fyll ut tabellen: BRØK

D E S I M A LTA L L

PROSENT

PROMILLE

0,45 1,7 % 540 ‰ 3 8

438

EKSAMENSTRENING

Oppgave 5.24 a I en nettbokhandel er prisen på en bok satt ned med 40 %. Den koster nå 12 euro. Hva kostet boka før prisen ble satt ned?

b Kursen på euro er 9,00. Hvor mange kroner koster boka? c En annen bok koster 30 euro. Tore vil ikke kjøpe denne boka med mindre den kommer på salg og koster mindre enn 20 euro. Hvor mange prosent må prisen på boka da settes ned med?

d Når man handler i nettbokhandelen, er det et frakttillegg på 4 euro. Sett opp en formel som viser hva Tore må betale for x antall bøker som koster 20 euro med frakt.

Oppgave 5.25 Anna baker boller. Hun spiser 20 % av bollene hun har bakt. Deretter gir hun vekk ¾ av de bollene som er igjen, til venninnen sin. Resten av bollene får lillesøsteren. Hvor stor del får lillesøsteren?

Oppgave 5.26 a Faktoriser tallene i to faktorer: 16

b Primtallsfaktoriser 16

Oppgave 5.27 Regn ut.

a 3 + 2,5 ∙ 4

c (–2)2 – 4 ∙ (–2) +1

b (–3) + (8 – 5)2

2 33 ⋅ ( −3) ( −2)3

DEL 1

( −4)2 ⋅ 3 63

8 + ( −3) 3 + ( 4 ⋅ ( −3)) 3

• UTEN HJELPEMIDLER

439

Oppgave 5.28 Regn ut.

1 4

36 81

4a2 9

Oppgave 5.29 Vis at vi kan skrive

50 som 5 2 .

Oppgave 5.30 Regn ut.

a 4x – 3y + 2x

e (x – 2)2

b 2(s – 1) – 4s – 5(2s + 1)

f (2a + 3)(2a + 3)

c (a – 3)(b + 4)

1 ( t − 4)( t + 4) 2

(3a )2 2b2 4 6a

x2 1 x 1

d (x – y)(4x – 2y) Oppgave 5.31 Skriv så enkelt som mulig.

a 8x – 2x + 3 2

b 12x – 4 + 3x – 2x + 4 + x c

xy y 2 xy

3ab2 d 12b

x2 6x 9 h x 3

4x x2 e : y 2

a2 + a a2 − 1

Oppgave 5.32 Fyll ut tabellen. x

6 −9

1 2

440

EKSAMENSTRENING

2x + 3y

2x ∙ 2y

−1 1

Oppgave 5.33 Løs likningene.

a 3x – 1 = 8

x−3 −x=3 2

b 2x + 1 = x – 5

3 3x x − 1 + = 4 2 4

Oppgave 5.34 Løs likningssettet grafisk og ved regning. Likning 1: Likning 2:

x – y = –2 x + 2y = 25

Oppgave 5.35 En type yoghurt selges i beger av to ulike størrelser. Live kjøper 6 små og 2 store yoghurtbeger. Til sammen veier hennes yoghurtbeger 2,1 kg. Tore kjøper 2 små og 5 store yoghurtbeger. De veier til sammen 3,3 kg. Hva er vekten av det minste yoghurtbegeret? Hva er vekten av det største yoghurtbegeret?

Oppgave 5.36 Mange foreldre er interessert i å finne ut hvor høye barna deres vil bli som voksne. En formel som kan brukes til å regne ut hvor høy en gutt omtrent vil bli, er slik: F + M + 13 2 G: Guttens høyde som voksen G=

F: Fars høyde M: Mors høyde Omform formelen ovenfor til en formel for mors høyde.

DEL 1

• UTEN HJELPEMIDLER

441

Oppgave 5.37 Løs ulikhetene.

a 3x – 8 > 14 + x

c –2x + 1 ≤ x – 2

b 2x – 7 > 5x + 11

d 3(2 + 3x) < 5(4 – x )

Oppgave 5.38 Tre is og to flasker vann koster 78 kr. En is og tre flasker vann koster 54 kr. Hvor mye koster en is, og hvor mye koster en flaske vann?

Oppgave 5.39 Bruk første eller andre kvadratsetning til å skrive svarene uten mellomregning.

a (x + 4)2

c (x – 2b)2

b (2b + 9)2

d (5a – b)2

Oppgave 5.40 a Fyll ut verditabellene. 1 x

f(x) = 0,5x – 2

–2 0 1 5

2 x –2 0 1 5

442

EKSAMENSTRENING

g(x) = 0,5x2

3 h( x ) =

5 +2 x

1 2 5 10

b Tegn grafen til f(x), g(x) og h(x). Oppgave 5.41 I en nettbokhandel har de en fraktpris på 120 kr. En matematikkbok koster 400 kr. La x stå for antall matematikkbøker vi kjøper. La K(x) være prisen vi må betale om vi kjøper x matematikkbøker.

a Forklar at K(x) = 400x + 120. b Hva må vi betale om vi kjøper 5 matematikkbøker? c Hvor mange matematikkbøker har vi kjøpt om vi betaler 3320 kr?

Oppgave 5.42 a Skriv et funksjonsuttrykk som passer til tabellen. x

f(x)

–2

–1

b Tegn grafen til funksjonen. c Tegn grafen til funksjonen g(x) = –x + 2 inn i det samme koordinatsystemet.

d Hva er koordinatene til skjæringspunktet for grafene?

DEL 1

• UTEN HJELPEMIDLER

443

Oppgave 5.43 I trekant ABC er A = 60°, B = 45° og AB = 8,0 cm. Trekanten er del av en firkant ABCD der CD er parallell med AB og CD = 4,0 cm. Lag hjelpefigur, konstruer firkanten og skriv en kort forklaring til konstruksjonen.

Oppgave 5.44 Speil firkanten om x-aksen og om y-aksen. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1

5 x

–2 –3 –4 –5

Oppgave 5.45 Sidelengdene til en trekant er 5 cm, 5 cm og 7 cm.

a Hva kaller vi en slik trekant? b Er trekanten rettvinklet? Begrunn svaret ditt. Oppgave 5.46 I et rektangel er lengden 8 m og bredden 6 m.

a Hva er omkretsen av rektanglet? b Hva er arealet av rektanglet? c Hvor lang er diagonalen i rektanglet?

444

EKSAMENSTRENING

Oppgave 5.47 I denne oppgaven må du huske å lage hjelpefigur og konstruksjonsforklaring. Konstruer UDEF der DE = 8,0 cm, E = 60° og D = 30°. UDEF er en del av trapeset DEFG der EDG = 90°. Konstruer trapeset DEFG.

Oppgave 5.48 Konstruer UABC der AB = 6,0 cm, B = 120° og AC = 9,0 cm. Speil UABC om AB. Husk hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

Oppgave 5.49 a Konstruer en sirkel med diameter 5 cm. b Tegn inn en radius og en korde på figuren. Sett navn på linjene.

c Sett av et punkt B på sirkelperiferien. Konstruer en tangent til sirkelen i B.

Oppgave 5.50 a Regn ut volumet og overflatearealet til en sylinder med radius 4 cm og høyde 5 cm. Bruk π ~ 3.

b En kjegle har samme grunnflate som sylinderen. Hvor høy må den være for å ha samme volum som sylinderen?

Oppgave 5.51 4 πr 3 a Formelen for volumet av en kule er V = , der r er 3 radien i kula. Gjør et overslag og regn ut volumet av kula dersom radien er 3 cm. Bruk U ~ 3.

b Vi øker radien til det dobbelte. Hvor mange ganger større blir volumet? Begrunn.

DEL 1

• UTEN HJELPEMIDLER

445

Oppgave 5.52 Hvilken formel hører sammen med hvilken tekst? a b c d e

1 2l 2b

Arealet av en sirkel Arealet av en trekant

l b h 3 g h 2

Volumet av en sylinder Omkretsen av et rektangel

Volumet av en firkantet pyramide

4 U r2h 5 Ur2

Oppgave 5.53 Trekantene er formlike. Finn lengden av siden x i trekantene.

8,0 x x 4

6,0

1,2

Oppgave 5.54 Formelen for volum av et prisme med kvadratisk grunnflate er V " s2 h . Gjør om formelen slik du får en formel for

a høyden til prismet

b siden i grunnflaten

Oppgave 5.55 Bestem typetall, gjennomsnitt og median for disse tallene: 2

446

EKSAMENSTRENING

Oppgave 5.56 a Finn gjennomsnitt, median og variasjonsbredde: 5

–6

b I tabellen nedenfor er ett tall annerledes enn tallene i tabellen i oppgave a. Forklar, uten å regne, hva som skjer med gjennomsnittet, medianen og variasjonsbredden. 5

–6

Oppgave 5.57 Elevene i en skoleklasse har oppgitt hvor mange søsken de har. De har skrevet frekvenstabellen du ser under, på tavla. Men dessverre har ett av tallene i tabellen blitt visket ut. Finn ut hvilket tall som mangler. A N TA L L S Ø S K E N

A N TA L L E L E V E R

(FREKVENS)

2 3

Sum

Oppgave 5.58 Truls jobber i en restaurant som selger blant annet fire typer pizza. Her ser du en oversikt over hvor mange de har solgt av hver av de fire typene i løpet av en uke. MARGARITHA

CALZONE

CAPRICCIOSA

H AWA I I

Gjør nødvendige beregninger, og framstill salgstallene i et sektordiagram.

DEL 1

• UTEN HJELPEMIDLER

447

Oppgave 5.59 På en skole er det 8 matematikklærere. I november skal tre av dem delta på en matematikkonferanse.

a På hvor mange måter kan skolen velge ut de tre som skal delta på konferansen?

b Når skolen skal velge hvem som skal reise, blir det gjort ved loddtrekning. Tre av lærerne heter Liv, Gro og Jo. Hva er sannsynligheten for at Liv, Gro og Jo blir de tre som reiser?

Oppgave 5.60 Vi tenker oss et par som vil ha tre barn. En mulig kombinasjon av jenter og gutter er da at første barn er gutt, andre barn er jente og tredje barn er gutt. Hvor mange slike kombinasjoner av gutter og jenter fins det?

Oppgave 5.61 Tore har tre luer. Tre dager på rad velger han en tilfeldig lue når han skal på skolen.

a Hva er sannsynligheten for at han velger den samme lua hver dag de tre dagene?

b Hva er sannsynligheten for at han velger forskjellig lue hver av de tre dagene?

Oppgave 5.62 San Marino Pizza har 5 ulike pizzaer, 3 ulike sorter drikke og 2 ulike sorter is. Hvor mange ulike menyer kan de lage?

448

EKSAMENSTRENING

DEL 2 MED HJELPEMIDLER Her finner du oppgaver som du kan bruke til å øve deg til eksamen del 2. I Del 2 kan du bruke alle hjelpemidler med unntak av kommunikasjon. I mange av oppgavene må du bruke begreper og ferdigheter fra ulike kapitler i boka. Du kan bruke digitale hjelpemidler der du ønsker, og i noen av oppgavene må du bruke digitale verktøy. Det er viktig at du trener på hvordan du skal føre oppgavene, det vil si at du viser regnestykker og forklarer hvordan du tenker. Vi har valgt å lage oppgaver knyttet til ulike tema. Dette er vanlig å møte på eksamen. I tillegg håper vi det skal gi deg ideer og inspirasjon til en eventuell muntlig eksamen.

MATEMATIKK I HVERDAGEN Familien Andersen består av mor, far, Dina som er 16 år, og Jakob som er 14 år. De bor i en leilighet i Bodø.

