2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Пазарджик

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО - ПАЗАРДЖИК 4400 гр. Пазарджик, ул. “П. Яворов” № 1, тел/факс 034 446 270, e-mail: riopz@pasat.bg, http://riopz.com/

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

ІV клас Зад.1 а) Пресметнете стойността на израза: А= 249 . 5 – 4554 : (1529 - 1523) + 1234 . 8 б) Намерете неизвестното число х: 3735 : 9 + 81 : ( 9 . х – 4 . 18 ) = 212 . 2

V клас 2 точки 2 точки

в) Ако С е най-малкото четирицифрено число с цифра на стотиците 1, то намерете В = А – х . С 3 точки Зад.2 Градина има формата на правоъгълник с размери 5 м и 7 м. В двата срещуположни ъгъла засадени лалета върху площи с форма на два еднакви квадрата, всеки с обиколка 12 м (както е показано на чертежа), а останалата част е тревна площ. Намерете лицето на тревната площ.

7 точки 7м

Зад.1 Да се намери: а) стойността на израза А =[ (0,1 - 0,001) : 3 ] : 0,3 б) неизвестното число х, ако (2 .х + 10,20) . 0,5 ─ 10,02 . 0,5 = 0,6 : 0,5 в) Закръглете частното х:А с точност до десети, стотни и до хилядни.

7 точки Зад.2 В куб, съставен от 27 еднакви кубчета, всяко с ръб 1 см, са премахнати централните кубчета, съединяващи предната и задната стена и тези, които съединяват лявата и дясната стена. Намерете обема и повърхнината на полученото тяло.

7 точки

5м Зад.3 Разполагаме с 10 различни клечки с дължина 4 см, 5 см, 6 см, 7 см, 8 см, 9 см, 10 см, 11 см, 12 см и 13 см. Трябва да се сглоби квадрат, като се използват точно 9 от десетте клечки. По колко различни начина може да стане това? Обяснете разсъжденията си.

7 точки Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

Зад.3 Сборът на 20 последователни естествени числа е 2010. Да се намерят тези числа.

7 точки Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО - ПАЗАРДЖИК 4400 гр. Пазарджик, ул. “П. Яворов” № 1, тел/факс 034 446 270, e-mail: riopz@pasat.bg, http://riopz.com/

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

VІІ клас

VІ клас Зад.1 Точката В е симетрична относно Оx на точката А(1; 2) в правоъгълна координатна система Оxy. Точката С е симетрична относно Оy на точката D(2; 1) в същата координатна система. Да се изчисли лицето на четириъгълника ABCD. 7 точки Зад.2 За рождения си ден Слави иска да поръча пица на парче. В пицарията предлагат парчета на една и съща цена от четири вида: с диаметър 8 дм, която се разрязва на 3 равни части; с диаметър 10 дм, която се разрязва на 4 равни части, с диаметър 12 дм, която се разрязва на 6 равни части, с диаметър 14 дм, която се разрязва на 8 равни части. От кой вид пица трябва да си вземе Слави, така че парчетата да са възможно най-големи?

7 точки Зад.3 Да се намери неизвестния множител, ако (− 243)12 .x = 2 99 − 3 66 + 8 33 − 5 44 + (−25) 30 : 516 : (− 3)5

(

)

7 точки Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

2 x + 3 1  1 − 2 x  1 2 − 3x . − 3 − = .

4 3 2  2 3 3 точки x−2  2− x 7 б) Решете уравнението − x − и намерете сбора на = 5 5  3  целите числа, които се намират между неговите корени.

4 точки

Зад.1 a) Да се реши уравнението:

Зад.2 Даден е равнобедрен триъгълник АВС и ∡АВС=110о. Върху лъча AB → е построена точка М, така че АС=АМ. Точките N и P лежат съответно на страните АС и ВС, така че AN=CP. Ако правите АР и МN се пресичат в точка О, да се намери ∡АОМ.

7 точки Зад.3 В 8 часа от Варна за София тръгва влак със скорост 60 км/ч, в 900 часа от София за Варна тръгва друг влак със скорост 90 км/ч. В 915 часа от София тръгва вертолет със скорост 120 км/ч. Пътят от Варна до София е 450 км. Вертолетът наблюдава движението на двата влака, като отива до влака, тръгнал от Варна, връща се обратно до влака, тръгнал от София и това продължава докато двата влака се срещнали. Колко км е изминал вертолета?

7 точки Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

00

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО - ПАЗАРДЖИК 4400 гр. Пазарджик, ул. “П. Яворов” № 1, тел/факс 034 446 270, e-mail: riopz@pasat.bg, http://riopz.com/

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

VІІІ клас

VІІІ клас Зад.1 Намерете всички стойности на реалния параметър а, при които уравнението (a + 1) x 2 + 2(1 − a ) x + a − 1 = 0 :

Зад.1 Намерете всички стойности на реалния параметър а, при които уравнението (a + 1) x 2 + 2(1 − a ) x + a − 1 = 0 :

а) има корен, равен на 2 ; б) има единствено решение; в) няма решение; г) има две различни решения.

а) има корен, равен на 2 ; б) има единствено решение; в) няма решение; г) има две различни решения.

7 точки Зад.2

Даден е трапецът АВСD (AB//CD, AB>CD). Средната отсечка

7 точки Зад.2

Даден е трапецът АВСD (AB//CD, AB>CD). Средната отсечка

MN (M∈AD, N∈BC) пресича диагоналите АС и ВD съответно в

MN (M∈AD, N∈BC) пресича диагоналите АС и ВD съответно в

точките P и Q. Построена е височината DH (H∈AB) на трапеца ABCD. Да се намери лицето на трапеца, ако MN.PQ=25 и DH=3(AB– DC).

7 точки Зад.3 Дадено е трицифреното число abc . Да се пресметне сборът на abc + 91 цифрите на това число, ако се знае, че числото е просто abc − 10 число.

7 точки

точките P и Q. Построена е височината DH (H∈AB) на трапеца ABCD. Да се намери лицето на трапеца, ако MN.PQ=25 и DH=3(AB– DC).

7 точки Зад.3 Дадено е трицифреното число abc . Да се пресметне сборът на abc + 91 цифрите на това число, ако се знае, че числото е просто abc − 10 число.

7 точки

Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО - ПАЗАРДЖИК 4400 гр. Пазарджик, ул. “П. Яворов” № 1, тел/факс 034 446 270, e-mail: riopz@pasat.bg, http://riopz.com/

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков

ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

ІX клас Зад.1 Да се опростят изразите: x4 − x3 − x +1 а) A = 3 .x−3 ; x − 5x 2 + 7 x − 3 б) B =

x − 2 x −1 . x −1 −1

Зад.2 Да се реши уравнението

X клас 3 точки

Зад.1 Да се решат неравенствата: а) x 2 ≤ 1 + x + 1 ;

3 точки

4 точки

б)

4 точки

3( x − 2 ) + 4 2 x 2 − 3x + 1 2 ( x 2 − 1)

= 1.

7 точки Зад.3 Диаметърът AD на описаната около ∆ABC окръжност пресича страната ВС в точката Р. Точките M и N са ортогоналните проекции на Р съответно върху страните АВ и АС. Да се докаже, че MBCN e трапец.

7 точки Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

(x − 2)(3x − 1)(3 − x ) ≥ 0 . x+2

Зад.2 Дадена е функцията f ( x) = ax 2 + bx + c . Да се намери найголямата и най-малка стойност на функцията в интервала [–3;0], ако графиката ù минава през точка с координати (2; 10), а корените на уравнението f ( x) = 0 са 1 и –3.

7 точки Зад.3 В успоредника АВCD, с лице 1, точката M лежи на страната CD, а точката N е пресечната точка на отсечките AC и BM. Да се намери лицето на триъгълника AMN, ако DM:MC=k.

7 точки Време за работа - 4 часа. Желаем Ви успех!

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО - ПАЗАРДЖИК 4400 гр. Пазарджик, ул. “П. Яворов” № 1, тел/факс 034 446 270, e-mail: riopz@pasat.bg, http://riopz.com/

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

Утвърдил: Началник РИО Йордан Чалъков ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА 28. 02. 2010 г.

XІ клас XІІ клас Зад.1 а) Три числа, сумата на които е равна на 28, образуват геометрична прогресия. Ако към първото число прибавим 3, към второто 1, а от третото извадим 5, то получените числа образуват аритметична прогресия. Намерете тези числа.

3 точки б) Две аритметични прогресии имат равен брой членове. Отношенията на последния член на първата прогресия към първия член на втората прогресия и на последния член на втората прогресия към първия член на първата са равни. Това отношение е равно на 4. Отношението на сумата от членовете на първата прогресия към сумата от членовете на втората прогресия е равно на 2. Намерете отношението на разликите на тези прогресии.

4 точки Зад.2

  

а)

2  

−4

Докажете,

че

числата

2

1  log 2  log 2 4   2

,

sin150.sin 750

и

2

 . 2 2   са членове на геометрична прогресия и намерете    4

петият член на прогресията.

3 точки б) Да се намерят всички стойности на реалния параметър а, за които уравнението (a − 1).32 x +1 − (4a + 2).3 x + 2 − a = 0 има два реални корена, чието произведение е отрицателно число.

4 точки Зад.3 В триъгълника АВС е прекарана медианата АМ. Известно е, че

AM : BC = 13 : 2 , а ∡ВАС=30о. Да се намерят ъглите АВС и АСВ, ако ∡АВС не е по-малък от ∡АСВ.

Време за работа – 4 часа.

7 точки

Желаем Ви успех!

Зад.1 Хипотенузата АВ на правоъгълния триъгълник АВС лежи в равнината π, а катетите му АС и ВС сключват с тази равнина съответно ъгли α и β. Да се определи ъгълът между равнината на триъгълника и равнината π.

7 точки Зад.2 Дадена е функцията f ( x) = 2 2 cos x − 3a.2 cos x + 2a 2 , където а е параметър. а) Да се реши уравнението f ( x) = 0 за а=1. б) За кои стойности на а уравнението f ( x) = 0 има решение. в) Да се намери най-голямата и най-малка стойност на f ( x) .

7 точки Зад.3 Нека G е медицентър на правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ. Да се намери възможно най-голямата стойност на cotg∡AGB. 7 точки Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!