Coleção Bernoulli IME-ITA
Caderno Extra IME - ITA
Material extra direcionado à preparação dos alunos para os vestibulares do IME e do ITA. O material conta com conteúdos teóricos específicos elaborados por autores com grande experiência na preparação dos alunos para esses exames. Além disso, há grande carga de exercícios, que estão distribuídos em duas seções: Exercícios Propostos e Seção IME/ITA. Nos Exercícios Propostos são apresentadas questões autorais e de vestibulares diversos e, na Seção IME/ITA, estão as questões do IME e do ITA, além de questões autorais de elevado nível de dificuldade.
Conteúdo programático Química VOLUME
FRENTE CAPÍTULO
A
1
B
C
A
2
B
C
CONTEÚDO
1
Leis das reações químicas e teoria atômica clássica
2
Natureza elétrica da matéria e núcleo atômico
3
Teoria quântica antiga
4
Teoria quântica moderna
1
Os sistemas químicos e suas transformações
2
Mudanças de estado físico
3
Curvas de aquecimento, diagramas de fases e densidade
X1
1ª Lei da Termodinâmica
X2
2ª Lei da Termodinâmica
X3
3ª Lei da Termodinâmica
4
Cálculos químicos
1
Reações nucleares I
2
Reações nucleares II
3
Introdução à Química Orgânica
4
Hidrocarbonetos alifáticos
5
Classificação periódica
6
Propriedades periódicas
7
Ligações iônicas
8
Ligações metálicas
5
Estudo físico dos gases I
6
Estudo físico dos gases II
7
Cálculos de fórmulas
8
Cálculos estequiométricos
5
Compostos aromáticos
X1
Fontes de Hidrocarbonetos
6
Álcoois, fenóis e éteres
7
Aldeídos e cetonas
8
Ácidos e sais carboxílicos
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Química VOLUME
FRENTE CAPÍTULO
A
3
B
C
A
4
B
C
CONTEÚDO
9
Ligações covalentes I
10
Ligações covalentes II
11
Geometria molecular e polaridade das moléculas
12
Interações intermoleculares
9
Introdução à Termoquímica
10
Calores de reação
11
Energia de ligação e Lei de Hess
12
Introdução ao estudo das soluções
9
Ésteres
10
Aminas, amidas e outras funções orgânicas
11
Isomeria plana
12
Isomeria espacial
13
Análise imediata
14
Ácidos de Arrhenius
15
Bases de Arrhenius
16
Sais
13
Concentração das soluções
14
Diluição e mistura de soluções
15
Introdução à Cinética Química
16
Teoria das colisões e do complexo ativado
13
Propriedades físicas dos compostos orgânicos
14
Teorias ácido-base modernas
15
Ácidos e bases orgânicos
16
Reações de adição
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Química VOLUME
FRENTE CAPÍTULO
A
5
B
C
A
6
B
C
CONTEÚDO
17
Óxidos
X1
Carbetos, nitretos e hidretos
18
Reações inorgânicas I
19
Reações inorgânicas II
20
Introdução ao equilíbrio químico
17
Catálises
18
Lei da velocidade
19
Reações de oxirredução e Nox
20
Processos eletroquímicos
17
Reações de eliminação
18
Reações de oxidação
19
Reações de substituição
20
Polímeros
21
Constantes de equilíbrio
22
Equilíbrio iônico
23
Solução-tampão e hidrólise salina
24
Equilíbrio de solubilidade
X2
Complexos químicos
21
Pilhas
22
Eletrólises e Leis de Faraday
23
Propriedades coligativas
X4
Propriedades coligativas: aspectos quantitativos
24
Coloides
21
Biomoléculas: carboidratos e proteínas
22
Biomoléculas: ácidos nucleicos e lipídios
23
Química Ambiental I
24
Química Ambiental II
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Física VOLUME
FRENTE CAPÍTULO A
1
B
C
A
2
B
C
A
3
B
C
CONTEÚDO
1
Introdução à Cinemática Escalar e Movimento Uniforme
2
Movimento Uniformemente Variado e Movimento Vertical
3
Introdução à Cinemática Vetorial
1
Termometria
2
Dilatometria
3
Propagação de calor
1
Eletrização
2
Força elétrica
3
Campo elétrico
4
Lançamento horizontal e lançamento oblíquo
5
Movimento circular
6
Leis de Newton
4
Calorimetria
5
Gases
6
1ª Lei da Termodinâmica
4
Trabalho e potencial elétrico
X1
Fluxo elétrico e Lei de Gauss
5
Condutores
6
Corrente elétrica
7
Forças de atrito
8
Aplicações das leis de Newton
9
Dinâmica do movimento Circular
7
2ª lei da Termodinâmica
8
Fundamentos da Óptica Geométrica
9
Reflexão da luz e espelhos planos
7
Associação de resistores
8
Resistores no dia a dia
9
Instrumentos de medidas elétricas
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático
Física VOLUME
FRENTE CAPÍTULO A
4
B
C
A
5
B
C
A
6
B
C
CONTEÚDO
10
Trabalho, potência e rendimento
11
Energia mecânica
12
Teoremas de Torricelli e Stevin
10
Espelhos esféricos
11
Refração da luz
12
Lentes esféricas
10
Geradores, receptores e associações
X2
As leis de Kirchhoff
11
Capacitores
12
Campo magnético
13
Teoremas de Pascal e Arquimedes
14
Leis de Kepler
15
Lei da Gravitação Universal
13
Instrumentos ópticos
14
Movimento Harmônico Simples (MHS)
15
Introdução à ondulatória
13
Cargas em movimento em campo magnético
14
Força magnética sobre fios
15
Indução eletromagnética e transformadores
16
Equilíbrio do ponto material
17
Equilíbrio de corpos extensos
18
Impulso e quantidade de movimento
X1
Hidrodinâmica - fluidos em movimento
16
Difração e interferência de ondas
17
Ondas estacionárias
18
Som e Efeito Doppler
16
Radiação de corpo negro e quantização de energia
17
Dualidade onda-partícula e efeito fotoelétrico
18
Introdução à Relatividade Espacial
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Matemática VOLUME
FRENTE CAPÍTULO
A
1 B
C
A
2
B
C
CONTEÚDO
1
Conjuntos numéricos
2
Raciocínio lógico
3
Teoria dos conjuntos
4
Divisibilidade, MDC e MMC
X1
Introdução ao Cálculo: Limites
X2
Introdução ao Cálculo: Derivadas
X3
Introdução ao Cálculo: Integrais
1
Razões e proporções
2
Regra de três
3
Noções primitivas de Geometria Plana
4
Triângulos e pontos notáveis
1
Sistemas métricos e base decimal
2
Porcentagem
3
Juros simples e compostos
4
Estatística
5
Produtos notáveis e fatoração
6
Potenciação e radiciação
7
Equações e problemas
8
Função
5
Semelhança de triângulos e Teorema de Tales
6
Quadriláteros
X1
Teoremas de Menelaus, Ceva e Ptolomeu
7
Polígonos
8
Circunferência
5
Médias
6
