Yuste ¿Qué hay más allá de las formas geométricas? – Isaac Llopis Fusté

¿Qué hay más allá de las formas geométricas?

Isaac Llopis Fusté

profesor asociado de la Facultad de Física, Universitat de Barcelona, y de la Facultad de Ingeniería Técnica Industrial, Universitat Politècnica de Catalunya

n este artículo propongo al lector un ejercicio de abstracción que puede serle útil, o no, pero que a mí me ha E ayudado a dar una nueva perspectiva a lo que me rodea y, como consecuencia, a la maravillosa creación de Dios que nos engloba y, en cierto sentido, nos pertenece.

La creación de Dios es muy rica en diversidad, de hecho se podría decir que es una galería de diseño, una metáfora que me encanta, ya que dicha creación no se limita a la repetición de un mismo patrón, sino que hay multitud de colores y formas diferentes. Sin embargo, a la vez, el universo es simétrico y tiene su estructuración, no es puro caos.

Formas geométricas

La identidad de un objeto está definida por el conjunto de propiedades (estructura, composición, función, forma, tamaño, color, etc.) que lo distinguen de los demás objetos de la naturaleza. De las diferentes propiedades de la superficie del objeto me voy a centrar en la forma, ya que es quizás la que da una descripción más completa, y puede ser percibida tanto por la vista como por el tacto.

A partir de la forma de un objeto podemos intuir su función. En cambio, muchos objetos con la misma forma tienen funciones bien diferenciadas, ya que son objetos que pertenecen a contextos muy distintos. Nos fijaremos en la función matemática, en una mirada a grosso modo de la realidad, que nos permite simplificar el objeto en cuestión y poder compararlo con otros, llegando a afirmar que dos objetos aparentemente bien diferenciados son equivalentes en cuanto a su forma. Por ejemplo, no hay dos objetos iguales, pero todas las esferas del mismo radio se pueden considerar idénticas. ¿Por qué las cosas que nos rodean son como son? ¿Por qué hay ciertas formas más frecuentes que otras en la naturaleza? ¿Hay un propósito? ¿Nos ayudan las matemáticas a resolver este problema? Jorge Wagensberg en La rebelión de las formas, 1 y Claudi Alsina en Geometría cotidiana 2 tratan de dar respuesta a estas preguntas, y en este artículo le daremos un poco de relieve a las preguntas y mostraremos curiosidades que pueden hacer menos complicado responderlas. Estas curiosidades básicamente las saqué de la exposición (ahora permanente) «Y fue la forma…» del Museo de la Ciencia Cosmocaixa de Barcelona, que os animo a visitar –aunque no me paguen comisión–.

Una primera aproximación de respuesta al párrafo anterior podría ser: la naturaleza tiende al equilibrio, donde la suma de todas las fuerzas es igual a cero (primera ley de Newton). Este equilibrio requiere de la geometría

1 WAGENSBERG, J. La rebelión de las formas. Barcelona: Metatemas Tusquets Editores, 2004 2 ALSINA, C. Geometría cotidiana. Barcelona: Rubes Editorial, 2005.

ya que lo alcanzan las figuras que tienden a ser simétricas y puras. Por otro lado, la naturaleza necesita obtener eficiencia mecánica en sus construcciones, para que sean estables.

Además del mundo natural, nuestro entorno está repleto de objetos que la humanidad ha ido diseñando, basándose en el gran diseño que supuso nuestro origen, usando las formas geométricas que hay a nuestro alrededor. Desde los utensilios del hogar hasta los rascacielos de Nueva York.

De hecho, todo lo podemos ver bajo el prisma de formas geométricas. Paremos a mirar la mesa del comedor: vasos que son cilindros o prismas regulares, generalmente octogonales o hexagonales, platos que son superficies abiertas cóncavas generalmente de sección circular, aunque ahora estén de moda los platos cuadrados o de diferentes geometrías. No concebimos una cuchara cuya cabeza cóncava no sea elíptica ni un tenedor sin puntas angulares para poder clavarlo en la comida, y son solo ejemplos sencillos, ¡cuánto más si analizamos la arquitectura u otras formas de arte en detalle!

En un capítulo de la conocida serie The Simpsons –mi serie favorita–, vemos a Homer J. Simpson viajando a la tercera dimensión, 3 donde en vez de ser el dibujo bidimensional habitual pasa a ser un Homer tridimensional en un universo extraño en qué todo lo que le rodea son matemáticas: coordinadas cartesianas en vez de señales de tráfico, funciones matemáticas por doquier, además de gran cantidad de objetos geométricos como conos y cilindros moviéndose por el espacio.

