ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ — СОФИЯ Писмен конкурсен изпит по математика, 10 юли 2008 г. ТЕМА 2 ПЪРВА ЧАСТ Всяка от следващите 20 задачи има точно един верен отговор. В таблицата за отговори отбележете само буквата, до която според вас е записан верният отговор 1. За всеки верен отговор получавате 2 точки. За грешен или непопълнен отговор, както и посочени повече от един отговор на една задача, точки не се дават и не се отнемат. 1. Ако x1 и x2 са корени на уравнението x 2 − 7 x + 5 = 0 , то изразът
1 1 2 + 2+ е равен 2 x1 x2 x1 x2
на: а)
46 ; 5
б)
49 ; 25
в)
2. Коренът на уравнението x 2 + 8 а) -9;
б) 1;
3. Коренът на уравнението а) -5; 4.
( x)
21 ; 5
г) 5;
д) −
г) -1;
д) 0.
г) -4;
д)
49 ; 5
2
− 9 = 0 е:
в) -3; 10 − x = −2 − x е:
б) -10;
в) -6;
2 . 5
Корените на уравнението log 4 (1 − x 2 ) = 2 log16 x са: а) д)
5 −1 − 5 −1 ; б) ; 2 2 5 + 1, 5 − 1 .
в)
5 −1 − 5 −1 , ; 2 2
5. За геометричната прогресия {bn } е известно, че равно на: 5 а) ; 3
б) 2,3
в)
3 ; 5
6. Най-малката стойност на функцията y =
г)
5 +1 − 5 +1 , ; 2 2
b28 125 = . Частното на прогресията е b31 64 г)
4 ; 5
д)
5 . 4
2x в интервала [-3,1] е: x +1 2
3 в) 1; г) 2; д) 3. б) − ; 5 7. Дефиниционното множество на функцията y = log x − 2 (16 − x 2 ) е: а) -1;
а ) x ∈ ( −∞, 2 )
б ) x ∈ ( 2, 3)
в ) x ∈ ( 2,3) ∪ ( 3, 4 ) г) x ∈ ( 3, +∞ ) ; д) x ∈ ( 4, +∞ ) .
6 и 270° < а < 360°, то стойността на израза sin 2α е: 3 3 2 2 3 2 2 а) ; б) − ; в) ; г) − ; д) -1; 6 3 3 3 3 32 9. Най-голямото цяло решение на неравенството < 6 − x е: x+6 а) -7; б) -3; в) 1; г) 2; д) 3.
8. Ако cos α =
1
За верен се приема само отговорът, посочен в таблицата за отговори.
-1-
a170 a = 15 . Отношението 21 е: a22 a2 31 г) ; д) 2. 22
10. За аритметичната прогресия {an } е известно, че а)
32 ; 31
б)
30 ; 11
в)
31 ; 32
11. Стойностите на реалния параметър x 2 + ( m − 3) x + 1 = 0 има реални корени, са: б ) (1, 5 ) в ) (1, ∞ ) а ) ( −∞, 2 ) 1 − cos x е: sin 2 x 1 б) − ; 2
m,
за
които
квадратното
г) ( −∞, 5 )
уравнение
д) ( −∞,1] ∪ [5, ∞ ) .