Trigonometria no triângulo retângulo
7
Arcos e ciclo trigonométrico
8
Funções seno e cosseno
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Matemática VOLUME
FRENTE CAPÍTULO
A
3
B
C
A
4
B
C
CONTEÚDO
9
Função afim
10
Função quadrática
11
Função composta e função inversa
12
Inequações
9
Triângulo retângulo
10
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
11
Áreas de polígonos
12
Áreas de círculo e suas partes
9
Outras funções trigonométricas
10
Funções soma e fatoração
11
Equações e inequações trigonométricas
X1
Funções trigonométricas inversas
12
Geometria de posição e poliedros
13
Função modular
14
Função exponencial
15
Equações e inequações exponenciais
16
Logaritmos
13
Sistema cartesiano e ponto
14
Estudo analítico da reta
15
Posições relativas e distância do ponto à reta
16
Áreas e teoria angular
13
Prismas
14
Cilindros
15
Pirâmides
16
Cones
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático
Matemática VOLUME
FRENTE CAPÍTULO
A
B 5
C
A
6
B
C
CONTEÚDO
17
Função logarítmica
18
Princípio Fundamental da Contagem e arranjos
19
Permutações
20
Combinações I
17
Estudo analítico da circunferência
18
Posições relativas à circunferência
19
Cônicas
X2
Sólidos de revolução
X3
Semelhança de sólidos
20
Progressão aritmética
17
Esferas
18
Inscrição de sólidos
X2
Lugares geométricos
X3
Noções de GAAL
19
Números complexos: forma algébrica
20
Números complexos: forma trigonométrica
21
Combinações II
22
Probabilidades I
23
Probabilidades II
24
Binômio de Newton
X4
Aprofundamento em análise combinatória
21
Progressão geométrica
22
Matrizes
23
Determinantes
24
Sistemas lineares
21
Polinômios I
22
Polinômios II
23
Equações polinomiais I
24
Equações polinomiais II
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Língua Inglesa VOLUME
1
2
3
4
5
6
FRENTE CAPÍTULO
A
A
A
A
A
A
CONTEÚDO
1
Basic Review and Reading Technique
2
Articles, Nouns and Genitive Case
3
Pronouns and Wh-words
4
Simple Present and Present Continuous
5
Simple Past and Past Continuous
6
Present Perfect and Past Perfect
7
Use of Gerund and Infinitive
8
Future Tenses
9
Modal verbs
10
Relative Pronouns
11
Quantitative Adjectives and Indefinite Pronouns
12
Adjectives and Degrees of comparison
13
Tag Questions and Adverbs
14
Passive Voice
15
Suffixes and Prefixes
16
If-Clauses
17
Reported Speech and Embedded Questions
18
Causative Form
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Língua Portuguesa VOLUME
FRENTE CAPÍTULO A
1
B
C
A
2
B
C
A
3
B
C
CONTEÚDO
1
Tipos e gêneros textuais
2
O texto dissertativo-argumentativo
3
Coerência e coesão
1
Figuras de linguagem e figuras sonoras
2
Os gêneros literários
3
Trovadorismo, Humanismo e Classicismo
1
Acentuação e ortografia
2
Classes de palavras
3
Pronomes pessoais
4
Planejamento do texto dissertativo-argumentativo
5
Introdução e tese do texto dissertativo-argumentativo
6
Desenvolvimento do texto dissertativo-argumentativo
4
Quinhentismo
5
Barroco e Arcadismo
6
Elementos da prosa
4
Pronomes possessivos, demonstrativos, indefinidos, interrogativos e relativos
5
Verbos
6
Estudo do período simples – sujeito e predicado
7
Estratégias argumentativas
8
Contra-argumentação e falhas argumentativas
9
Modalização: categorias linguísticas e importância argumentativa
7
Romantismo
8
Realismo e Naturalismo
9
Parnasianismo e Simbolismo
7
Termos ligados ao verbo
8
Termos ligados ao nome
9
Concordância nominal
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Conteúdo programático Língua Portuguesa VOLUME
FRENTE CAPÍTULO A
5
B
C
A
6
B
C
10
Conclusão do texto dissertativo-argumentativo
11
Funções da linguagem
12
Variação linguística
10
Intertextualidade
11
Pré-Modernismo
12
Modernismo: 1ª fase
10
Concordância verbal
11
Regência verbal
12
Regência nominal e crase
13
Narração e descrição
14
Gêneros jornalísticos
15
Cartas
13
Modernismo: 2ª fase
14
Modernismo: 3ª fase
15
Poesia Concreta, Poesia Marginal e Tropicalismo
13
Período composto por coordenação Período composto por subordinação – orações subordinadas substantivas e adjetivas Período composto por subordinação – orações subordinadas adverbiais
14 15
A
7
B
C
CONTEÚDO
16
Textos não verbais e publicitários
17
Charge, cartum e tirinha
18
Gêneros digitais
16
Pós-Modernismo
17
Manifestações Artísticas
18
Manifestações literárias portuguesas, africanas e indígenas
16
Pontuação
17
Análise sintático-semântica
18
Estrutura e formação de palavras
Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.
Victor Garcia / Unsplash
Volume 1
Módulo 01:
Introdução à Cinemática Escalar e Movimento Uniforme
7
Módulo 02:
Movimento Uniformemente Variado e Movimento Vertical
14
Módulo 03:
Introdução à Cinemática Vetorial
FRENTE B 19
Módulo 01:
Termometria
22
Módulo 02:
Dilatometria
26
Módulo 03:
Propagação de Calor
FRENTE C 33
Módulo 01:
Eletrização
37
Módulo 02:
Força Elétrica
43
Módulo 03:
Campo Elétrico
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PRévIA AuTORIzAçÃO POR EScRITO
3
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA Pu DESTA uBlIcAçÃO PODE SER
2
FRENTE A
Sumário
Definindo a resistência térmica como sendo
MóDUlo 03
R =
PRoPAGAção DE CAloR
Φ=
É possível elaborar um método prático para a resolução de problemas envolvendo associação de várias barras por meio de uma analogia com circuitos elétricos.
A
R
(IV)
Desse modo, a analogia entre o sistema térmico e o elétrico fica clara, como podemos observar comparando de tempo – é análogo à corrente i – carga por unidade de tempo. A diferença de potencial VAB é análoga à diferença
e B
∆TAB
as equações (I) e (IV). O fluxo Φ – energia por unidade
Compare os dois sistemas da figura a seguir.
A
(III)
a expressão (II) será escrita como:
Associação de barras
i
e kA
de temperatura ∆T TAB, enquanto a resistência elétrica R é Φ
B
análoga à resistência térmica R =
e
kA
.
