2009.22.03 Национално състезание-тест по математика за 7 клас by stoyan bordjukov

Р Е П У Б Л И К А

Б Ъ Л Г А Р И Я

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ – ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ – 22 март 2009 г. Уважаеми ученици, Този тест съдържа 50 задачи. Към повечето от тях са дадени по четири възможности за отговор – А), Б), В) и Г), от които само един е правилен. Вие трябва да изберете само един отговор – този, който според Вас е правилен. Към част от задачите не са дадени възможни отговори. На тях Вие трябва да намерите отговора. Всички отговори попълвайте в БЛАНКАТА ЗА ОТГОВОРИ, а не върху листовете със задачите. За да отбележите своите отговори, срещу номера на съответната задача попълнете полето с буквата на отговора, който според Вас е верен. Например, отговор Б) на задача 6: 6

Ако по-късно по време на изпита прецените, че първоначалният Ви избор не е правилен и искате да го поправите, зачертайте го със знака “Х” и попълнете полето с буквата на друг отговор, който сте установили, че е верен. Например, отговор Г) на същата задача 6: 6 А Б В Г По този начин имате възможност да направите до три поправки за всяка задача. Отговорите на задачите, за които не са посочени възможни отговори, запишете на празните места срещу номера на съответната задача в бланката за отговори. Ако решите, че сте сбъркали, зачертайте грешния според Вас отговор със знака “Х” и запишете до него новополучения отговор. Като действителен отговор на съответната задача ще се приема само този, чието поле е попълнено и не е зачертано със знака “Х”. На всяка задача трябва да дадете не повече от един действителен отговор. Правилните отговори на задачи с номера от 1 до 15 се оценяват с по 1 точка, тези на задачи с номера от 16 до 35 – с по 2 точки, а на задачи с номера от 36 до 50 – с по 3 точки. Неправилни отговори, задачи с недействителни отговори и задачи, оставени без отговор, се оценяват с по 0 точки. Времето за решаване на теста е 150 минути. Не започвайте да работите, преди провеждащият теста да Ви каже това. УСПЕШНА РАБОТА!

Задачите с номера от 1 до 15 включително се оценяват с по 1 точка: 1. Броят на цифрите в десетичния запис на числото 1002009 е равен на: A) 2009 Б) 4018 В) 4019 Г) 200 900 2 2 2. Ако х + у = 7 и ху = 10 , то стойността на х + у е: A) 49 Б) 39 В) 29 Г) 69 3. Бълха се намира в началото на координатната система. Тя скача две единици надясно, три единици нагоре и накрая една единица наляво. Какви са координатите на точката, в която отива бълхата? А) ( 3; 1) Б) ( 3; 3) В) (1; 3) Г) ( −1; 3) 4. Намерете лицето на триъгълник с дължини на две от страните 7 см и 10 см , ако дължината на височината към едната от тези страни е 9 см . А) не може да се определи еднозначно Б) 63 кв. см В) 45 кв. см Г) 31,5 кв. см 5. Ако A = (1 + 7) 1 + 7 1 + 7 1 + 7 1 + 7 и B = (1 + 5) 1 + 5 1 + 5 1 + 5 1 + 5 1 + 5 1 + 5 , 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 то е вярно, че: А) A = B Б) A > B В) A < B Г) A = 1 B

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) M

6. Колко процента от правилния осмоъгълник с център O са защриховани, ако точката M е средата на една от страните му?

Запишете отговора в листа за отговори. 7. Каква е стойността на израза ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) − x 3 + x − 10 при x = 2009 ? А) 0 Б) –2 В) 2009 Г) 2007 8. Когато едната от две бригади асфалтирала 3, 08 км от единия край на магистралата, а другата асфалтирала 1,5 пъти повече от другия край, между тях останало разстояние 2, 5 км . Дължината на магистралата е: А) 8,16 км Б) 48, 7 км В) 7,12 км Г) 10, 2 км 9. Намерете стойността на израза: −200912 + 200910 − 200912 + 200910 . А) −200911 Б) 0 В) 200911 Г) 2009 10. Земята е разделена на 24 часови пояса. Когато в София е 21 ч, в Лондон е 19 ч, а когато в Ню Йорк е 3 ч, в Лондон е 8 ч. Ако в София е 14 ч, колко е часът в Ню Йорк? А) 21: 00 Б) 7 : 00 В) 12 : 00 Г) 9 : 00 11. Точката E лежи на страната CD на правоъгълника ABCD така, че BE е ъглополовяща на ∠ABC . Да се намери лицето на правоъгълника в квадратни сантиметри, ако EC = 2 см и периметърът на правоъгълника е 32 см. A) 32 Б) 36 В) 28

Г) 18

12. На кое двуцифрено число завършва сумата: 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + 2005 + 2007 + 2009 ? Запишете отговора в листа за отговори. 13. Намерете най-големия корен на уравнението 3 − 2 x = −5 . А) 4

В) −1

Б) 5

Г) уравнението няма решение C

14. Нека ABC е триъгълник с височини AA1 и BB1 . Ако ∠A1 AB = 20° и ∠B1 BA = 30° , намерете ∠ACB .

