ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА Предварителен изпит – тест по математика ТЕМА 3 19 април 2008 г.
По – долу са дадени 10 задачи като за всяка една задача са посочени по четири възможни отговора само един, от които е верен. Заградете с кръгче единствено буквата на този отговор, който считате за верен. Всеки верен отговор носи по 1 точка. За неверен отговор, непосочен отговор или посочен повече от един отговор на дадена задача точки не се дават и не се отнемат. 1. Ако a = 3, b = 3 3 , то изразът а) 3 ;
б)
1 ; 3
1 2. Ако t = 211.4−5.37 − 2.3. 3 а) t = 0 ; б) t = 2 ;
a + 2b има стойност : b − 2a
в) −7 ;
г) 7 .
в) t = 3 ;
г) t = 5 .
−6
, то :
3. Ако първият и третият член на геометрична прогресия са съответно равни на
1 и 9
1 , то частното на прогресията е : 81 1 1 1 1 а) − ; б) ; в) 3 ; г) − или . 3 3 3 3 2 4. Ако числото x = 2 е корен на уравнението x − 3 x + c = 0 , то другият корен на уравнението е равен на : а) −2 ; б) c ; в) c − 1 ; г) 3 . 2 5. Решенията на неравенството x > 16 са : а) x > 4 ; б) x ∈ ( −∞, −4) ∪ (4, +∞ ) ; в) x < −4 ; г) x ∈ ( −4, 4) .
6. Решенията на неравенството 3x ≥ 81 са : а) x ≥ 4 ; б) x ∈ ( −∞, −4] ∪ [4, +∞ ) ; в) x ≤ 4 ; г) x ∈ [ −4, 4] . 7. Височината през върха на правия ъгъл разделя хипотенузата на правоъгълен триъгълник на отсечки с дължини 4 cm и 9 cm . Лицето на триъгълника е : а) 26 cm 2 ;
б) 30 cm 2 ;
в) 39 cm 2 ;
8. Равностранен триъгълник вписан в окръжност с радиус а) 1 cm ;
б) 3 cm ;
в) 2 cm ;
г)
39 cm 2 .
3 cm има страна :
г)
3 cm .
π 9. Ако tgα = 2 2 и α ∈ 0, , то стойността на sin α е равна на : 2 2 2 2 а) ; б) ; в) 2 ; г) −2 . 3 2 10. Лицето на равнобедрен трапец с височина 12 cm и диагонал 13 cm е равно на : а) 35 cm 2 ; б) 40 cm 2 ; в) 50 cm 2 ; г) 60 cm 2
• Решението на всяка от следващите 5 задачи започвайте на нова страница; • номерирайте всички страници на беловата си; • черновата не се проверява и не се оценява. Всяка пълно решена задача се оценява с 6 точки. 11. Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които корените на уравнението (a + 2) x 2 − 2ax + 3a = 0 са положителни числа. 12. Да се реши неравенството
2 x − 1 ≤ 2 − 3x − 2 .
13. Намерете всички решения на уравнението 2 log 2 x − 3log x 4 = 1. 14. В триъгълник ABC с ∡ BAC = 120° е вписана окръжност с радиус r = 3 . Докажете, че ако c и a са дължините съответно на страните AB и BC на триъгълника c 2 − 2c + 4 ABC , то c > 4 и a = . Определете най – малката възможна стойност на a c−4 и ъглите на триъгълника при тази стойност на a . 15. Основният ръб в правилна четириъгълна пирамида има дължина, която е два пъти по – голяма от дължината на височината към основата. Да се намери ъгълът между две съседни околни стени на пирамидата.
ВРЕМЕ ЗА РАБОТА 4 АСТРОНОМИЧЕСКИ ЧАСА
Окончателната оценка K от изпита се получава по формулата K = 2 + където T е броят на събраните от Вас точки.
НА ВСИЧКИ КАНДИДАТСТУДЕНТИ ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ!