Assim como se simplifica um circuito elétrico com diversos
Figura 1.
resistores para um circuito análogo com apenas um resistor,
Na esquerda, temos um trecho simples de circuito
bastando para isso calcular a resistência equivalente daquele
elétrico. A diferença de potencial entre os pontos A e B gera
circuito, será possível, com essa analogia, simplificar-se
uma corrente elétrica i, que é maior quanto menor for a
um problema de fluxo térmico com diversas barras para
resistência elétrica R do resistor, onde há a corrente elétrica.
um problema com apenas uma parede / barra. Nesse caso,
Essa relação pode ser escrita matematicamente como:
basta calcular a resistência térmica equivalente daquele
i=
VAB
(I)
R
De forma análoga, no sistema físico da direita, temos uma barra de comprimento e e uma área de secção transversal A, cujo coeficiente de condutibilidade térmica vale k. Se houver diferença de temperatura entre os pontos A e B, haverá um fluxo de calor da extremidade de maior temperatura – A – para a de menor temperatura – B – que será mais ou menos intenso de acordo com as propriedades da barra, assim como a corrente elétrica no resistor é maior ou menor de acordo com o valor de sua resistência.
“circuito térmico”. Há, portanto, uma analogia entre os dois sistemas. A mesma operação usada para calcular a resistência equivalente no circuito elétrico será usada para calcular a resistência equivalente térmica, tanto para o caso da associação em paralelo quanto em série, como é possível perceber, uma vez que as equações (I) e (IV) assumem exatamente a mesma forma.
Associação em paralelo Dois resistores estão em paralelo quando estão submetidos à mesma diferença de potencial. R1
Da mesma forma que a diferença de potencial gera um fluxo de cargas – a corrente elétrica – a diferença de
i1
i
B
temperatura gera um fluxo de energia – o calor. seja análoga à resistência elétrica, será possível interpretar
R2
o sistema físico térmico de modo semelhante ao sistema elétrico.
Figura 2.
A Lei de Fourier relaciona as grandezas do sistema térmico, dizendo que o fluxo de calor através da barra é tal que:
Φ=
k.A.∆ ∆T TAB e
∆TAB =
e (II) k.A
Em que ∆T TAB é a diferença de temperatura entre as extremidades A e B.
26
i2
A
Desse modo, definindo-se uma resistência térmica que
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
Nesse caso, podemos dizer que a corrente total no circuito é igual à soma das correntes que passam em cada um dos resistores, como podemos ver na figura anterior. Ou seja: i = i1 + i2 (I) Entretanto, sabemos que i1 =
VAB R1
tensão em ambos os resistores é VAB.
e i2 =
VAB R2
, já que a
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente B
Assim, em (I), tem-se: i=
VAB R1
+
VAB R2
A
1 1 = VAB + (II) R1 R 2
Φ1 K1
Φ2
B
Φ1
Φ
A
K2
B
Φ2
e
Define-se então a resistência equivalente Req do circuito Figura 4.
como: 1 R eq
=
1 R1
+
1 R2
Em que R1 =
(III)
e
e R2 =
k1A1
e
são as resistências
k 2 A2
térmicas das barras 1 e 2, A1 e A2 são suas áreas da secção
transversal, respectivamente; k1 e k2 os seus coeficientes de
Desse modo, temos em (II):
condutibilidade térmica, respectivamente, e e o comprimento de cada uma das barras.
i=
VAB
Associação em série
R eq
Ou seja, uma mesma corrente i é produzida pela diferença potencial VAB em um circuito equivalente de uma única
Temos resistores em série quando a corrente que passa por eles é a mesma.
resistência cujo valor é dado pela expressão (III).
A
R1 Req
i A
A
B
R2
R1
i
B
Req
A
i
B
Figura 5. i
B
Nesse caso, podemos substituir o circuito por um circuito equivalente de apenas uma única resistência.
É possível provar, usando argumentos semelhantes ao da demonstração anterior, que essa resistência deve ter um
R2
valor Req dado por: Req = R1 + R2
Figura 3.
Dizemos que essa é a resistência equivalente do circuito, já que os dois circuitos da figura anterior são equivalentes. Para o caso térmico, a situação será similar. Duas barras ou paredes estarão em paralelo se tiverem a mesma diferença
No caso térmico, duas barras estarão em série se o fluxo de calor que passa por elas for o mesmo.
Mais uma vez, basta interpretarmos sob o ponto de vista
dos circuitos, visualizando a situação física como sendo um “circuito térmico” composto de duas resistências térmicas:
de temperatura ∆TAB. Nesse caso, o fluxo de calor irá se dividir
R1 =
entre as barras, de modo que o fluxo total será: Φ = Φ1 + Φ2 Montando a analogia do problema térmico com o circuito elétrico, vamos visualizar as barras como sendo resistências, de modo que é possível construir um “circuito térmico” que será idêntico ao circuito elétrico em paralelo, como mostra a figura 3.
e k1A1
e R2 =
e k 2 A2
Em que k1 e k2 são os seus coeficientes de condutibilidade
térmica, respectivamente; e1 e e2 são seus comprimentos, respectivamente, e A é a área da secção transversal de cada barra. A e1
e2
Φ
B
A
R1
R2 i
Figura 6.
Assim como demonstramos para o caso elétrico, o circuito térmico poderá ser substituído por um circuito com uma única resistência térmica de valor Req, tal que: 1 R eq
=
1 R1
+
1 R2
B
É possível também substituir as barras por apenas uma
única barra, desde que sua resistência térmica seja Req, tal que: Req = R1 + R2 como era de se esperar.
Bernoulli Sistema de Ensino
évIA IA AuTORI TORIz zAçÃO POR EScRITO RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PR PRév físiCa físi Ca Ca
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDuc ucAçÃO. TODOS OS DIREITOS OS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Caderno Extra
27
EXERCÍCIos PRoPosTos 01.
04.
(Unifor-CE) Considere as afirmações a seguir sobre o calor: I.
Três barras, de mesmo comprimento l = 1 m e coeficiente de condutibilidade térmica k = 100 W/m K, estão
II. Um corpo claro absorve mais calor que um corpo
dispostas conforme mostra a figura a seguir, sendo a
escuro.
temperatura em A TA = 100 °C e a temperatura em B
III. Um cabo de panela é feito de um material que dificulta
TB = 0 °C. Calcule o fluxo de calor entre os extremos A
a condução de calor.
e B sabendo que as áreas das secções transversais das
IV. Uma pessoa sente frio quando perde calor rapidamente
barras 1, 2 e 3 são A1 = A2 = 0,5 A3 = 0,01 m2.
02.
para o ambiente. Dessas afirmações, são verdadeiras somente
1
A
3
2
B
As duas barras a seguir, de mesma área de secção
05.
W m⋅K
e k2 = 200
W m⋅K
C) I, II e III.
B) I e III.
D) I, II e IV.
E) I, III e IV.
