2009.26.04 Великденско математическо състезание by stoyan bordjukov

Име.....................................................................училище………………………… град………………..

2 зад. Попълни с възможно най-голямото число: 12 > 9 +

11+

<15

<16

3 зад. Велико има 20 боядисани яйца. От тях 7 са червени, 5 са жълти, а останалите са пъстри. Колко са пъстрите яйца? ………………………………………………………………………………………………

5 зад.

6 зад. В двора на училище растат 12 брези и с 5 по-малко борчета. Колко дръвчета растат в двора на училището? ……………………………………………………………………………………………………………

7 зад. Колко е разликата на:

8 зад. Помогни на зайчето да попълни празните кутийки .

9 зад. Открий броя на бижутата в кутиите, ако той е сбор от написаните на кутията числа. Огради тази, в която броят им е най-голям.

10 зад. Извърши действията събиране и изваждане и запиши съответната буква под числата. Ще прочетеш нашето послание за лятото. 3

1 11 1 14

я !

11 зад. Ако попълниш верижката, ще получиш число, което показва колко е дълъг скокът на кенгуруто.

12 зад.

13 8

зад.

5 = 10 8

4 = 15

7=5

8=3

5 = 19

5=5

12 = 17

14 зад.

15 зад. Попълни празните места в квадрата, така че да получиш сбор15 във

a 5 3 2 всички посоки и определи а=

СМБ – Секция”ИЗТОК” BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009 2 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! 1. Пресметнете стойността на израза: 42 – 28:7 + 5 . 10 – 9 . Тя е: а) 7 б) 89 в) 79 г) друг отговор 2. Умаляемото е 6 дм, а умалителят е 35 см. Разликата е: а) 25 см б) 25 дм в) 29 см г) друг отговор 3. Кое НЕ Е вярно? а) 9.2 = 2.7 + 2.2 б) 5. 2 + 2 = 5.4 в) 3.6 = 9.3 – 3.3 г) 3.8 = 4.3 + 3.4 4. Колко двуцифрени числа, в които няма еднакви цифри, могат да се запишат с цифрите 1, 5 и 7? а) 9 б) 10 в) 7 г) друг отговор 5. Осем плюшени мечета струват 40 лева. Колко лева струват 6 такива мечета? а) 5 лв б) 25 лв в) 20 лв г) друг отговор 6. Намерете х, ако (13 + 23) + х = 27 + (100 – 7.5). а) 57 б) 56 в) 65 г) друг отговор 7. Две ябълки и една круша струват 2 лв., а две круши и една ябълка струват 3 лв. Тогава шест круши и шест ябълки струват: а) 6 лв. б) 5 лв. в) 10 лв. г) друг отговор 8. Открийте закономерността в последователността от числа, която започва с числото 35 и е по посока, обратна на движението на часовниковата стрелка. Кое е последното липсващо число? а) 49 б) 63 в) 7 г) друг 56 отговор 9. За Великден баба Фанка решила да събира яйца за внучето си. За една седмица тя събрала 70 яйца. 35 42 Всяка кокошка снася за един ден по едно яйце. Намерете колко петли е имала бабата, ако общият брой на петлите и кокошките, които отглежда тя, е 15. а) 10 б) 5 в) 7 г) друг отговор 10. Кукла, мече и слонче струват общо 41 лева. Куклата и мечето струват 21 лв., а мечето и слончето – 29 лв. Колко струва мечето? а) 20 лв. б) 12 лв. в) 9 лв. г) друг отговор 11. Ширината на правоъгълник е 18 см и е с 5 см по-малка от дължината. С колко сантиметра обиколката на правоъгълника е по-голяма от обиколката на равнобедрен триъгълник с бедро 19 см и основа 32 см? а) 13 см б) 12 см в) 10 см г) друг отговор 12. Румен окопал няколко реда по 8 дръвчета във всеки ред, а Валери – 2 реда по три дръвчета. Румен окопал 4 пъти повече дръвчета от Валери. Колко реда дръвчета окопал Румен? а) 3 б) 4 в) 6 г) друг отговор 13. Майка купила ябълки. По обяд тя взела половината от тях, а Катя взела още една ябълка. Вечерта майката взела половината от останалите ябълки, а Петър взел още две ябълки, след което останали само две ябълки. Колко са били ябьлките? а) 17 б) 24 в) 18 г) друг отговор 14. За едно двуцифрено число е известно, че цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на десетиците. Ако разменим цифрите, се получава число, което е с 36 по-голямо от първоначалното число. Кое е числото? а) 14 б) 25 в) 93 г) друг отговор 15. Деси направила квадрат от кибритени клечки с обиколка 8дм. Колко кибритени клечки употребила Деси, ако дължината на една кибритена клечка е 5см. а) 10 б) 20 в) 16 г) друг отговор

Отговори: 1в; 2а; 3б; 4г) 6; 5г 30; 6б; 7в; 8б; 9б; 10в; 11б; 12а; 13в; 14г 26; 15в; Решения и отговори 1. Пресметнете стойността на израза: 42 – 28:7 + 5.10 – 9 = 42 – 4 + 5.10 – 9 = 38 + 50 – 9 = 88 – 9 = 79

Тя е: а) 7 б) 89 в) 79 г) друг отговор 2. Умаляемото е 6 дм, а умалителят е 35 см. Разликата е: 6 дм = 60 см; 60 см – 35 см = 25 см а) 25 см б) 25 дм в) 29 см г) друг отговор 3. Кое НЕ Е вярно? а) 9.2 = 2.7 + 2.2 б) 5. 2 + 2 = 5.4 в) 3.6 = 9.3 – 3.3 г) 3.8 = 4.3 + 3.4 4. Колко двуцифрени числа, в които няма еднакви цифри, могат да се запишат с цифрите 1, 5 и 7? 1 1 5 7

5 7 15 17 51 57 71 75

а) 9 б) 10 в) 7 г) друг отговор - 6 5. Осем плюшени мечета струват 40 лева. Колко лева струват 6 такива мечета? 40 : 8 = 5 лв. струва едно плюшено мече; 6.5 = 30 лв. струват 6 такива мечета а) 5 лв б) 25 лв в) 20 лв г) друг отговор – 30 лв. 6. Намерете х, ако: (13 + 23) + х = 27 + (100 – 7.5) 36 + х = 27 + 65 36 + х = 92 х = 92 – 36 х = 56 а) 57 б) 56 в) 65 г) друг отговор 7. Две ябълки и една круша струват 2 лв., а две круши и една ябълка струват 3 лв. Тогава шест круши и шест ябълки струват: а) 6 лв. б) 5 лв. в) 10 лв. г) друг отговор 2 я. + 1 к. = 2 лв. 3 я. + 3 к. = 5 лв. , а 6 я. + 6 к. = 10 лв. 2 к. + 1 я. = 3 лв. 8. Открийте закономерността в последователността от числа, която започва с числото 35 и е по посока, обратна на движението на часовниковата стрелка. Кое е последното липсващо число? 56

а) 49 б) 63 в) 7 г) друг отговор 9. За Великден баба Фанка решила да събира яйца за внучето си. За една седмица тя събрала 70 яйца. Всяка кокошка снася за един ден по едно яйце. Намерете колко петли е имала бабата, ако общият брой на петлите и кокошките, които отглежда тя, е 15. 70:7 = 10 яйца за 1 ден, следователно кокошките са 10. 15 І 10 = 5 петли а) 10 б) 5 в) 7 г) друг отговор 10. Кукла, мече и слонче струват общо 41 лева. Куклата и мечето струват 21 лв., а мечето и слончето – 29 лв. Колко струва мечето? 41 – 21 = 20 лв. слончето 41 – 29 = 12 лв. куклата 21 – 12 = 9 лв. мечето а) 20 лв. б) 12 лв. в) 9 лв. г) друг отговор

11. Ширината на правоъгълник е 18 см и е с 5 см по-малка от дължината. С колко сантиметра обиколката на правоъгълника е по-голяма от обиколката на равнобедрен триъгълник с бедро 19 см и основа 32 см? 18 + 5 = 23 см е дължината; Рпр. = (18 + 18) + (23 + 23) = 36 + 46 = 82 см Р тр. = 19 + 19 + 32 = 70 см 82 см – 70 см = 12 см а) 13 см

б) 12 см

в) 10 см

г) друг отговор

12. Румен окопал няколко реда по 8 дръвчета във всеки ред, а Валери – 2 реда по три дръвчета. Румен окопал 4 пъти повече дръвчета от Валери. Колко реда дръвчета окопал Румен? 2.3.4 = 24 дръвчета окопал Румен 24:3 = 3 реда дръвчета окопал Румен а) 3 б) 4 в) 6 г) друг отговор 13. Майка купила 2 кг ябълки. По обяд тя взела половината от тях, а Катя взела още една ябълка. Вечерта майката взела половината от останалите ябълки, а Петър взел още две ябълки, след което останали само две ябълки. Колко са били ябьлките в двата килограма? Разсъждаваме в обратен ред: накрая останали 2 ябълки, към тях прибавяме 2 ябълки, които взел Петър – 2 + 2 = 4. Тези 4 ябълки са половината от останалите до вечерта, т.е. до вечерта имало 4.2 = 8 ябълки. Към тях прибавяме едната ябълка, която взела Катя – 8 + 1 = 9. Тези 9 ябълки са половината от всичките, които купила майката, т.е. в 2 кг има 9.2 = 18 ябълки. а) 17 б) 24 в) 18 г) друг отговор 14. За едно двуцифрено число е известно, че цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на десетиците. Ако разменим цифрите, се получава число, което е с 36 по-голямо от първоначалното число. Кое е числото? Двуцифрените числа, на които цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на десетиците са 13, 26 и 39. От тях само числото 26 изпълнява второто условие на задачата, защото 31 – 13 = 18; 93 – 39 =54, а 62 – 26 = 36 а) 14 б) 25 в) 93 г) друг отговор - 26 15. 8:4=2дм=20см е страната на квадрата. 20:5=4 клечки на страна. 4.4=16 клечки.

