ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 14 юли 2003 г. ТЕМА ВТОРА
ЕКСПРЕСНИ РЕШЕНИЯ
Задача 1.
Дадена е функцията f(x) = 2x2 – 4x + 2. a) Да се реши уравнението x − 4 − 3x f (x ) = 8 x − 8 4 − 3x . б) Да се реши неравенството log x f ( x ) < 0 .
(
)
Решение: 4⎤ ⎛ а) Уравнението има смисъл при 4 – 3х ≥ 0, т.е. при х ∈ М = ⎜ − ∞; ⎥ . При х ∈ М то е равносилно на 3⎦ ⎝ уравнението x − 4 − 3x x 2 − 2 x − 3 = 0 . Квадратното уравнение x 2 − 2 x − 3 = 0 има корени х1 =3 ∉ M и х2 = –1 ∈ M. Ирационалното уравнение 4 − 3 x = x има решение х = 1. Окончателно решенията на даденото уравнение са числата х = 1 и х = –1. б) Неравенството има смисъл при х > 0, х ≠ 1 (защото х2 – 2х + 1 > 0 за всяко х ≠ 1). Имаме два случая: А) х ∈ (0;1). Тогава даденото неравенство е равносилно на квадратното неравенство 2− 2 ). 2х2 – 4х + 1 > 0. Решенията на това неравенство при х ∈ (0;1) са числата х ∈ (0; 2 Б) х ∈ (1;+∞). Тогава даденото неравенство е равносилно на квадратното неравенство 2+ 2 2х2 – 4х + 1 < 0. Решението на това неравенство при х ∈ (1;+∞) са числата х ∈ (1; ). Окончателно 2 2− 2 2+ 2 решенията на даденото неравенство са числата х ∈ (0; ) U (1; ). 2 2
(
)(
)