ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ “ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” – СОФИЯ КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 25. 04. 2009 г. ПЪРВИ ВАРИАНТ
ЗАДАЧА 1: Да се решат уравненията: а)
x −1 5 16 x + = ; x −1 16 x 2
б) 5log3 (x
2
−2 x
) = 5.
ЗАДАЧА 2: Даденo е уравнението x 2 + (sin α ) x − sin 2
α 2
= 0 , където α е реален параметър. Да
се намерят: а) стойностите на параметъра α , за които уравнението има два равни реални корена; б) стойността на израза А = cosα = −
1 1 + , където x1 и x2 са корените на уравнението при x1 x2
1 3π и α ∈ π ; . 3 2
ЗАДАЧА 3: Даден е успоредник AB CD . Точките M и N са среди съответно на BC и DC. Да се намерят : а) отношението между лицата на ∆АМN и успоредника AB CD ; б) лицето на успоредника AB CD при AC = p, BD = q и ∠МАN = α . ЗАДАЧА 4: Всички ръбове на правилна триъгълна призма ABCA1 B1C1 са равни на 2. Точка L е среда на отсечката, свързваща центровете на двете основи. През точка L и ръба BC е построена равнина α . Да се намерят: а) лицето на сечението на равнината α с призмата; б) разстоянието от върха А1 до равнината α .
ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ “ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” – СОФИЯ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 25. 04. 2009 г. ПЪРВИ ВАРИАНТ
ЗАДАЧА 1: Да се решат уравненията: а)
x −1 5 16 x + = ; x −1 16 x 2
б) 5log3 (x
2
−2 x
) = 5.
x ≠ 0 Решение: a) (2,5 точки) DM: x − 1 ≠ 0 x ≥0 x − 1
⇒ x ∈ (− ∞; 0) ∪ (1; ∞ ) . Полагаме
16 x = t, t ≥ 0 . x −1
16 x 1 = 2 ⇒ 4 x = x − 1⇒ x = − ∈ DM t1 = 2 1 5 3 t + = ⇔ 2t 2 − 5t + 2 = 0 ⇔ 1 ⇒ x −1 t = t 2 16 x = 1 ⇒ 64 x = x − 1⇒ x = − 1 ∈ DM 2 2 x − 1 2 63
б) (2,5 точки) DM: x 2 − 2 x > 0 ⇒ x ∈ (− ∞; 0) ∪ (2; ∞ ) .
5log3 (x
2
−2 x
) = 5 ⇔ log (x 2 − 2 x ) = log 3 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ x1 = 3 ∈ DM . 3 3 x2 = −1 ∈ DM
ЗАДАЧА 2: Даденo е уравнението x 2 + (sin α ) x − sin 2
α 2
= 0 , където α е реален параметър. Да се намерят:
а) стойностите на параметъра α , за които уравнението има два равни реални корена; б) стойността на израза А =
α ∈ π ;
3π 2
1 1 1 + , където x1 и x2 са корените на уравнението при cosα = − и x1 x2 3
.
Решение: а) (2 точки) Уравнението има два равни реални корена ⇔ D = 0 ⇔ D = sin 2 α + 4 sin 2
α 2
= 0 ⇔ 4 sin 2
α sin 2 = 0 ⇒ α = 2kπ , k ∈ Z . ⇒ 2 α cos + 1 = 0 н. р. 2
α 2
cos 2
α 2
+ 4 sin 2
α 2
= 0 ⇔ 4 sin 2
α
2α + 1 = 0 cos 2 2
б) (3 точки) А =
A=
− sin α − sin 2
Но
α
=
x1 + x2 = − sin α 1 1 x1 + x2 + = . От формулите на Виет α получаваме x1 x2 = − sin 2 x1 x2 x1 x2 2
2 sin
α
cos
α
2 = 2 cot g α . От cos α = − 1 ⇒ sin 2 α = 1 − cos α = 2 . α 2 3 2 2 3 sin 2 2
2
2
α
6 3 α α α π 3π ∈ ; ⇒ sin = ⇒ cos = − 1 − sin 2 = − ⇒A=− 2. 2 2 4 2 3 2 2 3
ЗАДАЧА 3: Даден е успоредник AB CD . Точките M и N са среди съответно на BC и DC. Да се намерят : а) отношението между лицата на ∆АМN и успоредника AB CD ; б) лицето на успоредника AB CD при AC = p, BD = q и ∠МАN = α . Решение: а) (2 точки) AN медиана в ∆DAC . Нека S ABCD = S ⇒ S ∆DAN =
Аналогично S ∆ABM =
N
D
C L O
в ∆BCD следва, че ∆MCN ~ ∆BCD .
