2 клас, 2007
Международно състезание “Европейско Кенгуру” .
24 март 2007 г. ТЕМА за 2 клас След всяка задача има посочени 5 отговора, от които само един е верен. За даден верен отговор се присъждат 5 точки. Не се разрешава ползването на калкулатори или таблици. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА: 75 минути. Пожелаваме Ви успех! 1. Ангел, Борис, Васко, Гого и Даниел влезли в книжарницата. Ангел купил 1 тетрадка, Борис купил 2 тетрадки, Васко купил 3 тетрадки, Гого купил 4 тетрадки, а Даниел купил 5 тетрадки. Колко тетрадки общо са купили петимата? A) 5
B) 8
C) 10
D) 15
E) 16
2. В училищния двор има 5 тополи и на всяка топола са кацнали по 7 врабчета. След известно време излетели общо 5 врабчета. Колко врабчета са останали на тополите? A) 35
B) 30
3.
C) 25
D) 20
E) 10
1
3
5
2
4
6
Червената шапчица се разхожда отляво надясно по очертаните пътеки и събира числа в кошницата си. Кои от посочените числа са попаднали в нейната кошница ? A) 1, 2 и 4
B) 2, 3 и 4
C) 2, 3 и 5
D) 1, 5 и 6
E) 1, 2 и 5
4. На коя от фигурите малките квадратчета са най-много? A)
B)
C)
D)
E)
5. Колко са общите букви в английските думи KANGAROO и PROBLEM, които означават съответно кенгуру и задача? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6. На една от алеите в парка са разположени 9 електрически фенери. Разстоянието между произволни два съседни фенера е 8 м. Красимира изтичала от първия до последния фенер. Колко метра е изминала тя? A) 48
B) 56
C) 64
D) 72
E) 80 1
2 клас, 2007
7. Изберете една от фигурите A), B), C), D) или E) и като използвате фигурата вдясно, образувайте правоъгълник, без да застъпвате квадратчета. Коя от фигурите трябва да изберете?
A)
B)
C)
D)
E)
8. Поставете подходящото число в тъмния облак така, че извършвайки действията по посока на стрелките, да се получи верният отговор.
? A) 1
+4
:3
−2
B) 3
C) 5
5
D) 7
E) 9
9. Клетките на таблицата трябва да се попълнят с числата 1, 2 и 3 така, че всяко от тях да се появява точно по веднъж във всеки ред и всеки стълб. Три от клетките са вече попълнени по показания на чертежа начин. Кое число може да стои на мястото на въпросителния знак? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 и 3 E) 1, 2 и 3
1
?
2
1
10. Диана подредила няколко малки кубчета в един по-голям куб, както е показано на чертежа. Още колко малки кубчета може да постави Диана в по-големия куб? A) 9
B) 13
C) 17
D) 21
E) 27
11. Борко, който е по-голям от Ванко с 1 година и 1 ден, е роден на 1 януари 2002 г. Кога е роден Ванко? A) 2 януари 2003 г.
B) 2 януари 2001 г. D) 31 декември 2002 г.
C) 31 декември 2000 г. E) 31 декември 2003 г.
12. Кольо намислил една цифра, която е различна от нула, и я записал в тетрадката. След това той дописал вдясно от нея още една цифра. Сборът на полученото двуцифрено число и числото 19 се оказал, че е равен на 72. Намерете намислената от Кольо цифра. A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 2
2 клас, 2007
13. Един електронен часовник посочва 20:07. Най-рано след колко време ще се появят същите цифри, но в друг ред? A) 4 ч. 20 мин. B) 6 ч. C) 10 ч. 55 мин. D) 11 ч. 13 мин. E) 24 ч. 14. Кубът от чертежа е оцветен в синьо, след което е разделен на еднакви малки кубчета, както е показано. Колко от малките кубчета ще имат точно по две сини стени? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
15. Един от файловете в компютъра съдържа информация за Румен, Фори, Лина, Жени и Ади. Информацията за Румен е след тази за Лина, а информацията за Фори е преди тази за Румен и непосредствено след информацията за Жени. При това информацията за Лина е след тази за Жени, но Жени не е на първо място. На кое място във файла се намира информацията за Ади? A) първо
B) второ
C) трето
16. На чертежа са показани първите три квадрата от последователност, в която всеки следващ квадрат е поголям от предишния. За всеки квадрат се интересуваме от броя на малките бели квадратчета в него. Намерете броя на малките бели квадратчета в четвъртия квадрат (който липсва на чертежа). A) 50
B) 60
C) 65
D) 70
D) четвърто
8 бели квадратчета
E) пето
21 бели квадратчета
40 бели квадратчета
E) 75
17. Няколко деца са се наредили в кръг на равни разстояния едно от друго и играят на “пускам, пускам кърпа”. Децата са номерирани с числата 1, 2, 3 и така нататък. Известно е, че Боси е с номер 11 и седи точно срещу Роси, която е с номер 4. Намерете броя на децата, които играят на “пускам, пускам кърпа”. A) 13 B) 14 C) 16 D) 17 E) 22 18. Даден е квадрат, който е изрязан от хартия. Квадратът се прегъва веднъж и след това още веднъж, както е показано с пунктираните линии. По този начин се получава по-малък квадрат. Едно от ъгълчетата на по-малкия квадрат е изрязано с ножица, след което помалкият квадрат е разгънат. Коя от посочените разгъвки е невъзможно да се получи? A) B) C)
D)
E)
всяка от разгъвките може да бъде получена 3
3 – 4 клас, 2007
Международно състезание “Европейско Кенгуру” .
24 март 2007 г. ТЕМА за 3 и 4 клас След всяка задача има посочени 5 отговора, от които само един е верен. За даден верен отговор се присъждат 5 точки. Не се разрешава ползването на калкулатори или таблици. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА: 75 минути. Пожелаваме Ви успех!
1.
