Шуменски университет “Епископ Константин Преславски” Факултет по математика и информатика 2 0 0 6
Т е м а
1
1 задача. Да се решат:
(
)
а) уравнението log 2 9 − 2 x = 3 − x . б) системата
x 2 + y − 20 = 0 y 2 + x − 20 = 0 .
2 задача. Дадена е окръжност k с център точка O и радиус с дължина 6 . От точка A , която не лежи на k , е построена допирателна AB , B ∈ k , с дължина
13 . Точка C е пресечната точка на окръжността k и отсечката OA . а) Намерете дължината на отсечката AC . б) Намерете дължината на радиуса на описаната окръжност около триъгълника ABC . 3 задача. В правилна четириъгълна пирамида страната на основата е равна на 8 , а околен ръб сключва с равнината на основата ъгъл равен на 60° . а) Намерете обема на пирамидата и дължината на радиуса на описаната около нея сфера. б) През връх на основата, успоредно на диагонал на основата неминаващ през този връх, е прекарана равнина. Тя пресича височината на пирамидата в точка, която я дели в отношение 1 : 2 , считано от основата. Намерете лицето на сечението на тази равнина с пирамидата. 4 задача. Дадена е функцията f ( x ) =
( x − 1)2 x2 + 1
а) Да се намерят интервалите на растене и намаляване и локалните екстремуми на f ( x ) . б) Да се реши уравнението f ( x ) = x 2 +
1 . x2
Шуменски университет “Епископ Константин Преславски” Факултет по математика и информатика 2 0 0 6
Т е м а
2
1 задача. Решете: а) уравнението
3 x + 7 − x +1 = 2;
б) неравенството 9 x − 10 . 3 x + 9 ≤ 0 . 2 задача. За триъгълника ABC е известно, че AC = 25 , BC = 30 и височината
CH = 24 . а) Намерете периметъра на триъгълника ABC ; б) Ако AB = 11 , намерете дължината на ъглополовящата CL . 3 задача. Основата на пирамида е успоредник с диагонали равни съответно на 8 и 6 . Околните стени сключват с основата ъгли равни на 60° . Намерете: а) обема на пирамидата; б) разстоянието от пресечната точка на диагоналите на основата до околна стена. 4 задача. Дадена е функцията f ( x ) = 2 x − x 2 . а) Намерете координатите на точката от графиката на f ( x ) , в която допирателната към нея сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл равен на 30° . б) Намерете интервалите на растене и намаляване и локалните екстремуми на f ( x ) .
Шуменски университет “Епископ Константин Преславски” Факултет по математика и информатика 2 0 0 6
Т е м а
3
1 задача. Да се решат:
(
)
а) уравнението log 2 x 2 − 3 + 1 = log 2 (16 x − 10) ; б) неравенството x + 1 < −
1 . x +1
2 задача. Даден е остроъгълен триъгълник ABC , височините AA1 и BB1 на който са равни съответно на 6 и 9 и се пресичат в точка H , като ∠ AHB = 120° . Намерете: а) дължините на страните на триъгълника; б) радиуса на описаната окръжност около Δ A1 B1C . 3 задача. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедро равно на b и ъгъл при върха равен на γ . Околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли равни на β . Намерете: а) обема на пирамидата; б) радиуса на описаната около пирамидата сфера. 4 задача. Дадена е функцията f ( x ) = a x 3 − x 2 − 3 x , където a е реален параметър. а) При a =
1 намерете интервалите на растене и намаляване и локалните 3
екстремуми на f ( x ) . б) За кои стойности на a , уравнението f ( x ) = 0 има точно един реален корен.