СМБ – Секция”ИЗТОК” BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 3 клас, 26.04.2009 Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Зад. 1 Кой от знаците <, >, = трябва да се постави на мястото на кръгчето? 1м.– (2 дм.-5 см.) А) > Б) < В) < или = Г) друг отговор Зад. 2 Колко пъти ще се увеличи обиколката на квадрат ако страната му се увеличи три пъти? А) 12 Б) 3 В) 9 Г) друг отговор Зад. 3 От понеделник до петък Илия правил мартеници. Първия ден направил 5 мартеници, а всеки следващ ден изработвал колкото предишния ден и още 5. Колко мартеници е направил в четвъртък? А) 4 Б) 25 В) 20 Г) друг отговор Зад. 4 Във всяко квадратче на къщичката има скрити по две яйца. Колко са скритите яйца? А) 4 Б) 6 В) 10 Г) друг отговор Зад. 5 Иван се е движил по маршрут А,B, C, а Петър по маршрут C, D, E, F. Кой от двамата е изминал по-голямо разстояние? А) Иван Б) Петър В) равни разстояния Г) друг отговор

Ο 6 дм.+20 см.

……………………………………………………………………………………………………………………............................... Зад. 6 Таня засадила с цветя тъмните участъци, а Мими – светлите. Коя от двете ще използва повече метра тел, за да огради засадените от нея участъци? А) Таня Б) Мими В) не може да се определи Г) друг отговор Зад. 7 Милка сложила по една чаша във всеки ъгъл на правоъгълна маса. След това продължила да нарежда така, че на всяка страна да има по 4 чаши. Колко най-малко чаши е наредила? А) 16 Б) 12 В) 8 Г) друг отговор Зад. 8 Жителите на далечна планета пишат на езика ДУМЦИ. Разгледайте как се превеждат изреченията от български на ДУМЦИ и преведете АЗ СЪМ МАТЕМАТИК. Аз съм ученик. @ Σ θ Той е математик. Ω λ ψ Аз съм умен. @ Σ ω А) @ Σ Ω Б) Ω Σ ψ В) @ Σ ψ Г) друг отговор Зад. 9 Ако Асен си купи 15 вафли ще му останат пари за половин козунак. Той си купил половин козунак и му останали 3лв. Колко струва една вафла? А) 20 ст. Б) 5 ст. В) 30 ст. Г) друг отговор Зад. 10 Колко ще получим ако към най-малкото двуцифрено нечетно число прибавим сбора от цифрите му и получената сума умножим с броя на буквите в думата УСПЕХ? А) 55 Б) 65 В) 50 Г) друг отговор ………………………………………………………………………………………………………………………………………. Зад. 11 Ели има 8 боядисани яйца. Диди има половината от броя на яйцата на Ели. Ваня има толкова яйца, колкото е половината на половината на яйцата на Диди. Колко яйца общо имат трите момичета? А) 14 Б) 24 В) 13 Г) друг отговор о

Зад. 12 Температурата на Стефко когато е здрав е 37 . Когато се разболял от грип първия ден температурата о о му се повишила до 40 . Изпил си лекарствата и тя спаднала до 37 . През втория ден от болестта се повишила до о о 39 и след лечението спаднала отново до 37 . Колко пъти в продължение на тези 2 дена термометърът е о показвал 38 ? А) 5 Б) 3 В) 4 Г) друг отговор Зад. 13 Иво играл любимата си компютърна игра непрекъснато 40 дена. Първият ден е бил 28 февруари 2006г. – вторник. На коя дата и в кой ден от седмицата е играл за последен път? А) събота 08.04.06 Б) вторник 8 април В) петък 07.03.06 Г) друг отговор Зад.14 В 7часа и 15 минути бащата на Борко тръгва на работа. След 42 минути сестра му тръгва за училище. След още 1 час и 18 минути излиза майка му и той остава сам в къщи. В колко часа Борко остава сам? А) 10ч. и 15 мин. Б) 9ч. и 15 мин. В) 9ч. и 22 мин. Г) друг отговор Зад. 15 За 40 мин Тони боядисва 10 яйца. За 30 мин Лора боядисва 6 яйца. Колко яйца ще боядисат двете заедно за 20 минути? А) 16 Б) 8 В) 9 Г) друг отговор

Отговори: Зад. 1 А); Зад. 2 Б); Зад. 3 В); Зад.4 Г) 8 ; Зад.5 А); Зад. 6 Б); Зад. 7 В); Зад. 8 В); Зад. 9 А); Зад. 10 Б); Зад. 11 В); Зад. 12 В); Зад. 13 А); Зад. 14 Б); Зад. 15 В)

Решения на задачите за трети клас Зад.1 Лявата страна е равна на 100 см- (20 см – 5 см)= 100 см – 15 см = 85 см Дясната страна е 60 см + 20 см = 80 см . Верният отговор е 85 см > 80 см. Зад.2 Ако страната на квадрата означим с Х. Обиколката му е 4.Х. Ако увеличим страната му 3 пъти, обиколката му ще стане 4.3.Х = 12.Х. Обиколката се увеличава 3 пъти. Зад.3 Във вторник е изработил 10 мартеници. В сряда е изработил 10 + 5 = 15 мартеници. В четвъртък е изработил 15 + 5 = 20 мартеници. Зад.4 Квадратчетата са четири на брой, т.е. скритите яйца са 8. Зад.5 Иван е изминал АВ + ВС = 3 + 5 = 8. Петър е изминал СД + ДЕ + ЕF = 2 + 1 + 4 = 7. Пътят изминат от Иван е по-дълъг. Зад.6 Таня е използвала 14 метра тел за ограждане на участъците си, а Мими 20 метра. Зад.7 Милка е сложила по 2 чаши в четирите ъгъла на масата. Общо е наредила 8 чаши. Зад.8 Съпоставяйки думите на отделните изречения откриваме как се превежда всяка от думите.Аз-@ съм-∑ ученик-θ той-Ω е-λ математик-ψ умен-ω. Изречението се АЗ СЪМ МАТЕМАТИК се превежда @ ∑ ψ Зад.9 15 вафли струват 3 лева=300 стотинки, т.е една вафла струва 20 стотинки. Зад.10 Най-малкото нечетно двуцифрено число е 11. Към него прибавяме 2 и получаваме 13. Умножаваме го по 5 и получаваме 65. Зад.11 Диди има 4 яйца. Ваня има 1 яйце. Общо яйцата им са 13. Зад.12 Щом се е разболял от 37 градуса температурата му се е увеличила и е станала 40 градуса. При спадането до 37 градуса отново за втори път показва 38 градуса. Вторият ден пак се повишила до 39 градуса и спада до 37 градуса т.е. показва още два пъти 38 градуса. Общо за двата дена термометъра показва 38 градуса общо четири пъти. Зад.13 Месец февруари през 2006 година има 28 дена, защото тя не е високосна година. Месец март - 31 дена. Четиридесетият ден е събота 08.04.2006 година. Зад.14 Сестрата на Борко трагва за училище в 7 часа и 57 минути. Майка му излиза след 1 час и 18 минути т.е. в 9 часа 15 минути и тогава Борко остава сам. Зад.15 За 40 мин. щом боядисва Тони 10 яйца , за 20 мин. ще боядиса 5 яйца. Лора за 30 мин. боядисва 6 яйца, за 10 мин.- 2 яйца, а за 20 мин. -4 яйца. Двамата за 20 минути ще са боядисали 9 яйца.

BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009г. 4 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Зад.1 Стойността на израза: 19259 + 5 . 48 – (714 : 7 + 2569) е a) 16918 б) 16828 в) 17828 г) друг отговор Зад.2 Коя римска цифра трябва да се постави в квадратчето, за да бъде вярно ХХІХ < ХХ a) V б) ІX в) Х г) друг отговор Зад.3 Мая намислила едно число. Намалила го 33 пъти и получила частното на числата 2525 и 25. Намисленото число е: a) 333 б) 363 в) 3333 г) друг отговор Зад.4 Кое число трябва да се постави в празния правоъгълник? 4 9 19 54 79 a) 31 б) 32 в) 33 г) друг отговор Зад.5 Теглото на портокалите съдържащи се в 3 хладилни камери е толкова, колкото теглото на бананите в две. Ако бананите от едната камера тежат 36306 кг, колко тежат портокалите, съдържащи се в една хладилна камера? а) 12102 б) 24204 в) 72612 г) друг отговор Зад.6 Община закупила за училищата 6418 баскетболни топки, които били с 2415 повече от волейболните и с 1814 по-малко от футболните. Колко училища има в общината, ако всяко училище е получило по 811 топки? a) 21 б) 22 в) 23 г) друг отговор Зад.7 В състезание по математика взели участие 28 ученици. Броят на учениците, които се класирали след Петър, бил два пъти по-голям от броя на класиралите се преди него. На кое място е Петър? a) 8 б) 9 в) 10 г) друг отговор Зад.8 Лицето на тъмната фигура (размерите са дадени в см) е: a) 83 кв. см б) 86 кв. см в) 90 кв. см г) друг отговор Зад.9 Автобус изминал определен маршрут от 2592 км за три дни. Първият ден изминал третинка от целия път, втория ден – четвъртинка от останалия. Колко километра е изминал автобусът през третия ден? a) 1296 км б) 1363 км в) 1728 км г) друг отговор Зад.10 Сборът на най-малките четири различни нечетни числа е равен на обиколката на квадрат (в см). На колко е равна обиколката на равностранен триъгълник със страна, равна на страната на квадрата? a) 12 см б) 15 см в) 18 см г) друг отговор Зад.11 Таксиметров паркинг с форма на правоъгълник има размери 9м и 48м. Една трета от него е свободна площ, а останалата част е разпределена на места за паркиране по 6 кв.м. Колко таксита могат едновременно да престояват в паркинга? a) 24 б) 48 в) 72 г) друг отговор Зад.12 В склад доставили 223 л препарати в бидони по 10 л и 17 л. Общо колко бидона са доставили в склада? a) 15 б) 16 в) 17 г) друг отговор Зад.13 Ася и Светла пристигнали на гости у Мирела. Ася пристигнала, когато часовникът показвал 13 часа и 15 минути, а Светла – когато часовникът показвал 13 часа и 32 минути. Оказало се, че Ася е пътувала от къщи до Мирела 58 минути, а Светла е тръгнала от дома си към Мирела с 43 минути по-късно от Ася. За колко време Светла се е придвижила от тях до Мирела? a) 32 мин б) 41 мин в) 43 мин г) друг отговор Зад.14 Колко са триъгълниците на фигурата? a) 14 б) 15 в) 16 г) друг отговор Зад.15 Намерете броя на всички четирицифрени числа, които могат да се напишат с цифрите 1, 3, 5 и 9, ако няма повтарящи се цифри и цифрите 3 и 9 не са една до друга. a) 8 б) 9 в) 10 г) друг отговор