1
5
3
6 4 2 Червената шапчица се разхожда отляво надясно по очертаните пътеки и събира числа в кошницата си. Кои от посочените числа са попаднали в нейната кошница ? A) 1, 2 и 4
B) 2, 3 и 4
C) 2, 3 и 5
D) 1, 5 и 6
E) 1, 2 и 5
2. На коя от фигурите малките квадратчета са най-много? A)
B)
C)
D)
E)
3. Колко са общите букви в английските думи KANGAROO и PROBLEM, които означават съответно кенгуру и задача? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4. Разгледайте числото 2007 и намерете най-малкото число, което е по-голямо от него и което има същия сбор от цифри. A) 2016
B) 2115
C) 2008
D) 7002
E) 2070
5. На една от алеите в парка са разположени 9 електрически фенери. Разстоянието между произволни два съседни фенера е 8 м. Красимира изтичала от първия до последния фенер. Колко метра е изминала тя? A) 48
B) 56
C) 64
D) 72
E) 80
6. Един сейф се отваря с трицифрено число, в което цифрите 1, 3 и 5 се използват точно по веднъж. Колко опита са необходими, за да може сейфът да се отвори със сигурност? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6 1
3 – 4 клас, 2007
7. Изберете една от фигурите A), B), C), D) или E) и като използвате фигурата вдясно, образувайте правоъгълник, без да застъпвате квадратчета. Коя от фигурите трябва да изберете?
A)
B)
C)
D)
E)
8. Поставете подходящото число в тъмния облак така, че извършвайки действията по посока на стрелките, да се получи верният отговор.
? A) 1
+4
:3
−2
B) 3
5
C) 5
D) 7
E) 9
C) 48
D) 56
E) 100
9. 4 × 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 × 4 = ? A) 32
B) 44
10. Клетките на таблицата трябва да се попълнят с числата 1, 2 и 3 така, че всяко от тях да се появява точно по веднъж във всеки ред и всеки стълб. Три от клетките са вече попълнени по показания на чертежа начин. Кое число може да стои на мястото на въпросителния знак? A) 1
B) 2
C) 3
D) 2 и 3
1
?
2
1
E) 1, 2 и 3
11. Снежка има 5 евро. Тя възнамерява да купи 5 тефтера по 80 евро цента, а с останалите пари – няколко молива по 30 евро цента. Най-много колко молива може да купи Снежка? A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
12. Диана подредила няколко кубчета с ръб 1 дм в по-голям куб с ръб 3 дм, както е показано на чертежа. Още колко кубчета най-много може да постави Диана в по-големия куб? A) 9
B) 13
C) 17
D) 21
E) 27
2
3 – 4 клас, 2007
13. Борко, който е по-голям от Ванко с 1 година и 1 ден, е роден на 1 януари 2002 г. Кога е роден Ванко? A) 2 януари 2003 г.
B) 2 януари 2001 г. D) 31 декември 2002 г.
C) 31 декември 2000 г. E) 31 декември 2003 г.
14. За обяд Ваня има в чинията си 400 макарона, всеки от които е с дължина 15 см. Ако тя съедини макароните един след друг с помощта на разтопен кашкавал, използвайки го за лепило, да се намери дължината на обяда на Ваня. A) 6 км
B) 60 м
C) 600 см
D) 6 000 мм
E) 60 000 см
15. Кольо намислил едно едноцифрено число и дописал вдясно от него една цифра. Сборът на полученото двуцифрено число и числото 19 се оказал, че е равен на 72. Намерете намисленото от Кольо число. A) 2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
16. Един електронен часовник посочва 20:07. Най-рано след колко време ще се появят същите цифри, но в друг ред? A) 4 ч. 20 мин.
B) 6 ч.
C) 10 ч. 55 мин.
D) 11 ч. 13 мин.
E) 24 ч.
17. Куб с ръб 3 см е оцветен в синьо, след което е разделен на еднакви малки кубчета с ръб 1 см. Колко от малките кубчета ще имат точно по две сини стени? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
18. (Едно естествено число се нарича “палиндром”, ако отляво надясно и отдясно наляво се чете по един и същ начин. Пример за палиндром е числото 1331.) Километражът на една кола сочи 15951. Най-малко след колко километра ще се появи следващият палиндром върху километража на колата? A) 100
B) 110
C) 710
D) 900
E) 1010
19. Един от файловете в компютъра съдържа информация за Румен, Фори, Лина, Жени и Ади. Информацията за Румен е след тази за Лина, а информацията за Фори е преди тази за Румен и непосредствено след информацията за Жени. При това информацията за Лина е след тази за Жени, но Жени не е на първо място. На кое място във файла се намира информацията за Ади? A) първо
B) второ
C) трето
D) четвърто
E) пето 3
3 – 4 клас, 2007
20. На чертежа са показани първите три квадрата от последователност, в която всеки следващ квадрат е поголям от предишния. За всеки квадрат се интересуваме от броя на малките бели квадратчета в него. Намерете броя на малките бели квадратчета в четвъртия квадрат (който липсва на чертежа). A) 50
B) 60
C) 65
D) 70
8 бели квадратчета
21 бели квадратчета
40 бели квадратчета
E) 75
21. Даден е правоъгълник с размери 15 см и 9 см. От четирите му ъгли са изрязани квадратчета, всяко от които е с обиколка 8 см. Намерете обиколката на получената фигура. A) 48 см
B) 40 см
C) 32 см
D) 24 см
E) 16 см
22. Няколко деца са се наредили в кръг на равни разстояния едно от друго и играят на “пускам, пускам кърпа”. Децата са номерирани с числата 1, 2, 3 и така нататък. Известно е, че Боси е с номер 11 и седи точно срещу Роси, която е с номер 4. Намерете броя на децата, които играят на “пускам, пускам кърпа”. A) 13
B) 14
C) 16
D) 17
E) 22
23. Намерете броя на цифрите, които са необходими, за да се запишат всички числа от 1 до 100 включително. A) 9
B) 10
C) 100
D) 192
E) 209
24. Даден е квадрат, който е изрязан от хартия. Квадратът се прегъва веднъж и след това още веднъж, както е показано с пунктираните линии. По този начин се получава по-малък квадрат. Едно от ъгълчетата на по-малкия квадрат е изрязано с ножица, след което помалкият квадрат е разгънат. Коя от посочените разгъвки е невъзможно да се получи?