12. Стойността на lim x →0
а)
1 ; 2
в) 0;
г)
2 ; 3
д)
3 . 4
13. Върху основата АВ на равнобедрения триъгълник АВС е избрана точката D така, че радиусът на окръжността, описана около триъгълника АDС , е равен на 7. Радиусът на окръжността, описана около триъгълника BDC , е равен на: а) 7; б) 5; в) 8; г) 14; д) 6. 14. В правоъгълния триъгълник ABC ( ∢ACB=90° ) дължи ната н а катета ВС е равн а на 4, а лицето м у е равно н а 14. Син усът на ъгъл ВАС е равен на: 2 1 4 3 ; б) 0,5; в) ; г) ; д) ; а) 65 65 65 65 15. Голямата основа на трапец е равна на 16 cm, а средната му отсечка е равна на 12 cm. Дължината на отсечката, съединяваща средите на диагоналите на трапеца, е равна на: а) 2 cm; б) 3 cm; в) 4 cm; г) 5 cm; д) 1 cm. 16. В правоъгълен триъгълник единият катет е равен на 6, а радиусът на вписаната окръжност е равен на 2. Хипотенузата на триъгълника е равна на: а) 8; б) 7; в) 9; г) 10; д) 9,5. 17. В триъгълника АВС страната АВ е равна н а 16 cm, а височината CH ( H ∈ AB ) е равна на 8 cm. Отсечката MN ( M ∈ AC, N ∈ BC ) е успоредна на АВ . Окръжността с диаметър MN се допира до AB . Радиусът на окръжността е равен на: а) 3 cm; б) 4 cm; в) 5 cm; г) 6 cm; д) 7 cm. 18. Пресечната точка на диагоналите на една от стените на куб е съединена с върховете на срещуположната стена. Отношението на обема на получената пирамида към обема на куба е равно на: а) 1:2; б) 1:4; в) 1:3; г) 1:5; д) 2:3. 19. В правилна четириъгълна пирамида основният ръб е равен на а, а околните ръбове – на 2а. Косинусът на ъгъла между околна стена и основата е равен на: а)
3 ; 3
б).
15 ; 15
в).
17 ; 16
г).
2 ; 3
д).
3 . 4
20. Цилиндър е пресечен с равнина, успоредна на оста и минаваща на разстояние 6 cm от нея. Диагоналът на полученото сечение е два пъти по-голям от радиуса на основата на цилиндъра. Височината на цилиндъра е: а) 12 cm;
б) 13 cm;
в)
20 3 ; 3
г) 40 cm; -2-
д) 35 cm.
ВТОРА ЧАСТ Следващите 5 задачи са без избираем отговор. В таблицата за отговори в празното поле на съответната задача запишете само получения от вас отговор. За всеки верен отговор получавате по 3 точки. За грешен или непопълнен отговор, както и за посочени повече от един отговор, точки не се дават и не се отнемат. 21. Да се намери броят на целите числа, които удовлетворяват неравенството x 2 − 14 ≤ 10. 22. Да се намери броят на решенията на уравнението 2 cos x + sin х = 0 в интервала ( −π , π ) . 23. Да се намерят корените на уравнението 32 x + 2 + 17.3х - 2 = 0. 24. Страните на триъгълник са 2 cm, 8 cm и 5 3 cm. Да се намери дължината на вътрешната ъглополовяща на най-големия ъгъл на триъгълника 25. Правилна триъгълна пирамида със страна на основата 1 има обем
1 . Да се намери 8
тангенсът на ъгъла между околен ръб и основата н а пирамидата.
ТРЕТА ЧАСТ Представете решенията на следващите три задачи с необходимите обосновки в писмен вид. Пълното решение на всяка задача се оценява с 15 точки.
26. Да се реши системата
х 2 + 4 ху + 5 y 2 - 8 = 0 у 2 - 2 х - 4 у = 0.
27.
В
равнобедрения
триъгълник
ABC ( АС = ВС > АВ )
са
построени
височината
АН ( Н ∈ ВС ) и медианата AM ( М ∈ ВС ) . Да се намери cos ∢BAC , ако отношението на лицето на триъгълника АМН и лицето на триъгълника АВС е равно на
4 . 9
28. Да се намери обемът на прав кръгов конус с ъгъл при върха на осното сечение 120°, ако сечение през върха има максимално лице, равно на 18.
-3-
ТАБЛИЦА ЗА ОТГОВОРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ 1 ДО 20 Ако искате да се откажете от отговора, който вече сте отбелязали, например от отговор а), това може да направите така: ⊗
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ТАБЛИЦА ЗА ОТГОВОРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ 21 ДО 25
21 22 23 24 25
Времето за работа е 4 астрономически часа. Максималният брой точки от трите части е 100.
-4-