Национален военен университет "Васил Левски" Предварителен конкурсен изпит по математика 28 април, 2007г. – първа тема Задача 1. Дадено е уравнението x 2 − 2(b + 1) x + 4b 2 = 0 , където b е реален параметър. а) Да се намерят стойностите на параметъра b, при които уравнението има два различни положителни корена. б) Да се намерят стойностите на параметъра b, при които уравнението има два различни положителни корена x1 и x2, за които е изпълнено равенството x1 + x 2 = 6b . Задача 2. Дадена е функцията f ( x) = log 2 x − log 2 (− x 2 + 5 x − 4) . а) Да се реши уравнението f ( x) = 0 . б) Да се намери най-малката стойност на функцията f (x) . Задача 3. Даден е правоъгълен триъгълник ∆ABC с прав ъгъл при върха C и височина CD = 12 см към хипотенузата АВ (точката D лежи върху AB). В триъгълник ∆ADC е вписана окръжност k1 с център точка O1 и радиус r1 , а в триъгълник ∆BDC е вписана окръжност k2 с център точка O2 и радиус r2 = 3 см. а) Да се намери дължината на радиуса r1. б) Да се намери лицето на триъгълника ∆O1O2 C . Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDT с основа квадрата ABCD с дължина на основния ръб AB = 4 см и дължина на околния ръб АТ = 6 см. Точките M, N и P лежат съответно върху ръбовете AB, AD и AT като ги делят в AM 3 AN 1 AP 5 = , = и = . отношения съответно AB 4 AD 2 AT 6 а) Да се намери обемът на пирамидата AMNP. б) Да се намери разстоянието от точката M до стената ADT.