Решения: Отговори: 1б); 2в); 3в); 4г) 34; 5б); 6в); 7в); 8б); 9а); 10а); 11б); 12б); 13а); 14 г) 17; 15г) 12 Зад.1 19259 + 5 . 48 – (714 : 7 + 2569) = = 19259 + 240 – (102 + 2569) = = 19499 – 2671 = 16828 отг. б) Зад.2 отг. в) Зад.3 х : 33 = 2525 : 25 х : 33 = 101 х = 3333 отг. в) Зад.4 Числата в редицата се получават като прибавяме последователно към всеки член числата 5, 10, 15, 20, 25. Следователно числото в правоъгълника трябва да е: 19 + 15 = 34 отг. г) Зад.5 Бананите от двете камери тежат 36306 . 2 = 72612 кг. Тогава портокалите от една камера тежат 72612 : 3 = 24204 кг отг. б) Зад.6 6418 – 2415 = 4003 волейболни топки 6418 + 1814 = 8232 футболни топки 6418 + 4003 + 8232 = 18653 общо топки 18653 : 811= 23 училища отг. в) Зад.7 отг. в) Зад.8 Лицето на големия квадрат е 12 . 12 = 144 кв. см Лицата на неоцветените квадрати са: 4 кв. см; 16 кв. см; Лицата на неоцветените правоъгълници са: 3 кв. см; 35 кв. см; Лицето на оцветената част е 144 – 58 = 86 кв. см отг. б) Зад.9 2592 : 3 = 864 км първия ден (2592 – 864) : 4 = 1728 : 4 = 432 км втория ден 2592 – 864 – 432 = 1296 км третия ден отг. а) Зад.10 Сборът на най-малките четири различни нечетни естествени числа е 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Страната на квадрата е 16 : 4 = 4 см. Следователно обиколката на равностранния триъгълник е 3 . 4 = 12 см отг. а) Зад.11 Размерът на паркинга е 9 . 48 = 432 кв. м Свободната площ е 432 : 3 = 144 кв. м Останала част е 432 – 144 = 288 кв. м Броят на таксита, които могат едновременно да престояват в паркинга 288 : 6 = 48 отг. б) Зад.12 Означаваме броя на бидоните по 10 л с х, а броя на бидоните по 17 л – с у. Тогава 10 . х + 17 . у = 223 Първото събираемо завършва на 0, следователно второто трябва да завършва на 3, защото в дясната страна цифрата на единиците е 3. Оттук следва, че у = 9, 19, 29 … Ако у = 9 10 . х + 17 . 9 = 223 х=7 Общо бидоните са 7 + 9 = 16 Ако у = 19, то 17 . 19 = 323, което е повече от 223. Следователно у = 19, 29, ... не са решения. отг. б) Зад.13 Ася е пътувала от къщи до Мирела 58 минути, т.е. Ася е тръгнала от дома си в 12 часа и 17 минути. Тогава Светла е тръгнала от дома си в 13 часа и се е придвижвала 32 минути. отг. а) Зад.14 отг. г) 17 триъгълника Зад.15 Числата са: 1359 5319 1953 5913 3159 9135 3195 9153 3591 9513 3519 9531 и техния брой е 12

СМБ – Секция”ИЗТОК” BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009 5 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………….. училище…………………………..…….. град/село ………………………... Зад.1. Намерете най-малката десетична дроб, която се намира между 0,2 и 0,3 и има три цифри след десетичната запетая. Разделете я на 3 и от полученото число извадете частното 0,07 : 10. Кое число получихте? а) 0,06; б) 0,6; в)0,59; г) друг отговор. Зад.2. Най-малкото естествено число, което при деление с 2, 3, 4, 5, и 6 дава остатък 1 и се дели на 7 е: а) 210; б) 301; в) 144; г) друг отговор Зад.3. Крачката на жирафа е 0,9 м, а на малкото жирафче е 500 мм. Ако тръгнат от едно и също място, след колко най-малко сантиметра отново ще стъпят на едно и също място? а) 0,45 см б) 4,5 см в) 45 см г) друг отговор Зад.4. Намерете стойността на израза 3.x + x : 3 + 3,3 , ако 3,8.x − 20,5 = 2,3 а) 11,3; б) 23,3; в) 20,3 г) друг отговор Зад. 5. Ако прибавим 3 към половинката от разликата на едно число с 1,4 ще получим същото число. Числото е: а) 2,6; б)3,6; в) 4,6; г) друг отговор Зад.6. Един часовник изостава 10 минути на всеки 24 часа. С колко минути напред трябва да се свери този часовник в 20 часа, за да показва точно време в 8 часа сутринта? а) 5 мин; б) 7 мин.; в) 4 мин.; г) друг отговор Зад. 7. Ако

2a + 5 5 = 2 , то с колко b е по-голямо от a? b−5 a

а) 10; б) 15; в) 5; г) друг отговор Зад. 8. Лицата на три от стените на правоъгълен паралелепипед са съответно 8 кв. см, 24 кв. см и 3 кв. см. Ако размерите му са естествени числа, то обема на паралепипеда е: а) 35 куб. См б) 72 куб. См в) 24 куб. См г) друг отговор Зад.9. Най-малките цели числа а и b отговарящи на условието

4,5 a 5 < < са: 11 b 11

а) 9 и 22; б) 19 и 44; в) 27 и 55; г) друг отговор Зад.10 . Произведението на кои четири последователни естествени числа е 17 160? а) 12, 13, 14 и 15; б) 9, 10, 11 и 12; в) 9, 10, 11 и 12 г) друг отговор Зад.11. Колко числа е възможно да се поставят на мястото на * така, че НОК(16, 50, * )=1200? а) 12; б) 15; в) 13; г) друг отговор Зад.12. Иванчо живее на 1260м от училище и тръгва в 7 ч и 30 мин. През първата половина от пътя изминава по 3м за 2 секунди. След това 4 мин. чака Марийка и другата половина от пътя се движи със скорост 4,2 км в час. В колко часа пристига Иванчо в училище? а) 7ч и 40 мин.; б) 7ч и 45 мин.; в) 7ч. и 50 мин.; г) друг отговор Зад. 13.Фигурата на чертежа е квадрат. Диагоналите на квадрата го разделят на четири триъгълника.Лицето на един от тези триъгълници е равно на най-голямото просто едноцифрено число. Намерете сбора от лицата на всички триъгълници на фигурата. а) 108; б) 84 ; в) 128 ; г) друг отговор Зад.14. В три кошници имало общо 60 яйца. В първата кошница били червени, във втората жълти и в третата зелени. Цвети взела 6 червени , 8 жълти и 4 зелени яйца, след което в трите кошници останали по равен брой яйца. Колко са били жълтите яйца? а) 22; б) 18; в) 14; г) друг отговор Зад.15. В един месец понеделниците били повече от вторниците, а неделите – повече от съботите. Какъв ден от седмицата е петият от този месец? а) понеделник; б) сряда; в) петък; г) друг отговор

Отговори и решения: 1 А)

2 Б)

3 Г) 450

4 Б)

5 В)

6 A)

7 B)

8 В)

9 Б)

10 Г) 10,11,12 И 13

11 Б)

12 В)

13 Б

14 А)

15 Г) чет.

1. Между 0,2 и 0,3 е 0,201 0,201:3=0,067 0,067-0,07:10=0,067-0,007=0,06 2. НОД(2, 3, 4, 5, 6) =60 60+1=61 120+1=121 180+1=181, 240+1=241 60.5 + 1= 301 първото число което се дели на 7 е 301 3. НОД(90,50) = 450см 4. 3,8.х-20,5=2,3 3,8.х=22,8 х=6 3.6+6:3+3,3= 23,3 x − 1,4 = x x = 4,6 5.Израза е: 3 + 2 10 10 6. За 1час изостава с мин. 20ч. – 8ч. = 12часа .12=5 мин. 24 24 2a + 5 2a + 5 7. Дясната част представяме като неправилна дроб. = Числителите са равни, следователно b−5 a знаменателите са равни. Следва, че b = a+5 8. 1.3 = 3, 1.8 = 8, 3.8 = 24 V = 1.3.8 = 24 куб.см 9. Разширяваме дробите до общ знаменател 44. Възможния отговор за а = 19 10. 17160 = 2.2.2.3.5.11.13 2.5=10, 2.2.3=12 Отг. 10, 11, 12 и 13 11. Разлагаме числата 16 и 50 на прости множители. Възможните стойности на третото число, което да удовлетворява изискването НОК(16, 50,*) са 3; 6; 12; 15; 24; 30; 48; 60; 75; 120; 150; 300; 600 и 1200. 12. (630:3).2 = 420 секунди, 420:60 = 7 минути, 4,2 км/час = 70 м/мин. 630 : 70 = 9 минути 7+ 4 + 9 = 20 минути. Отг.750часа 13.Лицето на малкия триъгълник е равно на 7. В квадрата има 4 такива триъгълника и още 4 триъгълника, равни на половината от квадрата( с лице равно на 14). Следователно търсеният отговор е 4.7+4.14=28+56=84. жълти - х+8 зелени - х+4 14. червени - х+6 3х+18=60 х=14 14+8=22 жълти 15. Четвъртък. Автори: Маргарита Цанова, Бисерка Петкова, Блага Маркова

BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26. 04.2009 6 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор . “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат . 15 тестови задачи са разделени на групи по трудности : от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки ; от 6 до 10- с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех !

1. Стойността на израза -12 : (6 . 5) + (15 : (-3)) . (-2) е: А) 9,6 Б) -9,6 В) 10,4 Г) друг отговор 2. Лицето на трапеца АВСД ( АВ СД) е 14см2. През върха С е построена отсечката СМ  АД (М е от АВ), АВ = 1 дм, ДС = 40 мм. Лицето на ∆ МВС е : ` А) 6 дм2 Б) 0,12 дм2 В) 0, 6 дм2 Г) друг отговор 3. За именния си ден Велико очаквал да му дойдат на гости Калин, Явор и Митко. Майка му приготвила толкова сок, че всяко дете (включително и Велико) можело да изпие по две чаши. Но дошли непредвидени гости и станало така, че за всяко дете имало само по половин чаша сок. Колко са били непредвидените гости на Велико ? А) 8 Б) 12 В) 15 Г) друг отговор 4. Дадени са точките А(-2;-2), В(1;5) и С(-2;3) спрямо координатна система с единична отсечка 1 см. Лицето на триъгълника АВС е: А) 7,5 кв. см Б) 15 кв. см В) 11 кв. см Г) друг отговор 5. На Великден Ани, Ванеса, Ема и Ива отишли в парка да се разхождат, като всяка от тях насила по едно яйце в син, червен, зелен и жълт цвят. Известно е, че Ани не е носила нито синьо, нито жълто яйце. Ема е носила или синьо, или жълто яйце; Ива не е носила нито червено , нито жълто яйце; синьо яйце е носила или Ема или Ани. Ани е носила: А) синьо яйце Б) червено В) зелено Г) друг отговор 6. Правилна пирамида има лице на околна повърхнина 144 см2 и лице на една околна стена 18 см2. Броят на ръбовете на пирамидата е: А) 8 Б) 9 В) 12 Г) друг отговор 7. Дължината на правоъгълник е намалена с 10 %, а широчината му е увеличена с 10 %. Колко процента от лицето на стария правоъгълник е лицето на новия правоъгълник ? А) 90 % Б) 100% В) 99 % Г) друг отговор 8. Цената на автобусен билет Русе – София е 22 лева. Студентите ползват 30 % отстъпка. Цената на билета е увеличена с 10 %. След увеличението студенският билет струва : А) 15,40 Б) 16,94 В) 24,20 Г) друг отговор

64 −2.(−125) 3 е: − 10 2.(−25) 4 .(−4) −8 4 4 Б) В) Г) друг отговор 5 25

9. Стойността на израза А)

−

4 5

10. За правоъгълникът MNPC e е известно, че NP=MQ=6;BP=x+2; QN= x; AM=y; AC=2y. Лицето на ∆АВС е: А) 8 Б) 10 В) 16 Г) друг отговор 11. Последната цифра на сбора 252009 + 362009 + 492009 е : А) 1 Б) 2 В) 0 Г) друг отговор 12. Лицето на защрихованата част на фигурата DEC (т. Е е среда на дъгата ЕС) е : А) 16 - π Б) 16 - 2 π В) 10 - 2 π Г) друг отговор 13. По случай Великден домакинът на футболен отбор е решил да подари по едно шарено яйце на футболистите, но имал съд, в който могат да се варят едновременно до 5 яйца. Като се знае, че яйце се сварява в кипяща вода за 4 минути, за колко най-малко минути домакинът ще свари 11 яйца? А) 12 Б) 10 В) 9 Г) друг отговор 14. На всеки 12 минути автобус тръгва от спирката, която е пред дома на Петър, към училището и се движи със средна скорост 25 км/ч. Една сутрин Петър излязъл на спирката точно когато автобусът е потеглил. Той тръгнал (по същия път) към училището пеша със скорост 5 км/ч и пристигнал на спирката пред училището едновременно със следващия автобус. Колко километра е разстоянието от дома на Петър до училището му ? А) 1,010 км Б) 1,250 км В) 6 км Г) друг отговор 15. За Великден баба Марина е боядисала 36 яйца по 6 яйца в 6 различни цвята: сини(с), червен(ч) , зелен (з), жълт (ж), лилав (л) и оранжев (о). Боядисаните яйца Ани подредила в кутия, като във всеки ред, стълб и диагонал има по едно яйце от всеки цвят. След няколко дни са останали няколко яйца , както е показано на таблицата (буквите означават цветовете). В клетка № 12 яйцето е било боядисано в : А) лилав цвят Б) жълт цвят В) зелен цвят Г) друг отговор

ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ –26. 04. 2009г. ОТГОВОРИ и Решения - 6клас Отговори: 1а; 2г (0,06дм2); 3б; 4а; 5б;6г-(16);7в;8б;9б;10а;11в;12г( 10- π ) ;13в ;14б; 15г(червено) Кратки решения: Зад.1. Изразът -12 : (6 . 5) + (15 : (-3)) . (-2) = -12 : 30 + (-5) . (-2)= -0,4 + 10=9,6 Зад.2. 0,5(АВ+СД).h=SАВСД ⇒ 0,5.(1+0,4). h=0,14 дм2 ⇒ h=0,2 дм. SМВС= 0,5.0,6.0,2 = 0,06 кв. дм. Зад.3 Приготвените чаши сок са 8, Наличният сок по половин чаша , ще се разпредели в 16 чаши. Следователно всички деца са 16 , а непредвидените 12.

АС = 5 , Височината към нея ВН = 3 , SАВС= 0,5 АС . ВН = 0,5.5.3 = 7,5кв.см

Зад.4.

Зад.5. отг. червено Зад.6. n-ъгълната пирамида има х околни стени ⇒ n.18 = 144 , n = 144:18 = 6, 6-ъгълната пирамида има 12 ръба (6 основни и 6 околни ръба) Зад.7. Нека дадения правоъгълник има дължина а и ширина – в. След направените промени Новият правоъгълник има дължина а1=

90 110 .а и ширина в1 = в . .. 100 100

90 а 110 в 99 Тогава новия правоъгълник ще има лице S 1 = а 1 .в 1 = 100 . 100 . = 100 а .в = 99 % S

Зад..8. След увеличението автобусния билет е

70 .24,20 = 16,94 лв . 100 3 64 −2.(− 125)

Зад.9.

− 10 2.(− 25) .(− 4 ) 4

−8

110 .22 = 24,20 лв , а студенският билет ще е с цена 100

125 3.4 8 5 9.216 22 4 = = = 5 5 10 2.25 4.64 2 2 2.5 2 58.212

Зад.10. СВ = 6+х - (х+2) = 4 см. у + 2у = 6 , у =2 , АС = 4. S∆АВС = 0,5.АС.СВ= 0,5.4.4 = 8 Зад.11. Цифрата на единиците на 252009 е 5, на 362009 е 6, а на 492009 е 9. Следователно цифрата на единиците на сбора им е 0 (5+6+9= 20). Зад.12. SАВCD= 8 . 4 = 32, а на полукръга SВСЕ=0,5.22. π =2 π . Следователно лицето на фигурата ABECD e SABECD= SАВCD - SВСE = 32 - 2 π . Нека т. F е средата на АD, тогава SFECD=

1 1 SABECD = (32 - 2 π ) = 16 - π . S∆DFE = 0.5 . DF . FE = 0.5.2.6 = 6. Лицето на 2 2

защрихованата част е SDEC = SFECD - S∆DFE = (16 - π ) – 6 = 10 - π . Зад.13. Отг: 9 мин. Нека да номерираме яйцата от 1 до 11 , както и съответните минути. Най-кратко време се получава , чрез подходяща смяна на яйцата, през всяка от минутите. Ето един от вариантите: През първите 4 мин. ще свари 5те яйца. През 5та мин. ще вари яйцата с № 6,7,8,9,10, през 6та мин- № 6,7,8,9,11; през 7та мин.- № 6,7,8,10,11; през 8та мин- № 6,7,9,10,11 и през 9та мин - № 8,9,10,11 Зад.14. За 12 мин = 0.2 ч, Петър измина SAC = 0.2.5 = 1 км. Когато автобуса тръгва 0,2.5 от А за В, то тогава Петър тръгва от С за В. Нека след х часа автобуса и Петър C 5x пристигат в В. Тогава SCB = 5.x, a SAB=25 .x,. SAB = SAC + SCB, A 25.x = 5.x + 1 ⇒ x =

1 1 5 h ⇒ S AB = 25. = км. = 1,250км 20 20 4

Зад.15. Цвета на яйцето определяме в тази клетка , където по ред и стълб има 5 от буквите с, ч, з, ж, л, о. Нека да номерираме клетките. Ето и първите попълнени клетки: 17-ж;18-л;29-ч;22-л;8-ж;11-з;5-с;23-о;20-с;25-л;19-ж;24-3 и т.н.

25x

ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 7 КЛАС, 26.04.2009 Времето за работа е 120 минути. Тестът съдържа 40 задачи. Задачите са два вида: с избираем отговор от четири възможности, от които само един е верен, и с кратък свободен отговор. Максималният брой точки от двете части е 80. Всяка от следващите 30 задачи има само по един верен отговор. Върху бланката за отговори отбележете cъс знака Х само този, който според Вас е верен. За грешен или непопълнен отговор, както и за посочени повече от един отговор на една задача, точки не се дават и не се отнемат. Ако прецените, че първоначалният Ви отговор не е верен, запълнете с химикалката съответния правоъгълник и зачертайте със знака Х буквата на друг отговор, който приемате за верен. Верният отговор на всяка задача от 1 до 15 включително се оценява с 1 точка. Верният отговор на всяка задача от 16 до 30 включително се оценява с 2 точки. Задачите от 31 до 40 нямат посочен отговор. Отговорът, който приемате за верен, попълнете в листа за отговори в празния правоъгълник срещу номера на съответната задача. Ако се налага да го поправите го зачертайте и до него напишете верния. Верният отговор на всяка задача от 31 до 40 включително се оценява с 3точки

1  − 0,3  : 4 е равна на: 2 

1. Стойността на израза  А) 0,5

Б) 0,05

В) 0,4

Г) 0,3.

2. Единият от два съседни ъгли е равен на 25% от другия ъгъл. На колко градуса е равен по-големият ъгъл? А)1200

Б)1350

В)1440

Г) 1500

3. Сборът на корените на уравнението 2 х + 1 =3 е: А) 1

Б) 4

4. Ако х+у – 5 =0, А) 0

В) 3

то 5 х – х2 – 2 ху – у2 +5у е равно на: Б) 5 В) 25

5. 0,01% от 1600 лв са: А) 0,16 лв. Б) 16 лв. 6. Ако А) 4;

Г) – 1 Г) – 5

В) 1,60 лв.

Г) 160 лв.

В) 10

Г) 20

х 5 = , то 40% от х е: 4 2 Б) 6

7. Броят на целите числа х, за които е изпълнено 1 ≤ х ≤ 5 е: А) 8;

Б) 9

125 (− 6 ) е: − 36 2.25 4 3

8. Стойността на израза А) 6

Б) 5

В) 10

Г) 11

В) 25

Г) 36

9. На права са разположени точките А, В, С и D в посочения ред. Ако АС=6см, BD =8см и АD =10см, на колко е равна отсечката BC? А) 3см Б) 2см В) 4см Г) 5см 10. Ъглите на един триъгълник са в отношение 1:2:3. Най-големият външен ъгъл на триъгълника е: Б) 1500 В) 135о Г) 120о А) 30о 11.Триъгълник има страна 8см и височина към нея 6см и друга страна 6см. На колко е равна дължината на височината към нея? А) 4см Б) 8см В) 5см Г) 4,8см 12. Том може сам да боядиса ограда за 4 часа, а Джери – за 6 часа. За колко часа заедно ще боядисат оградата? А) 4ч. Б) 2ч. 24мин. В) 5ч Г) 3ч 13. Автомобил се движи със скорост 120 км/ч. За колко секунди ще измине 120 метра?