Oppgave 1 Familien skal få hund. Da trenger de en del utstyr og mat, og Dina lager en oversikt over hva det koster å kjøpe det de trenger. Hundebur til bil Mat- og vannskåler Hundeposer Hundebånd Refleksvest

A N TA L L

PRIS PER STK.

1 2 5 1 1

3299,00 129,00 13,00 229,00 150,00

De må også kjøpe fôr og bestemmer seg for å kjøpe 10 kg. Kiloprisen er 69 kr.

a Hvor mye må familien betale for utstyr og hundefôr? b Butikken gir 10 % rabatt på alt utstyr til hunden, og 15 % rabatt på hundefôr. Hvor mye får de i rabatt?

c Hva blir prisen på hundeutstyr og hundefôr når rabatten er trukket fra?

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

449

Oppgave 2 Dina er opptatt av miljø og økonomi, og bestemmer seg for å finne ut hvor mye familien kan spare ved å være mer bevisst når de bruker varmt vann. Hun vil finne ut i hvor mange minutter familien dusjer om morgenen. Hun gjør målinger i 14 dager. A N TA L L M I N U T T E R

Dag 1

Dag 2

Dag 3

Dag 4

Dag 5

Dag 6

Dag 7

Dag 8

Dag 9

Dag 10

Dag 11

Dag 12

Dag 13

Dag 14

a Framstill dataene fra tabellen i et egnet diagram, og begrunn hvorfor du valgte dette diagrammet.

b Finn gjennomsnitt, median og typetall. Hvilket sentralmål gir det beste bildet av hvor mange minutter familien dusjer en vanlig morgen?

c Dina finner ut at hvis du har en dusj med et «vanlig» dusjhode, bruker du omtrent 16 liter vann i minuttet, mens med en sparedusj bruker du bare omtrent 8 liter i minuttet. Dina ønsker å overbevise foreldrene om at de bør skifte til en sparedusj, og hun forklarer at det koster 0,60 kr for hvert minutt dusjen brukes med et «vanlig» dusjhode. Hvor mye vil familien kunne spare i løpet av et år ved å skifte til sparedusj?

d Familien bestemmer seg for å skifte til sparedusj. De finner følgende tilbud:

450

EKSAMENSTRENING

Rørlegger Pettersen: 299 kr. Butikken gir 10 % rabatt. Varme og bad: 450 kr. Butikken gir 40 % rabatt. Rørleggeriet: 250 kr. Hvilket tilbud er det billigste?

e Familien kjøper den billigste sparedusjen. I hvor mange dager må familien bruke sparedusjen før de har tjent inn det sparedusjen kostet å kjøpe?

f Sparedusjen hos Rørleggeriet er på salg. Ordinært koster sparedusjen 490 kr. Med hvor mange prosent er sparedusjen satt ned?

Oppgave 3 Denne morgenen skal Dina ha idrettsdag, og hun skal derfor ha på seg treningstøy. Hun har fire par joggesko, fire treningsjakker, tre treningsbukser og to par løpehansker.

a Hvor mange kombinasjonsmuligheter har hun når hun skal velge treningstøy? Vis både ved å tegne et valgtre og ved regning.

b Hun oppdager at en av treningsjakkene og to av treningsbuksene er på vask. Hvor mange muligheter har hun nå?

c Moren til Dina vil gjerne ha litt mer orden i garderoben. Hun kjøper derfor en skohylle. Dina har fire par joggesko, et par støvler og to par pensko. I hvor mange ulike rekkefølger kan Dina plassere skoene på skohylla?

Oppgave 4 Dina har kjøpt vannflasker og havrekjeks som niste til idrettsdagen. Ved frokostbordet lurer Jakob på hva varene har kostet. Dina gir broren en liten oppgave. Tre vannflasker og tre havrekjeks koster 105 kr sier hun. Kjøper du en vannflaske og fire havrekjeks, betaler du 10 kr mindre. Hvor mye koster en vannflaske, og hvor mye koster en havrekjeks?

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

451

Oppgave 5 a Dina skal lage matpakke. Matboksen har form som en kube. Overflatearealet er 864 cm2. Hvor lang er sidekanten på matboksen?

b Matboksen har to rom. Under ser du hvordan matboksen er delt opp.

Hvor lang er diagonalen som deler bunnen av matboksen i to?

c Hvor stort volum har matboksen? d Jakobs matboks har form som et rektangulært prisme. Den rommer 1,5 L. Hvilken matboks har størst volum?

e Lag et forslag til hvilken lengde, bredde og høyde matboksen til Jakob kan ha.

Oppgave 6

452

EKSAMENSTRENING

digital

Familien har fått hunden Pia. Den må ha en halvtimes luftetur hver morgen. Jakob skal ha denne jobben. Han skal få lønn, og foreldrene gir ham tre tilbud han kan velge mellom. 1: 250 kr i måneden og 5 kr for hver luftetur 2: 150 kr i måneden og 12 kr for hver luftetur 3: 400 kr i måneden

a Dina mener han bør velge tilbud 2. Vis grafisk at Dina har rett. b Jakob velger tilbud 2. Hvor mye kommer Jakob til å tjene på et år?

c Vis grafisk hvor mange dager Jakob må lufte hunden før han har tjent mer enn 400 kr med tilbud 2.

d Hvor mange dager må Jakob jobbe for å tjene minst 300 kr dersom han velger tilbud 2?

Oppgave 7 Skoleveien til Dina og Jakob er 3,5 km.

a Dina går til skolen. Hun går med en gjennomsnittsfart på 8 km/h. Hvor mange m/s er det?

b Skolen starter kl. 08.15. Når bør hun gå hjemmefra for å være på skolen seinest kl. 08.10?

c Jakob sykler til skolen. Han bruker 12 minutter på skoleveien. Hva er gjennomsnittsfarten?

Oppgave 8 Familien bor i en leilighet som er 120 m2. Leiligheten har form som et rektangel med bredde 10 m og lengde 12 m. I leiligheten er det: • stue på 35 m2 • kjøkken på 15 m2 • et stort soverom på 22 m2 • to mindre soverom, hvert på 11 m2 • et bad på 10 m2 • et toalett på 3 m2 Resten av arealet er gang og bod. DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

453

a Hvor mange m2 er gang og bod? b Skriv som brøk hvor stor del av leiligheten som er soverom.

c Hvor stor prosentdel av leiligheten utgjør stuen? d Lag et forslag til hvordan leiligheten kan se ut i målestokk 1 : 25.

Oppgave 9

digital

Dina har fått jobb i sommerferien, og i august kan hun sette inn 4800 kr på sparekontoen sin. Hun får 3,2 % rente. Bruk regneark og finn ut hvor mye Dina har på kontoen etter 1, 2, og 3 år.

Oppgave 10

digital

Familien bestemmer seg for å kjøpe bil. De finner en bruktbil de liker. Den koster 145 000 kr. De har spart i en periode og har 30 % av beløpet i egenkapital.

a Hvor mye må de låne? b De tar opp et serielån som skal tilbakebetales over 5 år med årlige terminer. Den årlige renten er 5,4 %. Hvor stort blir hvert avdrag?

c Hvor mye rente må familien betale det første året? d Hvor mye må familien betale tilbake totalt? e Hvor mye må de da totalt betale for bilen?

454

EKSAMENSTRENING

SOMMERFERIE PÅ HYTTA Oppgave 1 Familien Bø (Solveig, Sigve, mor og far) skal leie hytte ved sjøen en uke i sommerferien. De vil blant annet bade, fiske og stå på vannski. De har funnet en hytte de kan leie, og kan velge mellom følgende pristilbud: Tilbud 1: Hytte + båt én uke: 8000 kr

Tilbud 2: Hytte én uke: 5000 kr Båt per døgn: 600 kr

Gjør beregninger eller lag grafisk framstilling som de kan bruke som grunnlag for valg av tilbud.

Oppgave 2 a Solveig har funnet ut at nautisk mil er en målenhet som brukes om avstander til sjøs. En nautisk mil er 1852 m. Hvor mange nautiske mil er 1 km?

b Forklar at avstand målt i nautiske mil og avstand målt i kilometer er proporsjonale størrelser.

c Hvis vi seiler én time med én knops fart har vi seilt én nautisk mil. Hvor mange km/h er en knop?

d Båten familien Bø leier, har en normal fart på 12 knop. Hvor mange km/h tilsvarer dette?

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

455

Oppgave 3 a Sigve målte på Kystverkets kartapplikasjon at avstanden rundt Burøya er 5,29 nautiske mil. Hvor mange m er det?

b Linja AB er 1,00 km i virkeligheten. Hva er målestokken på kartet? Tjømøya BISPØYAN

Hjortvikholmen

Snåsøya Purkøya Kvitøya Storsjøholmen Kjeøya

Bussøyan Burøya

Sauholmen

Kalvøya

Olderøya Feøya Edøya

Sauholmen Høgholman

Talerøya

Oppgave 4 Båten har påhengsmotor som bruker bensin. Den oppgis å ha et gjennomsnittlig drivstofforbruk på 0,5 L/nautisk mil. Familien anslår at de i gjennomsnitt kommer til å kjøre to runder rundt Burøya hver dag i ferien. Prisen på bensin er 14 kr/L. Hvor mye må de regne med å betale for bensin til båten?

456

EKSAMENSTRENING

Oppgave 5 Hvis familien skal på butikken, kan de velge mellom å kjøre med bilen, eller de kan bruke båten. Hvis de kjører med bil, er avstanden 7,0 km. Gjennomsnittsfarten på denne strekningen er 55 km/h. Avstanden med båten er 2,70 nautiske mil. De kan kjøre med 12 knops fart hele veien, bortsett fra de siste 0,5 nautiske mil hvor farten er 3 knop. Gjør beregninger, og vis at bilturen tar kortest tid.

Oppgave 6

digital

Familien er på butikken, og i handlekurven har de følgende: VA R E

PRIS PER STK. ELLER PER KG

5,4 kg poteter

13,99 kr/kg

1 pakke smør

34,00 kr/stk.

4 L melk

16,00 kr/L

4 brød

27,00 kr/stk.

3 L juice

22,90 kr/L

2 bokser makrell i tomat

12,99 kr/stk.

1 kg gulrøtter

22,50 kr/kg

0,4 kg hvitost

122 kr/kg

2 fiskesnører

198,00 kr/stk.

1 pose potetgull

32,00 kr

0,45 kg løk

16,90 kr/kg

0,89 kg tomater

29,00 kr/kg

2 bokser med is

49,00 kr/stk.

a Mor har tatt med seg 1000 kr og lurer på om hun har tatt med seg nok penger. Gjør et overslag over hva varene vil koste.

b Mor dropper det ene fiskesnøret, for hun har ikke nok penger. Hva måtte mor betale for varene?

c Solveig mener at hun kan lage en regnearkmodell som kan brukes til å finne ut hva det de handler, vil koste. Vis hvordan en slik regnearkmodell kan være, og test den på varene mor kjøpte.

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

457

Oppgave 7 Solveig og Sigve kjøper godteri for egne penger. Solveig ender opp med en pose som inneholder noen Sommersjokolader. Sommersjokoladene koster 8 kr per stk. Sigve har kjøpt en pose med Båtsjokolader som koster 12 kr per stk. Til sammen har de brukt 160 kr og har 15 sjokolader. Hvor mange sjokolader av hver type har de kjøpt?

Oppgave 8 Sigve har hatt krabbeteiner ute en natt, og han har fått 18 krabber. 1 av krabbene er hannkrabber. Hvor 3 mange hannkrabber har han fått?

a Sigve finner ut at

b Sigve vil gi halvparten av hannkrabbene sine til hyttenaboen Sigrid. Hvor mange store krabbeklør får Sigrid?

c I en firedel av hunnkrabbene viste det seg å være rogn. Hvor mange krabber med rogn hadde Sigve fanget?

d Far har kokt alle krabbene som ikke var gitt bort. Han tar en tilfeldig krabbe og åpner den. Hva er sannsynligheten for at han tar en krabbe med rogn?

e Mor er interessert i en krabbe med rogn, derfor velger hun en hunnkrabbe. Hva er sannsynligheten for at hun velger en krabbe med rogn?