T , 10
ɌȿɆȺ ɈɌȽɈȼɈɊɂ ɂ ɉɊɂɆȿɊɇɂ Ɋȿɒȿɇɂə
ɝ
ɚ
ɝ
ɜ
ɛ
ɚ
ɜ
ɛ
ɛ
ɝ
Ⱦɚ ɫɟ ɧɚɦɟɪɹɬ ɫɬɨɣɧɨɫɬɢɬɟ ɧɚ ɪɟɚɥɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɴɪ D ɡɚ ɤɨɢɬɨ ɤɨɪɟɧɢɬɟ ɧɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ D [ D[ D ɫɚ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɧɢ ɱɢɫɥɚ Ɋɟɲɟɧɢɟ ɉɪɢ D ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ ɞɨɛɢɜɚ ɜɢɞɚ [ ɢ ɢɦɚ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɟɧ ɤɨɪɟɧ [ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ ɩɪɢ D ɟ ɢɡɩɴɥɧɟɧɨ ɭɫɥɨɜɢɟɬɨ ɜ ɡɚɞɚɱɚɬɚ Ⱥɤɨ D z ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ ɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨ ɢ ɳɟ D ɢɦɚ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɧɢ ɤɨɪɟɧɢ [ ɢ [ ɬɨɱɧɨ ɤɨɝɚɬɨ ' >D D D @ t [ [ ! ɢ D D [ [ ! Ɋɟɲɟɧɢɟɬɨ ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɧɚɬɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɨɬ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɟ D > Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɧɨ ɡɚ D ɫɬɨɣɧɨɫɬɢɬɟ ɧɚ D ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ D > @ Ⱦɚ ɫɟ ɪɟɲɢ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ [ d [ ª · Ɋɟɲɟɧɢɟ ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ ɢɦɚ ɫɦɢɫɴɥ ɩɪɢ [ « f ¸ Ɍɨɝɚɜɚ ɬɨ ɟ ɪɚɜɧɨɫɢɥɧɨ ɫ ¬ ¹ [ [ d [ [ d [ [ d [ ª · ɉɨɫɥɟɞɧɨɬɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢɦɚ ɫɦɢɫɴɥ ɩɪɢ [ t ɢ ɨɬɬɭɤ ɬɴɣ ɤɚɬɨ [ « f ¸ ¬ ¹ ª º ɧɚɦɢɪɚɦɟ [ « » ɜ ɤɨɣɬɨ ɫɥɭɱɚɣ ɬɨ ɟ ɪɚɜɧɨɫɢɥɧɨ ɫ [ [ d [ [ [ t ¬ ¼ ª º Ɋɟɲɟɧɢɹɬɚ ɧɚ ɬɨɜɚ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɫɚ [ f @ > f ɉɪɟɞɜɢɞ [ « » ɪɟɲɟɧɢɹɬɚ ɧɚ ¬ ¼ ª º ɢɡɯɨɞɧɨɬɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɫɚ [ « » ¬ ¼ ɇɚɦɟɪɟɬɟ ɜɫɢɱɤɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ ORJ [ ORJ [ Ɋɟɲɟɧɢɟ ɍɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ ɢɦɚ ɫɦɢɫɴɥ ɩɪɢ [ ! ɢ [ z Ɍɴɣ ɤɚɬɨ ORJ [ ORJ [ ɫɥɟɞ ɩɨɥɚɝɚɧɟɬɨ ORJ [ \ ORJ [ ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ \ \ \ Ʉɨɪɟɧɢɬɟ ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɧɨɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɚ \ ɢ \ \
