МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 10. 05. 2008 год.
ВАРИАНТ 2 Задача 1. 1.1. Решете уравнението, катo предварително определите множеството от допустими стойности на неизвестното x : 3 5 6x + 4 − + 2 = 0. 4 − x 4 + x x −16 2x + y = 5 1.2. Решете системата . x− y= 4 1.3. При какви реални стойности на b системата
2x + y = 5 x− y= b
има единствено решение?
Задача 2. Решете уравненията: 2.1.
y + 5 +1 = y .
2.2. 7 2 x −1 + 7 2 x − 2 − 7 2 x −3 = 385 .
Задача 3. Дадена е функцията f ( x) =
x3 + ax 2 − 3 x + b + 2 , където а и b са реални 3
параметри. Да се намерят: 3.1. координатите на точките, в които допирателните към графиката на функцията са успоредни на абсцисната ос Ox , когато a = −1, b = 2 ; 3.2. стойностите на реалния параметър a , за които уравнението f ( x) = 0 има само един реален корен, когато b = −2 ; 3.3. стойностите на реалния параметър b , за които уравнението f ( x) = 0 има само един реален корен, когато a = 1 .
Задача 4. Даден е успоредник АВCD. 4.1. Да се намерят дължините на страните на успоредника, ако периметърът му е 30 см, големият му диагонал е с дължина 13 см, а острият му ъгъл е 60 0 . 4.2. Да се намерят дължините на страните на успоредника, ако диагоналът BD е равен на страната АВ и около триъгълника АВD е описана окръжност, която дели диагонала АC на отсечки с дължини 65 см и 16 см.
Пожелаваме успех на всички кандидат-студенти!
МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ
КРАТКИ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ 10.05.2008 год.
ВАРИАНТ 2 Задача 1. 1.1. Решете уравнението, катo предварително определите множеството от допустими стойности на неизвестното x : 3 5 6x + 4 − + 2 = 0. 4−x 4+ x x − 16
РЕШЕНИЕ: Множеството от допустими стойности е М = (− ∞ , − 4 ) ∪ (− 4 , 4 ) ∪ (4 , ∞ ) . За такива стойности на x получаваме: 3( 4 + x ) − 5 ( 4 − x ) − ( 6 x + 4 ) = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6 ∈ M . 2x + y = 5
1.2. Решете системата x − y = 4 . 2x + y = 5
РЕШЕНИЕ: x − y = 4 ⇒
2x + y = 5 2 .3 + y = 5 ⇒ ⇒ x= 3 3x = 9
y = −1 (3 ,− 1) . x = 3 , отг.: 2x + y = 5
1.3. При какви реални стойности на b системата x − y = b има единствено решение? РЕШЕНИЕ: 2x + y = 5 x− y= b
⇒
2x + y = 5 3x = 5 + b
⇒ системата има единствено решение при всяка реална
стойност 5 + b 5 − 2b , ). на b (което, при фиксирана стойност на b , е наредената двойка 3 3
Задача 2. Решете уравненията: 2.1. y + 5 + 1 = y . РЕШЕНИЕ: Множеството от допустими стойности на y е [ − 5 , ∞ ) . Тъй като от y + 5 + 1 = y ⇒ y + 5 = y − 1 , при y ∈ [ − 5 , 1 ) уравнението няма решение. 2 Търсим решение на последното уравнение в интервала [ 1 , ∞ ) . От ( y + 5 ) = ( y − 1) ⇒ y 2 − 3y − 4 = 0, y ≥ 1 ⇒ y1 = −1 < 1, y2 = 4 ⇒ y = 4 е търсеното решение. 2
2 x −1 + 7 2 x − 2 − 7 2 x − 3 = 385 . 2.2. 7
(
)
2 x −1 + 7 2 x − 2 − 7 2 x −3 = 385 ⇒ 7 2 x −3 7 2 + 7 − 1 = 385 ⇒ 7 2 x −3 = РЕШЕНИЕ: 7
Тогава получаваме 2x − 3 = 1 ⇒ x = 2 .
