– forenklet for yrkesfag P for yrkesfag P
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
– forenklet for yrkesfag P
Bokmål
Innhold
1 Verktøykassen
Positive og negative tall 5
Vi øver på å legge sammen og trekke fra 6
Vi øver på å gange og dele 9
Regnerekkefølge 14
Overslag 16
Avrunding 17
Likninger 19
Grafisk framstilling 23
Eksamensoppgaver 26
2 Forhold og prosent
Veien om 1 30
Forhold 32
Prosent og promille 35
Prosentpoeng 45
Vi finner ny verdi med vekstfaktor 46
Eksamensoppgaver 50
3 Måleenheter
Prefikser 53
Lengdeenheter 55
Masseenheter 60
Arealenheter 62
Volumenheter 64
Tidsenheter 67
Sammensatte enheter 68
Eksamensoppgaver 70
4 Regning med formler
Tolke og bruke formler 74
Proporsjonalitet 77
Omvendt proporsjonalitet 81
Formler fra geometrien 83
Eksamensoppgaver 87
5 Økonomi
Lønn 91
Sparing 93
Kredittkort 95
Budsjett 96
Regnskap 97
Merverdiavgift 98
Eksamensoppgaver 100
Fasit 103
Om Matematikk for yrkesfag P
– forenklet
Matematikk for yrkesfag P – forenklet er én av komponentene i Matematikk for yrkesfag P, som består av Forenklet bok
Den passer for elever som skal ha vurdering, og som trenger å repetere
Fagstoffet blir fulgt opp med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til er merket med
Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene
Vi håper at Matematikk for yrkesfag P – forenklet hjelper deg på veien til å mestre
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Cathrine Frydenlund og Harald Øyen Kittang
Verktøykassen
Positive og negative tall 5
Vi øver på å legge sammen og trekke fra 6
Vi øver på å gange og dele 9
Regnerekkefølge 14
Overslag 16
Avrunding 17
Likninger 19
Grafisk framstilling 23
Eksamensoppgaver 26
Positive og negative tall
3 og 1 er større enn
Negative tall er mindre enn null.
Positive tall er større enn null.
101 a
b Skriv to hele tall som er mindre enn
102
Tallene blir større jo lenger mot høyre på tallinja de kommer.
c Skriv to hele tall som er større enn 7, men mindre enn
a Er det riktig å si at 10 er større enn 2?
b Er det riktig å si at 10 er større enn 2?
c Hvilket tall er størst av 4, 20 og 12?
d 5, 5, 10, 7, 2 (minst) (størst)
Pila peker mot desimaltallet
–4 –3 –2–10123456789 103 a
1,01,11,21,31,41,51,61,71,81,9
b Hvilket tall er størst av 1,5 og 1,25?
c
d Hvilket tall er størst av 1,5 og 1,25?
Vi øver på å legge sammen og trekke fra
EKSEMPEL 1
EKSEMPEL 3
a 1 + 5 = 4
b 1 3 = 4
a 1 + 5 b 1 3 –1 –2012 +5 345 –4–3–2–1 –5012 –3
a 2 + 7 = b 5 8 =
c 3 3 = d 6 10 = e 8 12 = f 5 + 8 = g 3 + 3 = h 5 + 3 = i 2 + ( 3) = j 3 + ( 3) = k 5 ( 3) = l 2 ( 3) =
a 32 40 = b 51 81 =
c 30 40 = d 6 100 =
e 80 120 = f 50 + 85 =
g 30 100 = h 200 80 =
i 60 + 80 = j 400 + 900 =
k 20 120 = l 5 100 = –4 –5 –6 –3 –2–1012345678
Det er lurt å lære gangetabellen utenat!
a Sett ring rundt de av disse tallene som er i 3-gangen: 7 15 17 24 33
b Sett ring rundt de av disse tallene som er i 4-gangen: 4 10 15 20 36
c Sett ring rundt de av disse tallene som er i 8-gangen: 18 28 38 48 88
e Fordi 6 7 = 42, vet vi at 42 : 7 =
f Fordi 8 3 = 24, vet vi at 24 : 8 =
g Fordi 28 : 7 = 4, vet vi at 4 7 =
7 ⋅ 3 = b 5 ⋅ 4 = c 8 ⋅ 5 =
9 4 = e 8 6 = f 4 9 =
a 8 : 2 = b 9 : 3 = c 25 : 5 = d 21 : 7 = e 5 6 = f 7 6 =
a 36 : 9 = b 28 : 7 =
c 81 : 9 =
d 24 : 4 = e 8 6 = f 9 8 =
119
a 5 = 15 b 8 : = 2 c 5 = 20
d : 4 = 5 e 4 ⋅ = 24 f 100 : = 20 120
a 24 : = 3 b 7 ⋅ = 28 c : 5 = 3
d 3 = 27 e 20 = 100 f 25 = 100
121
a Kan vi gange 6 med et helt tall og få 35 til svar?
b Kan vi gange 7 med et helt tall og få 56 til svar?
c Kan vi gange 5 med et helt tall og få 65 til svar?