Obviamente, se trata de una caricatura, pero a la vez es una metáfora perfecta de lo que quiero decir. Por un momento, mira a tu alrededor, en el despacho, en el tren, en la cama, en la convención de aeguae, allí donde estés leyendo este artículo. Convierte todo lo que puedas ver en figuras geométricas sencillas: esferas, conos, cilindros, poliedros… –y no es necesario tomar sustancias psicotrópicas–, verás que toda la complejidad que te rodea tiene en realidad una estructura sencilla, y seguirás las palabras del pintor postimpresionista Paul Cézanne: «todo objeto se puede reducir a figuras geométricas simples, cubos, pirámides, conos…». Cabe

3 El capítulo especial Halloween VI de la temporada 7 de The Simpsons. Véase en: http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/ho mer-3d.html [Consulta: 10 noviembre 2008] decir que el cubismo siguió al pie de la letra las palabras de Cézanne, sino mirar las obras de Picasso.

Siguiendo con la misma serie de dibujos animados, es curioso comprobar como Matt Groening, el creador de The Simpsons, ideó los personajes basándose en dibujos bien sencillos: uniones de círculos, letras del alfabeto –has leído bien– y formas simples (ver el video), 4 y parecen personajes bien vivos, ¡cuando son cuatro trazos!

La proporción áurea

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y solo si: (a+b)/a = a/b = Φ, donde Φ es el número de oro. Es curioso constatar que en nuestro mundo aparece constantemente la proporción áurea, y en muchos contextos diferentes.

La anatomía de los seres humanos se basa en la proporción áurea: la relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, la relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos, la relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz, etc.

Otros casos con relación áurea: distancia entre espirales de una piña, cantidad de abejas machos y hembras de un panal, disposición de los pétalos de las flores, distribución de las hojas en un tallo. ¡Está en todos lados! No sería muy científico decir que Dios incluyó esa proporción en su creación –aunque se le llamaba también proporción divina–, pero sí merece una reflexión el ver tantas coincidencias y tanto orden en la naturaleza.

Ejemplos de formas geométricas

Seguidamente trataré brevemente algunas de las geometrías más habituales en nuestro entorno, citando casos concretos llamativos. Es relevante notar que todas estas geometrías, y más, están presentes en la obra de Gaudí, cuya obra es el paradigma de la geometría tridimensional en el arte, basada en la naturaleza viva.

4 ¿Cómo dibujar el personaje de dibujos animados Homer J. Simpson? Véase en: http://www.youtube.com/watch?v=pdIKtec2ln8 [Consulta: 10 noviembre 2008]

Cuando el espacio es homogéneo y además no hay restricciones sino que es isótropo, es decir, sus propiedades no dependen de la dirección, emergen con facilidad esferas. Una gota de agua para nosotros es una esfera simetría cilíndrica. alargada –sino ver el dibujo que haría un niño de una gota de agua–, y eso es debido a la gravedad. Sin embargo, cuando un astronauta vierte una botella de agua en la nave, las gotas son completamente esféricas. La gravedad rompe la simetría, en ausencia de ella las gotas son esféricas, nada impide que no lo sean.

Las estrellas y los planetas, y la mayoría de cuerpos celestes, son esféricos, debido a que el espacio es isotrópico, nada rompe la simetría de la fuerza gravitatoria (que solo depende de la distancia).

La esfera es la forma más simétrica, con lo cual en el mundo vivo es muy presente, véase la gran cantidad de frutas, semillas y huevos esféricos. El calor y la materia que se produce en el interior sale al exterior a través de la superficie; la esfera es la figura geométrica tal que, dado el volumen, su superficie es mínima, con lo cuál se minimiza el flujo de un lado al otro de la superficie, se ahorra espacio en la conservación de la materia.

Dentro del agua la gravedad se ve compensada por la fuerza de Arquímedes, de

Figura 1. Huevo de pez cebra (Danio rerio), inicialmente esférico, aunque el recién nacido sea claramente de

manera que se puede considerar isotropía, lo que no sucede en tierra. Los huevos que se desarrollan en el agua son esféricos, como es el caso de los huevos de los peces cebra (Figura 1), aunque el pez que sale del huevo no sea nada esférico. En cambio, los huevos fuera del agua no son completamente esféricos.

La esfera es protección, los enemigos no saben por donde agarrarla. De hecho, muchos animales, como el ciempiés, adoptan una configuración esférica o circular cuando denotan peligro alrededor, eso es fácil de comprobar, solo hace falta tocar uno con un palo.

Las burbujas de un jabón son esféricas, por lo comentado anteriormente. Ahora bien, si consideramos un caso bidimensional, es decir, si constreñimos la espuma entre dos vidrios planos, las burbujas serán circulares. A la que la concentración de burbujas crece, compiten entre ellas por ocupar el espacio plano disponible, tendiendo a tener seis vecinas a la que la concentración aumenta. Los círculos llenarán casi todo el plano. A concentraciones todavía mayores, los círculos se deformarán para llenar completamente el espacio, es decir, se crearán hexágonos, polígonos de seis lados, que pavimentan completamente el plano.

