МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 23 май 2011 г. – Вариант 1 УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида: • 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен; • 8 задачи със свободен отговор. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте с черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. За да отбележите верния отговор, зачертайте със знака
кръгчето с
буквата на съответния отговор. Например: А
Б
В
Г
Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и зачертайте буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А
Б
В
Г
За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е зачертана със знака
.
Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълните решения с необходимите обосновки. ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!
1
Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!
(
1. Ако a = log 4 1, b = 0,5.3 27 А) a < b < c
2. Стойността на израза
)
−1
и c е 15% от 10, посочете вярното твърдение:
Б) b < c < a 22 3 2− 7
А) −2 7
В) c < b < a
− 72
е:
2 −2 7
Б)
Г) a < b , b = c
В) 2 7
Г)
2 +2 7
( )( x − 12 ) = −0, 25 − 2x и x > x , то xx +− xx
3. Ако x1 и x2 са корените на уравнението x + 1 2
1
2
1
2
1
2
е равно
на: А) −2
Б) −1
В) 0
4. Решенията на неравенството
⎡1 ⎞ А) x ∈ (− ∞;−2] ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ ⎠ ⎣2
Г) 1
1− 2x ≤ 0 са: x+2 ⎛1 ⎞ В) x ∈ ⎜ ;2 ⎟ ⎝2 ⎠
1⎤ ⎡ Б) x ∈ ⎢ − 2; ⎥ 2⎦ ⎣
5. Допустимите стойности за израза
⎡1 ⎞ Г) x ∈ (− ∞;−2) ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ ⎠ ⎣2
2 − 2x 2 са: : 3 x + 2 x (3 x + 2 )( x + 1) 2
2 3 2 В) x ≠ −1, x ≠ 1, x ≠ − 3
Б) x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 1, x ≠ −
А) x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ −
2 3
Г) x ≠ −1, x ≠ 1, x ≠ 0
6. Разстоянието от върха на параболата y = x 2 + 4 x + 5 до ординатната ос е: А) – 2
7. Стойността на израза А) −2
Б) 1
(
В) 2
)
Г) 5
sin −75o sin105o − cos105o cos 75o
(
2sin 75o cos −75o Б) − 3
) В)
3
е: Г) 2 2
8. Ако x3,5 > x1,5 , то: А) x > 1
Б) 0 < x < 1
В) −1 < x < 0
9. Първите три члена на редицата с общ член an = 2 n − ( −1) А) 2, 4, 6
Б) 1, 3, 5
Г) x = 0 n+3
В) 1, 5, 9
, n = 1, 2,... са съответно:
Г) 1, 5, 5
10. За растяща геометрична прогресия е известно, че a1 = 3 , S 5 − S 4 = 24 . Частното на прогресията е равно на: А) − 4 8
Б) − 2
В)
Г)
2
4
8
11. Кое от твърденията за графиките на чертежа НЕ е вярно? А) Решенията на неравенството f ( x ) > g ( x ) са стойностите на x от интервала ( −∞; − 1) ∪ ( 3,9; + ∞ ) . Б) Решенията на неравенството g ( x ) > 0 са стойностите на x от интервала ( −1; 5 ) . В) Решенията на неравенството f ( x ) < 0 са стойностите на x от интервала ( −1; 3) . Г) Решенията на неравенството f ( x ) < g ( x ) са стойностите на x от интервала [3, 9; 5 ) .
12. В кутия има 84 едноцветни картона, които са бели или зелени. По случаен начин се изважда един от тях. Вероятността той да НЕ е зелен е
3 . Колко зелени картона има в 7
кутията? А) 24
Б) 36
В) 48
Г) 60
13. На диаграмата е дадено разпределението по брой на 17 числа от 0 до 39 . Статистическият ред, който има такава
7 6 5 4
диаграма, е: А) 1,1,1,1,9,11, 22, 23, 24, 25, 25,30,30,30,35,35,35 Б) 1,1, 2,3,9, 20, 20, 21, 22, 23, 25, 25,35,35,35,39,39
3 2 1 0−9
10 − 19 20 − 29 30 − 39
В) 1,1,1,1, 2, 2,3,3,11,12,14,18, 20, 20,30,39,39 Г) 2,3,9,9,9, 20, 20, 22, 23, 29,30,30,30,31,31,39,39
3
C
14. На чертежа CH е височина в правоъгълния ABC ( ∠ACB = 90° ) . Ако CH = 6 и cos ∠BAC =
.