А) 36

Б) 0,36

В) 1

Г) 3,6

14. Сборът на два от ъглите, образувани при пресичането на две прави, е 210о. Тогава мярката на разликата на два съседни ъгъла от получените ъгли е: А) 30о Б) 450 В) 20о Г) 35о 15. Средното аритметично на четири последователни четни естествени числа е 19. Най – голямото от тях е: А) 22 Б) 20 В)24 Г)21 α

16. На чертежа правата с пресича правите а и b. При каква стойност на α правите а и b са успоредни?: А) 40о Б) 38о В) 36о Г) 40о 17. Греда с кръгло напречно сечение тежи 300 кг. Колко ще тежи двойно подебела греда, но наполвина по-къса от първата? А) 300 кг Б) 150 кг В) 600 кг Г) 450 кг 18. Сега е 13 часа. Колко ще бъде часът след 579 часа? А) 13 Б) 18 В) 16 Г) 17 19. Да се пресметне стойността на израза 35m+49n, ако А)

56 3

Б) 18,25

144o

15m + 21n = 2: 4

В)19

Г) 17

20. За триъгълник АВС ⊇А=400 и ⊇В =300. Намерете мярката на ⊇AHВ, където H e пресечната точка на продълженията на височините построени през върховете А и В. А) 700 Б) 800 В) 750 Г) 850 21. Мерките на два съседни ъгъла се отнасят както 1:5. Разликата между двата ъгъла в градуси е равна на: А) 108о Б) 150о В) 1200 Г) 135о 22. Една призма има 18 върха. Колко ръба има призмата? А) 27 Б) 18 В) 24

Г) 36

23. Разложете на множители израза х2 – 3х +2: А) (х –1)(х+2) Б) (х+2)(х – 2 ) В) (х –1)(х – 2 )

Г) (х+1)(х+2)

24. Пресметнете стойността на израза

1999 − 5997 + 2 . 1998.1997

А) 1

В) 3

Б) 2

Г) 0

25. Колко пъти за едно денонощие минутната и часовата стрелка сключват ъгъл 100? А) 24 Б) 36 В) 48 Г) 36 26. На двора на училището строяват група ученици в редици. Когато се строяват в редици по 4, по 5, или по 6 ученика Иванчо все оставал сам в последната редица. Чак при строяване по 7 всички редици били пълни. При колко най-малко ученици тази ситуация е възможна? А) 121 Б) 601 В) 301 Г) 181 27. В магазин има 25 касетки домати от 3 различни сорта. Кое от посочените твърдения е винаги вярно: А) има поне 9 касетки от един и същ сорт Б) има точно 9 касетки от един и същ сорт В) има поне 10 касетки от един и същ сорт Г) има най-много 9 касетки от един и същ сорт 28. На чертежа ∆АВС е правоъгълен с ∡АСВ=90о, ∡CАВ=600, AL е ъглополовяща на ∡CАВ и CH⊥АL. Ако AH=3,6 cм намерете LH. А) 1 см Б) 1,2 см В) 1,5 см

Г) 1,8 см

8 − 20093 е равна на: 4022 + 2009 2

29. Числената стойност на израза А) –2009

Б) 2007

В) –2007

Г) –2008

30. Страната на квадрата АВСD е 2 см. Построени са два кръга с центрове съответно А и D и с радиуси по 2 см. Намерете лицето на общата част на двата кръга (затъмнената част). А) 2 π − 1

Б) 2π − 4

В) 2 π + 1

Г) 3 π − 1

31. За ъглите А и В на триъгълника АВС е изпълнено равенството ∢ А = 900+ ∢ В. Построени са вътрешната ъглополовяща СL и външната СМ (L ∈ странатаAB; M ∈ праватаAB ) . Намерете лицето на триъгълника CML, ако СL =10см. 32. В уравнението 2(kx–3)=3kx параметърът k e цяло число. За колко на брой стойности на параметъра, коренът на уравнението е естествено число? 33. В триъгълник АВС с ∢ АСВ=120 0 симетралите на страните АС и ВС пресичат АВ съответно в точките Е и Р. На колко градуса е равен ∢ ЕСР? 34. Представете в нормален вид произведението (у2+2у+2)(у2–2у+2). 35. Иво отива на училище за 30 мин. а сестра му за 60 мин. Една сутрин Иво тръгнал 10 минути след сестра си. Каква част от пътя е изминал Иво, когато настигнал сестра си? 36. Три приятелки Русева, Чернева и Рижева се срещнали. Чернокосата казала: „Вярно е, че едната от нас е рижа, втората е руса, а третата е чернокоса, но името на всяка от нас не съвпада със цвета на косата и”. „Да, права си” – потвърдила Русева. Какъв е цвета на косата на Рижева? 37. Разложете на множители многочлена: х4 + 4

38. В триъгълник АВС ∡А=3ψ, а ∡В=2ψ. Точка О е вътрешна за триъгълника, така че ∡ОАВ=∡ОВА=ψ. Намерете ∡СОВ, ако ∡АСВ=1050. 39. Решете уравнението х2 +(х – 1)2 +(х – 2)2 = 12 +22 +32 40. Вън от триъгълника АВС са построени равнобедрените триъгълници BCD (BC=CD), ACE (AC=CE), като ∡BCD=∡ACE. Ако AD пресича BE в точката O и ∡AOB=140о, намерете ∡CBD.

Име: ………………...………………………………………...........……................. Училище: ……………………………………… гр./с.: …………………..

Въпрос N

Отг.

Въпрос N

Отг.

Въпрос N

Отг.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Бр. верни отговори:………….x 1 точка Бр. верни отговори …………х 3точки

ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:...............................

Бр .верни отговори……….х 2точки

ПРОВЕРИЛ : ……………………………….

ВЕРНИ ОТГОВОРИ Име: ………………...………………………………………...........……................. Училище: ……………………………………… гр./с.: …………………..

Въпрос Отг. Отг. Отг. Отг. N А Б В Г 1

Въпрос N 16

Отг. Отг. Отг. Отг. А

Въпрос N

Отг.

60о y4+4

1/3

черна

(x2+2x+2)( x22x+2)

135o

−1 и 3

70о

Бр. верни отговори:………….x 1 точка Бр. верни отговори …………х 3точки

ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:...............................

Бр .верни отговори……….х 2точки

ПРОВЕРИЛ : ……………………………….

Отговори: 1-Б 2-В 3-Г 4 –А 5-А 6 – А 7 – В 8 – Б 9 – В 10 – Б 11 – Б 12 – Б 13 – Г 14 – А 15 – А 16 – В 17 – В 18 – В 19-А 20-А 21 – В 22 –А 23 – В 24 – А 25- В 26- В 27 – А 28 – Б 29 – В 30 – Б

BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009 8 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор . “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат . 15 тестови задачи са разделени на групи по трудности : от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки ; от 6 до 10- с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех !

1зад. Стойността на израза а) 33

(

) (

 4 2 − 2 3  6 2 + 3 3 −  

б) 24

)

48 − 75 + 12 3 е равна на:

в) 27

г) друг отговор

1 1 2зад. Да се реши уравнението x + = 3 (х ≠ 0). x 3 1 1 а) 2 и б) 3 и в) 2 и 3 2 3

г) друг отговор

3зад. Върху страната AB на ∆ABC е избрана точка M, така че AM:MB=3:5. Да се изрази векторът CM чрез векторите a = CA и b = CB .

3 5 5 3 5 3 a+ b б) a − b в) a + b г) друг отговор 8 8 8 8 8 8 4зад. Колко корена има уравнението 3 x 2 − 9 x + 6 = x 2 − 3 x + 2 ( x − 4 ) ?

а)

(

)

а) 1 б) 2 в) 3 г) друг отговор 5зад. Триъгълникът ABC с ∠B = 30° и ∠C = 70° е вписан в окръжност. Намерете ъглите на ∆A1 B1C1 , чийто върхове са пресечни точки на ъглополовящите на ∆ABC с окръжността. а) 80°,30°,70° б) 50°,55°,75° в) 100°,30°,50° г) друг отговор 6зад. Да се намери сумата на всички решения на уравнението x 2 − 3 x + 1 = 1 . а) 1 б) 3 в) 5 г) друг отговор 7зад. Нека P и Q са произволни точки съответно върху основите AB и CD на трапеца ABCD. Ако S ∆ABQ = 23 кв.см и S ∆CDP = 18 кв.см. намерете лицето на трапеца. а)46 кв.см б) 41 кв.см. в) 43 кв.см.

г) друг отговор

8зад. Колко са двуцифрените числа ab , за които сумата на числата ab и ba е квадрат на цяло число? а) 3 б) 5 в) 8 г) друг отговор 9зад. Да се пресметне стойността на израза

a 2b + ab 2 a+b , ако = 5. 3 3 a +b a−b

а) 2 б) 4 в) 6 г) друг отговор 10зад. В успоредника ABCD точката P е среда на страната AD , а Q е пресечна точка на BP и AC. Ако S APQ = 5 см, намерете лицето на успоредника ABCD . а) 20 кв.см б) 30 кв.см. в) 40 кв.см. г) друг отговор 2 11зад. Да се определят числата a , b и c така, че равенството x − 3 x + 2 a + (3 x − 1)(bx + c ) = 1 да е изпълнено за всяка стойност на x.

