ТЕМА 1 Задача 1 (6 т.). Функцията f е определена с израза f (x) = 3x2 − 4x + a2 , където a е параметър. а) (2 т.) При a = 1 да се разложи на множители изразът f (x) и да се намери най-малката му стойност в интервала [0, 1]. б) (2 т.) За кои стойности на a за корените x1 , x2 на уравнението f (x) = 0 е изпълнено x1 − x2 = 2/3 ? в) (2 т.) За кои стойности на a функцията g, определена от израза g(x) = x3 − 2x2 + a2 x − 2a, е растяща в интервала (−∞, +∞)? Задача 2 (7 т.). Даден е трапецът ABCD с голяма основа AB = 29 и бедра AD = 13, BC = 15, в който диагоналът BD разполовява ∠ABC. а) (2 т.) Да се докаже, че височината на трапеца е 12. б) (2 т.) Да се намери косинуса на ∠CAD. в) (3 т.) В трапеца е вписан правоъгълникът M N P Q, като т. M и N лежат на основата AB, т. P лежи на бедрото BC и т. Q лежи на бедрото AD. Да се намери дължината на отсечката M Q така, че лицето на правоъгълника M N P Q да е най-голямо. Задача 3 (7 точки). В пирамидата ABCDM с връх M основата ABCD е ромб със страна 6 и остър ъгъл 60o . Върхът M се проектира в пресечната точка O√ на диагоналите на ABCD. Лицето на околната повърхнина на пирамидата е 36 3. а) (2 т.) Докажете, че всички двустенни ъгли при основата са равни на 60o . б) (2 т.) Докажете, че OM = 9/2 и пресметнете радиуса на вписаната в пирамидата сфера. в) (3 т.) Точката T е среда на CM . Постройте сечение на пирамидата с равнина λ, която минава през т. A и T и е успоредна на BD. Намерете лицето на сечението. Забележка. Оценката се пресмята по формула, публикувана в сайта на УАСГ.
TEMA 1 SaAa.la 1 (6 r.). Oynr<qnxraf e orpeAerrena c r43pa3a f(*):3r2 -414a2, KbAeTO A, e [apaNreTbp. a) (2 r.) llpv o : 1 Aa ce pa3JIo)KI{ Ira Muox<r4Terrvr z3pa3.br
naft-nra,rxarauy croftHocr B raHrepea"na [0,1]. 6) (2 r.) 3a xor crorlsocrtr Ha o 3a Kopegr{Terr,r2 f (r): o e Nenr,mreso I r - ' I z: 2 1 3 ?
f (")
, Aa ce Harvrepr4
(r, > 12) wa ypaBHeHraero
n) (2 r.) 3a xou croftHocrz Ha a $yrrxqr{sra g, onpeAeJre}ra or r43pa3a s@):13-2r2+a2r-2a e pacrsrr{a B r4HTepBaJra (-oo, +oo)? Perrrerrrae: -3r_ r*r:Jr(r - 1 ) - ( " - 1 ) ; 3 n a r { r 4( * ) : a ) t r 4 n r a n3rre2 - 4 r * l : 3 r 2 f (r - 1)(3r - 1). 3a Hafi - MarrKaracroftuocr npeo6pasyeaue/ ro cJreAHr4s Har{r4g: f ( r ) : 3 r 2 - 4 r * 1 : ( " r / t - * ) ' - + . o r r o e a r p e A c r a B s Hee. s c H ou, e f ( r ) > - + 3a BcsKo r m safi. - NraJrKaracroftuocr ce Aocrr4fa Ba tr : ! e [0, t]. 6) Hafi - rrecHoe Aa ce rrpecMerne (q - r2)2:
( r , - r " ) ' : ( r , + * r ) ' - 4 r 1 r 2: * - n t 9 3 (no $opruryru4reHa Braer). 3ria.{u a,Koz1 - fr2 :3, '{e O : :t1.