Oppgave 9 Mor er begeistret for et blomsterbed ved hytta og har laget en tegning i målestokk 1 : 100 med tanke på å bruke samme idé når hun skal anlegge hage hjemme.

a Sigve vil sjekke om hun har målt riktig. Han finner at lengden av blomsterbeddet er 6 m, inklusive kanthellene. Stemmer målestokken på mors tegning?

458

EKSAMENSTRENING

b Utenfor hytta er det en blomsterkasse. Kassa har følgende mål: Lengde: 2,0 m, bredde 1,0 m, høyde 0,6 m

Hvor mange liter jord trengs hvis kassa skal fylles slik at avstanden fra toppen av jorda til kanten av kassa er ca. 5 cm?

c Jord selges i sekker som rommer 40 liter. Hvor mange sekker må man kjøpe for å ha nok til å fylle i kassa?

d En type plantegjødsel skal blandes i forholdet 1 : 20. Hagekanna som de bruker til å vanne med, rommer 15 L. Hvor mange L gjødsel skal det tilsettes til en slik kanne med vann?

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

459

Oppgave 10 Far og Solveig er ivrige til å fiske, og etter at ferieuka er omme, har de følgende oversikt over fangsten sin: FISKESLAG

A N TA L L

Torsk

Sei

Makrell

Lyr

Lange

a Lag et søylediagram som illustrerer antallet de har fått av hvert fiskeslag.

b Hvor mange prosent av fiskene var torsk? Torskene de har fått, har disse vektene: 0,8 kg 2,4 kg

3,4 kg 1,2 kg

1,2 kg 8,3 kg

3,7 kg 3,1 kg

2,3 kg 1,9 kg

0,7 kg 1,5 kg

c Finn gjennomsnittsvekt, medianvekt og variasjonsbredde for vekten av torsken.

d Far vil bruke gjennomsnittet, og ikke medianen, når han skal skrive om torskefangsten i hytteboka. Hvorfor tror du far vil gjøre det?

Oppgave 11 Solveig måler badetemperaturen hver dag. Her er temperaturmålingene hennes:

Solveigs venninne Stine er på ferie ved Middelhavet og har den samme uka disse badetemperaturene:

MANDAG

15,5 °C

MANDAG

25,5 °C

TIRSDAG

16,1 °C

TIRSDAG

24,1 °C

ONSDAG

16,4 °C

ONSDAG

23,9 °C

TORSDAG

15,9 °C

TORSDAG

23,0 °C

FREDAG

16,2 °C

FREDAG

23,6 °C

LØRDAG

15,7 °C

LØRDAG

23,7 °C

SØNDAG

15,5 °C

SØNDAG

24,1 °C

Framstill badetemperaturene i samme diagram.

460

EKSAMENSTRENING

Oppgave 12 Terje er fisker, og akkurat nå fisker han krabbe. En dag har han fått 145 krabber i de 36 teinene han har ute.

a Hvor mange krabber blir det i gjennomsnitt per teine? b Denne dagen er det 34 hannkrabber i fangsten. Hvor mange prosent av krabbene er hannkrabber?

Oppgave 13 Solveig vil gjerne bade når det er fjære sjø, mens hun vil fiske når det er flo. Her ser du hvordan tidevannet varierer et døgn i sommerferien:

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

00:00:00 01:00:00 02:00:00 03:00:00 04:00:00 05:00:00 06:00:00 07:00:00 08:00:00 09:00:00 10:00:00 11:00:00 12:00:00 13:00:00 14:00:00 15:00:00 16:00:00 17:00:00 18:00:00 19:00:00 20:00:00 21:00:00 22:00:00 23:00:00

Vannstand, cm over sjøkantnull

Tidevann et døgn

Klokkeslett

Når er vannstanden lavest? Når er den høyest? Hvor stor er forskjellen på flo og fjære denne dagen?

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

461

JUL Oppgave 1 Norsk gran er den vanligste juletresorten. Helge produserer juletrær, og hver jul selger han juletrær på torget. Prisen avhenger av hvor høyt treet er. I år koster et juletre 220 kr per meter.

a Kari kjøper et juletre som er 210 cm høyt. Hvor mye betaler hun for juletreet sitt?

b Prisen på juletrær, P(x), kan uttrykkes som en funksjon av høyden. Kall høyden av treet målt i cm for x, og finn et funksjonsuttrykk for P(x).

c Tegn grafen til P(x). d Bruk grafen til å finne ut hva et juletre som er 210 cm høyt, koster.

e Hvor høyt juletre kan du kjøpe for 500 kr? Oppgave 2 Lars skal jobbe litt for Helge i desember. Han skal blant annet stå på torget og selge juletrær. Lars tjener 120 kr per time. Han betaler 18 % skatt. De fire ukene i desember jobber han slik:

UKE

12 timer

UKE

23 timer

UKE

28 timer

UKE

14 timer

Hva blir nettolønnen til Lars i desember?

Oppgave 3 Kari kjøper julegaver til familien sin. Her ser du hva hun har kjøpt: 2 bøker 4 par votter 3 gavepakninger som inneholder julekaffe og julesjokolade

462

299,00 kr per stk. 79,00 per stk. 129,00 per stk.

2 fargeleggingsbøker, tilbud –30 %

Ordinær pris 149,00 kr per stk.

3 krus, tilbud 3 for 2

Ordinær pris 129,00 kr per stk.

EKSAMENSTRENING

a Gjør overslag over hva julegavene koster. b Sett opp et regnestykke, og regn ut nøyaktig hva alle gavene koster.

Oppgave 4

digital

Lars er med i et musikkorps, og de skal ha julekonsert. Lars skal lage budsjett for konserten. Han får beskjed om at utgiftene pleier å være omtrent slik: 8 000 kr

L E I E AV K O N S E RT L O K A L E

10 000 kr

LØNN TIL DIRIGENT L E I E AV LY S - O G LY D U T S T Y R

4 500 kr

Dessuten får han vite at det vanligvis kommer ca. 200 personer på en slik konsert. Korpset ønsker et overskudd på minst 5000 kr på konserten. Bruk regneark og sett opp et budsjett for konserten. Bestem hva inngangsbilletten bør koste for at det skal bli et overskudd på minst 5000 kr.

Oppgave 5

digital

Etter konserten viste det seg at inntekter og utgifter ble slik: Utgifter: 8 000 kr

L E I E AV K O N S E RT L O K A L E

10 000 kr

LØNN TIL DIRIGENT L E I E AV LY S - O G LY D U T S T Y R

4 800 kr 650 kr

T RY K K I N G AV K O N S E RT P R O G R A M

Antall publikum: 154 Billettpris: 150 kr

a Utvid regnearket fra forrige oppgave, og skriv inn regnskapstallene.

b Ble det overskudd eller underskudd på konserten?

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

463

Oppgave 6 Mona og mormor skal lage julepynt. Pynten er formet som kuber, diamant (dobbel pyramide, oktaeder) og tetraeder.

a Kuben skal tegnes som én bit på tynn sølvfarget papp, klippes ut og limes sammen. Den skal ha sidekant med lengde 4,0 cm. Tegn et mønster som kan brukes til å lage denne kuben.

b Hvor stor overflate har kuben? c Hvor stort volum har kuben? Tetraederet har fire sideflater. Hver av sideflatene er en likesidet trekant. Mønsteret vi skal bruke til å lage tetraeder starter med en likesidet trekant.

d Vis hvordan den kan deles med tre linjer slik at vi får fire små trekanter som er formlike med den store.

e Tegn en figur som kan brukes som mønster for å lage tetraeder av sølvfarget papp. Sidekanten skal være 4,0 cm lang.

f Hvor stor overflate har tetraederet? g Diamanten består av 8 likesidede trekanter. I matematikken kalles en slik diamant et oktaeder. Tegn en figur som kan brukes som mønster for å lage diamanter av papp. La sidekanten være 4,0 cm.

h Hvor stor overflate har diamanten? i Hvor stort volum har diamanten?

464

EKSAMENSTRENING

j Både tetraederet og diamanten er laget av likesidede trekanter. Under ser du hvordan vi kan lage en likesidet trekant ved å brette en sirkel. Hva må radius i sirkelen være dersom siden i trekanten skal bli 4 cm?

Oppgave 7 I desember er ofte stjernehimmelen fin. Stjernen Proxima Centauri er solas nærmeste nabo. Lyset fra den bruker ca. fire år til jorda. Lysfarten er 3 ∙ 108 m/s. Hvor mange meter er det fra sola til Proxima Centauri? Oppgi svaret på standardform.

Oppgave 8 Julebakst Serinakaker 1 egg 250 g hvetemel 2 ts bakepulver 2 ts vaniljesukker 150 g smør 100 g sukker

a Lars skal overraske mor med å bake julekaker. Oppskriften gir 30 kaker. Lars vil gjerne bake 75 kaker. Skriv opp hvor mye han trenger av hver av ingrediensene.

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

465

b Lars putter de ferdige kakene i en sylinderformet boks. Han lurer på hvor mange liter kakeboksen rommer. Lars måler boksen. Den er 18 cm høy, og diameteren er 22 cm. Hvor mange liter rommer den?

c Lars vil dekorere sidekanten og toppen av boksen med folie med julemotiv. Hvor mange cm2 er overflaten av siden og toppen av boksen til sammen?

Oppgave 9 Lage julekrybbe Mona vil lage en julekrybbe i kryssfinér og har laget en arbeidstegning til hvordan de ulike bitene skal skjæres ut. Mona mener at tegningen er i målestokk 1 : 5.

a Regn ut hvor bred, dyp og høy julekrybben vil bli. b Mona tenker at hun har tegnet i feil målestokk, for hun vil at julekrybben skal være 30 cm bred. Hva er målestokken på tegningen hvis bredden skal være 30 cm? Hvor høy og dyp blir julekrybben da?

466

EKSAMENSTRENING

Oppgave 10 Oversikt over juletresalget I romjula får Lars i oppgave å lage en oversikt over hvordan årets juletresalg har gått. Han setter opp følgende oversikt: HØYDE

A N TA L L

150–179 cm

180–209 cm

210–239 cm

240–269 cm

270–300 cm

300–329 cm

330–360 cm

a Framstill Lars sine tall i et diagram. b I hvilken høydeklasse ligger medianhøyden? c Vi antar at midtpunktet i den klassen der medianen ligger er høyden på det typiske juletreet. Hvor høyt er det typiske juletreet?

d Vi så i oppgave 1 at prisen for juletre var 220 kr per m. Bruk høyden på det typiske juletreet, og gjør et overslag over hvor stor inntekt Helge har hatt på juletresalget.

