Тест за входно ниво За студентите от I-ви курс на ФМИ на СУ „Св. Кл. Охридски” Време за решаване на теста – 120 минути
В теста са включени задачи от два типа: с избираем отговор и с отворен отговор. При задачите с избираем отговор са дадени по четири възможни отговора, от които само един е верен. Трябва да заградите с кръгче верния според Вас отговор. При задачите с отворен отговор запишете на оставеното място само отговора, който сте получили.
Относно графиките, използвани в теста: точка отбелязана с плътно кръгче • е от графиката (например точката А от чертежа вдясно)
B -2 -1
точка, отбелязана с незапълнено кръгче не е от графиката (например точката B от чертежа вдясно).
1
2
A
Трябва преди началото на теста да попълните следните анкетни данни:
Анкетни данни Име . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Факултетен номер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Специалност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Какъв е бил вида на училището Ви (МГ, СОУ, ЕГ, ПГ ...) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . В училище сте изучавали математика А) само задължителна подготовка; Б) профилирана подготовка. С каква оценка сте приети във ФМИ? А) с оценка от приемен изпит; оценката е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б) с оценка от матура, оценката от матурата е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Желаем Ви успех
1
1. Кое от посочените числа е ирационално? а) 196 ; б) 19, 6 ; в) 1,96 ;
г) 3, (14 ) .
2. Подредете по големина числата: a = 4 2 + 2 7 , b = 4 2 и c = 2 8 + 26 . а) a < b < c ;
б) b < a < c ;
в) c < b < a ;
г) b < c < a .
3. Най-малкото числово множество, на което принадлежат корените на уравнението 9 x 2 − 4 = 0 е множеството на: а) естествените числа; б) целите числа; в) рационалните числа; г) реалните числа. 4. Ако 1 = 1 + 1 , то х е равно на: x a b а)
(
)
2
a+ b ;
( б)
a+ b
)
ab
2
;
в) a + b ;
г)
(
ab a+ b
)
2
.
5 5. Изразът log 2 3 2 е равен на: (−7)
5log 2 3 ; 2 log 2 7
а) 5 log 2 3 ; 2 7
б)
в) 5log 2 3 − 2 log 2 7 ;
г) не е дефиниран.
6. Кое от равенствата НЕ Е вярно при a < 0 ? a)
4
a 4 = −a ;
б) − 3 a = 6 a 2 ;
в)
7. Корените на уравнението 3 x 2 = 15 x са: а) 5; б) 0; в) 0 и 5;
a2 = | a | ;
г)
5
a5 = | a | .
г) 12.
8. Сборът от корените на уравнението x − 9 = 10 е: а) –1; б) 18; в) 19; г) 20. 9. Корените на уравнението 2 x + 7 = x + 2 са: а) –3; б) 1; в) 1 и –3; г) –1 и 3. 10. Корените на уравнението 4 x − 2 x − 6 = 0 са: а) –1 и log 3 2 ; б) log 2 3 ; в) log 3 2 ;
г) log 2 3 и –1.
2
11. Решението на неравенството а) x ∈ ( −∞; −3] ∪ {−2} ∪ [1; +∞ ) ;
( x + 2)2 ( x − 1) ≥ 0 е: x+3 б) x ∈ [1; +∞ ) ;
в) x ∈ ( −∞; −3) ∪ [1; +∞ ) ;
г) x ∈ ( −∞; −3) ∪ {−2} ∪ [1; +∞ ) .
12. Множеството от решенията на неравенството а) [−1;15] ;
б) (−∞;15] ;
x + 1 ≤ 2 е: г) [15; +∞) .
в) [0;15] ; | x − 1|> 2 е: x 2 ≤ 16
13. Множеството от решения на системата а) [−4; −3) ∪ (1; 4]
4
б) (−∞; −4] ;
г) [−4; −1) ∪ (3; 4] .
в) (3; 4] ;
14. Решенията на неравенството log 1 x ≥ −3 са: 2
б) (−∞;8] ;
а) (0;8] ;
в) (0;1) ∪ (1;8)
г) (0;log 2 3] .
15. Най-малката стойност на функцията f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 5 в затворения интервал
[ −2; 0] е: а) –1;
б) –3;
в) 5;
г) 29.
y
16. На чертежа е представена графиката на функцията: а) y = x 2 + x − 6 ;
б) y = − x 2 − x + 6 ;
в) y = − x 2 + x + 6 ;
г) y = x 2 − x − 6 .