B1 A1

А) 30°

Б) 45°

В) 50°

Г) 60° 20º

30º

15. Колко цифри най-малко трябва да се изтрият от числото 127912345 така, че да се получи възможно най-голямото число, което се дели на 6? A) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Задачите с номера от 16 до 35 включително се оценяват с по 2 точки: 16. Правилен шестоъгълник и квадрат имат обща страна, както на фигурата. Ако точката O е център на правилния шестоъгълник, намерете градусната мярка на ∠ACO .

Запишете отговора в листа за отговори.

17. Четирима ученици А, Б, В и Г спорили за датата на теста по математика, който им предстоял: А: “Мисля, че е на 21 март в събота. ” Б: “Не е вярно. Тестът е на 22 март в неделя.” В: “И двамата сте в грешка. Тестът е на 22 февруари в неделя.” Г: “Сигурен съм, че е на 28 март в събота.” Всеки от четиримата е познал част от данните за датата (ден от месеца, месец, ден от седмицата), но само един от тях е познал точните данни. Кой е той? А) А Б) Б В) В Г) Г 18. Намерете такова естествено число, което умножено последователно с всяка от цифрите си, дава произведение 525. Запишете отговора в листа за отговори. 19. Колко са четирицифрените числа със сума на цифрите, равна на 35? А) 2 Б) 6 В) 4

Г) 0

20. Нека a, b и c са три числа, за които е изпълнено a = b + 5 и a + b = c . Кое от следните твърдения е винаги вярно? А) c ≥ b ≥ a Б) a ≥ b ≥ c В) a ≥ c ≥ b Г) нито едно от трите не е винаги вярно

1 литра 8% разтвор на киселина са добавени 10 литра разтвор с неизвестна 3 концентрация на същата киселина. Новополученият разтвор е 5%. Колко е концентрацията на добавения разтвор?

21. Към 3

А) 3% Б) 4% В) 5% Г) 6% 22. Върховете на правилен петоъгълник са оцветени в бяло или в черно. Кое от посочените твърдения е винаги вярно? А) Три от върховете на петоъгълника са бели. Б) Два от върховете на петоъгълника са черни. В) Черните върхове на петоъгълника са повече от белите. Г) Има три едноцветни върха на петоъгълника, които образуват равнобедрен триъгълник. 23. Средноаритметичното на група от няколко числа е 18. Средноаритметичното на група от два пъти повече числа е 24. Средноаритметичното на всички числа от двете групи е равно на: A) 21 Б) 22 В) 30 Г) 33 24. Кой от посочените изрази има най-голяма стойност? −2

1 А) 2009 − 2010 Б)   В) 0, 2009−1 Г) 7 − 23 − 4 2 2   25. Първото полувреме на футболната среща между отборите на “Атлет” и “Борец” завършило при резултат 1: 0 за “Атлет”. През второто полувреме били отбелязани още 3 гола. Кой от следните резултати НЕ би могъл да се получи в края на мача? A) Мачът е завършил наравно. Б) “Атлет” е спечелил с 2 гола разлика. В) “Борец” е спечелил с 2 гола разлика. Г) “Атлет” е спечелил с 1 гол разлика. α 26. Равностранен триъгълник и квадрат са разположени, както е показано на чертежа. Ако α = 70° , то мярката на ъгъл β β е: А) 100° Б) 80° В) 65° Г) 110° 2 27. За числата x и y е известно, че x + y 2 = − xy . Да се намери сумата 2 x + 3 y . Запишете отговора в листа за отговори. 2

28. Велосипедист тръгнал в 9 часа сутринта със скорост 20 км / ч , а в 11 часа същата сутрин след него тръгнала кола със скорост 80 км / ч . В колко часа колата е изпреварила велосипедиста? А) 11: 40 Б) 11: 45 В) 11: 50 Г) 11: 55 1 29. Куб с ръб 1 м е нарязан на кубчета с ръб 1 см . Ако от тези кубчета се наредят 4 едно върху друго във формата на кула, височината на тази кула ще бъде равна на: A) 250 км Б) 25 км В) 2,5 км Г) 250 м 30. Ъглополовящите AM ( M ∈ BC ) и BN ( N ∈ AC ) на ∆ABC се пресичат в точката X . Ако ∠AXB е с 450 по-голям от ∠ACB , намерете градусната мярка на ∠ACB . А) 900 Б) 750 В) 600 Г) 450

C N M A

B 4

31. Пресметнете стойността на израза: 3 31 31 Б) 90 121 121 32. Колко от числата n3 + 4n + 2, всяко естествено число n ?