(UFSCar-SP) Nas geladeiras, retira-se periodicamente o sob o gelo. Os viajantes do Deserto do Saara usam roupas
, estão submetidas
de lã durante o dia e à noite. Relativamente ao texto anterior, qual das afirmações a
a uma diferença de temperatura ∆TAB = 500 °C. l1 = 10 m
A) I e II.
gelo do congelador. Nos polos, as construções são feitas
transversal A = 0,1 m2 e de coeficientes de condutibilidade térmica k1 = 100
Em um líquido, o calor se propaga devido à formação de correntes de convecção.
seguir não é correta? A) O gelo é mau condutor de calor.
l2 = 20 m
B) A lã evita o aquecimento do viajante do deserto durante o dia e o resfriamento durante a noite. A
k1
k2
C) A lã impede o fluxo de calor por condução e diminui
B
as correntes de convecção. D) O gelo, sendo um corpo a 0 °C, não pode dificultar o fluxo de calor.
Calcular a temperatura no ponto de junção das barras.
E) O ar é um ótimo isolante para o calor transmitido
03.
por condução, porém favorece muito a transmissão
(FMTM-MG) Relacione: I.
do calor por convecção. Nas geladeiras, as correntes
Condução
é que refrigeram os alimentos que estão na parte interior.
II. Convecção III. Irradiação ( ) A energia é transportada por deslocamento de matéria. ( ) A energia é transmitida na forma de ondas eletromagnéticas. ( ) A energia é propagada por choques entre as partículas.
(UFMS) O calor é uma forma de energia que pode se propagar através dos processos de condução, convecção e irradiação. A respeito desses processos, é correto afirmar que A) a radiação infravermelha, oriunda do Sol, necessita de um meio material para se propagar até a pele de uma pessoa exposta ao Sol. B) o processo de condução de calor através de uma
A ordem em que se devem dispor os algarismos I, II
janela de vidro de uma residência depende somente
e III, de cima para baixo, para que fique preenchida
da diferença de temperatura entre o interior e o lado
corretamente a relação, está em A) I, II e III. B) II, I e III. C) II, III e I. D) III, I e II. E) III, II e I.
28
06.
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
externo da residência. C) nos três processos de propagação de calor, há também a propagação da matéria. D) o principal responsável pelo aquecimento da Terra é a irradiação térmica. E) da mesma forma que no processo de irradiação térmica, na convecção térmica não há deslocamento de massa.
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente B
07.
D) É um exemplo de convecção térmica e ocorre pelo
(UEPG-PR) A sensação de quente e de frio é causada pela transferência de energia térmica de um corpo para outro ou de um ponto para outro. Sobre a fenomenologia dessa transferência, comumente denominada calor, assinale o que for correto.
fato de a água ter um calor específico menor do que a
areia. Dessa forma, a temperatura da areia se altera mais rapidamente.
E) É um m processo de estabelecimento do equilíbrio
01. A condução do calor não ocorre no vácuo, porque é um processo que exige a presença de um meio material. 02. Um corpo mau absorvente de calor é um bom refletor de calor e, consequentemente, um corpo mau refletor de calor é um bom absorvente de calor.
térmico e ocorre pelo fato de a água ter uma capacidade térmica desprezível.
09.
provenientes de combustão é uma aplicação do processo
04. Irradiação é a transferência de calor por ondas eletromagnéticas.
térmico de A) radiação. adiação.
08. Corpos negros são bons absorventes de calor.
B) condução.
16. O movimento causado pela transferência de energia térmica em um fluido é denominado convecção. Soma (
08.
(UFES) S) O uso de chaminés para escape de gases quentes
C) absorção. D) convecção.
)
(PUC-SP) Observe as figuras a seguir sobre a formação das brisas marítima e terrestre. Durante o dia, o ar próximo à areia da praia se aquece mais rapidamente do que o ar próximo à superfície do mar. Dessa forma, o ar aquecido do continente sobe, e o ar mais frio do mar desloca-se para o continente, formando a brisa marítima. À noite, o ar sobre o oceano permanece aquecido mais tempo do que o ar sobre o continente, e o processo se inverte. Ocorre então a brisa terrestre. Ar frio
E) dilatação.
10.
(UFRGS-RS) No interior de uma geladeira, a temperatura
é aproximadamente a mesma em todos os pontos graças
à circulação do ar. O processo de transferência de energia causado por essa circulação de ar é denominado A) radiação. adiação. con B) convecção. C) condução.
Ar quente
compressão D) compressão. E) reflexão.
Dia
11.
(PUC RS) Numa cozinha, é fácil constatar que a temperatura é mais elevada próximo ao teto do que
próximo ao chão, quando há fogo no fogão. Isso é devido Ar quente
ao fato de Ar frio
A) o calor não se propagar para baixo. B) o calor não se propagar horizontalmente.
C) o ar quente subir, por ser menos denso do que o ar frio.
Noite
D) o ar quente subir, por ser mais denso do que o ar frio. E) o ar frio descer, por ser menos denso do que o Entre as alternativas a seguir, indique a que explica, corretamente, o fenômeno apresentado. A) É um exemplo de convecção térmica e ocorre pelo fato de a água ter um calor específico maior do que a areia. Dessa forma, a temperatura da areia se altera mais rapidamente. B) É um exemplo de condução térmica e ocorre pelo fato de a areia e a água serem bons condutores térmicos. Dessa forma, o calor se dissipa rapidamente. C) É um exemplo de irradiação térmica e ocorre pelo fato de a areia e a água serem bons condutores térmicos. Dessa forma, o calor se dissipa rapidamente.
ar quente.
12.
(FAAP-SP) AAP-SP) As garrafas térmicas são frascos de paredes
duplas, entre as quais é feito o vácuo. As faces dessas paredes que estão frente a frente são espelhadas.
O vácuo entre as duas paredes tem a função de evitar A) somente a condução. B) somente a irradiação. C) a condução e a convecção. D) somente a convecção. E) a condução e a irradiação.
Bernoulli Sistema de Ensino
évIA IA AuTORI TORIz zAçÃO POR EScRITO RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PR PRév físiCa físi Ca Ca
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO Exclu xcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS ODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NEN ENhuMA PARTE PARTE DESTA DESTA PuBlIc cAçÃO PODE SER
Caderno Extra
29
13.
(UFSCar-SP) Quando se coloca ao Sol um copo com água
A
fria, as temperaturas da água e do copo aumentam. Isso
C
ocorre principalmente por causa do calor proveniente do
B 30 cm
Sol, que é transmitido à água e ao copo por
80 cm
A) condução, e as temperaturas de ambos sobem até que a água entre em ebulição. B) condução, e as temperaturas de ambos sobem
A) 195 °C.
continuamente, enquanto a água e o copo continuarem
B) 175 °C.
ao Sol. C) convecção, e as temperaturas de ambos sobem até
C) 140 °C.
que o copo e a água entrem em equilíbrio térmico
D) 125 °C.
com o ambiente.
E) 100 °C.
D) irradiação, e as temperaturas de ambos sobem até que o calor absorvido seja igual ao calor por eles
17.
emitido.
14.
(Mackenzie-SP) Tem-se três cilindros de mesmas seções transversais de cobre, latão e aço, cujos comprimentos
E) irradiação, e as temperaturas de ambos sobem
são, respectivamente, de 46 cm, 13 cm e 12 cm. Soldam-se
continuamente enquanto a água e o copo continuarem
os cilindros, formando o perfil em Y, indicado na figura.
a absorver calor proveniente do Sol.