(

а)

9 3 4 , − , 10 10 5

б)

7 3 3 , , 10 5 10

в)

3 7 3 , , 5 10 10

)

г) друг отговор

12зад. В четириъгълника MNPQ страните MN и NP са равни, а ∠MNP = ∠MQP = 90° . Намерете лицето на четириъгълника, ако разстоянието от върха N до страната MQ е равно на 3 см. а) 6 кв см б) 8 кв см в) 9 кв.см г) друг отговор 13зад. Да се пресметне стойността на дробта

a + 2b , ако 6a 2 + 6b 2 = 13ab и 0 < a < b . a − 2b

а) − 2 б) 3 в) 1 г) друг отговор 14зад. Мерките на ъглите A , B и C на ∆ABC се отнасят както 5:3:2. Медианата AD към страната BC пресича ъглополовящата CE в т.F. Какво е съотношението на отсечките AE и FE ? а) AE>FE б) AE<FE в) AE=2.FE г) друг отговор 15зад. . Да се намери най-малката цяла стойност на m , при която уравнението x 2 + 3(1 − 2m )x − 12m + 2 = 0 има корени, по-големи от − 10 . а) 2 б) − 3 в) − 1 г) друг отговор

Отговори: 1 в; 2 б; 3 в; 4 в; 5 б; 6 г 0; 7 б ; 8в; 9 г 15 в. Решения: 1 зад. 4 2 −2 3 6 2 +3 3 −

(

)(

(

) (

)

6 ; 10 г 60 кв.см.; 11 а; 12 в; 13 а; 14 г AE=FE; 7

)

48 − 75 + 12 3 = 24.2 − 12 6 + 12 6 − 6.3 −

− 4 3 − 5 3 + 2 3 3 = 48 − 18 − 3 = 27 2 зад. Уравнението се преобразува в квадратно уравнение 3 x 2 − 10 x + 3 = 0 с решения 3 и

( )

1 . 3

3 3 3 5 AB CM = CA + AM = a + b − a = b + a 8 8 8 8 4 зад. 3 x 2 − 9 x + 6 = x 2 − 3 x + 2 ( x − 4 ) ⇒ 3 x 2 − 3 x + 2 − x 2 − 3 x + 2 ( x − 4 ) = 0

3 зад. AM =

(

)

(

)

(

⇒ x 2 − 3 x + 2 (3 − x + 4 ) = 0 от x 2 − 3 x + 2 = 0

) (

)

x1 = 2, x2 = 1 от 7 − x = 0 ⇒ x3 = 7 . 5 зад Всеки ъгъл на ∆A1B1C1 е равен на сбора от половинките на два ъгъла от ∆ABC . 6 зад Могат да се намерят корените като се използва понятието абсолютна стойност.Ако вземем 2 2 предвид обаче, че (− x0 ) − 3 − x0 + 1 = x0 − 3 x0 + 1 следва, че всички корени на уравнението могат да се разделят на двойки противоположни числа, така че сумата на всички корени е равна на 0. AB.h CD.h 7 зад. Ако h е височината на трапеца S ABQ = SCDP = 2 2 AB + CD S ABCD = .h = S ABQ + SCDP = 23 + 18 = 41 кв.см 2 8 зад. . ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11(a + b ) 1 ≤ a + b ≤ 18 11(a + b ) е квадрат, когато a + b = 1 ⇒ числата са 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 и 93. 2 a   a 2 a  3 2 3 3 a a b  2 +    +   + +1 b b b b 2 2 6 a 2b + ab 2 a+b a 3  b 9 зад От =5⇒ = 5 ⇒ = . Тогава = = = = 3 3 3 3 3 a a−b b 2 a + b   7 a a 3     3 −1 b  3 + 1 +1 +1     b b 2 b  10 зад. Ако O = AC ∩ BD , в ∆ABD BP и AO са медиани ⇒ точката Q е медицентър в ∆ABD и го дели на шест равнолицеви ∆ , един от които е ∆APQ = 6.5 = 30 кв.см. ⇒ S ABCD = 2.30 = 60 кв.см 11 зад. Ако равенството е изпълнено за всяка стойност на х, при x = 0 2a − c = 0 (1),при x = 1 2(b + c ) = 1 (2) и при x = 2 5(2b + c ) = 1 (3). След решаване на системата (1), (2) и (3) получаваме 9 3 4 a= , b=− , c= . 10 10 5 12 зад. Ако S е пета на перпендикуляра от N към MQ ( NS е разстоянието от върха N до страната MQ ), а K е пета на перпендикуляра от N към страната PQ, K ∈ PQ ). ∆SMN ≅ ∆KPN (MN = PN ) ∠NSM = ∠NKP = 90° ∠SNM = ∠KNP ( взаимно ⊥ рамене) ⇒ SN = NK ⇒ S MNPQ = S MQKN + S KNP =

= S MQKN + S SMN = S SQKN = 32 = 9 кв.см.

13 зад. 6a 2 + 6b 2 = 13ab ⇒ 6a 2 + 6b 2 − 9ab − 4ab = 0 ⇒ 6a 2 − 9ab + 6b 2 − 4ab = 0 ⇒ (2a − 3b )(3a − 2b ) = 0 (1) от 0 < a < b ⇒ 2a < 3b ⇒ 2a − 3b < 0 (2), от (1) и (2) ⇒ 3a − 2b = 0 ⇒ 2b = 3a a + 2b a + 3a 4a = = = −2 . a _ 2b a − 3a − 2a 14 зад. От ∠A : ∠B : ∠C = 5 : 3 : 2 ⇒ ∠A = 90°, ∠B = 54°, ∠C = 36° . AD е медиана ⇒ ∆ADC равнобедрен ⇒ ∠ACD = ∠CAD = 36° и от ∆ABD - равнобедрен ⇒ ∠DAB = ∠ABD = 54° . CE ъглополовяща на ∠ACB ⇒ ∠ACF = 18° ⇒ ∠AFE = 18° + 36° = 54° ⇒ ∠AFE = ∠FAE ⇒ AE = FE . − 3(1 − 2m ) ± 9(1 − 2m ) + 48m − 8 − 3 + 6m ± (6m + 1) − 3 + 6m ± (6m + 1) 15 зад. x1, 2 = = = x1 = 6m − 1 2 2 2 3 x2 = −2 . Но − 2 > −10 ⇒ 6m − 1 > −10 ⇒ 6m > −9 ⇒ m > − . Най-малкото цяло решение е − 1 . 2 2

BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26. 04.2009 9 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор . “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат . 15 тестови задачи са разделени на групи по трудности : от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки ; от 6 до 10- с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех !

1. Изразът ( x + 1)( x + 2 )( x − 1)( x − 2) е тъждествен на : а) х 4 − 1 ;

б) х 4 − 5 х 2 + 4 ;

2. Корените на уравнението

в) 2 х 4 − 5 х 2 − 4 ;

г) друг отговор.

x 9 2 са: + 2 = x − 3 x − 9 x + 18 x − 6

а) 5 и 3; б) 3; в) 5; г) друг отговор. 3. Трапец е вписан и описан във и около окръжност. Ако едно от бедрата му е 10, а основите се отнасят както 2:3, то голямата основа е : а) 6; б) 10; в) 12; г) друг отговор. 4. В ∆АВС точка G е медицентър, а М, К и Р са среди на отсечките AG, BG и CG. Ако периметърът на MKР е 8, то периметърът на ABC е: а) 16; б) 12; в) 24; г) друг отговор. 5. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC. Точка B е среда на дъгата AC, а дъгите AD и DC се отнасят, както 1:2. Острият ъгъл между диагоналите AC и BD е: а) 450; б) 600; в) 750; г) 800. 6. Стойностите на х, за които изразът

1 + х−3

2− х е дефиниран са: х − 4х + 4 2

а) х ≠ 2;3 ; б) х < 2 ; в) х ≤ 2 ; г) х ≥ 2 . 2 2 2 7. Нека а ≠ 0 , х1 и х2 са корени на х − 8 х + 2а = 0 , стойността на х1 + х 2 е: 4 64 а) ; б) 64; в) 2 − 4а 2 ; г) друг отговор. а а 8. Корените на уравнението (x 2 − 81) 2 − x = 0 са: а) ±9 и 2; б) 9 и 2; в) – 9 и 2; г) друг отговор. 9. В четириъгълника ABCD точките M, N, P и Q са среди на страните AB, BC, CD и DA. Ако MN = 2, МQ = 5 и АC ⊥ BD , то лицето на ABCD е: а) 10; б) 15; в) 40; г) друг отговор. 10. А, Б, В, Г са четири града, като всеки е свързан с останалите с директен път. Временно директният път между А и Г е затворен. Броят на различните маршрути от А до Г, като през всеки град се минава не повече от един път, по време на ремонта е: а) 2; б) 3; в) 4; г) 8. 11. Реалните числа x и y са решения на системата

а)

7 + 33 2

б) 7 − 33 ;

;

х+ у=7 3 3 , стойността на х у + ху е: ху = 4

в) 33 33 ;

г) друг отговор.

1 4n − 9 + 2 приема цели стойности е: n − 1 n + 3n − 4 а) 3; б) 4; в) безброй много; г) няма такива. 13. В ∆АВС точка М е среда на ВС, а К и Р са от АВ и АР = РК = КВ. Ако лицето на КРМ е S, то лицето на ∆АВС е: а) 4S; б) 6S; в) 8S; г) друг отговор. 14. Броят на диагоналите на изпъкнал 2009-ъгълник е: а) 2009; б) 2009.1003; в) 2009.2008; г) друг отговор. 2 15. Ако х1 и х2 са корени на уравнението x + 2 x − 7 = 0 , то стойността на израза 2011 2010 2009 2011 2010 2009 x1 + 2 x1 − 7 x1 + x 2 + 2 x2 − 7 x 2 е:

12. Броят на целите стойности на n, за които

(

а) − 1 ± 8

)

2009

;

(

б) − 1 + 8

)

2009

(

+ −1− 8

)

2009

;

в) 2009;

г) друг отговор.

Отговори и упътвания 9 клас : 1б); 2в); 3в); 4а); 5в); 6б); 7г) 64-4а; 8в); 9г) 20; 10в); 11г); 164; 12а); 13б); 14б); 15г) 0 Зад 2: Корени са 5 и 3, но само 5 е от дефиниционната област. Зад 3: От свойството на вписан и на описан трапец ⇒ трапеца е равнобедрен и сборът на основите ( 2х и 3х) е равен на сбора от бедрата. 2х + 3х = 20 ⇒ х = 4 ⇒ голямата основа е 12. Зад 4: ∆ABC ~ ∆MNP с коефициент 1:2. Зад 7: От формулите на Виет и от преобразуванието ⇒ x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = 64 − 4a . 2

Зад 8: От очевидните корени ± 9 и 2, числото 9 не е от дефиниционната област. Зад 9: MN и QP са средни отсечки в ABC и ADC ⇒ MN и QP са успоредни и равни на половината от AC ⇒ MNPQ е успоредник и AC = 2MN = 4. Аналогично BD = 2QM = 10. AC.BO AC.DO AC ( BO + DO) AC.BD ⇒ S ABCD = S ABC + S ADC = + = = = 20. 2 2 2 2

[

]

Зад. 11: x 3 y + xy 3 = xy (x 2 + y 2 ) = xy ( x + y ) − 2 xy = 4.(49 − 8) = 164 . 2

1 4n − 9 5 = + 2 ⇒ (n + 4) трябва де е целочислен n − 1 n + 3n − 4 n + 4 делител на 5 ⇒ (n + 4) ∈ {− 5;−1;1;5} ⇒ n ∈ {− 9;−5;−3;1}, но n ≠ 1 ⇒ n ∈ {− 9;−5;−3} .