А) 89

7 4 6 5 4 7 ⋅4 + 4 ⋅5 + 6 ⋅7 . 11 11 11 11 11 11

90 2009 Г) 121 121 n3 + 4n + 3, n3 + 4n + 4 и n3 + 4n + 5 са съставни за

В) 90

Запишете отговора в листа за отговори

33. Известно е, че когато Георги пее, Иван винаги си запушва ушите. Кое от следните твърдения на Иван е със сигурност вярно? А) “Ако Георги не пее, не си запушвам ушите.” Б) “Ако си запуша ушите, то Георги пее.” В) “Ако аз пея, Георги си запушва ушите.” Г) “Ако не съм си запушил ушите, то Георги не пее.” 34. По колко различни начина могат да седнат три семейни двойки около кръгла маса, като се редуват мъж, жена, мъж, жена, мъж, жена и 6 нито един от мъжете не стои до съпругата си? Две подреждания са различни, ако едното не 5 може да се получи от другото чрез завъртане. Например, показаните две подреждания се считат за едни и същи. А) 1 Б) 2 В) 6

3 2 3

Б) 3

В) 2

4 1

6 Г) 36

35. В квадратната мрежа колко от триъгълниците, два от върховете на които са точките А и В, а третият връх е една от останалите пет точки (M, N, P, Q и R), са равнобедрени? A) 4

Г) 1

N M A

Задачите с номера от 35 до 50 включително се оценяват с по 3 точки: 36. По месечен план един шофьор на камион трябва да работи 20 дни и всеки ден да извършва определен брой курсове. През м. февруари шофьорът работил 18 дни и всеки ден извършил по 3 курса повече от планираните, като по този начин преизпълнил месечния план с 24 курса. Кое от посочените твърдения НЕ Е вярно? А) Шофьорът е преизпълнил месечния план с 6%. Б) Шофьорът е преизпълнил дневната норма с 20%. В) През м. февруари шофьорът е извършил общо 324 курса. Г) Планираната дневна норма на шофьора е 15 курса. 37. Върху стените на зарче са записани числата от 1 до 6. На всеки връх на зарчето се съпоставя сборът на числата върху трите стени, за които този връх е общ. Намерете възможно най-голямата стойност на най-малкото число, което се съпоставя на връх. A) 10 Б) 6 В) 8 Г) 9

38. Един клас ученици се почерпили с бонбони. Всеки си взел по един, два или три бонбона. Колко са консумираните бонбони, ако 26 ученици са взели най-малко по един бонбон, 16 ученици са взели най-малко по два бонбона, а трима ученици са взели по три бонбона? Запишете отговора в листа за отговори. C

39. Даден е равнобедрен ∆ABC ( AC = BC ) с ∠ACB = 1080 . Ъглополовящите му AM ( M ∈ BC ) и CP ( P ∈ AB ) се пресичат в точката X , а симетралите на страните AB и AC се пресичат в точката O . Намерете A градусната мярка на ∠OAX . А) 360 Б) 720 В) 540 Г) 450

M P

40. В равенството 3m3 − 2mn − 7 = 0 числата m и n са цели. Да се определи сборът на всички възможни стойности на n . Запишете отговора в листа за отговори.

41. Едно естествено число не надминава 2009 и при деление с 3 дава остатък 2, а при деление с 5 дава остатък 4. Сборът от цифрите на най-голямото такова число е: A) 23

Б) 11

В) 14

Г) 26

42. При игра на футбол един от четиримата приятели Асен, Борис, Владо и Георги счупил едно от стъклата в училище. На въпроса на директора кой е направил белята четиримата отговорили по следния начин: Асен: “Не бях аз.” Борис: “Владо беше.” Владо: “Да, аз счупих стъклото.” Георги: “Изобщо не бях аз, защото по същото време се намирах доста далеч.” Директорът установил, че двама от четиримата приятели са казали истината, а другите двама са излъгали. Кой е счупил стъклото? А) Асен

Б) Борис

В) Владо

Г) Георги

43. Нека A и B са цели нечетни числа, които не се делят на 5. Коя е последната цифра на числото 2 A4 + B 4 ? Запишете отговора в листа за отговори. C

44. Даден е правоъгълен ABC , за който ∠BAC = 900 и AC = 2 AB . Ако точката M е средата на AC и AL е ъглополовящата на правия ъгъл, кое от посочените твърдения НЕ Е вярно?