to {q - 4+:
f or K.bAerocrreABa,
n) oynxqaxra g(r) N{ox<eAa ce Barru,,refro cJreA'r4sHar{r4H:
g(r):(.-?\'*(o,-i) (,-?\+2, \
Axo nolo)KlrM cer
u./
/
\
o- 16
5/\'-5)*5o--to-n'
D\
KbAerop:a2-'?'{*t;;*'#"."""#;ffi T:,"Yx:ff ,":'fit"H"{"'!"!,.i; Ha ABe pacrflrrlr $grNuuz) v He e pacmnu4a rrpw p < 0. Haucrkrlal p (
aKo 0, ro a t/-lpl : U2, Ho g(:a) : g(a2) - g. 3"u"2 rpa6ea Aa e r43n.brrHe'o at : -JW yciroBr4ero p: a2 - 3 > 0, or xr4ero crreABa, .re a â&#x201A;Ź (-m, -h]U [*,-) 3a6e"rre>rxa: Pas6npa ce, BT,3Mo)KHr,r ca r4pa:Jrrrqr{r4Apyrr{ pelregr4s,
SaAa.ra 2 (7 t.). !,a4en e rpaneq'brABCD c rorrs\,{aocHoBaAB :29 ra6e4pa AD :73, BC - 15,e KofiroAr4aroHaJribr BD pa3rroJroBssa IABC. a) (2 r.) fa ce AoKax(e) qe Br,rcor{r4}rara Ha rpaneqa e 12. 6) (2 r.) fa ce HaNrepr4Kocr4Hycawa ICAD. n) (3 r.) B tparreqa e BrIIacaH npaBobfa,JrHr{Kbr MNPQ, Karo r. M v N rre)Kar Ha ocHoBara AB, r. P ne>xrana 6e4poro BC 14T.Q rre)Kr4ua 6e4poro AD. .4a ce rral,Ieplr A'bJDKr4HaraHa orcerrxata MQ raKa, r{e ruqero Ha rrpaBo.r,r.bJrnr4KaM N PQ 4a e uaft-roJrsr\4o. Peruenrae. a) Tr'ft xaro BD e brJrofioJroBrnqa)ro ABCD e paeno6eApeH? or : :15. KT,Aero BC BD C"rre4ToBa rpeKapBar\{e orceqKara DM ycnopeAua r4 paBHa na BC (Qur. 1). r{ernpx'bfbJrHl4Kibr M BC D e or{eBr4Auopolr6, or KbAero cJreABa,r{e BM :L5 v AM :29-15:14. C 4pyrz lJMr4 crpagr4re sa LAMD ca ctorBerHo 13,1,4 u L5 vt or Xepononara $oprnryra fioryqaBar\4e?rre nr4qero wty Syyp: 84. Tr,ft
xaro Stmr, : ll,ltt.nH
: 7.DH, ro DH : 72.
t
Que. 1 6) Cera e scHo e, ire or AAHD (IAHD:90") Mo)KeM AHz: Aa rpecNrernexc AD2 - DH2 : 732- r22 : s2 v AH : 5 ((DlIr. 1). crea roBa or rrpaBo.br.brrHr4s TprlibftJIrrvx DHB ra or $ar<Ta)rre HB : AB - AH :24nonyuaBarv{e) r{e r : j . 3 H a . u c4o sI A B C : t g 2 l H B D : tglHBD: *4: *. #:
Que. 2
flpnnararr,re ABa rrbrrl KocrrnycoBara reope\,ra 3a rpu'brbJtrr[qr4Te ABC w DAC lt
npec\,rsraruerocJreAoBareJrno C M : t/S++ r4coslC AD : #. s) tUe rocraBI,INI no - o6qa 3aAaqa. Hexa ABC e rrpor43BoJreHTpr4br.brrr{r4K,3a r<ofiro AB : c vr Bulco*utuara npe3 Bbpxa C wra AIJDKT{Ha h. B ABC pa3roJraraNre rpaBoa,fr,Jrrmx MNPQ, erpxosere M n l[ ua xoftro Jre)Kar Ha crpanara AB, P e roqKa or BC u Q or AC : b. flonaraNre crreA ror,a IVIN : p, MQ : pQ : q, AQ : r vt QC : y (Qvrr.3). Ot no4o6Nero Ha c'borBerHr4Te rpr4T,fr,JrHr4rlr4ce Br4x<Aa,
-re
fi : ffi : t t 2 : fi . 3navu pq : $ry. Toecr Ba rrr{qeroHa rpaBobfbrrHr4Ka .re pq: ffr(b-r) r4N{aMe . ffi_(br-r2).JlecsoceBrDKAa, $ynxqznra f (r) : br-r2 e
pacrslqa B I4HTepBaJru 10, ;l r Toecr Ao Karo orcerrKara M N e iro foJrsMa or opeAHara orceqKa Ha rpr4bfr,JrrrrrKa ABC.