DEL 2

•

MED HJELPEMIDLER

467

Fasit og register

FASIT TIL KAPITTEL 1 1.1

1.16

1.28

a 51, addisjon, ledd, sum

a 483

d 1473

a 13

d –1

b 39 000 kr, divisjon, kvotient, dividend, divisor

b 8163

e 2485

b –2

e –18,9

c 6911

f 4914

c –5

f 0,01

c 15,5 kg subtraksjon, ledd, differanse

1.17

d 2 000 000 franc, multiplikasjon, faktor, produkt

a 8,51

d 395,65

a 275

d –31

b 1,63

e 11,47

b –90

e –40

c 9,93

f 28,67

c –75

f 2

1.8 a 52

i 70

e 45

j 1300

b 179 f 70

1.29

1.18

1.30

c 44

g 247

k 20

a 2383

c 9996

d 44

h 90

l 30

b 93

d 300

a –300 kr – 150 kr = –450 kr b –25 kr ∙ 5 = –125 kr

1.9

1.20

a 12, 356, 350

a 1576

c 233 910

b 450, 555, 1005

b 3854

d 50

1.31 a 4∙2 b 4∙3=6∙2

c 1122, 612, 234

1.21

1.10

a 150 kr

c 17 · 1 b 5 kg

d 3 ∙ 32 = 2 ∙ 48 = 4 ∙ 24 = 6 ∙ 16 = 8 ∙ 12

a 40, 20, 10, 2

1.22

b 5, 5,5, 6, 9, 10, 12, 20

a 3300 kr

d 394 kr

d 80, 320, 240

b 825 kr

e 1875 kr

c 471 kr

1.11

1.24

a 10, 20, 40, 200 b 4, 10, 20, 20, 25, 50, 100

a 1183

c 1534

c mye større enn 500

b 651

d 80

d 4000, 1000, 500

1.13

a –190

Forslag a 1250 kr

b 1227 kr

FASIT TIL KAPITTEL

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 178 = 2 ∙ 89 32 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 1020 = 2 ∙2 ∙3 ∙5 ∙17

1.33 a 60, 1050, 15

1.26

470

1.32

c Litt mindre enn 500

b 60 har 2 og 3 1050 har 2,3 og 7 15 har 3 c 32 har 2 501 har 3 og 167

1.36

1.48

1.54

a, c, d og i er sanne.

a 3

a 13,9 m/s

1.37

1 b 9a = 3, a " 3

b 0,28 m/s

a 0,2

d –0,625

1.49

b 8,8

e 0,27

c 0,3

f 1,142 857

1.40 a

1 " 0,09 11 2 " 0,18 11 3 " 0,27 11

1.55

293 55

a 180 km/h

136 136 c 4,12 " og 33 33 77 993 434 og 999 900

b 3,6 km/h c 2,8 km/h

1.57

1.50

Hun må holde en fart på 61 km/h.

a 4100 m b 100 000 cm

1.58

c 378 cm

c 0,36

1,053 h = 1 h og 3 min.

d 3780 mm

1.41 a 9

c 0,22 m/s

b 13

c 1,4 142 135

e 0,034 m

1.59

f 0,000002

7 200 km/h

1.51

1.60

1.42 a 2

b 2,45 13,42

a 0,0013 kg 10

a 3000 kg/m3

b 0,000 000 1 nm

3,87

b 4000 kg/m3

c 4 000 000 000 000 cm

c 20 g/cm3

d 810 kg

1.45

e 30082, 6381 GB

1.61

a 1,73 er et irrasjonalt tall.

f 864 000 Wh

78 g

1.46

1.52

1.62

a s b s

c u d u

e u f s

a 2 ∙ 103 b 7,8 ∙ 10 c 9 ∙ 10

d 2 ∙ 10–1 4

e 3 ∙ 10

f 6 ∙ 10–3

1.47 1.53 a s

d s

g s

b s

e s

h u

c u

f u

a 600 b 7200

315 g

–2

1.63 a 2

c 2

e 2

b 2

d 4

f 4

1.64

c 63 000 000 000 000

1,0 ∙ 103

d 0,45

1.65

e 0,015 f 0,0059

12 m2

FASIT TIL KAPITTEL

471

1.66

1.79

1.89

9,92 m

3 2 og 6 6 5 6 b og 15 15 3 8 c og 18 18

2 9

1.91

1.80

1.92

1.69 1 b 6

2 d 12

g 0,25

1.70

a 0,25 ekte a 30

b 0,75 ekte c 2,3

uekte

d 3,2

uekte

b 24

11 18

1.81 a

e 0,33 ekte f –0,5 ekte

5 6

11 15

11 18

3 1 a 7 4 c Uekte brøk d

3 6

7 15

1 4

35 12

1.83

7 14

c 16

d 0,999

b 0,01

e 0,5

c 0,009

f 0,25

1 7

1 50 7 b 10

1 1000 123 d 1000

213 100 4 f 25

1.75 c 0,44

e 2,22

b 0,83

d 0,57

f 63,33

1.75

472

a 12

104 35

d 1

b 40 %

c 40 %

b 25 %

c 50 %

1.94 a 10 %

2 5

1 8

1.96 a 75 %

3 6

1 2

b 20 %

1.97 5 elever

1.98 Øker med 6 kr

17 b 100

FASIT TIL KAPITTEL

1 c 5

9 m 8

25 64 297 f 100

1.93

1.87

a 0,78

3 a 5

1.86

c 6 minutter

1.74 a

c 50

b 10 kg

1.85 a 2

65 27

a 15 kr

1.84

a 0,3

1.95

1 a 18

1.73

14 3 55 b 18 a

a 45 %

1.82 1.72

9 7

1.99 2955 kr

1.88

1.101

3 8

26 196 kinobesøk

c 33 %

1.103

1.113

1.121

192 cm

a 34,6 %

a Vekstfaktor: 0,8 Ny pris: 400 kr

b 37,0 %

1.104

c 2,4 prosentpoeng

a enig

d enig

b enig

e enig

d 11 %

c Vekstfaktor: 0 Ny pris: 0 kr

1.115

c uenig

a 3,2 kg

1.105 8

b 31,25 kg

3,63 ∙ 10 km

3 290 000 dollarmillionærer

1.106 a 17 %

e 150 %

1.117

b 7%

f 200 %

a 6 mL

c 71 %

g 125 %

1.107 40 %

1.108 2 dL = 40 % 1 dL = 20 %

1.109 a 158 %

b 3,1 mL

1.125

1.119

a Vekstfaktor: 0,8 Gammel pris: 625 kr

113 kr

b Vekstfaktor: 1,08 Gammel pris: 11 321 kr

1.120 26 %

c Vekstfaktor: 2 Gammel pris: 17 kr

1.121

d Vekstfaktor: 0,5 Gammel pris: 400 kr

b 5,18 % c Kull: 75 % Gass: 5 % Olje: 20 %

b Vekstfaktor: 1,06 Ny pris: 12 720 kr c Vekstfaktor: 2 Ny pris: 68 kr

33 %

d Vekstfaktor: 2,5 Ny pris 500 kr

1.111

e Vekstfaktor: 1,028 Ny pris: 411 kr

a 35 872

b 6681

a Sport1: 2176 kr Sport2: 2040 kr

0,012 ‰

a Vekstfaktor: 1,2 Ny pris: 600 kr

1.110

f Vekstfaktor: 0,993 Ny pris: 1490 kr

1.123

1.118

d 125 %

d Vekstfaktor: 0,5 Ny pris: 200 kr e Vekstfaktor: 0,972 Ny pris: 389 kr

1.116

b Vekstfaktor: 0,94 Ny pris: 11 280 kr

e Vekstfaktor: 1,028 Gammel pris: 389 kr f Vekstfaktor: 0,993 Gammel pris: 1440 kr

1.126 60 kr

1.127 2513 kr

f Vekstfaktor: 1,007 Ny pris: 1511 kr

1.112 Ca 800 kr

FASIT TIL KAPITTEL

473

1.128

102

112

a Pris uten mva: 79,20 kr Mva: 19,8 kr

De må betale 20 kr hver.

a 6,1

c 9,4

103

b 302

d 30,2

b Pris uten mva: 39,20 kr Mva: 9,90 kr c Pris uten mva: 30,43 kr Mva: 4,57 kr d Pris uten mva: 181 kr Mva: 18 kr

1.129 a 10 %

b 15 %

c 25 %

1.132

a (–10)

c (–22)

113

b 11

d (–8)

a Det koster 224 kr. b Det koster 960 kr.

105

c Han sparer 240 kr.

a 699

c 90

b 2

d 140

114 Type C er billigst.

106 116

a 2028

c 44,02

800 kr

b 198

d 108

1.142

107

a 4168 kr

a 2383

c 9996

a 0,2 m

d 2000 cm2

b 12 372 kr

b 93

d 300

b 1,2 km

e 10 m2

c 30 000 cm2

f 130 min

c og d er riktige.

121

c 7330 kr

108 1.153 14 027 kr

1.154

122

a 60

d 490

b 9

e 4

a 2 000 000 mm

c 8

f 8

b 0,00 001 km c 0,000 005 mil

5655 kr

109

1.156

a 452

d 598

g 999

e 32 768 MB

b 306

e 19 200

h 7,5

f 0,000 004 km

c 42

f 7000

i 26

14 400 kr

1.163

d 1 300 000 000 μg

110

125 Massetettheten er 694 kg/m3

50 551,20 kr

100

474

a 458

d 16,98

b 124,3

e 32,04

c 52,3

f 2,5

FASIT TIL KAPITTEL

a 912

c 5487

b 9651

d 108 a Lyset beveger seg 9500 000 000 000 km på et år.

111

126

a 10,54

c 1567,35

b 1,82

d 234,927

b Det er 9 460 730 472 58 mil.

127

135

a 4,5 ∙ 102 b 2,5 ∙ 10

d 1 · 101

e 1,7 · 10

c 1,005 ∙ 10

f 4 · 10

–4

144 1 2 og 3 6 d 0,33333… c

a 0,75 8 4 b " 10 5

136

128 a 1000 b 4780 c 666,6

a 84 kr b 12,5 % c 1 000 000

145

d 0,58

a 10

d 10

a 240 kr

e 0,000 098

b 5

e 100

b 100 kr

f 0,01

c 20

f 1

c 10 %

129

137

146

a 196 km

a 40 %

a 10 300

b 64 km/h

b 33,3 % (tilnærmet)

c 7 timer og 28 minutter

c 10 %

147

d 10,3 m/s, 37,1 km/h

d 20 %

a 2000

b 20 909

b 11 500

e 25 %

130

149

f 2,5 %

127,5 kg

a 2200 kr

138 131

a 50 3

4 · 10 cm

b 2

c 200

1 1 1 1 b c d e 6 2 2 4 8

154

Billigst i butikk A

a 335 kr

140

b 14,72 % 60 % av 2000 er 1200

c 90 kr

134 21 3 1 b , , 32 2 3

153 200 kr

139 132

b 1559,25 kr

141

155

2000 kr

a 258 083 b 2,2 %

143 a 7

b 7,1 %

c 75

c 1,4 prosentpoeng d Det rimer bra

FASIT TIL KAPITTEL

475

FASIT TIL KAPITTEL 2 2.1 A1 = B15 A2 = B10 A3 = B6 A4 = B7 A5 = B11 A6 = B12 A7 = B13 A8 = B8 A9 = B2

2.8 A10 = B3 A11= B17 A12 = B14 A13 = B9 A14 = B1 A15 = B11 A16 = B14 A17 = B18 A18 = B5

2.12

2y 5

2a c 2a 4 e 3 a 2 f 2c

b 0 c 1

2.9

a a – b + 2c

lov 6

b a–b

lov 6

c a – b – 2c

lov 5

d 2a2 + b2 – ab

lov 3

e y2 + xy

lov 3

2.10

3a b 2c 4a 2 e 9 1 f 2c d

2.6

b x+y a 2xt

d 5x – 4y

b 0

e 11t – 7x

c 2xyt

f 5ab + 4a

c x–y

a b 3 e 2a + 2 = 2(a + 1) 2( a 1) f c

2.11

a 71 + 3b b –5x2 + 2x – 3y + 4

c 4x + x2 + xy + 2y

1 x 2y

c 2

d –m + 4n

d x–y 1 e 2 x

e 2x2 + xy – y3 f 5a + 6b – 11

a 20 + 4y + 5t + yt b 5k + 5y +xy + y2 c 2x + 4 – xt – 2t d 4xz + 2yz + 8x2 + 4xy e 10x – 10y – xt + yt

2.16

1 a x 2y

2.7

Setter videre (x + y) inn for a og får: xz + yz – xt – yt.

f 3x – 15y + xz – 5yz

f x2 + 2y2 + xy lov 2 a x+y

Bruker lov 3 som gir (x + y) (z + t) = a(z + t) = az + at.