O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a 100 °C, e os cilindros de latão e aço, a 0 °C. Suponha
(FAAP-SP) AAP-SP) Uma casa tem 5 janelas, tendo, cada qual,
que a superfície lateral dos cilindros esteja isolada
um vidro de área 1,5 m 2 e espessura 3 . 10 –3 m.
termicamente.
A temperatura externa é –5 °C e a interna é mantida a
0 °C
20 °C, através da queima de carvão. Qual a massa de carvão consumida no período de 12 h para repor o calor
0 °C Latão (13 cm)
Aço (12 cm)
perdido apenas pelas janelas?
Junção Cobre (46 cm)
Dados: •
Condutividade térmica do vidro:: 0,72 cal/h.m°C.
•
ustão do carvão: 6 . 10 cal/g. Calor de combustão
100 °C
3
As condutibilidades térmicas do cobre, latão e aço
15.
(Mackenzie-SP) Com o calor que “atravessa” uma
valem, respectivamente, 0,92, 0,26 e 0,12 expressas em
parede de concreto (k = 2,0 . 10
cal.cm–1.s–1.°C–1. No estado estacionário de condução,
–3
cal/s.cm.°C) de
10 cm de espessura e área 9,0 . 104 cm2, num intervalo de
qual é a temperatura na junção?
100 s, quando suas faces experimentam uma diferença de temperatura de 40 °C, é possível fundirmos um cubo de gelo de 10 cm de aresta, a 0 °C e pressão normal. O calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g e sua densidade é A) 0,7 g/cm3. B) 0,8 g/cm3. C) 0,9 g/cm . 3
D) 1,0 g/cm . 3
E) 1,1 g/cm3.
16.
(AFA-SP) Uma barra metálica é aquecida conforme a figura; A, B e C são termômetros. Admita a condução de calor em regime estacionário e no sentido longitudinal da barra. Quando os termômetros das extremidades indicarem 200 °C e 80 °C, o intermediário indicará
30
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
sEção IME/ITA 01.
(ITA-SP) Em uma garrafa térmica, uma das razões pela qual o líquido quente se conserva aquecido é: A) A camada espelhada impede a transmissão do calor por condução. B) O vácuo entre as paredes duplas impede a transmissão do calor por radiação. C) A garrafa é de vidro, cujo coeficiente de condutibilidade térmica é baixo. D) A pintura escura do revestimento externo absorve a radiação térmica vinda de fora. E) N.d.a.
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente B
02.
(ITA-SP) Qual dos gráficos seguintes melhor representa a taxa P de calor emitido por um corpo aquecido, em função de sua temperatura absoluta T? A) P
0
C) P
T
B) P
0
03.
0
E) P
T
0
T
D) P
T
0
T
(IME-RJ)) Um vidro plano, com coeficiente de condutibilidade térmica igual a 0,00183 cal/s.cm.°C, tem uma área de 1 000 cm2 e espessura de 3,66 mm. Sendo o fluxo de calor por condução através do vidro de 2 000 cal/s, calcule a diferença de temperatura entre suas faces.
04.
( I TA-S P ) U m a p e s s o a d o r m e s o b u m c o b e r t o r d e 2 , 5 c m d e e s p e s s u ra e d e c o n d u t i b i l i d a d e t é r m i c a
3,3 . 10–4 J.cm–1.s–1.(°C)–1. Sua pele está a 33 °C, e o ambiente, a 0 °C. O calor transmitido pelo cobertor durante uma hora, por m2 de superfície, é A) 4,4 . 10–3 J. B) 4,3 . 102 J. C) 1,6 . 102 J. D) 2,8 . 102 J. E) 1,6 . 105 J.
05.
(ITA-SP) A distância de Marte ao Sol é, aproximadamente, 50% maior do que aquela entre a Terra e o Sol. Superfícies planas
de Marte e da Terra, de mesma área e perpendiculares aos raios solares, recebem por segundo as energias de irradiação solar UM e UT, respectivamente. A razão entre as energias, UM/UT, é aproximadamente: A) 4/9 B) 2/3 C) 1 D) 3/2 E) 9/4
06.
(ITA-SP–2012) (ITA-SP–2012) Uma fonte luminosa uniforme no vértice de um cone reto tem iluminamento energético (fluxo energético por
unidade de área) HA na área A da base desse cone. O iluminamento incidente numa seção desse cone que forma ângulo de 30° com a sua base, e de projeção vertical S sobre esta, é igual a A) AHA/S. B) SHA/A. C) AHA/2S. D) ¹3AHA/2S E) 2AHA//¹3S.
Bernoulli Sistema de Ensino
évIA IA AuTORI TORIz zAçÃO POR EScRITO RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PR EPRODuz PRév físiCa físi Ca Ca
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO Exclu xcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS ODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIIcAçÃO PODE SER DESTA
Caderno Extra
31
07.
(IME-RJ–2013) Um feixe de luz de intensidade I incide
A) 10% da condutividade térmica do material da parede.
perpendicularmente em uma lâmina de vidro de espessura
B) 15% da condutividade térmica do material da parede.
constante. A intensidade da onda transmitida do ar para o vidro e vice-versa é reduzida por um fator q (0<q<1). Ao chegar a cada interface de separação entre o ar e o vidro, a onda se divide em refletida e transmitida. A intensidade total da luz que atravessa o vidro, após sucessivas reflexões internas no vidro, é dada por
C) 4,5% da condutividade térmica do material da parede. D) 22,22% 2,22% da condutividade térmica do material da parede. E) 33,33% 3,33% da condutividade térmica do material da parede.
A) q2I. B)
C)
D)
E)
08.
qI
2qI 1+q qI 2–q 1 2
GABARITo
.
2 – q2
Propostos
.
01. 100 W
.
02. 250 °C 03. C
q(1 + q)I .
04. E 05. D
(ITA-SP) A-SP) De acordo com a Lei de Stefan-Boltzmann, o equilíbrio da atmosfera terrestre é obtido pelo balanço energético entre a energia de radiação do
08. A
Considere que a energia fornecida por unidade de
09. D
tempo pela radiação solar é dada por P = AeσT , em que
10. B
σ = 5,67 . 10–8 W/m²K4; A é a área da superfície do corpo; T, a temperatura absoluta; e o parâmetro e é a emissividade que representa a razão entre a taxa
11. C 12. C
de radiação de uma superfície particular e a taxa de
13. D
radiação de uma superfície de um corpo ideal, com a
14. 90 g, considerando que as temperaturas dos
mesma área e com a mesma temperatura. Considere a
ambientes
temperatura média da Terra T = 287 K e, nessa situação,
temperaturas das faces internas e externas das
e = 1. Sabendo que a emissão de gases responsáveis
janelas.
pelo aquecimento global reduz a emissividade, faça uma estimativa de quanto aumentará a temperatura média da Terra devido à emissão de gases responsáveis pelo aquecimento global, se a emissividade diminuir 8%. Considere (1 – x)1/4 ≅ 1 – x/4. (IME-RJ–2017) Deseja-se minimizar a taxa de transferência de calor em uma parede feita de um determinado
externo
são
17. T = 40 °C
seção IME/ITA 01. C
diferencial de temperatura. Isso é feito adicionando-se
03. 400 °C
uma camada isolante refratária de 15% da espessura da
04. E
ser 40% em relação à situação original. Supondo que o
e
16. D
02. C
indicam que a taxa de transferência de calor passa a
interno
15. C
material, de espessura conhecida, submetendo-a a um
parede, de forma que cuidadosas medidas experimentais
05. A 06. D
diferencial de temperatura entre as extremidades livres
07. D
da parede original e da parede composta seja o mesmo,
08. A temperatura aumentará cerca de 6 K.
pode-se afirmar que a condutividade térmica do material refratário é numericamente igual a
32
07. Soma = 31
Sol absorvida pela Terra e a reemitida pela mesma. 4
09.