Un fenómeno físico espectacular en el que se crean hexágonos es la inestabilidad de Rayleigh-Bénard, 5 en el que se calienta un líquido por la parte inferior y se observan rollos de circulación de masa del líquido que se aprietan en celdas hexagonales, lo que se puede observar desde la superficie.

También vemos una estructura hexagonal en los panales de abejas, en los caparazones de las tortugas, etc. Siempre aprovechando el espacio al máximo, para ahorrar material.

Figura 2. Hexágono de Saturno. Foto de la sonda Cassini de la NASA.

Por eso pavimentamos las calles con hexágonos habitualmente.

La NASA ha publicado recientemente unas imágenes de una extraña figura de seis caras con forma de enjambre hexagonal que rodea la totalidad del Polo Norte de Saturno (Figura 2).

5 GETLING, A. V. Rayleigh Bénard Convection: Structures and Dynamics, World Scientific, 1998.

La hélice es un movimiento circular en el plaUna pirámide es un poliedro cuya base es un no que emigra en la dirección perpendicular polígono cualquiera y cuyas caras son trianal mismo, en otras palabras, la traslación de gulares. un movimiento circular. Pensar en pirámides nos refiere directa

En la naturaleza encontramos muchos camente al Antiguo Egipto, cuyas pirámides de sos, como los tornados, huracanes, etc. Giza son una de las siete maravillas del munTambién hay algunas semillas que caen en do (ver Figura 4). forma de hélice, en vez de caer en línea rePero no solamente hay pirámides en Egipcta. Pero el caso más conocido de hélice en to, sino que la geometría piramidal está prela naturaleza es la estructura del ADN, que sente en casi todas las estructuras socioecoen realidad es una doble hélice, en la que las nómicas: en el trabajo nos pasamos la vida dos cadenas de ADN se enroscan sobre sí intentando escalar peldaños de la pirámide. A coidales, como los tornillos, cables, cuerdas, que sirven para agarrar apropiadamente. parte se han diseñado pirámides económicas y pirámides de población para estudiar la situación socioeconómica. También en ecología tenemos pirámides ecológicas, de productores a consumidores primarios, secundarios y terciarios. En psicología, la jerarquía de necesidades de Maslow se describe a menudo como una pirámide que consta de cinco niveles: los cuatro primeros niveles pueden ser agrupados como necesida

Figura 3. Escalera de caracol de la Sagrada Familia (Barcelona). el nivel superior necesidad de mismas formando una especie de escalera ser, la autorreade caracol, como la que vemos en la figura 3. lización. Una estructura similar es la que tienen las Encontramos pirámides en entornos más cadenas de ARN. lúdicos, como en las torres humanas que se

En general, podemos decir que la hélice elevan en Catalunya, los conocidos castells, es una buena manera de empaquetar un que están formados por pisos cada vez mematerial en torno a otro material. Dicho esto, nos poblados en los que se reparten las fuerel hombre ha creado multitud de objetos helizas para que el todo sea rígido y no caiga. des de déficit y

Podríamos discutir también la presencia de ondas, espirales, cilindros, parábolas, catenarias, conos… Un caso especialmente complicado a la vez, y de aquí sacar conclusiones sobre el origen de todo, que no me atrevo a hacerlas, de momento, pero que

Figura 4. El autor al lado de las pirámides de Giza, marzo de 2008. Mucho calor. consonancia con ella y expresan y utilizan leyes naturales. En consecuencia la obra de aplicar el razonamiento implacable y las fór

es el de los fractales, objetos semi geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas, como por ejemplo los relámpagos o las coliflores. Pero he preferido hacer una breve introducción de estas cuatro formas geométricas en concreto.

Conclusiones

En este artículo he querido hacer un breve paseo por las diferentes formas presentes en nuestro mundo, dejando muchas preguntas abiertas para que cada uno investigue por su cuenta. El objetivo era doble, por un lado motivar el hecho de que las matemáticas no son simples cálculos mentales que no tienen aplicación práctica sino que están presentes en todo lo que somos y hacemos, y por otro lado mostrar lo maravilloso que es este munseguro que Dios tiene un papel fundamental en ello.

Para acabar, unas palabras del famoso arquitecto francés Le Corbusier 6 para expresar lo que es la naturaleza y su análogo creado por el hombre, el arte: «la naturaleza es matemática, las obras de arte están en arte es matemática a la que el sabio puede do en muchos aspectos, tan sencillo y tan

mulas impecables.»

6 Le Corbusier, El Modulor I y II. Poseidon, 1980.