МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 27.05.2014 г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кое е най-голямото от посочените числа? 1 А) 2
2
Б) 2
1 2
2. За a 2 стойността на израза А) 2
В)
a 5 . a6 a 4 . a3
В)
2
Б) x (7; )
В) x 7;
Г) x ;7
4. Множеството от решенията на неравенството
В)
1 2
Г) 2
x е: 7x
А) x ;0 0;7
А) ; 2 4;
Г) log 2
е равна на:
Б) 2
3. Дефиниционното множество на израза
1 2
2 1 е: х2
Б) ; 2 4;
2; 4
Г)
2; 4
5. Ако log a 16 2, то числото a е равно на: А) 4
Б) 4
6. Сборът от корените на уравнението А) –5
Б) 1
В) 8
Г) 16
6 5x x е равен на: В) 5
Г) 6
7. Ако x1 и x2 са реалните корени на уравнението x2 6 x 7 0 , то стойността на израза A
x1 x x1 x2 2 е равна на: 2 2
А) 10
Б) 8
В) 4
Г) 1 1
8. Числената стойност на израза cos335 sin 295 cos315 е:
2 2
А)
Б)
2 2
В) 2sin 25
2 2
Г) 2 cos 25
9. В трапецa ABCD AB CD О е пресечната точка на диагоналите. Б) 9 cm
В) 12 cm
Г) 18 cm
10. В правоъгълния
С
D O
Ако AB 3CD и OC 3 cm, намерете дължината на диагонала АС. А) 6 cm
2 2
А
В
C
ABC ACB 90 петата на
височината СН дели хипотенузата АВ на отсечки АН и ВН, като AH : BH 1: 4 . Котангенсът на
CAB е равен на:
A А) 4
В) 1 2
Б) 2
Г)
H
1 4
B
y
11. Графиката на коя от функциите е изобразена на чертежа? А) f x x 2 3x 4
Б) f x x 2 3x 4
В) f x x2 3x 4
Г) f x x2 3x 4
–1
4 x
–4
12. За членовете на числовата редица с общ член an , n
са в сила равенствата
a3 8 , a2 3a1 и a3 4a2 . Първият член на редицата е: А)
1 6
Б)
2 3
В)
3 2
Г) 213 a1 a3 30
13. За геометричната прогресия a1 , a2 , a3 , ... е изпълнено
a4 a2
15 . 2
Първият член a1 и частното q са съответно равни на: А) 32 и
1 4
Б) 32 и
1 4
В) 32 и
1 4
Г) 32 и
1 4
14. Най-голямата стойност на израза 3cos5x 1 е: А) 2
Б) 8 3
В) 4
Г) 6 2
15. Сумата на осем числа е А. Едно от числата е 8 и е заменено с числото 24. Средноаритметичното на новите осем числа е: А) 3A
Б)
A 3
В)
A 3 8
Г)
A 2 8
16. В един магазин всички стоки имат осемцифрен код с различни и неповтарящи се цифри, като всеки код започва с 2014. Колко най-много стоки може да има в този магазин? А) V64
Б) V104
В) C104
Г) C46
17. Остроъгълният
ABC е вписан в окръжност с радиус R 3 cm.
Ако AB 3 3 cm и
BAC 45 , то мярката на
А) 30
Б) 45
18. На чертежа
В) 60
ABC е:
Г) 75
A
в
ABC окръжност. Дължината на CL е:
А)
7 2 cm 12
C
Б)
12 2 cm 7
4
3
5 L
A
B
Г) 14 2 cm
окръжност с радиус 3 cm. Ако Б) 36 cm2
C
D
19. Правоъгълният трапец ABCD ( AB CD) e описан около
А) 27 cm2
B
ABC е със страни AC 4 cm, BC 3 cm и
AB 5 cm. Отсечката CL минава през центъра на вписаната
В) 12 2 cm
C
ABC 30 , то лицето на трапеца е:
В) 48 cm2
Г) 54 cm2
A
20.В успоредника ABCD точка M лежи на страната CD така, че
D
B
M
С
DM : DC 2 : 7 . Ако AC BM O и лицето на MOC 50 сm², то лицето на
O
ABO е равно на: А
А)
450 сm² 7
Б) 70 сm²
В) 98 сm²
В
Г) 140 сm²
3
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. За cotg
1 5cos sin намерете стойността на израза . 5 sin 10cos
8 2 x x2 2 x 1 .
22. Намерете корените на уравнението
23. Гражданин депозирал 6000 лв. в банка на годишен срочен влог. След една година сумата нараснала на 6 240 лв. Колко лева ще стане депозитът на гражданина след още една година?
24. В правоъгълна координатна система хОу е построена полуокръжност k с център О, разположена над абсцисната ос.
Върху k са избрани точки A 1; 2 и B така, че
y
k
AOB 90 .
