МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 29.05.2012 Г. – ВАРИАНТ 2 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1 . Кое от посочените числа е по-голямо от 1 ?
⎛ 1⎞ A) ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠
−3
Б) 2
2. Стойността на израза
4
−3
( −9 )
В)
2
+ 3 −27 +
Б) −4
A) −8
В) x ≠ 0 и x < 5
Г) 4
Г) x ≠ 0 и x ≤ 5
9 − x2 ≤ 0 са: x Б) x ∈ [ −3;3]
В) x ∈ ( −∞; − 3] ∪ ( 0;3]
Г) x ∈ ( 3; + ∞ )
log 2 x
−1
е:
А) x ∈ [ −3;0 ) ∪ [3; + ∞ )
5. Равенството 2
⎛ 1⎞ ⎟ Г) ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
3 са: x 5− x
Б) x ≠ 0 и x ≠ 5
4. Решенията на неравенството
2
В) 2
3. Допустимите стойности на израза А) x ≠ 0 и x > 5
( −2 )
(− 2)
0
= x 2 е вярно:
А) само за x = −1
Б) само за x = 0
В) само за x = 1
Г) за x = 0 и за x = 1
6. Кое от уравненията има два отрицателни корена? А) 2x 2 + 7 x + 8 = 0
Б) 2x 2 − 8x − 7 = 0
В) −2x 2 − 8x − 7 = 0
Г) −2x 2 + 8x − 7 = 0
1
7. Броят на реалните корени на уравнението x 4 + 2 x 2 − 5 = 0 е:
8. Стойността на израза sin α − cos 2α + tg А) е 1 − 3
Г) 4
В) 3
Б) 2
А) 0
Б) е 3 − 3
α 2
− cot g
α 3
В) е 3 + 3
при α = 90° е: Г) не съществува
D 9. На чертежа AC & BD . Ако OA = 4 2 , CD = 8 2 и OC = AB , то отсечката AB е :
O
Б) 4 2
А) 4
В) 8
C
A
B
Г) невъзможно да се определи
10. В + ABC ∠A = 50° , а tg ∠B = 3 . Мярката на ∠C е равна на: A) 10°
Б) 60°
В) 70°
Г) 110°
11. На фигурата е дадена част от графиката на
квадратна
функция.
Абсцисата
y
на
5
втората пресечна точка на параболата с оста
4
Ох:
3 2
А) е x = 2 ;
1
Б) е x = 3 ;
− 4 − 3 − 2 −1
В) е x = 4 ;
O
−1
1
2
3
4
−2
Г) не може да се определи.
−3 −4
−5
12. Дадена е числова редица с общ член
an = n 2 − n , n ∈ ` . Ако числото 42 е член на редицата, то номерът му n е равен на: А) 5
Б) 6
В) 7
Г) 14
13. Ако за аритметична прогресия a7 = 43 и a12 = 33 , то разликата на прогресията е равна на:
2
x
Б) −
А) –2
1 2
В)
1 2
Г) 2
14. За 2 вакантни места по математика и 3 по химия в едно училище кандидатстват 5 учители по математика и 6 по химия. По колко различни начина е възможно да се попълнят вакантните места? Б) 200
А 150
В) 240
Г) 300
15. На диаграмата са дадени заплатите и съответният брой на служителите в една
5
фирма. С колко лева модата на съответния
4
бр. служители
4
статистически ред се различава от средната заплата на служителите? А) 272,50
Б) 227,50
3 3 2
2
2 1 1
Г) 27,50
В) 72,50
0 270
360
500
800
1200
заплата в лв.
C
16. За начертания равнобедрен + ABC AC = BC = b , а ∠BAC = 2α . Вписаната в + ABC окръжност се допира до AC в точка T . Отсечката CT е равна на: Б) 2b sin 2 α
А) b sin 2α
В) 2b cos 2 α
Г) b cos 2α
T B
A 17. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AC = 21 cm, DC = 5 cm и A D = 4 cm, ∠ABC е равен на:
А) 150°
Б) 120°
В) 60°
Г) 30°
18. Даден е ромб с диагонали a и b . Лицето на четириъгълника, чиито върхове са средите на страните на ромба, е:
( А)
a 2 + b2 2
)
2
a 2 + b2 Б) 4
В)
ab 4
Г)
ab 2
D 3
A .