A)
B)
C)
D)
E)
всяка от разгъвките може да бъде получена
4
5 – 6 клас, 2007
Международно състезание “Европейско Кенгуру” .
24 март 2007 г. ТЕМА за 5 и 6 клас След всяка задача има посочени 5 отговора, от които само един е верен. За даден верен отговор се присъждат 5 точки. Не се разрешава ползването на калкулатори или таблици. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА: 75 минути. Пожелаваме Ви успех!
1.
1
3
5
2
4
6
Червената шапчица се разхожда отляво надясно по очертаните пътеки и събира числа в кошницата си. Кои от посочените числа са попаднали в нейната кошница ? A) 1, 2 и 4 B) 2, 3 и 4 C) 2, 3 и 5 D) 1, 5 и 6 E) 1, 2 и 5 2. Дадена е част от квадратна мрежа. С коя от посочените части от квадратна мрежа образува тя правоъгълник без застъпване на единични квадратчета?
A)
B)
C)
D)
E)
3. Три от клетките на таблицата са вече попълнени по показания на чертежа начин. Задачата е останалите клетки да се попълнят с числата 1, 2 и 3 така, че всяко от тях да се появява точно по веднъж във всеки ред и всеки стълб на таблицата. Колко различни решения има задачата? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
1 2
1
E) 5
4. Едно кенгуру прави 4 скока за 6 сек. За колко секунди ще направи кенгуруто 10 скока? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 5. Да се намери стойността на израза 2007 : (2 + 0 + 0 + 7) − 2 × 0 × 0 × 7 . A) 1 B) 9 C) 214 D) 223
E) 2007
6. Един робот тръгва от клетката A2 по посока на стрелката от чертежа и се движи от клетка в клетка по права линия. Щом срещне препятствие, той се завърта на 900 по посока на часовниковата стрелка и продължава да се движи от клетка в клетка по права линия. Роботът спира, ако след едно завъртане на 900 не може да продължи по права линия. В коя от клетките ще спре роботът?
4 3 2 1 A
Β
C
D
A) B2
B) A1
C) E1
D) D1
E) няма да спре
1
5 – 6 клас, 2007
7. Борко, който е по-голям от Ванко с 1 година без 1 ден, е роден на 1 януари 2002 г. Кога е роден Ванко? A) 2 януари 2003 г. B) 2 януари 2001 г. C) 31 декември 2000 г. D) 31 декември 2002 г. E) 31 декември 2003 г. 8. Едно устройство е съставено от две части A и B. A принтира хоризонтална черта, а B завърта на 450 (вж. схемата). С кои от посочените последователни действия на A и B може от
Α
да се стигне до
Β
?
A) B B A
B) A B B
C) B A B
D) B A
E) B A B B B
9. Ако един куб с обем 1 куб. м се раздели на по-малки кубчета с обем по 1 куб. дм и помалките кубчета се поставят едно върху друго така, че да се получи кула, намерете височината на кулата. A) 100 м B) 1 км C) 10 км D) 1000 км E) 10 м 10. Квадрат с обиколка 20 см е разделен на два правоъгълника, единият от които е с обиколка 16 см. Намерете обиколката в сантиметри на втория правоъгълник. A) 8 B) 9 C) 12 D) 14 E) 16 11. Веселина оцветява единичните квадратчета по диагоналите на квадрат от квадратна мрежа. Ако оцветените квадратчета са общо 9, намерете размерите на квадрата. A) 3 × 3 B) 4 × 4 C) 5 × 5 D) 8 × 8 E) 9 × 9 12. Извън училище Ани, Боси, Весето и Диди тренират различни видове спорт. Всяка от тях тренира точно един от следните спортове: фигурно пързаляне, волейбол, баскетбол и джудо. Ани не харесва спортове с топка, а джудистката Боси често посещава волейболните мачове на своята приятелка, която е волейболистка. Кое от посочените твърдения е възможно да бъде вярно? A) Ани тренира баскетбол. B) Боси тренира волейбол. C) Весето тренира баскетбол. D) Диди тренира фигурно пързаляне. E) Ани тренира джудо. 13. Коя от посочените по-долу развивки е на куба вдясно?
A)
B)
C)
D)
E) друг отговор
2
5 – 6 клас, 2007
14. На 3 дървета са кацнали общо 60 врабчета. В един момент отлетели 6 врабчета от първото дърво, 8 от второто и 4 от третото. Оказало се, че върху трите дървета са останали по равен брой врабчета. Колко врабчета е имало първоначално на второто дърво? A) 26 B) 24 C) 22 D) 21 E) 20 15. Правоъгълна лента с дължина 27 см е разделена на 4 правоъгълника с различни размери. Центровете на съседните двойки правоъгълници са свързани с отсечки, както е показано. Намерете сбора от дължините на двете отсечки в сантиметри. A) 12 B) 13,5 C) 14 D) 14,5 E) не може да се определи
A) 36 кв. см
B) 45 кв. см
C) 54 кв. см
16. Два квадрата с размери 9 см × 9 см се застъпват, както е показано в средата на чертежа и образуват правоъгълник с размери 13 см × 9 см . Намерете лицето на общата част. D) 63 кв. см E) 72 кв. см
17. В 7:30 ч. сутринта Хари пуснал гълъб-пощальон да занесе писмо на Рони. Писмото пристигнало същата сутрин в 9:10 ч. Намерете разстоянието между Хари и Рони, ако за всеки 10 мин. гълъбът е изминавал по 4 км. A) 14 км B) 20 км C) 40 км D) 56 км E) 64 км 18. Даден е успоредник, който е разделен на две части A и B, B както е показано на чертежа. Кое от посочените твърдения е със сигурност вярно? A A) Обиколката на A е по-голяма от тази на B. B) Обиколката на A е по-малка от тази на B. C) Лицето на A е по-голямо от това на B. E) A и B имат равни лица. D) A и B имат равни обиколки. 19. Дадена е отсечка AB = 24 см. Квадратите от чертежа са образувани с помощта на начупената линия AA1 A2 ... A12 B , която пресича отсечката AB, както е показано. Да се намери дължината на начупената линия в сантиметри. A) 48
B) 72
C) 96
D) 56
E) 106
A5 A1
A6
A2 A9
A10
B
A A3
A4 A7
A8 A11
A12
20. Коя е 2007-ата буква в последователността KANGAROOKANGAROOKANGAROO...? A) K B) A C) N D) R E) O 21. Неда е на 10 години, а майка й Тони е 4 пъти по-възрастна от нея. На колко години ще бъде Тони, когато Неда стане 2 пъти по-възрастна, отколкото е сега? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 22. Отдясно на едно двуцифрено число е записано същото число и е получено четирицифрено число. Колко пъти четирицифреното число е по-голямо от двуцифреното? A) 100 B) 101 C) 1000 D) 1001 E) 10 A
