НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 9 АПРИЛ 2011г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. а) Да се реши неравенството 6 x 2 − 13 + ≤1 x2 − 2x x2 − x − 2 б) Да се реши уравнението
(
)
log 3 x 2 − 4 x + 4 = 2
Задача 2. Дадено е уравнението ( p − 1)x 2 + 3x + p + 3 = 0 , където p е реален параметър и p ≠ 1 . Нека x1 и x2 са корените на даденото уравнение. а) Да се намерят стойностите на p , за които x1 x2 < 0 . б) Да се намерят стойностите на p , за които корените на даденото уравнение са реални и удовлетворяват равенството 1 64 x1 + x2 = x 2 + x 2 . 41 2 Задача 3. Даден е равнобедрен трапец ABCD , за който голямата основа AB се явява диаметър на описаната около трапеца окръжност. Диагоналът AC има дължина 4 5 , а
2 5 . 5 а) Да се намери лицето на трапеца ABCD . б) Да се намери cos ∠AMB , където M е пресечната точка на диагоналите AC и BD . Задача 4. Дадена е права призма ABCDA1B1C1D1 , чиято основа ABCD е ромб с лице sin ∠ABC =
24 14 . Диагоналът на основата AC има дължина 12 2 , а sin ∠AC1C =
6 2 . 11
а) Да се намерят дължините на диагоналите AC1 и BD1 . б) Да се намери лицето на пълната повърхнина на призмата. РЕШЕНИЯ Задача 1. а) Да се реши неравенството 6 x 2 − 13 + ≤1 x2 − 2 x x2 − x − 2 Решение. Допустимите стойности за неравенството са x 2 − 2 x ≠ 0 и x 2 − x − 2 откъдето получаваме x ≠ 0 , x ≠ −1 , x ≠ 2 . Преобразуваме 6 x 2 − 13 −1 ≤ 0 , + x(x − 2 ) ( x − 2 )( x + 1) x2 − 5x + 6 ≤0, x(x − 2 )( x + 1) (x − 2)(x − 3) ≤ 0 . x(x − 2 )( x + 1) Съкращаваме на x − 2 и получаваме x −3 ≤0. x(x + 1) Привеждаме към еквивалентното неравенство x( x + 1)( x − 3) ≤ 0 ,