ɋɟɝɚ ɨɬ ORJ [
&
,
$
D
U
7
ɢ ORJ [
ɧɚɦɢɪɚɦɟ ɪɟɲɟɧɢɹɬɚ [ ɢ [ ȼ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤ $%& ɫ ( %$& q ɟ ɜɩɢɫɚɧɚ
ɨɤɪɴɠɧɨɫɬ ɫ ɪɚɞɢɭɫ U Ⱦɨɤɚɠɟɬɟ ɱɟ ɚɤɨ F ɢ D ɫɚ ɞɴɥɠɢɧɢɬɟ ɫɴɨɬɜɟɬɧɨ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ $% ɢ %& ɧɚ F F ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ $%& ɬɨ F ! ɢ D Ɉɩɪɟɞɟɥɟɬɟ F ɧɚɣ ± ɦɚɥɤɚɬɚ ɜɴɡɦɨɠɧɚ ɫɬɨɣɧɨɫɬ ɧɚ D ɢ ɴɝɥɢɬɟ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ ɩɪɢ ɬɚɡɢ ɫɬɨɣɧɨɫɬ ɧɚ D Ɋɟɲɟɧɢɟ ɂɡɩɨɥɡɭɜɚɦɟ ɨɛɳɨɩɪɢɟɬɢ ɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɡɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ $%& ɉɨ ɫɩɟɰɢɚɥɧɨ $& E (%$& D ($%& E S D E F 6 ɟ ɥɢɰɟɬɨ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ ɢ ɧɟɤɚ , ɟ ɰɟɧɬɴɪɚ ɧɚ ɜɩɢɫɚɧɚɬɚ ɜ ɧɟɝɨ % ɨɤɪɴɠɧɨɫɬ ɤɨɹɬɨ ɫɟ ɞɨɩɢɪɚ ɞɨ ɫɬɪɚɧɚɬɚ $% ɜ ɬɨɱɤɚ 7
ȼ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢɹ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤ
$7
,7 FRW J (7$,
Ɍɚɤɚ F
$%
U
U FRW J q
$7 7% FRW J
ɢ ɨɬɬɭɤ F FRW J
$7, ( $7,
E
E
q ɢɦɚɦɟ (7$,
q ɢ ,7
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɬ + %7, ɧɚɦɢɪɚɦɟ 7% Ɉɬ E q D
q ɬ ɟ
E
U FRW J
U
E
FRW J
q ɢɦɚɦɟ FRW J
ɋɟɝɚ
E
E
! FRW J q
! Ɂɚ ɞɚ ɢɡɪɚɡɢɦ D ɢ E ɧɚɦɢɪɚɦɟ ɞɜɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɦɟɠɞɭ D E F ɢ U ɇɚɣ ± ɧɚɩɪɟɞ ɨɬ ɩɨ±ɝɨɪɟ ɢɦɚɦɟ $7 ɢ ɫɟɝɚ ɨɬ $7 S D E F D ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ E D F Ɉɬ ɞɪɭɝɚ ɫɬɪɚɧɚ EF VLQ D 6 SU ɨɬɤɴɞɟɬɨ ɡɚɩɢɫɜɚɦɟ D E F EF ɋɥɟɞ ɢɡɤɥɸɱɜɚɧɟ ɧɚ E ɨɬ ɢ F F F
ɩɪɟɫɦɹɬɚɦɟ ɢ E ɧɚɦɢɪɚɦɟ D F F F F Ɂɚ ɞɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɧɚɣ ± ɦɚɥɤɚɬɚ ɫɬɨɣɧɨɫɬ ɧɚ D ɢɡɫɥɟɞɜɚɦɟ ɮɭɧɤɰɢɹɬɚ D F
ɩɪɢ F f F ɂɦɚɦɟ F F F F F F Dc F
F F ɤɚɬɨ Dc F
ɩɪɢ F
ɋɟɝɚ Dc F ɩɪɢ F ɢ Dc F ! ɩɪɢ
f ɢ F
F f Ɍɚɤɚ ɮɭɧɤɰɢɹɬɚ D F ɧɚɦɚɥɹɜɚ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɢ ɪɚɫɬɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ f ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ ɧɚɣ ± ɦɚɥɤɚɬɚ ɫɬɨɣɧɨɫɬ ɧɚ D F ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ f ɫɟ ɞɨɫɬɢɝɚ ɩɪɢ
