ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1 а)
5 x 2 ( x − 3) 2 = 4( 2 x 2 − 6 x + 9)
x 2 − 3x + 2 = 0
5[ x ( x − 3)]2 = 4[ 2( x 2 − 3 x ) + 9]
D = 9 − 8 = 1 = 12
5( x 2 − 3 x ) 2 = 8( x 2 − 3 x ) + 36
x1, 2 =
x 2 − 3x = y 5 y − 8 y − 36 = 0 2
D = 64 + 720 = 784 = 28 2 y1, 2 =
3 ±1 2
x1 = 1 x2 = 2
18 8 ± 28 , y1 = −2, y 2 = 5 10
18 = 0 | .5 5 5 x 2 − 15 x − 18 = 0 x 2 − 3x −
D = 225 + 360 = 585 = 32.65 15 ± 3 65 10 15 − 3 65 x3 = 10 15 + 3 65 x4 = 10 x3 , 4 =
б)
π π 8π 13π 13π . cot g + x 2 . cos . sin ≤ ( x. sin ) 2 3 7 3 6 7 13π 13π =1 . cot g tg 7 7 π π 1 cos = sin = 3 6 2 π π π 8π 3 = sin(3π − ) = sin(3π ). cos − cos(3π ). sin = sin 3 3 3 3 2 tg
3 x2 ≤ x2. 4 4 3 1 1 + . | x |≤ x 2 | .4 4 2 2 3 x − 2 | x | −4 ≥ 0
1+
| x |= y ≥ 0 ↑ 2 x2 = y2 3y2 − 2y − 4 ≥ 0 D = 4 + 48 = 52 = 2 2.13 y1, 2 =
2 ± 2 13 1 ± 13 = 6 3
y ∈ ( −∞;
1 + 13 1 − 13 ;+∞ ) ]∪[ 3 3
y≥0 1 + 13 3 1 + 13 1 + 13 ;+∞ ) x ∈ ( −∞;− ]∪[ 3 3 y =| x |≥
Задача 2 Имаме следното уравнение: x 3 + ax 2 + 56 x − 64 = 0 . Прилагаме формулите на
x1 x 2 x3 = 64 Виет за уравнение от трета степен и получаваме: x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x3 = 56
x1 + x 2 + x3 = − a Тъй като по условие е дадено, че уравнението има три корена и те образуват геометрична прогресия, следователно x 22 = x1 x3 . Заместваме в първото
уравнение от формулите на Виет и получаваме x 23 = 64 => x 2 = 4 . Заместваме получената стойност и достигаме до следната система:
x1 x3 = 16 x1 + x3 = −a − 4
, от която
чрез обратната на теоремата на Виет получаваме следното квадратно уравнение: y 2 + (a + 4) y + 16 = 0 . За да има първоначалното уравнение три реални корена, трябва това квадратно уравнение да има два реални корена (третия корен на първото уравнение сме го получили вече). А за да има квадратното уравнение два реални корена, трябва дискриминантата да е положителна. D = (a + 4) 2 − 8 2 = (a − 4)(a + 12) D>0 a ∈ (−∞;−12) ∪ (4;+∞) Сега преобразуваме второто уравнение от формулите на Виет: 4 x1 + x1 x3 + 4 x3 = 56 x1 x3 = 16 4( x1 + x3 ) = 40
Сега приравняваме 10 = -а-4 => а=-14<-12, получената
x1 + x3 = 10 стойност за а принадлежи на получения интервал за а, следователно всичко е наред. Сега остава само да намерим останалите два корена на уравнението. x1 + x3 = 10 x1 x3 = 16
=> y 2 − 16 y + 10 = 0
D = 256 − 40 = 216 = 6 2.6 y1, 2 =
16 ± 6 6 = 8 ± 3 6 => x1 = 8 ± 3 6 ; x 2 = 8 m 3 6 2
Задача 3 Нека CD∩AB=E; BC∩AM=G. AB – диаметър => <ACB=90° => <ACG=90°. AM=MC – допирателни отсечки => ∆ACM – равнобедрен => <MAC = <MCA. В правоъгълния ∆ACG <AGC = 90°-<GAC = 90°-<MCA = <MCG => ∆GCM – равнобедрен => MC = MG = AM => M – среда на AG. ОА – радиус (част от диаметъра АВ) и АМ – допирателна => AO ⊥ AM . По условие CD ⊥ AB => CD||AM => ∆BAG ~ ∆BEC. Като напишем пропорциите ще получим следното нещо:
CF CE BC = = GM GA BG CF GM 1 = = CE GA 2
Получихме, че CF=FE. Тъй като АВ е диаметър и е перпендикулярен на хорда, следователно я разполовява => CE=ED Така получаваме за търсеното отношение CF 1 = FD 3
Задача 4 Нека (ACF) е произволно осно сечение на конуса. Тъй като конуса е прав кръгов и е вписан в сфера, то центъран а сферата лежи на височината на конуса. Нека точка Н е център на описаната сфера. Тогава HF = HA = 3. Нека <HAF = <HFA = α, тогава <AHG = <HAF + <HFA = 2 α => <GAH = 90° - 2 α. Обемът на конуса се изчислява с 1 формулата V = πr 2 h , където r е 3
радиусът на основата (AG = GC = r) и h е височината (FG = h). От правоъгълния ∆AGH получаваме следното:
AG r = cos(90° − 2α ) => = sin(2α ) => r = 3. sin(2α ) . А от правоъгълния ∆AGF AH 3
получаваме
cos α FG h = tg (90° − α ) => = cot gα => h = 3.2. sin α . cos α . = 6. cos 2 α . AG r sicα
Заместваме във формулата за обема. 1 V = .π .9. sin 2 (2α ).6. cos 2 α = 18π . cos 2 α . sin 2 (2α ) . Обемът ще бъде максимален, 3
когато cos 2 α . sin 2 (2α ) е максимално, следователно можем да разгледаме следната функция: f (α ) = cos 2 α . sin 2 (2α ) = cos 2 α (4. sin 2 α . cos 2 α ) = 4 cos 4 α (1 − cos 2 α ) cos 2 α = t ∈ [0;1] f (t ) = −4t 3 + 4t 2 2 f ' (t ) = −12t 2 + 8t = −12t (t − ) 3
Функцията f(t) расте в (0; 2/3) и намалява в (2/3; 1) => има локален максимум при t=2/3 =>
cos 2 α =
1 2 2 1 2 => cos(2α ) = 2. cos 2 α − 1 = => sin(2α ) = 1 − cos 2 (2α ) = 1 − = 9 3 3 3
2 h = 6. cos 2 α = 6. = 4 3 2 2 r = 3. sin(2α ) = 3. =2 2 3