C 6 3
B
19. Даден е правоъгълен трапец ABCD с бедра AD = 3 cm и BC = 6 cm. Отношението на радиусите на окръжностите, описани съответно около + ABD и + BCD , е равно на: А)
1 2
Б)
3 2
В)
2 3
Г)
2 1
в сила равенствата ab = 2,5 и d12 + d 22 = 26 . Периметърът на
d1
успоредника е: A) 6 2
В) 2
Б) 3 2
C
D
20. За страните a и b и диагоналите d1 и d 2 на успоредник са
Г) 1,5
A
a
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Намерете стойността на cos α , ако sin α .cоs
α 2
− cos α .sin
α 2
=
3 . 4
5 + 4 x − x2 = 2 x − 1 .
22. Да се реши уравнението
23. В зоопарк има пет вида животни. Дневната дажба на животно от всеки вид е дадена на координатна система, като по оста
y е нанесена дневната дажба на животно от съответния вид, а по оста x – отделните видове животни. Наличната бройка животни от всеки вид е дадена в таблицата. А
Б
В
Г
Д
3
4
2
1
d
Изчислете максималния брой d на животните от вида Д така, че средната дневна дажба на животно в зоопарка да не надвишава 1 kg .
4
b
d2 B
24. Средите на страните на равностранен триъгълник със страна a са върхове на втори триъгълник. Средите на страните на втория триъгълник са върхове на трети
a
триъгълник и т.н., върховете на всеки следващ триъгълник са средите на страните на предходния. Да се изрази чрез a сумата от периметрите на първите пет триъгълника.
25. Бедрото на тъпоъгълен равнобедрен триъгълник е 25 cm, a височината към него е 24 cm. Намерете дължината на основата на триъгълника.
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. За допустимите стойности на α докажете тъждеството
cos5α − cos 7α + cos α − cos3α 1 = ( cot gα − tgα ) . sin 3α − sin α + sin 5α − sin 7α 2
27. Дете подрежда по случаен начин точно 5 фигурки от картон в редица, от ляво надясно. Три от фигурките са квадратни, а две са с форма на кръг. Квадратните се различават една от друга по дължината на страната си, а тези с форма на кръг са с различни радиуси. Намерете броя на начините за подреждане на петте фигурки, ако се започва и завършва с квадратна.
28. В + ABC с периметър 21 cm ъглополовящата CL ( L ∈ AB ) е 6 cm и AL : BL = 4 : 3 . Да се намерят дължините на страните на триъгълника.
5
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение
−b ± D при D ≥ 0 2a b c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Формули на Виет: x1 + x2 = − x1 x2 = a a
ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac x1,2 =
Квадратна функция
⎛ b D⎞ Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката ⎜⎜− ; − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2a 4a ⎠ Корен. Степен и логаритъм 2k
a 2k = a
2 k +1
1 = a−m , a ≠ 0 am m, n, k ∈
a 2 k +1 = a
при k ∈ m
n
am = a n
a x = b ⇔ log a b = x
n k
a loga b = b
a = nk a
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 0
Комбинаторика Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на пермутациите на n елемента:
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
Cnk =
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас:
n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии
Аритметична прогресия: an = a1 + (n −1) d Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 S n = a1 ⋅ , q ≠1 q −1 Sn =
n
⎛ p ⎞⎟ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K .⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎠⎟⎟ n
6
Зависимости в триъгълник и успоредник
1 1 S = ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 b a b cos α = tg α = cotg α = c b a
Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2 a +b−c a sin α = 2 c Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1 r =
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 (2a 2 + 2c 2 − b2 ) 4
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
Формула за ъглополовяща:
mc 2 =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 (2a 2 + 2b2 − c 2 ) 4
2
lc = ab − mn
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице
1 1 S = chc S = ab sin γ 2 2 abc S = pr S = 4R
Триъгълник:
Успоредник:
S = aha S = ab sin α
S=
p ( p − a )( p − b)( p − c )
Трапец: S =
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции
α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
−α
90°−α
90° +α
1 0
180°−α
7
− sin α cosα − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
cosα sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
tg (α ± β) =
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
cosα − sin α − cotg α − tg α
sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β α −β α +β cos sin α − sin β = 2sin cos 2 2 2 2 α +β α −β α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos cos α − cos β = −2sin sin 2 2 2 2 α α 1− cos α = 2sin 2 1 + cos α = 2 cos 2 2 2 1 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) cos α cos β = (cos (α −β) + cos (α + β)) 2 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2sin
8
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 29 май 2012 г. ВАРИАНТ 2 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Верен отговор Г В B А В В Б Б В В В В А Б Г Б Б B А А 1 cos α = − 8 x=2 d =8
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
93 a 16 40 _ 36 AB = 7 cm, BC = 6 cm и AC = 8 cm
4
4 4
4 10 10 10
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване на задача 26.
