ХТМУ – София ПРИМЕРЕН ТЕСТ И ЗАДАЧИ ЗА ИЗПИТА ПО МАТЕМАТИКА
ТЕСТ Ако a = 2 и b = 3 , да се пресметне стойността на израза
(
b− a
Зад. 1
Зад. 2
−1
. В)
−
1 30
Г) друг отговор
Числото b е с 10% по-малко от числото a . Като увеличим числото b с 10% се получава 198. Да се намери числото a . А) 198
Зад. 3
)
b + a (a + b)
a 2 − ab + b 2 1 Б) 35
3− 2 15
А)
)(
Б) 180
В) 200
Г) друг отговор
Сборът на третия и петия член на аритметична прогресия е 10, а сборът на първия и четвъртия член е 4. Да се намерят първият член a1 и разликата d на прогресията. А) a1 = 2, d = 2
Б) a1 = 1, d = 2
В) a1 = 0, d = 1
Г) друг отговор
Да се намерят корените x1 и x2 на уравнението Зад. 4
Зад. 5
Зад. 6
x 1 1 − = . x +1 x + 2 6 8 2 В) x1 = 1, x2 = −2 Г) друг отговор А) x1 = 1, x2 = − Б) x1 = 1, x2 = 5 5 x x 2 2 Ако x1 и x2 са корени на уравнението x + mx + m + 1 = 0 , изразът 1 + 2 да се представи като x2 x1 функция на реалния параметър m . m m2 + 2 m2 − 1 А) − Г) друг отговор Б) − 2 В) 2 m +1 m +1 m +1 2 Да се намерят най-малката m и най-голямата M стойности на функцията f ( x ) = 4 x − x − 1 в
[
А) Зад. 7
Зад. 8
Зад. 9
]
интервала 0; 3 .
m = −1, M = 3
Б)
Да се реши уравнението x =
Б) x1 = 1, x2 = 2
Г) друг отговор
В) x1 = −2, x2 = 2
Г) друг отговор
В) x1 = 0, x2 = 1
Г) друг отговор
В) ( −∞;1) U ( 2; + ∞ )
Г) друг отговор
2.4 − 9.2 + 4 = 0 . x
А) x1 = −1, x2 = 2 Да се реши неравенството log 2 А) (1; 4 )
m = 2, M = 3
В)
x+2 .
А) x1 = −1, x2 = 2 Да се реши уравнението
m = 1, M = 3
x
Б) x1 = −2, x2 = 2
x +1 > 0. x −1 Б) ( 0; 1)
[
Да се намерят корените на уравнението sin x + cos x = 1 , които принадлежат на интервала 0; 2π ) . Зад.10
π
А)
,
4
5π 4
Б)
π
0,
2
Да се намери стойността на израза sin α − cos α , ако Зад.11
2 3
А)
Зад.12
Б)
В)
2 5
tg
α 2
=
0,
π
Г) друг отговор
4
1 . 2 В)
1 5
Г) друг отговор
Катетите на правоъгълен триъгълник са с дължини 3 и 4. Да се намери дължината на височината към хипотенузата в триъгълника.
12 5
А)
Б)
16 5
В)
Г) друг отговор
2
Зад.13
В правоъгълен триъгълник ABC е построена ъглополовящата AD, като точка D лежи на катета BC. Да се намери дължината на хипотенузата AB, ако дължините на CD и DB са съответно 3 и 6.
Зад.14
Б) 12 Г) друг отговор А) 6 3 В) 6 2 В равнобедрен триъгълник дължините на основата и радиуса на вписаната окръжност са съответно 12 и 3. Да се намери дължината на бедрото на триъгълника. А) 12
Б) 10
В) 9
Г) друг отговор
В равнобедрен трапец е вписана окръжност. Дължините на основите на трапеца са a и b .Да се намери лицето на трапеца. Зад.15 А)
(a + b)
ab
Б)
2
a 2 + b 2 + ab 2
В)
ab ( a + b ) a 2 + b2
Г) друг отговор
В правоъгълника ABCD ъглополовящата на ъгъл BCD пресича диагонала BD в точка M. Да се намери лицето на правоъгълника, ако BM = a и DM = b . Зад.16 А)
ab ( a 2 + b 2 ) a+b
Б)
(a + b)
2
(a
2
+ b2 )
ab ( a + b ) В) a 2 + b2
2
Г) друг отговор
ab Дължината на ръба на куба ABCDA1B1C1D1 e a . Точките M и N са съответно среди на ръбовете BB1 и
DD1 . През точките A, M и N е построена равнина α . Да се намери лицето на сечението на равнината
Зад.17
α
с куба.
6a 2
А)
3 2 a 2
Б)
В)
2a 2
Г) друг отговор
Да се намери радиусът на сфера, вписана в правилен тетраедър с дължина на ръба a . Зад.18
Зад.19
a 3a Г) друг отговор В) 6 4 В правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 дължините на основния ръб и околния ръб са А)
a 3
3 . Да се намери синусът на острия ъгъл между диагоналите AC1 и BD1 .
съответно 1 и А)
Б)
2 2
Б)
3 2
В)
4 5
Г) друг отговор
В сфера с радиус r е вписан цилиндър. Височината на цилиндъра е 2 пъти по-голяма от неговия радиус. Да се намери обемът на цилиндъра. Зад.20 А)
π r3 3
Б)
π r3 2 4
В)
π r3 2 2
Г) друг отговор
ЗАДАЧИ Зад.1. Да се намерят всички корени на уравнението
7 sin x + tgx = 2 ( cos x + 1) , sin x + tgx
които удовлетворяват неравенството
⎛ ⎜ log 1 ⎝ 2
2
⎞ x ⎟ ≤ 2 log 2 x . ⎠
Зад.2. Всички ръбове в четириъгълна пирамида са с дължина a . а) Да се намери ъгълът α , който сключва околен ръб с равнината на основата. б) Да се намери разстоянието от центъра на основата до околна стена на пирамидата. в) Да се намери косинусът на ъгъла β , който сключват две съседни околни стени. Отговори на теста: 1Б; 2В; 3Г; 4А; 5Б; 6А; 7Г; 8А; 9Г; 10Б; 11В; 12А; 13А 14Б; 15А; 16В; 17Б; 18Г; 19В; 20В. Отговори на задачите: зад.1:
π 3
зад. 2: а)
.
α=
π 4
; б)
a 6 1 ; в) cos β = − . 6 3
Време за работа 5 часа. Всяка решена задача от теста се оценява с 1 точка. Пълното решение на всяка една от последните две задачи се оценява с 10 точки. Максималният брой точки е 40. Оценката a по шестобалната система се получава по формулата
⎧2, ако b < 10; ⎪ a=⎨ b ⎪⎩2 + 10 , ако b ≥ 10, където b е общият брой точки, получени от кандидат-студента за представените от него решения.