385 ⇒ 7 2 x −3 = 7 . 55
Задача 3. Дадена е функцията f ( x ) =
x3 + ax 2 − 3 x + b + 2 , където а и b са реални 3
параметри. Да се намерят: 3.1. координатите на точките, в които допирателните към графиката на функцията са успоредни на абсцисната ос Ox , когато a = − 1 , b = 2 . РЕШЕНИЕ: Дадената функция (полином от 3-та степен) е дефинирана и диференцируема в цялото множество ( −∞ , ∞ ) . Допирателните към графиката на f ( x ) , вкл. и в случая a = − 1 , b = 2 , са успоредни на абсцисната ос, когато първите координати на допирните ' точки са корени на нейната производна, т.е. – на уравнението f ( x ) = 0 , f ' ( x ) = x 2 + 2 ax − 3 . 2 При a = − 1 получаваме уравнението: x − 2 x − 3 = 0 , чиито корени са x1 = − 1 и x 2 = 3 . Вторите координати на търсените точки са съответно: 1 17 y1 = f ( x1 ) = − − 1 + 3 + 2 + 2 = и y 2 = f ( x 2 ) = 9 − 9 − 9 + 2 + 2 = −5 . 3 3 3.2. стойностите на реалния параметър a , за които уравнението f ( x ) = 0 има само един реален корен, когато b = − 2 . x3 b = − 2 + ax 2 − 3 x − 2 + 2 = 0 , т.е. РЕШЕНИЕ: При разглеждаме уравнението 3 3 x + ax 2 − 3 x = 0 ; 3 3 x x + ax 2 − 3 x = x 2 + 3 ax − 9 , x = 0 е корен на уравнението. Тъй като 3 3 2 Квадратният тричлен (в скобите) има дискриминанта D = 9 a + 36 > 0 , ∀ a ∈ (− ∞ , ∞ ) . Следователно разглежданото уравнение винаги има три (различни) реални корена, т.е. не съществува реална стойност на параметъра a , за която уравнението да има само един реален корен. 3.3. стойностите на реалния параметър b , за които уравнението f ( x ) = 0 има само един реален корен, когато a = 1 . x3 a = 1 + x 2 − 3x + b + 2 = 0 . РЕШЕНИЕ: При разглеждаме уравнението 3 Лявата страна на това уравнение е полиномът от 3-та степен x3 f ( x) = + x 2 − 3 x + b + 2 , чиято производна е f ' ( x ) = x 2 + 2 x − 3 . 3 ' f ( x ) x → → − ∞ , f ( x ) x → +∞ −∞ → +∞ Имаме , f ( x ) = ( x − 1 )( x + 3 ) . Следователно функцията f ( x ) има винаги поне един реален корен. Тя е строго растяща в ( −∞ , − 3 ) , строго намаляваща в ( − 3 , 1 ) и строго растяща в (1 , ∞ ) , откъдето следва, че реалният корен ще бъде единствен, когато стойностите на локалния минимум и на локалния максимум на f ( x ) са или едновременно положителни, или едновременно отрицателни числа. 1 1 f min = f (1) = + 1 − 3 + b + 2 = b + ; 3 3 f max = f ( − 3) = −9 + 9 + 9 + b + 2 = b + 11 .
(
)
1 1 Следователно b + (b + 11) > 0 ⇒ b ∈ (− ∞,−11) ∪ − , ∞ . 3 3
Задача 4. Даден е успоредник АВCD.