2.14

x 3y 10 x y b 4 x +8 x c = +1 8 8

2.4

Setter a = (x + y), b = z og c = t.

3a − 2 c 3a f = −2 c c

a 6y + 15z – 3w b ay + 3az + 5aw c 6a + 10b + 4c d 6a + 6b = 6(a + b) e 8z + 8w = 8(z + w) f 4a – 2c

2.17 a 20a –25b – 5c b a2 + 3ab + 5ac c 6x + 4y + 2t d 9a e –2y – 6z + 6w f –4b + 4c

2.18 a –4a b a–b

476

FASIT TIL KAPITTEL

2.19 a 3a

b 2b

2.28

2.34

a a5, a4, a3, a2, a, 1

a 2, 6 og 3

a a⋅a⋅a = = 4 a a⋅a⋅a⋅a a3 a⋅a⋅a = = a5 a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a 3

1 og a 1 1 = a ⋅ a a2

2.20 a 2a

b x+1

2.22

a3 = a 3− 5 = a −2 og a5 1 1 a3 a⋅a⋅a = = = 2 5 a a⋅a⋅a⋅a⋅a a⋅a a

e a 28

d 36

b a8

e x7 – x6 = x6(x – 1)

c x11

f 0

a (12)

d (2 · 3· 4) = 24

b (abc)3

e (xyz)2 – (xy)4

c (xyz)4

f (xyz)5 – (xyz)6

2.25 a 33 = 81

d b

b 23 = 8

e y f 5 = 25

2.26 c b3

b x

1 1 " 23 8 1 1 e 2 " 6 36 1 f a

a 1

1 1 " 22 4 1 c 5 b

a 8 + 15 = 23

c 5 · 4 = 20

b 17

d 20

d a

e c

f x

d 2

2 3 1 " 3 6 3 2 5 c 5 b

1 x x

a 2 6

d 2 2x

b 4 2

e 2x 2

c 5 3

f 13

2.38 a

300 = 100 ⋅ 3 = 100 ⋅ 3 = 10 3

100 ⋅ k = 100 ⋅ k = 10 k

2 2⋅ 2 2 2 1 1 = = = ⋅ = 2 2⋅ 2 2 2 2 2 2

2.39

a 2, 3 og 6

(k + p)M

b 4, 5, og 20 c 8, 7 og 56

2.27 3 5

d b c

2 b 5

y x

x y

9 1 "4 2 2

2.31

a a8

2.30 2

c x

2.35

2.36

2.29 2.23 5

b 4, 20 og 5

e f

5 a

2.40

2.32 a 6 b 6

(k + r)n e 8 f 12

2.41

= 2 ⋅2 ⋅3

c 4

= 4⋅ 3

d 15

=2 3

(k + r – 2)n + (k + r)n = kn + rn – 2n + kn + rn = 2kn + 2rn – 2n = 2n(k + r – 2)

2.45

2.33

a 4mn + 2m + 2n + 1 a 15 – 8 = 7 b 12,69

15 c 8 d 1,88

b De fire første leddene vil alle være partall. Et partall pluss 1 vil være et oddetall.

FASIT TIL KAPITTEL

477

2.47

2.52

2.58

b 100

a 9 – 6x + x2

a 8a

c 36 + 24 + 24 + 16 = 100

b 4ab + 4a + 8b

b x – 4x + 4

d a = 2, b = 8 gir 64 + 16 + 16 + 4 = 100

c 4 a – 4a + 1

c 5a2 – 3b2 – 8ab

d 289

d 2x2 + 4y2 + 6xy

e (a – b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

e 324

2.59 2.54

2.48 Setter inn a = (2 + y). Det gir a · (2 + y) = 2a + ay. Setter så inn for a. Det gir 2a + ay = 2 · (2 + y) + (2 + y) · y = 4 + + 2y + 2y + y2 = 4 + 4y + y2

a (x + 2)(x – 2)

Setter inn a = (1 + y) og bruker lov 3. Det gir a · (1 – y) = a – ay.

b (x + 4)(x – 4)

Setter så (1 + y) inn for a og får: a – ay = (1 + y) – (1 + y) · y = 1 – y2

d (3x + 5y)(3x – 5y)

c (2x + 4)(2x – 4) = 4(x – 2)(x + 2)

2.55

e (3x + 2)(3x – 2) 1 1 f x 2y x 2y 2 2

2.60

2.49

a 4 – x2

a 25 + 10x + x2

b x2 – 25

a (x + 1)2

d (3x + 2)2

b x2 + 6x + 9

c a2 – 1

b (x + 3)2

e (4x + 1)2

2.56

c (2x + 1)2

c b2 + 4b + 4 d 4 + 4b + b2 e 4a2 + 12a + 9 1 f x2 x 4 g 169

a 65

d 36 – 12y – y2

b 36

e 9x2 – 4

1 x 2 2

2.61 a (y – 2)2

d (2x – 2)2

b (a – 2)2

e (x – 2y)2

2.57

c (2b – 1)2

a 33 · 27 = (30 + 3)(30 – 3) = 900 – 9 = 891

2.62

b 41 · 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 1600 – 1 = 1599

a (x + 5)(x – 5)

c 10 · 10 – 2 · 2 – 2 · 8 – 2 · 8 = 100 – 4 – 16 – 16 = 64

c 72 · 68 = (70 + 2)(70 – 2) = 4900 – 4 = 486

c (4x + 1)2

2.51

d 55 · 45 = (50 + 5)(50 – 5) = 2500 – 25 = 2475

2.63

e 22 · 38 = (30 – 8)(30 + 8) = 900 – 64 = 836

a (x + 6)(x – 6)

f 87 · 93 = (90 – 3)(90 + 3) = 8100 – 9 = 8091

c (5x + 1)2

c 64

h 169

2.50 b (10 – 2)(10 – 2) = 102 – 20 – 20 + 4 = 100 – 20 – 20 + 4 = 64

Setter inn a = (1 – y) og bruker lov 3. Det gir a · (1 – y) = a – ay. Setter så (1 – y) inn for a og får a – ay = (1 – y) – (1 – y) · y = 1 – 2y + y2

478

FASIT TIL KAPITTEL

f 25 + 10y + y

b (x – 2)2

b (x – 1)2 d (9x + 2)2 e (3x – y)2 1 f y 4 4

1 y 4 2

2.64

2.84

2.98

a (5 – y)2

2 f (x) = −x −

b (5 + a)(5 – a)

f(x) =

2.86

c (4 + b)2 d (2x + 1)

a , a er overskuddet x og x er antall ansatte

1 2

e (2x + 2y)(2x – 2y) = 4(x + y)(x – y) f (3 + 2b)2

2.65 a 4 2( a + 3b ) x − 2y x c 3 b

d 2(x – y) 4 e a b a+1 f a−1

2.66 3x + 6 3 = x+3 2 2 a 1 b a 1 c a 1 a

a 2

f (x) =

10 +2 x

b Så at funksjonsuttrykket var på formen til en brøkfunksjon med asymptote g(x) = 2

4 y = 2x – 1

2.89 f(x) = 2x + 50, x står for antall aviser

2.90 a Hun må betale 2x + 25 b f(x) = 2x + 25, x står for prisen per kg epler.

2.91

f (x) "

1300 x

b 0,5 10 e " 3, 3333# 3

2.100 b f(x) = –4x + 100 70 g(x) = 25 x

2.87

Hver må betale

2.99

1300 x

c f(x) = –4x + 100 = –4 · 24 + 100 =4 f(x) = –4x + 100 = –4 · 30 + 100 = –20 70 g (24) = + 25 x 70 = + 25 24 = 27, 5 70 + 25 x 70 = + 25 30 = 27, 3

g (30) =

2.67

2.93

2.101

(a + 2)(a + 2) = a2 + 4a + 4

d Forholdet mellom lengden og bredden er konstant

a f(x) = 225x

e Lineær funksjon. f(x) = kx, x står for bredden og da står f(x) for lengden.

2.102

2.96

2.104

Hun betaler 2n + 18. Lineær funksjon.

a = –1, b = 60 og c = 0

2.69 a 1 y kan ha alle verdier når x = 4. b 2 y har to verdier, en negativ og en positiv verdi når x = 4.

2.70

c 5 ganger

3x2 f(x) = 3x2

Grafen skjærer andreaksen i punktet (0 , 0).

FASIT TIL KAPITTEL

479

2.105

2.121

2.128

a = 1, b = –2 og c = –24

b 2,37 sek

5 timer

c 27,46 meter

2.106

d Etter 4,73 sekunder

b 3

e 1,13 sek og 3,6 sek

4 km

2.114

2.122

2.130

f(x) = x2 + 4 a=1 b = 0 og c=4

b f(x) = 2500 · 1,08x

155 elever

2.115

2.123

1 x=1

d 2500 · 1,0815 = 7930

2 x=2

3 x=2

2.116 1 og d 2 og b

a La Olas alder være x, Pers alder P og Lises alder L. Da er P = 2x og L = x + 10.

b f(x) = 550 · 0,90x d ca. 7 år

3 og a 4 og c

a x=4 b x=2

a A(r) = πr2 a = π, b = 0 og c = 0

c x = –4

A(sirkel) πr 2 " 2 "π A(kvadrat) r

2.119 a –4 b –3 c I punktene (–3 , 0) og (1 , 0)

2.120 a 2x + y = 20

y = 20 – 2x

b A(x) = x · y = x(20 – 2x) d 50 m2 e x=5

2.125

2.127 28 år

Zahra: 80 kr. Iselin: 160 kr. Nora: 180 kr.

2.133 a r"

a x=5 14 5 b x" "1 9 9 26 c x" 5 1 d x" 4 2 e x" 5 −4 f x= 7

a x=4

g 8 m og 2 m

FASIT TIL KAPITTEL

d x=6 15 7 e x" "1 8 8 f x=3

2.126

f Arealet blir 48 m2

b x + 2x + (x + 10) = 66 Ola: 14 år, Per 28 år, Lise 24 år

2.132

2.124

2.118

2.131

e Vel 9 timer

c ca. 400

480

2.129

b x=2

O 2π

b r"

A π

b b=

3V l⋅h

2.134 a h"

3V G

2.135 a Anan: 200 Brage: 400 Eiliv: 300 b Anan: 120 kr Brage: 240 kr Eiliv: 180 kr

2.136 24 stk

2.137

2.144

Marius: 10 år Gabriel: 20 år Andreas: 23 år

a x = 3, y = 2 b x = 1, y = 8

2.153 b x"

a x=4

c x = 5, y = –5

2.155

2.146

a x = –3 og x = –2

1 2

2.138 Skrue 16g og mutter 4g

x = 1, y = 3

c Ingen løsning

2.139 Vannflaske: 15 kr Skolebrød: 20kr

b x = 2 og x = –2

2.147

d Ingen løsning

Barn: 50 kr Voksne: 90 kr

e x=0

2.148

2.156

350 barn og 150 voksne

a x>6

f x = –2 og x = 0

2.140 a x = 3, y = 3 b x = 3, y = –7 c x = 2, y = 1 d x = 3, y = –1

2.141 a x = 3, y = 3 b x = 3, y = –7

2.149

e x>2

b x<3

f x#

c x > 20

Iver: 14 år Siri: 10 år Nora: 7 år

d x > 18

2.150

Salget må være mindre enn 20.