2
–3
x
17. Графиката на функцията y = 5 + 4 x − x 2 е: а)
б)
y –1
в)
y
г)
y
5 x
y 1 x
–5 –5
1 x
–1
18. На чертежа е представена единична окръжност. Стойността на tg x е равна на: а) − 3 ; б) − 4 ; 4 3 4 3 в) ; г) − . 5 5
5 x –0,75 0,8
x –0,6
1
3
19. Множеството от стойности на функцията y = 5 − 3cos x е интервалът: а) [2,8] ;
б) [ −1;1] ;
в) [5;8] ;
г) [0;2] .
20. Стойностите на функцията y = ( sin x − cos x ) са в интервала: 2
а) [ −2; 2] ;
б) [ 0; 2] ;
в) [ 0;1] ;
г) [ 0; 4] .
21. Решенията на уравнението cos 2 x = − 3 е: 2 Отг. .......................................................................................... 22. Решението на неравенството sin x > − 1 е: 2 2 Отг. .......................................................................................... 23. Ако an = 2(n + 1) − 3.(−1)n , то сборът на a7 и a8 е равен на: а) 13;
б) 19;
в) 28;
г) 34.
24. Коя от редиците НЕ Е монотонна?
()
n
а) an = −3n + 1 ;
б) an = − 2 ; 3
в) an = 1 − n 2 ;
г) an = (−1) n n + 1 . n
25. Сумата на безкрайната геометрична прогресия 3 − 3 + 3 − 3 + ⋯ е равна на: 2 4 8 2 6 а) ; б) ; в) 2; г) 6. 3 5 26. Графиката на функцията y = 1 x − 1 е: 2 а)
б)
y 1
–2 O –1
2 x
в)
y 1
–2 O –1
2 x
г)
y 1
–2 O –1
2 x
y 1
–2
O 2 x –1
4
y
27. Дадената на чертежа права l е графика на функцията: а) y = 3 x ; б) y = 6 x + 15 ; г) y = 6 x + 3 . в) y = 6 x − 3 ; 5 5
l 3
–2,5 O
x
28. На кой от чертежите е изобразена графиката на нечетна функция?
а)
б)
y
O
x
в)
y
O
x
г)
y
O
y
x
x
O
29. Кои от начертаните криви представляват графика на функция?
1)
а) 1 и 4;
2)
б) 3 и 5
3)
в) 2, 3 и 4;
4)
5)
г) 2, 3 и 5.
На чертежа е изобразена графиката на функцията y = f ( x ) . Използвайте го при следващите двe задачи. 30. Функцията f ( x ) е дефинирана в множеството 2 1 Отг. ............................................................................. 31. Множеството от стойностите на функцията f ( x ) е:
–2 –1 –1 –2 –3
1 2 3 4 5
Отг. ............................................................................. 32. На чертежа е изобразена графиката на y = f ( x) , дефинирана в интервала [−2, 5] . Колко са решенията на уравнението f ( x) = −1 ? а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.
2 1 –3 –2 –1 –1 –2 –3
1 2 3 4 5
4 3 2
33. На чертежа e представена графиката на функцията y = 2− x . Колко решения има уравнението 2− x = 2 − x ? а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.
1 –3 –2 –1
1 2 3 5
34. На чертежа е изобразена графиката на y = f ( x) , дефинирана в интервала [ −2; 2] . Решенията на неравенството f ( x) ≤ 0 са:
–2
–1
2
1
Отг.................................. На чертежите са изобразени графиките на четири елементарни функции. Използвайте ги при следващите три задачи. 4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
2 1 1
-1
2
3
-3
-2
1
-1
-1
2
3
1
-1
2
3
4 -3
-1
-1
-2
-3
2
3
-1
-2
2
1
1
-1
3
4
35. Номера на чертежа, на който е изобразена графиката на функцията y = 2 x е: . . . . . . . 36. Номера на чертежа, на който е изобразена графиката на функцията y = 3 x е: . . . . . . 37. Номера на чертежа, на който е изобразена графиката на функцията y = log 2 x е: . . . .
x −3 e: 2 x log 2 ( x + 2) 3
38. Множеството от допустимите стойности на израза а) ( 3; +∞ ) ;
б) ( −2; −1) ∪ ( −1; +∞ ) ;
в) [ −2;3) ∪ ( 3; +∞ ) ;
г) ( −2; +∞ ) .
39. Ако AC : CD = 3 : 2 и AC : DB = 1: 2 , то отношението AC : CB е равно на: б) 3 :10 ; в) 3 : 8 ; г) 1: 2 . а) 3 : 5 ;
C
A
D
B
C
40. На чертежа AP : PC = 2 : 3 и PQ || AB. Ако AB = 15 cm, то дължината на PQ е: а) 6 cm;
б) 9 cm;
в) 10 cm;
г) 21,5 cm.