4.1. Да се намерят дължините на страните на успоредника, ако периметърът му е 30 0 см, големият му диагонал е с дължина 13 см, а острият му ъгъл е 60 . РЕШЕНИЕ: Означаваме AB = a , BC = b . Тогава a + b = 15 . Нека ъгъл ВАD е остър, т.е. ∠BAD = 60 . Тогава големият диагонал на успоредника е AC = 13 см. Използвайки косинусовата теорема за триъгълника АВC получаваме: AC 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos120 = a 2 + b 2 + ab ⇒ a 2 + b 2 + ab = 132 , откъдето
(a + b )2 − ab = 13 2 ⇒ ab = 15 2 − 13 2 Тогава числата
a
= 2.28 = 56.
и b са корените ( t 1 и t 2 ) на квадратното уравнение
t 2 − 15t + 56 = 0, t1, 2 =
15 ± 225 − 224 . Следователно страните на успоредника АВCD са с 2
дължини: AB = CD = 7 см, BC = DA = 8 см, или AB = CD = 8 см, BC = DA = 7 см.
4.2. Да се намерят дължините на страните на успоредника, ако диагоналът BD е равен на страната АВ и около триъгълника АВD е описана окръжност, която дели диагонала АC на отсечки с дължини 65 см и 16 см. РЕШЕНИЕ: Означаваме AB = a , BC = b , ∠BAD = α . Означаваме с M пресечната точка на описаната около триъгълника ABD окръжност с диагонала АC. 1 По условие AM = 65 см, CM = 16 см (тъй като AM > AC ), BD = a = CD . 2 π Следователно ∠ BCD = ∠ CBD = α < . 2 Центърът на описаната около равнобедрения триъгълник ABD окръжност лежи на симетралата на основата AD , която е и ъглополовяща на ∠ ABD , равен на π − 2 α . π − 2α π +α= , Тогава симетралата на AD и правата BC сключват ъгъл, равен на 2 2 BC B е допирна точка на правата и описаната окръжност. В откъдето следва, че върхът 2 2 b = 16 ( 16 + 65 ) = 4 2 .9 2 ⇒ AD = BC = b = 36 частност, CB = CM .CA , откъдето получаваме см. От равнобедрения триъгълник ABD : b = 2a cos α , а от косинусовата теорема за 2 2 2 2 2 триъгълник ABC следва: AC = a + b − 2 ab cos( π − α ) = a + b + 2 ab cos α . 2 2 2 2 2 2 2 2 Следователно (16 + 65 ) = a + b + 2 ab cos α = a + 2b ⇒ a = 81 − 2b , или a = 9 81 − 32 = 9 . 7 , т.е. AB = CD = 63 см.
Задачата може да се реши и директно: 2
AC AC BD ⋅ − CM = , Означаваме средата на AC с O . Тогава AO.OM = BO.OD ⇒ 2 2 2 2 2 откъдето получаваме BD = 81 .49 = ( 9 .7 ) ⇒ a = BD = 63 см. 812 − 632 2 2 2 2 2 = 32.122 ⇒ AD = BC = b = 36 см. От AC + BD = 2 ( a + b ) намираме и b = 2
Минно – геоложки Университет “Свети Иван Рилски”
Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 10.05.2008 г. ЗАДАЧА 1. 1.1. Определяне на допустимите стойности за x Решаване на уравнението 1.2. Намиране на решението на системата 1.3. Намиране на множеството от стойности за b
– 4 точки -1 т. -1 т. -1 т. -1 т.
ЗАДАЧА 2. 2.1. Решаване на уравнението 2.2. Решаване на уравнението
– 4 точки -2 т. -2 т.
ЗАДАЧА 3. 3.1. Намиране координатите на търсените точки 3.2. Намиране на множеството от стойности за параметъра a 3.3. Намиране на множеството от стойности за параметъра b
– 6 точки -2 т. -2 т. -2 т.
ЗАДАЧА 4. 4.1. Намиране дължините на страните на успоредника 4.2. Намиране дължините на страните на успоредника
– 4 точки -2 т. -2 т.
ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се тълкуват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки. Формула за определяне на оценката 2 k<3 Q= k = 3, ... ,18 3 + ( k − 3) . 0,2 (к е броят на получените точки, а Q - окончателната оценка).