06. D
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
09. A
iguais
às
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente B
Markus Spiske / Unsplash
RITO PElO BERNOullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PRévIA AuTORIzAçÃO POR EScRITO
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Volume 2
3
Módulo 05:
Produtos Notáveis e Fatoração
7
Módulo 06:
Potenciação e Radiciação
9
Módulo 07:
Equações e Problemas
12
Módulo 08:
Função
FRENTE B 19
Módulo 05:
Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales
27
Módulo 06:
Quadriláteros
29
Módulo X1:
Teoremas de Menelaus, Ceva e Ptolomeu
37
Módulo 07:
Polígonos
42
Módulo 08:
Circunferência
FRENTE C
2
51
Módulo 05:
Médias
54
Módulo 06:
Trigonometria no Triângulo Retângulo
56
Módulo 07:
Arcos e Ciclo Trigonométrico
59
Módulo 08:
Funções Seno e Cosseno
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO ÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA Pu DESTA uBlIcAçÃO PODE SER
FRENTE A
SUMÁRIO
Caderno Extra TEOREMAS DE MENELAUS, CEVA E PTOLOMEU
C’
A
B’ r
N
L P
TEOREMA DE MENELAUS
B
triângulo ABC, os pontos L, M e N, como mostra a figura.
MB MC
A r
C
M
J
LA MB NC = 1. . . LB MC NA
Portanto, ortanto,
Considerando as paralelas r e s e as secantes BA e BJ, LA
LA MB temos = ou . = 1. MJ MB MJ LB
LB
AB ' NC BC LA AC ' , = , = AC ' NA AB ' LB BC
MJ NC . = 1. NA MC
MJ NA
=
MC NC
RELAÇÃO DE PTOLOMEU igual à soma dos produtos dos lados opostos. Demonstração:
Consideremos o quadrilátero inscritível ABCD da figura,
Multiplicando membro a membro, temos: LA MB MJ NC . . . = 1 ou MJ LB NA MC
LA MB NC . . =1 LB MC NA
Num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é
E agora, a, a partir das secantes MJ e AN, tem-se ou
=
MB NC LA AB ' BC AC ' . . = . . MC NA LB AC ' AB ' BC
N
Mostraremos que
C
Multiplicando membro a membro, temos:
L B
M
Seja r // BC. Dos triângulos semelhantes formados, temos:
s
sendo: A
LA MB NC . . =1 LB MC NA
D J
TEOREMA DE CEVA
C
B
Ceviana é qualquer segmento que, em um triângulo, passa por um vértice e pelo lado oposto ao mesmo. Consideremos em um triângulo ABC três cevianas, AM, BN e CL. Se essas três cevianas forem concorrentes, então LA MB NC . . = 1. LB MC NA
RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PRévIA AuTORIzAçÃO POR ES EScRITO
BX1
MATEMÁTICA
Uma reta qualquer determina, sobre os lados de um
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
FRENTE
AB = a BC = b Lados CD = c DA = d AC = p Diagonais BD = q
Bernoulli Sistema de Ensino
29
Consideremos ainda AJ isogonal de AC em relação a BD.
•
Assim, BAJ = CAD.
d2 – a2 = c2 – b2 ⇒
Da semelhança dos triângulos AJD e ABC, temos: b
=
d
⇒ JD.p = bd
p
a2 + c2 = b2 + d2
(I)
2º caso:
Da semelhança dos triângulos AJB e ADC, temos: c
=
a p
⇒ BJ.p = ac
BJ
C
D d
m
(II)
Somando (I) e (II), temos:
n
p(BJ + JD) = ac + bd
JD
Por (I) – (II), tem-se:
m
n
a
•
P b
B
A
pq = ac + bd
c
∆DPA DPA d2 – m2 = a2 – n2, pois a altura é comum nos dois
TEOREMA DE MARLEN
triângulos retângulos.
Considere um ponto P interno ou externo ao retângulo
•
ABCD.
∆CPB ∆ c2 – m2 = b2 – n2
D
C
D
C
• P
P B
A
A
B
A soma dos quadrados das distâncias a dois vértices opostos é constante, ou seja, DP2 + BP2 = CP2 + AP2.
Subtraindo as relações d2 – c2 = a2 – b2 ⇒ a2 + c2 = b2 + d2
TEOREMA DE CHADÚ
Considere um ∆ABC equilátero e um ponto P do arco AB , sendo P o ponto da circunferência circunscrita ao ∆ABC.
Demonstração:
A P
1º caso: m
D
n x
C a
c
d
a
P a
A
•
y
m
n
∆DPC d2 = m2 + x2 ⇒ x2 = d2 – m2 c =n +x ⇒x =c –n 2
2
2
2
2
2
d2 – m2 = c2 – n2 (I) •
C
B
a
B
A distância de P ao vértice mais distante é a soma das distâncias de P aos outros dois vértices, ou seja, PC = PA + PB. Demonstração: Como o quadrilátero APBC é inscritível, então pode-se
∆APB
aplicar o Teorema de Ptolomeu. AC , . PB + BC . PA = PC . AB
a2 = m2 + y2 ⇒ y2 = a2 – m2
sendo AC = BC = AB = a a medida do lado do triângulo
b2 = n2 + y2 ⇒ y2 = b2 – n2
equilátero.
a2 – m2 = b2 – n2 (II)
30
b
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
a
a . PB + a . PA = a . PC ⇒ PC = PA + PB.
a
a
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente BX1
VARIAÇÃO DO TEOREMA DE CHADÚ
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.
Em um ∆ABC, são traçadas as cevianas BQ e CM que se
K = QAK, ABQ = 40° e QBC C = 70°. interceptam em K, BAK
Considere o quadrado inscrito na circunferência λ e um
O valor da medida, em graus, do ângulo obtuso que
ponto P do arco AB.
determina os segmentos AK e QM é: A) 95.
P A
B) 100.
B
C) 105. D) 110. E) 135.
Observação: Use o Teorema da Bissetriz juntamente com Menelaus para provar que QM é bissetriz. D
C
02.