M A

А) ∠ABC > 450

Б) AL ⊥ BM

В) ∠BMC = 1350

L B

Г) ∠ACB = 300

45. Книжна лента се сгъва по пунктираната линия, както е показано на чертежа. Понататък дясната част се подгъва отдолу, а след това и другата част се сгъва, докато се получи панделката вдясно. Ако α = 70° , намерете градусната мярка на ъгъл β .

β A) 1400

Б) 1300

В) 1200

Г) 1100

46. Трицифрените числа abc и def са записани с шест различни цифри и abc > def . Най-малката възможна стойност на разликата abc − def е: А) 1

Б) 2

В) 3

Г) 5

47. Сумата на две естествени числа е равна на 301. Едно от числата завършва на 4 и като задраскаме тази цифра, получаваме второто число. Намерете сумата от цифрите на десетиците на тези две естествени числа. А) 9

Б) 8

В) 7

Г) 6

48. Числата от 1 до 10 са записани едно след друго и между всеки две от тях поставяме знак за събиране или знак за умножение, например 1.2.3 + 4 + 5.6 + 7.8 + 9 + 10 . След това пресмятаме стойността на получения израз. Нека N е най-голямата възможна стойност, която може да се получи по този начин. Кое от посочените твърдения е вярното? А) N е кратно на 3 В) последните три цифри на N са нули

Б) N е десетцифрено число Г) N не завършва на нула

49. Големият равностранен триъгълник на чертежа е съставен от 36 малки равностранни триъгълничета, всяко с лице 1 кв. см . Лицето на триъгълника АВС е равно на: A) 11 кв. см

Б) 12 кв. см

В) 15 кв. см

Г) 9 кв. см

C A B

50. Върху всяка една от 18 картички е записано едно от числата 4 или 5. Сумата на всички записани числа е кратна на 17. Върху колко картички е записано числото 4? Запишете отговора в листа за отговори.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

В В В Г А 18,75 Г Г Б Б

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

В 25 А В Б 15 Б 35 В Г

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Б Г Б В Г А 0 А В А

31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

А 1 Г Б Б А Г 45 А 150

41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

Б Б 3 Г В В А Г А 5

Решения на задачите от областния кръг на Националното състезание – тест 22 март 2009 г. 1. Отг. В). Числото 1002009 има 2.2009 = 4018 нули. Като прибавим и единицата, получаваме общо 4019 цифри. 2. Отг. В).

(х + у)

= 49 ⇔ x 2 + 2 xy + y 2 = 49 ⇔ x 2 + 2.10 + y 2 = 49 ⇔ x 2 + y 2 = 29 .

3. Отг. В). Последователните положения на бълхата са: ( 0; 0 ) → ( 2;0 ) → ( 2;3) → (1;3) . 4. Отг. Г). Дадената височина е към страната с дължина 7 см , защото в противен случай катет с дължина 9 см би трябвало да участва в правоъгълен триъгълник с хипотенуза 7 см , което не е възможно. Следователно лицето на триъгълника е равно на 7.9 S= = 31,5 кв. см . 2 8.9.10.11.12 6.7.8.9.10.11.12 8.9.10.11.12 и В= = . Следователно A = B . 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7 1.2.3.4.5 6. Отг. 18, 75% . Лицето на триъгълника, образуван от два последователни върха на 1 осмоъгълника и центъра O , е от лицето на осмоъгълника. Отсечката OM е медиана 8 в един такъв триъгълник и следователно разделя лицето му на две равни части. Тогава 1 1 3 лицето на защрихованата част е + = от лицето на осмоъгълника, което е 8 16 16 18, 75% .

5. Отг. А). A =

7. Отг. Г). Тъй като ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) − x 3 + x − 10 = ( x3 + 8) − x 3 + x − 10 = x − 2 , стойността на израза е 2009 − 2 = 2007 . 8. Отг. Г). Втората бригада е асфалтирала 3, 08.1,5 = 4, 62 км и дължината на магистралата е 3, 08 + 4, 62 + 2,5 = 10, 2 км . 9. Отг. Б). При разкриване на абсолютната стойност използваме, че 200912 > 200910 . Тогава −200912 + 200910 − 200912 + 200910 = −200912 + 200912 − 200910 + 200910 = 0 .