1.( 2 точки) Прилагане на формулите за представяне на разлика от два косинуса в произведение в числителя и за разлика на два синуса в знаменателя и свеждане на лявата страна до израза: A =
2sin α sin 6α + 2sin α sin 2α . 2sin α cos 2α − 2sin α cos 6α
2. ( 1 точка) Изнасяне на общ множител от числителя и от знаменателя в израза
A=
2sin α (sin 6α + sin 2α ) sin 6α + sin 2α = . 2sin α (cos 2α − cos 6α ) cos 2α − cos 6α
3. ( 2 точки) Прилагане на формулите за сбор от два синуса и разлика на два косинуса съответно в числителя и знаменателя на израза A и свеждане на числителя и знаменателя до произведения – A = 4. ( 2 точки) A=
2sin 4α .cos 2α cos 2α . = 2sin 4α .sin 2α sin 2α
Прилагане на формулата за удвоен ъгъл и свеждане на израза до:
cos 2 α − sin 2 α . 2sin α cos α
5. (2 точки) Представяне на израза като сбор на две дроби с еднакъв знаменател: cos 2 α − sin 2 α cos 2 α sin 2 α cos α sin α A= = − = − . 2sin α cos α 2sin α cos α 2sin α cos α 2sin α 2 cos α 6. (1 точка) Представяне на израза като израза в дясната страна на тъждеството cos α sin α 1 − = ( cot gα − tgα ) . A= 2sin α 2 cos α 2 27. Критерии за оценяване на задача 27. Първи начин:
1.(4 точки)
Броят на възможностите за подреждане на трите различни квадратни
фигурки е: n pr = P3 = 3.2 = 6.
2.(4 точки) Броят на възможностите за подреждане на двете различни кръгли фигурки заедно с едната от трите квадратни фигурки, която е между двете крайни квадратни фигурки, е nkr i pr = P3 = 3.2 = 6.
3.(2 точки) Определяне на общия брой на възможности за подреждане на петте фигурки е n = n pr .nkr i pr = 6.6 = 36. Втори начин:
1.( 3 точки) Преброяването на възможностите при подредба: n1 = 3.2.1.2.1 = 12.
2.( 3 точки) Преброяването на възможностите при подредба: n2 = 3.2.2.1.1 = 12.
3.( 3 точки) Преброяването на възможностите при подредба: n3 = 3.2.2.1.1 = 12.
4. ( 1 точка) Общият брой възможности е n = n1 + n2 + n3 = 12 + 12 + 12 = 36. 28. Критерии за оценяване на задача 28
C
1. ( 1 точка) Приемаме AL = 4 x и BL = 3 x 2. ( 1 точка) Прилагаме свойството на ъглополовящата AC = AL = 4 BC BL 3 3. ( 1 точка) Приемаме AC = 4 y и BC = 3 y 4. ( 1 точка) Изразяваме PABC = 7 x + 7 y ⇒ 7 x + 7 y = 21 5. ( 1 точка) Прилагаме формулата за ъглополовящата CL2 = AC.BC − AL.BL ⇒ 36 = 12 y 2 − 12 x 2
6. ( 1 точка) Така получаваме системата
7 x + 7 y = 21 . 12 y 2 − 12 x 2 = 36
7. ( 2 точки) Последователно получаваме x+ y =3 7 x + 7 y = 21 x+ y =3 , откъдето x = 1 и y = 2 ⇒ ⇒ 2 2 12 y − 12 x = 36 ( y − x )( y + x ) = 3 y − x = 1
8. ( 2 точки) Намираме страните AB = 7 cm, BC = 6 cm и AC = 8 cm
A
L
B