B
23. Фигурата A от чертежа е съставена от 4 ленти с широчина 10 см, като всяка следваща лента е с 25 см по-дълга от предишната. Фигурата B е съставена от същите ленти, но в друг ред. С колко сантиметра обиколката на фигурата B е по-голяма от обиколката на фигурата A? A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 0 3
5 – 6 клас, 2007
24. Бого намислил едно естествено число. Гого умножил това число с 5 или 6. Дони прибавил 5 или 6 към резултата на Гого. Рони извадил 5 или 6 от резултата на Дони и получил числото 73. Кое е намисленото от Бого число? A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 15 25. Пет естествени числа са записани върху окръжност така, че сборът на никои две съседни и сборът на никои три съседни не се дели на 3. Колко измежду петте числа се делят на 3? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) не е възможно да се определи
26. Първата цифра на едно четирицифрено число е равна на броя на нулите в записа на това число, втората цифра е равна на броя на единиците в записа му, третата цифра е равна на броя на двойките в записа му, а четвъртата цифра е равна на броя на тройките в записа на числото. Намерете броя на четирицифрените числа с това свойство. A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1 27. Дадени са квадратите ABCD и MNPQ, за които страните AB и PQ са успоредни и равни. Да се намери лицето в квадратни сантиметри на квадрата ABCD, ако лицето на защрихованата част от чертежа е 1 кв. см. 1 3 D) A) 1 B) 2 C) 2 2 E) не може да се определи
3
5
8 6 12
D
C Q
A
P B
N
M
28. На чертежа е показано тяло, което е получено от даден правоъгълен паралелепипед, след като е изрязан по-малък правоъгълен паралелепипед. Данните на чертежа са в сантиметри. Като ги използвате, намерете с колко квадратни сантиметри се е намалило лицето на повърхнината на първоначалния паралелепипед. A) 192
B) 96 D) 144
C) 48 E) 54
? 29. Четирите зара от чертежа са абсолютно еднакви. Показан е 6 броят на точките върху част от стените им. Допирането на заровете 4 е такова, че броят на точките върху общите стени е един и същ. 3 Като вземете предвид, че за всеки зар сборът от точките върху 1 2 срещуположните стени е равен на 7, намерете числото, което трябва да стои на мястото на въпросителния знак. A) 5 B) 6 C) 2 D) 3 E) не е възможно да се отговори 30. Произведението на едно трицифрено и на едно двуцифрено число е равно на 7632. В записа на произведението и в записа на двата множителя всички цифри от 1 до 9 участват точно по веднъж. Да се намери цифрата на десетиците на трицифрения множител. A) 1 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 4
7 – 8 клас 2007
Международно състезание “Европейско Кенгуру” .
24 март 2007 г. ТЕМА за 7 и 8 клас След всяка задача има посочени 5 отговора, от които само един е верен. За даден верен отговор се присъждат 5 точки. Не се разрешава ползването на калкулатори или таблици. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА: 75 минути. Пожелаваме Ви успех! 1. Да се намери стойността на израза A) 1003
B) 75
2007 . 2+0+0+7 C) 223
D) 213
E) 123
2. От двете страни на една алея са засадени розови храстчета на разстояние 2 м едно от друго. Колко са всички засадени розови храстчета, ако дължината на алеята е 20 м? A) 22 B) 20 C) 12 D) 11 E) 10 3. Един робот тръгва от клетката A2 по посока на стрелката от чертежа и се движи от клетка в клетка по права линия. Щом срещне препятствие, той се завърта на 900 по посока на часовниковата стрелка и продължава да се движи от клетка в клетка по права линия. Роботът спира, ако след едно завъртане на 900 не може да продължи по права линия. В коя от клетките ще спре роботът?
4 3 2 1
A) B2
A
Β
C
B) A1
C) E1
D) D1
E) няма да спре
E
D
4. Намерете сбора от точките върху невидимите стени на двете зарчета. A) 15
B) 12
C) 7
D) 27
E) друг отговор
5. В правоъгълна координатна система са зададени точките A(2006; 2007) , B (2007; 2006) , C (−2006; −2007) , D (2006; −2007) и E (2007; −2006) . Коя от отсечките е хоризонтална? A) AD B) BE C) BC D) CD E) AB 3 5
6. На чертежа е показан квадрат, който е вписан в по-голям квадрат. Като се използват данните, да се намери лицето на помалкия квадрат. A) 16 B) 28 C) 34 D) 36 E) 49
7. Колко единични квадратчета най-малко трябва да се потъмнят, за да може фигурата от чертежа да има ос на симетрия?
A) 4
B) 6
C) 5
D) 2
E) 3 1
7 – 8 клас 2007
8. Едно естествено число се нарича “палиндром”, ако отляво надясно и отдясно наляво се чете по един и същ начин. Пример за палиндром е числото 13931. Да се намери разликата между най-голямото шестцифрено число, което е палиндром и най-малкото петцифрено число, което също е палиндром. A) 989 989 B) 989 998 C) 998 998 D) 999 898 E) 999 988 9. Шест еднакви окръжности са вписани в по-големия правоъгълник от чертежа и се допират помежду си, както е показано. Върховете на по-малкия правоъгълник с обиколка 60 см са центрове на четири от окръжностите. Намерете обиколката в дециметри на по-големия правоъгълник. A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) 100 10. Ако x е цяло отрицателно число, кое от посочените числа е най-голямо? A) x + 1 B) 2x C) −2x D) 6 x + 2 E) x − 2 11. Дадена е отсечка AB = 24 см. Квадратите от чертежа са образувани с помощта на начупената линия AA1 A2 ... A12 B , която пресича отсечката AB, както е показано. Да се намери дължината на начупената линия в сантиметри.