P
Q
A
41. Ако ABCD е успоредник, то е изпълнено: а) BD = AB + AD ; б) BD = AD − AB ; в) BD = AB − AD ; г) BD = AB + CD .
B
C
D
A
B
6
42. Ако М е средата на страната ВС на успоредника ABCD, то е изпълнено: а) AM = 1 AB + AD ; б) AM = AB − 1 AD ; 2 2 1 1 в) AM = AB + AD ; г) AM = AB + AD . 2 2
(
)
43. Ако М е средата на страната CD на успоредника ABCD, то е изпълнено: а) BP = 2 BA + 1 BC ; б) BP = 1 BA + 2 BC ; 3 3 3 3 1 1 1 в) BP = BA + BC ; г) BP = BA + BC . 2 4 2
M B
A
D
M P
C
B
A
44. Две окръжности с радиуси 3 cm и 12 cm се допират външно, както е показано на чертежа. Дължината на общата им външна допирателна АВ е: а) 12 cm; в) 18 cm;
C
D
A B
б) 153 cm; г) 3 102 cm.
45. Равнината λ пресича равнините α и β съответно в прави a и b. Кое от следните твърдения е вярно? а) Ако a и b съвпадат, то α и β съвпадат. б) Ако a и b са успоредни, то α и β са успоредни. в) Ако α и β са успоредни, то a и b са успоредни. г) Ако a и b имат обща точка М, то трите равнини α , β и γ имат обща права. 46. Даден е тетраедър ABCD, за който AD ⊥ ABC и ABD ⊥ BCD . Кое от следните твърдения НЕ Е вярно? D а) BC ⊥ ABD . б) ∢ ( ABC ; BCD ) = ∢ABD . в) ∢ ( ABD; ACD ) = ∢BAC . г) ∢ ( ABC ; BCD ) = ∢ACD .
A
C B
7
47. На фигурата са изобразени графиките на функциите f ( x ) и g ( x ) . Кое от следните твърдения НЕ Е вярно?
y
а) f ( x ) < g ( x ) при x ∈ (1; 4 ) .
2
б) g ( x ) = f ( x ) + 1 при x ∈ [1;3] . в) f ( x ) .g ( x ) > 0 при x ∈ ( −2;5) . г) Уравнението f ( x ) = g ( x ) има два корена в интервала
f(x)
g(x) –2 O
1 2 3 4
x
[1;6] . Q
48. Основата на четириъгълна пирамида ABCDQ е правоъгълник ABCD със страни AB = 4 и AD = 3 . Ако ръбът DQ е перпендикулярен на равнината на основата и DQ = 11 , намерете ∢BQC. Отг. ..............................................................................
D
A
C B
49. Дадени са две реални числа а и b, a ≠ 0, b ≠ 0. Ако a > b , кое от следните твърдения е винаги вярно? а) a 2 > b 2 . б) a 3 > b3 . в) 1 > 1 . г) a > 1. a b b 50. Един многоъгълник е правилен, ако страните и ъглите му са равни. Ако един многоъгълник НЕ Е правилен, кое от следните твърдения винаги е вярно? а) Многоъгълникът има поне една двойка неравни страни. б) Многоъгълникът има поне една двойка неравни ъгли. в) Всяка двойка ъгли на многоъгълника са равни. г) Има поне една двойка страни или една двойка ъгли, които не са равни.
8
(Уж) ВЕРНИТЕ ОТГОВОРИ
1–Б 2–Г 3–В 4–Г 5–В 6–Г 7–В 8–Б 9–Б 10 – Б 11 – Г 12 – А 13 – Г 14 – А 15 – В 16 – Б 17 – В 18 – Б 19 – В 20 – Б 21 – ±5
π 12
+ kπ
7π π + 4kπ 22 – x ∈ − + 4kπ ; 3 3 23 – Г 24 – Г 25 – В
26 – В 27 – Г 28 – А 29 – Г 30 – x ∈ ( −2;5) 31 – x ∈ ( −2;1) 32 – Г 33 – В 34 – x ∈ [ −2; −1] ∪ {1} 35 – 2 36 – 4 37 – 3 38 – Б 39 – В 40 – Б 41 – Б 42 – Г 43 – Б 44 – А 45 – В 46 – Г 47 – Г 48 –
π
6 49 – Б 50 – Г
9