Bruk en kalkulator til å kontrollere disse utregningene:
2,35 ⋅ 10 = 23,5 456 : 10 = 45,6
2,35 100 = 235 456 : 100 = 4,56
2,35 1000 = 2350 456 : 1000 = 0,456
Ser du systemet?
Å gange med 10 er det samme som å flytte komma én plass mot høyre.
Å gange med 100 er det samme som å som flytte komma to plasser mot høyre.
Og så videre.
Å dele med 10 er det samme som å flytte komma én plass mot venstre.
Å dele med 100 er det samme som å flytte komma to plasser mot venstre.
Og så videre.
EKSEMPEL 4
a Regn ut 2,3
b Regn ut 4,5 :
a 2,3 100 = 230
Vi kan skrive noen nuller bak
b 4,5 : 100 = 0,045
Vi kan skrive noen nuller foran
2,30000
00004,5 : 100
122
a 1,12 10 = b 3,5 100 = c 6,0 1000 =
d 24,5 : 10 = e 5,6 : 100 = f 45,5 : 1000 =
123
a 35,4 : 10 = b 2,5 : 1000 = c 240,5 100 =
d 3,5 : 100 = e 0,05 : 10 = f 0,5 : 100 =
124
a Hva må du gange 25 med for å få 2500?
b Hva må du dele 87 med for å få 8,7?
c Hva må du gange 3,49 med for å få 349?
d Hva må du dele 40 med for å få 0,04?
EKSEMPEL 5
35 : 1000
35 : 1000 = 0,035
Men vi kan tenke oss et komma bak det siste sifferet.
a 5 : 10 = b 45 : 100 = c 53 1000 =
d 7 : 100 = e 43 : 1000 = f 6 : 1000 = g 75 100 = h 43 : 10 = i 62 10 = 126
a 59 : 100 = b 45 100 = c 935 : 100 =
d 1 : 10 = e 1 : 100 = f 1 : 1000 = g 95 ⋅ 1 000 000 = h 234 : 1 000 000 =
= 35,0
127
Hvor mye saft blir det i hver flaske?
128
Hver boks inneholder 8,5 gram
Hvor mange gram proteinpulver er det i kassa?
Husk å skrive svarsetning!
Regn her:
EKSEMPEL
a Regn ut 25
b Bruk resultatet fra oppgave a til å regne ut 2,5
Regnerekkefølge
Hva blir svaret på 4 + 2 6?
Regnerekkefølgen
❶ Parenteser
❷ Potenser og kvadratrøtter
❸ Ganging og deling
❹ Pluss og minus
Legg merke til hvilke ord som betyr det samme: gange multiplisere dele dividere legge sammen addere trekke fra subtrahere
EKSEMPEL 8
3 + 2 (4 + 5)
3 + 2 (4 + 5) = 3 + 2 9 = 3 + 18 = 21
Parentesen først!
a 6 + 3 ( 6 + 2)
2 (3 + 2) 3 8 c 2 + 3 ⋅ (1 + 9) 20 : 4
Regn her:
(3 + 2) ⋅ 2 1 ⋅ 4
Bruk hvert tall én gang og lag et regnestykke slik at svaret blir
a 10 b 12
c 16
d 40
e 64
f 0 g mindre enn null
Overslag
Når vi gjør et overslag, bytter vi ut tallene med tall det er lettere å regne med.
EKSEMPEL 9
Helena er i kiosken og vil kjøpe et ukeblad
EKSEMPEL 10
Avrunding
Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 0, 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover
Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover
EKSEMPEL 11
Hva koster det for én skrue?
kr 29,50 12 stk.
Merk! I eksempel 11 ville svaret ha blitt
Vi bruker kalkulator, og får
29,50 : 12 = 2,458 333 …
139 a 9,24 = b 7,68 = c 12,048 = d 34,568 = e 10,081 = f 35,099 = 140 a 108,205 = b 3,034 = c 8,9982 = d 0,614 = e 2,445 = f 0,5555 =
141 a 924,5 = b 5,79 = c 13,48 = d 94,168 = e 9,81 = f 35,099 =
142 a 91,3 = b 768 = c 12 048 = d 34 568 = e 10 081 = f 5099 =
143 a 2,85 3,07 =
23,87 : 5,65 =
Regn her:
144
En pose med 158 chilinøtter
Hva koster det for én chilinøtt?
145
De 15 elevene i 1ELA veier til
Hvor mye veier hver elev i gjennomsnitt?
Husk svarsetning!
3,458,12 0,85 =
Likninger
Derfor skriver vi = x 4 =
Å løse en likning vil si å finne ut hvilket tall x I likningen ovenfor ser vi at løsningen er x = for å regne deg fram til den.