A5 A1
A6
A2 A9
B A3
A4 A7
A) 48
B) 72
C) 96
D) 56
A10
A
E) 106
A8 A11
A12
12. Върху успоредните прави a и b са взети общо 6 точки: 4 върху правата a и 2 върху правата b. Намерете броя на различните триъгълници, които могат да се образуват с помощта на тези 6 точки. A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18 2 1 13. Едно проучване установило, че от потребителите купуват стоката A, а купуват 3 3 стоката B. След рекламиране на стоката B било направено ново проучване, което установило, 1 че от предпочитащите преди това стоката A са започнали да купуват стоката B. Кое от 4 посочените твърдения е вярно? 5 7 1 3 A) вече купуват A, а купуват B B) вече купуват A, а купуват B 12 12 4 4 7 5 1 1 C) вече купуват A, а купуват B D) вече купуват A, а купуват B 12 12 2 2 1 2 E) вече купуват A, а купуват B 3 3 14. На каква степен трябва да се повдигне числото 44 , за да се получи 88 ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 16 C
15. В една равнина са дадени два еднакви равностранни триъгълници ABC и BDE така, че ∠CBE = 800 . Да се намери B) 300
80o
?
големината на ∠CAE от чертежа.
A) 250
E
A C) 350 B
D) 400
E) 450
D 2
7 – 8 клас 2007
16. Какъв процент от естествените числа от 1 до 10 000 включително са точни квадрати? A) 1% B) 1,5% C) 2% D) 2,5% E) 5% 17. С помощта на 9 прави линии (5 хоризонтални и 4 вертикални) може да се получи таблица с 12 клетки. Ако се използват 6 хоризонтални и 3 вертикални линии (отново 9 прави линии) клетките в таблицата ще бъдат само 10. Колко клетки най-много могат да се получат с помощта на 15 прави линии? A) 22 B) 30 C) 36 D) 40 E) 42 18. До кои от конструкциите може да бъде доведена дадената конструкция след ротация в пространството? W
X
Y Z
A) W и Y
B) X и Z
C) само Y
D) нито една
E) W, X и Y
19. Ако се изберат 3 числа от таблицата така, че всяко от тях да е от различен ред и различен стълб, да се намери възможно найголямата стойност на тяхната сума.
1
2
3
4
5
6
A) 12
7
8
9
B) 15
C) 18
D) 21
E) 12
K D
C O N
20. Даден е квадрат ABCD със страна 2 и център O. Върху страните AB, BC, CD и AD са взети съответно точки M, N, K и L така, че ∠MOL = ∠NOK = 900 . Да се намери лицето на защрихованата част от чертежа.
L A
B) 2 C) 2,5 D) 2,25 E) не може да се определи A) 1 B M 21. Върху дисплея на един повреден калкулатор цифрата 1 изобщо не се появява. Например, ако се въведе числото 3131, на дисплея се появява само 33 без интервали. Манчо въвел едно шестцифрено число, но на дисплея се появило числото 2007. Колко различни числа е възможно да е въвел Манчо? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 22. Един турист изминава даден маршрут на отиване и връщане общо за 2 часа. На отиване маршрутът се състои от две части: равнинен участък и изкачване. По равното туристът се движи със скорост 4 км/ч., изкачва се със скорост 3 км/ч. и се спуска със скорост 6 км/ч. Да се намери общата дължина в километри на маршрута на отиване и връщане. A) не може да се определи B) 6 C) 7,5 D) 8 E) 10 23. Ади и Боси заедно са по-леки от Чико и Дани, а Чико и Ели заедно са по-леки от Фани и Боси. Кое от посочените твърдения е със сигурност вярно? A) Ади и Ели заедно са по-леки от Фани и Дани. B) Дани и Ели заедно са по-тежки от Чико и Фани. C) Дани и Фани заедно са по-тежки от Ади и Чико. D) Ади и Боси заедно са по-леки от Чико и Фани. E) Ади, Боси и Чико заедно тежат колкото Дани, Ели и Фани. 3
7 – 8 клас 2007
24. Даден е квадрат ABCD със страна 10 см. Нека точка E е във вътрешността на квадрата така, че ∠EDC = 750 и ∠ECD = 300 . Да се намери дължината в сантиметри на отсечката BE. A) 8
B) 9
C) 9,5
D) 10
E) 11
25. За естественото число n е известно, че има два делителя, а числото n + 1 има три делителя. Да се намери броят на делителите на числото n + 2. A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) не може да се определи
26. Иван задрасква 4 числа измежду числата в таблицата, а Петър задрасква други 4 числа от таблицата. Известно е, че сборът на задрасканите от Иван числа е 3 пъти по-голям от сбора на задрасканите от Петър числа. Кое число остава незадраскано? A) 4
B) 7
C) 14
D) 23
4
12
8
13
24
14
7
5
23
E) 24
27. Пет естествени числа са записани върху окръжност така, че сборът на никои две съседни и сборът на никои три съседни не се дели на 3. Колко измежду петте числа се делят на 3? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
28. Един паяк-математик направил паяжина с показаните на чертежа размери. Да се намери x, ако стойността му е цяло число. A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
E) не е възможно да се определи
16 9 5 x 5 x 17 17 18
10
10
28 28
28
29. Едно трицифрено число е разделено на 9, в резултат на което е получено цяло число, сборът от цифрите на което е с 9 по-малък от сбора на цифрите на първоначалното число. Колко са трицифрените числа с това свойство? A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 11
30. Един странен калкулатор извършва само следните операции със зададено му число: умножава числото с 2 или 3, или го повдига на втора или трета степен. Кое от посочените произведения може да се получи, ако се зададе числото 15 и се извършат 5 операции с калкулатора? A) 28.35.56
B) 28.34.52
C) 23.33.53
D) 26.36.54
E) 2.32.56
4
9 - 10 клас 2007
Международно състезание “Европейско Кенгуру” .
