Софийски университет "Св. Климент Охридски" Факултет по математика и информатика Национална природоматематическа гимназия "Академик Любомир Чакалов"
ПИСМЕН ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 14 май 2008 г. Задача1. Да се реши неравенството
x 2 − 7 x + 10 x2 − 6x + 9
≤ 0.
Задача 2. Даден е трапец ABCD ( AB || CD,AB > CD ) . Известно е, че дължината на отсечката с краища средите на диагоналите е 5 и ∢DAB + ∢ABC = 90°. Да се намери дължината на отсечката с краища средите на двете основи.
Задача 3. Да се намерят всички корени на уравнението x 2 + x − 1 = 2 x − 1, които са по-малки от
1 . 3
Задача 4. В △ABC медианата AM ( AM ∈ BC ) и ъглополовящата BL ( L ∈ AC ) са перпендикулярни и имат равни дължини. Да се намери cos β , където β=∢ABC .
13 13 Задача 5. Да се реши уравнението lg x + 5 x − + lg x − 5 x − = 0. 4 4
Задача 6. Даден е трапец ABCD ( AB || CD,AB > CD ) , с бедра AD = 13 и BC = 20 и диагонали AC = 12 5 и BD=37. Да се намери лицето на трапеца.
Задача 7. Да се реши уравнението ax 3 + bx 2 − ( 2a + 3b ) x − a + b − 1 = 0, ако е известно, че a и b са рационални числа и един от корените му е − 3.
Задача 8. Спрямо правоъгълна координатна система Oxy са дадени точките A ( 2;0 ) и B ( 0;-8 ) . Да се намерят координатите на точка С от графиката на функцията y = x 2 , така че лицето на △ABC да е най-малко.
Задача 9. В триъгълна пирамида ABCD околният ръб CD е перпендикулярен на равнината на основата ( ABC ) , AB=10, AC=BC=13 и CD=5. Сфера с център О върху ръба CA се допира до стените
( BCD ) и ( ABD ) . Да се намери радиусът
R на сферата.
Задача 10. Да се намери най-голямата стойност на параметъра k, такава че за всеки правоъгълен триъгълник да е в сила неравенството a + b − h ≥ kc, където a, b, c, h са съответно катетите, хипотенузата и височината към нея. Време за работа 5 часа.