@ue. 3 Axo cera rpoAibJDKrrir,r6e4para Ha rpaleqa ABCD, To [oryr{enr4fl Tpr4.bf.bJrlrrK : rle I4I\{acpeAHa orcer{Ka < 15 : CD. Or rosa cJreABa,rre rr4r{ero Ha + T:14,5 HarJrvrfl[paBoibfibJrul4K e I\{aKcrrN{aJrrvro, Koraro orcerrKara M N (trnv pQ) N{aKcr.rNraJrHa, " : r.e. rpr PQ : 15. w raKa orceqxara paBna
AQ e na 12 unv JW 3aBr4cr4rvrocr or pa3noJro>Kenrdero sa M ra ly' e orce.{xara AB.
+ W
1/J69
"
3a4ava 3 (7 rovr<z). B rrr4paMr4Aara ABCDM c Bp.bx M ocloeara ABCD e poll6 cbc crpaHa 6 u ocrtp r,r'bJl 60o. Br'px'rr M ce [poeKTr4paB rrpecer{HararoqKa O n?AzraronaJrure Ha ABCD. Jluqero Ha oKoJrHararrots.EpxHr4Ha Ha [r4paMr{Aara e
36J3.
a) (2 r.) {oxaxere, rre BcI4.IKI4 [pr4 ocFroBaraca paBHrrna 60o. ABycreH:s{u'bl'Jrzr 6) (2 r') foxaNere) r{e OM : 912 v rrpecN,rerHere paAr{yca Ha Brrr4cagaraB nr{paMr{Aarac@epa. n) (3 r.) To'{Kara 7 e cpe4ana C M .llocrpofire ceqeHr4e Ha nrrpaMr4Aara c paBnr4rra ), r<oatoMI4HaBa Iipe3T. A wT I4e yc[opeAna Ha BD. Har,repereJrr4r{ero Ha cerregr4ero.
Peurenrae. a) fnycterlnl4Te bfJrr4rrpr4ocnoBr{r4Te pt6one ca paBura,3auloro aloreMrare ca paBHI4(npoei<quureI4Mca paAldycHa Bfir,rcaHaraB ocnoBara oKpr,x<nocr)14ocHoBHr4Te
p'b6oBeca eAr{aKBr4. flpoexqraflTaHa oKoJrrrararroBbpxHr4uae pou6a, roftro e ocuoBara sa ABCDM. Tofr.I4rura rrrrqeo : 6.6.cos60o:36+: 18/5. Axo osna.rwMc g AByCTeHHI4flT
brbJl
18/5:36v€cosp.
N{e)KAy
OKOJIHa CTeHa I4 OCHOBa, TO tIO I43BeCTHaTa
O r r y r r o r y r { a B a r v rqee, c o sp :
3aBI4CI,I1\,{OCT
*; p:60o.
6) 3a JII4qero lla ocHoBara e rrcrbJrlreuo S.q,scn : 18/5 : 6h, or KbAero ce roJryrraBa,se h : 3J5. ABCD e pou6, cJreAoBare rynoh,: 2r, KbAero r e paAr4ycbr Ha Brl4canara B ABC D oKp'bx<Hocr.trtlraxa, , : Y ^ o, Y : tg 60' -- {Z cJreABa,
H eM o : r J J : + \ / S : g .