Considere um hexágono não convexo ABCDEF com
A = B = C = E = F = 90°. Em seu interior, escolhe-se um
ponto M, tal que AM2 + EM2 + CM2 = 120 e BM2 + MF2 = 39.
PA + PB = (PC + PD).(¹2 – 1)
O valor de MD é: A) 7.
Demonstração:
B) 8.
Considere ABCD um quadrado de lado a.
C) 9.
P A
D) 10. E) 11.
B
a
03.
Em um retângulo ABCD, traça-se a altura BH do triângulo ABC. Se AB = 2 e HC = 3, então a medida de HD é:
a
a
A) ¹7
a¹2
a¹2
B) 3 C) 4
D
a
D) 2¹7
C
E) 5
•
Quadrilátero APCD
04.
à diagonal AC, com H pertencente a AC.. Se AH = a e
Pela relação de Ptolomeu:
CH = b, então o valor de DH é: A)
a2 + b2 + ab
B)
a2 + b2 – ab
C)
a2 + b2 – 3ab
Quadrilátero PBCD
D)
a2 + b2 + 3ab
Pela relação de Ptolomeu:
E)
a2 + b2
PA . a + PC . a = PD . a¹2 PA + PC = PD¹2 (I) •
PB . a + PD . a = PC . a¹2 PB + PD = PC¹2 (II) •
Considere o retângulo ABCD. Traça-se BH perpendicular
Somando as relações (I) e (II) PA + PC + PB + PD = PD¹2 PD + PC¹2 ⇒
05.
Considere um retângulo ABCD. Com diâmetro CD e AD,, são traçadas semicircunferências internas que se
interceptam no ponto Q. Se AQ = 9 e QC = 4, então a medida de BQ é: A) ¹7 B) ¹11
PA + PB = PD 2 − PD P + PC 2 − PC ⇒ PD ( 2 − 1) PC ( 2 − 1)
C) ¹21
PA + PB = (¹2 ( – 1).(PD + PC)
E) ¹61
D) ¹41
Bernoulli Sistema de Ensino
TORIz zAçÃO POR EScRITO RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PRévIA AuTORI EPRODuz MATEMÁTICA
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDuc ucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Caderno Extra
31
06.
Considere um triângulo acutângulo ABC, de incentro I e
P
A
circunferência O. O ângulo AIO é reto, AC = b, BC = a e
B
AB = c. Qual das relações está correta: a
A) b + c = 2a B) a + c = 2b
b
F
C) a + b = 2c
C
D) c = ¹ab
07.
Considere um ∆ABC com ângulo ABC = 60°, sendo I o
E
incentro e O o circuncentro do ∆AIC. A medida de OB, sabendo que AB + BC = a, é: A)
2 a 3
B)
b+a 3
C)
a+b
C)
a 3
D) 2a 3
D)
4a
E)
5
2
11.
2ab 2a a+b ab 3 a+b
Considere um polígono regular de 13 lados ABC...LM. Se AD = m e AE = n, então a medida de DJ será:
Um quadrado está inscrito na circunferência λ, e escolhe-se um ponto P do arco AB. O valor numérico de
AB + BP CP + DP
B) ¹2 – 1 C) D) E)
A)
m2 + 2 2n n2
B)
n2 − m mn
C)
n2 + m mn
D)
m2 + n2
E)
m2 + 2mn
é:
A) ¹2 + 1
2 +1 2
2
2 −1 2 2 −1 4
Em um heptágono regular ABCDEFG, verifica-se a 1 1 1 expressão + = . O valor do perímetro do AE AC 6 heptágono descrito é: A) 40. B) 41. C) 42. D) 43.
12.
Considere um polígono regular de 13 lados A1A2...A12A13. Se A1A 4 = a e A1A5 = b, então o valor de segmento A4A10 é: A)
a2 + ba
B)
a2 + b2
C)
E) 44. D) Considere o hexágono regular da figura. Escolhendo-se um ponto P do arco AB, tal que PF = a e PC = b, com a > b, o valor do segmento PD é:
32
2
3
medida de AC e observe o quadrilátero ABCO.
10.
2
2
Sugestão: Veja que AO = OC = OI = R. Encontre a
09.
a+b 3
a
B)
E)
08.
A)
D
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
E)
1 2
a2 + b2 a2 + b2 3 a2 + b2 5
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente BX1
13.
Considere um eneágono regular ABC..., tal que BG – BD = 11.
A medida do lado transverso é:
O valor do perímetro do eneágono será:
A) 15
A) 88.
B) 16
B) 99.
C) 18
C) 110.
D) 12
D) 115.
E) ¹145
E) 121.
17.
Sugestão: Use o teorema de Chadú.
14.
e relativo ao lado BC, marca-se um ponto P,, de modo que os ângulos BPC PC e P P PAC AC C sejam congruentes. Se BP = 3
Considere um polígono regular ABCD..., tal que AC2 – AB2
e PC = 2, então a medida de AP será:
é 12. O valor de AD.BC será:
A) 3.
A) 6.
B) 4.
B) 12.
C) 5.
C) 18.
D) 6.
D) 24.
E) 7.
E) 28.
15.
Considere um triângulo equilátero. Por um ponto externo
18.
Na figura, no triângulo retângulo ABC, reto em B, é traçada a bissetriz BD. Marca-se um ponto E em BC, tal que EDC C
Considere um quadrilátero ABCD com ângulos A e C retos,
é um ângulo reto, AB = a e BE = b. O valor de BD é:
BAD = BCD = 90°, BAC = CAD = α,, AB + AD = k¹2. k
A
O valor da medida de AC é: D
D a C B E b
C
A) (a + b)¹3 B) (a + b)¹2
B
A
C)
A) k 3 B)
2
D) (a + b) 3 2
k 2
E)
C) k D) 2k
19.
E) 3k
16.
(a + b) 2
(a + b) 5 2
Considere um triângulo escaleno. Sobre os lados AB e BC, constroem-se externamente os triângulos equiláteros
No trapézio da figura, tem-se AD = BC. Uma das diagonais mede 24 m e o produto das bases é 351 m2. A
B
ABE e BCN, respectivamente. Se os segmentos NA e CE
se interceptam no ponto M,, tal que AM = 2a, MC = 3a e MN = 7a, então a medida de MB é: A) 0,5a B) a C) 2a D) 3a
D
C
E) 4a
Bernoulli Sistema de Ensino
TORIz zAçÃO POR EScRITO RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PRévIA AuTORI MATEMÁTICA
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS ODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Caderno Extra
33
20.
Considere um pentágono regular ABCDE com lado medindo
24.
une o ponto A com o incentro I do triângulo mede 5 e o
ao unir os pontos médios dos lados consecutivos é:
segmento que une o incentro com o ex-incentro relativo ao lado BC mede 7. O valor de AC é:
A) 1.
A) 9.
B) 2.
B) 10.
C) 4.
21.
C) 8.
D) 5.
D) 12.
E) 5,5.
E) 14.