24 март 2007 г. ТЕМА за 9 и 10 клас След всяка задача има посочени 5 отговора, от които само един е верен. За даден верен отговор се присъждат 5 точки. Не се разрешава ползването на калкулатори или таблици. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА: 75 минути. Пожелаваме Ви успех! 1. Три момчета имат общо 30 топки. Ако Бен даде 5 топки на Ген, Ген даде 4 на Ден, а Ден даде 2 на Бен, тримата ще имат по равен брой топки. Колко топки е имал Ден в началото? A) 8
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15
2. Намерете сбора на точките върху невидимите стени на зарчетата. A) 15
B) 12
C) 7
D) 27
E) друг отговор
3. Анонсирайки резултатите от томболата, говорителят съобщил, че печеливши билети са тези, чиито номера са поне петцифрени числа и съдържат най-много три цифри, които са поголеми от 2. Намерете броя на печелившите билети, чиито номера са измежду числата: 1022, 22222, 102334, 213343 и 3042531. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Даден е ∆ABC , в който D е среда на AB, E е среда на DB, а F е среда на BC. Да се намери лицето на ∆AEF , ако лицето на ∆ABC е 96. A) 16 B) 24 C) 32 D) 36 E) 48 5. Роси разпределила събраните на плажа 2007 мидички поравно в 3 торбички A, B и C, след 2 което от мидичките в A преместила в C. Намерете отношението на мидичките в A и C. 3 A) 1:2 B) 1:3 C) 2:3 D) 1:5 E) 3:2 5 3
3 5
2 3
6. Една международна организация има 32 члена. Колко члена ще има организацията след 3 години, ако всяка година броят на членовете се увеличава с 50% в сравнение с предишната? A) 182 B) 128 C) 108 D) 96 E) 80
7. Царят (изобразен с триъгълниче) трябва да се придвижи с минимален брой ходове от горното ляво квадратче до долното дясно, като се премества само в съседни квадратчета по хоризонтал, вертикал или диагонал. Да се намери броят на различните маршрути. A) 129
B) 20 D) 8
C) 16 E) 4 1
9 - 10 клас 2007
8. В квадратчетата на таблицата трябва да се поставят буквите R и G така, че във всеки ред и всеки стълб да има точно по две букви R и по две букви G. Намерете стойностите на XY в този ред. A) RR
B) RG
R
R R
C) GR
X
G
E) не е възможно да се определи
D) GG
Y 9. Ако на различните букви съответстват различни цифри, намерете възможно най-малката стойност на израза 2007 − KAN − GA − ROO . A) 100 B) 110 C) 112 D) 119 E) 129
C
10. От върховете B и C на ∆ABC са прекарани по две отсечки към срещуположните страни, които разделят триъгълника на 9 незастъпващи се части. На колко незастъпващи се части ще се раздели триъгълникът, ако от върховете B и C се прекарат по четири отсечки към срещуположните страни? A) 16
B) 25
C) 36
D) 42
E) 49
A
B
11. На един остров живеят само рицари и лъжци. Рицарите винаги казват истината, а лъжците винаги лъжат. Един ден 12 жители на острова, между които имало както рицари, така и лъжци, изказали няколко твърдения. Двама казали: “Точно двама от нас 12-те са лъжци. Други четирима казали: “Точно четирима от нас 12-те са лъжци.” Останалите шест казали: “Точно шестима от нас 12-те са лъжци.” Колко са лъжците измежду 12-те? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 12. На каква степен трябва да се повдигне числото 44 , за да се получи 88 ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 8
E) 16
13. До кои от конструкциите може да бъде доведена дадената конструкция след ротация в пространството? W
X
Y Z
A) W и Y
B) X и Z
C) само Y
D) нито една
E) W, X и Y
14. Участниците в Международното математическо състезание “Европейско Кенгуру” решавали една интересна задача. Оказало се, че броят на момчетата, които успели да решат задачата, бил равен на броя на момичетата, които не успели да се справят с тази задача. Кои са повече – тези, които са решили задачата, или момичетата? A) момичетата
B) тези, които са решили задачата D) не е възможно да се отговори
C) двата броя са равни E) друг отговор 2
9 - 10 клас 2007
15. В ъгъла C на къщата от чертежа е вързано куче с помощта на въже, което е дълго 10 m. Основата на къщата е правоъгълник ABCD с размери 6 m и 4 m. Да се намери обиколката в метри на областта, в която може да попадне кучето. A) 20π B) 22π C) 40π D) 88π E) 100π
10 m D 4m A
6m
C
B
16. Точно в 21:00 часа се движа с колата си със скорост 100 км/ч. Ако продължа с тази скорост, бензинът в резервоара ще ми стигне за 80 км, а най-близката бензиностанция се намира на 100 км. Количеството бензин, което е нужно, за да измина 1 км с моята кола, е право пропорционално на скоростта на колата. Целта ми е да стигна до бензиностанцията възможно по-скоро. В колко часа може да стане това? A) 22:12 B) 22:15 C) 22:20 D) 22:25 E) 22:30 17. От равностранен триъгълник е изрязана една от ъгловите му части така, че е получен трапец. От хартия изрязваме втори трапец, еднакъв на първия, и залепваме двата трапеца по такъв начин, че да имат общо бедро и да образуват успоредник. Периметърът на получения успоредник е с 10 см по-голям от периметъра на равностранния триъгълник. Да се намери периметърът на равностранния триъгълник в сантиметри. A) 10 B) 30 C) 40 D) 60 E) данните са недостатъчни 18. Думата KANGAROO (в превод от английски език означава кенгуру) е написана 20 пъти една след друга: KANGAROOKANGAROO... KANGAROO. Задраскват се всички букви, които стоят на нечетни места. В новата последователност от букви отново се задраскват буквите на нечетни места и този процес продължава, докато накрая остане една буква. Коя е оставащата буква? A) K B) A C) N D) G E) O 19. Две училища организират съревнование по тенис на маса помежду си. В съревнованието участват по 5 ученици от всяко училище, като се играят срещи на двойки. Всички възможни двойки от участниците от едното училище се срещат точно по веднъж с всички възможни двойки от участниците от второто училище. По колко срещи трябва да изиграе всеки ученик? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A 20. Правоъгълният триъгълник от чертежа е разделен на по-малки правоъгълни триъгълничета. От точката A трябва да се стигне в точката B, като се разрешава преместване от връх във връх по хипотенузите на помалките триъгълничета надолу и надясно или по техните катети отново само надолу и надясно. Намерете броя на различните маршрути от A до B.