⇒ S ∆AMN A
1 1 S∆BCD = S 4 8 = S − S ∆AND − S ∆ABM − S ∆MCN
⇒ S ∆AMN = S −
B
S S S 3 − − = S. 4 4 8 8
S ∆AMN 3 = . S ABCD 8
б) (3 точки) Oт MN средна отсечка в ∆BCD следва MN = ⇒ CL =
S . Oт MN средна отсечка 4
⇒ S ∆MCN =
M
Следователно
1 1 S S ∆DAC = S ABCD = . 2 4 4
q . CO - медиана в ∆BCD 2
1 p 3p AM .AN . sin α CO = ⇒ AL = . S ∆AMN = . 2 4 4 2
Oт косинусовата теорема за ∆АМN имаме МN 2 = AN 2 + AM 2 − 2 AM .AN .cos α . При cos α ≠ 0 ,т.е. α ≠
π 2
AN 2 + AM 2 − ⇒ AM . AN =
2cos α
q2 4 .
AL е медиана в ∆АМN 1 9 p2 q2 9 p2 + q2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ AL = 2 AN + 2 AM − MN ⇒ 4. = 2 AN + 2 AM − ⇒ AN + AM = . 4 16 4 8 2
(
)
9 p2 + q2 q2 − 2 2 8 4 = 9p − q . ⇒ AM . AN = 2cos α 16cos α
S ABCD =
(
)
(
)
8 8 AM .AN . sin α 4 9 p 2 − q 2 9 p2 − q2 tgα = tgα . S ∆AMN = = 3 3 2 3.16 12
1 2
При cos α = 0 ∆AMN e правоъгълен с прав ъгъл при върха А и AL = MN , откъдето 3 p = q . В този случай съществуват безброй много такива успоредници, всеки от които се определя от един параметър, например ъгъла между диагоналите ϕ ∈ ( 0; π ) . Тогава S ABCD =
3 p 2 sin ϕ . 2
ЗАДАЧА 4: Всички ръбове на правилна триъгълна призма ABCA1 B1C1 са равни на 2. Точка L е среда на отсечката, свързваща центровете на двете основи. През точка L и ръба BC е построена равнина α . Да се намерят: а) лицето на сечението на равнината α с призмата; б) разстоянието от върха А1 до равнината α . Решение: а) (2,5 точки) Нека М е среда на ВС, М1 – среда на В1С1. В равнината ( AMM 1 A1 ) : ML ∩ A1M 1 = N .
E
∆LOM ≅ ∆LO1 N1 ⇒ O1 N = OM = G Q
A1
O1 P
C1
N M1 B1
L
1 3 AM = . 3 3
През т. N построяваме права PQ || BC (P ∈ A1B1 ; Q ∈ A1C1 ) ⇒ BCQP е търсеното сечение, което е равнобедрен трапец (∆BB1P ≅ ∆CC1Q ⇒ BP = CQ ) . От ∆A1PQ ~ ∆A1B1C1 ⇒ 1 PQ = B1C1 ; MN = 2 LM , NM ⊥ BC ⇒ MN е височина в 3 BCQP. 3 2 3 ∆LOM ⇒ LM = LO 2 + OM 2 = 1 + = 9 3 ⇒ MN =
4 3 . 3
2 A BC + PQ 3 . 4 3 = 16 3 . S BCQP = MN = C 2 2 3 9 O б) (2,5 точки) AM ⊥ BC ; AA1 ⊥ BC ⇒ ( AMN ) ⊥ BC . Нека M MN ∩ AA1 = E . В равнината (EAM ) от А1 издигаме B перпендикуляр към МЕ ( A1G ⊥ ME ; G ∈ ME ) ⇒ A1G ⊥ MN ; A1G ⊥ PQ(( AMN ) ⊥ PQ ) ⇒ A1G е търсеното разстояние. AN 1 1 ∆A1 NE ~ ∆AME ⇒ 1 = ⇒ A1E = EA ⇒ EA1 = 1; ∠EA1G = ∠AML ⇒ AM 3 3 3 1 OM A1G = EA1 cos ∠OML = 1.cos ∠OML = = 3 = . LM 2 3 2 3 2+
Оценката се получава по формулата: Оценка
= 2 + 0, 2.K ,
където K е сумата от получените точки.