10. Отг. Б). Времето в София е с 2 часа напред спрямо Лондон, а в Лондон то е с 5 часа напред спрямо Ню Йорк. Затова времето в София е със 7 часа напред спрямо Ню Йорк. Получаваме 14 − 7 = 7 ч. 11. Отг. В). От условието следва, че ∠EBC = ∠BEC = 450 , т.е. ∆EBC е равнобедрен и BC = EC = 2 см. От друга страна BC + CD = 32 : 2 = 16 см и оттук намираме, че DE = 16 − (2 + 2) = 12 см. Тогава CD = 14 см и търсеното лице е 14.2 = 28 кв. см. 12. Отг. 25. Нечетните числа от 1 до 2008 са 2008 : 2 = 1004 на брой, които групираме по двойки: 1 и 2007, 3 и 2005, 5 и 2003, и т.н. Двойките са общо 1004 : 2 = 502 . Тъй като 1 + 2007 = 3 + 2005 = ... = 2008 , то търсената сума е 2008.502 + 2009 = 1 010 025 . Двуцифреното число, на което завършва сумата, е 25. 13. Отг. А). Възможни са два случая: 3 − 2 x = 5 или 3 − 2 x = −5 . В първия случай 3 − 2 x = 5 ⇔ −2 x = 2 ⇔ x = −1 , а във втория 3 − 2 x = −5 ⇔ −2 x = −8 ⇔ x = 4 . Отговорът е 4, защото 4 > −1 . 14. Отг. В). От правоъгълните триъгълници A1 AB и

B1 BA намираме съответно

∠ABA1 = 70 и ∠BAB1 = 60 . Тогава 0

∠ACB = 1800 − (∠ABA1 + ∠BAB1 ) = 1800 − (700 + 600 ) = 1800 − 1300 = 500 . 15. Отг. Б). За да се дели числото на 2, трябва да се изтрие последната цифра 5. Сборът от цифрите на полученото число е 1 + 2 + 7 + 9 + 1 + 2 + 3 + 4 = 29 и от признака за делимост на 3 заключаваме, че е достатъчно да се изтрие една от двойките в числото 12791234 . По-голямото от двете така получени числа е 1791234 .

16. Отг. 150 . ∆ABO е равностранен и следователно ∠BAO = 60° . ∆CAO е равнобедрен и ∠CAO = 90° + 60° = 150° . 1 Оттук ∠ACO = (1800 − 1500 ) = 15° . 2

O A

17. Отг. Б). Данните, съобщени от А и В, нямат общи части. Оттук следва, че нито един от тях не е познал точната дата. Същото важи и за данните, съобщени от В и Г. Заключаваме, че Б е познал точната дата. Чрез проверка в условието се установява, че това наистина е така. 18. Отг. 35. Търсеното число не може да е едноцифрено, защото в противен случай би се оказало, че 525 е квадрат на едноцифрено число. Това очевидно не е така. Ясно е, че числото не може да е с повече от 3 цифри. Тъй като 525 = 3.52.7 , единствените двуцифрени и трицифрени делители на 525, които са по-малки от 525, са: 15, 21, 25, 35, 75, 105 и 175. Чрез непосредствена проверка установяваме, че само числото 35 изпълнява условието на задачата. 19. Отг. В). Тъй като 4.8 = 32 и 35 − 32 = 3 , числото трябва да се записва с точно 3 девятки и 1 осмица. Възможните числа са 9998, 9989, 9899 и 8999, т.е. общо 4 на брой. 20. Отг. Г). От a = b + 5 следва, че a − b = 5 > 0 , т.е. винаги a > b . Заключаваме, че А) не е вярно. От a + b = c следва, че c − b = a . Ако a < 0 , то c < b и В) е нарушено. Ако a > 0 , то c > b и сега Б) не е вярно. Следователно вярното е Г).

21. Отг. Б). Нека x е търсената концентрация (в проценти). В 3

1 литра 8% разтвор 3

8 10 8 ⋅ = литра чиста киселина. В 10 литра с концентрация x % има 100 3 3.10 x x 10 40 ⋅10 = литра чиста киселина. Новополученият разтвор е + 10 = литра с 100 10 3 3 5 40 20 концентрация 5% и чистата киселина в него е ⋅ = литра. Оттук получаваме 100 3 3.10 8 x 20 + = , което е еквивалентно с 8 + 3 x = 20 и следователно уравнението 3.10 10 3.10 3 x = 12 , т.е. x = 4 %. 22. Отг. Г). От петте върха поне три са от един цвят. От трите едноцветни върха поне два са съседни върхове на петоъгълника. Тези два върха заедно с кой да е друг връх на петоъгълника образуват равнобедрен триъгълник. Възможни са 3 случая за разположение на третия връх с цвета на двата съседни върха. В два от тях бедрата на равнобедрения триъгълник са страни на петоъгълника, а в третия случай те са диагонали. Тук използваме, че кои да е два диагонала на петоъгълника са равни, защото могат да се разглеждат като съответни елементи в еднакви триъгълници. 23. Отг. Б). Нека броят на числата в първата група е х. Тогава сборът им е 18 x. Броят на числата във втората група е 2x и сборът им е 24.2 x = 48 x. Средноаритметичното на всички числа е 48 x + 18 x = 66 x = 22. 3x 3x 24. Отг. В). Изразите в А) и Г) имат отрицателни стойности. От друга страна