2 5 , 5
то BC е равна на: А) 30
6
α
A
Б) 3 5
15. В остроъгълния
В)
12 5 5
Г)
.
B
H
6 5
ABC е вписан квадратът
C
MNPQ , както е показано на чертежа. Ако AB = 6 , Q
CD = 4, да се намери дължината на страната на квадрата. А) 1,2
Б) 2,4
В) 3
16. Трапецът ABCD е вписан в окръжност, като AB
. B D N
.
A
Г) 3,6
P
M
D
C
е диаметър. Ако височината на трапеца е CH = 8 ,
10
а бедрото AD = 10 , то радиусът на окръжността е: А)
11 3
Б)
17. Даден е лице S
ABC
25 4
В)
25 3
8 O.
A
.
B
H
Г) 12
ABC със страни AC = 2 , BC = 2 и = 1 . Центърът O на описаната около
C 2
триъгълника окръжност: А) винаги е външна точка за
ABC
A
2
B
Б) винаги е вътрешна точка за ABC В) може да е външна точка за
ABC , може да е и вътрешна точка за ABC
Г) винаги лежи на AB
18. Лицето на ромб е равно на 24, а сумата от дължините на диагоналите му е равна на 14. Лицето на вписания в ромба кръг е равно на: А) 2, 4π
Б) 4,8π
В) 5, 76π
Г) 7, 2π
4
19. Страните на триъгълник са 2 cm, 3 cm и
4 cm, а R и r са съответно радиусите на
3
2
r
описаната и вписаната в триъгълника окръжност. Построен е правоъгълен
MNP
с катети
MN = R и
4
R
P r M
N
R
MP = r .
Лицето на MNP е равно на: А) 2 cm2 Б) 4 cm2 3 3
В)
15 cm2 Г) 5 cm2 12 32
C ABC на чертежа точка M е средата
20. За
на BC ,
а точка N е средата на AB .
S. Каква част от лицето на
ABC е
A
1 6
Б)
1 8
В)
1 10
Г)
B
N
лицето на MNS ? А)
M
S
Правите AM и CN се пресичат в точка
1 12
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Намерете числото x , ако x > 0, x ≠ 1 и log x ( log 2 256 ) =
3 . 2
22. Намерете по-малкия корен на уравнението 2 3x − 11 = x − 2. 23. За tgα = −3 намерете числената стойност на израза Α =
4sin α .cos α . 17 cos 2 α − sin 2 α
24. Кръговата диаграма представя разпределението на зрителите в трите сектора на спортна зала. Ако в сектор А има 7200 зрители и x : y = 3 :1 , то намерете броя на зрителите в сектор B.
x°
160°
y°
5
25. Точка O е центърът на вписаната в Намерете радиуса на описаната около
ABC окръжност, като AO = 5, BO = 3 и AB = 7 .
ABC окръжност.
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Решете неравенството 1 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ 9 3.2 a=⎜ 2 ⎟ ⎜ 2−3 3 −6 .2 3 ⎟ ⎝ ⎠ е негово решение.
(
2x + 8 x+4 и проверете дали числото ≥ 2 x − 3x − 4 x + x 2
−1
)
27. Иво подрежда пъзел, като всеки ден подрежда с k елемента повече отколкото предния. На дванадесетия ден той подредил два пъти по-малко елементи отколкото през първите 5 дни, взети заедно. На четиринадесетия ден Иво подредил 85 елемента. От колко елемента се състои пъзелът, ако Иво успял да го подреди на шестнадесетия ден, подреждайки с k елемента повече отколкото на петнадесетия ден?
28. За успоредника ABCD е дадено, че AB = 8 cm, AD = 6 cm и ∠BAD = 60° . Точка N е средата на CD , а точка M ∈ BC и BM : MC = 2 :1 . Правите AM и CD се пресичат в точка P , а правите BN и AD се пресичат в точка K . Намерете страните на
APK .