Considere um pentágono regular de lado x. Ao traçar
25.
triângulo ABC, respectivamente, tais que AD = 3.BD,
O valor do lado desse pentágono regular criado é:
6.BE = 10.EC e FA = 5.CF. Demonstre que AE, BF e CD
(
x 3− 5
(
B)
x 3− 5
C)
x 5− 5
)
26.
(
interseção R de AP e BQ, uma reta é desenhada passando também por C e cortando AB em S. O prolongamento de
)
PQ corta AB em T. Se a hipotenusa AB = 10 e AC = 8,
2
)
encontre a medida de TS.
27.
x
Seja A 1 A 2 …A n um polígono regular de n lados. Se
3
Considere um triângulo ABC de baricentro G e a mediana
28.
prolongamento de CG intercepta a bissetriz em um ponto D. O valor de razão AD para AB = 5 e AC = 8 é: DE
1 A1A2
=
1 A1A3
29.
tal que AP = 2, BP = 1 e DP = 3. O valor da medida do
B) 6.
A) 100°.
C) 7.
B) 120°. C) 135°.
D) 8.
D) 150°.
E) 9.
E) 165°.
Considere um triângulo ABC. Traça-se as cevianas AM, CN e BQ (M, N e Q pertencem, respectivamente, aos lados BC, AB e AC). Os prolongamentos de MN interceptam os prolongamentos de AC em T. Se AQ = 5 e QC = 2, então o valor de CT é: A) 4.
30.
Em um triângulo retângulo ABC reto em B, encontram-se os pontos P e Q sobre os lados BC e AC, respectivamente, tal que CP = CQ = 2, AP ∩ BQ = {R}. Traçando-se uma reta que contém R e C, que intercepta AB em S, e o prolongamento de QP intercepta o prolongamento de AB em L, se AC = 10 e BC = 8, então o valor de AB é:
B) 4,5. 3
, calcule n.
Em um quadrado ABCD, marca-se um ponto P interno, ângulo APB é
14
1 A1A 4
Considere um quadrilátero ABCD inscritível, sendo AD o
A) 5.
C)
+
diâmetro. Calcule a medida da diagonal BD, sabendo que AB = BC = CD e AB = a.
BM. Traça-se a bissetriz interna AE do triângulo ABM e o
34
No triângulo retângulo ABC, P e Q estão sobre BC e AC, respectivamente, tais que CP = CQ = 2. Pelo ponto de
4
(
E)
são concorrentes.
)
2
D) x 3 − 5 3
23.
Sejam D, E e F pontos sobre os lados AB, AB BC e CA do
suas diagonais, determina-se um novo pentágono regular.
A)
22.
Considere o triângulo ABC com AB = 6. O segmento que
¹5 + 1. A medida do lado do pentágono regular formado
.
A) 12. B) 16. C) 20.
D) 5.
D) 24 .
E) 5,2.
E) N.d.a.
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente BX1
31.
Considere o quadrado ABCD de lado . E 6
8
A
B
F
D
C
Calcule a medida do segmento EF.
32.
Considere um retângulo ABCD qualquer (vértice C oposto ao vértice A). Segundo o Teorema de Marlen, dado um ponto O qualquer (interno ou externo) teremos (AO)2 + (OC)2 = (OB)2 + (OD)2. Demonstre esse teorema para um ponto interno e um ponto externo ao retângulo.
33.
Calcule o valor de (FP)2 + (AP)2 na figura, sabendo que (PQ)2 + (PE)2 = 7 e (PC)2 = (PH)2 + 2 e o ponto P é o centro do arco que passa por B e Q. B
C
Q
H
F
P
A
34.
D
E
Seja ABCD um trapézio de bases AB e CD.. As diagonais se interceptam no ponto O. Sabendo que a área do ∆ OCD mede 2 e que a área do ∆ OCB mede 8, calcule a área do trapézio ABCD.
35.
No ∆ ABC, AL, BM e CN são concorrentes em P. Expresse a razão
AP PL
em termos dos segmentos gerados pelas retas concorrentes
sobre os lados do ∆ ABC.
36.
O lado AB de um quadrado é prolongado até P tal que BP = 2.AB. Com M, ponto médio de DC, BM é desenhado cortando AC em Q. PQ corta BC em R. Calcule a razão
CR RB
.
SEÇÃO IME/ITA 01.
(IME-RJ–2018) Seja um heptágono regular de lado cuja menor diagonal vale d.. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões? A)
B)
C)
.d d− d2 d−
D) E)
2 d+ 3.d 2
.d d+
Bernoulli Sistema de Ensino
TORIz zAçÃO POR EScRITO RITO PElO BERNOull ullI EPRODuzIDA Ou TRANSMITIDA, POR NENhuMA fORMA E NENhuM MEIO, SEjA MEcâNIcO, ElETRôNIcO, Ou quAlquER OuTRO, SEM PRévIA AuTORI MATEMÁTICA
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO Exclu xcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Caderno Extra
35
02.
(IME-RJ–1988) Sobre os catetos AB e AC de um triângulo retângulo ABC, constroem-se dois quadrados ABDE e ACFG. Mostre que os segmentos CD, BF e a altura AH são concorrentes.
16. A 17. C 18. C
03.
(IME-RJ–1992) Dado o quadrilátero ABCD, inscrito num círculo de raio r, conforme a figura a seguir, prove que AC BD
=
AB . AD + BC . CD AB .BC + AD . CD
.
19. E 20. A 21. A
B
C
22. B
M
23. C 24. B
A
D
25. Sugestão: trace as cevianas que passam por D, E e F e prove que estas satisfazem a relação de Ceva. 26. TS S = 14
GABARITO Propostos
27. n = 7 28. a¹3 ¹3 29. C
01. C 02. C 03. A
30. E 31. 7¹2 32. Demonstração Demonstr
04. A 33. 5 05. E 34. A = 50 06. A 07. C 08. B
35.
36.
AP PL CR RB
=
=
AM CL 1 + CM BL 3 4
09. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. B 15. E
36
Coleção 6V – Caderno IME/ITA
Seção IME/ITA 01. A 02. Sugestão: por semelhança de triângulos, prove que as cevianas CD, BF e AH satisfazem o Teorema de Ceva, sendo, portanto, concorrentes. 03. Sugestão: use a relação de Ptolomeu.
ROIBIDA A IMPRESSÃO: uSO ExcluSIvO DE MARKETING DO BERNOullI EDucAçÃO. TODOS OS DIREITOS RESERv RESERvADOS vADOS. NENhuMA PARTE P DESTA PuBlIcAçÃO PODE SER DESTA
Frente BX1
Bernoulli Sistema de Ensino Rua Diorita, 43 Prado – CEP 30411-084 Belo Horizonte | MG
Centro de Distribuição
Rua José Maria de Lacerda, 1 900 Galpão 1 - Armazéns 4 e 5 Cidade Industrial – CEP 32210-120 Contagem | MG
Contato:
(31) 3029-4949
bernoulli.com.br/sistema Conteúdo programático sujeito a alteração sem prévia comunicação.