има

−2

10000 10000 1 −1 2 , което е по-голямо от 4, защото =4 и   = 2 = 4 и 0, 2009 = 2009 2500 2 2009 < 2500 (от две дроби с еднакви числители дробта с по-малък знаменател има поголяма стойност). 25. Отг. Г). Общият брой вкарани голове е 1 + 3 = 4 , което е четно число. Това означава, че бройките голове, вкарани от всеки от двата отбора, са с еднаква четност. Заключаваме, че ситуацията в Г) е невъзможна, защото разлика 1 се получава единствено когато двете бройки са с различна четност. В допълнение към решението ще отбележим, че ситуацията в А) се реализира при резултат 2:2, ситуацията в Б) се реализира при резултат 3:1 в полза на “Атлет”, а ситуацията във В) се реализира при резултат 3:1 в полза на “Борец”. C 26. Отг. А). Тъй като ∠ACB = 600 , то ∠ABC = 1800 − (α + 600 ) = 500 .

От друга страна ∠NBM = ∠ABC = 500 (връхни ъгли) и от 0 0 правоъгълния ∆BNM намираме ∠BNM = 90 − 50 = 400 . Следователно ∠LNP = ∠BNM = 400 (връхни ъгли). Най-накрая с помощта на теоремата за външен ъгъл в триъгълника получаваме, че β = ∠LNP + 600 = 400 + 600 = 1000 .

A α B

M N

β L

27. Отг. 0. Последователно получаваме ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy = ( x 2 + y 2 + xy ) + xy = xy , защото от условието следва, че x 2 + y 2 + xy = 0 . Тъй като ( x + y ) 2 ≥ 0 , то с помощта на полученото равенство заключаваме, че xy ≥ 0 . От друга страна x 2 + y 2 = − xy , откъдето xy ≤ 0 . Получените неравенства за xy са възможни едновременно само в случая xy = 0 .

Но тогава от условието следва, че x 2 + y 2 = 0 , което е възможно само ако x = y = 0 . Следователно 2 x + 3 y = 0 . 28. Отг. А). Нека t е времето в часове на пътуване на колата до момента на изпреварването. Тогава t + 2 е времето на велосипедиста до момента на изпреварването. Изравняваме пътищата: 20 ( t + 2 ) = 80t и намираме t = 2 ч, което е 3 равно на 40 минути. Следователно 11 ч + 40 мин = 11 ч 40 мин. 29. Отг. В). Броят на всички кубчета е 100.100.100 = 1 000 000 , а броят на тези, които участват в кулата, е 1 000 000:4 = 250 000 . Тогава височината на кулата е равна на: 250 000 см = 2500 м = 2,5 км . 30. Отг. А). За сбора на ъглите в ∆AXB имаме: ∠BAC ∠ABC  ∠ACB ∠ACB  ∠XAB + ∠XBA + ∠AXB = + + + + 450  = 1800 . 2 2 2  2  ∠BAC ∠ABC ∠ACB ∠ACB Тъй като + + = 900 , то + 450 = 900 , откъдето ∠ACB = 900 . 2 2 2 2 31. Отг. А). 7 4 6 5 4 7  4  4  5  5  7  7 3 ⋅4 + 4 ⋅5 + 6 ⋅7 =  4 −  4 +  + 5 − 5 +  + 7 − 7 +  = 11 11 11 11 11 11  11   11   11   11   11   11  = 16 −