6
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a
ax 2 + bx + c = 0
x1,2 =
Квадратна функция
Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−
b D ;− ) 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
2 k +1
a 2k = a
m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b
nk
a 2 k +1 = a ;
a mk = n a m
log a a x = x
при k ∈
a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k
Комбинаторика
Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност
P ( A) =
Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k
брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи
0 ≤ P( A) ≤ 1
Прогресии
Аритметична прогресия:
an = a1 + ( n − 1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n −1
p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n
2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1
Sn =
n
Зависимости в триъгълник
1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2
S=
Формули за лице
1 S = chc 2
1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:
S=
S=
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Тригонометрични функции
α0
00
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
300
450
600
900
π
π
π
π
6 1 2
4 2 2 2 2
3 3 2 1 2
2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
1 0
−α − sin α cos α − tgα −cotgα
sin cos tg cotg
900 − α cos α sin α cotgα tgα
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =
sin α + sin β = 2sin
α +β
cos
α −β
2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =
1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2
900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα
1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =
sin α − sin β = 2sin
α −β 2
cos
α +β
2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 23.05. 2011 г. Ключ с верните отговори на Вариант 1 Въпрос №
Верен отговор
Брой точки
Въпрос №
1.
A
2
26.
2.
В
2
27.
3.
Б
2
28.
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
Г Б В Б А Г Г Г В Б Б Б В В В А Г 4 4 −1,5 6750 7 7 3 = 3 3
2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4
25.
Верен отговор
x ∈ ( −1; 0 ) ∪ ( 4; + ∞ ) ∪ {−4}
Брой точки 10
3 a = − , a ∈ ( −1; 0 ) 8 S16 = 920
10
AK = 12 cm, AP = 6 7 cm,
10
KP = 6 3 cm
4
10
26. Критерии за оценяване : 1. Свеждане на неравенството
2x + 8 x+4 до неравенството ≥ 2 x − 3x − 4 x + x 2
( x + 4) x 2 + 8 x + 16 ≥0⇔ ≥ 0. x ( x − 4 )( x + 1) x ( x − 4 )( x + 1) 2
4 т.
2. Намиране на решенията на неравенството
x ∈ ( −1; 0 ) ∪ ( 4; + ∞ ) ∪ {−4} . *
3 т.
Отнема се по една точка: • При пропуснато решение x = − 4 . • При включване на едно от числата −1;0 или 4 в интервалите от решения −1
1 ⎛ ⎞ − 3 ⎛ 2.2 ⎜ ⎟ 9 3.2 3. Преобразуване на израза a = ⎜ до израза a = ⎜ − 2 ⎟ ⎜ 3.2 3 − 3 ⎝ ⎜2 −6 .2 3 ⎟ ⎝ ⎠
(
)
−1
⎞ 3 ⎟⎟ = − . 8 ⎠
2 т.
4. Определяне на принадлежност на числото a към множеството от решения на неравенството.
1т.
3 − ∈ ( −1; 0 ) . 8 27. Критерии за оценяване 1.
Моделиране с аритметична прогресия. -
2.
2 т.
Означаване на първоначално наредените елементи от Иво като първи член а1 на аритметичната прогресия.
(1 т.)
Означаване на числото k като разлика d на аритметичната прогресия
(1 т.)
Съставяне на системата.
2 т.
2а12 = S5 a14 = 85
3.
Получаване на системата .
2 т.
2a1 + 4d .5 2 a1 + 13d = 85
2а1 + 22d =
4.
Решаване на системата и намиране а1 = 20 и d = 5
5.
Определяне на броя на елементите на пъзела ( S
16
2 т. = 920) .
2 т.
11
28. Критерии за оценяване 1. Намиране на AK = 12 cm.
2 т.
DNK ≅ CNB ⇒ DK = CB = 6 cm
или ( DNK ∼ ABK
DK DN 1 = = ⇒ DK = 6 cm), AK AB 2
AK = AD + DK = 12 cm.
2. Намиране на DP = 12 cm.
3 т.
От BM : MC = 2 :1 и AD = 6 cm ⇒ CM = 2 cm и BM = 4 cm CMP ∼ BMA
(1 т.)
CP CM 1 = = ⇒ CP = 4 cm AB BM 2
или ( CMP ∼ DAP
CP CM 1 = = ⇒ CP = 4 cm,) DP AD 3
DP = DC + CP = 12 cm.
(2 т.)
3. Намиране на AP = 6 7 cm. От косинусова теорема в
3 т. APD
AP 2 = AD 2 + DP 2 − 2 AP.DP cos120° , AP = 36 + 144 + 72 = 252 , AP = 6 7 cm.
4. Намиране на KP = 6 3 cm.
2 т.
От косинусова теорема в DPK KP 2 = DK 2 + DP 2 − 2 DK .DP cos 60° , KP = 36 + 144 − 72 = 108 , KP = 6 3 cm.
12