g x > 10

2.159

c x = 2, y = 1

a x = 3 og x = –3

d x = 3, y = –1

b x = –2 og x = 0

2.160

c x = 4 og x = –4

33 334 mil

2.142

d x = 2 og x = –3

a x = 3, y = 2

e x = 0 og x = 2

b x = 1, y = 8

f x = 3 og x = –2

c x = 5, y = –5

12 5

2.152

200 A1 = B4 A2 = B5 A3 = B1

A4 = B2 A5 = B3

2.143

a x = –2 og x = 6

a x = 0, y = –1

b x = –5 og x = 5

201

b x = 1, y = –4 4 c x " ,y=1 3 d x = 2, y = –3

c x = –7 og x = 3

a a – b – 2c

d ab – b2

d x=2

b a + b – 2c

e y2 – xy

e Ingen løsning

c a+b

f 0

e x = –1, y = 0,4

g x = –3

203

f x = –1, y = 1

h Ingen løsning

a 1 5 b c

f x=0

i Ingen løsning

c a2 + ab d 0

e 3 3 f y

FASIT TIL KAPITTEL

481

204

210

a 0

a 52 b 3

b 2lm

220 e y6

c a d x

f 10

250 = 25 ⋅ 10 = 5 10

25k = 5 ⋅ 5 ⋅ k = 5 k

75 75 25 ⋅ 3 5 3 = = = 4 4 4 16

c lon – lo = lo(n – 1)

211

d 2abc – adc + ad e –a + b 3a f b g l + 2m

c a4

e 8c

b 10

d 1

f 1

b 8x – 16 1 1 d " 103 1000 1 1 e 2 " 5 25 1 f 10

a 1 a d c a 5 e 5b m 1 f k

a m b a a 1 c

1 1 b 2 " 3 9 1 c 2

214

a 6 + 5a + a2

c x<2 d Partall når x er partall ex>n f Partall når x er partall

224 a a

207 a 55

c 42

b 9,22

d 42

a b + 7a

c 2x – 4 – xy +2y

215

d 3ac – 2bc + 3a2 – 6ab

a 6

c 9

e 10

226

e 100 – 10a – 10b + ab

b 6

d 9

f 10

a x2 – 81

f 14 – 10y + 7x – 5xy

c 3x2 – 48

208 a 3,61

c 5,48

e 5,39

b 1,73

d 4,24

f 7,21

b x2 + 8xy – 2xt

217

d 12y

a 3 5 2 b "1 3 3 11 1 "2 c 5 5

e –8b + 8d f 3

209

c x

a x2 – 14x + 49 d 2 2

b 4x2 + 20x + 25

e x

c 9 – 24y + 16y2 d 2x2 – 4x + 2

f x x

218

d 46

e a –a

b 3

d 8x2 – 32 = 4(x – 2)2

227

c 6a + 10b +14c

a 27

b 2a – 1

b 25x2 – 4

216 a 6x – 20y + 2t

b x+y

225

b 5a + 25 + ab + 5b

482

223 a Det kommer an på hva x er.

212

206

a 108

f x – x = x (x – 1)

FASIT TIL KAPITTEL

228

a 2 22

d 4 a

a (x + 5)2

c (x + 3)2

b 8 2

e 2b 2

b (x – 6)2

d (x – 2)2

c 5 5

f 12

229

247

255

a (x + 1)(x – 1)

46 km/h

a x = 3, y = 0

248

b x = –5, y = –2

d (2y + 7)(2y – 7)

20 dm3

c x = –5, y = 15

230

249

a 64

c 2809

24 a g

b 2491

d 784

b 2(x + 3)(x – 3) c (x + 6)(x – 6)

231 3 ( x 2) 2 2x b x 2

d x = 4, y = 4

256 a x = 3, y = 2

b 10,6 dm

c x = 5, y = –5

250 c x–4 1 d x 5

258

4 cm

Barn 60 kr og voksne 100 kr

251 0,60 m

259

252

Eplene koster 26,40 kr per kilo, og druene koster 16,40 kr per kilo.

234 b Det forteller stigningstallet, hvor bratt kurven er. c Grafen skjærer y-aksen i –1. Skjæringspunktet er konstantleddet.

260 Tallene er 7 og 14.

261

244 c x=2 d x=6

245

36 b x" 47

c x = –2, y = –1

253

S(t) = 80t

a x = 13

3 1 ,y " 2 2 b x = 2, y = 5 a x"

d x = 2, y = 1

235

a x=2 1 b x" 2

b x = 1, y = 8

a x = 2 og x = –2

a x = 5, y = 12

b x = 5 og x = 0

b x = 2, y = 2 11 c x = 1, y " 6 d x = 3, y = 0

c x = 0 og x = 1

254

a x = 2 og x = 0

c x=3

a x = 3, y = 2

d x = –7

b x=y=4

246

1 c x = –1, y " 3

4562,50 kr

d x=−

d x = 0 og x = 3

262

b x = 5 og x = 0 c x = 0 og x = 1 d x = 0 og x = 3

7 1 , y" 4 2

FASIT TIL KAPITTEL

483

263

269

273

a x = 0 og x = 2

Tilbud 1 lønner seg uansett.

a x = 3 og x = 1

b x = 3 og x = –2

270

c x=2

a Alle er 0.

d x = –2 og x = –3

b x = 3 og x = 2 c x = 2 og x = –1 d x = 2 og x = 1

b x(x – 3)

265

c x = 0 og x = 3

a x>3

c x≤1

b x<3

d Ingen løsning

266

c x ≤ –4 d x > 10

FASIT TIL KAPITTEL

b x = –2 og x = –8 c x = 8 og x = –2

b x = 0 og x = 5

d Ingen løsning

d x = 2 og x = –2

b x=0

a x = 2 og x = –6

a x = 0 og x = –6 c x = 0 og x = 2

a x≥9

484

271

274

FASIT TIL KAPITTEL 3 3.1

3.12

3.22 Arealet av sirkelsektoren 45 A = π ∙ r2 ∙ = 9,8 360

a 20 000 cm2

d 340 dm2

b 5000 cm2

e 60 dm2

8 cm + 4 cm 3 cm = 18 cm 2 2

c 0,7 m2

f 0,1 m2

3.13

3.24 d 169 cm2

3.4

a V = 461,6 cm3

a 8 000 000 cm

b 2 000 000 cm

c 1 m

3.6 a 10 cm3 b En tusendel c 1000 d 8,5 dL e En tidel f 4500 dL

3.8 16 h 40 min

3.10 a Arealet av hele flagget er 352 arealenheter. b Arealet av det blå korset er 72.

3.11 a En likesidet trekant b Arealet av den blå trekanten er 6 arealenheter.

3.14

b V = 52,5 cm3

b 50,24 cm2

d Sidekantene er 3 dm.

3.27

3.15 b To og to sider er parallelle. c A=g∙h d A = 18

b 1 m3

3.28 Kroneisen inneholder 0,79 dL is.

3.16 a A = 9,4

3.29

b A = 27

V = 20,9

c A = 25,85

3.30 3.17

V=4

a A = 88,3 b A = 61,3 c A = 32,4

3.31 a V = 64 cm3 b 12 cm

3.19 a 30,25 m2

3.32

b 12,75 m2

a V = 87,96 cm3

c 1,61 m2

b 21 cm

d 5,5 dm

3.21

c Et trapes d Arealet av det røde feltet er 9 arealenheter.

a A = 265 cm2 b A = 28,3 cm2 c A = 10,6 cm2

FASIT TIL KAPITTEL

485

3.33

3.43

3.46

a G er grunnflate og h er høyde.

Overflatearealet = s2 2 sh

a Tankene må ha en radius på 6,2 m, og diameteren blir da 12,4 m.

b En pyramide har en tredel av volumet til prismet.

3.44 s2 + 2s

c V = 400 cm3 d V = 133 cm3

s2 H2 4

b Det går med 483 m2 med stålplater for å lage tankene. c Volumet blir 11 488 m3.

e En kjegle har en tredel av volumet til sylinderen.

d Det trengs 2462 m2 med stålplater.

f V = 402 cm3

e De må kjøpe 2831,3 m2 med stålplater.

g V = 134 cm3

3.47

3.34 h"

3V πr 2

3.36 a V = 223 cm3 b 2,69 g/cm3

3.37

4 3 πr 3 O r= = 10,66 cm 2π 4 V (10,66 cm)= π(10,66 cm)3 3 V (10,66 cm) ≈ 5079 cm 3 V (r ) =

5 L tilsvarer 5000 cm3.

a Volumet av kjegla er 2,08 m3.

b Overflatearealet er 1428 cm2.

b Høyden av hele siloen er 5,39 m. c Forholdet mellom høyde i sylinder og høyde i kjegle er 2, eller 2 : 1.

1000 cm 2 O = ≈ 8,92 cm 4π 4π 4 V (8,92) = π(8,92 cm)3 = 2973, 5 cm 3 2 r=

Volumet ligger på ca. 3 liter, så da er dette en 3er fotball.

3.39 a Esken er et prisme. d Overflatearealet er 96 cm2.

3.40

b Vi kan bruke Pytagoras' setning bare når vi har en rettvinklet trekant.

Vi bruker Pytagoras' setning for å finne de sidene som mangler mål.

Diagonalen er 4 2 " 5,7.

3.42 a Sidekantene er 4 cm.

FASIT TIL KAPITTEL

3.51

3.50

c Overflatearealet av boksen er 297 cm2.

486

3.49

22 + 32 = c2 4 + 9 = c2 13 = c2 13 = c 3,6 = c Omkretsen er 8 cm + 3,6 cm + 4 cm + 3,6 cm = 19,2 cm.

3.52

3.63

3.77

b AC = AB fordi vi har en likebeint trekant. Siden A = 90° og B = 45° må C = 45°.

a 2 2 cm= 2,8 cm

a 90°

c 6 2 cm = 8,5 cm

b 45/45/90 trekanter

3.78 3.64 a 4,6 cm

3.53 4,1 cm

3.54

b 45° og 135°

b O = 64 2 cm " 90, 5 cm

3.65 e 30/60/90-trekant

a 50° b 50° c 130° d 50°

3.80 b De står vinkelrett på samme diameter.

3.81

c O = 34,2 cm

f Den korteste er halvparten av den lengste.

d A = 67,6 cm2

g h = 5 3 " 8,7

b Gjennom sentrum i sirkelen

3.55

3.67

3.83

Ja, stigen er lang nok.

a Den lengste kateten er 6,1 cm, og hypotenusen er 7,0 cm.

c Skjæringspunktet er sentrum i sirkelen.

b l = 10,9 cm

3.56 Trekanten er rettvinklet.

b Den korteste kateten er 5,3 cm, og den lengste kateten er 9,2 cm.

3.57 Trekant 3

3.69

3.84 d Forholdet π : 1

3.86

Den korteste kateten er 4,3 cm, og hypotenusen er 8,7 cm.

c C = 90°

b Trekanten er ikke rettvinklet fordi 52 + 62 ≠ 82.

3.70

b Spiss vinkel

3.61

Treets høyde er 17,4 m.

Stigen når 2,2 m oppover husveggen.

3.73

3.58

b A = 60°.

3.62 b Likebeint trekant. To vinkler er like store og to vinkler er like lange. Trekanten er også rettvinklet. c AC = 4,0 cm d Fordi AC =

3.88

c Stump vinkel d Rett vinkel

3.103 Forstørrelsesfaktoren er 1,5.

c En likesidet trekant

3.76 a a og b, c og d, a og d og b og c og er nabovinkler. b a og c og b og d er toppvinkler.