Зад 12: След преобразувания получаваме

Зад

13:

S KBM = S PKM = S

(обща

S ABC : S PBC = AB : BP = 3 : 2 ⇒ S ABC

височина). Аналогично 3 3 = S PBC = .4 S = 6 S . 2 2

получаваме

S PCM = S PMB = 2 S

Зад 14: Нека разгледаме всички отсечки с краища n точки в общо положение. Първия край избираме по n(n − 1) n различни начина, а втория по n – 1 (от останалите точки) ⇒ общия брой отсечки е от тях 2 n(n − 3) изваждаме n отсечки (страни) и за диагоналите остават . 2 2011

Зад 15: Преобразуваме изразът x1

(

)

(

+ 2 x12010 − 7 x12009 + x 22011 + 2 x 22010 − 7 x 22009 =

)

= x12009 x12 + 2 x1 − 7 + x 22009 x 22 + 2 x 2 − 7 = x12009 .0 + x 22009 .0 = 0

Великденско математическо състезание - 26.04.2009г. 10 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки, от 6 до 10 с по 5 точки и от 11 до 15 с по 7 точки.. Организаторите Ви пожелават успех !

1−1 + 2 −2

1 зад. Стойността на израза

а)

1 4

2 зад. Частното на

2: 3 2

а)

в) 6 2 2 cos (180 + α ) tg ( 90 + α )

б)

а) 1

sin ( 90 − α ) cot g (180 − α )

б) -1

4 зад. В ∆АВС 10

г) друг отговор

е:

3 зад. Стойността на израза

а)

е:

−2

−1 −2 2   + 5 ( −4 ) + ( 0, 5 ) 3 1 1 б) в) − 6 10

г) друг отговор . е:

в) tgα

г) друг отговор

в) 5 2

г) друг отговор.

α : β : γ = 1: 3 : 8. Ако АВ = 10 см , страната АС е : б) 10 2

6 3

5 зад. Ако страните на триъгълник са 5, 16 и 19, то триъгълникът е : а) правоъгълен б) тъпоъгълен в) остроъгълен г) друг отговор 6 зад. Дадени са числата а= log 5 3 , b= log 2 0, 7 , c= log 6 11 . Кое неравенство е вярно : а) a<b<c

в) b<a<c 2 x − 8 x + 16 1 − ( ) x ) ≥ 0 са: 7 зад. Решенията на неравенството ( ( x + 5 )( x − 3)

а)

б) b<c<a

( −5,1] ∪ ( 3, +∞ )

б)

( −∞, −5] ∪ [1,3]

в)

г) друг отговор

( −∞,5) ∪ [1,3)

г) друг отговор.

8 зад. Катетите на правоьгьлен ∆АВС (∠C=90 ) са 3 см и 4 см. СН и СL (H, L∈AB) са съответно височина и ъглополовяща през върха С. Дължината на отсечката НL е : 37 а) б) 2 в) 1 2 г) друг отговор 35 35 sin 60 е: 9 зад. Стойността на израза 3sin15 sin 75 − 2 sin 15 − cos 2 165 7 а) − 1 б) в) 3 − 2 3 г) друг отговор. 4 4 4 10 зад. Ако 18х2у и 10ху са точни квадрати, където х и у са естествени числа, то най-малката възможна стойност на х+у е : а) 16 б) 36 в) 34 г) друг отговор. 11 зад. Стойността на

( 49

а) 598

log7 5

+8log2

б) 45 3 − 2

12 зад. Корените на уравнението

) (5.log

(

33 9 −3log4 8

)

е:

в) 3 8 2 − 2 0 0 3

)

г) друг отговор.

5 − x 3x −7,2x+3,9 −9 3 = 0 са : 2

1 5

1 б) 1 , 5, 7 в) , 5 г) друг отговор. 5 5 13 зад. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението ( a − 1) 32 x − ( 2a − 1) 3x − 1 = 0 има два

а)

различни реални корена : а) (1, +∞ )

б)  − ∞ , − 3    

2 

в)  − ∞ , −  

3  2 

г) друг отговор.

14 зад. Точката I е център на вписаната в ∆АВС окръжност. Ако АI=15, ВI= 5 7 , АВ=25, то АС и ВС са съответно: а) 16, 21 б) 23, 36 в) 23, 21 г) друг отговор 15 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи 16 и 4, в който може да се впише окръжност. Радиусът на описаната около трапеца окръжност е : а) 5 4 1 б) 2 41 в) 4 г) друг отговор. 2

10 клас 1а); 2в); 3б); 4а); 5б); 6в); 7г) ( −∞, −5 ) ∪ [1,3) ∪ {4} ; 8в); 9б); 10г) 7; 11а); 12в); 13б); 14в); 15г) ОТГОВОРИ: Решения: 1 зад.

41 4

2 зад

5 1 = = 4 = 9 5 − +4 5 4 4 4 1+

1−1 + 2 −2 −2

−1 −2 2   + 5 ( −4 ) + ( 0, 5 ) 3

1 4

23 6 2: 2 = 2 : 2 = 2 = 2 2 3

3 зад.

cos (180 + α ) tg ( 90 + α )

sin ( 90 − α ) cot g (180 − α )

− cos α ( − cot gα ) = −1 cos α ( − cot gα )

4 зад.

α : β : γ = 1: 3 : 8. α = k , β = 3k , γ = 8k k+3k+8k=180º k=15º α = 15 , β = 45 , γ = 120

5 зад. 52+162=25+256=281<192=321

10 AC = sin120 sin 45 10 AC = 3 2 2 2 10 6 AC = 3 6 зад. а= log 5 3 , b= log 2 0, 7 , c= log 6 11 .

0 < log 5 3 < 1 log 2 0, 7 < 0 log 6 11 > 1 b<a<c

7 зад.

− 8 x + 16 ) (1 − x )

≥0

( x + 5)( x − 3) 2 ( x − 4 ) ( x − 1) ≤ 0 ( x + 5)( x − 3) ( −∞, −5) ∪ [1,3) ∪ {4} 8 зад. АВ=5, АL=

15 7

, BL=

20 9 15 9 75 − 63 12 , AH= , HL= AL-AH= − = = 7 5 7 5 35 35

9 зад. 3 3 s in 6 0 3 3 2 2 3 s in 1 5 s in 7 5 − = 2 s in 1 5 c o s 1 5 + = s in 3 0 + = s in 2 1 5 − c o s 2 1 6 5 2 c o s 2 1 5 − s in 2 1 5 2 cos 30 3 1 = + 2 2

3 2 = 3 +1= 7 4 4 3 2

10 зад. Щом 18х2у е точен квадрат следва, че 2у е точен корен. Н.м у=2. Тогава 10х2 е точен квадрат за н.м х=5. Следователно х+у =7

11 зад.

( 49

log7 5

log2 3

(

= 25 + 3 12 зад.

(

) (5.log

)(

3 9 −3 3

log4 8

) = (7

2log7 5

)

3log2 3

)

3 log2 2   5 2 5.3. log3 3−3 = 3  

25 − 3 = 625 − 27 = 598

)

5− x 3x −7,2x+3,9 −9 3 = 0 ДМ х≤5

(3 3

x 2 − 7,2 x + 3,9

)

−9 3 = 0

5 2

x − 7, 2 x + 3,9 = 2,5 2

х =5 или 10 x 2 − 72 x + 14 = 0

5 x 2 − 36 x + 7 = 0 D = 324 − 35 = 289 1 x1 = , x2 = 7 ∉ DM 5 Зад.13 Полагаме 3х= u и пол. ( a − 1) u 2 − ( 2a − 1) u − 1 = 0 . Това уравн. трябва да има 2 полож. корена, т.е. да се реши

a −1 ≠ 0 системата

D>0 u1 + u 2 > 0 u1u 2 > 0

Зад 14.

9 31 откъдето cos α = . Ако доп.т на вп окр до АВ, ВС, АС са 2 10 50 27 23 съответно M, N, P, намираме AM=AP= , BM=BN= ( от правоъгълни триъгълници AMI и BMI). Озн. 2 2 19 CP=CN=x , прилагаме кос.т. за ∆АBС и намираме х= . Тогава АС=23, ВС=21 2 От косинусова теорема за ∆ABI cos

Зад.15 От описан четр. следва АД=ВС=10. Ако СМ е височина, от △ ВМС се намира МВ = 6 и СМ=8 sin β =

△ АМС – АМ=10, АС= 2 41 . Прилагаме синусова теорема за △ АВС и намираме AC = 2R sin β R=

2 AC 5 41 = sin β 4

4 и от 5

СМБ – Секция”ИЗТОК” ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009 г. 11 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка зад. от 1 до 15 има само един верен отговор. „Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите са разделени на групи по трудности: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 – с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех !

Име…………………………………………………училище..……………………….……….град…………. 1 зад. Един търговец купил 50 кг ябълки за 80 лв. и още 30 кг ябълки за 55,20 лв. Колко струва средно 1 кг ябълки? А) 1,67 лв. Б) 1,69 лв. В) 1,70 лв. Г) друг отговор 2 зад. За една аритметична прогресия е известно, че a100 : a80 = −1 . Един от членовете на прогресията е равен на нула. Кой е номерът му? А) 20 Б) 90 В) 180 Г) друг отговор 3 зад. За равнобедрения ∆ABC от чертежа е известно, че ∠BAC=30o. Ако BM ⊥ BC и BM има дължина 3 см, то AC има дължина: А) 9 см Б) 6 см В) 3 см Г) друг отговор 12 4 зад. Ако sin α = и α ∈ (90 ;180 ) , то cotgα е равен на: 13 А) − 5

Б) 5 12

A M

В) − 5 Г) друг отговор 13

5 зад. В декартова координатна система Oxy е дадена точката A(1;0). Ако за точките B и C е известно, че ∠AOB =

2π 4π и ∠AOC = − , то най-малката неотрицателна стойност на ∠COB е равна на: 3 3 Б) 2π / 3 В) π / 3 Г) друг отговор

А) 2π 6 зад. Колко петцифрени числа с различни цифри могат да се запишат с четните цифри? А) 5! Б) 5!−4! В) C55 Г) друг отговор 7 зад. Единичната окръжност от чертежа се използва, за да се докаже, че: Б) cos(180 + α ) = sin α А) sin(90 + α ) = − cos α В) sin(270 − α ) = − cos α Г) cos(α − 90 ) = sin α 8 зад. Кое от числата НЕ може да бъде вероятност на някакво събитие?