A) 16
B) 27
C) 64
D) 90
E) 111
B 21. Всеки двама от жителите на едно село са с различен брой косми на главата. Няма жител с точно 2007 косми на главата. Джо е с най-много косми, а броят на жителите на селото е поголям от броя на космите на главата на Джо. Намерете възможно най-големият брой жители на селото. A) 1 B) 2006 C) 2007 D) 2008 E) 2009
3
9 - 10 клас 2007
22. Монета с радиус 1 см се търкаля по външността на правилен шестоъгълник със страна 1 см. Намерете дължината в сантиметри на една пълна обиколка на центъра на монетата.
π
B) 6 + π C) 12 + π D) 6 + 2π E) 12 + 2π 2 23. Около окръжност е описан правилен триъгълник с лице S1 , а в окръжността е вписан A) 6 +
правилен шестоъгълник с лице S2 . Върховете на шестоъгълника през един образуват правилен триъгълник с лице S3 . Посочете вярната зависимост. S +S A) S 2 = S1S3 B) S 2 = 1 3 C) S1 = S 2 + S3 D) S2 = S12 S32 E) S1 = S 2 + 3S3 2 24. С A е означено най-малкото естествено число, за което числото 10.A е точен квадрат, а числото 6.A е точен куб. Намерете броя на делителите на A.
A) 30
B) 40
C) 54
D) 72
E) 96
25. В един сейф има дамски колиета с един и същ брой диаманти върху тях. Известно е, че броят на всички диаманти, който е число между 200 и 300, определя еднозначно броя на колиетата. Намерете броя на колиетата в сейфа. A) 16 B) 17 C) 19 D) 25 E) друг отговор 26. Центровете на две окръжности лежат на един от диагоналите на квадрат със страна 1. Окръжностите се допират външно една до друга и всяка от тях се допира до две от страните на квадрата. Да се намери сумата от радиусите на двете окръжности. 1 1 A) B) C) 2 − 1 D) 2 − 2 E) не може да се определи 2 2 16 9 5 x 5 x 17 17 18
27. Един паяк-математик направил паяжина с показаните на чертежа размери. Да се намери x, ако стойността му е цяло число.
10
10
28
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
28
28
28. Петима души решават да направят томбола, като всеки осигурява по един подарък. По колко различни начина могат да се разпределят петте подаръка между петимата, ако никой не получава собствения си подарък? A) 5
B) 10
C) 44
D) 50
E) 120
29. Ако a и b са реалните корени на уравнението x 2 − 3 x + 1 = 0 , да се намери a 3 + b 3 . A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
1 1 1 + + ... + . 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 100 99 + 99 100 99 9 B) C) D) 9 100 10
E) 24
30. Да се пресметне сумата A)
999 1000
E) 1
4
11 – 12 клас 2007
Международно състезание “Европейско Кенгуру” .
24 март 2007 г. ТЕМА за 11 и 12 клас След всяка задача има посочени 5 отговора, от които само един е верен. За даден верен отговор се присъждат 5 точки. Не се разрешава ползването на калкулатори или таблици. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА: 75 минути. Пожелаваме Ви успех! 1. Майк прави план на едно автомобилно състезание. Той забелязал, че подреждането на Α
Β
Β
X
Α
C
C
колите в края се различава от подреждането им в началото на състезанието. Коя от посочените части на маршрута трябва да се постави на мястото на X, за да бъде планът коректен? A) B) C) D) E)
2. Три момчета имат общо 30 топки. Ако Бен даде 5 топки на Ген, Ген даде 4 на Ден, а Ден даде 2 на Бен, тримата ще имат по равен брой топки. Колко топки е имал Ден в началото? A) 8 B) 9 C) 11 D) 12 E) 13 C 3. Лицето на по-тъмната част от фигурата е лицето на ∆ABC ?
3 . Колко е A
B Ο
A) 2 3
B) 2
C) 5
4. Намерете стойността на израза A) 0
B) tg 10
D) 4 sin10 . cos89 0 C) cotg 10
5. Билярдна топка среща борда на масата под ъгъл 450 . В кой от джобовете (отбелязани с черни точки) ще попадне тя?