3.104 a Vinkelsummen i en trekant er 180°. b A = 27°, B = 45°, A = 27°, D = 27°, F = 108°, H = 45°, I = 108°

4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 = 5,7

FASIT TIL KAPITTEL

487

3.106

3.115

301

a 2,84

b Forstørrelsesfaktoren er 10.

a 100 cm2

b 10 9,2 " 5,8

c 8 meter

b 10 000 cm2 f 750 000 cm2

3.107

3.116

a B = 45°, D = 70°

BD = 9

3.117

3.108

g 50 cm2

d 4 cm2

h 480 cm2

a 1000 m

a AB = 10

b 1 000 000 m2

b BE = 1,5

303

D = 90°, E = 30° og F = 60°

3.130 a 1 : 200

DE = 8,3 EF = 9,6 DF = 4,8

3.109

a 385 000 km2 c 3,5 cm2 b 4 m og 6 m

304

b Ca. 1132 m2.

a 240 min = 4 h c 50 cL = 0,5 L

b AB = 9

3.110

3.137

3.111 b BE = 4, BC = 10 og AB = 10 2

a 1

d 1,67

b 2

e 1,6

c 1,5

f 1,625

b AC = 7,5 og BC = 12,5

h 4800 cm3

b 8,74

306

300

a 0,001 L

b DC = 4,5

b 1,2 km

g 34,2 daa

c EC = 5,4 og BE = 1,8

c 30 000 cm2

h 78 500 ha

d 2000 cm2

i 0,0045 km2

e 10 m2

d 1 cm3

3.143

f 130 min

FASIT TIL KAPITTEL

c 5000 cm3

g 500 cm3

a 0,2 m

b DE = 2,7

b 100 000 cm3

f 75 000 000 cm3

3.113

3.114

a 1000 cm3

e 35 000 cm3

8,7 cm

a UABC er formlik med UABD er formlik med UCAD.

d 200 dm3 = 0,2 m2

305

3.140

3.112

d 4 dm2

b 20 000 m = 20 km

21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

c AC = 7,5

b 95 m2

3.134

3.135

a E = 60° og C = 48°

488

c 500 cm2

302

b AC = 3,7

b EF = 8,3

e 3500 cdm2

b 1L c 1000 L d 1,2 L

307

317

333

a A = 17,5 m2

Grunnflaten er 16 dm2. Radien er 2,26 dm.

a QSR = 2 ∙ QPR

b A = 201 cm

c A = 4,84 dm

318

d A = 44 cm2

336

Hypotenusen er 15 cm.

e A = 176,6 cm2

a Bredden er 3 m, og lengden er 5 m.

f A = 1 dm2

319

308

Diagonalen er 8,5 cm.

Bruk formelen for arealet av et trapes og fyll ut tabellen.

320

6 cm

12 cm

b 1 : 200 c Arealet er 15 m2.

337

c Vinklene er alle 60° lengde a

e 90°

EF = 13,9 cm

d 2 3 " 3, 5

lengde b

3,5 cm

14 cm

høyde

2,5 cm

8 cm

areal

11.9 cm2 104 cm2

338 321 a 1:2 K=

b 4:1

h 25

339

311

322

a 8 hjørner b Rektangler c V = 30 dm3

b 1,29 mål

b EG = 6,2

c 2 967 000 kr

323

341

AC = 3

d Overflatearealet er 62 dm .

314 Kakeboksen formet som en sylinder har størst volum. Den rommer 12 058 cm3. Kakeboksen formet som en kube rommer 8000 cm3.

315 a A = 117,8 cm2 b A = 3,2 cm2 c A = 50,2 dm2

325 343 b F = 60° 1 DF EF = 2

a A = 21

326

c Halvparten

b Parallellogram fordi AB er parallell med CD og AD er parallell med BC.

344

328

d A = 0,04 m2

316 Radien er 8 cm.

5 2

b A = 10,5

a Rektangel, parallellogram, likesidet trekant, rettvinklet trekant, halvsirkel

d Pyramide

b Arealet av kjøkkenhagen er 47,1 m2.

e V = 25 cm3 og overflatearealet er 68,3 cm2

c Gjerdet blir 10,3 m.

345 h = 4r

FASIT TIL KAPITTEL

489

346

351

356

a Katet er 8 cm.

c 7,2 dm

b Katet er 2,99 cm.

d F = 90°, D = E = 45°

a B = F = 60° C = E = 30°

347

352

a 289,25 m2.

a u = 80° og v = 65°

b 56,3 m gjerde.

b Vinkelsummen i en trekant er alltid 180°.

348

c 360°

Masta er 6,97 meter.

d En firkant kan deles i to trekanter.

349

355

Hypotenusen blir 8,06 og er mer enn dobbelt så stor som den korteste kateten. Dermed har vi ikke en 30/60/90-trekant

490

FASIT TIL KAPITTEL

b BE = 8,7 DF = 6,3 DE = 5,4 AB = 4,1 BC = 5,4 AC = 4,6 AC = 7,0

357 a Trapes. To av sidene er parallelle. b BE = 4,7 og DE = 3,3

a A, C og D c Nei

c 51

FASIT TIL KAPITTEL 4 4.2

4.16

c Fordel med tabellen: Det er lett å se de eksakte tallene og andelene av elevene som har hver karakter.

a 1,0

Fordel med diagrammet: Vi ser tydelig hvilke karakterer som er vanligst og hvilke karakterer få elever har fått.

4.3 c Vi ser godt andelen av de ulike kjøretøyene. d Vi ser hvor mange kjøretøy det dreier seg om og kan regne ut hvor mange kjøretøy det dreier seg om totalt.

4.8

4.28 b 1

4.29

4.17 a 43

b 4,3

b La andreaksen starte på 0. c 47 % d Ca. 60 %

2 985 984

4.30

4.18

10 000

a 3 b For eksempel 8 og 11. Summen av tallene må være 19. Ett av dem må være mindre enn 9, og ett større enn 9.

4.31

4.19

a 720

a Gjennomsnitt: 223,5 cm Median: 216 cm

4.33

b Største: 356 cm Minste: 155 cm c Variasjonsbredde: 201 cm

a Andreaksen starter på ca. 500.

35 = 243

120

4.32 b 120

3 603 600

4.34 3360

4.20 Gjennomsnitt: 27,3 Median: 31,5 Variasjonsbredde: 43

4.35 3024

4.36 4.25

4.13

4845

b Data om gutter og jenter ved siden av hverandre c Data om gutter og jenter oppå hverandre

a 12

c 24

b 531 441

d 116 280

4.26 24

4.14 4.27

104 = 10 000

4.37 455

4.38 70

4.39

4.15 a 15 a 5,0

b 15

b 5

FASIT TIL KAPITTEL

491

4.41 a 35

b 35

4.42 a 6

4.48

4.55

a Rød kule, blå kule, hvit kule

a 1540

1 3 1 P(blå) " 3 1 P(hvit) " 3

c 4950

4.43 a 190

b 4950

a 9

4.57 1 18

4.58

4.49

b 20 ⋅ 9 + 10 20 ⋅ 9 ⋅ 2 10 ⋅ 2 = + 2 2 20 ⋅ 18 20 = + 2 2 20 = ( 18 + 1) 2 20 ⋅ 19 = 2 20 ⋅ 19 = 2 ⋅1 c

1 216

1 1 1 + + =1 c 3 3 3

4.44

a 1, 2, 3, 4, 5, 6 øyne på terningen 1 b P(treer) " 6

4.50 a

1 4

1 2

25 36

3 13

4.51

n( n 1) 2

4.45

1 6

11 36

8 a 21

b 5 379 616

12 b 21

4.53 a Køsituasjon

5040

b Komitésituasjon

c Medaljesituasjon

210

4 2 a " 10 5 b

4 2 " 10 5

d Antrekkssituasjon 105

4.47 b

11 850

4.60 11 4165

4.61 a

FASIT TIL KAPITTEL

5 2 125 91 b c d 72 27 216 216

4.62 6 11

4.54

1 1000

a 84

492

4.59

4.63

4.46

a 1000

1 17

4.52

a Uordnet utvalg uten tilbakelegging

1 1540

4.56

b P(rød) " b 190

20 5 " 84 21

1 4

1 2

401

409

422

a Gjennomsnitt: 7 Median: 7,5

a 400 reiser

1 4

b Gjennomsnitt: 2 Median: 2

c 20 %

423

c Gjennomsnitt: 1 Median: 1

414

15 5 " 36 12

d Gjennomsnitt: 4 Median: 5

402

b 100 reiser

a 24

a 13

c 14

b 3,8

d 14

a 8

c –6

b 1,2

d 5 og 6

b 5

416 a 720

403

426

415

b 8

417

2 3 1 b 3 c Regelen stemmer. 1 d 6 a

404

418

e Ulikt antall øyne på de to terningene 5 f 6

–6

2184

427

405

419

a 4∙3

a Et tall som er større enn 2,8

a 1, 3, 6, 10, 15

428

b 2,8

406 a 20

408

b 3,8

1680

c 21, 28, 36, 45, 55 n( n 1) d 2 e 4

8 7 2 1

430

15 511 210 043 330 985 984 000 000 ≈ 1,55 ∙ 1025

a 5040 1 b 5040 c 707 281

421

431

420

a 200

13 037 895 a 720 b

1 3

1 707 281

1 23 751

c 120 d

FASIT TIL KAPITTEL

2 5

493

FASIT TIL KAPITTEL 5 5.1

5.7

a 1046

c 200 688

a 1,87 L

b 4645

d 200

b 2400 kg d 10 daa (dekar)

c 45 dm

a (–4) · (–6) = 3 · 8 c 12 · (–3) <12 : (–3) b (–4) – 8 > 3 · 4

5.2

5.8

d (24 – 15) : 3 < 24 – 15 : 3 2

a 144,3

f 4209

a 0,058 m

b 7995

g 47

b 2 h og 25 min

c 561,7

h 45

c 356 km

a –7

d 48

d 429

i 1596

d 72 km/h

b –8

e –6

e 8,5 L

c –54

f –32

e 94

5.15

f 35 daa (dekar)

5.3

5.16 5.9

a 2481 b 1079

a 129 000 mm

a 35 000 cm = 0,35 km = 350 m

c 90

b 67 000 g

b 50 cm

d 21,7

c 0,002 kg

e kvotient

d 6656 MB

f Sum er svaret i et addisjonsstykke, differanse er svaret i et subtraksjonsstykke og produkt er svaret i et multiplikasjonsstykke.

e 80 000 cm

a 5 dL

d 12,5 L

f 0,09 m

b 25 dL

e 12,5 dL

g 3,5 h

c 2,5 L

f 17,5 dL

g ledd + ledd = sum og faktor ∙ faktor = produkt

5.4

5.17

h 1 h og 12 min i 0,000 56 GWh

b 3,4 ∙ 10–3

b Pakkene koster 3000 kroner til sammen

a 0,005

d 0,037

c 1125 kr

b 0,0025

e 0,000 005

c 0,0005

f 0,0 000 059

5.13

5.6

a 8600

c 8,6 ∙ 106

b 8,6 ∙ 105

d 8,6 ∙ 109

FASIT TIL KAPITTEL

a 20 km/h b 36 km/h

5.20 a V = 18,5 cm3

2560 °C

24 kr

b 3 dL

5.19

5.12

5.5

5.18 a 1 del olje og 50 deler bensin.