3 Б) sin 2009 + 1 В) 2 − 2 Г) sin 2009 − 1 2 9 зад. Ако α ∈ (30 ;120 ) , то стойностите на sin α са в интервала:   1    А)  1 ; 2  Б)  1 ; 3  В)  ;1 Г) друг отговор 2 2  2 2  2       А)

10 зад. Ако за ъглите α , β и γ на един триъгълник е вярно, че sin γ = cos α .sin β , то: А) α = 900

Б) β = 900

В) γ = 900

Г) друг отговор

11 зад. Да се намери най-големия елемент на редицата с общ член an = 2009 + 39n − 2n 2 . А) 2009 Б) 2199 В) 10 Г) друг отговор 12 зад. Ако медианата на извадката 8; 10; 15; 3; 23; 3; 24; 8; 10; Х е равна на 9, то стойността на Х е: А) 8,5 Б) 9 В) 10 Г) друг отговор 13 зад. Три ненулеви числа образуват аритметична прогресия, а техните квадрати в същия ред образуват геометрична прогресия. Частното и е равно на: А) 2 или 3 Б) -1 или 1 В) 1 или 3 ± 2 2 Г) друг отговор 14 зад. Катетите на правоъгълен триъгълник се отнасят както 1:4. Тангенсът на острия ъгъл между медианите към тях е равен на: А) 6/17 Б) 2/9 В) 7/8 Г) друг отговор 15 зад. Средната височина на двадесетте ученици в един клас била 1,70 м. Дошъл нов ученик и средната височина станала 1,71 м. Колко е висок новият ученик? А) 1,71 м Б) 1,80 м В) 1,85 м Г) друг отговор

Отговори: 1б; 2б; 3а; 4а; 5г 0; 6б; 7в; 8г; 9в; 10б; 11б; 12г Х≤8; 13в; 14а; 15г) 1,91 1 Б

2 Б

3 А

4 А

5 Г; 0

6 Б

7 В

8 Г

9 В

10 Б

11 Б

12 Г;

13 В

14 А

15 Г; 1,91

ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009г. 12 клас Времето за решаване е 120 минути. Организаторите Ви пожелават успех! ПЪРВА ЧАСТ Всяка задача има само един верен. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите се оценяват с по 2 точки: (x − 1)(3 − x ) ≥ 0 , е равен 1зад. Броят на различните цели числа, които са решенията на неравенството x( x − 4 ) на: а) 1; б) 2; в) 3; г) друг отговор 1 1 1 2зад. Стойността на израза + + ...... + е равна на: 1+ 2 2+ 3 2008 + 2009 а) 1 б) 1 − 2009 в) – 1 г) друг отговор 2007 2008 10 +1 10 +1 и B = 2009 , то: 3зад. Ако A = 2008 10 +1 10 +1 а) A < B б) A = B в) A > B г) не могат да се сравнят 2 4зад. Решенията на неравенството x − 5 x < 6 са: б) [− 1;6]

а) (− 1;2) ∪ (3;6)

x y + xy = 20 2

5зад. За системата а) 1

в) [− 3;5] ∪ [6;8]

г) друг отговор

x 3 + y 3 = 65 б) 4

стойността на xy е:

в) 3 г) друг отговор x+2 3x + 1 5 6зад. Ако x1 < x 2 са корените на уравнението + = , то x1 − x 2 е равно на: 3x + 1 x+2 2 5 2 9 а) − б) − 7 в) − 6 г) друг отговор 11 11 11 7зад. Ако в правоъгълен триъгълник медиана с дължина m дели правия ъгъл в отношение 1:2, то лицето на триъгълника е равно на: m2 3 а) 2m 2 б) в) m 2 3 г) друг отговор 2 8зад. Ако за ∆ABC < BAC = 105 0 , < ABC = 45 0 и височината към ВС е равна на 3 см, то дължината на страната АВ е равна на: а) 6 2 б) 6 3 в) 3 2 г) друг отговор 2 9зад. В ∆ABC точката M е средата на страната AB , точката N е средата на CM , CP = CA ( P ∈ AC ) 5 1 и CQ = CB ( Q ∈ BC ). Ако лицето на ∆CPN е 12 см2, то лицето на ∆ BQN е равно на: 3 а) 10 cm2 б) 20 cm2 в) 30 cm2 г) друг отговор 10зад. Ако за ∆АВС ( CA = CB = 1 ) AL, BE и CF са ъглополовящи и точките Е, F, L и С лежат на една окръжност, то дължината на страната АВ е равна на: а) 0,5 17 − 1 б) 17 − 1 в) 0,5 17 + 1 г) друг отговор α 1 11зад. Ако tg = , то стойността на израза sin 4 α − cos 4 α е равна на: 2 2 3 1 7 а) б) − в) − г) друг отговор 5 5 25 12зад. Ако < BAD = 60 0 в успоредника ABCD и окръжността с радиус R, минаваща през върховете A, B и D разполовява страната CD, то лицето на успоредника е равно на: R2 3 2 2 а) R б) 2 R 3 в) г) друг отговор 2

(

)

(

)

ВТОРА ЧАСТ Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се напише. Задачите се оценяват с по 3 точки:

13зад. Да се намерят всички цели стойности на параметъра k , за които уравнението

1 2 kx − 10 x + 2k = 0 2

има за корен естествено число. Отговор: ……………………. 14зад. Решете уравнението 3 log 8 ( x + 1) = 8 + 3 log x +1 8 Отговор: ……………………….. ТРЕТА ЧАСТ На следващите три задачи трябва да се опише подробно решението. Задачите се оценяват с по 10 точки: x2 9 x 3 15зад. а) Дадено е, че + 2 = k . Да се намерят стойностите на k , за които − = 0 . 4 x 2 x 2 x 18  x 3 б) Да се реши уравнението + 2 = 7 −  2 x 2 x 16зад. Ъглите α , β , χ на ∆АВС, взети в този ред, образуват аритметична прогресия. Да се намерят 3 3 + 1. 2 17зад. В ∆АВС точка М е среда на страната АВ, точките P и Q лежат на страната ВС и са такива, че BP = PQ = QC и < PMQ =< AMQ + < BMP . а) Да се докаже, че BC = 3 AC MP б) Ако четириъгълникът AMQC е вписан в окръжност, да се намери отношението . MQ

ъглите на триъгълника, ако cos α + tgβ + sin χ =

Отговори и кратки решения Първа част: 1зад.

2зад. г 2009 − 1

3зад.

4зад.

5зад.

6зад.

7зад.

8зад.

9зад.

10зад.

11зад.

12зад. г R

Втора част:

10 ± 100 − 4k 2 за k k ∈ [− 5;0) ∪ (0;5] (тогава D е неотрицателна).След непосредствена проверка се получава, че при k = 5, x = 2; k = 4, x1 = 1, x 2 = 4; k = 3, x = 6 Отговор: 3; 4; 5 14зад. ДС: x ≠ 0; x > −1 . След полагане y = log 8 ( x + 1) получаваме уравнението 3 y 2 − 8 y − 3 = 0 , което 1 има корени y1 = − ; y 2 = 3 . След решаване на двете основни логаритмични уравнения получаваме 3 1 1 x1 = − ; x 2 = 511 Отговор: x1 = − ; x 2 = 511 2 2 Трета част: 13зад. Ако k = 0 , то x = 0 , но то не е естествено число. Нека k ≠ 0 . Тогава x1, 2 =

x2 9  x 3 15зад. а)  −  = 0 , тогава + 2 − 3 = 0 , от където k = 3 4 x 2 x x 3 б) Полагаме − = y , при x ≠ 0 . Повдигаме двете страни на квадрат и след няколко преобразования 2 x 1  x 2 18  получаваме y 2 + 3 =  + 2  , след което стигаме до уравнението 2 y 2 − 7 y + 6 = 0 , за което 2 2 x  3 3 3 ± 33 ; y 2 = 2 . При y = корените на даденото уравнение са , а при y = 2 са 2 ± 10 2 2 2 16зад. От това, че α , β , χ образуват аритметична прогресия следва, че y1 =

180 0 − β ⇒ β = 60 0 . Тогава α = 60 0 − x , а χ = 60 0 + x . Получаваме 2 2 3 3 3 cos 60 0 − x + tg 60 0 + sin 60 0 + x = + 1 ; 2 sin x + 45 0 cos 15 0 = +1 2 2 2 2 cos15 0 = 3 + 1 ; sin x + 45 0 = 3 + 1 = sin 75 0 ; x + 45 0 = 75 0 ; 4 4 x = 30 0 ; α = 30 0 ; χ = 90 0 .

β=

(

α+χ

)

(

)

(

)

(

)

17зад. a) Тъй като ∢PMQ + ∢AMQ + ∢BMP = 1800 , то ∢PMQ = 900 . Нека CN = NB. Тогава MN||AC, MN = ½AC. Но MN = ½QP ( ∢PMQ = 900 , QN=NP) и AC=PQ, BC=3AC. б) Понеже AMQС e висан в окръжност, C Q то ∢CAM = ∢MQP = ∢QMN = α . N Тогава < MNB = 2α (външен за ∆MNQ). Тъй като P MN е средна отсечка в ∆АВС, то MNIIAC . След. B A < ACB = 2α . M Означаваме < ABC = β ⇒ β = 180 0 − 3α . От BC = 3 AC и синусовата теорема за ∆АВС намираме, че sin α = 3sin β , т.е.

sin α = 3sin(180 − 3α ) = 3sin 3α , sin α = 3sin α (4 cos 2 α − 1) , от където cos 2 α =

sin α =

1 1 , . Тогава cos α = 3 3

2 MP sin α . От правоъгълния триъгълник MPQ получаваме = = 2. MQ cos α 3 ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ 26 АПРИЛ 2009г.

Трите имена ……………………………………………………………… Училище …………………………………………………………… клас ……………… Град (село)…………………………………………………. Общ брой точки от Първа част: ……………….. Общ брой точки от Втора част: ……………………. Общ брой точки от Трета част: ……………………. Краен брой точки: ………… ПЪРВА ЧАСТ: 1зад.

2зад.

3зад.

4зад.

5зад.

ВТОРА ЧАСТ: 13зад. Отговор: …………………….. 14зад. Отговор: …………………….. ТРЕТА ЧАСТ:

6зад.

7зад.

8зад.

9зад.

10зад. 11зад. 12зад.