A) A
B) B
E) 4 3
C) C
D) D
1 89 45ο
E) 1 C
D) D
E) няма да попадне в нито един от джобовете A
B
1
11 – 12 клас 2007
6. За построяване на правоъгълен триъгълник древните египтяни са използвали връв с два възела на нея. Ако дължината на връвта е 12 м X и един от възлите е в точката X, която е връх на правия ъгъл и която е на разстояние 3 м от A) 3 B) 4 C) 5 единия край, на какво разстояние от другия край на връвта трябва да се намира вторият E) друг отговор D) 6 възел? 7. За да бъдат приети в университета, кандидат-студентите трябва да решат правилно поне 80% от задачите в теста. Един кандидат-студент работил върху 15 задачи, решил вярно 10 от тях, но не могъл да се справи с 5. Ако реши успешно останалите задачи, кандидат-студентът ще има точно 80% успеваемост. Колко са всичките задачи в теста? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 8. До кои от конструкциите може да бъде доведена дадената конструкция след ротация в пространството? W
X
Y Z
A) W и Y
B) X и Z
C) само Y
D) нито една
9. Отсечката AE e разделена на 4 равни части посредством точките B, C и D в този ред отляво надясно. Построени са полуокръжности с диаметри отсечките AE, AD и DE, при което A са получени два пътя от A до E – горен и долен (вж. чертежа). Намерете отношението на дължините на двата пътя. A) 1:2 B) 2:3 C) 2:1 D) 3:2 E) 1:1 10. Един паяк-математик направил паяжина с показаните на чертежа размери. Да се намери x, ако стойността му е цяло число. A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
E) W, X и Y
Β
C
D E
16 9 5 x 5 x 17 17 18
10
10
28 28
28
11. В равнината е построен квадрат ABCD със страна 1, след което са построени всички квадрати, които имат поне два общи върха с ABCD. Да се намери лицето на получената по този начин фигура. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 12. Ъгъл β е с 25% по-малък от ъгъл γ и с 50% по-голям от ъгъл α . С колко процента ъгъл γ е по-голям от ъгъл α ? A) 25% B) 50% C) 75% D) 100% E) 125% 13. Ако 2 x +1 + 2 x = 3 y + 2 − 3 y , където x и y са цели числа, да се намери x. B) 3 C) −1 D) 1 A) 0
E) 2
14. Да се намери стойността на израза cos10 + cos 20 + cos 30 + ... + cos 3580 + cos 3590 . A) 1 B) π C) 0 D) 10 E) −1
2
11 – 12 клас 2007
15. На чертежа са дадени две полуокръжности. Хордата CD е с дължина 4, успоредна е на диаметъра AB на по-голямата полуокръжност и се допира до по-малката. Намерете лицето на защрихованата част. A) π B) 1,5π C) 2π D) 3π E) данните не са достатъчни
C
D
A
B
16. Сумата на 5 последователни цели числа е равна на сумата на следващите 3 цели числа. Намерете най-голямото от тези 8 числа. A) 4 B) 8 C) 9 D) 11 E) друг отговор 17. Тони е родена в деня на 20-ия рожден ден на майка си и затова двете празнуват заедно рождените си дни. Колко пъти числото, което задава точните години на Тони, може да е делител на числото, което задава точните години на нейната майка? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 18. На един остров живеели само рицари и лъжци, като рицарите казвали винаги истината, а лъжците винаги лъжели. Островитянинът A бил попитан за самия него и за островитянина B дали казват истината. Той отговорил, че поне един от двамата е лъжец. Кое от посочените твърдения е вярно? A) не е въможно A да е дал такъв отговор B) двамата са лъжци C) двамата са рицари D) A е лъжец, а B е рицар E) B е лъжец, а A е рицар 19. Дадена е сфера с радиус 3 и център в началото на правоъгълна координатна система в пространството. Намерете броя на точките върху сферата, които имат целочислени координати. A) 30 B) 24 C) 12 D) 6 E) 3 20. Кой от посочените чертежи е графика на функцията y = | (1 + x)(1− | x |) | ? A) B) C) 2 2 2 1 1 1 -2 -1
1
2 D)
-2 -1 2 1
1
2
-2 -1 E)
1
2
2 1
-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 21. Ако x е цяло число, кое от посочените по-долу числа не може да се запише във вида x+ x ? A) 870 B) 110 C) 90 D) 60 E) 30 2x и f ( g ( x)) = x . 3x + 4 3x 2x + 4 4x B) g ( x) = C) g ( x) = D) g ( x) = 2x + 4 4x 2 − 3x
22. Да се намери g ( x) , ако f ( x) = A) g ( x) =
3x + 4 2x
E) друг отговор
3
11 – 12 клас 2007
23. На дъската са написани пет единици една до друга 1 1 1 1 1. Кое от посочените по-долу числа не може да се получи от тези пет единици с поставяне на някои от знаците за събиране, изваждане, умножение или деление между тях, както евентуално и на скоби? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 100 24. Да се намери острият ъгъл на ромб, дължината на страната на който е средното геометрично на дължините на диагоналите му. A) 150 B) 300 C) 450 D) 600 E) 750 4
25. На чертежа е показана част от графиката на функцията f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d . Да се намери стойността на коефициента b.
2 -1 0 -1 -2
1 A) −4
B) −2 D) 2
C) 0 E) 4
26. Да се намери броят на реалните числа a, за които квадратното уравнение x 2 + ax + 2007 = 0 има два цели корена. A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) друг отговор 27. Разстоянието между два кръстосани ръба на правилен тетраедър е 6 см. Да се намери обемът на тетраедъра в кубични сантиметри. A) 18
B) 36
C) 48
D) 72
E) 144
28. Петима души решават да направят томбола, като всеки осигурява по един подарък. По колко различни начина могат да се разпределят петте подаръка между петимата, ако никой не получава собствения си подарък? A) 5
B) 10
C) 44
29. Цифрите от редицата 123451234512345... попълват клетките на квадратна мрежа спираловидно, като се започне от цифрата 1 в центъра (вж. фигурата). Коя е цифрата в 100-ното квадратче над първоначалната единица? A) 1
B) 2 D) 4
C) 3 E) 5
D) 50
E) 120
1
2
3
.
.
.
5
2
3
4
5
.
4
1
1
2
1
3
5
4
3
2
2
1
5
4
3
30. Редицата 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, ... съдържа последователните степени на 3 и онези числа, всяко от които се представя като сума на различни степени на 3. Да се намери 100-ият член на редицата. A) 150
B) 981
C) 1234
D) 2401
E) 3100
4
ОТГОВОРИ на БЪЛГАРСКИТЕ ТЕМИ
№ 2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12
1 D C C C A B
2 B C B A D A
3 C B A E B A
4 C A C D D E
5 B C D D D C
6 C E D C C C
7 B B D E E B
8 C C B B A A
9 C C A D B E
10 C C D C B B
11 A C C B C C
12 B C C D B D
13 A A D D A B
14 E B C B C E
15 A B B D A C
16 C A B A B D
17 B E C E B C
18 E B D A E E
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A B B D A
C E B D D
A B D C D
B B D D D
D D A A B
E C D D B
C A B B
B C D C
A C B D
E B C C
A D D A
C D C B