5.10 a 5 ∙ 104

a 7,5 kg

494

5.14

b 167 g c 3 : 10

5.21

5.28

1 : 50 000

a 8

5.22 5 7 42 14 b " 45 15 6 2 " c 63 21 4 1 " d 88 22 a

5.37 b

1 2

c 54

2a 3

a x > 11

c x>1

b x < –6

d x>1

5.30 e f g h i

6 1 " 120 20 15 5 " 6 2 6 20 10 " 6 3 5 4

5.38 a 6x – 3y

Vann: 12 kr, Is: 18 kr

b 3 – 12s c ab + 4a – 3b – 12

a x2 + 8x + 16

e x2 –4x + 4

b 4b2 + 36b + 81

f 4a2 + 12a + 9 1 g t2 8 2

5.24

5.31

a 20 euro

a 6x + 3

b 108 kr

b 10x2 + 4x

c Den må settes ned med 33 %.

c x2 – 4xb + 4b2 d 25a2 – 10ab + b2

5.41 f

3ab2 4

b 2120 kr

c 8 bøker

g x+1

5.42

h x+3

a f(x) = 2x + 2

1 20

x y x ab d 4 8 e xy

5.26

5.33

a 2∙8 2∙7 21 ∙ 2

a x=3

c x = –9

b x = –6

d x=−

5.25

5.39

d 4x2 – 6xy + 2y2

a a 1

d (0 , 2)

5.45 a Likebeint trekant b nei, 50 ≠ 49

b 2∙2∙2∙2 7∙2 2∙2∙2∙2∙2 7∙3∙2

5.27 a 13 b 6 c 13

54 9 " 24 4 48 2 " e 216 9 1 f 3 d

5.46 4 5

a 28 m

b 48 m2 c 10 m

5.34

5.50

x = 6, y = 9

a ~ 200 cm2 b 15 cm

5.35

5.51

Stor: 600 g Liten: 150 g

a ~ 110 cm3

5.36

b 8 ganger større

5.53

M = 2G – F – 13 a h"

V s2

b s"

V h

FASIT TIL KAPITTEL

495

5.54

5.56

Typetall: 2 Gjennomsnitt: 3,4 Median:2,5

5.60 a

5.58

5.55

a 56

a Gjennomsnitt: 3,1 Median: 3,5 Variasjonsbredde: 18

1 9

2 9

5.61 1 b 56

30 menyer

5.59

5.62

a x=5

b x = 1,6

MATEMATIKK I HVERDAGEN 1

a 4691 kr

Havrekjeks: 20 kr Vannflaske: 15 kr

a 2,2 m/s

c 4187 kr

c 4,9 m/s = 17,5 km/h

a 12 cm

b 503,60 kr

b 17,0 cm

b Gjennomsnitt: 15 Median: 13,5 Typetall: 12

c 1,73 L d Dinas har størst volum

c 2190 k e 42

f 49 %

b 6180 kr c 21 dager

d 13 dager b 24

a 13 m2

c 29 %

c 7! = 5040

4 953,60 kr 5 112,12 kr 5 275,70 kr

10 a 101 500 kr

d 112 462 kr

b 2819,44 kr

e 155 962 kr

c 5481 kr

SOMMERFERIE PÅ HYTTA 2

a 0,54 nm

a 9800 m b 3,2 : 100 000

Bil : ca 8 min Båt: 21 min

b y = x ∙ 1852 y: meter x: nautiske mil

c 1,852 km/h

520 kr

d 22,2 km/h

496

11 60

e Forslag: 10 ∙ 10 ∙ 15

d Rørleggeriet er billigst

a 96

b 7.44

FASIT TIL KAPITTEL

6 a 1050 kr b 809 kr

Median: 2,1 kg Variasjonsbredde: 7,6 kg

10 båtsjokolader, 5 sommersjokolader

a Vi må vente til vi har tegning.

d Gjennomsnittet er størst

b 1100 L

c 28 sekker

a 6

a 4,0 krabber

d 0,75 L

b 23,4 %

b 6 c 3

d 0,2

b 9%

e 0,25

c Gjennomsnitt: 2,54 kg

Lavest: kl 12.00 Høyest kl 05.00 Forskjell: 110 cm

a 462 kr

b 96 cm2

h 55 cm2

JUL

b P(x) = 2,20 x

c 64 cm

i 30 cm

f 27,7 cm

e 227 cm

g 7,55 cm

7576,80 kr

6,3 ∙ 1014

d 462 kr

j 2,3 cm

a bredde: 40 cm høyde: 25 cm dybde: 15 cm b 1 : 3,75

10 b 210 – 239 cm c 225 cm

3 a 1850 kr

b 1767 kr

d 72 765 kr

a 5 egg, 5 ts bakepulver, 5 ts vaniljesukker, 375 g smør, 250 g sukker b 6,8 L c 1600 cm2

FASIT TIL KAPITTEL

497

REGISTER 60° vinkel 304 30/60/90-trekanter 291, 300 45/45/90-trekanter 291, 298 A addisjonsmetoden 235 akkordlønn 87, 119 algebra 138 algebraisk lov 139 algebraisk metode 227 algebraisk måte 265, 267 algoritme 10 andre kvadratsetning 169 andreakse 318 andregradsfunksjon 206 andregradslikning 240 annuitetslån 87, 113 antrekkssituasjon 397 ar 265 areal 265, 268 arealenhet 264 avdrag 87, 108 avrunding 41, 60 B balanse 100 bankkort 114 brudden brøk 68 bruttolønn 87, 118 brøkfunksjon 181 budsjett 87, 100, 102 bunnflate 283 C CAS 239, 401, 404 centi 41 D database 391 de fire regneartene 10 deka 41 dekar 265 dele et linjestykke 312 delelighetsrege 14 delmengde 31, 37 desi 41 det gylne snitt 345, 347 diagonal 294 divisjon av brøk 66 E egenkapital 87 eksponent 43, 152

498

eksponentialfunksjon 180, 219 eksponentiell nedgang 220 eksponentiell vekst 219 ekstremalpunkt 180 ekte brøk 56, 57 elementer 31, 37 enhet 57

hendelse 412 histogram 379 hoderegning 12, 17 hold over 225 horisontlinje 345, 350 hovedbrøkstrek 56, 68 hypotenus 291, 292, 293

F fagforeningskontingent 118 faktorisering 29 fakultet 399 fellesnevner 56, 62 feriepenger 87, 120 fibonaccitall 345 forbruk 87, 99 forenkle 141 forkorte 56, 61, 146, 177 formel 160 formlik figur 317 formlik 327, 328, 329, 330, 336 forstavelse 41 forstørrelsesfaktor 317, 327, 330 forsvinningspunkt 345, 350 frekvens 375 frekvenstabell 375 frikort 87, 118 froskeperspektiv 355 fugleperskpektiv 354 funksjon 180, 183 funksjonsuttrykk 184 første kvadratsetning 167

I inntekt 87, 98 irrasjonale tall 31, 32

G giga 41 gjeldende sifre 41, 51 gjennomsnittsfart 41, 47 gjennomsnittsverdi 387 gjett og 226, 240 graf 184 grafisk løsning 240 grunnenhet 41 grunnflate 277 grunntall 152 gunstig utfall 410 gyllent rektangel 348, 349 H hektar 265 hekto 41 helhet 57 helt tall 31, 32

K katet 291, 292, 295 kilo 41 kjegle 277, 279 klassebredde 378 knop 455 kombinatorikk 395 komitésituasjoner 402, 404 komplementær hendelse 430 kongruens 317 kongruensavbildning 317 konjugatsetningen 165, 173 konstantledd 185 konstruere 349 konstruksjon 303, 311, 318 koordinatpar 185 koordinatsystem 362 korde 303, 311 kredittkort 87, 114 kube 275 kubikkcentimeter 266 kubikkmeter 266 kule 277, 280 kvadratisk funksjon 206 kvadratmeter 265 kvadratrot 35, 157, 293 kvadratsetning 165 kvadrattall 31 køsituasjon 399 L likeverdige brøker 56 likning 225 lineær funksjon 181 linjediagram 381 lønn 117 M massetetthet 41, 49 med tilbakelegging 398

medaljesituasjoner 401 median 387 mega 41 mengde 31, 32, 37 merverdiavgift 87, 93 mikro 41 milli 41 minste felles multiplum 56, 63 mulige utfall 411 multiplikasjonsprinsippet 397 mål 265 målestokk 317, 362 måleusikkerhet 41, 51 målingsdivisjon 66 N nabovinkel 306 nabovinkler 303 nano 41 naturlig tall 31 nautisk mil 455 nedbetalingsplan 87, 109 nedfelle en normal 304 negative tall 25 nettolønn 87 nullpunkt 180, 241 O oddetall 31, 32 omvendt proporsjonalitet 181 oppreise en normal 304 ordnet utvalg 398, 399, 401 overflateareal 264, 282, 283 overskudd 87, 100 overslag 10, 17 P parallell linje 307 parallell side 334, 336 parallellforskyve 322 parallellforskyvning 317 parentes 141 parentesuttrykk 148 partall 31, 32 pensjonsinnskudd 118 periodisk 34 periodiske desimaltall 31, 39 perspektiv 345 perspektivtegning 349 piko 41 plangeometrisk figur 264 polynomfunksjon 180 potens 151 potensuttrykk 151 primtall 31, 32 primtallsfaktorisering 29 prisme 275, 283

promille 72 proporsjon 270 proporsjonalitet 181 prosent 72 prosentgrunnlag 72, 74, 81, 91 prosentkort 118 prosentpoeng 72, 82 prosenttrekk 87 prosentvis endring 87 pyramide 277, 279 Pytagoras’ setning 291, 292, 296 Pytagoras 298, 300 R rabatt 87, 96 radien 308 rasjonale tall 31, 32, 33 reelle tall 31 regneark 76, 96, 107, 109, 377, 389 regneart 141 regnefortelling 140, 193 regnskap 87, 98, 102 relativ frekvens 375, 422 rente 87, 103 rentefot 87, 103 rentesrente 87, 104 representasjon 184 rett vinkel 296 rettvinklet trekant 291 romfigur 274 rotasjon 324, 326 rotasjonssymmetri 317 S sammensatt enhet 41, 45 sammensatte tall 31, 32 samsvarende vinkel 303, 307, 336 sannsynlighet 410, 411 sannsynlighetseksperiment 410 sektordiagram 376, 377, 385 sentralmål 386 sentrum 311 serielån 87 sideflate 283 sirkel 304 sirkelbue 273 sirkelperiferien 308 sirkelsektor 264, 273 situasjon 184 skatt 87, 118 spare 103 speiling 318 speilingssymmetri 317 spredningsmål 386, 388

standardform 43 statistikk 374 stigningstall 185 store talls lov 422 strekning 41 sylinder 275 symmetri 317 symmetrilinje 180, 211, 317 søylediagram 376 T tabell 184 tabelltrekk 87, 119 Tales’ setning 303, 313 tall på standardform 41 tallfølge 162, 345 tallinje 31 tallmengder 32 tangent 303, 308, 311, 361 tera 41 termin 87, 108 terminbeløp 87 tetraeder 277 tierpotens 41 TILFELDIGMELLOM() 422 toppflate 283 toppvinkel 306, 336 toppvinkler 303 trekkgrunnlag 87, 118 trinnvis utregning av sannsynlighet 416 typetall 386 U uekte brøk 56 uekte brøker 58 underskudd 87, 100 uordnet utvalg uten tilbakelegging 404 uordnet utvalg 403 usynlig multiplikasjonstegn 141 usynlig parentes 142 uten tilbakelegging 399, 401, 403 utfallsrom 411 utgift 87, 98 utvide 56, 61 V valgtre 397 variasjonsbredde 388 vekstfaktor 87, 88, 90, 219 venndiagram 31 verditabell 189 vinkelbein 306 vinkelrett 308 volum 266, 277, 279, 280 volumenhet 264, 267

499

GeoGebra Menylinje Angreknapp

Verktøylinje

Aktivt verktøy med mørkeblå kant

Innstillinger

Algebrafelt Graﬁkkfelt

Inntastingsfelt

På elevnettstedet vil du ﬁnne en fullstendig verktøyopplæring i GeoGebra. Der vil du også ﬁnne en liten oversikt over de viktigste verktøyene du trenger når du skal løse oppgaver.

Velge oppsett