Ɍɨɝɚɜɚ D
E
F ɢ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤ $%& ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɜɚɳ ɭɫɥɨɜɢɟɬɨ ɧɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɟ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧ ɫ ɴɝɥɢ D q E J q Ɉɫɧɨɜɧɢɹɬ ɪɴɛ ɜ ɩɪɚɜɢɥɧɚ ɱɟɬɢɪɢɴɝɴɥɧɚ ɩɢɪɚɦɢɞɚ 0 ɢɦɚ ɞɴɥɠɢɧɚ ɤɨɹɬɨ ɟ ɞɜɚ ɩɴɬɢ ɩɨ ± ɝɨɥɹɦɚ ɨɬ ɞɴɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɜɢɫɨɱɢɧɚɬɚ ɤɴɦ ɨɫɧɨɜɚɬɚ Ⱦɚ ɫɟ ɧɚɦɟɪɢ ɴɝɴɥɴɬ ɦɟɠɞɭ 4 ɞɜɟ ɫɴɫɟɞɧɢ ɨɤɨɥɧɢ ɫɬɟɧɢ ɧɚ ɩɢɪɚɦɢɞɚɬɚ ' Ɋɟɲɟɧɢɟ ɇɟɤɚ ɩɢɪɚɦɢɞɚɬɚ ɟ $%&'0 ɫ ɨɫɧɨɜɚ $%&' & ɢ ɜɪɴɯ 0 ɬɨɱɤɚɬɚ 2 ɟ ɰɟɧɬɴɪɴɬ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɚ $%&' 3 ɟ ɫɪɟɞɚɬɚ ɧɚ $' ɢ $% D $0 O 02 K ɢ 03 E ɫɚ 3 2 ɫɴɨɬɜɟɬɧɨ ɨɫɧɨɜɧɢɹɬ ɪɴɛ ɨɤɨɥɧɢɹɬ ɪɴɛ ɜɢɫɨɱɢɧɚɬɚ ɢ $ % ɚɩɨɬɟɦɚɬɚ ɧɚ ɩɢɪɚɦɢɞɚɬɚ ȼɢɫɨɱɢɧɢɬɟ ɨɬ ɜɴɪɯɨɜɟɬɟ % ɢ ' ɧɚ ɟɞɧɚɤɜɢɬɟ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɰɢ %&0 ɢ '&0 ɢɦɚɬ ɪɚɜɧɢ ɞɴɥɠɢɧɢ ɢ ɩɪɟɫɢɱɚɬ ɩɪɚɜɚɬɚ &0 ɜ ɟɞɧɚ ɢ ɫɴɳɚ ɬɨɱɤɚ 4 Ɍɴɪɫɟɧɢɹɬ ɨɬ ɧɚɫ ɴɝɴɥ ɟ (%4' ɤɨɣɬɨ ɟ ɴɝɴɥɴɬ ɦɟɠɞɭ ɨɤɨɥɧɢɬɟ ɫɬɟɧɢ %&0 ɢ '&0 Ɉɬ ɭɫɥɨɜɢɟɬɨ D
ɢ ɬɴɣ ɤɚɬɨ ɟ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɟɧ ɧɚɦɢɪɚɦɟ ɧɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɢɦɚɦɟ ɱɟ +230 ɟ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧ 23 20 F
D E
ɂɡɪɚɡɹɜɚɣɤɢ ɥɢɰɟɬɨ ɧɚ + %&0 ɩɨ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ɡɚɩɢɫɜɚɦɟ DE § D · ɨɩɪɟɞɟɥɹɦɟ ɱɟ FRV (%4' ¨ ¸ © %4 ¹
O ɋɟɝɚ ɨɬ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ O E
§ D · ¨ ¸ © E ¹
D E ɩɢɬɚɝɨɪɨɜɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɡɚ
§ · ¨ Ɍɚɤɚ FRV (%4' ¨ ¸¸ © ¹ (%4' D ɬɴɪɫɟɧɢɹɬ ɴɝɴɥ ɟ ɪɚɜɟɧ ɧɚ D
O + $30 ɧɚɦɢɪɚɦɟ E
§ D · %4 D ¨ ¸ %4 © %4 ¹ D O O %4 6 %&0 ɨɬɤɴɞɟɬɨ %4 E
Ɉɬ ɤɨɫɢɧɭɫɨɜɚɬɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɩɪɢɥɨɠɟɧɚ ɡɚ + %'4 ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ FRV (%4'
ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ ɬɴɣ ɤɚɬɨ