ABC
C
AB 2 dm AC 3 dm и
3
BAC 60 . Намерете
M
медианата АМ M BC на триъгълника. 60 A
2
B
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Да се реши уравнението
2 x2
x 1 22 x 1 1 . 5x 2 2 x x 1 x 2
27. Сумата от първите три члена на геометрична прогресия е равна на 70. Ако към втория член добавим 5, ще се получат три числа, които са последователни членове на аритметична прогресия. Намерете двете прогресии. 28. През върха С на правоъгълния
x
O
Намерете дължината на хордата АВ.
25. В
A 1; 2
B
ABC с катети AC 6 и BC 6 2 е построена
права m, перпендикулярна на медианата АР P BC . Намерете дължината на отсечката MN, където М и N са общите точки на m съответно с АР и АВ.
4
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
Формули на Виет:
−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
a 2 k +1 = a
1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x
m n
при k ∈ ℕ n k
a = nk a
a log a b = b
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 1
Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =
n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1
Аритметична прогресия:
an = a1 + (n −1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
Формула за сложна лихва:
p K n = K .q = K .1 + 100
Sn =
n
n
Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2
Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1
r=
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
sin α =
a c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c
a 2 = a1c tg α =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
mc 2 =
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
a b
b 2 = b1c cotg α =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
Формула за ъглополовяща:
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице Триъгълник:
1 S = chc 2 S = pr
Успоредник:
S = aha
1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R
S=
S = ab sin α
p ( p − a )( p − b)( p − c )
S=
Трапец:
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
b a
1 0
−α − sin α cosα − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cosα sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2 sin
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α
α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2
sin α − sin β = 2sin
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 27 май 2014 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор
Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Верен отговор Б Г Г Б Б Б В Б В В Г Б А В Г А Г Б Г В 2 1 6 489, 60 лв.
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
24
AB = 6
4
25 26 27
19 dm 2 x1 = 0
AM =
.. 10, 20, 40 и ÷ 10, 25, 40 ..
4 10
10
.. 40, 20, 10 и ÷ 40, 25, 10 ..
28
1 MN = CN = 3 3
10
1
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване: 1. За разлагане на множители на знаменателите на дробите в лявата страна 2 x 2 − 5 x + 2 = ( 2 x − 1)( x − 2 ) и 2 x 2 + x − 1 = ( 2 x − 1)( x + 1) . 2. За определяне на дефиниционното множество x ≠ −1; 1 ; 2 . 2
(2 т.) (1 т.)
3. За намиране на най-малкият общ знаменател ( 2 x − 1)( x − 2 )( x + 1) и освобождаване от знаменател. 4. За получаване на квадратно уравнение x 2 − 2 x = 0 .
(2 т.) (2 т.)
5. За намиране корените на квадратното уравнение x1 = 2 и x2 = 0 .
(1 т.)
6. За проверка на принадлежност на корените към дефиниционното множество
и определяне на верния отговор x1 = 0
(2 т.)
27. Критерии за оценяване: Първи начин 1. Означаване на числата x, xq, xq 2 и записване на x + xq + xq 2 = 70 .
(1 т.)
2. Изразяване на числата на аритметичната прогресия x, xq + 5, xq 2 .
(1 т.)
3. Получаване на зависимостта x − 2 xq + xq 2 = 10 .
(1 т.)
4. Съставяне и решаване на системата
x + xq + xq 2 = 70 . x − 2 xq + xq 2 = 10
(3 т.)
5. Получаване на прогресиите: .. .. 10, 20, 40 и ÷ 10, 25, 40 .
(2 т.)
6. Получаване на прогресиите: .. .. 40, 20, 10 и ÷ 40, 25, 10 .
(2 т.)
Втори начин 1. Означаване на числата на аритметичната прогресия x − d , x, x + d .
(1 т.)
2. Означаване на числата на геометричната прогресия x − d , x − 5, x + d .
(1т.)
3. Намиране x = 25 .
(2 т.)
4. Прилагане на свойството на геометричната прогресията
( x − 5)
2
= ( x − d )( x + d ) .
5. Намиране на d1,2 = ± 15 .
(2 т.) (2 т.)
2
6. Определяне членовете на първите две прогресии ÷ 10, 25, 40 , .. .. 10, 20, 40 .
(1 т.)
7. Определяне членовете на останалите две прогресии ÷ 40, 25, 10 , .. .. 40, 20, 10. (1 т.)
28. Критерии за оценяванe: C
1. Намиране на хипотенузата AB = 6 3 . (1 т.). 2. Доказване на
3 2
AM = 2. PM
(4 т.)
1 2.1. Определяне PC = BC = 3 2 . 2
(1 т.)
2.2. Зависимостта AC = AM . AP .
(1 т.)
2
2.3. Зависимостта PC 2 = PM . AP . 2.4. Почленно делене, следва, че
6
A
M
P 3 2
B
N
(1 т.)
AM AC 2 62 = = PM PC 2 3 2
(
)
2
=
36 =2 . 18
(1 т.)
3. Доказване, че М е медицентър на △ ABC , тъй като M ∈ AP и AM : PM = 2 :1 . (2 т.) 4. Извод, че СN е медиана и CN = 1 5. Намиране на MN = CN = 3 . 3
1 AB = 3 3 . 2
(1т.) (2 т.)
3