16 25 49 90 31 . + 25 − + 49 − = 90 − = 89 121 121 121 121 121

32. Отг. 1. Първото число n3 + 4n + 2 е просто при n = 1 (стойността на израза е 7). Второто число n3 + 4n + 3 е просто при n = 2 (стойността на израза е 19). Третото число n3 + 4n + 4 е просто при n = 3 (стойността на израза е 43). Числото n3 + 4n + 5 е съставно за всяко n , защото n3 + 4n + 5 = ( n + 1) ( n 2 − n + 5 ) . 33. Отг. Г). Твърдение Г) е винаги вярно, защото в противен случай ще бъде нарушено условието на задачата (когато Георги пее, Иван винаги си запушва ушите). 34. Отг. Б). До първия мъж трябва да са съпругите на другите двама и те могат да седнат по два различни начина. Когато тези две съпруги седнат, за останалите (двамата мъже и едната жена) има една единствена възможност. 35. Отг. Б). Общо 3 триъгълника: ∆ABM , ∆ABN и ∆ABQ . За първия от тях AB = BM като хипотенузи в еднакви правоъгълни триъгълници с катети 2 и 4. За втория от тях AN = BN като хипотенузи в еднакви правоъгълни триъгълници с катети 1 и 3. За третия триъгълник AB = AQ като хипотенузи в еднакви правоъгълни триъгълници с катети 2 и 4. 36. Отг. А). Нека планираната дневна норма на шофьора е x курса. Тогава месечният му план е 20 x курса. През м. февруари шофьорът е извършвал по ( x + 3) курса на ден в продължение на 18 дни и е направил общо 18( x + 3) курса. Тогава 18( x + 3) = 20 x + 24 , откъдето x = 15 . Получаваме, че месечният план е 15.20 = 300 курса, който е 24 преизпълнен с ⋅100 = 8% . Следователно твърдение А) не е вярно. Твърдение Б) е 300 3 вярно, защото ⋅100 = 20% . Вярно е и твърдение В), защото 300 + 24 = 324 курса. 15

Най-накрая е вярно и твърдение Г), защото за планираната дневна норма получихме 15 курса. 37. Отг. Г). Стените на зарчето са квадрати и следователно числото върху всяка стена участва като събираемо в четири сбора, които се съпоставят на четирите върха на квадрата. Тъй като 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 , то сборът на числата, които се съпоставят на осемте върха на зарчето, е 21.4 = 84 . Ако най-малкото съпоставено число е поне 11, то сборът на осемте съпоставени числа е поне 11.8 = 88 . Но 88 > 84 и следователно това е невъзможно. Да разгледаме случая, когато най-малкото съпоставено число е 10. Числото 10 може да се представи точно по 3 начина като сбор на 3 числа измежду 1, 2, 3, 4, 5 и 6: 1 + 3 + 6 = 10 , 1 + 4 + 5 = 10 и 2 + 3 + 5 = 10 . Това означава, че най-много за 3 върха на зарчето числата, които им се съпоставят, са равни на 10. За останалите 5 върха числата са равни поне на 11. Но 3.10 + 5.11 = 85 > 84 и следователно този случай е също невъзможен. Заключаваме, че възможно най-голямата стойност на най-малкото число, което се съпоставя на връх, е по-малка от 10. Показаният пример е реализация за 9. 2 5

38. Отг. 45. По условие 16 ученици са взели най-малко по два бонбона. Това означава, че в тази бройка са учениците, взели точно по два бонбона, както и учениците, взели точно по три бонбона. Заключаваме, че взелите точно по два бонбона са 16 − 3 = 13 на брой. По условие 26 ученици са взели най-малко по един бонбон. Това означава, че в тази бройка са учениците, взели точно по един бонбон, учениците, взели точно по два бонбона, както и учениците, взели точно по три бонбона. Заключаваме, че взелите точно по един бонбон са 26 − 16 = 10 на брой. Следователно общият брой на консумираните бонбони е 3.3 + 13.2 + 10.1 = 45 . 39. Отг. А). Тъй като ∆ABC е равнобедрен, ъглополовящата CP лежи на симетралата на страната AB . Следователно точките X и O лежат на правата CP . От OA = OC следва, че ∆AOC е равнобедрен и ∠OAC = ∠ACO = 1 ∠ACB = 540 . В равнобедрения 2 ∆ABC имаме ∠BAC = 1 (1800 − 1080 ) = 360 . Тогава ∠XAC = 1 ∠BAC = 1 .360 = 180 . 2 2 2 0 0 0 Получаваме, че ∠OAX = ∠OAC − ∠XAC = 54 − 18 = 36 . 40. Отг. 150. Даденото равенство записваме във вида m(3m 2 − 2n) = 7 . Оттук заключаваме, че m е делител на 7. Следователно за m са възможни следните случаи: m = 1 , m = 7 , m = −1 и m = −7 . Ако m = 1 , то n = −2 . Ако m = 7 , то n = 73 . Ако m = −1 , то n = 5 . Ако m = −7 , то n = 74 . Сборът от възможните стойности на n е −2 + 73 + 5 + 74 = 150 . 41. Отг. Б). Числото 2009 изпълнява условието на задачата и сборът от цифрите му е равен на 11. 42. Отг. Б). Борис и Владо твърдят еднакви неща. От условието следва, че те или казват истината, или лъжат. Същото важи за Асен и Георги – те или казват истината, или лъжат. Ако Асен и Георги лъжат, то тогава всеки от тях е счупил стъклото. Но това противоречи на условието, че един от четиримата е направил белята. Следователно Асен и Георги казват истината. Заключаваме, че стъклото е счупено от Борис или от Владо, като и двамата лъжат. Това е изпълнено само в случай, че Борис е направил белята, което е и отговорът на задачата.