Pa4nyctr c$epara B'bB BceKI4 onr{caH MHorocreH e paBen Ha rpr{ nr.,ru o6elra Ha MHO|OCTeHa,paSAeJIeHHa IIT'JIHaTaNIy [OBtpXHI4Ha. B ra3l{ 3aAarra CilONreFraTr4Te BeJrr4lrtr{Hr4 Ce [pec\,{sTaT TprrBr,raJ]Hor4 3a paAr4yca ce [oIyr{aea vmcnoro }. n) Tpn'rrc,rnr{Kibr ABD ( tyr. AorrycKa\de, ue lA: crpauara rvrye 6. 3na-lu AO e N{eAr4aHa v AO: OC :3J3. AAII : C M ce rroJryr{aBa (or llur:aropoBara reopelra)
60') e paBnocrparreH r4 Toraea 3a oKoJrHr4spr,,6
A M 2: A O 2+ O M 2: ( 3 r / 3 ) r .( ; ) ' : 7 , . r r , w cllel c'boTBeTHLrTeflpectr,Israntrfl AM - sytrt 2
Quz. /t
Tpurrunuux'r'r AC M e panno6e4peH r47 e cpe4ana C M. 3na-{rTT rt[ : luo : crpaHa oqeBI4AHo ar<o-Re oprofoHarruaranpoeKrlr4s Ha ? e AdC D, ro ?._Ot 4pyra : : . Cle4oearerlno tg lT AD useecrr{r4re or crrpaBoLrHr4qure # f $opvry,rz #.IIo
'''1r2. uoyriBaNre,qe cos ITAD: mxaAC M. B nero orcerrKr4TeAT n MO car,{enr4arrr4. fa pasrneAal,Ie cefa "p"J"l{rrt :2, sarqoro PQ eycropeAHa wa BD (ceveuvrero e Or ryx ce rlorlyi{aBa) qe YE : W ycrropeAl{o ua BD). Herca X vY ca oproroHaJrHr4TenpoeKrlr4r4ua P w Q n paeunHara Ira ocHoBara. Vl TaKa, [poeKqrrsra Ha ceqenr4ero B ocuoBara e rrerl4pxrrt.bJrr{IrKibr
AXRY. Or useecrHl4re orHorrrenr4.s (XY :
PQ, % :
% :2,
AO :
OC w
ce erz>rAarrecuo, .re ,SaxRy : Cera ocraea 4a or6ure)Kr{M, #:3) isoucr:9/3. \e ITAD e ABycrennrrsr r:,r'bJl Me)KAy paBuranara Ha ocuoBara r4 AaAeHoro cerreHge, 3arrloro npecer{Hzqara Ha re3r{ paBHzHrr e ycnopeAHa wa B D, a [paBr4Te AC vt AT ca rprIeHAI4KyJIspHI4 wa BD (reopewra 3a rpr{Te neprrenAr4KyJrl{pa). 3naqu aKo Jrr4qero
HacerreHl4ero e S, ro Snxav: ,9cosITAD;9Ji
: S?#
"
oKoHrrarerruo ,S: Zr/fr.
3a6ene>xxa: Btglrox(Ho e Aa crrr4Tarv{e,qe IDAC : 120o - B ycJroBr4ero He e yKa3aHo xoft ro'{Ho e ocrpl4srbfr,Jr B oc}roBara. Torasa B noAycJroBraee) ce [oryr{aBa no peruenr4ero e HarbJrHo aHaJrorr4rrnoc r43Jro)KeHoro Apyf oTroeop(,S : */1011), IIo fope (npoexqraara Ha cerrenl4ero B ocHoBara r4Mac.bx{oro Jrr4rle,Ho ARycreHHr4flT pae6ilpa ce) r{ ToBa perreHr4e : ibrlbJr e ro - foJrslu: cos ITAD ). # 4o6ana c.},trlr4s - cryAeuTa. 6poft rovxr4 KbM pa6orara "u "u"h?aar