I en likning kan vi
❶ dele med det samme tallet på begge sider
❷ gange med det samme tallet på begge sider
❸ legge til det samme tallet på begge sider
❹ trekke fra det samme tallet på begge sider
EKSEMPEL 12 x x x 412 4 4 12 4 3
Løs likningen 4x = Vi deler på begge sider med tallet som x er ganget med.
Regn her:
146
a 2x = 8
b 3x = 18
c 5x = 10
d 3x = 6
e 4x = 8
EKSEMPEL 13
Løs likningen x 7 6
a x 2 8
b x 3 7
c x 100 0,05 d x 3 2 12 e x 3 2 12 f x 1000 0,012
Regn her:
Vi ganger på begge sider med tallet som x er delt på.
EKSEMPEL 14
Løs likningen 3x + 25 = 5 − 2x
Vi legger til 2 x på begge sider.
Vi trekker fra 25 på begge sider.
Vi deler med 5 på begge sider.
a 9x 2 = 5 + 8x
b 2x 7 = 5 4x
Regn her:
c x 11 = 5 + 3x
d 1 4x = 5x +10
EKSEMPEL 15
Trine og Ingun er like gamle, mens Kate er fire år yngre enn
50 8 = 42 42 3 14
Hvor gamle er jentene? Trine Ingun Kate 50 4 4
Alternativt:
Hvis Trine og Ingun er x år gamle, er Kate x Da får vi x xx x x 450 354 18 ++−= = =
149
Per og Pål er like gamle, mens
Hvor gamle er guttene?
150 Sidrah er fem år eldre enn
Hvor gamle er de?
151
På siste møte i elevrådet var det tre ganger så mange jenter som
Hvor mange jenter var det på møtet?
Regn her:
Grafisk framstilling
152
Ta for deg søylediagrammet til høyre:
a
Antall jenter i laget:
Antall voksne medlemmer i laget:
Antall medlemmer til sammen i laget:
b Er det sant?
153
Figuren viser salget av t-skjorter siste uke hos
a Hvor mange t-skjorter ble solgt av størrelsene S og L til sammen?
b Hvor mange t-skjorter solgte butikken denne uka?
c Hvor mange flere t-skjorter ble solgt av størrelsen M enn av størrelsen S?
154
Figuren viser hvor mange elever som hver uke kom
a Hvilken uke kom det flest?
b Hvilke uker kom det flere enn 22 elever?
c Hvor store var matutgiftene
155
Figuren viser utviklingen i antall deltakere
a Hvor mange deltok i 2012?
b Hvor stor var økningen i antall deltakere fra 2010 til 2013?
c Hvor stor var inntekten fra startkontingenten det året?
156
Ta for deg linjediagrammet til høyre:
a Hvor mange menn var arbeidsledige i 1998?
b Hvor mange arbeidsledige var det til sammen i 2007?
c Hvilket år var det flest arbeidsledige i denne perioden?
157
a Når var temperaturen høyest?
Hva var temperaturen da?
b Når var temperaturen 0 °C?
c Omtrent hvor lenge var temperaturen høyere enn 2 °C?
Arbeidsledige etter kjønn og tid
158
ungdom bruker foran skjermen i løpet av en
sektordiagrammene
a Hvor stor prosentandel av ungdomsskoleelevene bruker mer enn fire timer foran skjermen i løpet av en vanlig dag?
Ungdomstrinnet
b Hvor stor prosentandel av elevene på videregående bruker mindre enn én time foran skjermen i løpet av en vanlig dag?
159
Tabellen nedenfor viser antall søkere til Byporten skole i årene 2015
Kilde:
Eksamensoppgaver
160 (1PY våren 2019)
En dag er temperaturen i New York 2,3 °C, mens den er 4,0 ° Hva er temperaturforskjellen mellom de to byene?
Regn her:
161 (1PY våren 2019)
Regn her:
162 (1PY våren 2018)
Løs likningen 3x 4 = 5x +
Regn her:
163 (1PY våren 2019)
Figuren til høyre viser hva en familie brukte pengene sine på
Vi ser for eksempel at 22 % av familiens inntekt gikk til bolig,
Hvor mange prosent av inntekten til familien gikk til fritid?
Regn her:
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Matematikk for yrkesfag P følger fagfornyelsens læreplan i Matematikk 1P-Y (LK20). Læreverket består av lærebok, forenklet tilleggsbok, og digitale elev- og lærerressurser på Aunivers.no
Forenklet bok
Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med grunnleggende teori og med oppgaver tilpasset teorien. Eleven loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Til slutt i hvert kapittel er det noen eksamensoppgaver. Boka er laget for innskriving.
Digitale ressurser
Aunivers.no inneholder blant annet:
• lærestoff tilpasset hvert av de ti utdanningsprogrammene
• opplæringsressurser til GeoGebra og regneark
• interaktive oppgaver
• eksamensløsninger
Som lærer får du i tillegg tilgang til:
• lærerveiledning
• kapittelprøver
• terminprøver
• aktivt klasserom
Den digitale elevressursen er inkludert i lærerressursen, og er tilgjengelig med FEIDE-innlogging.