43. Отг. 3. Квадратите на нечетните числа завършват на 1, 5 или 9. Следователно четвъртите степени на нечетните числа завършват само на 1 или 5. Тъй като никое от числата A и B не се дели на 5, заключаваме, че A4 и B 4 завършват на 1. Следователно последната цифра на числото 2 A4 + B 4 е равна на 2.1 + 1 = 3 . 1 AC ), то ∠ABM = 450 . 2 Оттук следва, че ∠ABC > 450 и заключаваме, че А) е вярно. Освен това AL е ъглополовяща, откъдето ∠BAL = 450 . Следователно ∠ABM +∠BAL = 900 , което означава, че AL ⊥ BM , т.е. Б) също е вярно. Вярно е и В), защото от теоремата за външен ъгъл в триъгълника имаме, че ∠BMC = ∠BAM +∠ABM = 900 + 450 = 1350 . Не 1 е вярно Г). В противен случай ще излезе, че AB = BC (катет срещу ъгъл от 300 ) и 2 1 тъй като AB = AC , бихме заключили, че AC = BC , което не е възможно. 2 45. Отг. В). От чертежа се вижда, че β = 3γ = 3(1800 − 2α) = 3(1800 − 1400 ) = 1200 .

44. Отг. Г). Тъй като ABM е равнобедрен ( AB = AM =

α αα γ

46. Отг. В). Най-малка стойност на разликата ще се получи, ако a = d + 1, b = 0 и e = 9 . Тогава възможно най-малката стойност за c остава c = 1 , а за f – съответно f = 8 . Това означава, че разликата е най-малко 3. Тази разлика се реализира например в случая abc = 301 и def = 298 . 47. Отг. А). Ясно е, че едното число е трицифрено, а второто е двуцифрено. Ако a и b са съответно цифрата на десетиците и цифрата на единиците на двуцифреното число, от условието следва, че 100a + 10b + 4 + 10a + b = 301 , т.е. 110a + 11b = 297 . Полученото равенство е еквивалентно с 11(10a + b) = 11.27 , откъдето 10a + b = 27 . Единствената възможност е a = 2 и b = 7 . Следователно двете числа са 274 и 27, а сумата от цифрите на десетиците им е 7 + 2 = 9 . 48. Отг. Г). Изразите, които разглеждаме, имат вида 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10, където всяка звездичка отговаря на “+” или на “ ⋅ ”. Ако някоя звездичка, след първата, отговаря на “+”, то заменяйки този “+” с “ ⋅ ”, ще увеличим израза. Това е така, защото xy > x + y , ако числата x и y са по-големи от 2 (следва от неравенството

( x − 1)( y − 1) ≥ 1 ⇔ xy ≥ x + y ,

като равенство има само при x = y = 2 ). Следователно изразът ще получи най-голяма стойност или когато всички звездички съответстват на умножения, или когато само първата звездичка съответства на събиране. В първия случай ще получим стойност 2.3.4.5.6.7.8.9.10 , а във втория случай стойността е 2.3.4.5.6.7.8.9.10 + 1 . Следователно N = 2.3.4.5.6.7.8.9.10 + 1 , откъдето заключаваме, че от посочените твърдения само Г) е вярно. 49. Отг. А).

C P

A M

6 B

(

)

S ABC = S AOB + S BOC + S AOC = 1 S AOBM + S BOCP + S AOCQ = 2

= 12 ( 6 + 4 + 12 ) = 11 , т.е.

S ABC = 11 cm 2 . 50. Отг. 5. Сумата на записаните числа е между 4.18 = 72 и 5.18 = 90 . Единственото кратно на 17 между тези две числа е 85. Ако заменим всички записани четворки с петици, ще получим 90, защото 5.18 = 90 . Но 90 − 85 = 5 , откъдето следва, че заменените четворки са точно 5 на брой (всяка замяна увеличава сумата с 1).

НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ–ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ОБЛАСТЕН КРЪГ– 22 март 2009 г. Трите имена ………………………………………………… Училище ………………………………… гр. /с/……………………….Тел:…………………………

Задачите с номера от 1 до 15 включително се оценяват с по 1 точка. Задачите с номера от 16 до 35 включително се оценяват с по 2 точки. Задачите с номера от 36 до 50 включително се оценяват с по 3 точки. 1.

16.

17.

18.

19.

39.

20.

40.

21.

36.

37.

41.

38.

22.

42.

23.

43.

24.

44.

10.

25.

45.

11.

26.

46.

47.

12.

27.

13.

28.

48.

14.

29.

49.

15.

30.

50.

31.

33.

34.

35.

32. ОБЩО ТОЧКИ: