УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ 4. клас
1. а) Намерете числата А, В и С ако: A 40 112 : 4 7686 , B 1052.3 3 :1 и С е с 2010 по-малко от сбора на числата А и В.
3 точки
б) На 24 май всички български деца пеят химна „Върви народе възродени”. За да узнаете през коя година е създаден химнът, намерете неизвестното число х от равенството (х + 1050) – 2 . 99 = 2730 + (7092 – 7069). а) Намерено: А = 2342, В = 3159 и С = 3491
4 точки по 1 точка;
б) Намерено: 2730 + (7092 – 7069) = 2753
общо 3 точки 1 точка 0,5 точки 1,5 точки 1 точка
2 . 99 = 198 х + 1050 = 2753 + 198 = 2951 х = 2951 – 1050 = 1901 2. Обиколката на правоъгълника ABCD е 44 см. Сборът от обиколките на правоъгълниците AMND и MBCN е равен
D
N
С
A
M
В
на 52 см. а) Намерете лицето на правоъгълника ABCD. 3 точки
б) Ако дължината на ВМ е с 14 см по-голяма от дължината на АМ, намерете колко пъти лицето на правоъгълника AMND е по-малко от лицето на правоъгълника MBCN.
4 точки
а) Намерено: 52 см – 44 см = 8 см = 2.MN MN = АD = 4 см
1 точка
AB = 18 см
1 точка
SABCD = 72 кв.см
1 точка
б) Намерено: АМ = 2 см, ВМ = 16 см
2 точки
SAMND = 8 кв.см, SMBCN = 64 кв.см
1 точка
SAMND е 8 пъти по-малко от SMBCN
1 точка
3. В една купа има ябълка, круша, мандарина и банан. Ябълката, крушата и мандарината тежат 678 грама, ябълката, крушата и банана – 859 грама, ябълката, мандарината и банана – 702 грама, а крушата, мандарината и банана – 617 грама. а) Колко грама тежат всички плодове в купата?
3 точки
б) По колко грама тежи всеки плод?
4 точки
а) Намерено: 2856 грама тежат общо 3 яб., 3 кр., 3 манд. и 3 бан.
2 точки
952 грама тежат плодовете в купата
1 точка
1
б) Намерено: 335 грама тежи 1 ябълка, 250 грама тежи 1 круша, 93 грама тежи една мандарина и 274 грама тежи 1 банан
по 1 точка за всеки плод;
общо 4 точки.
5. клас 1. Пресметнете стойността на израза a 3, 02 0, 02 90 0,9 : 0,18 . Намерете неизвестното число b, за което е изпълнено равенството 0,3 b.2 5 0,98 1,979 0,92 2, 021 . С колко най-малко трябва да увеличим числото а така, че като го разделим на b да се получи естествено число. Намерено: 90 – 0,9 : 0,18 = 85 1 точка 0,02 . 85 = 1,7 0,5 точки а = 1,32 0,5 точки 5 0,98 1,979 0,92 2, 021 0,1 1,5 точки
0,3 b 0, 05 1 точка b = 0,25 0,5 точки 1,32 : 0,25 = 5,28. Следователно най-малкото естествено число, по-голямо от 5,28 е 6. 1 точка 6 . 0,25 = 1,5 и 1,5 – 1,32 = 0,18 1 точка 2. Даден е успоредникът ABCD със страни АВ = 7 cм и ВС = 3 cм. Точка М от страната АВ е такава, че АМ = 5 cм. Лицето на трапеца MBCD е равно на 10,8 кв.см. а) Намерете височините на успоредника ABCD.
3 точки
б) Ако триъгълникът ADM е правоъгълен с хипотенуза АМ, намерете дължината на отсечката DM.
4 точки
а) Намерено: MB CD h1 h1 2, 4 cм 2 1 точка 16,8 кв. cм 1 точка
S MBCD
7 cm
D
С
h2
h1 S ABCD h1 3 cm S ABCD 3.h2 h2 5, 6 cм 1 точка 2 cm AM .h1 A В 5 cm б) Намерено: S ADM 6 кв. cм M h 2 2 точки AD.DM S ADM DM 4 cм 2 точки 2 3. Рибар ловил риба на брега на река. В момента на изваждане на поредната риба, той не забелязал, че плувката на въдицата му се отвързала и заплувала по реката, носена от течението. Три минути след това рибарят я видял, че плува над водата, побягнал по брега след нея и я догонил на разстояние 300 м от мястото си. Ако скоростта на течението на реката е 4 км/ч, намерете: а) Колко метра е била изминала плувката, когато рибарят я забелязал над водата?
3 точки 2
б) С каква скорост е бягал рибарят?
4 точки
а) Намерено: 3 мин = 0,05 ч 0,05.4 = 0,2 км 0,2 км = 200 м е изминала плувката б) Намерено: 300 м – 200 м = 100 м = 0,1 км е изминала плувката за времето, рибарят я догонвал 0,1 : 4 = 0, 025 ч е времето, за което рибарят е догонил плувката 0,3 : 0,025 ч = 12 км/ч е скоростта на рибаря
1 точка 1 точка 1 точка през което 1 точка 1,5 точки 1,5 точки
6. клас
1. Пресметнете стойността на израза a 10 : 2,5 5 15.0, 2 и намерете m
a. a 3
2
3
1 1 и п, за които са изпълнени равенствата 0, 43 : 3 20100. m 3 8
и
2n . a4 7 точки 0,5 точки 1 точка 0,5 точки
а) Намерено: 10 : (–2,5) = –4 –(–5 + 15 . (–0,2)) = 8 а=4 1 0, 43 : 3 5 1 точка 8 20100 = 1 0,5 точки 3 1 27 0,5 точки 3 m = 32 1 точка 3 n a 2 1 точка п=6 1 точка 2. Намерете всички цели стойности на а и b, за които е вярно равенството
a . 2b1 6 и постройте точките с координати (a; b) в координатна система с единична отсечка 1 сm. Намерете лицето на фигурата с върхове построените точки и симетричните им образи спрямо абсцисната ос.
7 точки
Обосновани всички възможни случаи за множителите a и 2b 1 1 точка Намерени всички двойки (а; b) : (6; 1), (–6; 1), (2; 2) и (–2; 2) 2 точки. Построени точките А, В, С и D с намерените координати и симетричните им спрямо абсцисната ос 2 точки Намерено лицето на получения осмоъгълник 40 cm2 2 точки 3. Два аквариума с форма на прави призми имат равни обеми. Първият е с височина 20 cm и основа правилен петоъгълник със страна 32 cm и апотема 22 cm, а основата на втория е правоъгълник с размери 55 cm и 16 cm. а) Намерете лицето на повърхнината на всеки от аквариумите, ако те са без капак.
3 точки
б) В двата аквариума налели вода. След като в първия аквариум поставили камък, който потънал във водата, височината на водата в двата аквариума станала
3
една и съща. След като преместили камъка във втория аквариум, нивото на водата в него станало 14 cm, а в първия съд се понижило с 0,5 сm. Намерете колко литра вода са налели във всеки от аквариумите.
4 точки
Нека първата призма е с лице на основата В1, височина h1, лице на повърхнината S1 и обем V1, а втората – съответно с В2, h2, S2 и V2. а) Намерено: S1 = 4960 cm2 1 точка h2 = 40 cm 1 точка S2 = 6560 cm2 1 точка б) Намерено: Обем на камъка = обема на изместената вода в първия аквариум = 880 cm3 1 точка Обем на водата във втория аквариум = 11,44 l 1 точка Височина на водата в първия аквариум без камъка = 12,5 cm 1 точка Обем на водата в първия аквариум = 22 l 1 точка
7. клас 1. Дадени са многочлените M 32a 2 8ab 2 4ab b3 и N 4a 2b 2 a 2 b 2 c 2 . 2
а) Разложете многочлена М на множители. За кои цели стойности на b стойността на М е равна на 2 при a 22 .
3 точки
б) Разложете многочлена N на неразложими множители и докажете, че ако p
a b c , то N 16 p p a p b p c . 2
4 точки
а) Получено M 4a b 2 8a b
1 точка
1 и b 2 1b 2 2 4 І начин: a
1 точка
b2 1b 2 2 b 1b 1b 2 2
b2 1b 2 2 b b2 2b 1 0
1 точка От
1 точка Намерено
b
=
0
и
b 1 b 1 b 2 b 1 1, b 1 1 и
b 2 2b 1 0
b2 2b 0
b 1 2 , което няма решение в цели 2
числа ІІ начин:
1 точка
1 точка
б) Получено N a b c a b c a b ca b c
2 точки
от a b c 2 p a b 2 p c, a c 2 p b, b c 2 p a
1 точка
N 16 p p a p b p c
1 точка
2. Върху медианата СМ на триъгълника АВС са избрани точките Р и Q такива, че Р е между С и Q и ВР = ВМ, MQ = CP. Правата AQ пресича отсечката ВР в точка О и страната ВС – в точка F.
4
а) Ако АОВ = 110°, намерете мярката на АВС.
4 точки
б) Ако AQ : QF = 5 : 2, намерете отношението CF : BF.
3 точки
а) Доказано: AMQ = CPB AMQ BPC
1 точка 1 точка
MAQ = PBC =
1 точка
АВО = 70 – АВС = 70 б) Ако AQ = 5x и QF = 2x за доказано: AQ = BC = 5x CQF QCF QF CF 2 x BF = 3x и CF : FB = 2 : 3
1 точка 1 точка 1 точка 1 точка 3 3. Бригада от девет работници, имащи еднаква производителност, извършили от 5 дадена работа за 4 дни. а) Ако един работник напусне бригадата, намерете с колко процента трябва да повишат производителността си останалите работници, за да довършат работата за 2 дни.
3 точки б) Още колко работници трябва да постъпят в бригадата, за да довършат заедно работата за k дни (k – цяло положително число), ако производителността на всички работници е една и съща. 4 точки Намерено: производителност на 1 работник за 1 ден –
1 части от работата 60
0,5 точки
1 x 1 точка 60 6000 1 x 2 Съставен математически модел 8 2 1 точка 60 6000 5 Намерено х = 50 0,5 точки б) Ако в бригадата са постъпили х работници, за съставен математически модел 1 2 1 точка 9 x k 60 5 24 Намерено: при k 0 x 9 1 точка k при k 1 x 15 0,5 точки при k 2 x 3 0,5 точки при k 3 x 0 , т.е. няма решение 1 точка
производителност след увеличение с х % –
8. клас 1.
а) Да се реши уравнението 2х2 + 9х = 2а, ако a
80 0,5 20 16,9 . 5 0,9
3 точки б) Дадена е функцията f(x) = ax – 2b. Намерете а и b така, че произведението ab да е възможно най-малко и точката А(1; –8) да лежи на графиката на f(x).
5
4 точки
а) Намерено: а = 13 корените на уравнението x1 2, x2 6, 5
2 точки 1 точка
б) Доказано, че от А лежи на графиката на у = f(х) а = 2b – 8 2 точки 2 Изразено аb = (2b – 8)b = 2(b – 2) – 8 1 точка Намерено b = 2, a = –4 1 точка 2. Точка С1 е средата на страната АВ на триъгълника АВС. Върху страните ВС и АС са избрани съответно точките А1 и В1 такива, че триъгълниците АВС и А1В1С1 имат общ медицентър. а) Докажете, че А1В1 е средна отсечка в АВС;
4 точки
б) Ако АА1 ВВ1 и Р е средата на ВС1, намерете средната основа на трапеца АВА1В1, ако А1Р = 10 cm.
3 точки
а) Доказано: медицентърът G СС1 и CG : GC1 = 2 : 1; CG = 2x и GC1 = x 1 точка x 3x C1G А1В1 = М – средата на А1В1 и C1G : GМ = 2 : 1 GM и C1M CM 2 2 1 точка А1СВ1С1 е успоредник 1 точка От А1С1 АС, В1С1 ВС и С1 среда на АВ А1 и В1 са средите съответно на ВС и АС 1 точка б) Доказано: А1Р – средна отсечка в С1ВС СС1 = 2А1Р = 24 cm 1 точка GC1 = 8 cm и GM = 4 cm 1 точка 16 8 АВ = 2 GC1 = 16 cm и А1В1 = 2 GM = 8 cm. 12 cm е дължината на средната основа на 2 трапеца 1 точка 3. Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението
x 1 mx 2 x 2m 1 0
има два различни реални корена.
7 точки
Уравнението има корен х1 = 1 и ще има два различни корена, ако уравнението mx x 2m 1 0 има точно един корен, различен от 1. 1 точка Разгледани случаите: 1 сл. m = 0 x1,2 = 1, т.е. m = 0 е решение 1 точка 2
1 3 1 3 1 2 . При m x2 3 1 1 4 4 2m 1 3 1 3 1 2 1 3 и при m x2 1 3 1 , т.е. m са решения 2 точки 4 2m 1 3 4 3 сл. уравнението mx 2 x 2m 1 0 има два различни корена, единият от които е равен на 2 2 1, т.е. m.12 1 2m 1 0 m . Наистина при m получаваме уравнението 3 3 2 2 1 1 2 x x 0 с корени 1 и , т.е. m е решение. 3 точки 3 3 2 3 2 сл. D = 0 m
9. клас 6
1. Решете а) уравнението
13 6 1 2 ; 2 x x 21 x 9 2 x 7
3 точки
2
xy 2 x y б) системата
4 x 2 y 2 25 x 2 y 2 2
.
4 точки
а) Разложен знаменателят на първата дроб и намерен най-малък общ знаменател, равен на (2х + 7)(х – 3)(х + 3) 1 точка. 2 При х 3 и х –3,5 уравнението е еквивалентно на х + х – 12 = 0 1 точка Намерени корени х1 = –4 и х2 = 3 и извод, че само х1 = –4 е решение 1 точка б) І начин: Системата е еквивалентна на обединението на системите x 2y 2x y x 2 y 2 x y , , и 2 точки. xy 2 x y xy 2 x y xy 2 x y xy 2 x y Намерени решенията (0; 0), (6; 3), (3; 6), (–2; 1) и (1; –2) ІІ начин: Уравнението 4 x 2 y
2 2
2 точки
2
25 x 2 y 2 е еквивалентно на 4 x y 2 xy 25 xy . 2
2
q 2p
След полагането х + у = р, ху = q получаваме системата
4 p 2 2q 25q 2 2
2 точки
Намерени двойките (р; q): (0; 0), (9; 18) и (–1; –2) 1 точка Намерени решенията на дадената система 1 точка 2 2 2. Дадена е функцията f x 3 x 3ax a 1 , където а е реален параметър.
а) При а = –2 решете уравнението x 4 3x . f x 12 x 6 16 12 x . 3 точки б) Намерете всички реални стойности на а, при които уравнението f (x) = 0 има два различни реални корена x1 и x2 такива, че f x12 f x22 . а) Получено ДМ: x
4 и x 4 3x .3 x 2 6 x 9 0 3
4 точки 1 точка
от x 4 3 x 0 x1 1
1 точка
от 3 x 2 6 x 9 0 x2 1 и x3 3 , което не е решение
1 точка
б) Намерено: D > 0 a2 < 4
1 точка
f x12 f x22 3 x1 x2 x1 x2 x12 x22 3a x1 x2 x1 x2 0
от х1 х2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 a x1 x2 0 2
От формули на Виет x1 x2 a и x1 x2
a 2 1 a 2 1 2 a a 2 2 a 0 . 3 3
7
1 точка 0,5 точки
0,5 точки
Намерено a1 0, a2 1 и a3 2 , което не удовлетворява условието a2 < 4, т.е. търсените стойности на параметъра са a1 0, a2 1
1 точка
3. Диагоналите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в точка О. Върху отсечките АО и DO са взети съответно точките М и Р така, че ВМ CD и CP AB. а) Докажете, че МР АD.
3 точки
б) Ако правите ВМ и СР пресичат страната AD съответно в точките Е и F (Е е между А и F) и АЕ : EF : FD = 3 : 1 : 2, намерете отношенията АМ : МО : ОС и ВО : ОР : PD.
4 точки
MO BO OC DO OC PO AO BO MO PO MP AD AO DO DF DP 1 б) Доказано М – среда на AС и FA PB 2 Ако АМ = МС = а, PD = b, BP = 2b, MO = x, PO = y, то: x 2b y x y и a b a x b y a b x и y АМ : МО : ОС = 2 : 1 : 1 и ВО : ОР : PD = 3 : 1 : 2 2 2
а)Доказано:
1 точка 1 точка 1 точка 1 точка
1 точка 2 точки
10. клас 1. Решете 1
неравенството
3x 22 x 1 4 x 2 1
x
и
проверете
дали
числото
1
m 5 2 4.5 4 4 е негово решение. Намерено: при x 0 и x
7 точки
1 2 неравенството е еквивалентно на x 1 2 x 1 0 1 точка 2
1 и решенията са x 0; 1 2 при x 0 и x
1 точка
1 неравенството е еквивалентно на x 2 2 x 12 x 1 0 2
1 точка
1 и решенията са x ; 1 2 ; 0 2
8
1 точка
1 1 Следователно решенията на неравенството са x ; 1 2 ; 1 2 2
1 точка 1 1 1 m 5 4 2 5 4 2 2 5 4 2
1 точка
1 1 За обосновано 2 5 4 , следователно не е решение на неравенството 1 точка. 2
2.
Дадена
е
функцията
f x x 2 2 px 13 .
Определете
стойностите
на
параметъра р, за които върхът на параболата у = f (х) се намира на разстояние: а) не по-голямо от 5 единици от абсцисната ос;
3 точки
б) не по-малко от 5 единици от началото на координатната система
4 точки
а) Намерени координатите на върха V p;13 p 2 Съставена системата
1 точка
13 p 2 5
1 точка
13 p 2 5
Намерени решенията на системата p 3 2; 2 2 2 2; 3 2
1 точка
б) Намерено разстоянието между точките О(0; 0) и V p;13 p 2 OV p 4 25 p 2 169 1 точка Получено неравенството p 4 25 p 2 169 25
1 точка
Намерени решенията на неравенството p ; 4 3; 3 4;
2 точки
3. Намерете
стойностите
на
параметъра
а,
за
x 2 2ax a 8 x 8 има решение.
които
уравнението 7 точки
а) Получено, че уравнението е еквивалентно на системата
x 2 2 a 4 x a 8 0 x 1
1 точка
За извода, че системата има решение, ако уравнението x 2 2 a 4 x a 8 0 има поне един корен, удовлетворяващ неравенството х –1
1 точка
За намерено D 0 a ; 1 8;
1 точка
За разгледани:
9
1 случай: Корените x1 и x2 на уравнението x 2 2 a 4 x a 8 0 удовлетворяват D 0
неравенството х –1, ако а е решение на системата 1 2 a 41 a 8 0 2
a 4 1
1 точка
1 т.е. a ; 1 3
1 точка
2 случай: само един от корените x1 и x2 на уравнението удовлетворява неравенството х –1, ако а е решение на неравенството 1 2 a 41 a 8 0
1 точка
1 т.е. a ; 3
1 точка
2
Краен отговор: a ; 1
11. клас 3 5 2 a1 1. Намерете числата а и b, за които са изпълнени равенствата 2.2 .2 ...2
и
lg 91 3
b 2
2 162
lg10 2 . Намерете сбора на всички несъкратими обикновени дроби
със знаменател 5, принадлежащи на интервала a 2 ; b 2 .
7 точки
а=3 2 точки b=8 2 точки Търсеният сбор има вида 1 9 9 2 9 3 9 4 10 1 10 2 10 3 10 4 ... 63 1 63 2 63 3 63 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 (4 . 9 + 2) + (4 . 10 + 2) + (4 . 11 + 2) +.......... + (4 . 63 + 2) 1 точка Намерен сбора, равен на 8030 2 точки 1 1 1 , , 2. а) Редицата х, у, z е геометрична прогресия, а редицата – x 10 y 10 z 10 Намерено:
аритметична прогресия. Ако х, у и z са различни числа, намерете числото у. 3 точки б) Дадена е редицата 4, 44, 444, ..., an , ... с общ член an 44...4 . Докажете, че за n пъти
всяко п стойността на израза an .10n 2an 1 е квадрат на цяло число. а) Получено y 2 xz (или записани като x, xq, xq 2 )
10
0,5 точки
4 точки
2 1 1 y 10 x 10 z 10
0,5 точки
10 y x z 2 y 0 или x xq 10q 1 0 2
1,5 точки 0,5 точки
Намерено у = 10 б) Намерено: an
4 n 10 1 9
2 точки
2.10n 1 an .10 2an 1 3
2
n
1 точка
2.10n 1 е цяло число, защото 3
2.10n 1 2 00...01 и се дели на 3 n1 пъти
2.10n 1 ( 66...6 7) 3 n1 пъти
1 точка
3. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравненията
32 x 3.6 x 22 x2 0 и 4 x a .2 x a 1.2x 0 са еквивалентни.
7 точки
За намерено: първото уравнение има единствен корен х = 0 х = 0 е корен на второто уравнение, когато a a , т.е. a 0
3 точки 1 точка
При a 0 второто уравнение е еквивалентно на 8 x a.4 x a 1 0 За полагане 2 x t 0 и получено t 1t 2 a 1 t a 1 0
1 точка
За разгледани: 1 случай: D 0 a 1; 3 , но a 0 a 0; 3
1 точка
D 0
2 случай: t1 t2 0 a 3;
1 точка
t1t2 0 Окончателно при a 0 второто уравнение има единствен корен х = 0 и уравненията са еквивалентни. Забележка: Може да се съобрази, че при a 0 уравнението t 2 a 1 t a 1 0 не може
да има положителен корен, т.к. ако t > 0, то a 1 t 0 . Освен това t 2 0 и a 1 0 . Тогава t 2 a 1 t a 1 0 за t 0 и a 0 .
12. клас 1. Докажете, че стойността на израза M log 49 3 0, 5.log 2 0, 2.log 6 5 6 е по-голяма от корена на уравнението log 5 2 log 5 3 x log 6 12 Намерено:
1 . log 2 6
М = log 7 6
7 точки 3 точки
корена на уравнението x log 6 5 1 Доказано log 7 6 log 6 5 log 6 5 log 6 7 log 6 5 1 log 6 7
11
1 точка
log 7 log 6 5 log 6 35 log 6 36 Но log 6 7 log 6 5 6 1 2 2 2 2
2
2
1 точка
x y Забележка: Използвахме неравенството xy . 2 2. Всички ръбове на правилната триъгълна призма ABCA1 B1C1 са равни. Върху 2
околния ръб BB1 е взета точка М така, че B1 M : BB1 = m и през точките А, C1 и М е прекарана равнина . а) Намерете стойността на m, за която равнината дели призмата на две части с 3 точки
равни обеми. б) Ако m
1 , намерете тангенса на двустенния ъгъл между и основата АВС.а) 3
4 точки а) Ако ръбът на призмата е равен на а, за C1
B1
намерено:
VABCA1B1C1
VAMB1 A1C1 m
Н
P
a3 3 4
1 точка
A1 С
a3 3 m 1 12
1,5 точки
1 2
М В Р Т
M А
0,5 точки
б) За построяване на пресечницата на с (АВС)
1 точка
За построяване на линеен на двустенния ъгъл между и (АВС), например ВТМ 1 точка За намерено: ВР = 2а
0,5 точки
AP a 7 BT
0,5 точки
3 a 7
tgBTM
0,5 точки
2 21 9
3. Дадена е функцията f x
0,5 точки
x2 x 2 1
.
а) Намерете множеството от стойностите на функцията;
12
3 точки
б) Решете уравнението sin f x 0 . а) За намерено:
производна f / x
4 точки
1 2 x
x 2 1
0,5 точки
x 2 1
интервали на растене и намаляване и локален екстремум: при 1 1 1 x ; функцията расте, при x ; - намалява, а при x има локален 2 2 2 максимум, равен на
1 точка 1 точка
5 lim f x 1 и lim f x 1
x
x
Множеството от функционални стойности: f x 1; 5 б) Получено уравнението f x k , където k е цяло число
0,5 точки 0,5 точки
Направен извода, че уравнението има решение, ако k 1; 5 , т.е. ако k 0, k 1 или 0,5 точки k2 Намерени корените на уравнението в трите случая за k, а именно: 3 4 При k 0 x1 2 ; при k 1 x2 и при k 2 x3 0 и x4 3 точки 4 3
13